Maths 1re anne_pcsi-ptsi

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2. H PRPA TOUT EN UN 1ANNE RE Le cours : connaissances et mthodes De nombreux exercices corrigs Des extraits de concours TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME ! MATHSPCSI-PTSI

3. Crdits photographiques Couverture : Getty Images/AKIRA INOUE Toutes les photographies de cet ouvrage proviennent de la photothque HACHETTE LIVRE. Composition, mise en page et schmas : Publilog Maquette intrieure : Vronique Lefbvre Maquette de couverture : Guylaine MOI HACHETTE LIVRE 2008, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15 Tous droits de traduction, de reproduction et dadaptation rservs pour tous pays. Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant, aux termes des articles L.122-4 et L.122-5, dune part, que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective , et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un but dexemple et dillustration, toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, faite sans le consentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite . Cette reprsentation ou reproduction, par quelque procd que ce soit, sans autorisation de lditeur ou du Centre franais de lexploitation du droit de copie (20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal. I.S.B.N. 978-2-0118-1332-9

4. Avant-propos En proposant ici runi en un seul ouvrage le programme de la premire anne PCSI et PTSI des Classes Prparatoires aux Grandes Ecoles, nous avons voulu privilgier la simplicit et la concision. Nous avons cherch pour chaque nouvelle notion lintroduction la plus simple et les dmonstrations les plus comprhensibles pour le dbutant. Ce livre ne se sub- stitue pas au cours oral dun professeur, mais nous esprons quil constituera pour ltudiant un outil de travail et de rfrence. Quelques repres typographiques doivent aider le lecteur : tous les mots nouveaux, dfinis au fil du texte, sont reprs par un fond color et sont rpertoris dans lindex. les rsultats essentiels et les noncs des thormes sont encadrs ; les dmonstrations sont clairement identifies par un filet. les parties qui ne sont pas au programme des tudiants de PTSI nayant pas choisi loption PSI sont signales par une toile. des applications proposent, au fur et mesure, des situations o sont mises en uvre les notions tudies. une fiche-mthode rsume, en fin de chapitre, les principaux savoir-faire indispensables pour les exercices. chaque chapitre comporte un exercice rsolu qui propose une solution rdige et commente dun exercice classique. les exercices de chaque chapitre sont accompagns la fin du livre dindications et rponses qui peuvent aller, suivant la difficult, dune simple rponse numrique une solution dtaille en passant par le coup de pouce souvent ncessaire. Ces lments de rponse nont videmment dintrt que pour le lecteur qui a effectivement travaill sur lexercice et qui veut vrifier ses rsultats. Ils doivent tre lus de faon active, le crayon la main, et ne sont jamais dfinitifs : cest au lecteur de conclure et, sil le dsire, de rdiger compltement sa solution. nous avons choisi des exercices poss aux oraux des concours lorsque ceux-ci ne portent que sur le programme de Premire Anne, ce qui est tout de mme assez frquent. Les programmes prconisant lintroduction du calcul formel, nous avons choisi de prsenter tout au long de louvrage lutilisation dune calculatrice, en reprant toutes les fonctions relatives aux notions tudies et en les compltant ventuel- lement par de petits programmes. Nous remercions tous ceux qui ont bien voulu nous faire bnficier de leurs remarques et de leurs conseils. Les auteurs HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 3

5. Sommaire Avant-propos 3 Partie I : Programme de dbut danne 1 Nombres complexes 7 2 Fonctions usuelles 30 3 quations diffrentielles linaires 52 4 Gomtrie lmentaire du plan 73 5 Courbes paramtres 92 6 Coniques 108 7 Gomtrie lmentaire de lespace 125 Partie II : Nombres et structures algbriques usuelles 8 Vocabulaire relatif aux ensembles, aux applications et aux relations 146 9 Nombres entiers naturels Combinatoire 164 10 Structures algbriques usuelles 182 11 Espaces vectoriels 198 12 Polynmes 216 4

6. Sommaire Partie III : Nombres rels, suites et fonctions 13 Nombres rels 230 14 Suites relles et complexes 242 15 Fonctions dune variable relle 263 Partie IV : Calcul diffrentiel et intgral 16 Drivation des fonctions dune variable relle 286 17 Intgration sur un segment 308 18 Intgrales et primitives dune fonction continue 327 19 Formules de Taylor. Dveloppements limits 342 20 Approximations 363 Partie V : Algbre linaire 21 Dimension des espaces vectoriels 379 22 Matrices 396 23 Rang dune matrice et systmes linaires 418 24 Dterminants dordre 2 ou 3 432 Partie VI : Espaces vectoriels euclidiens et gomtrie euclidienne 25 Produit scalaire, espaces vectoriels euclidiens 448 26 Automorphismes orthogonaux 462 27 Transformations du plan et de lespace 476 Partie VII : Espace R2 et gomtrie diffrentielle 28 Fonctions de deux variables relles 490 29 Calcul intgral et champs de vecteurs 508 30 tude mtrique des courbes planes 522 Solutions 535 Index 595 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 5

7. 1 Nombres complexes OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser et enrichir les notions vues en Terminale. Prparer le cours dalgbre en donnant des premiers exemples de structures. Prparer le cours danalyse, o les fonctions pourront tre aussi bien valeurs complexes que relles. Utiliser les nombres complexes pour la trigonomtrie. INTRODUCTION Ns de la rsolution gnrale de lquation du troisime degr par Bombelli (1572) voir Exercice rsolu les nombres complexes sont long- temps considrs comme de commodes intermdiaires de calcul nayant pas dexistence propre. Cest Ha- milton en 1837 qui donne pour la premire fois une construction satisfaisante des nombres complexes partir des couples de nombres rels. Lintrt majeur du corps des complexes rside dans le thorme de dAlembert que nous voquerons dans le chapitre Polynmes (chapitre 12) : tout polynme non constant coefficients complexes possde des racines ! Par ailleurs, les nombres complexes constituent un outil commode en gomtrie plane et en trigonomtrie. 7

