2. Correction : Limites, continuité,...

http://laroche.lycee.free.fr 1

2. Correction : Limites, continuité, dérivabilité

1.1 2.2. Exercices de base

2.2.1. Un algorithme

1. a est la valeur de la variable x pour laquelle on cherche ( )f x , p est la précision utilisée dans le calcul : plus

on avance dans la boucle, plus p diminue (divisé par 10 à chaque itération).

2. Pour a=1, la fonction f devient très grande : ( )1 0,001 4758f + ≈ , ( )1 0,001 4750f − ≈ − . On dira que f

tend vers l’infini (+ ou –) lorsque x tend vers 1 (par valeurs supérieures ou inférieures).

Pour a=–1, on a dans tous les cas un résultat proche de 0 (par exemple ( ) 61 0,000001 1,2.10f −− + ≈ − ) : f

tend vers 0 lorsque x tend vers –1.

Pour a=0, on a dans tous les cas un résultat proche de –2 (par exemple ( )0 0,000001 2,0004f + ≈ − ) : f tend

vers –2 lorsque x tend vers 0.

3. Par exemple pour +∞ :

Entrée f : fonction ; a réel ; n entier

Traitement 1 p→

Tant que 10np <

( )f a p y+ →

10p p× →

Fin tant que

Sortie y

4. On modifie l’algorithme de la manière suivante :

Entrée f : fonction ; a réel ; n entier

Traitement 1 p→

Tant que 10 np −>


( ) ( )f a p f a

yp

+ −→

/ 10p p→

Fin tant que

Sortie y

a. Cet algorithme fait la même chose que précédemment sauf que le résultat obtenu est le nombre dérivé de f en a.

b. On obtient –4 dans les deux cas.

c. Le coefficient directeur de la tangente en 0 à la courbe de f est –4…

2.2.2. Fonction rationnelle

1. Lorsque x devient grand (en +∞ et en −∞ ), 2x devient le terme prépondérant dans 21 x x+ + , donc 21 x x+ + tend vers +∞ et f tend vers 0. La droite 0y = est asymptote de la courbe de f.

2. ( )( )22

2 1'

1

xf x

x x

− −=+ +

,f est croissante avant –1/2, décroissante après ; ( )1 / 2 4 / 3f − = .

3.

Position de ( )Γ par rapport à (AB) : 2

13

y x= − + ; on calcule le signe de


( )( ) ( )

( ) ( )( )( )

2 23 2

2 2 2 2

3 2 3 1 2 12 1 2 21 1

3 31 3 1 3 1 3 1

x x x x x xx x xf x x x

x x x x x x x x

+ − + + − −− − − − + = − − + = = = + + + + + + + +.

22 1x x− − a pour racines 1 et –1/2 ; u tableau de signes et le tour est joué…

x −∞ –1/2 0 1 +∞

Signe f–(AB)

– + – +

Position ( )( ) / ABΓ ( ) / ( )AB Γ ( )( ) / ABΓ ( ) / ( )AB Γ

Pour les tangentes c’est pareil, sauf qu’il faut calculer les équations des tangentes : en A 1y x= − + , en B :

1 23 3

y x= − + …

2.2.3. TVI, fonction rationnelle, asymptote

1. a. ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 12 3 3 4 1 3 2 1 2 1g x x x x x= − = − = + − .

x −∞ 1 / 2− 1 / 2 +∞

( )'f x + – +

f

−∞

–7

–9

+∞

Le polynôme se comporte comme 34x à l’infini.

b. Pour 12

x < g est tout le temps négative. Entre 1/2 et +∞ elle est monotone croissante et passe d’un négatif

à du positif, elle s’annule une seule fois sur cet intervalle. ( )1,45 0,16g = − et ( )1,46 0,07g = donc

1,45 1,46α≤ ≤ .

c. Lorsque x α≤ , g est négative, lorsque x α≥ , g est positive.

