Expérimentation et optimisation

Expérimentation et optimisation 2


La puissance des ordinateurs et l'évolution des langages de simulation permettent deplus en plus au gestionnaire qui connaît très bien la nature même du problèmed'analyser et d'expérimenter des configurations différentes d'un même système grâceà un modèle de simulation.Toutefois, cette expérimentation et optimisation ne peut se faire sans la contributiond'un analyste en simulation. L'analyse statistique ne peut se faire automatiquement.

But du chapitre:

Puisque la simulation est une opération descriptive, la valeur de la configurationchoisie dépend surtout de l'habileté de l'équipe de modélisation.

La simulation ne permet pas d'obtenir des solutions optimales.

Nous examinerons différentes techniques permettant d'évaluer plusieursconfigurations alternatives du système.



Techniques permettant d'évaluer différentes configu-rations alternatives du système lesquelles sont obte-nues en faisant varier une variable de décision

En procédant ainsi, on accepte le fait que l'ensemble des configurations alternatives necontient pas nécessairement la solution optimale.


A) L’évaluation de deux configurations alternatives

L'évaluation de 2 configurations alternatives peut être l'objet de plusieurs applications:

2 aménagements différents touchant la gestion du personnel d'une banque.2 politiques définissant dans quel ordre les clients seront servis.2 politiques de réapprovisionnement.etc.

Dans chaque cas, nous cherchons à déterminer la configuration dont la performanceest plus élevée selon une mesure donnée.

Puisque les résultats d'une simulation sont stochastiques par nature, cette comparaisonn'est pas immédiate et nous devons recourir à des tests statistiques.


A) L’évaluation de deux configurations alternatives

Pour que ces tests statistiques soient valides, certaines conditions doivent être satisfaites.

La plus importante est l'indépendance des 2 échantillons(l'ensemble des résultats pour chaque simulation).

Nous pouvons donc distinguer 3 cas possibles:

- 2 échantillons indépendants issus de 2 populations dont la variance est égale.- 2 échantillons indépendants issus de 2 populations dont la variance diffère.- 2 échantillons corrélés.

Les 2 premiers cas exigent que les 2 suites de nombres aléatoires générés soientindépendantes; dans le troisième cas, la même suite est utilisée.


Cas 1 & 2: échantillons indépendants

Les résultats de la simulation nous fournissent 2 échantillons indép.:

Yij, i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2

où Yij désigne l'élément i de l'échantillon (configuration) j.Note: On suppose que les 2 échantillons ont même taille.

Il s'agit de tester l'hypothèse qu'il y a une différence significative entreles 2 échantillons: H0: 1 - 2 = 0

H1: 1 - 2 0

où 1 et 2 sont les moyennes des 2 populations.


Cas 1 & 2: échantillons indépendants

Nous construisons un intervalle de confiance au niveau de la différence des moyennesdes populations (1 - 2):

Y.1 - Y.2 t déviation standard de Y.1 - Y.2

où Y.j = 1/n i=1,2, ..., n Yij j = 1, 2; est le nombre de degrés de liberté de la distribution t.

Pour calculer la déviation standard de Y.1 - Y.2, nous avons:

Var(Y.1 - Y.2) = Var(Y.1) + Var(Y.2) = 12/n + 2

2/n

puisque les 2 échantillons sont indépendants.

Nous pouvons estimer j2 à l'aide de sj

2 = i=1,2, ..., n (Yij - Y.j)2/(n-1), j=1,2.


Cas 1: variances égales

Si l'on peut assumer raisonnablement que 1 = 2 ou encore, qu'un testde Fisher confirme cette hypothèse, nous pouvons calculer un estiméavec 2n - 2 degrés de liberté de 2 = 1

2 = 22 en combinant les données

des 2 échantillons:

s2 = (n-1) (s12 + s2

2) / (2n-2).

Nous avons aussi: Var(Y.1 - Y.2) = 2s2 / n


Cas 2: variances différentes

Var(Y.1 - Y.2) = (s12 + s2

2) / n

où -2 + [(s12 + s2

2) / n]2 / [({s12/n}2 + {s2

2/n}2) / (n + 1)].


Ex. I : Politiques de service des clients dans une épicerie

Configuration A: 3 caisses qui servent tous les clients sans distinction.

