1 フーリエ級数

1.1 周期関数と基本周期

[周期関数の定義]

関数 f(x)がf(x + T ) = f(x) (1.1)

を満たすとき, f(x)を周期関数と呼ぶ。また, T をその周期という。

-

6f(x)

x

T -¾

0

図 1

例) f(x) = sin x, T = 2πとすれば

sin (x + 2π) = sin x

が成り立つ。したがって, sin xは周期 2πの周期関数である。

[基本周期]

nを任意の整数とするとf(x + nT ) = f(x) (1.2)

を満たす最小の T を基本周期という。

[周期関数の性質]

2つの関数f(x)とg(x)がともに周期Tの周期関数であれば,その線形結合h1(x) = af(x)+

bg(x)およびこの 2つの関数の積 h2(x) = f(x)g(x)も周期 T の周期関数となる。また, 2つの関数 f(x)と g(x)の周期が異なる場合は, 関数 f(x)の周期を T1, 関数 g(x)の周期を T2とおけば, その線形結合 p1(x) = af(x) + bg(x)の周期 T は 2つの周期 T1 と T2の最小公倍数となる。

周期が異なる 2つの関数 f(x)と g(x)の積 p2(x) = f(x)g(x)の周期は, どうすれば計算できるのか?

[周期的拡張]

0 ≤ x < T 上でのみ定義されている関数 f(x)は, 0 ≤ x < T 上での関数 f(x)の値を繰り返すことによって, −∞ < x < ∞上の周期関数 f̃(x)に拡張することができる。このようにして作られた周期関数 f̃(x)を関数 f(x)の周期的拡張という。

f̃(x + nT ) = f(x) ただし 0 ≤ x < T, n = · · · ,−1, 0, 1, · · · (1.3)

-

6f(x)

xT0

図 2

-

6f̃(x)

xT 2T0

図 3

関数 f(x)が連続で, f(0) = f(T )の場合, f̃(x)は連続関数となるが, f(0)6=f(T )の場合は,

関数 f(x)が連続であっても f̃(x)は不連続関数 (区分的に連続な関数)となる。

1.2 直交関数系と直交条件

[関数の内積の定義]

区間 0 ≤ x ≤ T における関数 f(x)と g(x)の内積を次式で定義する。

(f, g) =∫ T

0f(x)g(x) dx (1.4)

この内積の計算が (f, g) = 0を満たすとき, 関数 f(x)と g(x) は区間 0 ≤ x ≤ T において直交しているという。

＜参考＞ベクトルの内積と直交性ベクトル~aと~bが与えられたとき, ~a, ~bのなす角を θ(0≤θ≤π)とすれば

~a ·~b = |~a||~b| cos θ

をベクトル~a,~bの内積という。特にベクトルの成分が~a = (a1, a2, · · · , an),~b = (b1, b2, · · · , bn)

でそれぞれ与えられている場合, その内積は

~a ·~b =n∑

i=1

aibi

で計算できる。また, ~a, ~bが互いに垂直, すなわち, なす角が直角のとき~a ·~b = 0となる。

[三角関数系の直交性]

三角関数系 {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, · · ·}の直交性とは, 次の２つが成立することである。

(1) 自分と異なる三角関数系の関数との内積が 0である。∫ 2π

01 · cos mxdx = 0 (m = 1, 2, · · ·) (1.5)

∫ 2π

01 · sin mxdx = 0 (m = 1, 2, · · ·) (1.6)∫ 2π

0cos mx sin nx dx = 0 (m = 1, 2, · · ·と n = 1, 2, · · ·) (1.7)∫ 2π

0cos mx cos nx dx = 0 (m 6=nなるm = 1, 2, · · ·と n = 1, 2, · · ·) (1.8)∫ 2π

0sin mx sin nx dx = 0 (m 6=nなるm = 1, 2, · · ·と n = 1, 2, · · ·) (1.9)

(2) 自分自身との内積が 0でない。 ∫ 2π

012 dx = 2π (1.10)

∫ 2π

0cos2 mxdx = π (m = 1, 2, · · ·) (1.11)∫ 2π

0sin2 mxdx = π (m = 1, 2, · · ·) (1.12)

