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Exercices de statistique

Partie A - Moyenne et écart-type

Exercice 1

Une équipe de baseball a participé à un tournoi avec 19 autres équipes. Pour le classement chaque match gagné

rapporte 3 points, chaque match nul rapporte 1 point et chaque match perdu rapporte 0 points. A la fin des 19

matchs, l’équipe est très fière d’avoir gagné 8 matchs.

Combien en a-t-elle perdu de matchs sachant que l’équipe a une moyenne d’environ 1,58 point par match ?

On note 𝑛 le nombre de matchs nuls. On utilise la formule des moyennes partielles pour calculer 𝑛.

�� =3×8+1×𝑛

19= 1,58 d’où 𝑛 = 19 × 1,58 − 24 = 6,02.

Sur les 19 matchs joués, l’équipe en a gagné 8, elle a obtenu 6 matchs nuls. Le nombre de matchs perdus est

donc 19 − 8 − 6 = 5.

Exercice 2

Une machine fabrique des fers cylindriques pour le béton armé de diamètre théorique 25 mm. On contrôle le

fonctionnement de la machine en prélevant un échantillon de 100 pièces au hasard dans la fabrication. Les

mesures des diamètres ont donné les résultats suivants à 0,1 mm près :

Diamètres 24,1 24,3 24,5 24,7 24,9 25,1 25,3 25,5 25,7 25,9

Effectifs 1 4 13 24 19 14 10 8 5 2

1) Calculer la moyenne �� et l’écart-type 𝜎 de cette série.

�� = 24,944 et 𝜎 ≃ 0,39

2) On estime que la machine a un fonctionnement "normal" si :

l’étendue de la série reste inférieure à 10 % de la valeur moyenne ��.

𝜎 < 0,4.

95 % des diamètres au moins sont dans l’intervalle [�� − 2𝜎 ; �� + 2𝜎].

Cette machine a-t-elle un fonctionnement "normal" ?

𝑒 = 25,9 − 24,1 = 1,8 or 10% de la valeur moyenne correspond à 2,4944. Donc 𝑒 < 0,1��.

𝜎 ≃ 0,39 < 0,4

[�� − 2𝜎 ; �� + 2𝜎] = [24,944 − 0,78; 24,944 + 0,78] = [24,164 ; 25,724 ].

Dans l’intervalle [24,164 ; 25,724 ], il y a 97% des effectifs.

Les trois conditions sont remplies donc on peut considérer que le fonctionnement est normal.

Exercice 3

Les salariés de deux entreprises A et B sont répartis suivant leur fonction (employés et cadres) et suivant leur

salaire mensuel en milliers d’euros.

On donne les graphiques suivants résumant les données dans les deux entreprises :

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1) 1) Comparer les salaires moyens 𝑆𝐴 𝑒𝑡 𝑆𝐵

des salariés pour chaque entreprise A et B.

2) 𝑆𝐴 = 0,72 × 1500 + 0,22 × 2500 + 0,06 × 3500 = 1840

3) 𝑆𝐵 = 0,68 × 1500 + 0,24 × 2500 + 0,08 × 3500 = 1900

4) 𝑺𝑨 < 𝑺𝑩

1) 2) Compléter le tableau des répartitions des employés et des cadres suivant les tranches de salaires dans les

deux entreprises en pourcentage :

Employés [1000; 2000[ 2) [2000; 3000[

Entreprise A 3) 80 % 4) 20%

Entreprise B 5) 81% 6) 19%

Cadres [2000; 3000[ [3000; 4000[

Entreprise A 7) 40% 8) 60%

Entreprise B 9) 50% 10) 50%

3) Comparer les salaires moyens des employés dans les deux entreprises puis des cadres. Comparer aux

résultats calculés à la question 1. Interpréter les résultats.