2. a. ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )2 2 3 4 2 4 4 2

2 2 2 22 2 2 2

3 4 1 1 8 12 3 8 8 4 3 8'

4 1 4 1 4 1 4 1

x x x x xg xx x x x x x xf x

x x x x

− − + − − − − −= = = =− − − −

.

Pour 1x ≥ , x est positif donc f’ est du signe de g.

b. Sur cet intervalle g est positive donc f est croissante.

c. ( ) 3 3 3 80 4 3 8 0

4g

αα α α α += ⇔ − − = ⇔ = et 2 3 84

ααα+= d’où en remplaçant dans f :


( )3

2 21 3 12

4 1 16 4f

α ααα α

+ += =− −

; on aura donc :

( ) 3 32

3 3 12 324 96 48 12 4 3 8 0

8 816 4f

αα α α α α α α αα

+= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ − − =−

,

ok. On a donc ( ) 31,45 0,55

8f α ≈ × ≈ .

3. a. On met tout au même dénominateur, on développe et on ordonne :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

2 2

4 1 2 1 2 1 4 4 2 2

4 1 4 1

ax b x c x d x ax bx a c d x b c df x

x x

+ − + + + − + + − + + + − + −= =

− −.

Par identification des coefficients on a :

4 1 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 44 0 0 0 0 0

2 2 0 2 2 1 / 4 1 / 8 2 1 / 8 1 9 / 161 1 1 2 1 / 8 1 7 / 16

a a a a a

b b b b b

a c d c d c d c c

b c d c d c d d d

= = = = = = = = = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − + + = + = + = = + = − + − = − = − = = − = −

;

on remplace : ( ) 1 9 / 16 7 / 164 2 1 2 1

f x xx x

= + −− +

.

b. On a ( ) 1 9 / 16 7 / 164 2 1 2 1

f x xx x

− = −− +

qui tend vers 0 à l’infini donc la droite D d’équation 14

y x= est

asymptote de (C) ; ( ) 2 21 1 9 7 1 18 9 14 7 1 4 164 16 2 1 2 1 16 164 1 4 1

x x xf x x

x x x x

+ − + + − = − = = − + − − . Il reste à faire

le signe pour avoir la position.

c. D et C. se croisent en –4 (pas très visible mais de toutes manières on s’en fiche car on est sur [ [1 ; + ∞ …)


2.2.4. TVI et tangentes

On considère les fonctions numériques f et g définies par : ( ) 21 13

f x x xx

= + +

et ( ) 3 22 1g x x x= + − .

1. ( ) ( )3 2

2 2 21 1 2 1

' 2 13 3 3

g xx xf x x

x x x

+ − = + − = =

donc ( )f x′ et ( )g x ont le même signe.

2. ( ) ( )2' 6 2 2 3 1g x x x x x= + = + , soit le tableau suivant :

x −∞ 1 / 3− 0 +∞

( )'g x + – +

f

−∞

–26/27

–1

+∞

Jusqu’à 0 g est négative, après 0 elle passe d’un négatif à un positif, elle s’annule donc une fois. On a ( )1 2 0g = > donc ( ) 0g x = a une solution unique α , avec 0 1α< < .

( )0,657 0,001 0g ≈ − < et ( )0,658 0,003 0g ≈ > donc 0,657 0,658α< < ; ( ) 0,87f α ≈ .

Pour x α< , ( ) 0g x < et pour x α> , ( ) 0g x > .

3.

x −∞ 0 α +∞

g – – +

f

+∞

−∞

+∞

0,87

+∞

On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de C

d'abscisse −1 et par J le point de C d'abscisse +1. ( ) 11

3f − = − et ( )1 1f = ;

a. (IJ) a pour équation : ( ) ( )1 1 / 3 2 11 1

1 1 3 3J I

J JJ I

y yy x x y y x x

x x

− += − + ⇔ = − + = +− +

; la tangente en J a pour

équation ( ) ( ) ( )2 2 1' 1 1

3 3 3J J Jy f x x x y y x x= − + ⇔ = − + = + .


b. ( ) ( ) ( )2 1 2' 1 1

3 3 3I I Iy f x x x y y x x= − + ⇔ = − + − = − − .

c. On cherche le signe de ( ) ( )33 22 12 1 1 1 3 3 1 1

1 2 33 3 3 3

xx x xf x x x x x

x x x

++ + + − − − = + + + + = =

(repérer l’identité remarquable ( )3 3 21 3 3 1x x x x+ = + + + …) qui est donc positif sur ] [ ] [; 1 0 ;−∞ − ∪ + ∞

(la courbe C est au-dessus de T) et négatif sur ] [0 ; 1 .