＜式 (1.5)～式 (1.12)の計算＞

積分の計算においては, 分母が 0となる場合に注意せよ。場合分けが必要である。

∫ 2π

01 · cos mxdx =

[sin mx

m

]2π

0=

1

m(sin 2mπ − sin 0) =

1

m(0 − 0) = 0 (1.5)′

∫ 2π

01 · sin mxdx =

[−cos mx

m

]2π

0= − 1

m(cos 2mπ − cos 0) = − 1

m(1 − 1) = 0 (1.6)′

∫ 2π

0cos mx sin nx dx =

1

2

∫ 2π

0{sin (m + n)x − sin (m − n)x} dx

=1

2

{∫ 2π

0sin (m + n)x dx −

∫ 2π

0sin (m − n)x dx

}

=1

2

[−cos (m + n)x

m + n

]2π

0

−[−cos (m − n)x

m − n

]2π

0

= 0 (m 6= n) (1.7)′

∫ 2π

0cos mx sin nx dx =

∫ 2π

0cos mx sin mx dx

=1

2

∫ 2π

0{sin (m + m)x − sin (m − m)x} dx

=1

2

∫ 2π

0sin 2mxdx

=1

2

[−cos 2mx

2m

]2π

0

= 0 (m = n) (1.7)′′

∫ 2π

0cos mx cos nx dx =

1

2

∫ 2π

0{cos (m + n)x + cos (m − n)x} dx

=1

2

{∫ 2π

0cos (m + n)x dx +

∫ 2π

0cos (m − n)x dx

}

=1

2

[sin (m + n)x

m + n

]2π

0

+

[sin (m − n)x

m − n

]2π

0

= 0 (m 6= n) (1.8)′

∫ 2π

0sin mx sin nx dx =

1

2

∫ 2π

0{cos (m − n)x − cos (m + n)x} dx

=1

2

{∫ 2π

0cos (m − n)x dx −

∫ 2π

0cos (m + n)x dx

}

=1

2

[sin (m − n)x

m − n

]2π

0

−[sin (m + n)x

m + n

]2π

0

= 0 (m 6= n) (1.9)′

∫ 2π

01·1 dx = [x]2π

0 = 2π (1.10)′

∫ 2π

0cos mx cos mxdx =

∫ 2π

0cos2 mxdx

=1

2

∫ 2π

0(1 + cos 2mx) dx

=1

2

{∫ 2π

01 dx +

∫ 2π

0cos 2mxdx

}=

1

2

{[x]2π

0 +[sin 2mx

2m

]2π

0

}

=1

2{2π + 0}

= π (1.11)′

同様に∫ 2π

0sin mx sin mxdx = π (1.12)′

1.3 フーリエ級数

[フーリエ級数展開とは]

関数 f(x)を周期 2πの周期関数とする。関数 f(x)のフーリエ級数展開とは, 三角級数

f(x) ' a0

2+ a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + a3 cos 3x + b3 sin 3x + · · ·

=a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (1.13)

によって, 関数 f(x)を表現することである。さて, cos nx, sin nx(n = 1, 2, · · ·)の基本周期は 2π

nで, 共通に 2πを周期としてもつ。した

がって, 右辺の三角級数が収束すれば, これは周期 2πの周期関数となる。

{一般の周期 (2L)をもつ周期関数→同様にフーリエ級数展開を定義できる。非周期関数→フーリエ級数展開の拡張としてフーリエ積分で定義できる。

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

　　　　　　　　　　　　　　偶関数 偶関数 奇関数︸ ︷︷ ︸　　　　　　　　　　　　　 直流成分 交流成分

＜参考＞ベキ級数展開 (マクローリン級数展開)

ex = 1 +x

1!+

x2

2!+ · · · + xn

n!+ · · ·

sin x = x − x3

3!+

x5

5!− · · · + (−1)n x2n+1

(2n + 1)!+ · · ·

cos x = 1 − x2

2!+

x4

4!− · · · + (−1)n x2n

(2n)!+ · · ·

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x +

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·

=∞∑

n=1

f (n)(0)

n!xn

{マクローリン級数→変数 xのベキ乗の和で展開し,各係数は微分で求める。フーリエ級数→変数 xの三角関数の和で展開し,各係数は積分 (関数の内積)で求める。

[フーリエ係数の公式の導出]