Les clients choisissent la caisse dont la file est la plus courte.

Configuration B: 1 caisse expresse (6 items ou moins) et les 2 autres caisses pour tous les autres clients.

Lorsqu'un client avec 6 items ou moins arrive aux caisses, 2 cas peuvent se produire:a) si une caisse est disponible, il la prend.b) autrement, il va à la ligne expresse.

Lorsqu'un client régulier arrive aux caisses, 2 cas peuvent se produire:a) si une caisse régulière est disponible, il la prend.b) autrement, il va à la ligne la plus courte.


Ex. I : Politiques de service des clients dans une épicerie

Les clients avec 6 items ou moins arrivent aux caisses selon une distribution exponentielle de moyenne 0.8 minute entre les arrivées.

Les clients réguliers arrivent aux caisses selon une distribution exponentielle de moyenne 3.1 minutes entre les arrivées.

Le temps de traitement des items est de 0.17 minutes par item de sorte que le temps total de traitement dépend du nombre d'items achetés.

La mesure de performance choisie est le temps total (temps d'attente et temps de service) moyen passé au magasin par client.

10 répétitions indépendantes de la simulation ont été effectuées.


Tableau des résultats

# de la répétition Temps total moyen passé dans le système(min.)aucune ligne expresse 1 ligne expresse

1 7.27 5.752 20.09 12.793 18.60 11.444 19.80 9.735 7.14 4.166 29.17 14.957 12.87 10.348 11.40 7.649 13.40 9.5510 8.81 5.29

moyenne échantillonnale 14.86 9.16variance échantillonnale 49.14 11.97


Résultats obtenus

Une évidence des résultats obtenus: les variances diffèrent.

On obtient:Y.1 - Y.2 = 14.86 - 9.16 = 5.7

déviation standard = [(49.14 + 11.97)/10] = 2.47

L'intervalle de confiance est: 5.7 t14 2.47 = 5.7 5.30

[0.40, 11.00].

Puisque l'intervalle ne contient pas 0, l'hypothèse est rejetée. De plus, la configuration avec 1 ligne expresse est plus avantageuse.

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Cas 3: échantillons corrélés

Le seul intérêt d’utiliser des échantillons corrélés est de tenter de réduire la variance de Y.1 - Y.2, ce qui aurait pour effet de réduire l’intervalle de confiance.

Examinons ceci de plus près:Var(Y.1 - Y.2) = Var(Y.1) + Var(Y.2) - 2 cov(Y.1, Y.2)

= 12 /n + 2

2 /n - 2 r12 12/n

où r12 = cov(Yi1, Yi2) / 12

est le coefficient de corrélation entre les 2 populations,

cov(Y.1, Y.2) = cov(Yi1, Yi2) / n.S’il existe une corrélation positive entre les 2 échantillons (r12 > 0), la corrélation entre

les échantillons permet de réduire la variance.


Cas 3: calcul de l’intervalle de confiance

Nous définissons une nouvelle variable aléatoire Di = Yi1 - Yi2 où

- les Di sont indépendants

- Yi1 et Yi2 sont corrélés positivement.D = 1/n i=1,2, ..., n Di = Y.1 - Y.2

Var(Di) = i=1,2, ..., n (Di - D)2 /(n - 1)

Var(D) = Var(Di) / n

Pour tester l’hypothèse H0: 1 - 2 = 0H1: 1 - 2 0

l’intervalle de confiance à un niveau est :D t/2, n-1 déviation standard de D.Une stratégie pour tenter d'obtenir une corrélation positive entre les échantillons est

d'utiliser la même suite de nombres aléatoires générés.


Tableau des résultats (échantillons corrélés)

# de la répétition Temps total moyen passé dans le système(min.)aucune ligne expresse 1 ligne expresse

1 9.49 5.812 22.40 11.103 9.24 6.164 15.25 12.455 26.58 11.146 30.97 17.727 6.67 5.138 11.04 7.589 16.28 10.6210 13.70 11.03

moyenne échantillonnale 16.16 9.87variance échantillonnale 64.71 14.59


Tableau des résultats

On obtient:

D = 6.29, = 5%,

l'intervalle de confiance est 6.29 3.62 ou encore, [2.67,9.91].

