Exercices de révisions de Physique de PTSI vers PT ...

Exercices de révision Sciences Physiques PTSI Lycée Follereau BM extraits banque PT page1

Exercices de révisions de Physique de PTSI vers PT

Extraits concours banque PT Conseils :

- en premier, réviser la partie de cours PTSI

- résoudre ensuite les exercices correspondant, sans utiliser le cours.

I OPTIQUE GEOMETRIQUE

A Etude d'un prisme, (Banque PT 2010)

On considère un prisme d'angle A = 60° constitué

d'un verre d'indice n. On appelle déviation (notée D)

l'angle entre le rayon transmis par le prisme et le

rayon incident.

1°) Etude de la déviation d'un rayon lumineux

a) Rappeler, en précisant bien ce que sont les

différentes grandeurs sur un schéma, les lois de

Snell-Descartes pour la réflexion et pour la

réfraction.

b) On notera i et i' les angles d'incidence à l'entrée et

à la sortie du prisme, ainsi que r et r' les angles des

rayons réfractés à l'intérieur du prisme

respectivement côté entrée et côté sortie.

La convention de signe est trigonométrique pour A, i, et

r, et horaire pour i', r' et D.

c)Quelles sont, pour un rayon incident situé dans le plan perpendiculaire à l'arête du prisme, les

relations entre angles d'incidence et angles de réfraction ?

Montrer que 'rrA .

d) Etablir la relation : AiiD '

Pour une valeur donnée de l'indice n, la déviation D est en fait seulement fonction de i. Lorsque i

varie, la déviation D présente une valeur minimale, notée mD dans la suite.

e) Montrer qu'au minimum de déviation les angles i et i' sont égaux.

f) Etablir la relation sin sin2 2

mD AAn

. En déduire une méthode expérimentale pour mesurer

l'indice d'un matériau.

En déduire une méthode expérimentale pour mesurer l'indice d'un matériau.

2°) Influence de la longueur d'onde

Le prisme est fabriqué dans un matériau dont l'indice est donné en fonction de la longueur d'onde λ

dans le vide (exprimée en nanomètre) dans le tableau suivant.

)nm(λ 404,6 435,8 486,1 508,6 546,1 578,0 643,8 706,5

N 1,590 1,581 1,572 1,568 1,564 1,561 1,556 1,552

Tableau 1. Variations de l'indice du matériau en fonction de la longueur d'onde.

a) Loi de variation de l'indice avec la longueur d'onde

En utilisant les couples de valeurs ),( λn du tableau 1, montrer que l'indice n du matériau peut se

mettre sous la forme : 2ban .

Calculer les valeurs de a et b pour exprimée en nanomètre.

b) Le minimum de déviation défini précédemment est-il fonction de la longueur d'onde ?

Dans toute la suite de cette partie du problème, on suppose que l'on éclaire le prisme avec un angle

d'incidence i égal à la valeur, notée 0i , correspondant au minimum de déviation pour une valeur de

la longueur d'onde dans le vide égale à nm0,5780 λ .

c) Calculer numériquement cet angle 0i .

Déviation d'un rayon lumineux

par un prisme.


d) Montrer que dans ces conditions, la dispersion angulaire λ

i

d

'd obéit à la relation :

λ

n

i

A

λ

i

d

d.

cos

2/sin2

d

'd

0

; pour cela on pourra différentier les différentes relations obtenues aux

questions 1-c et 1-d, l'angle d'incidence étant constant et égal à 0i .

e) Montage d'étude

Le prisme est placé dans le

montage représenté ci-contre. Ce

montage comprend :

- un collimateur composé d'un

objectif convergent O1 assimilable

à une lentille mince convergente

de distance focale image f' et d'une

fente F perpendiculaire au plan de

la figure, de largeur l, et centrée au

foyer objet de O1

- un objectif O2 identique à O1,

dans le plan focal image duquel on

peut donc observer le spectre de la

source qui éclaire la fente F.

Expliquer le principe de fonctionnement du montage.

On éclaire la fente F par une lumière monochromatique de longueur d'onde nm0,578λ ;

l'axe du collimateur fait avec la normale à la face d'entrée du prisme l'angle 0i calculé à la

question 2-c.

Déterminer la position du centre de l'image de la fente F par l'ensemble du dispositif.

Sachant que 1d

'd

i

i lorsque le prisme est réglé au minimum de déviation, déterminer, en

fonction de la largeur l de la fente source F, la largeur de cette image, toujours lorsque

nm0,578λ .

Dans la suite, on considèrera, pour simplifier, que cette largeur ne dépend pas de la longueur

d'onde.

La source éclairant la fente F contient maintenant deux longueurs d'onde voisines,

nm0,5771 λ et nm0,5792 λ .

Le prisme étant réglé au minimum de déviation pour la longueur d'onde nm0,5780 λ ,

déterminer et calculer les positions des centres des images de F correspondant à ces deux

longueurs d'onde ; on utilisera la relation

λ

n

i

A

λ

i

d

d

cos

2/sin2

d

'd

0

.