周期 2πの関数 f(x)が, 次の三角級数によって表わせると仮定する。

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx) (1.14)

この anと bnをフーリエ係数と呼ぶ。

(1) anを求める。式 (1.14)の両辺に cos mx(m = 1, 2, · · ·)をかけて, 0から 2πまで積分すると

∫ 2π

0f(x) cos mxdx =

∫ 2π

0

{a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

}cos mxdx (1.15)

項別に積分できるとすると

右辺 =a0

2

∫ 2π

0cos mxdx +

∞∑n=1

an

∫ 2π

0cos nx cos mxdx + bn

∫ 2π

0sin nx cos mxdx︸ ︷︷ ︸

0

=

a0

2

[sin mx

m

]2π

0+

∞∑n=1

an ×{

0 n6=mのときπ n = mのとき

}= 0 + amπ

= amπ (m = 1, 2, · · ·) (1.16)

a0の場合は∫ 2π

0f(x) dx =

∫ 2π

0

{a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

}dx

=a0

2

∫ 2π

0dx +

∞∑n=1

an

∫ 2π

0cos nx dx︸ ︷︷ ︸

0

+bn

∫ 2π

0sin nx dx︸ ︷︷ ︸

0

=

a0

2[x]2π

0 + 0

= a0π (1.17)

したがって, 式 (1.16)と式 (1.17)の結果をまとめると∫ 2π

0f(x) cos mxdx = amπ (m = 0, 1, 2, · · ·) (1.18)

an =1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx (n = 0, 1, 2, · · ·) (1.19)

(2) bnを求める。式 (1.14)の両辺に sin mx(m = 1, 2, · · ·)をかけて, 0から 2πまで積分すると

∫ 2π

0f(x) sin mxdx =

∫ 2π

0

{a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

}sin mxdx (1.20)

項別に積分できるとすると

右辺 =a0

2

∫ 2π

0sin mxdx +

∞∑n=1

an

∫ 2π

0cos nx sin mxdx︸ ︷︷ ︸

0

+bn

∫ 2π

0sin nx sin mxdx

=

a0

2

[−cos mx

m

]2π

0+

∞∑n=1

bn ×{

0 n 6=mのときπ n = mのとき

}= 0 + bmπ

= bmπ (m = 1, 2, · · ·) (1.21)

したがって ∫ 2π

0f(x) sin mxdx = bmπ (m = 1, 2, · · ·) (1.22)

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·) (1.23)

1.4 周期波形 (周期 2π)のフーリエ級数展開

[偶関数と奇関数]

偶関数: f(−x) = f(x)が成り立つ関数を偶関数という。したがって, y軸に関して対称なグラフとなる。

-

6

x

|x|

0¡

¡¡

¡¡

¡

@@

@@

@@

-

6

x

cos x

0

　 f(−x) = | − x| = |x| = f(x) f(−x) = cos (−x) = cos x = f(x)

奇関数: f(−x) = −f(x)が成り立つ関数を奇関数という。したがって, 原点に関して対称なグラフとなる。

-

6

x

x

0¡

¡¡

¡¡

¡

¡¡

¡¡

¡¡

-

6

x

sin x

0

　 f(−x) = −x = −f(x) f(−x) = sin (−x) = − sin x = −f(x)

[偶関数と奇関数に関する性質]

(P1) 関数 f(x)を任意の関数とする。このとき

f(x) = fe(x) + fo(x)

と表わせる。ただし

fe =f(x) + f(−x)

2, fo =

f(x) − f(−x)

2

とする。関数 fe(x)および関数 fo(x)をそれぞれ関数 f(x)の偶関数部分および奇関数部分という。

(P2) 偶関数と偶関数の積, および奇関数と奇関数の積は偶関数となり, 偶関数と奇関数の積は奇関数となる。

h(x) = fe(x)ge(x)は偶関数 : h(−x) = fe(−x)ge(−x) = fe(x)ge(x) = h(x)　　　　　　　　　　　　

h(x) = fo(x)go(x)は偶関数 : h(−x) = fo(−x)go(−x) = {−fo(x)}{−go(x)} = fo(x)go(x) = h(x)

h(x) = fe(x)go(x)は奇関数 : h(−x) = fe(−x)go(−x) = fe(x){−go(x)} = −fe(x)go(x) = −h(x)