8. COURS 1 Nombres complexes 1 Corps des complexes 1.1 Dfinition des nombres complexes On appelle ensemble des nombres complexes et on note C lensemble R2 que lon munit des lois de composition interne : addition : (x, y) C (x , y ) C (x, y) + (x , y ) = (x + x , y + y ) multiplication : (x, y) C (x , y ) C (x, y)(x , y ) = (xx yy , xy + x y) On peut identifier le complexe (x, 0) au rel x, ce qui revient considrer R comme une partie de C ; nous constatons que ces deux lois prolongent C laddition et la multiplication dfinies sur R : (x, x ) R2 (x, 0) + (x , 0) = (x + x , 0) (x, 0)(x , 0) = (xx , 0) Le complexe (0, 1) est tel que (0, 1)2 = (1, 0), nous le notons i. Lcriture du complexe z = (x, y) devient alors : z = x + iy, (x, y) R2 o i2 = 1 ATTENTION La partie imaginaire dun complexe est un rel. Par dfinition, (x, y) est lunique couple de rels tel que z = x + iy : x est appel partie relle de z, y est appel partie imaginaire de z. Notations x = Re (z) y = Im (z). La TI-92/Voyage 200 sait bien sr calculer avec les nombres complexes. Un complexe z est rel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle. Un complexe z est dit imaginaire si sa partie relle est nulle. Lensemble des imaginaires est not iR. 1.2 Structure de corps de C La loi + dfinie sur C possde les proprits suivantes : elle est associative : (z, z , z ) C3 (z + z ) + z = z + (z + z ) 0 est lment neutre de C pour + : z C z + 0 = 0 + z = z tout lment de C possde un symtrique pour + : z C z C z + z = z + z = 0 : si z = x + iy, z = x + i(y) = z Ces proprits confrent (C, +) une structure de groupe, de plus laddition est commutative sur C. On dit alors que (C, +) est un groupe ablien. 8

9. Nombres complexes COURS1 La loi dfinie sur C possde les proprits suivantes : elle est associative : (z, z , z ) C3 (zz )z = z(z z ) 1 est lment neutre de C pour : z C z1 = 1z = z tout lment non nul de C possde un symtrique pour : z C z C zz = z z = 1 : si z = x + iy, z = x iy x2 + y2 = 1 z (C , ) est donc un groupe ablien, puisque est commutative sur C. Enfin, est distributive par rapport + : (z, z , z ) C3 (z + z )z = zz + z z Ces proprits confrent (C, +, ) une structure de corps commutatif. Ces notions seront tudies de faon plus approfondie dans le chapitre 10 Structures algbriques usuelles. 1.3 Conjugu dun nombre complexe Le conjugu de z est not conj(z). On appelle conjugu du nombre complexe z = x + iy o (x, y) R2 , le complexe : z = x iy Cette application est involutive : z C (z) = z, elle est donc bijective. De plus : (z, z ) C2 z + z = z + z , z z = z z On en dduit : (z, z ) C2 z z = z z et (z, z ) CC z z = z z z C n Z nz = nz ; zn = zn Le conjugu permet dexprimer facilement la partie relle et la partie imaginaire dun complexe, et donc de caractriser les rels et les imaginaires : z C Re (z) = z + z 2 ; Im (z) = z z 2i z C z R z = z ; z iR z = z HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 9

10. COURS 1 Nombres complexes 1.4 Interprtation gomtrique xx y y uO y x M z( ) Doc. 1 Image dun nombre complexe. On appelle plan complexe un plan P rapport un repre orthonorm (O, u, v). On peut reprsenter le nombre complexe z = x + iy par le point M de coordonnes (x, y) (Doc. 1). Le point M est appel image de z, et rciproquement z est appel affixe de M. Si M et M sont deux points daffixes z et z , on appelle aussi affixe du vecteur MM le complexe z z. Les axes (O, u) et (O, v) sont appels respectivement axe des rels et axe des imaginaires. x y O y y x M(z) M(z) Doc. 2 Image du conjugu. Limage de z est symtrique de limage de z par rapport laxe des rels, en accord avec le caractre involutif de la conjugaison (Doc. 2). 2 Module dun nombre complexe 2.1 Module dun nombre complexe Soit z = x + iy C, o (x, y) R2 : zz = (x + iy)(x iy) = x2 + y2 : zz R+ On appelle module de z le rel positif : |z| = zz. Le module de z est not abs(z). Si z est rel, son module est aussi sa valeur absolue, cest pourquoi on emploie la mme notation. Mais attention ! pour un rel x : |x|2 = x2 , tandis que pour un complexe quelconque z, |z|2 = zz. Thorme 1 Pour tous complexes z et z : |zz | = |z| |z | Dmonstration (z, z ) C2 |zz |2 = (zz )(zz ) = (zz)(z z ) = |z|2 |z |2 On en dduit : (z, z ) CC z z = |z| |z | z C n Z |zn | = |z|n 2.2 Ingalit triangulaire Thorme 2 Pour tous complexes z et z : |z + z | |z| + |z | Lgalit est vrifie si et seulement si z = 0 ou z z R+. 10

11. Nombres complexes COURS1 Dmonstration Les deux membres de lingalit dmontrer tant des rels positifs, comparons leurs carrs. |z + z |2 = (z + z )(z + z ) = z z + z z + z z + z z = |z|2 + 2Re (z z ) + |z |2 (|z| + |z |)2 = |z|2 + 2|z||z | + |z |2 = |z|2 + 2|z z | + |z |2 Or Re (z z ) |z z |. Do lingalit demande. Lgalit est vrifie si et seulement si Re (z z ) = |z z |, cest--dire z z R+. Cette condition est satisfaite si z = 0, ou (en divisant par z z ) si z z R+. x y O M(z) z Doc. 3 Module dun nombre complexe. Dans le plan complexe, le module de z reprsente la distance de lorigine au point M daffixe z (Doc. 3). Le rel |z z | reprsente la distance entre les points M et M daffixes z et z . x z z z y O z z z z z z Doc. 4 Inegalit triangulaire. Comme dans le cas rel, on dduit de lingalit triangulaire que : (z, z ) C2 |z| |z | |z z | |z| + |z | et : (z, z , z ) C3 |z z | |z z | + |z z | (Cette dernire ingalit reprsente lingalit triangulaire dans le plan complexe (Doc. 4).) La notion de distance nous permet de dfinir dans le plan complexe : le disque ferm de centre a et de rayon R : {M P, |z a| R} o R R+ ; le disque ouvert de centre a et de rayon R : {M P, |z a| < R} o R R + ; le cercle de centre a et de rayon R : {M P, |z a| = R} o R R + . Pour sentraner : ex. 2 7 3 Reprsentation des nombres complexes de module 1 3.1 Groupe U des nombres complexes de module 1 Lensemble U des nombres complexes de module 1, muni du produit dfini sur C est un groupe, on dit que cest un sous-groupe de (C , ) (voir chapitre 10) : (z, z ) U2 |zz | = |z|.|z | = 1, la loi multiplicative est bien une loi de composition interne sur U. Elle est associative sur C, donc en particulier sur U. Elle possde un lment neutre : le rel 1, qui appartient U. Enfin, tout lment z de U est non nul, donc possde un inverse dans C : z = 1 z tel que |z | = 1 |z| = 1, ce qui prouve que z U. x z 11 i i y Doc. 5 Cercle trigonomtrique. |z| = 1 OM = 1 : lensemble des points M du plan daffixe z U est le cercle de centre O de rayon 1, appel cercle trigonomtrique (Doc. 5). HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 11