Les mêmes conclusions s'imposent mais, cette fois-ci, la longueur de l'intervalle deconfiance est plus petite.


B) L'évaluation de plusieurs B) L'évaluation de plusieurs configurations alternativesconfigurations alternatives

Cela a plusieurs conséquences:- Auparavant, nous avions 1 seule paire à examiner.

Maintenant, N configurations entraînent N(N-1)/2 paires à examiner.

- Un plus grand nombre de simulations doivent être effectuées.- Cela cause des difficultés quant à la précision des estimateurs.

- La fiabilité des tests lorsque le # de comparaisons c'est-à-dire,l'erreur de première espèce lorsque le # de comparaisons

Pour réduire le # de comparaisons, une stratégie consiste à comparer N configurationsalternatives à une configuration standard i.e., effectuer N comparaisons.

Au lieu de considérer 2 configurations possibles, nous pouvons considérer un nombreplus ou moins grand de valeurs prises par la variable de décision.


B) L'évaluation de plusieurs B) L'évaluation de plusieurs configurations alternativesconfigurations alternatives

Chaque comparaison se traduit par un test d'hypothèse de la forme:

H0: i - j = 0H1: i - j 0

où i et j sont les moyennes respectives de la mesure de performance des populationsreliées aux configurations i et j.

Soit i l'erreur de première espèce associée au i ième test, alors

Erreur de première espèce globale pour N tests d'hypothèses simultanés = E =

Prob (au moins 1 des N interv. de confiance ne renferme pas la valeur théorique)≤ 1 + 2 + ... + N.


Cas particuliers et exempleCas particuliers et exemple

N = 2

E = 1 + 2 - 1 2 lorsque les populations sont indépendantes

1 + 2 autrement.Exemple 3: 3 politiques de service des clients dans une épicerie(échantillons corrélés)

Nous reprenons l'exemple précédent en considérant une 3ième configura-tion où 2 lignes expresses sont disponibles. La configuration i possède i-1lignes expresses, i=1, 2, 3.

Nous avons utilisé la même suite de nombres aléatoires générés pourchaque configuration: les échantillons sont corrélés.


Tableau des résultatsTableau des résultats

# Temps total moyen passé dans le système(min.)0 ligne expresse 1 ligne expresse 2 lignes expresses

1 9.49 5.81 18.232 22.40 11.10 20.483 9.24 6.16 24.474 15.25 12.45 22.885 26.58 11.14 20.606 30.97 17.72 29.307 6.67 5.13 24.278 11.04 7.58 21.299 16.28 10.62 23.9310 13.70 11.03 22.07moy. échantillonnale 16.16 9.87 22.75var. échantillonnale 64.71 14.59 10.18


Tableau des résultatsTableau des résultats

L'intervalle de confiance pour la paire (1,2): [2.67, 9.91]L'intervalle de confiance pour la paire (1,3): [-13.73, 0.55]L'intervalle de confiance pour la paire (2,3): [-16.1, -9.66].

Nous pouvons en conclure:Il est préférable d'utiliser une ligne expresse plutôt qu'aucune.Il est préférable d'utiliser une ligne expresse plutôt que deux.0 ligne expresse ou 2 sont 2 configurations presque identiques.

Nous testons chaque paire de configurations suivante: (1,2), (1,3) et (2,3) et noustestons chaque hypothèse à un niveau 0.02.

E <=0.06


Techniques permettant d'évaluer plusieurs Techniques permettant d'évaluer plusieurs configurations alternatives du systèmeconfigurations alternatives du système

Jusqu'à maintenant, nous avons considéré un petit nombre de configurationslesquelles sont obtenues en faisant varier une seule variable de décision.

Nous allons maintenant relaxer l'une et/ou l'autre de ces restrictions.

Toutefois, nous considérons toujours une seule mesure de performance etnous savons que l'ensemble des configurations alternatives n'inclut pasnécessairement la configuration optimale.


Plan à classification simplePlan à classification simple

est la tendance générale de la mesure de performance(moyenne de la population),

j est l'effet dû à la j ième configuration,

eij est l'erreur aléatoire sur l'observation( les eij sont assumées indépendantes et normalement distribuées).