(P3) fe(x), fo(x)をそれぞれ偶関数, 奇関数とする。このとき

∫ π

−πfe(x) dx = 2

∫ π

0fe(x) dx∫ π

−πfo(x) dx = 0

[フーリエ係数計算のコツ]

(コツ 1) 偶関数 fe(x)のフーリエ係数は, 計算しなくても bn = 0である。

bn =1

π

∫ π

−π

奇関数︷ ︸︸ ︷fe(x)︸ ︷︷ ︸偶関数

sin nx︸ ︷︷ ︸奇関数

dx = 0

an =1

π

∫ π

−π

偶関数︷ ︸︸ ︷fe(x)︸ ︷︷ ︸偶関数

cos nx︸ ︷︷ ︸偶関数

dx =2

π

∫ π

0fe(x) cos nx dx

(コツ 2) 奇関数 fo(x)のフーリエ係数は, 計算しなくても an = 0である。

an =1

π

∫ π

−π

奇関数︷ ︸︸ ︷fo(x)︸ ︷︷ ︸奇関数

cos nx︸ ︷︷ ︸偶関数

dx = 0

bn =1

π

∫ π

−π

偶関数︷ ︸︸ ︷fo(x)︸ ︷︷ ︸奇関数

sin nx︸ ︷︷ ︸奇関数

dx =2

π

∫ π

0fo(x) sin nx dx

(コツ 3) 関数 f(x)の偶関数部分を fe(x),奇関数部分を fo(x)とすれば,関数 f(x) = fe(x)+

fo(x)のフーリエ係数は

an =1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx

=1

π

∫ π

−π{fe(x) + fo(x)} cos nx dx

=1

π

∫ π

−πfe(x) cos nx dx

=2

π

∫ π

0fe(x) cos nx dx

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin nx dx

=1

π

∫ π

−π{fe(x) + fo(x)} sin nx dx

=1

π

∫ π

−πfo(x) sin nx dx

=2

π

∫ π

0fo(x) sin nx dx

で計算できる。

(コツ 4) 関数 f(x)と g(x)のフーリエ係数をそれぞれ, an(f), bn(f)と an(g), bn(g)とする。このとき, cと dを定数とすると関数 cf(x)+dg(x)のフーリエ係数は, can(f)+dan(g),

cbn(f) + dbn(g)となる。これをフーリエ係数の線形性という。

＜周期 2πの関数 f(x)のフーリエ級数展開の計算例 (テキストP.16[例 2](1))＞

周期 T = 2πの関数 f(x) =

{1 (0 ≤ x < π)

0 (π ≤ x < 2π)のフーリエ係数とフーリエ級数展開

(1) anを求める。

an =1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx

=1

π

{∫ π

0f(x) cos nx dx +

∫ 2π

πf(x) cos nx dx

}=

1

π

{∫ π

01· cos nx dx +

∫ 2π

π0· cos nx dx

}=

1

π

∫ π

0cos nx dx

=1

π

[sin nx

n

]π

0(n6=0の場合)

=1

nπ(sin nπ − sin 0) = 0

n = 0の場合は

a0 =1

π

∫ 2π

0f(x) dx =

1

π

{∫ π

01 dx +

∫ 2π

π0 dx

}=

1

π

∫ π

0dx =

1

π[x]π0 =

1

π[π − 0] = 1

(2) bnを求める。

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx

=1

π

{∫ π

0f(x) sin nx dx +

∫ 2π

πf(x) sin nx dx

}=

1

π

{∫ π

01· sin nx dx +

∫ 2π

π0· sin nx dx

}=

1

π

∫ π

0sin nx dx

=1

π

[−cos nx

n

]π

0

= − 1

nπ(cos nπ − cos 0)

= − 1

nπ{(−1)n − 1} =

{2

nπ(nが奇数)