La fente F ayant une largeur de 1000 nm, comment doit-on choisir la focale image f' de O1 et de

O2 pour que les deux images soient juste séparées ?

Application numérique : calculer la valeur limite de la focale f'.

La source éclairant la fente F est maintenant une source de lumière blanche.

Qu'observe-t-on sur l'écran ? On précisera bien la répartition des différentes longueurs d'ondes.

Ce montage permet la visualisation des spectres ; quel autre montage peut-on utiliser ?

B Principe de l'arc-en-ciel (Banque PT 2010)

1°) Introduction

On considère une bille sphérique en verre, aluminisée sur sa face arrière, figure suivante.

Montage d'étude spectrale.


Déterminer l'indice de réfraction n du verre

nécessaire pour que le système se comporte

comme un rétro-réflecteur pour les rayons

paraxiaux, c'est à dire tel que tout rayon rentrant

dans la bille avec un angle d'incidence i faible

ressorte parallèlement à lui-même après avoir

subi une réfraction à l'entrée, une réflexion sur le

fond et une réfraction à la sortie.

2°) Théorie géométrique de l'arc-en-ciel

a) Trajet des rayons dans une goutte

d'eau sphérique

On considère une goutte d'eau

sphérique, de rayon R et d'indice de

réfraction n. Les trajets des rayons

lumineux sont définis ci-contre.

Soit un rayon lumineux incident, situé à

une hauteur h de l'axe de la goutte

associée à l'angle d'incidence i (qui n'est

pas nécessairement petit).

On note 1D l'angle de déviation de ce rayon, à la sortie de la goutte d'eau, obtenu après une

réflexion sur le fond de la goutte et deux réfractions à l'entrée et à la sortie de la goutte.

On note r l'angle de réfraction associé à l'angle d'incidence i.

Etablir la relation : irD 241 .

Exprimer l'angle 1D en fonction de n et de R

hx ( 10 x ).

Montrer que )(1 xD passe par un extremum lorsque x a pour valeur 3

4 2nxm

.

On note mD1 la valeur correspondante de 1D .

Calculer mx et mD1 (en degré) dans le cas de l'eau, sachant que 337,1n .

On considère maintenant un rayon

lumineux qui subit deux réflexions à

l'intérieur de la goutte et deux

réfractions à l'entrée et à la sortie de la

goutte.

On admet que l'angle de déviation 2D est

donné par la relation riD 622 et

qu'il présente un extremum mD2 lorsque x

varie, i et r ayant les mêmes expressions

qu’à la question précédente.

Calculer numériquement en degré, toujours dans le cas de l'eau, cet extremum, sachant que la

valeur correspondante de x vaut 8

9 2n.

b) Caractéristiques de l'arc-en-ciel

Il s'agit ici de déduire les caractéristiques de l'arc-en-ciel, formé par la rétrodiffusion de la lumière

solaire dans des gouttes d'eau sphériques des mécanismes présentés ci-dessus.

Pourquoi voit-on un arc lumineux (dit arc primaire) et parfois un second d'intensité plus

faible (dit arc secondaire) ?

Sur un schéma, préciser les positions relatives du soleil, de la pluie et de l'observateur ?


Quelles sont les rayons angulaires moyens des arcs ? L'arc secondaire est-il externe on

interne ? Justifier.

Peut-on voir un arc-en-ciel primaire à Paris le 21 mars (équinoxe de printemps) à midi solaire

? On assimilera la latitude de Paris à 45°.

Pourquoi voit-on des couleurs ?

Préciser l'ordre des couleurs pour l'arc-en-ciel primaire ainsi que l'écart angulaire entre le

violet ( nm400λ , 34356,1n ) et le rouge ( nm700λ , 33052,1n ).

Le ciel est sombre entre les deux arcs primaire et secondaire : interpréter sans calcul.

C Lunette astronomique (Banque PT 2008)

Une lunette astronomique est schématisée par deux lentilles minces convergentes, l'une notée L1 et

appelée objectif, de focale f’1 = 50 cm et l'autre, notée L2 et appelée oculaire, de focale f’2 = 2 cm. Le

plan focal image de L1 est confondu avec le plan focal objet de L2. Le centre optique de L1 est noté

O1 et celui de L2 est noté O2. Le point focal image de L1 est noté F’1 et le point focal objet de L2 est

noté F2. La lunette est utilisée dans les conditions de Gauss,

Représenter sur la figure ci-dessous, le trajet des émergents associés à un rayon incident parallèle à

l'axe optique.

Représenter sur la figure ci-dessous, le trajet des émergents associés à un rayon incident qui fait un

angle avec l'axe optique. On notera B1 le point d'intersection de ce rayon avec le plan focal image

de L1 et ’ l'angle que fait le rayon émergent de L2 avec l'axe optique.

Déterminer le grossissement (angulaire) G = ’/ en fonction de f’1 et f’2.

Application numérique : calculer G.