4. En pointillé la courbe de g.

2.2.5. ROC et dérivées S, France métropolitaine 2007, 5 points

Partie 1

P : Réponse : vrai. On le démontre par récurrence : supposons que pour ( ) nf x x= on ait bien ( ) 1' nf x nx −= ,

alors pour ( ) 1nF x x += on devrait avoir ( ) ( )' 1 nF x n x= + ; or on sait que ( ) ' ' 'uv u v uv= + , donc

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' . ' ' ' .1 1n n n n n n n nF x x x x x x x nx x x nx x n x−= = + = + = + = + .

Q : Réponse : faux. En appliquant le même raisonnement que pour P on obtient par récurrence que 1' ' nf nu u −= .

Partie 2

2. a. On utilise la dérivée de ( ) ( )' 'f g g f g= ×� � avec f g= et cosg = : (on se rappelera également que 2 2cos sin 1x x+ = ).


( ) ( ) ( )( )2 2

1 sin sin' cos ' ' cos sin

sinsin1 cos

x xh x x g x x

xxx

− −= = − × = =−

.

Comme on est sur ] [; 0π− , sin x est négatif et donc sin sinx x= − d’où ( )' 1h x = .

b. On peut en déduire que ( )h x x K= + ; par ailleurs ( )cos 0 02 2

h g gπ π − = − = =

d’où

( )02 2 2 2

h K K h x xπ π π π − = = − + ⇒ = ⇒ = +

.

2.2.6. Exemples du cours Concours EPF 2009, exercice 3

1. ( ) 3f x x= s’annule en 0 mais sa dérivée ( ) 2'f x x= ne change pas de signe.

2. Il suffit de prendre une fonction monotone croissante sur l'intervalle [ ]1 ; 2 , comme ( )f x x= …

3. Un truc qui passe son temps à osciller à l’infini marche en général très bien dans ce genre de cas :

( ) ( )1 xf x

= − par exemple où x est la partie entière de x ; ou ( ) ( )cosf x x= qui bien que simple n’est

pas mal non plus…

4. ( ) 1cosf x

x

=

est plutôt sympa…

2.3. Exercices intermédiaires

2.3.1. Recherche d’un équivalent à l’infini

1. Dire que x tend vers l’infini revient à prendre une grosse valeur pour x, par exemple 100 ou –100 (si on prend trop gros on risque des débordements de capacité)…


On calcule alors ( ) / nf x x pour des valeurs successives de n (avec éventuellement n négatif) et on regarde le

résultat : si on obtient quelque chose de petit (1E–10 par exemple) ou gros (comme 1E10), on sait que ça ne va pas… C’est empirique mais ça peut marcher pour des fonctions pas trop compliquées…

2. ( )32

1x x

f xx

− +=−

est équivalente à 22x , ( ) 2xf x

x x

+= est équivalente à 1 / x , ( ) 2 1f x x x= − − est

équivalente à 0 en +∞ et à –2x en −∞ , ( )2 2

1

4 3 2 2 1

xf x

x x x x= −

− + + + est équivalente à

1 12 22

x

x xx− = .

2.3.2. Dérivabilité

Soit f la fonction définie par ( ) ( ) 22 4f x x x= − − et C sa courbe représentative.