0 (nが偶数)

(b2n−1 =

2

(2n − 1)π

)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

=1

2+

∞∑n=1

[1

π{1 − (−1)n}

]sin nx

n

=1

2+

2

π

(sin x +

1

3sin 3x +

1

5sin 5x + · · ·

)[

=1

2+

2

π

∞∑n=1

1

2n − 1sin (2n − 1)x

]

＜周期 2πの関数 f(x)のフーリエ級数展開の計算例 (テキストP.18[例 2](2))＞

周期 T = 2πの関数 f(x) = |x|(−π ≤ x < π) のフーリエ係数とフーリエ級数展開f(x)は偶関数であるので, (コツ 1)より, bn = 0(n = 1, 2, 3, · · ·)となることがわかる。したがって, an(n = 0, 1, 2, · · ·)のみを計算すればよい。

an =1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx

=2

π

∫ π

0f(x) cos nx dx

=2

π

∫ π

0x cos nx dx

=2

π

∫ π

0x

(sin nx

n

)′dx (n 6=0の場合)

=2

π

{[x

sin nx

n

]π

0− 1

n

∫ π

0sin nx dx

}

=2

nπ

[cos nx

n

]π

0

=2

n2π{(−1)n − 1} =

{0 (nが偶数)

− 4n2π

(nが奇数)

(a2n−1 = − 4

(2n − 1)2π

)

n = 0の場合は

a0 =1

π

∫ π

−πf(x) dx =

2

π

∫ π

0x dx =

2

π

[x2

2

]π

0

=2

π

(π2

2− 0

)= π

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

=π

2+

∞∑n=1

[2

π{(−1)n − 1}

]cos nx

n2

=π

2− 4

π

(cos x +

cos 3x

32+

cos 5x

52+ · · ·

)[

=π

2− 4

π

∞∑n=1

cos (2n − 1)x

(2n − 1)2

]

＜周期 2πの関数 f(x)のフーリエ級数展開の計算例 (テキストP.18[例 2](3))＞

周期 T = 2πの関数 f(x) = x(−π ≤ x < π) のフーリエ係数とフーリエ級数展開f(x)は奇関数であるので, (コツ 2)より, an = 0(n = 0, 1, 2, · · ·)となることがわかる。したがって, bn(n = 1, 2, 3, · · ·)のみを計算すればよい。

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin nx dx

=2

π

∫ π

0f(x) sin nx dx

=2

π

∫ π

0x sin nx dx

=2

π

∫ π

0x

(−cos nx

n

)′dx

=2

π

{[x

(− cos nx

n

)]π

0+

1

n

∫ π

0cos nx dx

}=

2

nπ

{−π(−1)n +

[sin nx

n

]π

0

}

=2

n(−1)n+1 =

{2n

(nが奇数)

− 2n

(nが偶数)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

=∞∑

n=1

2(−1)n+1 sin nx

n

= 2(sin x − sin 2x

2+

sin 3x

3− · · ·

)

フーリエ級数のポイント1

[フーリエ係数を求める 2つの計算式とフーリエ係数計算上の注意点]

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

an =

1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx (n = 0, 1, · · ·)

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·)

または

an =

1

π

∫ π

−πf(x) cos nx dx (n = 0, 1, · · ·)

bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·)

周期関数 f(x) = x (0 ≤ x < 2π)のグラフを描くと次のようになる。

　　　　　　　　 -

6

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��

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−π 0 π 2π x

π

2π

f(x)

したがって, 周期関数 f(x) = x (0 ≤ x < 2π)のフーリエ係数は

© bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx =

1

π

∫ 2π

0x sin nx dx

で計算する。これを

× bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin nx dx =

1

π

∫ π

−πx sin nx dx

として計算するのは間違いである。なぜなら, これは周期関数 f(x) = x (−π ≤ x < π)のフーリエ係数であり, f(x) = x (0 ≤ x < 2π)のフーリエ係数ではない。周期関数 f(x) =

x (−π ≤ x < π)のグラフを次に示す。ただし, 関数値にしたがい積分区間を分割し bn =1

π

∫ π

−πf(x) sin nx dx =

1

π

∫ 0

−π(x + 2π) sin nx dx +

1

π

∫ π

0x sin nx dxと計算するのは正しい。

　　　　　　　　