O1 O2

F2 F'1

L1 L2

α

O1 O2 F2

F'1

L1

L2


II CHIMIE : un matériau de construction : le ciment (Banque PT 2009)

Historique : le mélange de chaux, d'argile, de sable et d'eau est un très vieux procédé de

construction. En effet, les Egyptiens l'utilisaient déjà 2600 ans avant J.-C. Au début de notre ère, les

Romains perfectionnèrent ce «liant» en y ajoutant de la terre volcanique de Pouzzoles, qui lui

permettait de prendre sous l'eau. Toutefois, la découverte du ciment est attribuée à Louis Vicat, jeune

ingénieur de l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées qui, en 1818, fut le premier à fabriquer, de

manière artificielle et contrôlée, des chaux hydrauliques dont il détermina les composants ainsi que

leur proportion. Actuellement «A la New York State Recycling Conference, N. Neithalath a rappelé

que « le deuxième produit le plus consommé après l'eau dans le monde est le béton. Aujourd'hui le

monde consomme, annuellement, 12 milliards de tonnes de béton. Bien sûr, c'est la Chine qui fait

croître le plus la consommation. » On va s’intéresser ici à différents aspects de ce matériau qui a une grande importance économique. Masses molaires en g.mol

−1 : H : 1,00 ; C 12,0 ; O : 16 ; Fe : 55,8 ; Ca : 40,1

Constante d'Avogadro NA = 6,02 1023

mol−1

Constante molaire des gaz parfaits : R= 8,31 J.mol-1

.K-1

Données thermodynamiques à 298 K, relatives à la partie D : A pH = 13, le complexe CaY

2− est un complexe incolore ;

A pH = 13, le complexe CaIn− est un complexe violet ;

A pH = 13, In3−aq prend une coloration bleue claire.

pKAi de l’acide H4Y : 2 ; 2,7 ; 6,1 ; 10,2 pKs(AgCl) = 9,7 E0 (Ag

+/Ag) = 0,80 V .

Conductivités molaires équivalentes limites λi0 en mS.m

2.mol

−1 ( attention aux unités ! )

Ag+ : 6,2 ; Cl

− : 7,6 ; NO3

− : 7,1

A Propriétés atomiques

1°) Le calcium a pour numéro atomique Z = 20. Quelle est sa configuration électronique à l'état

fondamental?

Sous quelle forme ionique le rencontre-t-on habituellement?

A quelle famille appartient-il ?

2°) Donner les numéros atomiques des trois éléments voisins de la même colonne, des deux lignes

précédentes et de la ligne suivante de la classification périodique des éléments, en justifiant les

règles utilisées en 3-4 lignes maximum.

B Cristallographie

Le calcium Ca existe sous deux formes cristallines qu’on notera Ca et Ga. Ca correspond à un

arrangement cubique à faces centrées et Ga cristallise dans un système cubique centré.

1°) Représenter une maille conventionnelle du calcium . Quelle est la coordinence d’un atome dans

cette structure?

Le paramètre de la maille pour le Ca est 559 pm. Calculer le rayon de l'atome de calcium, ainsi que

la masse volumique du cristal, en kg.m−3

.

2°) En supposant que le calcium garde le même rayon dans la forme , calculer le paramètre de la

maille cubique centrée.

La valeur expérimentale est de 448 pm. Qu'en concluez-vous?

Calculer, en kg.m−3

, la masse volumique du calcium à partir de cette valeur expérimentale.

C Le calcium dans l'industrie cimentière

On étudie dans cette partie quelques aspects de la chimie cimentière. L'élaboration des ciments se

fait dans un four à partir d'un mélange de 80% de calcaire CaCO3 et de 20% d'argile, qu'on considère

comme un mélange composé d'alumine Al2O3 et de silice SiO2.

Le composé majoritaire obtenu est Ca3SiO5 (noté par les cimentiers C3S).

1°) Écrire l'équation de réaction notée (1) conduisant notamment à la formation de Ca3SiO5 solide à

partir des seuls réactifs silice et calcaire. Quel sous produit apparaît-il (il s’agit d’un corps pur

composé)?

2°) On donne les valeurs des enthalpies de formation standard à 298 K en kJ.mol−1

notées fH0.

CaCO3(s) : −1206 ; SiO2(s) : −910,0 ; Ca3SiO5(s) : −2876 ; CO2(g) : −393 ,1


a) Calculer l’enthalpie standard de réaction rH0

1 de la réaction (1) à 298 K.

b) Calculer la chaleur qu'il faut fournir à pression constante et température constante (P = P0 et

T = 298K) à une tonne de calcaire CaCO3 pour le transformer, par la réaction (1), en Ca3SiO5 (s).

Calculer la masse de CO2(g) ainsi produite.

3°) Pour alimenter le four, on suppose que l’énergie est apportée par la combustion du méthane

CH4(g) avec O2(g).

a) Quelle masse de méthane faut-il brûler pour apporter l'énergie nécessaire à la transformation

d’une tonne de CaCO3(s) en Ca3SiO5(s), à la pression P0 et à la température constante de 298K ? On

donne l'enthalpie standard de la réaction de combustion du méthane, écrite avec la convention = −1

pour CH4 (g) : rH0

2 = − 690 kJ.mol−1

b) Quelle masse de dioxyde de carbone est ainsi produite?

c) Dans le contexte actuel, quel commentaire pouvez-vous faire sur Findustrie cimentière?

