Licence de Mathématiques Université de Cergy PontoiseTD de probabilités 2001/2002

F1 : Espace de probabilité et analyse combinatoire

Exercice 1 : Combien de nombres distinctes de 4 chiffres peut-on former en n’utilisant que les chiffres2 ;4 ;5 ;7 ;8 ?

Exercice 2: Dans un jeu de 32 cartes, combien y a-t-il de façons de choisir trois cartes qui soient :a) des as ?b) de même hauteur ?c) trois coeurs ?d) de hauteurs deux à deux différentes ?

Exercice 3: Combien y a-t-il d’applications strictement croissantes de1; 2; ...n dans 1 ;2...m ?

Exercice 4: Combien y a-t-il d’applications surjectives de1; 2; ...n + 1 dans 1 ;2...n ?

Exercice 5: SoitE un ensemble de cardinaln.a) Déterminer le nombre de couples(A,B) de parties deE telles queA ∩B = ∅.b) Déterminer le nombre de couples(A,B) de parties deE telles queA ∪B = E.c) Déterminer le nombre de triplés(A,B, C) de parties deE telles queA ∪B ∪ C = E.

Exercice 6: On lance 4 dés, et on suppose les résultats possibles équiprobables.1) Décrire un modèle probabiliste associé à cette épreuve.2) Calculer la probabilité pour que le même numéro apparaisse sur les 4 dés.3) Calculer la probabilité pour que les numéros qui apparaissent sur les dés soient distincts.

Exercice 7: SoitP une probabilité sur un espaceΩ fini non vide etA, B, C trois événements deP (Ω). Onsuppose queP (A) = 0, 6, P (A ∩B) = 0, 2, P (B ∩ C) = 0, 1 P (A ∩ C) = 0, 1 P (A ∩B ∩ C) = 0, 05.1) Déterminer la probabilité des évènements :E1 = A ∪ (B ∩ C), E2 = A ∩ (B ∪ C).2) Avec en outreP (B) = 0, 4, calculer la probabilité pour que niA ni B ne se produisent.

Exercice 8: Dans une population den personnes, quelle est la probabilité pour que 2 personnes soient néesle même jour ?

Exercice 9: 1) Une urne contientN boules numérotées de 1 àN . On tire successivement sans remisen (1 ≤ n ≤ N) boules de l’urne. Quel est l’ensembleΩ des résultats possibles ? Calculer card(Ω).Désormais, on suppose que les résultats possibles sont équiprobables.2) Les boules numérotées de1 àM sont rouges (M < N ) et les boules numérotées deM + 1 àN sontblanches. SoitAk l’événement "la k ème boule tirée est rouge".a) CalculerP (Ak)b) CalculerP (Ak ∩Al).

Exercice 10: Montrer qu’il y a n!n1!n2!...nk! possibilités différentes de répartirn boules dansk urnes de sorte

que lai-ième urne contienne exactementni boules pour touti ∈ 1, ..., k (n = n1 + n2 + ... + nk). Endéduire la formule :

(a1 + a2 + ... + ak)n =∑

n1+n2+...nk=n

n!n1!n2!...nk!

an11 an2

2 ...ankk

qui est la généralisation de la formule du binôme.

Exercice 11: Étant donnéΩ etA une de ses parties, on note1A l’indicatrice deA. Vérifier les assertionssuivantes :(1) A ⊂ B ⇔ 1A ≤ 1B

1

(2) 1(A∩B) = 1A.1B

(3) 1(A∪B) = 1A + 1B − 1A∩B

Exercice 12: (Formule de Poincaré)SoientA1, A2, ..., An des événements d’un espace de probabilité(Ω,A,P).1) Montrer que

1∪ni=1Ai = 1−Πn

i=1(1− 1Ai).

En déduire la "formule de Poincaré" :

P (∪ni=1Ai) =

n∑k=1

(−1)k−1∑

1≤i1<i2<...<ik≤n

P(Ai1 ∩ ... ∩Aik

).

2) Un facteur répartit au hasardn factures dansn boites aux lettres, une par boite. Calculer la probabilitép(n)qu’une facture au moins parvienne à son destinataire etlimn→+∞ p(n).

Exercice 13: On dispose de 3 urnes et de 3 boules. On répartit au hasard les boules dans les urnes.Modéliser les cas suivants à l’aide d’un ensembleω et d’une probabilitéP surω :1) Les urnes et les boules sont distinguables (discernables).2) Les urnes sont distinguables mais non les boules.3) Les boules sont distinguables mais non les urnes.4) Les boules et les urnes sont indistinguables.

Exercice 14: Un lot de 120 vis contient 20 vis défectueuses. On choisit au hasard (équiprobabilité) sansremise 6 vis.I)- Calculer la probabilité d’obtenir :1) Une vis exactement défectueuse 2) 6 vis correctes 3) Une vis au moins bonne 4)deux vis au moins bonnes.II)- Mêmes questions lorsque le tirage s’effectue avec remise.

Exercice 15: Soient(ω, P ) un espace de probabilité, etA etB deux événements de cet espace, notonsα, β,γ, etδ les probabilités des événementsA ∩B, A ∩B, A ∩B, etA ∩B.a) Calculerα + β + γ + δ.b) Montrer queP (A ∩B)− P (A)P (B) = αδ − βγc) Montrer que|P (A ∩B)− P (A)P (B)| ≤ 1

4 .d) Donner des exemples d’égalités.

Exercice 16: On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre àn personnes.Quelle est la probabilité que deux amis soient distants der places (c’est à dire séparés parr − 1 personnes).On résoudra l’exercice en utilisant trois modélisations différentes :a)Ω = (k1, k2)|k1 6= k2b)Ω = k1, k2|k1 6= k2c) Ω = (k1, k2, ..., kn)|∀i, j, i 6= j =⇒ ki 6= kj

Exercice 17: Un joueur de poker reçoit une "main" de 5 cartes d’un jeu de 32 cartes. Quelle est laprobabilité qu’une main contienne :1)Une seule paire ? 2) Deux paires ? 3) Un brelan ? 4) Un carré ? 5) Un full ?

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F2 : Conditionnement et indépendance

Exercice 1: On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que l’onobtienne :1) un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.2) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.3) un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6.4) au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10.

Exercice 2: On jette 2 fois un même dé. SoientA, B etC les évènements suivants :a)A =la sommes des points obtenus vaut 6,B =On obtient 4 au premier jet,C =la sommes despoints vaut 7.b) A =le 1 er jet est impair,B =le 2 ème jet est impair,C =la somme des points est impaire.Dans chacun des cas a) et b) dire si les évènementsA, B et C sonts indépendants 2 à 2, puis s’ils sontindépendants ("dans leur ensemble").

Exercice 3: On suppose que dans une région la proportion de moutons ayant une certaine maladie est de 1%Si le mouton n’est pas atteint, il a 9 chances sur 10 d’être négatif à un test T. S’il est atteint, il a 8 chances sur10 d’être positif à ce test.Quelle est la probabilité pour qu’un mouton pris au hasard et ayant un test positif soit atteint par cette maladie ?

Exercice 4: On cherche un parapluie qui se trouve dans un immeuble de 7 étages (rdc compris) avec laprobabilitép (p ∈ [0, 1]). On a exploré en vain les 6 premiers niveaux, quelle est la probabilité que leparapluie se trouve au 7 ème étage ?(On admettra qu’il n y a pas à priori d’étage privilégié !)

Exercice 5: Le dépistage systématique d’une maladie est effectué sur une population dont 0.1% desindividus est malade, le test utilisé donne 95% de résultats positifs pour les personnes atteintes par lamaladie, et 1% de résultat positifs pour les personnes non atteintes.Quelle est la probabilité conditionnelle qu’une personne prise au hasard soit atteinte sachant que le test adonné un résultat positif ? soit indemne sachant que le test a donné un résultat négatif ?