-

6

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��

��

−2π −π 0 π x

−π

π

f(x)

1.5 フーリエ正弦展開とフーリエ余弦展開

[フーリエ余弦展開]

f(x)を 0 ≤ x ≤ π上で定義された関数とする。まず, 次式により−π ≤ x ≤ π上の偶関数へ拡張する。

fe(x) =

{f(−x) (−π ≤ x ≤ 0)のときf(x) (0 ≤ x ≤ π)のとき

(1.24)

さらに, 得られた関数を−∞ ≤ x ≤ ∞上の周期 2πの周期関数へ周期的拡張を行う。

f̃e(x + 2nπ) = fe(x) ただし − π ≤ x < π, n = · · · ,−1, 0, 1, · · · (1.25)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cos nx, an =2

π

∫ π

0f(x) cos nx dx (n = 0, 1, 2, · · ·) (1.26)

[フーリエ正弦展開]

f(x)を 0 ≤ x ≤ π上で定義された関数とする。まず, 次式により−π ≤ x ≤ π上の奇関数へ拡張する。

fo(x) =

{−f(−x) (−π ≤ x ≤ 0)のときf(x) (0 ≤ x ≤ π)のとき

(1.27)

さらに, 得られた関数を−∞ ≤ x ≤ ∞上の周期 2πの周期関数へ周期的拡張を行う。

f̃o(x + 2nπ) = fo(x) ただし − π ≤ x < π, n = · · · ,−1, 0, 1, · · · (1.28)

f(x) =∞∑

n=1

bn sin nx, bn =2

π

∫ π

0f(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·) (1.29)

関数 f(x)が 0≤x < π(半区間)で定義

? ?偶関数 fe(x)として−π < x < πへ拡張 奇関数 fo(x)として−π < x < πへ拡張

? ?

−∞ < x < ∞上の周期関数 f̃e(x)へ拡張 −∞ < x < ∞上の周期関数 f̃o(x)へ拡張

? ?フーリエ余弦展開 (コツ 1) フーリエ正弦展開 (コツ 2)

※不連続点が生じないように滑らかに拡張すると展開後の関数の性質 (収束速度など)が良くなる。

1.6 一般の周期関数 (周期 2L)に対するフーリエ級数

[任意の周期 (周期 2L)をもつ周期関数に対するフーリエ級数]

h(t) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nt + bn sin nt) t : 0～2π (1.30)

x = Lπtとおけば

t 0 ～ 2π

x 0 ～ 2L

の関係が成り立つ。したがって, 周期 2πの変数 tから周期 2Lの変数 xへスケール変換 (変数置換)を行なうには, f(x)を周期 2L(L > 0)の関数とし, t = π

Lxを上式に代入して

f(x) = h(π

Lx) =

a0

2+

∞∑n=1

(an cosnπ

Lx + bn sin

nπ

Lx) x : 0～2L (1.31)

と求めることができる。フーリエ係数 anは dtdx

= πL(dt = π

Ldx)より

an =1

π

∫ π

−πh(t) cos nt dt

=1

π

∫ L

−Lh(

π

Lx) cos

nπ

Lx

π

Ldx

=1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπ

Lx dx (1.32)

となる。同様に bnは

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπ

Lx dx (1.33)

[任意の周期 (周期 2L)をもつ周期関数に対するフーリエ正弦展開とフーリエ余弦展開]

f(x)を 0 ≤ x ≤ L上で定義された関数とする。フーリエ余弦展開

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπ

Lx (bn = 0) (1.34)

an =2

L

∫ L

0f(x) cos

nπ

Lx dx (1.35)

フーリエ正弦展開

f(x) =∞∑

n=1

bn sinnπ

Lx (an = 0) (1.36)

bn =2

L

∫ L

0f(x) sin

nπ

Lx dx (1.37)

＜周期 2Lの関数 f(x)のフーリエ級数展開の計算例＞

周期 T = 2Lの関数 f(x) =

{1 (0 ≤ x < L)