4°) La fabrication de béton consiste en l'hydratation de Ca3SiO5 suivant la réaction d’équation bilan :

2 Ca3SiO5 + 6 H2O = Ca3Si2O7,3H2O + 3 Ca(OH)2. (3)

Donc le ciment des murs contient en particulier Ca(OH)2. En cas d'incendie, pour des températures

supérieures à 400°C, l'hydroxyde se décompose en CaO. Lors du refroidissement, en présence de

l'humidité atmosphérique, CaO se réhydrate lentement.

Ecrire les réactions chimiques correspondantes.

Sachant que les masses volumiques de CaO et Ca(OH)2 sont respectivement 3,25 g.cm−3

et

2,24 g.cm−3

, que se passe t-il?

D Analyse d’une solution représentative d’un ciment

Dans cette partie, nous analysons une solution (S) représentant une solution obtenue par dissolution

du ciment, et contenant du chlorure de calcium (CaCl2) de concentration C1, du chlorure de fer III

(FeCl3) de concentration C2 et du chlorure d’aluminium (AlCl3) de concentration C3. On envisage de

doser les différents ions de cette solution. l°) Dosage des ions calcium Les ions calcium réagissent avec l’EDTA (Y

4−) selon la réaction de complexation :

Ca2+

+ Y4−

= CaY2−

Nous réalisons un dosage colorimétrique des ions calcium de la solution (S) par une solution

d’EDTA à 0,0500 mol.L−1

.

On indique, ci-dessous à titre d’information, le protocole suivi. Dans un erlenmeyer de 250 mL :

. Verser une prise d’essai de 50,0 mL de solution (S).

. Diluer à 200 mL avec de l’eau distillée.

. Ajouter 1 goutte d’héIianthine.

. Agiter et verser goutte à goutte une solution d’ammoniac jusqu'à virage au jaune (pH = 4,4).

. Ajouter 2 mL de triéthanolamine (pour masquer les autres cations présents).

.Verser à la burette un volume de solution d’EDTA disodique NaH2Y à 0, 0500 mol. L−1

représentant environ les trois

quarts de la quantité à utiliser, soit 5-6 mL environ.

. Ajouter 8 à 10 mL de solution d’hydroxyde de sodium à 2 mol. L−1

de façon à ce que le pH soit de 13 à 0,5 près.

. Ajouter une pointe de spatule de réactif de Patton et Reeder (In3−

).

Titrer par la solution d’EDTA disodique jusqu’à virage du violet au bleu clair et tel qu'une goutte supplémentaire de

titrant n’apporte pas de changement de coloration. On donne le volume équivalent V = 10,2 mL.

a) Justifier la nécessité de rendre le milieu basique.

b) Expliquer le virage du violet au bleu clair à l’équivalence. Quel est, du complexe CaY2−

et

du complexe CaIn−, le plus stable ? Expliquer.

c) Calculer la concentration C1 en ions calcium de la solution (S). 2°) Dosage des ions fer (III) par spectrophotométrie d’absorption

Pour doser les ions on utilise une méthode spectrophotométrique. L’ion Fe3+

forme un complexe

coloré avec l’orthophénanthroline.

a) Travail préparatoire

L’ion fer( II) Fe2+

, forme un complexe rouge très stable avec l’orthophénanthroline.

On commence par préparer une courbe d'étalonnage en réalisant les mélanges suivants dans des

fioles jaugées de 50 mL numérotées de 0 à 5 à partir d'une solution étalon (E) contenant exactement


0,050 g.L−1

d’ions fer (II). Pour chacune des solutions, la solution d’orthophénanthroline est en large

excès de façon à complexer tous les ions Fe2+

. On mesure l’absorbance à = 510 nm pour chaque

fiole.

Numéro de la fiole 0 1 2 3 4 5

Volume de solution étalon (E) (mL) 0 1 2 3 4 5

Volume d’acide chlorhydrique à 6 mol.L−1

(mL) 2 2 2 2 2 2

Volume de solution de chlorure d’hydroxylammonium (mL) 4 4 4 4 4 4

Volume de solution d’éthanoate de sodium (mL) 20 20 20 20 20 20

Volume de solution d’orthophénanthroline (mL) 4 4 4 4 4 4

Eau déminéralisée Ajuster le volume à 50 mL

Absorbance 0 0,180 0,348 0,51 0,686 0,844

a) Sur quelle loi repose la méthode spectroscopique ?

b) Que faut-il faire pour déterminer la longueur d'onde de travail (ici = 510 nm) et comment la

choisir ?

c) Tracer la courbe d’étalonnage.