Exercice 6: On admet que dans une famille les sexes des enfants sont indépendants les uns des autres et quechaque enfant a la probabilité12 d’être un garçon et la probabilité12 d’être une fille.a) Une famille a deux enfants dont l’un au moins est un garçon . Quelle est la probabilité pour que les deuxenfants soient des garçons ?b) Une famille a deux enfants. L’aîné est un garçon, quelle est la probabilité pour que les deux enfants soientdes garçons ?

Exercice 7: On effectue une suite de parties de pile ou face. Soitun la probabilité de ne pas avoir trois foisface à la suite aux cours desn premières parties. On au1 = u2 = 1 etu0 = 1.a) En conditionnant par le résultat des trois premières pièces, montrer que l’on a la relation de récurrencesuivante :

un =12un−1 +

14un−2 +

18un−3

b) A l’aide de votre calculatrice donner une valeur approchée deu50.c)En utilisant une méthode analogue montrer que la probabilitévn d’avoir 3 faces consécutifs ou 3 pilesconsécutifs parmi les n premières parties vérifie la relation de récurrence

vn =14

+12vn−1 +

14vn−2

1

d) En s’inspirant de la même méthode et en utilisant une calculatrice montrer que la probabilité d’avoir sur100 jets de pièces au moins 5 piles ou 5 faces consécutifs et de l’ordre de 97%.

Exercice 8: On lance un dé régulier, puis on effectue deux tirages d’une boule avec remise :- dans l’urneU contenant 9 boules blanches et 1 noire, si le dé amène l’as,- dans l’urneV contenant 3 boules blanches et 7 noires, si le dé n’amène pas l’as.On supposera qu’il existe un modèle probabiliste à cette expérience aléatoire(Ω, P et des événementsU, V,Bk etNk correspondant respectivement à : on tire dans l’urneU , on tire dans l’urneV , la k ième bouletirée est blanche et lak ième boule tirée est noire.a) Les événementsB1 etN2 sont-ils indépendants ? sont-ils indépendants conditionnellement àU ?conditionnellement àV ?b) On obtient une boule blanche, puis une noire ; de quelle urne est-il plus probable qu’on les ait tirées ?

Exercice 9: Une machine à sous propose le jeu suivant, il y a trois boutons l’un des trois boutons est choisipar la machine comme étant la cible. Le joueur appuie sur l’un des boutons.S’il a appuyé sur la cible, la machine fait clignoter l’un des deux autres boutons choisi aléatoirement.Sinon la machine fait clignoter le bouton qui n’est ni la cible ni le bouton appuyé.Le but est de trouver la cible au deuxième essai. Expliquer pourquoi Yvan qui est un fin mathématicien, appuiesur un bouton, regarde le bouton qui clignote et choisit au deuxième essai le troisième bouton.

Exercice 10: Un fumeur décide de ne plus fumer ... on admet que s’il ne fume pas un jour donné, laprobabilité qu’il ne fume pas le lendemain vaut 0,9. Mais s’il succombe un jour donné, la probabilité qu’il nefume pas le lendemain est 0,2.Calculer la probabilitépn que la personne ne fume pas len ème jour, en fonction dep1.

Exercice 11: On s’intéresse à la transmission d’une information binaire, c’est à dire ne pouvant prendre quedeux valeurs. On admet que le procédé de transmission directe entre deux individusA etB est tel que,lorsqueA émet une valeur de l’information à destination deB, ce dernier reçoit la valeur émise parA avec laprobabilitép, et donc l’autre valeur avec la probabilitéq = 1− p, on suppose que0 < p < 1. On considèredes individus successifsi0, i1, ..., in avecn ∈ N. L’information émise pari0 est transmise ài1, qui transmetla valeur reçue ài2, et ainsi de suite jusqu’àin.Entre deux individus,ik et ik+1, la transmission de l’information suit la loi décrite plus haut. On notepk laprobabilité que la valeur de l’information reçue parik soit identique à celle émise pari0, et on posep0 = 1.a) Exprimerpk+1 en fonction depk.b) On rappelle que pour étudier une suite arithmético-géométrique du genreun+1 = aun + b on posevn = un + α avecα tel que(vn) soit une suite géométrique. En déduire une expression depn en fonction den et dep.c) Déterminerlimk→∞ pk

d) Déterminer unp tel quep100 > 99, 9%

Exercice 12: Une puce se déplace entre 3 pointsA,B etC. Au départ elle est enA. A chaque étape, ellequitte sa position et gagne indifférement l’un des deux autres points. On noteαn, βn etγn les probabilitésqu’elle se trouve respectivement enA,B etC à l’issue de laneme étape (on poseα0 = 1 etβ0 = γ0 = 0).a) Calculerα1, β1, γ1 etα2, β2, γ2.b) Exprimerαn+1, βn+1, γn+1 en fonction deαn, βn, γn, puisαn, βn, γn en fonction den.

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F3 : Variables aléatoires discrètes, Fonctions génératrices

Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans lesremettre jusqu’à ce qu’il ne reste que des boules d’une seule couleur dans l’urne. Comment peut-on modéliserle nombre de tirages nécessaires à l’aide d’une variable aléatoire ?

Exercice 2: SoitX une v.a. suivant une loi de Poisson de paramètreλ > 0 (∀k ∈ N P (X = k) = e−λ λk

k! ).

CalculerE(X) puisE(

11+X

).

Exercice 3: On lance deux fois de suite un dé. SoientX etY respectivement le premier et le secondnuméro obtenus et soitU = minX, Y .a) Donner la loi du couple(X, Y ), les lois deX et deY . Les v.a.X etY sont-elles indépendantes ?b) Déterminer la loi du couple(X, U) et la loi deU . Les v.a.X etU sont-elles indépendantes ?

Exercice 4: On jette deux dés, un rouge et un noir, et l’on regarde la somme des deux dés.a) Modéliser le résultat des deux dés à l’aide d’un ensembleΩ et d’une probabilitéP surΩ, puis modéliser lasomme à l’aide d’une variable aléatoireS définie surΩ.b) Décrire l’événementS = 4, calculer sa probabilité.c) Calculer l’espérance deS :i) directement à l’aide de la définitionE(X) =

∫Ω XdP .

ii) à l’aide de la formuleE(X) =∫

R xdPX(x).On modélise différemment cette même expérience à l’aide de deux variables aléatoiresX etY représentantrespectivement le résultat du dé rouge et du dé noir. On ne cherche pas à définirΩ.a) Comment pouvons nous choisir la loi du couple(X, Y ) ?b) Déterminer les lois deX etY ? sont-elles indépendantes ?c) SoitU = minX, Y , déterminer la loi du couple(X, U) puis la loi deU . Les variables aléatoiresX etUsont-elles indépendantes ?

Exercice 5: SoitT une v.a. entière définie sur(Ω,A, P ). On suppose que∀n ∈ N , P (T > n) 6= 0 et∀(p, n) ∈ N2, P (T ≥ n + p|T ≥ n) = P (T ≥ p). Montrer queT suit une loi géométrique (C’est la seuleloi surN qui possède cette propriété dite "propriété de non vieillissement").Donner un exemple d’expérience modélisée par une telle loi.

Exercice 6: SoientX etY deux v.a. indépendantes suivant la même loi :

∀k ∈ N, P (X = k) = P (Y = k) = pqk (q = 1− p, p ∈]0, 1[).

On poseU = max(X, Y ) etV = min(X, Y ).1) CalculerP (U ≤ k) pourk ∈ N . En déduire la loi deU .2) En s’inspirant de ce qui précède déterminer la loi deV .

Exercice 7: Soit X une v.a. à valeurs dansN. Montrer queE(X) =∑+∞

k=1 P (X ≥ k). En déduire l’espéranced’une loi géomètrique de paramètrea, 0 < a < 1.