12. COURS 1 Nombres complexes 3.2 Dfinition de ei Thorme 3 Un complexe z est lment de U si et seulement sil peut scrire : z = cos + i sin , R Attention, cette criture nest pas unique. Dmonstration Pour tout rel , | cos +i sin | = cos2 + sin2 = 1 : cos +i sin U. Rciproquement, soit z = x + iy un lment de U. Comme x2 + y2 = 1, il existe R tel que x = cos et y = sin , on peut donc crire z = cos + i sin . Attention, nest pas unique : cos + i sin = cos + i sin quivaut cos = cos et sin = sin , cest--dire 2Z. x ei 11 i i y Doc. 6 Reprsentation dun nombre complexe de module 1 Dsignons par la fonction de R dans C dfinie par () = cos + i sin . Les fonctions cos et sin sont drivables, ce qui entrane que lest aussi et : R () = (cos + i sin ) = sin + i cos = i(cos + i sin ) soit : R () = i() Par analogie avec les fonctions relles dune variable relle t et , on note, pour tout R, () = ei , soit (Doc. 6) : cos + i sin = ei Ainsi : |u| = 1 R u = ei 3.3 Formules dEuler Pour tout R, cos et sin sont respectivement la partie relle et la partie imaginaire de ei , do : R cos = ei + ei 2 et sin = ei ei 2i 3.4 Proprit de lapplication ei RAPPEL : FORMULES DADDITION cos(a + b)=cos a cos b sin a sin b cos(a b)=cos a cos b + sin a sin b sin(a + b)=sin a cos b + cos a sin b sin(a b)=sin a cos b cos a sin b Thorme 4 (, ) R2 ei ei = ei(+ ) 12

13. Nombres complexes COURS1 Dmonstration (, ) R2 ei ei = (cos + i sin )(cos + i sin ) = cos cos sin sin + i(cos sin + sin cos ) = cos( + ) + i sin( + ) = ei(+ ) De mme : (, ) R2 ei ei = ei( ) Par rcurrence : n N (ei )n = ein et (ei )n = ein , do : n Z (ei )n = ein cest--dire : (cos + i sin )n = cos n + i sin n ATTENTION La formule de Moivre na de sens que si n est entier. Pour 2Z, lgalit (e2i )/2 = ei est un non- sens : elle conduirait ei = 1. Cest la formule de Moivre. 3.5 Exponentielle complexe Plus gnralement, on peut tendre C la fonction exponentielle : on appelle exponentielle complexe lapplication dfinie sur C valeurs dans C qui z = x + iy, avec (x, y) R2 , associe : ez = ex eiy = ex (cos y + i sin y) On remarque que le module de ez est ex : z C |ez | = eRe (z) . Thorme 5 (z, z ) C2 ez+z = ez ez Dmonstration Si z = x + iy et z = x + iy : ez+z = ex+x ei(y+y ) = ex ex eiy eiy = ez ez On montre de mme que : (z, z ) C2 ezz = ez ez et : z C n Z (ez )n = enz Attention : Tout complexe non nul peut scrire ez , mais un tel z nest pas unique : il nexiste pas dapplication rciproque de z ez dfinie sur C : ez = ei z = ln + i + 2ik k Z HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 13

14. COURS 1 Nombres complexes 4 Applications la trigonomtrie 4.1 Linarisation et factorisation dexpressions trigonomtriques Un polynme trigonomtrique est une combinaison linaire dexpressions de la forme cosm x sinn x, o (m, n) N2 . Les formules dEuler permettent de le transformer en un polynme des variables eix et eix . Aprs dveloppement, en regroupant les termes conjugus, on obtient une combinaison linaire de cos px et sin qx. Exemple : Linariser cos x sin2 x. cos x sin2 x = eix + eix 2 eix eix 2i 2 = 1 8 (eix + eix )(e2ix 2 + e2ix ) = 1 8 (e3ix eix eix + e3ix ) = 1 4 (cos 3x cos x) 4.2 Transformations de produits en sommes et vice versa Des formules daddition on peut dduire les formules suivantes : cos a cos b = 1 2 (cos(a + b) + cos(a b)) sin a sin b = 1 2 (cos(a + b) cos(a b)) sin a cos b = 1 2 (sin(a + b) + sin(a b)) En posant a + b = p, a b = q, on obtient les formules inverses : cos p + cos q = 2 cos p + q 2 cos p q 2 cos p cos q = 2 sin p + q 2 sin p q 2 sin p + sin q = 2 sin p + q 2 cos p q 2 sin p sin q = 2 cos p + q 2 sin p q 2 4.3 Calcul de cos nx et sin nx en fonction de cos x et sin x Daprs la formule de Moivre, nous avons, pour tout n N : cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)n En dveloppant le premier membre de cette galit par la formule du binme, et en sparant partie relle et partie imaginaire, on obtient cos nx et sin nx. 14