Nous considérons d'abord une seule variable de décision pouvant prendre k valeurs. Pour une valeur de la variable de décision, nous répétons l'expérience n fois.

Le modèle statistique a la forme suivante:Yij = + j + eij, i= 1,2, ..., n j=1,2, ..., k

où Yij est la i ième valeur observée de la mesure de performance lorsquela variable de décision prend la j ième valeur,


Plan à classification simplePlan à classification simple

Les n répétitions d'une simulation de la jième configuration du système sont indépen-dantes.

Les i ième répétitions d'une simulation pour chaque configuration du système sontindépendantes.

On doit toujours s'assurer de l'à-propos de telles hypothèses dans la pratique.


Exemple d’un plan à classification simpleExemple d’un plan à classification simple

Supposons que l'on veuille étudier l'effet de différents traitements possibles d'une maladie sur l'être humain.

On pourrait essayer de réunir un ensemble d'individus atteints de cette maladie et les diviser en k groupes de façon à ce que les k groupes soient le plus semblables entre eux.

On applique alors à chaque groupe un traitement donné et on cherche alors à répondre à des questions de la forme suivante:

a) Les traitements sont-ils tous aussi efficaces?b) Sinon, peut-on les classer par ordre d'efficacité?c) Y a-t-il des traitements équivalents, si oui, lesquels?


Test d’hypothèse d’un plan à classification Test d’hypothèse d’un plan à classification simplesimple

- H0: j = 0 pour tout j = 1, 2, ..., nH1: j 0 pour au moins un j.

Le test est effectué à un niveau donné (0.05 par exemple).

- Si nous ne pouvons rejeter H0, nous pouvons conclure que les changementsdans la variable de décision n'entraînent pas de différences significatives quantà la mesure de performance.

- Si nous rejetons l'hypothèse nulle, statistiquement, il existe des différencessignificatives entre les configurations du système.

- Pour effectuer ces tests, nous référons à un tableau partiel d'analyse devariances:


Tableau partiel d’analyse de variancesTableau partiel d’analyse de variances

Expression # d. l. CM Fde la sommedes carrés

SSRm k-1 CMTr = CMTr

SSRm / (k-1) CME

SSE k(n-1) CME

kn -1

Origine de la sommedes carrés

Somme des carrés dusau traitement corrigépour la moyenne

Somme des carrés dusà l’erreur

Total



où # d. l. = # de degrés de liberté de la somme des carrés

CM = Carré moyen dû à l'origine de la somme des carrés

F = le rapport entre CMTr et CME qui suit une loi F

Y.j = moyenne du groupe j ou de la configuration j

= i=1,2, ..., n Yij / nY.. = moyenne générale

= j=1,2, ..., k i=1,2, ..., n Yij / kn

SSE = j=1,2, ..., k i=1,2, ..., n (Yij - Y.j)2

avec SSE / 2 suit une loi 2

k(n-1)



SSRm = j=1,2, ..., k n (Y.j - Y..)2

avec SSRm / 2 suit une loi 2k-1 non centrée.

TOTAL = j=1,2, ..., k i=1,2, ..., n (Yij - Y..)2

Par le théorème de Cochran, les sommes dues au traitement et à l'erreur sont statistique-ment indépendantes.

On rejette l'hypothèse nulle si et seulement si

FTr = CMTr / CME > Fk-1,k(n-1);1-


Contrastes et intervalles de SchefféContrastes et intervalles de Scheffé

Déf.: On appelle contraste, une fonction paramétrique i ßiai telle que

i ßi = 0.

Théorème:

Dans le plan à classification simple, les contrastes de la forme i - j, i j sont tousestimables.

Dans le plan à classification simple, il y a (k-1) contrastes estimables linéairementindépendants de la forme 1 - j, j = 2, 3, ..., k.

Tout autre contraste i - j, i j, i 1 peut facilement être généré à partir d'une combinai-son linéaire de ces k-1 contrastes puisque i - j = (1 - j) - (1 - i).