1. L’ensemble de définition de f est [ ]2 ; 2− car ( ) ( )24 2 2x x x− = − + doit être positif.

2. a. Il n’y a de vrai problème qu’en –2 et +2 : tous les termes sont dérivables, seul 24 x− pose un problème

lorsqu’elle s’annule à cause de ( ) ''

2u

uu

= .

b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 222

2 2 2 2

4 2 2 22 2 2 4' 1 4 2

2 4 4 4 4

x x x x xx x xf x x x

x x x x

− − + − − − −− − −= − × − + − = = =− − − −

.

Les racines du trinôme sont –1 et 2.

3. On retourne à la définition :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )2 2

2 2 2 2 22 82 2 02

x

x x x x xf x f

x xx+→−

− − + − −− −= = → = +∞

+ ++, pas dérivable, tangente

verticale en –2.

( ) ( ) ( ) 22

2

2 2 44 0

2 2 x

f x f x xx

x x →

− − −= = − − →

− −, dérivable, tangente horizontale en 2.

4. & 5.

x –2 1 2

'f + 0 – 0

f

0

3

0


2.3.3. Fonctions irrationnelles

Soit n un entier naturel et fn la fonction définie sur [ ]0 ;1 par ( ) ( )1nnf x x x x= − .

On note Cn sa courbe représentative dans un repère orthonormal (unité graphique 10 cm).

1. ( ) ( ) ( )00 1 1y f x x x x x x= = − = − ; si on élève au carré on a

( )2

2 2 2 2 1 11 0

2 4y x x y x x y x

= − ⇔ + − = ⇔ + − =

,

soit l’équation d’un cercle de rayon 1/2, de centre (1/2, 0). C’est un demi-cercle car il n’y a que les y positifs.

2. a.

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

21 1 12 1 1 2 2 2 2 11 2

' 12 1 2 1 2 1

n n n nn

n x x x x n x n xxf x nx x x x x x

x x x x x x

− − −− + − − − + +−= − + = =− − −

soit finalement ( ) ( ) ( )( )

1 1 / 2'

1n

n

n x nf x x

x x

− + + +=

−, donc pour 0 < x < 1 ( )nf x′ et ( )1

12

n n x + − +

ont

même signe.

En l’occurrence si

121

nx

n

+<

+, ( )' 0nf x > (remarquez que

1 / 21

n

n

++

est bien compris entre 0 et 1).

b. On revient à la définition en 0 :

( ) ( ) ( ) ( )10

101 0

0

nn n n

x

x x xf x fx x x

x x−

→

−−= = − →

−, donc dérivable en 0 ;

On revient à la définition en 1 :


( ) ( )( ) 1

1 1 11 1 1 0

n nn n

x

f x f x x x x x

x x x − −→

− −= = → = −∞− − − − −

, donc pas dérivable en 1.

c.

x 0 1 / 2

1n

n

++

1

'f 0 + 0 –

f

0

fn(a)

0

3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )11 1 1 1 1n n n

n nf x f x x x x x x x x x x x++ − = − − − = − − ; 0nx ≥ , 1 0x− ≥ donc Cn est en

dessous de Cn + 1.

4.

2.3.4. Suites et sinus

1. ( )' 1 cos 0f x x= − ≥ donc f est croissante ; comme ( )0 0 0 0f = − = , on a ( ) 0f x ≥ sur [ [0 ; + ∞ .

2. a. ( ) ( )1' 2 sin 0

2g x x x f x= × − = ≥ et ( )0 1 0 1 0g = − + + = donc ( ) 0g x ≥ ;

( ) ( )21' 1 3 cos 0

6h x x x g x= − + × + = ≥ et ( )0 0h = donc ( ) 0h x ≥ .


b. On a ( ) 3 31 1sin 0 sin

6 6h x x x x x x x= − + + ≥ ⇔ ≥ − et ( ) sin 0 sinf x x x x x= − ≥ ⇔ ≤ .

3. a.

( ) ( ) ( )22

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 /1 2 1 1 1 1 / 1... 1 2 3 ...