15. Nombres complexes COURS1 Exemple : Calcul de cos 5x et sin 5x. e5ix = (cos x + i sin x)5 = cos5 x + 5i cos4 x sin x 10 cos3 x sin2 x 10i cos2 x sin3 x + 5 cos x sin4 x + i sin5 x Do : cos 5x = cos5 x 10 cos3 x sin2 x + 5 cos x sin4 x sin 5x = 5 cos4 x sin x 10 cos2 x sin3 x + sin5 x Remarque : Pour tout n N, cos nx est un polynme en cos x. Si n est impair, sin nx est un polynme en sin x, si n est pair, sin nx est le produit de cos x par un polynme en sin x. Exemple : cos 5x = cos5 x 10 cos3 x(1 cos2 x) + 5 cos x(1 cos2 x)2 sin 5x = 5(1 sin2 x)4 sin x 10(1 sin2 x) sin3 x + sin5 x cos 2x = 2 cos2 x 1 sin 2x = 2 sin x cos x 4.4 Calcul de n k=0 cos(a + kb) et de n k=0 sin(a + kb) Ce sont la partie relle et la partie imaginaire de la somme complexe : S = n k=0 ei(a+kb) On reconnat la somme de (n + 1) termes dune suite gomtrique de premier terme eia et de raison eib . Si b 2Z , eib = 1 et S = (n + 1)eia ; si b / 2Z , S = eia 1 ei(n+1)b 1 eib . Dans ce cas, mettons ei( n+1 2 )b en facteur au numrateur et ei b 2 en facteur au dnominateur : S = eia ei( n+1 2 )b (ei( n+1 2 )b ei( n+1 2 )b ) ei b 2 (ei b 2 ei b 2 ) = ei(a+ nb 2 ) sin (n+1)b 2 sin b 2 Do : n k=0 cos(a + kb) = cos a + nb 2 sin (n+1)b 2 sin b 2 et : n k=0 sin(a + kb) = sin a + nb 2 sin (n+1)b 2 sin b 2 Pour sentraner : ex. 8 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 15

16. COURS 1 Nombres complexes 5 Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul 5.1 Forme trigonomtrique dun nombre complexe non nul Soit z C ; le complexe z |z| appartient U. Il existe donc R tel que z |z| = ei , cest--dire : z = |z|ei Cette criture est appele forme trigonomtrique de z ; le rel est un argument de z not arg(z). Lensemble des arguments de z est { + 2k, k Z}. 5.2 Proprits des arguments u x y O M(z) arg z Doc. 7 Argument dun nombre complexe. Dans le plan complexe orient, un argument de z est une mesure de langle orient (u, OM), o M est limage de z (Doc. 7). On dduit de (, ) R2 ei ei = ei(+ ) : (z, z ) C2 arg(zz ) = arg(z) + arg(z ) [2] (z, z ) CC arg( z z ) = arg(z) arg(z ) [2] z C n Z arg(zn ) = n arg(z) [2] APPLICATION 1 Distances et angles dans le plan complexe 1) Soit z un complexe tel que |1 + z| < 1 2 . Montrer que |1 + z2 | > 1. 2) Soit z un complexe de module 1 tel que |1 + z| < 1 . Montrer que |1 + z2 | > 1 . 3) Soit z1 et z2 deux complexes de mme module suprieur 1. Montrer que |z1 + z2| 1 ou |z2 1 + z2 2| 1 . 1) Soit I le point daffixe 1, M et M les points daffixes respectives z et z2 . M appartient au disque ouvert de centre I de rayon 1 2 . Soit K et K les points de contact des tangentes issues de O au cercle de centre I de rayon 1 2 (Doc. 8). Le triangle (OIK ) est un demi-triangle quilatral, donc IOK = 6 . x y 3 6 I O K' K Doc. 8 On en dduit que arg z 5 6 , 7 6 [2 ] , do arg z2 5 3 , 7 3 [2]. Le point M appartient donc un secteur angulaire inclus dans le demi-plan x > 0. La distance IM reste donc strictement suprieure 1 : |1 + z2 | > 1. 2) Ici, les points M et M appartiennent au cercle de centre O de rayon 1. 16

17. Nombres complexes COURS1 x y OI A B Doc. 9 M appartient au petit arc de cercle AB inclus dans le disque ouvert de centre I de rayon 1 (Doc. 9). On en dduit arg z 2 3 , 4 3 [2], do arg z2 4 3 , 8 3 [2]. Le point M appartient au grand arc de cercle AB. La distance IM reste donc strictement suprieure 1 : |1 + z2 | > 1. 3) On pose u = z1 z2 , on a donc |u| = 1. En appliquant u le rsultat de la question 2), on sait que : |1 + u| 1 ou |1 + u2 | 1 cest--dire : 1 + z1 z2 1 ou 1 + z2 1 z2 2 1 do : |z2 + z1| |z2| 1 ou |z2 2 + z2 1| |z2 2| 1 5.3 Rduction de a cos x + b sin x o (a, b, x) R3 Posons : z = a + ib. z eix = (a ib)(cos x + i sin x) = a cos x + b sin x + i(a sin x b cos x) donc : a cos x + b sin x = Re (z eix ) crivons z sous forme trigonomtrique : z = r ei zeix = rei(x) do : a cos x + b sin x = r cos(x ) o rei = a + ib Exemple : Rsolvons lquation : cos x + 3 sin x = 2. Ici : z = 1 + i 3 = 2 ei 3 . Donc : cos x + 3 sin x = 2 cos(x 3 ). Lquation devient : cos(x 3 ) = 2 2 = cos 4 . Do : x 3 = 4 + 2k ou x 3 = 4 + 2k avec k Z S = { 12 + 2k, 7 12 + 2k, k Z} Pour sentraner : ex. 9 et 10 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 17