Salaires moyens des employés :

𝐸𝐴 = 0,8 × 1500 + 0,2 × 2500 = 1700

𝐸𝐵 = 0,81 × 1500 + 0,19 × 2500 = 1690

Salaires moyens des cadres :

𝐶𝐴 = 0,4 × 2500 + 0,6 × 3500 = 3100

𝐶𝐵 = 0,5 × 2500 + 0,5 × 3500 = 3000

Donc 𝑬𝑨 > 𝑬𝑩

et 𝑪𝑨 > 𝑪𝑩

Globalement, l’entreprise B a un salaire moyen plus élevé que l’entreprise A alors que les salaires moyens des

employés et des cadres sont plus élevés dans l’entreprise A. Ce paradoxe est dû à la structure des entreprises :

la plus grande proportion de cadres dans B « tire les salaires moyens de B vers le haut ».

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Partie B - Médiane et quartiles

Exercice 1

On effectue des essais sur un échantillon de 220 lampes électriques afin de tester leur durée de vie exprimée en

heures. Voici les résultats :

Durée Effectif Fréquence % FCC

[1000; 1200[ 14 6,36 6,36

[1200; 1400[ 31 14,09 20,45

[1400; 1600[ 75 34,09 54,54

[1600; 1800[ 85 38,63 93,17

[1800; 2000[ 10 4,54 97,71

[2000; 2200[ 5 2,72 100

1) Déterminer la classe médiane

La classe médiane est [1400; 1600[ (50% des effectifs sont atteints).

2) Représenter la courbe des effectifs cumulés croissants.

3) Déduire du graphique précédent une valeur de la médiane, des quartiles 𝑄1 et 𝑄3.

𝑄1 = 1425, 𝑀𝑒 = 1575 𝑒𝑡 𝑄3 = 1700

110 ampoules de l’échantillon ont une durée de vie inférieure ou égale à 1425 heures. Exercice 2

On a réalisé une étude statistique sur la durée des communications d'un standard téléphonique.

Les durées (en secondes) des communications du standard sont regroupées en classes de même amplitude.

1) Compléter le tableau des effectifs cumulés croissants ci-dessous :

D1 D9Q1 Q3Med

1000 1100

0

10

x

y

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2) Déterminer par le calcul la classe médiane.

𝑁

2=

135

2= 67,5 donc la classe médiane correspond à la classe de la 68ème valeur classée par ordre croissant.

𝑀𝑒 ∈ [90; 110[ (la moitié des effectifs est atteinte).

3) Tracer le polygone des effectifs cumulés croissants de cette série.

4) Déterminer, à l'aide du graphique une valeur de la médiane de cette série, les 1er et troisième quartiles.

𝑀𝑒 ≃ 101, 𝑄1 ≃ 89, 𝑄3 ≃ 119

Durée (sec)

communication [30; 50[ [50; 70[ [70; 90[ [90; 110[ [110; 130[ [130; 150[ [150; 170]

Effectifs 5 10 20 55 25 15 5

Effectifs

cumulés

croissants

5 15 35 90 115 130 135

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Partie C – Diagrammes en boite

Exercice 1

Sur chacun des diagrammes ci-dessous, lire l'étendue, la médiane, les quartiles et les écarts interquartiles.

Interpréter les résultats en termes de dispersion.

Diagramme 1 :

𝑒 = 100 − 5 = 95, 𝑀𝑒 = 45, 𝑄1 = 30, 𝑄3 = 65 𝑒𝑡 𝑄3 − 𝑄1 = 35

Diagramme 2 :

𝑒 = 80 − 10 = 70, 𝑀𝑒 = 45, 𝑄1 = 35, 𝑄3 = 55 𝑒𝑡 𝑄3 − 𝑄1 = 20

Diagramme 3 :

𝑒 = 95 − 20 = 75, 𝑀𝑒 = 45, 𝑄1 = 35, 𝑄3 = 65 𝑒𝑡 𝑄3 − 𝑄1 = 30

Exercice 2

On considère la série statistique donnant les masses en gramme des œufs de poule d’un élevage statistique. On

donne le tableau des effectifs suivants :

Poids 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Effectifs 16 20 75 141 270 210 165 63 21 12 7

Effectifs cumulés 16 36 111 252 522 732 897 960 981 993 1000

1) Compléter le tableau des effectifs cumulés. (voir Tableau)

2) Déterminer la médiane 𝑀𝑒, le premier quartile 𝑄1 et troisième quartile 𝑄3.