Exercice 8: On appelleSn le nombre de piles obtenus dans un jeu de pile ou face où la probabilité d’obtenirpile estp ∈]0, 1[. Soitνr = infn ≥ 1 : Sn = r le nombre aléatoire de parties nécessaires pour obtenirrfois pile.a) Déterminer la loi deν1.b) Soitr ∈ N , r ≥ 2. Déterminer la loi deνr en remarquant que , pourn ≥ r, ν = n = le n-ième tirage donne pile et parmi lesn− 1 premiers tirages il y ar − 1 piles etn− r faces

1

Exercice 9: Soitp ∈]0, 1[. SoientX1, X2, ..., Xn, ... une suite de v.a. indépendantes et de même loi tellesqueP (Xn = 1) = p, P (Xn = 0) = 1− p (loi de Bernouilli).SoientYn = XnXn+1, Un = Y1 + ... + Yn.1) Quelle est la loi deYn ?2) Pour quels couples(n, m) les v.a.Yn etYm sont-elles indépendantes ?3) Calculer l’espérance et la variance deUn.

4) Montrer que∀ε > 0, on alimn→+∞ P(| Un

n − p2 |≥ ε)

= 0.

Exercice 10: 1) SoitX1, ..., Xn, ...une famille indépendante de v.a. entières définies sur(Ω,A, P ) de mêmeloi de Bernouilli de paramètrep ∈]0, 1[.Déterminer la loi de la v.a.Sn =

∑ni=1 Xi (n ≥ 1)

a) En utilisant la fonction génératrice.b) Par un calcul direct.

2) SoientX etY deux v.a. indépendantes suivant les lois binomialesB(n1, p) etB(n2, p). Calculer lafonction génératrice puis la loi deX + Y .Calculer la loi de(X, X + Y ).-Donner un exemple d’expérience modélisée parSn.

Exercice 11: SoitX une v.a. suivant la loi géomêtrique de paramètrep. On considère la v.a.Y définie par :

Y (ω) = 0 si X(ω) est impair et12X(ω) sinon

Déterminer la loi deY , son espérance et sa variance.

Exercice 12: SoientX1, ..., Xn des v.a. indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètres respectifsλi (λi > 0, i = 1, ...n).Calculer la fonction génératrice deSn = X1 + ... + Xn et identifier la loi de cette v.a.b) Déterminer la loi de2X1, puis de2X1 + X2 lorsqueλ1 = λ2 = λ.

Exercice 13: SoientX1, ..., Xn des v.a. indépendantes de même loi géomètrique de paramètrea. Déterminerla fonction génératrice deSn = X1 + ... + Xn.

Exercice 14: Soit (Xn)n∈N∗ une suite de v.a. positives , indépendantes, de même loi et d’éspérancem = E(X1) finie. SoitN une v.a. entière positive indépendante desXn d’éspéranceM = E(N) finie.1) SoitSn =

∑ni=1 Xi etSN la v.a. définie par :

SN (ω) = Sn(ω) si N(ω) = n > 0 et SN (ω) = 0 si N(ω) = 0.

CalculerE(SN ) en fonction dem et deM (sans utiliser les fonctions génératrices car lesXi ne sont pas àpriori à valeurs entières).

2) On suppose0 ≤ m ≤ 1. On pose

Z = 1 si N = 0Z = X1X2...Xn si N = n ≥ 1

CalculerE(Z) en fonction de

m et deGN la fonction génératrice deN .

Exercice 15: SoitX1, X2, ...Xn, .... une famille indépendante de v.a. entières définies sur(Ω,A, P ). Onsuppose que les v.a.Xi suivent la loi de Bernouilli de paramètrep ∈]0, 1[. SoitSn =

∑ni=1 Xi.

SoitN une v.a. entière définie sur(Ω,A, P ) indépendante desXi etSN la v.a. définie comme dansl’exercice précédent.a) On suppose queN suit une loi géomètrique de paramètrea ∈]0, 1[. Trouver la loi deSN .b) Même question siN suit une loi de Poisson de paramètreλ (λ > 0).

Exercice 16: SoitX etY deux VA à valeurs entières définies sur un même espace probabilisé, montrer quesi X etY ont même fonction génératrice alors elles ont même loi.

Exercice 17: Montrer que l’on ne peut pas piper deux dés à 6 faces de sorte que la somme des points soitéquirépartie sur2, 3, ....12, on pourra étudier les racines de différentes fonctions caractéristiques.

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F4 : Variables (vecteurs) aléatoires absolument continues

Exercice 1: SoitX une variable aléatoire, de fonction de répartitionFX .a) Montrer que siFX est continue alorsP (X = a) = 0 pour tout réela.b) Montrer que siFX est continue et dérivable surA, avecR−A de cardinal fini, alorsf telle quef |A = F ′

X

etF |A arbitraire est une densité de probabilité pour la variable aléatoireX.

Exercice 2: SoitF : R → R définie par

F (x) =

0 si x ≤ 01− e−

x2 (1 + x

2 ) si x > 0

a) Montrer queF est la fonction de répartition d’une loi de probabilité dont on déterminera la densité si elleexiste.b) SiX est une variable aléatoire de fonction de répartitionF , calculer la probabilitéP (−2 < X < 3)

Exercice 3: Soit X une v.a.r. de loi uniforme sur[1, 3] (de densité de probabilitéf(t) = 1211[1,3](t)). Dé-

terminer la fonction de répartition de la v.a.Y = minX, a (a ∈ [1, 3]). Montrer que la loi deY est unecombinaison linéaire d’une loi à densité et d’une mesure de dirac.

Exercice 4: SoientX1 et X2 deux v.a. indépendantes de même loi uniforme sur[0, 1]. Déterminer les loisdes v.a.U = maxX1, X2 etV = minX1, X2 par leurs fonctions de répartition et en déduire les densitésde probabilité correspondantes. Que vautE(| X1 −X2 |) ?

Exercice 5: Déterminer la loi du minimum den v.a. indépendantes suivant des lois exponentielles de para-mètres respectifsλi pour i = 1, ..., n.

Exercice 6: SoientX etY deux v.a. indépendantes telles queX ∼ N (0, 1) etP (Y = −1) = P (Y = +1) = 1

2 .1) Quelle est la loi deZ = XY ?2) X etZ sont-elles indépendantes ?3) SoitU = X + Y . Quelle est la loi deU ?

Exercice 7: SoientX etY deux v.a.r. indépendantes suivant la loi de Cauchy de densité

f(x) =1π

11 + x2

.

1) Z = αX. Quelle est la loi deZ ? (α > 0).2) S = X + Y . Quelle est la loi deS ? (Comparer la à celle de2X).

Exercice 8: Soit (X, Y ) un couple de v.a. suivant la loi uniforme sur le disque unité.1) Quelles sont les lois deX et deY ?2) X etY sont-elles indépendantes ?

Exercice 9: Soit X une v.a.r. de fonction de répartitionF (x) = P (X ≤ x). SoitY = F (X). Quelle est laloi deY ? (On pourra supposerF continue, strictement croissante).

Exercice 10: SoitA le domaine du carré unité défini par

A = (x, y) ∈ [0, 1]2 : x ≥ y +12

oux ≤ y ≤ x +12.

a) Déterminer∫ ∫

1A(x, y) dxdy

1

b) Soit(X, Y ) un couple de v.a. de densité uniforme surA. Déterminer les lois marginales deX et deY .c) CalculerCov(X, Y ).

Exercice 11: SoitL une v.a.r. positive admettant une densité de probabilitéf etX une v.a.r. de loi uniformesur[0, 1] indépendante deL. On définit deux v.a.r.L1 etL2 parL1 = XL etL2 = (1−X)L (cela représentepar exemple la rupture aléatoire en 2 morceaux de longueursL1 etL2, d’une certaine moléculaire delongueur initiale (aléatoire)L.a) Déterminer la loi du couple(L1, L2)ainsi que les lois deL1 etL2.b) Que peut-on dire du couple(L1, L2) lorsquef(y) = λ2ye−λy11[0,+∞[(y) (λ > 0) ?c) Déterminer la loi deZ = minL1, L2.

Exercice 12: Soit (X1, X2) un couple de v.a.r. admettant la densité de probabilité

f(x1, x2) =1

2π√

1− ρ2exp−(

12(1− ρ2)

(x21 − 2ρx1x2 + x2

2)). oùρ ∈]0, 1[.

a) Vérifier quef est une densité de probabilité surR2 et trouver les densités marginales deX1 etX2. Cesv.a.r. sont-elles indépendantes ?b) On poseR =

√X2

1 + X22 etΦ ∈ [0, 2π] défini par :cos Φ = X1

R et sinΦ = X2R . Déterminer la densité du

couple(R,Φ).