18. COURS 1 Nombres complexes 6 Racines n-imes dun nombre complexe 6.1 Racines n - imes de lunit Soit n N . Rsolvons lquation zn = 1. Cherchons une solution sous la forme trigonomtrique z = |z|ei . zn = 1 |z|n ein = 1 |z|n = 1 n = 2k |z| = 1 = 2k n (k Z) Lensemble des solutions est donc : Un = e 2i k n , k Z Notons que (Un, ) est un sous-groupe de (U, ) (voir chapitre 10). On obtient tous ses lments en donnant k , n valeurs conscutives (par exemple, k [[0, n 1]]). x y 4i 5e 2i 5e 6i 5e 8i 5e 10 Doc. 10 Racines 5-ime de lunit. Dans le plan complexe, les images des lments de Un forment un polygone rgulier n cts (si n 3) (Doc. 10). La somme des lments de Un est nulle (somme des termes dune suite gomtrique) : n1 k=0 e 2i k n = 1 e 2in n 1 e 2i n = 0 Exemple : Racines cubiques de lunit. Posons j = e 2i 3 . U3 = {1, j, j2 } et 1 + j + j2 = 0. 6.2 Racines n -imes dun nombre complexe quelconque Soit Z un nombre complexe quelconque et n N . Rsolvons lquation zn = Z. Si Z = 0, il y a une solution unique : z = 0. Si Z = 0, cherchons les solutions sous la forme trigonomtrique z = |z|ei . Posons Z = |z| ei zn = Z |z|n ein = |Z|ei |z|n = |Z| n = + 2k |z| = n |Z| = n + 2k n (k Z) zn = Z z = n |Z| e i n e 2i k n (k Z) 18

19. Nombres complexes COURS1 Tout nombre complexe non nul a donc n racines n-imes distinctes, qui se dduisent de lune dentre elles en la multipliant par un lment quelconque du groupe Un. Leur somme est nulle. x i 1 0 y z1 z3 z2 Doc. 11 Racines cubiques de 8i. Exemple : z3 = 8i |z| = 2 = 6 + 2k 3 z1 = 2e i 6 = 3 + i , z2 = 2e 5i 6 = 3 + i et z3 = 2e 3i 2 = 2i (Doc. 11). 6.3 Cas des racines carres Tout nombre complexe non nul Z possde donc deux racines carres opposes. Leur calcul effectif laide de la mthode prcdente nest possible que si lon peut crire facilement Z sous la forme trigonomtrique, ce qui est rare. La mthode suivante a lavantage dtre plus systmatique. Posons Z = X + i Y , avec (X, Y ) R2 , et cherchons z = x + i y, avec (x, y) R2 tel que z2 = Z. z2 = Z x2 y2 + 2ixy = X + i Y x2 y2 = X (1) 2xy = Y (2) De plus : |z|2 = |Z| x2 + y2 = X2 + Y 2 (3) Les relations (1) et (3) donnent x et y au signe prs. La relation (2) permet dapparier les signes de x et de y. Attention : la fonction racine carre de la calculatrice ne donne quune solution. On peut utiliser cSolve pour ob- tenir les deux racines. Exemple : Calculons les racines carres de Z = 3 4i : x2 + y2 = 5 x2 y2 = 3 2xy = 4 x = 2 y = 1 xy < 0 x = 2 et y = 1 ou x = 2 et y = 1 Les racines carres cherches sont donc : z1 = 2 i et z2 = 2 + i 6.4 quation du second degr Considrons lquation az2 + bz + c = 0, o (a, b, c) C3 et a = 0. On peut crire le trinme sous la forme canonique : az2 + bz + c = a z + b 2a 2 b2 4a + c Lquation quivaut donc : z + b 2a 2 = b2 4ac 4a2 Posons = b2 4ac. Si = 0, lquation a une seule solution : z = b 2a . Si = 0, le nombre complexe a deux racines carres et ; lquation a deux solutions : z1 = b + 2a ; z2 = b 2a HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 19

20. COURS 1 Nombres complexes Les formules sont les mmes que celles qui donnent les solutions dune quation du second degr coefficients rels ; mais le calcul des racines carres du discriminant constitue une tape supplmentaire. Exemple : Rsolvons lquation 2z2 (1 + 5i)z 2(1 i) = 0. = (1 + 5i)2 + 16(1 i) = 8 6i Cherchons = x + iy tel que 2 = (x + iy)2 = 8 6i x2 + y2 = 10 x2 y2 = 8 2xy = 6 x = 1 y = 3 xy < 0 Do = 1 3i ou = 1 + 3i. Les solutions de lquation sont donc : z1 = 1 + 5i + (1 3i) 4 = 1 + i 2 z2 = 1 + 5i (1 3i) 4 = 2i Comme dans le cas rel, on peut exprimer la somme et le produit des racines du polynme az2 +bz+c en fonction des coefficients : z1 + z2 = b a ; z1z2 = c a Rciproquement, deux nombres complexes dont la somme est S et le produit P sont les racines, distinctes ou non, du polynme z2 Sz + P. Pour sentraner : ex. 11 18 7 Nombres complexes et gomtrie plane 7.1 Configuration de trois points Soit A, B et M trois points du plan complexe, distincts deux deux, daffixes respectives a, b et z. Considrons le complexe Z = z a z b : |Z| = |z a| |z b| = AM BM arg(Z) = arg(z a) arg(z b) = ( BM, AM) [2] Ainsi, le nombre z a z b caractrise la position de M par rapport A et B. Par exemple : ABM est un triangle quilatral z a z b = ei 3 ; ABM est un triangle isocle rectangle en M z a z b = i ; Pour sentraner : ex. 19 23 20

21. Nombres complexes COURS1 7.2 Transformations du plan complexe Soit z z = f (z) une application de C dans C ; nous pouvons lui associer une application f du plan complexe P qui au point M daffixe z fait cor- respondre M daffixe z . Nous allons interprter gomtriquement f , dans quelques cas particuliers : z z Lapplication f est la symtrie orthogonale s par rapport laxe rel. Rappe- lons que cette application est involutive. z az, a C Si a = 1, f = IdP, sinon lorigine est le seul point invariant par f . Notons a = ei , alors si z = 0, z = |z|ei z = |z|ei(+) , cest--dire : OM = OM et ( OM, OM ) = [2] Lapplication f est donc la compose commutative de la rotation de centre O et dangle et de lhomothtie de centre O et de rapport ; cest une similitude directe. f est bijective ; sa rciproque est la compose commutative de la rotation de centre O et dangle et de lhomothtie de centre O et de rapport 1 . z az + b, (a, b) C C Cherchons tout dabord si cette application possde des points fixes : z = az + b z(1 a) = b si a = 1, f ne possde pas dinvariant, lapplication f associe z z + b est la translation de vecteur V , daffixe b, dont la rciproque est la translation de vecteur V ; si a = 1, f possde un unique invariant, z0 = b 1 a , alors z = az + b z z0 = a(z z0) Soit daffixe z0 ; nous sommes ramens lexemple prcdent : f est la compose commutative de la rotation de centre et dangle et de lhomothtie de centre et de rapport . Sa rciproque est la compose commutative de la rotation de centre et dangle et de lhomothtie de centre et de rapport 1 . Dans tous les cas, f est une similitude directe. Rciproquement, toute similitude directe, translation ou compose rotation-homothtie, est associe une application de C dans C de la forme z az + b. z 1 z f est dfinie sur C , valeurs dans C , il est immdiat que cette application est involutive. Notons z = |z|ei ; alors : z = 1 |z| ei , cest--dire : OM = 1 OM et 1 OM OM = s 1 OM OM o s est la symtrie par rapport laxe des rels. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 21