𝑀𝑒 = 60. C’est la valeur de la variable correspondant à l’effectif 1000

2= 500.

𝑄1 = 55. C’est la valeur de la variable correspondant à l’effectif 1000

4= 250

𝑄3 = 70. C’est la valeur de la variable correspondant à l’effectif 1000

4× 3 = 750

3) Déterminer l’étendue 𝑒 et l’intervalle interquartile 𝑖.

𝑒 = 90 − 40 = 50 et 𝑖 = 𝑄3 − 𝑄1 = 70 − 55 = 15

4) Déterminer le premier décile 𝐷1 et le neuvième décile 𝐷9.

𝐷1 = 50. C’est la valeur de la variable correspondant à l’effectif 1000

10= 100.

𝐷9 = 75. C’est la valeur de la variable correspondant à l’effectif 1000

10× 9 = 900.

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5) Tracer le diagramme en boite de cette série. Interpréter.

Interprétation : On observe une plus forte concentration des petits œufs.

𝑀𝑒 − 𝑚𝑖𝑛 = 60 − 40 = 20

𝑀𝑎𝑥 − 𝑀𝑒 = 90 − 60 = 30

On observe aussi une plus grande disparité entre 𝑄3 et 𝑚𝑎𝑥 qu’entre 𝑄3 et Me.

𝑄3 − 𝑀𝑒 = 70 − 60 = 10

𝑀𝑎𝑥 − 𝑄3 = 90 − 70 = 20

Exercice 3

Dans une entreprise, on a dénombré 59 femmes et 130 hommes fumeurs de cigarettes. L’entreprise souhaite

proposer à ses employés plusieurs méthodes pour diminuer, voire supprimer, l’usage du tabac.

Une enquête est menée parmi les fumeurs, femmes et hommes, pour déterminer la quantité approximative de

cigarettes fumées sur une journée.

Pour les femmes fumeuses:

Nombre de cigarettes

fumées par jour

5 10 15 20 25 30 35 40

Nombre de femmes 10 18 12 8 5 3 2 1

Pour les hommes fumeurs:

Nombre de cigarettes

fumées par jour

5 10 15 20 25 30 35 40

Nombre d’hommes 15 18 25 35 12 10 10 5

Effectifs cumulés

croissants

15 33 58 93 105 115 125 130

1) Le diagramme en boîte de la série du nombre de cigarettes fumées par jour pour les femmes fumeuses est

représenté à la fin.

Lire la médiane, le 1er quartile et le 3ème quartile de cette série.

𝑄1 = 10, 𝑀𝑒 = 15 et 𝑄3 = 20

2) On s’intéresse à présent aux hommes.

a) Déterminer la médiane, le 1er quartile et le 3ème quartile de la série du nombre de cigarettes fumées par jour

par les hommes fumeurs.

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𝑀𝑒 = 20, valeur de la variable correspondant à l’effectif 𝑁

2=

130

2= 65.

𝑄1 = 10, valeur de la variable correspondant à l’effectif 33 (premier entier après 130

4= 32,5)

𝑄3 = 25, valeur de la variable correspondant à l’effectif 98 (premier entier après 130

4× 3 = 97,5).

b) Représenter le diagramme en boîte de cette série au dessous de celui des femmes fumeuses.

3) Calculer le nombre moyen de cigarettes fumées par jour par les femmes fumeuses puis par les hommes

fumeurs (arrondir à l’unité).

Femmes : ��𝐹 ≃ 15,2.

Hommes : ��𝐻 ≃ 19,1

Les femmes fument en moyenne environ 15 cigarettes par jour contre 19 pour les hommes.