2°) Dosage des ions fer (III) de la solution (S)

Les ions fer (III), Fe3+

, sont d’abord réduits totalement en fer (Il), Fe2+

, par la solution de chlorure

d’hydroxylammonium puis complexés. On indique, ci-dessous à titre d’information, le protocole suivi. Préparer une solution appelée X selon le mode opératoire ci-dessous.

Introduire dans un erlenmeyer de 50 mL :

. une prise d’essai: V= 2,00 mL de solution à doser (S)

. 2 mL d’acide chlorhydrique à 6 mol. L−1

. 4 mL de solution de chlorure d’hydroxylammonium

Chauffer au bain-marie bouillant pendant 20 minutes.

Après chauffage, ajouter 20 mL de solution d’éthanoate de sodium et 4 mL de solution d’orthophénanthroline.

Laisser réagir dix minutes.

Refroidir, transvaser quantitativement le contenu de l’erlenmeyer dans une fiole de 50 mL et compléter au trait de jauge

avec de l’eau distillée.

Mesurer I’absorbance de la solution X à = 510 nm (dans les mêmes conditions que lors de la réalisation de la droite

étalon) .

On mesure la valeur de l’absorbance : A = 0,570. a) Pour quelle raison doit-on chauffer, lors de la phase de réduction ?

b) Déterminer la concentration massique en ions Fe2+

de la solution X. Expliquer.

c) En déduire la concentration molaire C2 en ions Fe3+

de la solution (S). 3°) Dosage conductimétrique des ions chlorure Le test caractéristique des ions chlorure Cl

− est leur précipitation en présence d'ions argent Ag

+. On

utilise ici cette réaction comme réaction de dosage. On réalise les opérations suivantes. Dans un bécher verser une prise d'essai de 10,0 mL de la solution (S) et ajouter 190 mL d’eau distillée.

Réaliser le dosage conductimétrique des ions chlorure Cl− par une solution de nitrate d’argent (Ag

+,NO3

−) à la

concentration de 0,0400 mol. L−1

.

a) Ecrire l'équation de réaction du dosage et calculer sa constante.

b) Montrer que pour une solution usuelle (0,0001 mol.L−1

.< C < 0,1 mol.L−1

), AgCl précipite dès la

première goutte ( le volume d’une goutte est de 5.10−5

L).

c) Que mesure-t-on en conductimétrie ? Préciser l’unité de cette grandeur.

d) Prévoir l’allure de la courbe en la justifiant qualitativement. Expliquer pourquoi on a rajouté un

grand volume d'eau. Comment caractérise-t-on expérimentalement le volume équivalent ?

e) On trouve Véq = 12,5 mL. En déduire la concentration molaire en ions Cl− de la solution (S).

f) Proposer une autre méthode physique pour suivre cette même réaction. Décrire le matériel utilisé

et l'allure de la courbe qui serait obtenue.

4°) Concentration des ions aluminium III (Al3+

) A partir des résultats précédents, déterminer la concentration C3 en ions aluminium de la solution (S).


III ELECTROCINETIQUE : alimentation électrique d’un four à induction. (Banque PT

2009) 1°) transfert de puissance à un dipôle inductif.

On maintient une tension u = Um .cos(t) aux bornes d’une bobine inductive de résistance R et

d’auto-inductance L. L’intensité du courant électrique est alors : i = Im.cos(t+).

Les données sont : L, R, Um. Pour les applications numériques, on prendra :

R = 100 ; L = 400 lorsque f = 4000 Hz ; Um = 1,50V .

a) Déterminer littéralement :

- L’amplitude Im et la valeur efficace I, en fonction de et des données ;

- la puissance électrique moyenne P transférée à la bobine ;

- la valeur maximale Pmax de P, pour R, L et Um fixés ;

- le taux de transfert de puissance TP = P/Pmax

b) Calculer numériquement la valeur de TP pour la fréquence f = 4000 Hz.

2°) Amélioration du transfert de puissance.

On ajoute un condensateur de capacité C en série avec la bobine précédente.

Cet ensemble est alimenté par la tension précédente u = Um .cos(t) .

a) Donner l’expression littérale du taux de transfert TP, Pmax étant le même qu’en 1-a.

Etablir l’expression littérale de la valeur C0 de C permettant un transfert optimal de puissance

électrique à la bobine, à la fréquence imposée f = 4000 Hz.

Calculer numériquement C0 et TP(C0). Conclure.

c) Tracer, après une étude asymptotique, une représentation graphique de TP en fonction de C.

d) Lorsque C = C0, donner l’expression littérale de Im et 3°) Introduction d’une charge non ferreuse dans la bobine.

a) La bobine étant « vide », on règle la valeur de la capacité à C = 37,5nF pour obtenir

l’oscillogramme n°1 (rappel : Vpp est la tension crête à crête). Déduire de l’oscillogramme n°1 les

valeurs, lorsque la bobine est « vide », de la résistance Rv de cette bobine et de son inductance « à

vide » Lv.

b) On insère un morceau d’aluminium ( substance non ferreuse ) dans la bobine ; on observe alors un

décalage des courbes ( oscillogramme n°2 ).