0 (L ≤ x < 2L)のフーリエ係数とフーリエ級数展開

(1) anを求める。

an =1

L

∫ 2L

0f(x) cos

nπ

Lx dx

=1

L

{∫ L

0f(x) cos

nπ

Lx dx +

∫ 2L

Lf(x) cos

nπ

Lx dx

}

=1

L

{∫ L

01· cos

nπ

Lx dx +

∫ 2L

L0· cos

nπ

Lx dx

}

=1

L

∫ L

0cos

nπ

Lx dx

=1

L

[L

nπsin

nπ

Lx

]L

0(n 6=0の場合)

=1

nπ(sin nπ − sin 0) = 0

n = 0の場合は

a0 =1

L

∫ 2L

0f(x) dx =

1

L

{∫ L

01 dx +

∫ 2L

L0 dx

}=

1

L

∫ L

0dx =

1

L[x]L0 =

1

L[L − 0] = 1

(2) bnを求める。

bn =1

L

∫ 2L

0f(x) sin

nπ

Lx dx

=1

L

{∫ L

0f(x) sin

nπ

Lx dx +

∫ 2L

Lf(x) sin

nπ

Lx dx

}

=1

L

{∫ L

01· sin nπ

Lx dx +

∫ 2L

L0· sin nπ

Lx dx

}

=1

L

∫ L

0sin

nπ

Lx dx

=1

L

[− L

nπcos

nπ

Lx

]L

0

= − 1

nπ(cos nπ − cos 0)

= − 1

nπ{(−1)n − 1} =

{2

nπ(nが奇数)

0 (nが偶数)

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnπ

Lx + bn sin

nπ

Lx)

=1

2+

∞∑n=1

[1

nπ{1 − (−1)n}

]sin

nπ

Lx

=1

2+

2

π

(sin

π

Lx +

1

3sin

3π

Lx +

1

5sin

5π

Lx + · · ·

)[

=1

2+

2

π

∞∑n=1

1

2n − 1sin

(2n − 1)π

Lx

]

○ L = π(周期 2L = 2π)とおけば

f(x) =1

2+

2

π

(sin x +

1

3sin 3x +

1

5sin 5x + · · ·

)となり, 周期 2πの場合のテキスト P.17[例 2](1)の関数 f(x)の解と一致する。

○ L = 1(周期 2L = 2)とおけば

f(x) =1

2+

2

π

(sin πx +

1

3sin 3πx +

1

5sin 5πx + · · ·

)

となり, 周期 T = 2の関数 f(x) =

{1 (0 ≤ x < 1)

0 (1 ≤ x < 2)のフーリエ級数展開が得られる。

フーリエ級数のポイント2

[周期 2πの周期関数 f(x)のフーリエ級数展開とフーリエ係数]

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

an =

1

π

∫ 2π

0f(x) cos nx dx (n = 0, 1, 2, · · ·)

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·)

区間−π ≤ x ≤ πで偶関数 f(x)のフーリエ余弦級数展開

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cos nx, an =2

π

∫ π

0f(x) cos nx dx (n = 0, 1, 2, · · ·)

区間−π ≤ x ≤ πで奇関数 f(x)のフーリエ正弦級数展開

f(x) =∞∑

n=1

bn sin nx, bn =2

π

∫ π

0f(x) sin nx dx (n = 1, 2, · · ·)

[周期 2Lの周期関数 f(x)のフーリエ級数展開とフーリエ係数]

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cosnπx

L+ bn sin

nπx

L)

an =

1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, 1, 2, · · ·)

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, 2, · · ·)

区間−L ≤ x ≤ Lで偶関数 f(x)のフーリエ余弦級数展開

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

an cosnπx

L, an =

2

L

∫ L

0f(x) cos

nπx

Ldx (n = 0, 1, 2, · · ·)

区間−L ≤ x ≤ Lで奇関数 f(x)のフーリエ正弦級数展開

f(x) =∞∑

n=1

bn sinnπx

L, bn =

2

L

∫ L

0f(x) sin

nπx

Ldx (n = 1, 2, · · ·)

x← πLx, π←Lの置き換え

?L←πの置き換え6

1.7 フーリエ級数の収束性に関する定理とその応用

[区分的に連続]