Intervalles de SchefféIntervalles de Scheffé

Y.1-Y.j- [2(k-1) Fk-1,k(n-1);1-CME /n

1 - j Y.1-Y.j+ [2(k-1) Fk-1,k(n-1);1-CME /n

j = 2, 3, ..., k.Remarques :

Il arrive souvent que la construction des intervalles de Scheffé nous permette d'ordonnerles effets.

Ainsi, par exemple, on pourrait obtenir 1 > 4, 2 > 3, 3 > 6, 4 > 5, 5 > 2, 6 > 7,

on a alors : 1 > 4 > 5 > 2 > 3 > 6 > 7.

On a alors ordonné les j à un niveau donné.


Intervalles de SchefféIntervalles de Scheffé

Hicks, C., Fundamental Concepts in the Design of Experiments, New York:Holt, Rinehart and Winston, 1964.

Lorsque l'hypothèse nulle est rejetée, quelle est la configuration qui doit être retenue?

Une approche (Duncan) consiste à former des groupes de configurations à l'intérieurduquel les configurations sont homogènes (sans différence significative);des configurations de groupes différents sont hétérogènes.


Plan d’expérience à 2 facteurs emboîtésPlan d’expérience à 2 facteurs emboîtés

Exemple: étudier l'effet de la concentration en azoted'un engrais chimique sur la croissance de plants de maïs.

On dispose d'une série de terrains possédant des caractéristiques géologiques différentes:certains sont sablonneux, d'autres comportent une épaisse couche de terre arable sur unfond de roc, certains sont plutôt rocailleux, etc.

Il est évident qu'une concentration donnée d'azote dans notre engrais ne pourra avoir lesmêmes effets d'un type de terrain à l'autre.

Chacun de ces terrains peut donc être subdivisé en terrains plus petits que nousconsidérons identiques. On soumettra alors ceux-ci à des engrais de concentrationsdifférentes.

Schématiquement, on a:


Plan d’expérience à 2 facteurs emboîtésPlan d’expérience à 2 facteurs emboîtésEXEMPLEEXEMPLE

terrain sablonneux terrain rocailleux terre arable

1 2I

conc. 1conc. 1

conc. 1

conc. 2conc. 2

conc. 2

conc. 3conc. 3

conc. 3

conc. 4conc. 4 conc. 4



- Notre expérience comporte 2 facteurs: un facteur A, associé au type de terrain (I types de

terrain) un facteur B, associé à la concentration en azote de l'engrais

utilisé, comportant J niveaux.

- Désignons par Yijk, la k ième observation du terrain de type i soumis à laconcentration d'azote j.

- Nous nous intéressons donc à un modèle de la forme

Yijk = u + ai + bj(i) + eijk i= 1, 2, ..., I j= 1, 2, ..., J

k= 1, 2, ..., R



où u = effet de moyenne généraleai = effet du terrain de type ibj(i) = effet de la concentration j sur un terrain de type ieijk = erreur aléatoire inhérente à l'observation Yijk

et i.i.d. selon une loi N(0, 2).

- Le facteur B est emboîté dans le facteur A car, chaque niveau i de Apossède sa propre série d'effets de concentration bj(i), j= 1, 2, ..., J.

- H0: ai = 0 pour tout i = 1, 2, ..., Ibj(i) = 0 pour tout i = 1, 2, ..., I

pour tout j = 1, 2, ..., J

Le test est effectué à un niveau donné (0.05 par exemple).



Si nous ne pouvons rejeter H0, nous pouvons conclure que les différentesconfigurations n'entraînent pas de différences significatives quant à la mesurede performance.

Si nous rejetons l'hypothèse nulle, statistiquement, il existe des différencessignificatives entre les configurations du système.

Pour effectuer ces tests, nous référons à un tableau partiel d'analyse devariances:



Expression # d. l. CM Fde la sommedes carrés

SSRm IJ-1 CMRm =CMRm

SSRm / (IJ-1)CME

SSE IJR-IJ CME

IJR-1

Origine de la sommedes carrés

Somme des carrés dusau traitement corrigépour la moyenne

Somme des carrés dusà l’erreur

Total



où # d. l. = # de degrés de liberté de la somme des carrés

CM = Carré moyen dû à l'origine de la somme des carrés

F = le rapport entre CMRm et CME qui suit une loi F

Yij. = k=1,2, ..., R Yij / RY... = moyenne générale

= k=1,2, ..., R j=1,2, ..., J i=1,2, ..., I Yijk / IJR

SSE = k=1,2, ..., R j=1,2, ..., J i=1,2, ..., I (Yijk - Yij.)2

avec SSE / 2 suit une loi 2

IJR-IJ



SSRm = i=1,2, ..., I j=1,2, ...,J R (Yij. - Y...)2

avec SSRm / 2 suit une loi 2IJ-1 non

centrée.