Déterminer le déphasage de i par rapport à u.

c) Pour obtenir l’oscillogramme n°3, on doit faire passer la capacité à la valeur C’ = 43,7 nF.

Déterminer, lorsque la bobine contient un morceau d’aluminium, les valeurs de sa résistance Rc et de

son inductance Lc .

i Y2 C

u = Um .cos(t) Bobine

Y1

G

B F

F r

On réalise le circuit ci -contre:

Um=1,500V

r =30

f = 4000 Hz

La sensibilité verticale sur les

deux voies est de

0,5 V/division.


4°) Pilotage du four à induction.

La charge mise à fondre dans le four change les paramètres électriques R et L de ce four; en

particulier, l’inductance L baisse en cours de chauffe.

On désire que le four travaille constamment à puissance optimale.

Dans la pratique, on choisit C de manière à optimiser le transfert de puissance « à froid », puis on

régule en cours de chauffe en jouant sur un autre paramètre.

Préciser quel est ce paramètre et quel doit être le sens de son évolution en cours de chauffe.

Justifier votre réponse.

Vpp(1) = 1,734V ;

Vpp(2) = 3,000V ;

f = 4000Hz

base de temps:

50s/division

Oscillogramme n° 1

Oscillogramme n°2

Vpp(1) = 0,470V ;

Vpp(2) = 3,000V ;

f = 4000Hz

base de temps:

50s/division

Oscillogramme n° 3

Vpp(1) = 1,078 V ;

Vpp(2) = 3,000 V

f = 4000 Hz

base de temps:

50s/division


IV MECANIQUE : sismométrie (Banque PT 2005)

Le but de ce problème est de présenter le principe de fonctionnement des sismomètres qui sont

utilisés pour mesurer et enregistrer les déplacements du sol causés par les tremblements de terre. A

partir des enregistrements réalisés (voir un exemple Figure l), l'appareil est alors plutôt appelé un

sismographe, il est possible de déterminer la localisation ou épicentre des séismes ainsi que leur

"magnitude" ; à partir de ces informations les géophysiciens peuvent conduire des études

géologiques à grande échelle comme l'étude du mécanisme même des séismes ou la caractérisation

de la structure la croûte terrestre. A côté de l'étude des séismes "naturels" il existe aussi des micro-

tremblements de terre artificiels provoqués par des explosions et enregistrés eux aussi, par des

sismographes ; cela permet une étude géologique plus locale voire de la prospection minière ou

pétrolière.

Figure 1. Enregistrement effectué dans les Alpes-Maritimes du séisme du 26 décembre 2003 en Iran.

A Principe de fonctionnement d'un sismomètre

1°). Principe de la dynamique a) Donner l'expression du principe fondamental de la dynamique pour un point matériel dans un

référentiel galiléen, noté R.

b) Même question dans le cas d'un référentiel non galiléen, noté R’ .

c) Application: déterminer l'angle d'inclinaison, supposé constant, d'un pendule simple de masse m et

de longueur l, placé dans un véhicule, en translation rectiligne horizontale dans R galiléen, et dont

l'accélération supposée constante est notée av; on note g l'intensité de la pesanteur.

2°) Comportement élastique

Soit un ressort de longueur au repos l0 et de constante de raideur k.

a) Donner l'expression de la force de rappel exercée par le ressort lorsqu'un opérateur lui dorme, par

traction, une longueur totale l.

b) On suppose maintenant que le ressort soit tel que, par un procédé particulier de fabrication, il

faille exercer une force F0 pour décoller les spires de ce ressort.

- Calculer la force de rappel exercée par le ressort lorsque l'opérateur lui a donné une longueur l.

- A quelle condition sur F0 obtient-on une force de rappel proportionnelle à la longueur totale l du

ressort ?

- Que peut-on dire alors de la longueur apparente au repos de ce ressort ?

c) La condition précédente étant difficile à réaliser on préfère réaliser un

ressort pour lequel la force à exercer pour décoller les spires est F1 > F0 et

auquel on rajoute un brin de fil de longueur l1 comme indiqué sur la figure.

- Calculer la longueur l1 à ajouter pour que le ressort exerce une force de

rappel proportionnelle à la longueur totale l.

- Conclure sur le rôle du brin de fil de longueur l1.


DANS LA SUITE DU PROBLEME on considère que la Terre constitue un référentiel galiléen noté

R et que g est uniforme. Localement le sol est mis en mouvement par rapport à R sous l'effet des

secousses sismiques que l'on souhaite étudier, secousses naturelles, en cas de tremblement de Terre,

ou artificielles. On notera R’ le référentiel lié au sol, au lieu d'observation. On s'intéresse uniquement

dans ce problème au cas où R’ est animé par rapport à R d'un mouvement de translation verticale,

mais bien sûr l'étude pourrait se généraliser à des mouvements de translation à trois dimensions.

d) Que peut-on dire, dans ce cas, du terme d'accélération de Coriolis (accélération complémentaire) ?