区間 a ≤ x ≤ bを a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = bなる有限個の点 x1, x2, · · · , xn−1で有限個の小区間に分けたとき, 各区間内で連続で, かつ, 各区間の端点で右側からの極限値

lime→0

f(xi + e) = f(xi + 0) (e > 0, i = 0, 1, 2, · · · , n)

と左側からの極限値

lime→0

f(xi − e) = f(xi − 0) (e > 0, i = 0, 1, 2, · · · , n)

の両者が存在して有限の値をとるとき, f(x)は区間 a ≤ x ≤ bで区分的に連続であるという。このような不連続点を第 1種の不連続点という。これに対して, 片側極限の一方が存在しない場合を第 2種の不連続点 (真性不連続点)という。※ 不連続点 xiでの関数の値は必ずしも与えられている必要はない。

[区分的に連続な関数の積分]

不連続点 xi, xi+1での関数の値が与えられていない場合の関数 f(x)の各区間における積分は次式で計算できる。

lime1,e2→0

∫ xi+1−e2

xi+e1

f(x) dx =∫ xi+1

xi

f∗i (x) dx

ここで, f∗i (x)は, 各区間の端点で不連続点をもつ f(x)を区間 [xi, xi+1]で連続となるように

修正した関数であり, 次のようになる。

f∗i (x) =

f(xi + 0) (x = xi)のときf(x) (xi < x < xi+1)のときf(xi+1 − 0) (x = xi+1)のとき

したがって, 区分的に連続な関数 f(x)の積分値は各区間における積分値の和として∫ b

af(x) dx =

∫ x1

x0

f∗0 (x) dx +

∫ x2

x1

f∗1 (x) dx + · · · +

∫ xn

xn−1

f∗n−1(x) dx

で計算できる。※ 「連続関数」と同様に, 不連続点が有限個で, かつ右側極限値と左側極限値が有限の値として存在する「区分的に連続な関数」も積分可能ということである。すなわち, 区分的に連続な関数も有界関数でリーマン積分可能な関数となっている。

[区分的に滑らか]

f(x)とその一階の導関数 f ′(x)がともに区間 a ≤ x ≤ bで区分的に連続な場合, f(x)を区分的に滑らかな関数という。

[ディリクレ条件]

f(x)が周期 2πの周期関数で区分的に滑らかなとき, f(x)は「ディリクレ条件を満たす」という。

[フーリエ級数の収束性に関する定理]

ディリクレ条件を満たす関数 f(x)のフーリエ級数展開は−π ≤ x ≤ π上のすべての点で収束し, 関数 f(x)の連続な点 xでは f(x)に, 不連続な点 xでは

f(x + 0) + f(x − 0)

2

に収束する。

[フーリエ級数の近似多項式への応用 (πの近似計算式)]

テキスト P.17[例 2](2)の結果より, 関数 f(x) = |x|(−π ≤ x < π)のフーリエ級数展開は

f(x) =a0

2+

∞∑n=1

(an cos nx + bn sin nx)

=π

2−

∞∑n=1

[2

π{(−1)n − 1}

]cos nx

n2

=π

2− 4

π

(cos x +

cos 3x

32+

cos 5x

52+ · · ·

)[ =

π

2− 4

π

∞∑n=1

cos (2n − 1)x

(2n − 1)2]

となる。したがって, 関数 f(x)は区間−π ≤ x < πにおいてすべての点で収束し, 等式

|x| =π

2− 4

π

(cos x +

cos 3x

32+

cos 5x

52+ · · ·

)が成り立つ。ここで, x = 0とおくと, 左辺は f(0) = |0| = 0, 右辺は, cos 0 = 1を代入して,

0 =π

2− 4

π

(1 +

1

32+

1

52+ · · ·

)が得られる。右辺の第 2項を左辺に移項し, 両辺を π

4で割ると

1 +1

32+

1

52+ · · · + 1

(2n − 1)2+ · · · =

π2

8

となり, πの計算に関連した近似多項式が導出できる。

＜参考＞フーリエ級数展開により導出できる他の近似多項式についてはテキストP.29問題1-6の 2を参照