2 2 22 2n n

n n n nn n n nv n

n n n n n n n →+∞

+ + + += + + + = + + + + = = = = →

On considère les suites ( )nu et ( )nv définies pour tout entier naturel n non nul de la manière suivante :

2 2 2 2

1 2 3sin sin sin ... sinn

nu

n n n n= + + + + et

2 2 2 2

1 2 3...n

nv

n n n n= + + + + .

b. ( ) 3 3 3 41 2 ..: . nn n+ + + ≤℘ ; vérifions ( ) 3 41 : 1 1℘ ≤ , ok.

On suppose ( )n℘ vraie et ajoutons ( )31n + : ( ) ( )3 33 3 3 41 2 ... 1 1n n n n+ + + + + ≤ + + ; a-t’on bien

( ) ( )3 44 1 1n n n+ + ≤ + ? On développe : 4 3 2 4 3 23 3 1 4 6 4 1n n n n n n n n+ + + + ≤ + + + + ; tous les termes de

droite sont supérieurs aux termes de gauche donc c’est bon.

c. Écrivons les n inégalités 31sin

6x x x x− ≤ ≤ en remplaçant x par k/n2, k compris entre 1 et n :

3

2 6 2 2

3

2 6 2 2

3 3 3 3 3

2 6 2 2 2 6 2 2 61 1 1 1

3

2 6 2 2

1 1 1 1 1sin

6

2 1 2 2 2sin

6

3 1 3 3 3 1 1 2 ...sin sin

6 6 6...

1sin

6

k n k n k n k n

n n n

k k k k

n n n n

n n n n

k k k k nv u v

n n n n n n n n n

n n n n

n n n n

= = = =

= = = =

− ≤ ≤

− ≤ ≤ + + +− ≤ ≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤− ≤ ≤

∑ ∑ ∑ ∑ .

Comme 3 3 3 4 3 3 3

3 3 3 46 6 2 2 6

1 2 ... 1 1 1 1 2 ...1 2 ...

6 6n n n

n nn n n n n

+ + + + + ++ + + ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ − ≤ − , on a bien

3 3 3

2 61 1 2 ...

6 6n n n n

nv v u v

n n

+ + +− ≤ − ≤ ≤ .

d. En appelant les gendarmes, on a en passant à la limite : 1 1 1

0 lim lim2 2 2n n

n nu u

→+∞ →+∞− ≤ ≤ ⇒ = .

2.3.5. Sinus cardinal

1. ( )' cos sin cos sing x x x x x x x= − − = − : sur [ ]0 ;π sin 0x ≥ donc ( )' 0g x ≤ et g est décroissante.


x 0 π

'g 0 –

g

0

π−

Donc ( ) 0g x ≤ sur [ ]0 ;π .

2. Soit f la fonction définie sur [ ];π π− par ( )

( ) [ ]

0 1

sinsi ; \ {0}

f

xf x x

xπ π

=

= ∈ −

.

a. On sait que ( )sin sinx x− = − donc ( ) ( ) ( )sin sin sinx x xf x f x

x x x

− −− = = = =− −

.

La courbe représentative ( )Γ est symétrique par rapport à l’axe vertical (Oy).

b. ( ) 2cos sin

0 : 'x x x

x f xx

−≠ = qui est donc négative sur ] ]0 ; π+ ; comme f est paire, f’ est positive sur

[ [; 0π− . Pour la continuité en 0, on sait que 0

sinlim 1x

x

x→= donc f est continue en 0 ; pour la dérivabilité en 0

on revient à la définition : ( ) ( )

2

sin10 sin

0

xf x f x xx

x x x

−− −= =−

.

c. En utilisant la méthode du 2.3.4 (1), on a facilement que

3 32

1 1 sin 1 1sin 0 sin 0

6 6 6x

x x x x x x x xx

−≥ ≥ − ⇒ ≥ − ≥ − ⇒ ≥ ≥ −

qui tend partout vers 0 lorsque x tend vers 0. On a donc ( )' 0 0f = .

d. Le lecteur se fera une joie de construire le chapeau de cardinal… de la courbe !

2. Correction : Limites, continuité,...

Documents

Transcript of 2. Correction : Limites, continuité,...