Exercice 13: SoientX1, X2, ..., Xn des v.a.r. indépendantes de même loi exponentielle de paramètreλ(λ > 0). On pose

S0 = 0, Sk = X1 + X2 + ... + Xk.

Calculer la loi de (S1, S2, ..., Sn).

Exercice 14: On suppose que la durée, en minutes, d’attente entre deux appels consécutifs à une ligned’assistance informatique suit une loi exponentielle de paramètre 1 : Sa densité est

f(x) =

0 si x ≤ 0e−x si x > 0

a)Quelle est la probabilité que l’attente entre deux appels soit comprise entre 1 et 2 minutes ? soit inférieur à10 minutes ? soit supérieur à 2 minutes ?b)Déterminerλ tel que la probabilité que l’attente soit supérieur àλ soit égale à la probabilité que l’attentesoit inférieur àλ.c) Déterminer l’attente moyenne entre deux appels.

Exercice 15: Soit Y une variable aléatoire normale de paramètre (3,4), sachant que siX est une variablenormale centrée réduite etΦ sa fonction de répartition on a les valeurs approchées suivantes :φ(2) ' 0, 977etΦ(1) ' 0, 841. calculerP (Y < 7), P (5 < Y < 7), P (Y < −1) etP (|Y | < 1).

Exercice 16: On suppose queX suit une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer les lois des variables aléatoiressuivantes :2X + 3, X2, eX , et(X − 1

3)2.

Exercice 17: La densité de probabilité d’une variable aléatoireX est

f(x) =

481x(9− x2) si 0 < x < 3

0 sinon

a) Représenterf .b) Déterminer ’le mode’ deX (’la valeur la plus probable’).c) Déterminer ’la médiane’ deX (Valeur pour laquelle il y a la même probabilité d’être supérieur que d’êtreinférieur).d) Déterminer la ’moyenne’ deX.e) CalculerP (0 < X < 1).

Exercice 18: SoientX etY deux v.a. indépendantes et admettant chacune une densité de probabilité surR.Monter queP (X = Y ) = 0.

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Exercice 19: SoientX1, ..., Xn des v.a. indépendantes et de même loi de probabilité de densitéf .1) Quelle est la densité de la v.a.X = (X1, ..., Xn) ? Siσ est une permutation de1, ..., n, quelle est ladensité deXσ = (Xσ(1), ..., Xσ(n)) ?2) On noteY1 ≤ Y2 ≤ ... ≤ Yn les valeurs prises parX1, ..., Xn réordonnées en suite croissante. Montrer quesi F = Y1 < Y2 < ... < Yn, P (F ) = 1 et queY = (Y1, Y2, ..., Yn) admet pour densité surRn la fonction

fY (y1, ..., yn) = n!f(y1)...f(yn)11(y1<...<yn)(y1, ..., yn).

3) Application : 3 personnes arrivent en même temps à un guichet, il y a deux guichetier et une seule queue, ladurée d’un client avec le guichetier suit une loi exponentielle de paramètreα. Deux des trois passent de suiteet le troisième attend, quelle est la probabilité que se soit lui qui finisse le dernier des trois ?

Exercice 20: On suppose que les v.a.X1, X2, ..., Xn de l’exercice précédent suivent la loi exponentielle deparamètreλ. Avec les mêmes notations, on définit

Z1 = Y1, Z2 = Y2 − Y1, ..., Zn = Yn − Yn−1.

Déterminer la loi de(Z1, ..., Zn). Les v.a.Z1, ..., Zn, sont-elles indépendantes ? Déterminer la loi marginalede chacune d’entre elles.

Exercice 21: SoientX et Y deux variables aléatoires indépendantes de lois exponentielles de paramètreλ.Déterminer les lois des variables aléatoires :−Y , X + Y etX − Y .

Exercice 22: SoitZ une v.a.r ; admettant la densité suivante surR :

f(z) =2√2π

e−z2

2 11R+(z).

SoitU une v.a. indépendanteZ telle queP (U = 1) = P (U = −1) = 12 . Quelle est la loi deV = UZ ?

Exercice 23: Soith une densité de probabilité surR etg une fonction réelle surR, telle que pour toutx onait 0 < g(x) < 1.On engendre une suite(Yn, Un) n = 1, 2, ... de couples indépendants de v.a.r.,Yn etUn étant indépendantesentre-elles. LesYn ont la même densitéh et lesUn suivent la loi uniforme sur[0, 1]. Soitτ le premier instantoùUn ≤ g(Yn) ie ;

τ = infn, n ≥ 1 : Un ≤ g(Yn), convention :inf ∅ = +∞.

1) Exprimerp = P (Un ≤ g(Yn)) à l’aide deh et deg. Quelle est la loi deτ en fonction de p ?Montrer queP (τ < +∞) = 1.2) On prend pourX la v.a.X = Yτ (i.e;X = Yn pour τ = n). Quelle est la loi deX ?

Exercice 24: Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires de densitéf

f(x, y) =14(2x + y)11[0;1]×[0;2](x, y)

a) CalculerP (Y ≤ 1) ; P (X ≤ 12 ; Y ≤ 1) etP (X + Y ≤ 1)

b) CalculerE(X) ; E(Y ) ; E(X + Y ) ; E(XY )c) X etY sont elles indépendantes ?X − 1

2 etY − 1 sont-elles indépendantes ?d) Quel est la loi du couple((X − 1

2)2, (Y − 1)2) ?e) Les variables aléatoires(X − 1

2)2 et (Y − 1)2 sont-elles indépendantes ?

3

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F5 : Lois conditionnelles et espérances conditionnelles

Exercice 1: Soientb, r ∈ N∗ et c ∈ N . Une urne contientb boules blanches etr boules rouges. On effectuedes tirages successifs de la manière suivante : une boule étant tirée, on la remet dans l’urne avec en pluscboules de la même couleur. On noteXn la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la boule obtenue aunième tirage est rouge, la valeur 0 si elle est blanche. On posera

p =r

b + rq =

b

b + r

1) Déterminer la loi du couple(X1, X2) En déduire la loi deX2 la comparer à celle deX1.2) Trouver les lois conditionnelles deX1 sachantX2 et deX2 sachantX1.3) Déterminer la loi de la variableS2 = X1 + X2.4) Déterminer la loi deX3 sachant queS2 = k pourk ∈ N.5) Déduire du 4) que la loi deX3 est la même que celle deX1.6) Exprimer la loi deXn+1 à l’aide deE(Sn).7) Montrer que toutes les variables aléatoiresXn ont même loi de probabilité.

Exercice 2: a) SoientX,Y deux variables aléatoires indépendantes de même loi, de densitéf . On noteM1 = min(X, Y ) etM2 = max(X, Y ). Montrer que la loi du couple(M1,M2) est donnée par :

f(M1,M2)(m1,m2) = 2f(m1)f(m2)11m1<m2

b) On suppose dans la suite quef(t) = λe−λt11R+(t), déterminer la loi du couple(M1,M2), puis les loismarginales deM1 etM2.c) Déterminer l’espérance conditionnelle deM2 sachantM1.d) SiX etY modélise la durée de vie de deux composants électroniques, interpréter l’espéranceconditionnelleE(M2|M1), calculée précédemment.5) Même question avecE(M1|M2 = m2) lorsquem2 est petit et lorsquem2 est grand.

Exercice 3: SoientX1 etX2 v.a. indépendantes de loi de PoissonP(λ1) etP(λ2).a) Déterminer la loi deX1 sachantX1 + X2 = n.b) CalculerE(X1|X1 + X2).

Exercice 4: SoientX1 etX2 v.a. indépendantes de loi exponentielleE(λ).a) Déterminer la loi deX1 sachantX1 + X2.b) CalculerE(X1|X1 + X2).

