Figure 1 Réservoir et chambre pressurisée · 2019. 11. 11. · Contrôle périodique – Automne...

MEC2200 – Dynamique des fluides Contrôle périodique – Automne 2012

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Question #1 : (14 points) Description du problème : Un réservoir est séparé d’une chambre pressurisée, contenant de l’air, par une porte triangulaire dont le pivot est situé à sa base (voir Figure 1). Le réservoir contient de l’eau jusqu’à la hauteur maximum de la porte et de l’huile, plus légère, à sa surface. Le réservoir est ouvert et la surface libre est à pression atmosphérique. Les données du problème :

γ huile = 8720 N / m3 h1 = 1m

γ eau = 9790 N / m3 h2 = 1m

Patm = 101000Pa b = 1m

Ixx = bL3

36L = 1m

Le calcul demandé: 1) Calculer la pression de l’air dans la chambre pressurisée pour immobiliser la porte dans sa

position verticale.

Figure 1 Réservoir et chambre pressurisée


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SOLUTION : (note importante, notre calcul est en pression relative) Calcul des force et moment dans le réservoir Étape 1 : le calcul de la hauteur de la colonne d’eau au centre de gravité Étape 2 : le calcul de la pression au centre Étape 3 : le calcul de la force sur la porte Étape 4 : le calcul du centre de pression Étape 5 : le calcul du bras de levier Calcul des force et moment dans la chambre pressurisée Étape 1 : le calcul du centre de pression Le centre de pression est au centre de gravité car la pression est constante. Étape 2 : le calcul du bras de levier Calcul des force et moment dans la chambre pressurisée Étape 1 : écrire l’équilibre des moments IMPORTANT : Une alternative consiste à inclure la pression atmosphérique dans le calcul de la force dans le réservoir. Le calcul de la pression est alors absolu.

hcg = L 2

3= 2

3

pcg = γ eauhcg + γ huile = 9790 2

3+8720 = 15246.67Pa

A = bL / 2 = 1/ 2F1 = Apcg = (1/ 2)15246.67 = 7623,33N

ycp = −γ eau

Ixx

F1

= −97901/ 36

7623,33= −0,03567m

l1 = L 1

3+ ycp =

13− 0,03567 = 0,29766m

l2 = L 1

3= 0,3333

F1l1 = A Pa l2

Pa =F1 l1

A l2

=7623,33( ) 0,29766( )

0,5( ) 0,3333( ) = 13616Pa − gage

Pa = 13616+101000 = 114616Pa − absolue


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Question #2 : (9 points) Description du problème : Le jet d’eau de Genève est le symbole par excellence de cette ville Suisse (voir Figure 2). C’est l’exemple typique d’un système à l’état stationnaire en ce qui concerne la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Les données du problème :

ρeau = 1000kg / m3

g = 9.81m / s2

1litre = 0.001m3

Les calculs demandés: 1) Calculer la hauteur maximale du jet si la vitesse verticale à la sortie de la buse est de 1 m/s. 2) Calculer la vitesse du jet à la sortie de la buse pour atteindre une hauteur de 140 m, soit la

hauteur du jet d’eau de Genève. 3) Calculer l’aire de la section de sortie de la buse du jet d’eau de Genève, sachant que le débit

volumique est de 500 litres / seconde.

Figure 2 Le jet d'eau de Genève


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SOLUTION :

1) Nous utilisons l'équation de Bernoulli sur la ligne de courant au centre du jet:

p1

ρg+

V12

2g+ z1 =

p2

ρg+

V22

2g+ z2

À la base du jet p1 = patmet en haut du jet p2 = patmet V2 = 0.

Nous obtenons:

V1 = 2g z2 − z1( )z2 − z1( ) = V1

2

2g

V1 = 1m / s ⇒ z2 − z1( ) = 12 9.81( ) = 0.051m

2) Calcul de la vitesse du jet pour atteindre une hauteur de 140m

V1 = 2g z2 − z1( ) = 2 9.81( )140 = 52,41m / s

3) Calcul de la section de la buse du jet de Genève.