4) Chacune des phrases suivantes est-elle vraie ou fausse ? Justifier votre réponse.

a) Parmi les fumeurs, au moins la moitié des hommes fument au plus 20 cigarettes par jour. Vrai. La médiane

est 𝑀𝑒 = 20. La moitié au moins des hommes fument au plus 20 cigarettes par jours.

b) Parmi les fumeurs, environ la moitié des femmes fument entre 10 et 20 cigarettes par jour. Vrai. Entre

𝑄1 = 10 et 𝑄3 = 20, il y a au moins 50 % des effectifs. Donc, au moins la moitié des femmes fument entre 10

et 20 cigarettes par jour.

c) Parmi les fumeurs, les femmes fument, en moyenne, plus que les hommes.

Faux. Les femmes fument en moyenne 15 cigarettes par jour contre 19 pour les hommes.

5) Utiliser les résultats précédents pour comparer la consommation de cigarettes des femmes et celle des

hommes. Justifier vos commentaires en citant les paramètres statistiques utilisés.

75% des femmes fument entre 5 et 20 cigarettes (minimum et 𝑄3) par jours ce qui correspond à la

consommation de 50% des hommes. De plus, les femmes fument en moyenne moins que les hommes.

Finalement, seules 25% des femmes fument plus d’un paquet de cigarettes par jour contre 50% pour les

hommes.

Partie D - Exercices de synthèse

Exercice - L’usine à chaussures

Un sondage sur un échantillon de mille hommes adultes donne la répartition suivante des pointures :

Pointure P 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

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1) Calculer les paramètres suivants : La moyenne ��, la médiane Me, le mode M et l’étendue 𝑒.

�� =8 × 38 + 56 × 39 + ⋯ + 2 × 47 + 3 × 48

1000= 42,508

La pointure moyenne est proche de 43 à l’unité près.

Médiane 𝑀𝑒 = 43 : pointure de la 50ième personne classée par ordre croissant des pointures.

Mode 𝑀 = 43. C’est la pointure la plus fréquente.

𝑒 =′ 48 − 38 = 10.

2) La direction d’une usine de fabrication de chaussures pour hommes veut définir sa stratégie.

a) Pour la découpe du cuir, le réglage de la machine nécessite de couvrir toutes les pointures.

Quel est le paramètre le plus adapté ?

L’étendue. Elle prend en compte toutes les pointures de la plus petite à la plus grande.

b) Quelle est la pointure nécessitant un temps maximal d’occupation de la machine ?

Pointure 43. C’est le mode, c’est-à-dire, la pointure qui correspond au plus grand effectif donc au temps

maximal d’utilisation de la machine.

3) a) Les coûts de production sont tels que la direction n’envisage que la fabrication pour les pointures

représentant au moins 5% de la population. Quelle est alors la nouvelle étendue ?

5% de 1000 représente un effectif de 50, donc toute pointure correspondant à un effectif inférieur à 50 n’est

plus fabriquée. Les chaussures à fabriquer vont du 39 au 45. L’étendue sera alors de 6.

b) Quelle est alors la pointure nécessitant un temps maximal d’occupation de la machine ?

C’est toujours la pointure 43.

c) Quel est le pourcentage de la population qui ne trouvera pas chaussure à son pied ?

8 + 32 + 2 + 3 = 45 personnes sur 1000 ne trouveront pas de chaussures à leur pointure soit 4,5%.

4) a) Trouver les pointures 1P , 2P et 3P qui permettent de répartir les chaussures fabriquées suivant le

schéma : Min 25% 1P 25% 2P 25% 3P 25% Max

955 ×25

100= 238,75. Donc 𝑃1 correspond à la pointure du 239ème individu classé par ordre croissant. Donc

𝑃1 = 41.

955 ×50

100= 477,5. Donc 𝑃2 correspond à la pointure du 478ème individu classé par ordre croissant. 𝑃2 = 43.

955 ×75

100= 716,25. Donc 𝑃3 correspond à la pointure du 717ème individu classé par ordre croissant.

Soit 𝑃3 = 44.

(Voir les ECC bis dans le tableau).

b) Comparer 2P avec la médiane. Interpréter.