TOTAL = j=1,2, ..., k i=1,2, ..., n (Yij - Y..)2

Par le théorème de Cochran, les sommes dues au traitement et à l'erreur sont statistique-ment indépendantes.

On rejette l'hypothèse nulle si et seulement si

FTr = CMRm / CME > FIJ-1,IJR-IJ;1-


Contrastes et intervalles de SchefféContrastes et intervalles de Scheffé

Sujet plus difficile.

Une étude plus complète dépasse le cadre de ce cours.


Procédure de triage des variables de décision qui auront Procédure de triage des variables de décision qui auront un impact important sur la mesure de performanceun impact important sur la mesure de performance

Lorsqu'il s'agit de simuler des systèmes complexes, nous ne savons pas à prioriquelles sont les variables de décision qui auront un impact majeur sur la mesure deperformance.

Nous devons nous doter d'un moyen efficace pour sélectionner les "bonnes"variables de décision.



A) Une approche consiste à initialiser chaque variable de décision à 2 valeurs extrêmes:la plus basse et la plus élevée.

Des tests d'hypothèses nous permettent de déterminer quelles variables de décision ontune influence significative sur la mesure de performance selon les valeurs qu'ellesprennent.

Soit n le nombre de variables de décision, 2 valeurs pour chaque variable de décision,il s'agit de considérer un plan d'expérience à n facteurs

exigeant 2n simulations (pas de répétitions).TEMPS DE CALCULS TRÈS ÉLEVÉS



B) D'autres approches intermédiaires sont proposées visant à réduire le # desimulations nécessaires.

Exemple: Temps d'attente des clients dans une épicerie.Nous devons sélectionner les variables de décision pertinentes:

1. # lignes acceptant seulement les clients avec plus de m items.2. # lignes expresses.3. # lignes acceptant n'importe quel client.4. longueur exigée de la plus longue file d'attente pour ajouter une

nouvelle ligne de type 1.5. m6. nombre d'emballeurs par ligne.7. mode de traitement des articles par le caissier.

Pour éviter d'effectuer 128 simulations au minimum, on peut par exemple considérerseulement les intéractions entre 2 facteurs à la fois et laisser tomber les intéractionsd'ordre plus élevé (3 facteurs et plus) i.e. les considérer comme non significatives.


Recherche d’une configuration optimaleRecherche d’une configuration optimale

Lorsque dans les configurations considérées se retrouve une configuration optimaleou presque, la configuration choisie peut être optimale.

Mais nous n'avons aucune assurance à ce sujet.

En faite, il n'existe pas d'algorithmes en simulation permettant de trouver à coup sûrune configuration optimale.

Toutefois, il existe des heuristiques efficaces que l'on peut combiner avecdes techniques statistiques.

Ce sont des méthodes itératives qui permettent à chaque étape de passer d'uneconfiguration à une meilleure; la configuration obtenue peut être un optimum local oumême un optimum global.

La recherche d'un optimum se fait toujours par rapport à une seule mesure deperformance.


Recherche d’une configuration optimaleRecherche d’une configuration optimale

Nous définissons la fonction f comme suit:

R = f(X1, X2, ..., Xn)

où Xi représentent les valeurs possibles que peut prendre la i ième variable de décision, n désigne le nombre de variables de décision et R la valeur de la mesure de performance pour des valeurs précises des variables de

décision.

Le problème consiste à maximiser ou minimiser f parmi les configurations possiblesdu système.

Il n'est pas question d'énumérer toutes les configurations possibles.Nous proposons différentes stratégies.


(A) Recherche d’un optimum local(A) Recherche d’un optimum local

1) Pour tout i = 1, 2, ..., n- Fixer la valeur de toutes les variables de décision sauf Xi.- Recherche d'un optimum local Xi* par rapport à Xi.- Xi* est la nouvelle valeur de Xi.