22. COURS 1 Nombres complexes APPLICATION 2 tude de linversion Soit I lapplication de C dans C dfinie par I(z) = 1 z . On note encore I lapplication correspon- dante du plan complexe, appele inversion. 1) Vrifier que linversion est une involution du plan P priv de O dans lui-mme. 2) Dterminer limage par I : dune droite passant par O, prive de O ; dune droite ne passant pas par O ; dun cercle passant par O, priv de O ; dun cercle ne passant pas par O. 3) Soit M = I(M) et N = I(N), montrer que : M N = MN OM.ON 4) Soit A, B, C, D quatre points cocycliques distincts. En considrant une inversion de ple A, montrer que lune des galits suivantes est vrifie : BC.AD + CD.AB = BD.AC ou BC.AD + BD.AC = CD.AB ou CD.AB + BD.AC = BC.AD tudier la rciproque. 1) Pour tout M = O, I(M) = M tel que : O, M et M sont sur la mme demi-droite issue de O et OM.OM = 1. Ce qui prouve immdiatement que limage par I de M est M : linversion est une involution du plan P priv de O dans lui-mme. 2) Image par I : Dune droite D passant par O, prive de O Daprs la remarque prcdente, limage de D est D , incluse dans D, si D tait strictement incluse dans D, on aurait I(D ) strictement incluse dans D, ce qui est absurde puisque I I(D) = D. Dune droite ne passant pas par O Soit D une telle droite, considrons H projection orthogonale de O sur D et H image de H par I. Soit alors M un point de D et M son image (Doc. 12). Nous avons : 1 = OH.OH = OM.OM OM OH = OH OM et par alignement des points O, H, H dune part, O, M, M dautre part, (OH, OM) = (OM , OH ), les triangles OHM et OM H sont donc semblables, ce qui prouve que langle OM H est droit : limage de D est incluse dans le cercle C de diamtre [OH ], priv de lorigine. O H H0 M0 M Doc. 12 Rciproquement, soit N un point de ce cercle autre que O, la droite (ON) coupe D en N . Lesdeuxtrianglesrectangles ONH et OHN ont en commun langle O , ils sont donc semblables, ce qui prouve que : ON OH = OH ON 1 = OH.OH = ON.ON N = I(N) N = I(N ). Limage de D{O} est donc C{O}. Dun cercle passant par O, priv de O Daprs ltude prcdente limage de C{O}, o C est un cercle passant par O, dont un diamtre est OH , est la droite perpendiculaire en H = I(H ) ce diamtre. Dun cercle ne passant pas par O Soit un tel cercle C, dquation cartsienne : (E) x2 + y2 2ax 2by + c = 0 c = 0 Soit M un point de ce cercle et M = I(M) , donc M = I(M ), nous avons donc : (x, y) = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 22

23. Nombres complexes M C si et seulement si ses composantes x, y vrifient (E), cest--dire si et seulement si : x 2 + y 2 2ax (x 2 + y 2 ) 2ay (x 2 + y 2 ) + c(x 2 + y 2 )2 = 0 Soit, en simplifiant par c(x 2 + y 2 ), qui nest pas nul : x 2 + y 2 2 a c x 2 b c y + 1 c = 0 M dcrit donc un cercle C , ne passant pas par O. Remarquons que le centre du cercle image C nest pas en gnral limage du centre du cercle C. 3) Soit M = I(M) et N = I(N), montrons que : M N = MN OM.ON Pour ce calcul, choisissons un repre orthonormal (O, i, j) tel que OM = ai, a > 0, do OM = 1 a i. N = (x, y), do : N = x x2 + y2 , y x2 + y2 Alors : (M N )2 = x x2 + y2 1 a 2 + y x2 + y2 2 = 1 a2(x2 + y2)2 (a2 x2 2ax(x2 + y2 ) +(x2 + y2 )2 + a2 y2 ) = a2 2ax + x2 + y2 a2(x2 + y2) = (x a)2 + y2 a2(x2 + y2) = MN2 OM2.ON2 4) Soit A, B, C, D quatre points cocycliques distincts. Supposons que C est entre les points B et D ; et notons B , C et D les images par I, inversion de ple A, de ces points : B , C et D sont aligns et C est entre B et D (Doc. 13), nous avons donc : B D = B C + C D , ce qui se traduit laide de la question 3) par : BD AB.AD = BC AC.AB + CD AC.AD A B C B0 D0 D O C0 I A( )0 Doc. 13 Soit, en rduisant au mme dnominateur : BC.AD + CD.AB = BD.AC Les deux autres galits proposes correspondent aux autres dispositions relatives des points B, C et D. Rciproquement, si lune des trois galits est vrifie, les points B , C et D sont aligns. Considrons alors leurs images B, C et D, directes ou rciproques par une inversion de ple A. si A nest pas un point de la droite (B , C ), limage de cette droite est un cercle passant par A, ce qui signifie que A, B, C et D sont cocycliques ; Si A (B , C ), cette droite est invariante par I, A, B, C et D sont aligns. Quatre points du plan sont donc aligns ou cocycliques si et seulement sils vrifient lune des trois conditions proposes, cest le thorme de Ptolme. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 23