Exercice 5: SoientX etY deux v.a. telles que :- X suit la loi de PoissonP(λ),- la loi conditionnelle deY sachantX = n est la loi binomialeB(p, n).a) Déterminer la loi du couple(X, Y ) puis la loi deY .b) Les v.a.X − Y etY sont-elles indépendantes ?c) CalculerE(X|Y = k), en déduireE(X|Y ).

Exercice 6: SoientX etY deux v.a. telles que- X a pour densitéfX(x) = xe−x11x>0,- pour toutx > 0 la loi conditionnelle deY sachantX = x est la loi uniforme sur[0, x] .a) Déterminer la loi du couple(X, Y ) puis la loi deY .b) Les v.a.X − Y etY sont-elles indépendantes ?c) CalculerE(X|Y = y), en déduireE(X|Y ).

Exercice 7: SoientX, Y, Z trois variables aléatoires telles que :

1

- X suit la loi uniforme sur[0, 1],- fY |X=x(y) = (y − x)e−(y−x)1y>x pourx ∈ [0, 1].- fZ|X=x,Y =y(z) = (y − x)e−z(y−x)1z>0 pour(x, y) ∈ A oùA = (x, y) ∈ [0, 1]× R|y > x1) Déterminer la loi de(X, Y ) puis la loi de(X, Y, Z).2) En déduire la loi deZ, puis la loi de(X, Y ) sachantZ = z.3) CalculerE((Y −X)

12 |Z = z) puisE((Y −X)

12 ).

4) SoientU = Y −X, V = Z(X − Y ). Déterminer la loi de(X, U, V ). Les v.a.X, U, V sont-elles indépen-dantes ?

Exercice 8: Soient(X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la densité est :

f(X,Y )(x, y) =1

2π√

1− ρ2exp− 1

2(1− ρ2)(x2 − 2ρxy + y2)

où0 < ρ < 1.1) Trouverα∗ ∈ R t.q.E(X − α∗Y )2 = infα∈R E(X − αY )2.2) Montrer queX − α∗Y etY sont indépendantes.3) En déduire queE(X − α∗Y )h(Y ) = 0 pour toute fonctionh : R → R t.q.Eh2(Y ) < ∞.4) On noteH l’ensemble de toutes les fonctionsh : R → R t.q.Eh2(Y ) < ∞. Montrer que

infh∈H

E((X − h(Y ))2) = E(X − α∗Y )2

5) Déterminer la loi deX sachantY = y et calculerE(X|Y ). ComparerE(X|Y ) etα∗Y .

Exercice 9: On considère une variable aléatoireX de loi uniforme sur[a, 1]. poura = 0 puis poura = −1 :

1. CalculerE(X2|X), et E(X|X2)

2. Trouverα∗ etβ∗ telle que :

E(X − α∗X2)2 = minα∈R

E(X − αX2)2, etE(X2 − β∗X)2 = minβ∈R

E(X2 − βX)2,

Exercice 10: Soit (Xi)i≥1 une suite de v.a. indépendantes de même loi t.q.E(Xi) = µ, var(Xi) = σ2. SoitN une v.a. à valeurs entières indépendante desXi avecE(N) = ν et var(N) = τ2. On pose :

Sn =n∑

i=1

Xi

a) DéterminerE(SN |N).b) En déduireE(SN ) et var(SN ).

Exercice 11: (Examen 2000)SoientX etN des variables aléatoires à valeurs dansN. On sait queE(N) = m et var(N) = σ2 oum etσsont des constantes réelles positives (mais on ne connaît pas la loi deN ). on suppose que la probabilitéconditionnelle deX sachantN = n ≥ 0 est donnée par :

P (X = k|N = n) =

11+n pour 0 ≤ k ≤ n

0 ailleurs

1. CalculerE(X|N), E(X2|N), E(X) et var(X).

2. On suppose queY = N −X etX sont indépendantes, calculerE(Y ), var(Y ), E(N |X), etE(N |Y ).

2

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F6 : Lemme de Borel Cantelli

Exercice 1: SoitAn, n ≥ 1 une suit de parties d’un ensembleΩ, on définit les parties limite supérieure etlimite inférieure par :

limn→∞

An =⋂n≥1

⋃p≥n

Ap, limn→∞

An =⋃n≥1

⋂p≥n

Ap,

a) Déterminer lalim et lalim des suites(An) et (Cn) :

A,B ∈ P(Ω), A2n = A, A2n+1 = B, Cn = [−1; (1 + (−1)n)n]

b) Montrer que (lim

n→∞An

)c

= limn→∞

Acn.

c) Montrer queω appartient àlimn→∞

An si et seulement siω appartient à une infinité deAn.

d) Montrer queω appartient àlimn→∞

An si et seulement siω appartient à tous lesAn sauf à un nombre fini.

e) Déterminer lalim et lalim de la suite suivante :

Ω = IR, D2n = [0, (−1)n], D2n+1 = [0, (−1)n +1n

]

f) Montrer que :lim

n→∞An ⊂ lim

n→∞An

limn→∞

(An ∪Bn) = ( limn→∞

An) ∪ ( limn→∞

Bn)

limn→∞

(An ∩Bn) ⊂ ( limn→∞

An) ∩ ( limn→∞

Bn)

Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte.g) On dit que la suite(An) admet une limite si

limn→∞

An = limn→∞

An

Montrer que si(An) est une suite monotone, elle admet une limite.h) On rappelle que pour une suite réelle(xn) la limite supérieure est définie parlim xn = limn→∞ supxk|k > n. Montrer que pour une suite de variables aléatoires(Xn) on a :

( limn→∞

Xn > ε) ⊂ limn→∞

(Xn > ε)

SoitAn, n ≥ 1 une suit de parties d’un ensembleΩ, on définit les parties limite supérieure et limiteinférieure par :

limn→∞

An =⋂n≥1

⋃p≥n

Ap, limn→∞

An =⋃n≥1

⋂p≥n

Ap,

a) Déterminer lalim et lalim des suites(An) et (Cn) :

A,B ∈ P(Ω), A2n = A, A2n+1 = B, Cn = [−1; (1 + (−1)n)n]

1

b) Montrer que (lim

n→∞An

)c

= limn→∞

Acn.

c) Montrer queω appartient àlimn→∞

An si et seulement siω appartient à une infinité deAn.

d) Montrer queω appartient àlimn→∞

An si et seulement siω appartient à tous lesAn sauf à un nombre fini.

e) Déterminer lalim et lalim de la suite suivante :

Ω = IR, D2n = [0, (−1)n], D2n+1 = [0, (−1)n +1n

]

f) Montrer que :lim

n→∞An ⊂ lim

n→∞An

limn→∞

(An ∪Bn) = ( limn→∞

An) ∪ ( limn→∞

Bn)

limn→∞

(An ∩Bn) ⊂ ( limn→∞

An) ∩ ( limn→∞

Bn)

Montrer, en utilisant l’exemple de la question e), que l’inclusion peut être stricte.g) On dit que la suite(An) admet une limite si

limn→∞

An = limn→∞

An

Montrer que si(An) est une suite monotone, elle admet une limite.h) On rappelle que pour une suite réelle(xn) la limite supérieure est définie parlim xn = limn→∞ supxk|k > n. Montrer que pour une suite de variables aléatoires(Xn) on a :

( limn→∞

Xn > ε) ⊂ limn→∞

(Xn > ε)

Exercice 2: Soit (Ω,A, P ) un espace probabilisé et(An) une suite d’événements deA. On définitl’événement

B = ω ∈ Ω : ω ∈ An pour une infinité den

a) On pose :Bm =⋃

n>m An, montrer queB = limm→∞Bm.b) Montrer l’implication : ∑

n

P (An) < ∞ =⇒ P (B) = 0

c) On suppose que lesAn sont indépendants. Montrer l’implication :∑n

P (An) = ∞ =⇒ P (B) = 1

Exercice 3: Soit (Xn) une suite de v.a. indépendantes et de même loi :

P (Xn = 1) = p, P (Xn = −1) = 1− p, où0 < p < 1

On considère la suite de v.a. définie par :Sn =∑n

k=1 Xk (marche aléatoire).a) Que représentent les évènementsAn = Sn = 0 etA = lim

n→∞An ?

b) On suppose quep 6= 12 et l’on rappelle le critère de D’Alembert pour les séries strictement positives : Si

lim un+1

un= l avecl < 1 alors la série

∑un converge. Montrer queP (A) = 0. Interprétation.

