Flexion pure

Cours

Résistance des Matériaux

Le solide est composé d’un matériau homogène et isotrope,

Sa ligne moyenne est rectiligne,

La section droite est constante et possède un plan de symétrie,

Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables

par deux moments opposés contenus dans le plan de symétrie.

I. Hypothèses

MM

Une poutre est sollicitée à la flexion pure si le seul élément de

réduction au centre de gravité de chaque section des forces de

cohésion est un moment perpendiculaire au plan de symétrie appelé

moment de flexion.

N=Ty=Tz=0 , Mt=0 , Mfy et/ou Mfz0

II. Définition

Observation

Les sections droites de la poutre ne se déforment pas, elles se déplacent

en restant perpendiculaires à la ligne moyenne qui s’incurve mais ne

s’allonge pas.

III. Etude des contraintes

MM

Par conséquent, deux sections droites voisines tournent l’une par

rapport à l’autre d’un angle élémentaire autour de l’axe z, normal

au plan de symétrie.

La déformation d’ensemble observée résulte de la composition de

toutes les rotations relatives de toutes les sections.

S0 S

x

On considère un élément de longueur x, délimité par les sections S0 et S. M0M est une fibre de cet

élément située à une distance y de la ligne moyenne.

III. Etude des contraintes

S’

M’

y

M0 M

x

y

G

.. EE

Or on a : x tgyy

MM' et

D’où : y.

Finalement, la loi de Hooke s’écrit :x

yE ..

y: position de la fibre étudiée / ligne moyenne

Si on soumet la section S à la flexion, elle tourne d’un angle autour de Gz. On appelle S’ la section déformée et M’ représente la position de M après déformation.

D’après la loi de Hooke, on a :

Si on prolonge toutes les sections déformées, elles concourent toutes en un point O, appelé centre de courbure. La distance OG est appelée , rayon de courbure.

III. Etude des contraintes

On a :

tgx

d’où :

yE.

O

S0 Sx

S’

x

y

Gy

M0 MM’

Détermination de l’axe neutre = 0

La force normale élémentaire agissant sur chaque dS vaut :σ.dSdN

On sait que l’effort normal N est nul, on peut donc écrire :

0

SSSydS

E-.dS

E.y-σ.dSN

Moment statique/axe x

On a donc le moment statique nul l’axe neutre passe par le centre de gravité G de S

Relation entre contrainte et moment de flexion

On coupe la poutre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action des efforts extérieurs et des forces de cohésion dans la section (S).

III. Etude des contraintes

σ.dSdN On sait que la force normale élémentaire vaut:

Le moment élémentaire s’écrit : σ.dSydM .

L’équilibre de la partie isolée s’écrit donc : S.σ.dSyMf

Ce qui donne :

SS.. dSy²

EdS.y²

E-Mf

Moment d’inertie / axe Gz

Gzf IE

M .

or on a : yE

- .

.y

IM Gz

f

Finalement, on obtient : yIM

Gz

f .

Remarques:

la distribution de la contrainte normale dans une section est linéaire,

l’axe neutre (=0) passe par le centre de gravité des sections,

la contrainte normale est maximale (max)

pour la fibre la plus éloignée de c.d.g. ymax=h/2 dans le cas des sections

symétriques / Gz

III. Etude des contraintes

x

y

G

max

max

max

Gz

fmax y

IM.

Module de flexion :

max

Gz

yI

Cas d’une section non symétrique / Gz

III. Etude des contraintes

x

y

G

tmax

cmax

Nous avons montré que :

IV. Etude des déformations

yE.

Or : yIM

Gz

f . Gz

f

E.IM

1

L’expression analytique du rayon de courbure d’une courbe d’équation y=f(x) est :

'v'

v'²1 23

Comme v’ est petit (petites déformations), v’² négligeable / 1, il vient :

'v'1

On obtient donc l’équation différentielle de la déformée :

Gz

f

E.IM

'v'

Remarques :

v représente la flèche de la poutre,

v’ représente la rotation de la section.

On a une équation différentielle donnant l’expression de v’’, pour

trouver la flèche v, il faut donc intégrer deux fois. On obtient donc

des constantes d’intégration. Pour connaître leurs valeurs, il faut

appliquer les conditions aux limites de la poutre étudiée.

IV. Etude des déformations

V. Dimensionnement

V.1 Condition de résistance

On limitera la valeur de la contrainte normale à une valeur notée Rpe (résistance pratique à l’extension = contrainte normale admissible adm) définie par :

On obtient ainsi l’inéquation suivante:

pemax

Gz

fmax Ry.

I

M

sR e

pe

Limite élastique à l’extension

Coefficient de sécurité

V. Dimensionnement

V.2 Condition de déformation

On peut limiter la flèche maximale (vmax) à une valeur limite (vlim) imposée par le type de construction ou les contraintes technologiques.

On obtient ainsi l’inéquation suivante:

vv limmax

Fin