24. Nombres complexes ............................................................................................................MTHODE Pour montrer quun nombre complexe est rel, on peut : montrer que sa partie imaginaire est nulle ; montrer quil est gal son conjugu ; montrer quil est nul ou que son argument est 0 modulo . Pour montrer quun nombre complexe est imaginaire pur, on peut : montrer que sa partie relle est nulle ; montrer quil est gal loppos de son conjugu ; montrer quil est nul ou que son argument est 2 modulo . Pour calculer une puissance dun nombre complexe : le mettre sous la forme trigonomtrique. Pour calculer une somme de cosinus, respectivement une somme de sinus : reconnatre la partie relle, respectivement la partie imaginaire, de la somme des termes dune suite gomtrique complexe. Pour crire 1 + ei et 1 ei ( R) sous la forme r ei , avec (r, ) R2 , on peut factoriser par ei 2 : 1 + ei = ei 2 ei 2 + ei 2 = 2 cos 2 ei 2 1 ei = ei 2 ei 2 ei 2 = 2 sin 2 ei ( 2 2 ) ................................................................................................................................................................................................... Exercice rsolu QUATION DU TROISIME DEGR, MTHODE DE TARTAGLIA On considre lquation dans C : (1) z3 + pz + q = 0, o (p, q) R2 1 Si z est solution de (1), on cherche deux complexes u et v tels que u + v = z et uv = p 3 . Montrer que u3 et v3 sont les solutions dune quation du second degr (2). 2 En dduire la rsolution de lquation (1) dans C. 3 Discuter selon les valeurs de p et q le nombre de solutions relles de lquation (1). 4 Exemples : Rsoudre dans C et dans R les quations : z3 12z 65 = 0, z3 12z 16 = 0 et z3 6z + 4 = 0 24

25. Nombres complexes Conseils Solution 1) Soit u et v deux complexes tels que uv = p 3 . Le complexe u + v est solution de (1) si et seulement si : (u + v)3 + p(u + v) + q = 0 cest--dire u3 + v3 + (u + v)(3uv + p) + q = 0, do : u3 + v3 = q et u3 v3 = p3 27 Deux nombres complexes de somme S et de produit P sont les racines du polynme X2 SX + P. u3 et v3 sont donc les solutions de lquation du second degr : (2) X2 + qX p3 27 = 0 dont le discriminant est rel : = 1 27 (4p3 + 27q2 ) Si u est une racine cubique de U, les deux autres racines cubiques de U sont u e 2i 3 et u e 2i 3 . 2) Si > 0, lquation (2) a deux solutions relles distinctes (U, V ). u3 = U v3 = V uv = p 3 u { 3 U, 3 U j, 3 U j} v { 3 V , 3 V j, 3 V j} uv R Apparier les solutions en u et v de sorte que uv soit rel. Do : (u, v) {( 3 U, 3 V ), ( 3 U j, 3 V j), ( 3 U j, 3 V j)} Lquation (1) a donc une solution relle z0 = 3 U + 3 V et deux solutions complexes conjugues : z1 = 3 U j + 3 V j et z1 = 3 U j + 3 V j Si = 0, lquation (2) a une racine double relle U = q 2 u3 = U v3 = V uv = p 3 u 3 U, 3 U j, 3 U j v 3 U, 3 U j, 3 U j uv R Do : (u, v) {( 3 U, 3 U), ( 3 U j, 3 U j), ( 3 U j, 3 U j)} Lquation (2) a donc deux solutions relles : z0 = 2 3 U et z1 = 3 U Les racines cubiques de U sont u0, u0 j et u0 j. Si < 0, lquation (2) a deux solutions complexes conjugues (U, U ). Soit u0, u0 j et u0 j les trois racines cubiques de U. (u, v) {(u0, u0 ), (u0 j, u0 j), (u0 j, u0 j)} Lquation (1) a trois solutions relles : z0 = 2Re(u0), z1 = 2Re(u0 j) et z2 = 2Re(u0 j). HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 25

26. Nombres complexes 3) En rsum, lquation (1) a une solution relle simple, deux solutions relles dont une double (voire triple) ou trois solutions relles distinctes suivant que 4p3 + 27q2 est strictement positif, nul ou strictement ngatif. On peut retrouver ces rsultats par ltude des variations de la fonction f : x x3 + px + q. Lquation f (x) = 0 a au moins une solution relle, car f est continue et lim x f (x) = , lim x+ f (x) = +. f est drivable sur R et f (x) = 3x2 + p. Si p 0, f est strictement croissante sur R , il y a une seule solution relle (simple ou triple). Si p < 0, les variations de f sont les suivantes : x p 3 p 3 + + f avec = q 4p3 27 et = q + 4p3 27 do = 4p3 + 27q2 27 . Appliquer le thorme : Toute fonction continue strictement monotone sur un intervalle I est une bijection de I dans f (I) successivement aux intervalles : , p 3 , p 3 , p 3 et p 3 , + . Il y a trois solutions relles si et seulement si < 0, cest--dire 4p3 + 27q2 < 0 ; Il y a deux solutions relles dont une double si et seulement si > 0, cest--dire 4p3 + 27q2 = 0 ; Il y a une solution relle simple si et seulement si > 0, cest--dire 4p3 + 27q2 > 0. 4) Exemples : z3 12z 65 = 0 u3 v3 = 64 , u3 + v3 = 65 ; do u3 = 1, v3 = 64 u {1, j, j} v {4, 4 j, 4 j} uv R Lquation a une solution relle et deux solutions complexes conjugues : S = 5, 5 3 3 i 2 , 5 + 3 3 i 2 z3 12z 16 = 0 u3 v3 = 64 , u3 + v3 = 16 ; do u3 = v3 = 8 (u, v) {2, 2j, 2j}2 uv R Lquation a deux solutions relles : S = {4, 2}. z 3 6z + 4 = 0 u3 v3 = 8, u3 + v3 = 4 do u3 = 2 + 2i = 2 2 ei 3 4 , v3 = u3 u 2 ei 4 , 2 ei 11 12 , 2 ei 19 12 v 2 ei 4 , 2 ei 11 12 , 2 ei 19 12 uv R Lquation a trois solutions relles : S = {2, 1 3, 1 + 3}. 26