Exercice 4: Soit (Xn) une suite de v.a. etG leur tribu asymptotique.

2

1) Montrer que la v.a.Y = limn→∞

Xn estG-mesurable.

2) On suppose que lesXn sont indépendantes. Montrer que le rayon de convergence de la série entière∑n≥0 Xnzn est presque sûrement constant.

Exercice 5: SoientX1, X2, ... des v.a. indépendantes et identiquement distribuées telles queE(X1) = 0 etE(X4

1 ) < +∞. On poseSn =∑n

i=1 Xi etYn = 1nSn.

a) Démontrer le lemme suivant : Un suite de variables aléatoires(Xn) converge versX p.s. ssi

∀ε > 0 P (lim(|Xn −X| > ε)) = 0

ssi∀ε > 0

∑P (|Xn −X| > ε) = 0

b) En développantS4n, écrireE(S4

n) à l’aide den, E(X21 ) etE(X4

1 ).c) Montrer que :

∀ε > 0, E(Y 4) < ε4P (|Y | > ε)

d) Montrer, sans utiliser la loi forte des grands nombres que(Yn) converge vers0 p.s.e) Montrer que si lesXn ne sont pas de même loi, mais sont telles que la suiteE(X4

n) est bornée, le résultatreste vrai.

Exercice 6: Argument de bloc : Soient(Xn) une suite de V.A. indépendantes de loi exponentielle deparamètreλ = 1 etMn = max(X1;X2; ...Xn).a) CalculerP (Mn ≤ x).b) Montrer que

∑P (Mn ≤ (1− ε) ln n) < ∞.

c) Montrer que pour toutε > 0 il existe une sous suite(nk) que l’on déterminera telle que∑P (Mnk

≥ (1 + ε) ln nk) < ∞ et limlnnk

lnnk+1= 1

d) en remarquant que(Mn) est une suite croissante montrer queMnln n converge vers 1 p.s.

Exercice 7 : Quelle est la probabilité que dans une suite infinie de lettres et de symboles typographiqueschoisit indépendamment avec la même probabilité, se trouve quelques part la déclaration universelle des droitsde l’homme.

3

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F7 : Fonctions caractéristiques. Convergences

Exercice 1: Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires telles queXn ait pour loi une loi uniforme surl’ensemble fini

An = 0,1n

,2n

, . . . ,n− 1

n

montrer que(Xn) converge en loi vers une loi uniforme sur[0; 1].

Exercice 2: Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires telle que pour toutn :

Xn(Ω) = 1, 2, . . . , n et∀k ∈ 1, 2, . . . , n P (Xn ≤ k) =k2(3n− 2k)

n3

On poseYn = Xnn , et [ ] désigne la partie entière :

1. Soitt un réel, calculerlimn→∞[nt]n .

2. Montrer que pour tout réelt dans [0 ;1],P (Yn ≤ t) = [nx]2

n3 (3n− 2[nx])

3. En déduire pourt ∈ R, l’existence et la valeur delim P (Yn ≤ t), montrer queYn converge en loi.

Exercice 3: a) Soit(xn) une suite de réels convergente versx montrer que(δxn) converge étroitement versδx.b) SoientX, X1, ...Xn, ... des variables aléatoires à valeur dansN montrer que si(Xn) converge en loi versX alors pour tout entierk, la suite de réels(P (Xn = k))n converge versP (X = k).c) Montrer la réciproque du b).d) SoientX, X1, ...Xn, ... des variables aléatoires,F etFn leur fonction de répartition. Montrer que si

XnL−→ X alors en tout pointa oùF est continue, on alim Fn(a) = F (a). On ne démontrera pas mais on

pourra noter que la réciproque est aussi vrai.

e) Donner un exemple où l’on aXnL−→ X mais où l’on a pasXn −X

L−→ 0.

f) Montrer que siXnL−→ 0 alorsXn

P−→ 0.

Exercice 4: Déterminer les fonctions caractéristiques de la v.a.X dans les cas suivants :X = a p.s.,X ∼ B(p), B(n, p), P(λ), G(p), U([a, b]), Exp(λ), N (0, 1), N (m,σ2),

Exercice 5: Considérons une suite(Xn)n∈N∗ de v.a. telle queXn ∼ Exp(λn). On suppose quelimn→+∞ λn =0. SoitZn = Xn − [Xn]. Montrer queZn converge en loi vers une v.a.U dont on précisera la loi.[Xn] repré-sente la partie entière deXn.

Exercice 6 : Montrer que si(Xn) et X sont des vecteurs aléatoires à valeurs dans(Rm,BRm) tels que

XnL−→ X et sig est une fonction continue deRm dansRp alorsg(Xn) L−→ g(X).

Exercice 7: On considère une suite de v.a.(Xn) indépendantes et de même loi. On fait correspondre àcelle-ci la suite de v.a.(Yn) définie par :

Y0 =X0

2, Y1 =

X1 + Y0

2, Y2 =

X2 + Y1

2, ..., Yn =

Xn + Yn−1

2.

a) Calculer la fonction caractéristiqueΦn(u) deYn en fonction deΦ(u) (la f.c. deX) et den.b) On supposera que la loi desXn est la loiN (0, σ). Quelle est la loi deYn ? Quelle est la loi limite deYn

lorsquen → +∞?c) SiXn suit la loi de Cauchy de paramètre 1, montrer queYn converge en loi vers une v.a. dont on identifierala loi.

1

Exercice 8: La loi de Cauchy de paramètrea > 0, a pour densitéf(x) = aπ(x2+a2)

.

SoitΦa sa fonction caractéristique. On admettra que∀t ∈ R, Φa(t) = e−a|t|.1) Vérifier à l’aide de la définition puis en utilisant la f.c. qu’une v.a. qui suit la loi de Cauchy n’est pasintégrable.2) Vérifier que siX etY sont deux v.a. suivant la loi de Cauchy indépendantes de paramètresa eta′, X + Ysuit la loi de Cauchy de paramètrea + a′.3) Montrer que siX ∼ Cauchy(a) etα > 0, alorsαX ∼ Cauchy(αa).4) Soit (bn) une suite de réels strictement positifs etSn la somme den v.a. indépendantes suivant la loi deCauchy de paramètre 1. A quelle condition sur lesbn a-t-on convergence en loi deSn

bn?.

Exercice 9: Soit (Xn)n une suite de v.a.r.. On suppose que∀n, Xn est uniformément répartie surl’intervalle [0, 1

n ].1) calculer la f.c.Φn deXn.2) Est-ce-que les v.a.Xn convergent en loi vers une limiteX lorsquen → +∞? Si oui, quelle est la loi de lalimite X ?3) PosonsYn = nXn. Quelle est la loi deYn ?4) On suppose que lesXn sont indépendantes. SoitSn = Y1 + ... + Yn. Montrer queSn

n converge vers unelimite non aléatoirem qu’on calculera ; dans quel sens a lieu cette convergence ?5) Montrer queSn−nm√

nconverge en loi vers une limiteY dont on déterminera la loi.

Exercice 10: Soient(Xn)n≥1 et (Yn)n≥1 deux suites de v.a.r. indépendantes et de carré intégrable. Onsuppose que lesXn suivent la même loi d’espéranceµ et de varianceσ2, et que lesYn suivent la même loid’espéranceν et de varianceτ2. On définit pourn ≥ 1 les v.a. :

Sn =n∑

k=1

Xk et Tn =n∑

k=1

XkYk.

a) Calculer pour toutn fixé l’espérance et la matrice de covariance de(Sn, Tn) (qui est un vecteur aléatoirebidimensionnel) en fonction den, µ, ν, σ2, τ2.b) Quel est le comportement asymptotique des suites :

(Sn

n, n ≥ 1) , (

Tn

n, n ≥ 1) , (

Tn − νSn

n, n ≥ 1)

c) Quelle est lorsquen → +∞, la limite en loi de la v.a.Tn−νSn√n

?