𝑃2 = 𝑀𝑒

Effectif 8 56 105 138 163 209 161 123 32 2 3

ECC 8 64 169 307 470 679 840 963 995 997 1000

ECC bis 56 161 299 462 671 832 955

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Enlever les pointures “extrêmes” n’a pas changé sensiblement la répartition de la série. Cela correspond au fait

que les effectifs de ces pointures sont très petits.

c) Calculer le pourcentage d’hommes dont la pointure est comprise entre 𝑃1 et 𝑃3.

Entre 𝑃1 et 𝑃3 l’effectif est 138 + 163 + 209 + 161 = 671

Il y a donc 67,1% d’hommes dont la pointure est comprise entre 41 et 44.

Exercice 2

Le directeur d’un magasin d’informatique a enregistré le prix des articles vendus et les a consignés

dans le tableau suivant.

Classe de prix en euros Effectifs Effectifs cumulés Fréquences Fréquences cumulées

[50; 150[ 80 80 0.01 0.01

[150; 250[ 160 240 0.02 0.03

[250; 350[ 720 960 0.09 0.12

[350; 450[ 1680 2640 0.21 0.33

[450; 550[ 2720 5360 0.34 0.67

[550; 650[ 1760 7120 0.22 0.89

[650; 750[ 640 7760 0.08 0.97

[750; 850[ 160 7920 0.02 0.99

[850; 950[ 80 8000 0.01 1

Partie A

1) Quelle est la population étudiée ? Quelle est la variable statistique considérée ? Quelle est la nature de cette

variable ?

Population étudiée : les articles vendus dans un magasin d’informatique

Variable statistique : le prix

C’est une variable quantitative continue

1) Déterminer la classe modale.

La classe modale est [450; 550[

2) Quelle est l’étendue de cette série statistique ? Interpréter.

L’étendue de la série statistique est 𝑒 = 950 − 50 = 900 (valeurs extrêmes). On en déduit que les écarts de prix

sont importants.

3) Compléter les colonnes des effectifs cumulés, celle des fréquences et celle des fréquences cumulées.

Voir tableau.

4) A quelle classe appartient la médiane ? Le premier quartile ? Le troisième quartile ? Justifier.

La classe médiane est [450; 550[ (dépasse 50% des effectifs).

Le quartile 𝑄1 appartient à la classe [350; 450[ (dépasse 25% des effectifs).

Le quartile 𝑄3 appartient à la classe [550; 650[ (dépasse 75% des effectifs).

5) Construire le polygone (ou la courbe) des fréquences cumulées croissantes en prenant comme unités

graphiques 1cm pour 100 euros en abscisses et 1cm pour 0,1 en ordonnées.

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6) Déterminer graphiquement une valeur approchée de la médiane Me, des quartiles 𝑄1 et 𝑄3.

Graphiquement on lit 𝑀𝑒 = 500, 𝑄1 = 412 et 𝑄3 = 586.

7) Construire le diagramme en boite de cette série.

Partie B

Le magasin fait partie d’une chaîne qui compte trois succursales dans le département.

Le directeur du magasin a obtenu les informations suivantes de la part de ses deux homologues :

Succursale partenaire 1 Succursale partenaire 2

Prix minimum 20 65

Prix maximum 850 1200

Médiane 550 550

1er quartile 430 380

3ème quartile 680 670

D1 D9Q1 Q3Med

200 300 400 500 600 700 800 900 1000

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-10

0 100

10

x

y

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Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausse ? Justifier.

1) Les ventes de la succursale 1 sont plus dispersées que celles de la succursale 2.

Faux. En ce qui concerne la succursale 1 𝑄3 − 𝑄1 = 250 et pour la succursale 2 𝑄3 − 𝑄1 = 290 . Or 𝑄3 − 𝑄1

contient au moins 50% de la population. Les ventes de la succursale 1 sont donc moins dispersées que celles de

la succursale 2.

2) Au moins 25 % des ventes de la succursale 1 ont un montant inférieur à 430 euros.

Vrai car pour la succursale 1 𝑄1 = 430

3) 75% des ventes de la succursale 2 ont un montant supérieur à 670 euros.

Faux. 75% des ventes de la succursale 2 ont un montant inférieur à 670 euros ou 25% ont un montant

supérieur à 670 euros.