2) Répéter l'étape 1 tant et aussi longtemps que des changements interviennent.

On obtient comme solution:f(X1*, X2*, ..., Xn*) ≥

≤ f(X1*, X2*, ..., Xi,..., Xn*) i

Le succès de cette approche dépend de la configuration de départ.

Note: On doit mentionner que f est une fonction probabiliste et par conséquent,cet algorithme est par nature probabiliste.


(B) Méthodes de direction de descente(B) Méthodes de direction de descente

On détermine une fonction f continue par interpolation à partir des points(X1, X2, ..., Xn, R(X1, X2, ..., Xn)).

A l'itération i,soit (X1, X2, ..., Xn) la configuration courante,

- déterminer une direction de descente (D1, D2, ..., Dn):en se déplaçant dans cette direction, nous pouvons obtenirune "meilleure" configuration.

- emprunter cette direction de descente et choisir la "meilleure"configuration (X1, X2, ..., Xn) dans cette direction.

- la configuration (X1, X2, ..., Xn) sera la configuration courante àl'itération i+1.


(B) Méthodes de direction de descente(B) Méthodes de direction de descente

Critère d'arrêt: à une itération donnée, il n'existe pas de direction de descentei.e. la configuration courante ne peut pas être améliorée.

Note:- Les méthodes diffèrent selon la méthode d'interpolation utilisée

ou encore,selon la façon de calculer une direction de descente.

- L'intégration des techniques d'optimisation et des outils statistiques dans unlogiciel de simulation n'est pas chose faite.

Pourtant, cela devient nécessaire, le nombre de simulations étant très élevées.


La prise en compte de k mesures de La prise en compte de k mesures de performanceperformance

Exemple: épicerie (k = 2).

2 mesures de performance: temps d'attente moyen des clientscoût relié aux salaires des employés.

2 variables de décision: le nombre de caissiersle nombre d'emballeurs.

- Nous pouvons nous poser sensiblement les mêmes questions que précédem-ment. Toutefois, la complexité s'accroît de façon substantielle.

- Une étude complète dépasse de beaucoup le cadre de ce cours.



Analyse multivariée de la varianceAnalyse multivariée de la variance.

Harris, R. J., A Primer of Multivariate Statistics, New York:Academic Press, 1975.

(A) L'évaluation de différentes configurations du système baséessur plusieurs mesures de performance



(B) Stratégies pour rechercher une configuration optimale4 techniques sont proposées:

1)Il s'agit de résoudre k problèmes d'optimisation indépendants avec une seule mesurede performance.

Cela donne k configurations "optimales" par rapport à une des mesures deperformance.

Il faut espérer que l'une d'elles est "dominante". Le plus souvent, ce n'est pas le cas;par exemple, minimiser le temps d'attente des clients et le coût généré par les salairesdes employés sont 2 objectifs diamétralement opposés. Il n'existe pas une configuration optimale p/r à chacun de ces 2 objectifs.

Cette méthode est de peu d'utilité.



2) Il s'agit de résoudre 1 problème d'optimisation avec une seule mesure deperformance tout en contraignant les autres mesures de performancei.e. en leur imposant des bornes de variation.Par exemple, on peut choisir d'optimiser p/r au temps moyen d'attente des clientstout en imposant une borne supérieure au coût généré par les salaires.On peut toujours faire varier cette borne supérieure et examiner l'impact sur letemps moyen d'attente des clients.Il s'agit de résoudre 1 problème d'optimisation avec une seule mesure deperformance laquelle est une somme pondérée des k mesures de performance.

Il est difficile de construire cette somme pondérée. Les mesures sont souventdéfinies dans des unités différentes. C'est aussi difficile d'évaluer l'importance d'une mesure p/r aux autres. Comment évaluer la sensibilité de la solution p/r aux poids associés aux mesuresde performance?

3)



4) Programmation multicritères lorsqu'on veut optimiser simultanément plusieursmesures de performance

Nos discussions ont porté sur des problèmes déterministes même s'ils sontstochastiques. Nous n'en mesurons pas encore les impacts.

CONCLUSION

Expérimentation et optimisation

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