B Principe de fonctionnement d'un sismomètre pendule

Le sismomètre pendule est constitué d'une masse M reliée à un point A

d'un châssis lui-même solidaire du sol en vibration dans R. La liaison de

M au bâti est modélisée par un comportement élastique de constante de

raideur k associé à un frottement fluide caractérisé par la constante D

selon le schéma. Le point B est également lié au châssis.

1°) Qu’appelle-t-on frottement fluide ou visqueux ?

2°) On note Oz un axe vertical descendant, O étant fixe dans R. Le

mouvement du sol par rapport au référentiel galiléen R est noté u(t) et le

mouvement de M par rapport au châssis, donc par rapport au sol, est noté (t). On suppose que est

nul à l'équilibre en l'absence de tremblement de terre (donc lorsque u est constamment nul).

- On pose: = D/(2M) et s2 = k/M

En raisonnant dans le référentiel non-galiléen R’, montrer que l'équation différentielle du

mouvement s’écrit :

- Dans le cas de mouvements très rapides (donc de très grandes fréquences), quel est le terme

prépondérant (au premier membre)? Quelle grandeur représente alors(t) ?

- Mêmes questions dans le cas de mouvements très lents.

3°) Déterminer l'expression complexe de la réponse (t), en régime permanent sinusoïdal - ou

harmonique forcé -, du système à un déplacement du sol de type sinusoïdal d'amplitude U0. On

caractérise le mouvement enregistré par son amplitude X() et son déphasage () et on introduit le

paramètre h = /s.

- Déterminer les expressions de X() et () en fonction de h, U0 et du rapport x = /s.

- Étudier les comportements limites de X() et <() aux très basses, puis aux très hautes pulsations.

- On pose Y = U02/X

2. En exprimant Y en fonction de x’=1/x = /, montrer qu'il ne peut pas y avoir

résonance si h est supérieur à une valeur limite que l'on déterminera.

- Tracer les courbes X() et () pour les deux valeurs suivantes du paramètre h :

h = 2 puis h = 0,5 , les valeurs de U0 et de s étant fixées. Que deviennent ces courbes pour h nul ?

4°) On définit la sensibilité d'un pendule sismique par la valeur absolue du quotient du

déplacement ; de la masse M par la variation de l'accélération sismique a qui provoque ce

déplacement.

- Exprimer en fonction de la période propre du pendule dans le cas de mouvements dits de longue

période (donc de mouvements très lents).

- Application numérique: calculer le déplacement de la masse M provoqué sur un pendule de période

propre 60 s par une variation d'accélération du bâti de 1 milligal = 10−3

cm.s−2

.

5°) On considère que le sol est soumis à une accélération a(t) dont le

graphe est donné. Indiquer, qualitativement et sans calcul, le type de

réponse dans le cas limite où 0, sachant que h < 1 .


V THERMODYNAMIQUE (Banque PT 2010) L’épuisement progressif des réserves de pétrole et de gaz, le coût du chauffage électrique, amènent à

envisager des solutions de chauffage, qui, dans certains cas, s’avèrent plus économiques, entre autres les PAC

(pompes à chaleur). On préconise néanmoins de les utiliser « en relève de chaudière » car nous allons voir

qu’en-dessous d’une certaine température extérieure, le COP (coefficient optimal de performance) de la PAC

chute fortement et la chaudière doit alors prendre le relais.

Nous allons étudier les caractéristiques d’une PAC air/eau qui extrait un transfert thermique de l’air extérieur

et en fournit à l’eau du circuit de chauffage (il existe aussi des PAC air/air et eau/eau).

La PAC contient un fluide en écoulement permanent qui est amené à subir des changements d’état

(liquéfaction ou vaporisation). Le fluide échange de la chaleur avec les deux sources en traversant des

échangeurs appelés condenseur ou évaporateur, selon la source avec laquelle s’effectue l'échange.

1°) Sur UN schéma de principe, identifier les différents transferts énergétiques à l’œuvre dans une

PAC, entre les différents éléments ci-dessous et les représenter au moyen d’une flèche ; identifier, en

le justifiant, la source chaude et la source froide.

2°) Redémontrer l’inégalité de Clausius en appelant T1 la température de la source chaude et T2 la

température de sa source froide.

3°) On considère une PAC idéale ; rappeler ce qu’on entend par « idéale » et déterminer l’expression

du coefficient de performance ou COP. Comment serait modifié le COP pour une PAC réelle ?

Pourquoi ?

4°) D’après vous, le COP augmente-t-il ou diminue-t-il avec la différence des températures

intérieure et extérieure de l’habitation ? Pourquoi ?

5°) Doit-on placer le condenseur au contact de la source froide ou de la source chaude ? Pourquoi ?

6°) Enfin a-t-on intérêt à rechercher un COP le plus élevé possible ou le plus faible possible ? Sur

quels paramètres peut-on jouer pour modifier le COP ?

7°) Les PAC air/eau ont un meilleur COP que les PAC air/air. Pouvez-vous fournir une explication ?