Exercice 11: SoitX une v.a. de loi uniforme sur]0, 1[. Pour toutn ∈ N∗ on pose

Yn =

n si 0 ≤ X ≤ 1n

0 si X < 0 ou X > 1n

La suite(Yn) converge t-elleP -presque sûrement (respectivement, en probabilité, dansL1) vers une limite ?

Exercice 12: a) Montrer l’équivalence entre les trois propriétés suivantes :

i : Xn → X p.s.; ii : P ( ∪ε>0

∩N

∪n>N

(|Xn −X| > ε) = 0; iii : ∀ε > 0, P ( limn→∞

|Xn −X|) > ε) = 0

Soit (Xn)n une suite de v.a. indépendantes et positives. Montrer queSn =∑n

k=1 Xk converge p.s. si etseulement si elle converge en probabilité.

Exercice 13: Soit (Xk)k une suite de v.a. indépendantes et de même loi :P (Xk = −1) = P (Xk = 1) = 1

2 . SoitSn = X1 + ... + Xn pourn ≥ 1.

1) CalculerE(exSn) pourx ∈ R. Montrer queE(exSn) ≤ en x2

2 , ∀x > 0.2) ∀a > 0, ∀x > 0, ∀n ≥ 1, montrer queP (Sn ≥ a) ≤ e−axE(exSn). En déduire que

P (| Sn |≥ a) ≤ 2e−a2

2n .

2

3) On posea = c(2nLogn)1/2, avecc > 1. Montrer que p.s.lim sup |Sn|(2nLogn)1/2 ≤ 1.

Exercice 14: Soient(Xn)n une suite de variables aléatoires indépendantes de loiU [0; 1], Y une variablealéatoire de loiE(1) etZn = n min(X1; ...;Xn).a) Montrer queZn

L−→ Yb) SoitX ∼ E(λ), déterminer la loi de la v.a.e−λX .c) Soit(Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loiE(λ). Déterminer la limite en loi dela suite(An) définie parAn = n min(e−λX1 , e−λX2 ....e−λXn)

Exercice 15: Soit(Xn) une suite de variables aléatoires admettant un moment d’ordre 2, tel quelim E(Xn) =+∞ et(var(Xn)

E(Xn) ) soit une suite bornée. Montrer queXnE(Xn) converge vers 1 en probabilité (on pourra commen-

cer par chercher un autre type de convergence).

Exercice 16: Soit (Xk) une suite de variables aléatoires indépendantes centrées telle quevar(Xk) = σ2 < 1, on pose :

Yk =k∏

i=1

Xi et Zk =1kα

k∑j=1

Yj avecα > 0

a) Étudier la variance deYk, en déduire la convergence en probabilité de la suite(Yk).b) Même question pour la suite(Zk).

Exercice 17: (exam 2001) Soit(Xn)n∈N une suite des variables aléatoires à valeur dans]0,+∞[,indépendantes, et suivant la même loi qu’une variable aléatoireX. On poseZn = (

∏ni=1 Xi)1/n. On suppose

dans la suite queE(X) < ∞ etE(1/X) < ∞.

1) Montrer queln(X) est une variable aléatoire de carré intégrable.(Indication : on pourra utiliser l’inégalité| ln t| ≤ |

√t−

√1/t|, vraie pour toutt > 0)

2) Soit(Yn)n∈N une suite de variables aléatoires à valeur dans]0,+∞[. Montrer queYn −→ m > 0 p.s.ssi ln(Yn) −→ ln(m) p.s.

3) Montrer queZn converge presque sûrement vers une constante.(Indication : La loi forte des grands nombres s’applique, mais comment ?)

Rappelons que, d’après l’inégalité de Jensen,−∞ ≤ E(f(X)) ≤ f(E(X)) ≤ +∞, lorsquef : R+ → R estune fonction concave.4) Montrer que l’espérance deZn est inférieure ou égale àE(X).

Exercice 18: (examen 2000)Soit0 < θ < 1 et soitX1, X2, X3, . . . une suite des variables aléatoires ayant la même espérancem ∈ R. Onsuppose de plus que les covariances vérifient

|Cov(Xn, Xm)| ≤ θ|n−m|, n, m = 1, 2, 3, . . .

1. SoitX, Y, Z des variables aléatoires. Montrer que

Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y ) + Cov(X, Z).

2. SoitSn = X1 + · · ·+ Xn les sommes partielles. Montrer que pour toutn etm :

|Cov(Sn, Xm)| ≤∑k∈Z

θ|k| =1 + θ

1− θ

3. Montrer que var(Sn) ≤ n(1 + θ)/(1− θ).4. Montrer queSn/n converge en probabilité versm.

3

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F8 : Vecteurs Gaussiens

Exercice 1: SoientY etZ deux vecteurs gaussiens centrés de matrice de covarianceΓY etΓZ etM unematrice :

ΓY =

5 2 02 2 00 0 1

ΓZ =

3 2 12 2 01 0 1

M =

1 0 00 1 01 −1 0

a) Écrire les f.c. deY et deZ.b) Y est-il absolument continu ? Si oui quelle est sa densité ?c) Quelle est la loi deMY ?d) Déterminer une matrice carréeA telle queY = AX oùX ∼ N (0, D) avecD une matrice diagonale.e) Même question avecA orthogonale.f) Z est-il absolument continu ?g) Déterminer une matrice réelleB telle queZ = BX où X ∼ N (0, J) avecJ une matrice diagonale tellequeJii ∈ 0; 1.

Exercice 2: Soit X un v.a. gaussien centré de matrice de covarianceΓ. On suppose queΓ est inversible.Montrer quetXΓ−1X ∼ χ2. (c’est la loi de la somme des carrés dek variables aléatoires indépendantesnormales centrées réduites).

Exercice 3: SoientX1, . . . , Xn des v.a. indépendantes suivant la loiN (0, 1). Soient

Y =n∑

i=1

aiXi, Z =n∑

i=1

biXi

Montrer queY etZ sont indépendantes si et seulement si∑n

i=1 aibi = 0.

Exercice 4: Soit X = (X1;X2; ....;Xn) un vecteur gaussien de matrice de covarianceΓ. Montrer queX1

est indépendant de(X2; ....;Xn) si et seulement siΓi1 = 0 pour touti supérieur ou égal à 2.

Exercice 5: SoientX1, . . . , Xn des v.a. indépendantes suivant la loiN (a, σ2). Définissons

X =1n

n∑i=1

Xi, S2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X)2

a) CalculerE(X).b) Montrer que

∑(Xi −X)2 =

∑(Xi − a)2 − n(X − a)2 en déduireE(S2).

c) PosonsYi = Xi −X1, i = 1, . . . , n.

1. Montrer queX est indépendante deY2, . . . , Yn.

2. Montrer queS2 s’exprime en fonction desY2, . . . , Yn.

3. Déduire queS2 etX sont indépendantes.

d) Vérifier que(n− 1)S2

σ2+

(X − a

σ/√

n

)2

=n∑

i=1

(Xi − a

σ

)2

.

e) Montrer que :∑n

i=1(Xi−a

σ )2 suit la loi duχ2n, puis que( X−a

σ/√

n)2 suit la loi duχ2

1.

f) En admettant que la fonction caractéristique de la loi duχ2 avecr degrés de liberté est( 1√1−2ti

)r. Montrer

que (n−1)S2

σ2 suit la loi duχ2 avecn− 1 degrés de liberté.

1

Exercice 6: Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes de loiN (0, σ). On pose

Y1 = X1 etYn = aXn−1 + Xn aveca un réel non nul

Déterminer la loi de(Y1;Y2; ...Yn)

Exercice 7: SoientX1, X2, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes de loi normale, centrée, réduite.On note :

S =n∑

i=1

Xi

a) Le vecteur(X1, S) est-il un vecteur gaussien ? Quelle est sa loi ?b) Déterminer la loi deX1 sachantS.c) Déterminer l’espérance conditionnelle deX1 sachantS.