V1 = 52,41m / s

Q = AV1 = 500 0,001( ) = 0,5

A = QV1

= 0,552,41

= 0,00954m2


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Question #3 : (9 points) Description du problème : Un montage expérimental (voir Figure 3) est construit pour étudier la variation de pression dans une expansion brusque entre deux tubes. Les axes de symétrie des tubes sont parfaitement alignés. L’écoulement s’écoule de gauche à droite. On utilise un manomètre pour déterminer la différence de pression entre les points 1 et 2 situées sur la ligne de courant superposée à l’axe de symétrie. Nous supposons que l’écoulement est stationnaire et pleinement développé à ces points. Précisons que le facteur de correction dans l’équation de l’énergie est égal 1. Le fluide de l’écoulement est incompressible. Du mercure est utilisé dans le manomètre. Les données du problème :

Les calculs demandés: 1) Calculer la différence de pression entre le point 1 et le point 2 en supposant que le fluide est

parfait. 2) Calculer la différence de hauteur, z1 – z2 enregistrée par le manomètre, correspondant à la

différence de pression calculée précédemment.

Figure 3 Montage expérimental de l'expansion brusque

ρfluide = 1000kg / m3

ρmercure = 13550kg / m3

g = 9.81m / s2

Q = 10m3 / s Débit volumique dans les tubes

A1 = 1m2 Aire de la section de la station 1

A2 = 2m2 Aire de la section de la station 2


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SOLUTION :

1) Nous utilisons l'équation de l'énergie:

p1

ρg+αV1

2

2g+ z1 =

p2

ρg+αV2

2

2g+ z2

avec α=1 puisque le fluide est parfait, le profil de vitesse est alors plat.

Nous avons z1 = z2, ce qui implique: p1 − p2 = ρV2

2 − V12

2

En particulier, V1 =QA1

= 101= 10,V2 =

QA2

= 102= 5:

p1 − p2 = 1000( )52 −102

2= −37500 Pa

2) Nous avons le diagramme suivant pour le calcul de la pression :

p1 − p2 = −γ eauh

p2 − p3 = −γ mercureh12

p3 − p4 = +γ eauh12

p4 − p5 = +γ eauh

p1 − p5 = γ eau − γ mercure( )h12

h12 = z1 − z2 =p1 − p5

γ eau − γ mercure( ) =−37500

1000−13550( )9,81= 0.30m


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Question #4 : (8 points) Description du problème : Un jet de vitesse constante V est en interaction avec un déflecteur percé en son centre (Figure 4). Une partie du jet est dévié à la vitesse V, tandis qu’une autre partie s’écoule à vitesse V par l’orifice au centre du dispositif.

La donnée du problème :

Les calculs demandés: 1) Écrire une expression pour le calcul des forces nécessaires pour maintenir en place le

déflecteur. 2) Calculer ces forces pour V = 5 m/s, D= 100 mm et d= 25 mm.

Figure 4 Le déflecteur

ρfluide = 1000kg / m3


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SOLUTION : Nous avons le diagramme suivant pour représenter les entrées, les sorties et les axes;

Nous considérons un volume de contrôle qui englobe le tout. Il est important de noter que la pression sera constante sur la surface de contrôle et donc que la résultante de la force de pression sera nulle. Nous prenons un système de coordonnées telle que l’axe des x est vers la droite et l’axe des y vers le haut. La conservation de la masse implique :

La conservation de la quantité de mouvement :

m1 = ρπ D2

4V

m4 = ρπ d2

4V

m2 = m3 =m1 − m4

2= ρπ

4D2 − d2

2V

mV

out∑ − m

V

in∑ =

F

m2

V2 + m3

V3 + m4

V4 − m1

V1 =

F

V1 = V

i

V2 = −Vsin θ( )i + Vcos θ( )jV3 = −Vsin θ( )i − Vcos θ( )jV4 = V

i

ρπ4

D2 − d2

2V −Vsin θ( )i + Vcos θ( )j − Vsin θ( )i − Vcos θ( )j( ) + ρπ d2

4VVi − ρπ D2

4VVi = Fx

i + Fy

j


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En simplifiant nous obtenons :

En particulier nous obtenons :

ρπ4

D2 − d2

2V −Vsin θ( )i + Vcos θ( )j − Vsin θ( )i − Vcos θ( )j( ) + ρπ d2

4V2i − ρπ D2

4V2i = Fx

i + Fy

j

Fy = 0

Fx = ρπ d2 − D2

4V2 sin θ( ) + ρπ d2 − D2

4V2

Fx = ρπ d2 − D2

4V2 1+ sin θ( )( )

Fy = 0

Fx = (1000)π0.025( )2

− 0.1( )2

452 1+ sin 45( )( ) = −314,24N

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