Eau du

Circuit de

Chauffage

(Te)

Air

Extérieur

(Ta)

Fluide

R 410 A

de la PAC

Pièces méca.

mobiles du

Compresseur


VI ELECTROMAGNETISME : étude d’une bobine inductrice, facteur de qualité d’un

circuit résonant (Banque PT 2009)

A Etude d’une bobine plate

Considérons une spire plane

circulaire (C) dans le plan (Oxy) ,

de centre O, de rayon R et d’axe Oz.

Cette spire est parcourue par le

courant d’intensité constante I. Les

vecteurs unitaires sont x y zu , u et u .

Un point P de la spire est repéré

par l’angle . L’élément de spire de

longueur R crée au point M(0,0,z)

un champ élémentaire 1B M . On

pourra utiliser l’angle sous lequel

le rayon de la spire est vu du point M soit .

1°) Rappeler l’expression de 1B M .

2°) Trouver, à l’aide des symétries, la direction du champ total 1B M produit par la spire complète

au point M.

Déterminer ce champ résultant 1B M , puis le champ résultant 1B O au point O.

Une bobine plate est constituée de N

spires jointives d’axe commun (Oz) et

bobinées entre les rayons R1 et R2. Cette

bobine est parcourue par le courant

d’intensité I. Le fil de la bobine est

supposé infiniment conducteur.

3°) Combien de spires sont contenues dans

la portion de bobine comprise entre les

rayons r et r r ? Quel est le champ

B O produit par cette fraction de

bobine au point O ?

4°) En déduire le champ B O produit

par la bobine complète au point O. Donner le résultat en fonction de I, N, R1, R2 et de constantes à préciser.

5°) Application numérique : I = 0,01A, N = 250, R1 = 0,2m, R2 = 0,3m.

6°) On suppose connu le champ magnétique créé par la bobine entière en tout point de son plan xOy. Quelle

en est la direction ?

Déterminer son flux à travers les spires situées dans la portion de bobine comprise entre les rayons r et r r

sous la forme, compte tenu des symétries, d’une intégrale simple (en précisant bien les bornes et sans

chercher à calculer cette intégrale) et en déduire les expressions du flux propre de la bobine et de son

inductance propre L0 en fonction d’une intégrale double que l’on ne cherchera pas à calculer.

L0 dépend-elle de la valeur de l’intensité I du courant ? Justifier.

7°) Proposer un montage électrique simple permettant de mesurer L0.

B Bobine réelle, circuit résonant. La bobine précédente (b) est placée à proximité d’une pièce métallique conductrice, de perméabilité

r0 , avec r > 1. Elle peut être rapprochée ou éloignée de la pièce. La bobine, alimentée par une

tension effu t U 2 cos t est parcourue par un courant variable effi t I 2 cos t On se place

dans le cadre de l’approximation des états quasi-staionnaires. Pour une position et une pulsation données,

Ueff, Ieff et sont fixés.

1°) Les mesures montrent que l’inductance L de la bobine varie en fonction de sa position par rapport à la

x

x

z

x

y

x

Ox

I

x

M

P

z

y

Ox

I

x I

x

R2

R1


pièce. Pourquoi ?

2°) Dans quel sens varie l’inductance propre d’une bobine lorqu’on y introduit un noyau de fer ? En déduire,

sans justification, quelle relation d’ordre lie, pour la bobine étudiée, L et L0 , inductance propre en absence de

la pièce.

3°) La puissance moyenne Pb absorbée par la bobine dépend elle aussi de sa position par rapport à la pièce.

Pourquoi ? Rappeler son expression en fonction de Ueff , Ieff et .

On adopte comme modèle équivalent de la bobine en présence de la pièce : une bobine d’inductance propre L

et de résistance R. L et R dépendent de la position de la bobine par rapport à la pièce.

4°) Donner les expressions de L et de R en fonction de Ueff , Ieff , et .

On considère maintenant le circuit résonant

constitué de la bobine (b) en série avec un

condensateur de capacité C0 et un

interrupteur K. Le modèle électrique est alors

un circuit RLC. A t=0 le condensateur est

initialement chargé la tension à ses bornes

vaut c 0v (0) U , 0U 0 et on ferme

l’interrupteur. On posera 0

0

1

LC et

0

Rm

2L

. Le facteur de qualité du circuit vaut

1Q

2m .

5°) Etablir les équations différentielles auxquelles satisfont i(t) et vc(t).

6°) Les résoudre lorsque m<1.

Un enregistrement du courant pendant la décharge du condensateur est donné à la figure 5 ci-dessous.

7°) Montrer comment la connaissance du rapport des amplitudes I1 et !2 et de la durée NT1 (voir figure 5 ci-

dessus) permet de trouver les valeurs de 0 et de m, puis de L et R.

Application numérique : C0 = 22nF, N = 3, T1 = 0,4 ms. En utilisant le graphe de la figure 5, déterminer 0 ,

m, L et R.

1TN

1TN

X1

X2

P1

P2

I1

I2

Figure 5

t

C0

L K R

i(t)

vc(t)

Exercices de révisions de Physique de PTSI vers PT ...

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