Exercice 8: (Examen 2000) Soit−1 < γ < 1 et soit−→X = (X1, X2) un vecteur aléatoire gaussien à valeurs

dansR2 ayant pour densité :

g(x1, x2) =

√1− γ2

2πexp

(−1

2(x2

1 − 2γx1x2 + x22)

)a : Calculer la matrice de covariance de(X1, X2).b : Déterminer la fonction caractéristique de(X1, X2).c : Quelle est la loi de la variable aléatoireX1 ?d : Déterminer la loi du vecteur aléatoire

(Y1, Y2) =

√1− γ2

2(X1 + X2, X1 −X2)

e : Considérons la convergence en loi sous la limiteγ → 1− ;Quelle est la loi du vecteur aléatoirelimγ→1−(Y1, Y2) ?Quelle est la loi delimγ→1−(1− γ2)(X2

1 + X22 ) ?

Exercice 9: (Examen 2001) Soit~X =(

X1

X2

)un vecteur gaussien centré etΓX =

(2 11 2

)sa matrice

de variance. Soita ∈ R un nombre réel et posons~Y =(

Y1

Y2

)=

(1 a−1 1

) (X1

X2

).

1) Déterminer la loi de~Y et calculer sa matrice de variance,ΓY .

2) Déterminer les valeurs dea ∈ R telles que~Y soit un vecteur gaussien dégénéré.

3) Déterminer les valeurs dea ∈ R telles queY1 etY2 soit indépendantes.

4) Déterminer la fonction caractéristique deY1 (qui dépend dea).

5) Montrer que la variance deY1 est supérieure ou égale á3/2.

6) Quelle est la densité de la loi deY1 par rapport a la mesure de Lebesgue ?

Exercice 10: Soit (Xn)n une suite de variables aléatoires gaussiennes telles que|E(Xn)| ≤ 1, qui convergeen loi vers une variable aléatoireX. On notemn = E(Xn) etσ2

n = var(Xn).

1. Montrer en utilisant les fonctions caractéristiques que la suite(σ2n)n converge.

2. Déterminer en utilisant une sous suite la loi deX.

2

Licence de Mathématiques Université de Cergy PontoiseTD de probabilités 2001/2002

F9 : Chaînes de Markov.

Exercice 1: Soit (Xn)n une chaîne de Markov à valeurs dans[−1; 0; 1; 2], de matrice de transitionΠ :

Π =12

1 1 0 01 1 0 00 1 0 10 0 1 1

On suppose de plus queP (X0 = −1) = P (X0 = 0) = P (X0 = 1) = 1

6 .a) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.b) Quelle est la loi deX3.c) Montrer qu’il existe une unique mesure invariante et la déterminer.d) Déterminer :

limn→∞

P (Xn = k)

e) Calculer :E(X0), E(X1) et limn E(Xn).

Exercice 2: Soit une chaîne de Markov à valeurs dansA;B;C dont la matrice de transition est

M =

0 1/2 1/23/4 0 1/40 0 1

. On noteNi la variable aléatoire modélisant le nombre de transitions avant

l’absorption parC, avec un départ eni.a) Représenter le graphe de transition de la chaîne de Markov.b) Déterminer la loi deNA.c) Déterminer le nombre moyen de transitions avant absorption, avec un départ deA.d) Pouri 6= C, montrerE(Ni) = 1 + MiAE(NA) + MiBE(NB). Retrouver le résultat précédent.

Exercice 3: L’urne contientN boules blanches. En une étape on tire une boule et on la remplace par uneautre boule (blanche avec la probabilitép et noire avec la probabilitéq = 1− p). SoitXn le nombre deboules blanches aprèsn étapes.a) Est-ce-queXn est une chaîne de Markov ?b) Déterminer les probabilitéspij = P (Xn+1 = j|Xn = i), i, j ∈ 1, . . . , N.c) Calculer la limite deP (Xn = k) quandn →∞.

Exercice 4: SoitXt une chaîne de Markov sur0, 1, 2, . . . , n, . . . avec des probabilités de transitions

P (Xt+1 = n + 1|Xt = n) = p P (Xt+1 = 0|Xt = n) = 1− p ∀n

où0 < p < 1. PosonsX0 = 0, τ0 = 0 et τn = mint ≥ 0 : Xt = n.a) Calculer la limite deP (Xn = k) quandn →∞.b) Calculer la fonction génératrice et l’espérance deτn.c) Déterminer la loi limite deτn/E(τn) quandn →∞.

Exercice 5: Soit (Xn) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernouilli deparamètrep. On poseY0 = 0 et

Yn = 0 si Xn = 0Yn = n si X1 = X2 = ... = Xn = 1Yn = i si Xn−i = 0 etXn−i+1 = Xn− i + 2 = ... = Xn = 1

1

a) Montrer que(Yn) est une chaîne de Markov homogène puis déterminer sa matrice de transition,représenter son graphe de transition.b) Déterminer l’unique probabilité invariante de cette chaîne ?c) Calculer les élémentΠ(n)

ij de la matriceΠn.

Exercice 6: (Examen 2000) Soit0 ≤ p ≤ 12 et considérons une chaîne de Markov(X0, X1, ...Xn) telle que

chacune des variables aléatoiresXi prend ses valeurs dans1, 2, 3 et telle que sa matrice de transition soitdonnée par

Π =

12 − p 1

2 p12

12 0

p 0 1− p

a) Trouver une loi stationnaire pour la matriceΠ. Pour quelles valeurs dep, cette loi est-elle unique ?On suppose queP (X0 = 1) = 0, etP (X0 = 2) = P (X0 = 3) = 1

2b) Calculer l’espéranceE(X1) et la varianceE(X1).c) Selon les valeurs dep, calculerlimn→∞E(Xn).

Exercice 7: (examen 2001)Soit (Xn)n∈N une chaîne de Markov à valeurs dansN. Pour0 < p < 1 on suppose que (pour toutn ∈ N)sachantXn = k aveck ∈ N on auraXn+1 = k + 1 avec probabilitép etXn+1 = 0 avec probabilité1− p.

1. Décrire la matrice de transition associée (taille infinie).

2. Montrer que pour toutk, n ∈ N on aP (Xn ≥ k) = 0 ⇒ P (Xn+1 > k) = 0.

3. Montrer que pour toutn > 0 on aP (Xn = 0) = 1− p (quelle que soit la loi deX0).

4. SupposonsP (X0 = 0) = 1, déterminer la loi deX1 et la loi deX2.

5. Montrer que la chaîne a une unique loi stationnaireµ∗, et queXn converge en loi versµ∗.

6. Trouverµ∗.

Exercice 8: Soit (Xn)n une chaîne de Markov homogène a deux états.

1. Quelle est la forme de sa matrice de transitionΠ. On suppose quedet π 6= 0.

2. CalculerΠn.

3. Montrer qu’il y a une unique mesure invariante :[µ0, µ1].

4. Étudier les limites de :[0, 0]Πn, [1, 0]Πn, [0, 1]Πn, et [1, 1]Πn.

5. SoitNn(i, j) le nombre de passage enj en partant dei durantn pas. Montrer que

limn→∞

Nn(i, j)n

= µj

Exercice 9: SoitXn une suite des variables aléatoires indépendantes, de même loi telle que :

P(Xn = 1

)= P

(Xn = −1

)=

12.

PosonsSn =∑n

k=1 Xk.a) Quelle est la loi de|Sn|?b) Montrer que|Sn| est une chaîne de Markov et déterminer ses probabilités de transition.c) SoitMn = maxSk : 0 ≤ k ≤ n.

1) En remarquant que toutes les trajectoires possibles ont la même probabilité montrer que

P ((Sn < k) ∩ (∪j<n(Sj ≥ k) = P (Sn > k)

2) En déduireP (Mn ≥ k) puis la loi deMn.d) Vérifier queYn = Mn − Sn est une chaîne de Markov, déterminer ses probabilités de transition.

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