CNAM- Examen Final- MVA 006--- Juin 2015 Page 1/2

Exercice 1: (4 points)

Considrons la fonction f de deux variables relles dfinie par : 4 4 2( , ) 3 2 2 4( )f x y x y x y 1- Calculer les drives partielles premires et secondes de f .

2- Trouver les points critiques de f .

3- Etudier les extrmums locaux de f .

Exercice 2 : (5 points)

Soit (C) la courbe paramtre par { ( ) ( )

( )

1- Donner le domaine de dfinition cette courbe et tudier ses branches infinies.

2- Montrer que la courbe (C) admet un point singulier dont on dterminera la nature.

On prcisera lquation de la tangente (C) en ce point.

3- Dresser le tableau de variations des fonctions ( ) et ( ).

4- Etudier lintersection de (C) avec laxe ( ).

5- Dessiner la courbe (C).

Universit Libanaise

ISAE - Cnam Liban

Centre du Liban associ au Cnam Paris

Date : Lundi 22 Juin 2015

Dure : 2H

De 11H30 13H30

Semestre : 2ime

Anne : 2014-2015

Code UE : MVA 006

Intitule de lUE : Applications de lanalyse la gomtrie,

initiation lalgbre linaire.

Ce sujet comporte : 2 pages

Type dexamen : Semestriel Partiel Final Rattrapage

Annuel E1 E1 E2 E2

Documents autoriss : Tous Aucun Autre (A prciser : ..)

Consignes particulires :Toute rponse non justifie ne sera pas prise en considration. La rigueur et la clart de votre rdaction entreront pour une part importante dans lvaluation de la copie. Les exercices pourront tre traits dans lordre de votre choix.

Calculatrice: Aucune Programmable Non programmable

Centres concerns Beyrouth Baakline Baalbeck

Nahr Ibrahim

Bickfaya Ghazza Tripoli

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Exercice 3: (3,5 points)

Considrons lintgrale suivante : 2 2( )

D

x xy ydxdyI e o

2 2 2{( , ) : 1}D x y x xy y .

On pose : 3( )u x y

v x y

.

1-Exprimer x et y en fonction de u et v , puis calculer le jacobien ( , )

( , )( , )

x yJ u v

u v

.

2-Exprimer 2 2x xy y en fonction de u et v . En dduire alors le nouveau domaine associ D ,

dans le repre Ouv.

3-Enfin, en posant cos( )u r et sin( )v r , calculer alors la valeur de lintgrale I .

Exercice 4: (3,5 points)

Soit la rgion de lespace limite par les parabolodes et .

1- Calculer le volume de

2- Calculer les coordonnes du centre de gravit G de , vue comme un solide homogne.

Exercice 5: (4 points)

Partie I :

Considrons les matrices carres suivantes:

(

) , (

) et (

)

1-Montrer que .

2-Exprimer en fonction de . En dduire que .

3-Montrer que est inversible et calculer .

Partie II :

Considrons le systme linaire suivant : (S) {

dinconnue ( ) , o est un paramtre rel.

1- En utilisant les rsultats de la partie I, rsoudre le systme (S) dans le cas .

2- En discutant selon les valeurs du paramtre , dterminer lensemble des solutions de (S).

3- Donner lintersection entre les trois plans dquations , et .