27. Nombres complexes Complment : Pour rsoudre une quation du troisime degr quelconque z3 + az2 + bz + c = 0, on peut toujours se ramener la forme Z3 + pZ + q = 0 en posant Z = z + a 3 afin dliminer les termes en z2 . Exemple : Rsoudre lquation : z3 + 12z2 + 42z + 44 = 0. Cette quation quivaut (z + 4)3 6(z + 4) + 4 = 0. On est ramen au troisime exemple ci-dessus. Do S = {2, 5 3, 5 + 3}. Note historique Nicolo Tartaglia (1500-1557) dcouvrit, vers 1540, une merveilleuse mthode de rsolution algbrique dquations du troisime degr. Lors dun dfi lopposant Antonio Maria Fior, qui laccusait de lavoir plagi, Tartaglia rsolut trente quations proposes par Fior, alors que ce dernier ne put en rsoudre une seule de Tartaglia. Invit par Jrme Cardan qui lui proposait de financer ses recherches, Tartaglia commit limprudence de lui confier son secret. Cardan sempressa de le publier sous son nom et il sensuivit une querelle de plusieurs annes jusqu ce que des menaces de mort fassent renoncer Tartaglia dfendre ses droits... La mthode de Tartaglia laissait cependant quelques zones dombre : on se ramenait une quation du second degr qui, lorsquelle possdait deux racines relles, fournissait une unique racine relle de lquation du troisime degr. Mais lorsque lquation du second degr navait pas de racine relle, la mthode semblait impuissante fournir les racines relles videntes de lquation du troisime degr ; pour comble de malchance, cest justement dans ce cas quil y en avait le plus grand nombre... (au maximum trois, les racines ngatives tant lpoque cartes). Quelques annes plus tard, Raffaele Bombelli nhsita pas, non seulement considrer des nombres ngatifs, mais aussi leur attribuer une racine carre... Il complta ainsi la mthode de Tartaglia, trouvant systmatiquement toutes les solutions relles de lquation du troisime degr aprs limination des racines carres de ngatifs. Les nombres complexes taient ns... 27

28. Exercices 1 Vrai ou faux ? a. Deux complexes dont la somme et le produit sont rels, sont des rels. b. Pour tout complexe z, |z|2 = z2 . c. Pour tous complexes a et b, a + ib = 0 a = b = 0 d. Deux complexes de mme module dont les arguments diffrent de 2 sont gaux. e. z C ez = 1 z = i f. Lapplication z ez est bijective. g. Lensemble des nombres complexes de module 1 est un groupe multiplicatif. h. Tout nombre complexe non nul possde n racines n- imes distinctes. i. Pour tout entier n 2, la somme des racines n-imes dun nombre complexe est nulle. j. Une quation du second degr dans C a toujours des solutions. Forme algbrique module 2 Soit z et z deux complexes de module 1 et a un rel. On note : Z = z + z + azz + 1 et Z = z + z + zz + a 1) Montrer que Z = zz Z et que |Z| = |Z |. 2) On suppose que 1 + zz = 0. Montrer que le nombre u = z + z 1 + zz est rel. 3 Dmontrer que : n N n k=1 kik1 = i nin (n + 1)in+1 2 En dduire les sommes relles : S1 = 1 3 + 5 7 + + (1)p (2p + 1) et S2 = 2 4 + 6 8 + + (1)p+1 2p 4 Dterminer z pour que z, z 1 et 1 z aient le mme module. 5 Soit u et v deux complexes. Montrer que : |u| + |v| |u + v| + |u v| |u + v|2 + |u v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) (formule du paralllogramme) 6 Un entier n est somme de deux carrs sil existe (a, b) N2 tel que n = a2 + b2 . Montrer quun produit fini de tels entiers est encore somme de deux carrs. 7 Pour a et b complexes tels que ab = 1, soit z = a b 1 ab . Montrer que : |z| = 1 |a| = 1 ou |b| = 1 Caractriser de mme |z| < 1. Applications la trigonomtrie forme trigonomtrique 8 Calculer les sommes : S1 = n k=0 cos kx ; S2 = n k=0 sin kx ; S3 = n k=0 cos2 kx ; S4 = n k=0 sin2 kx ; S5 = n k=0 cos kx cosk x ; S6 = n k=0 sin kx cosk x ; S7 = n k=0 n k cos kx ; S8 = n k=0 n k sin kx. 9 Calculer le nombre complexe 1 + i 3 1 i 20 10 1) Dterminer le module et un argument de z = 1 + cos + i sin en discutant suivant la valeur du rel . 2) Soit z = 1 i 1 + cos + i sin o ], [. Calculer en fonction de le module et un argument de z . 28

29. Nombres complexes EXERCICES 1 quations 11 Rsoudre de deux faons lquation (z + 1)5 = (z 1)5 . Comparer les rsultats. 12 Factoriser dans C puis dans R les polynmes suivants : z3 1 ; z3 + 1 ; z4 + z2 + 1 ; z4 z2 + 1 ; z6 1 ; z6 + 1. 13 Soit u = e 2i 5 . Calculer 1 + u + u2 + u3 + u4 . En dduire la valeur de cos 2 5 . Application : trouver une construction la rgle et au com- pas dun pentagone rgulier. 14 On pose u = e 2i 7 , S = u + u2 + u4 et T = u3 + u5 + u6 . 1) Montrer que S et T sont conjugus et que la partie imaginaire de S est positive. 2) Calculer S + T et ST. En dduire S et T. 15 Rsoudre les quations suivantes dans C : 1) z2 2iz 1 + 2i = 0 2) iz2 + iz + 1 + i = 0 3) z2 2+1 cos z + 22 = 0 4) z2 4 sin z + 13 sin2 9 = 0 ]0, [ 5) 2z2 (1 cos 2) 2z sin 2 + 1 = 0 ]0, [ 6) z2 2ei z + 2i sin ei = 0 (on crira les racines sous la forme trigonomtrique) 7) z3 (2 + i)z2 + 2(1 + i)z 2i = 0 (racine vidente) 8) 4iz3 +2(1+3i)z2 (5+4i)z+3(17i) = 0 (chercher une racine relle) 9) z3 (5 3i)z2 + (6 11i)z + 2 + 16i = 0 (chercher une racine imaginaire) 16 Rsoudre lquation z3 = 4 2(1 + i). 17 Dterminer sous forme trigonomtrique les racines cubiques du nombre complexe a = 16(1i). Pour tout rel on pose z = 1+i +2 2ei . Dterminer lensemble (C) des points M daffixes z quand dcrit [0, 2[. Montrer que les solutions de lquation (z (1 + i))3 = a sont des affixes de points de (C). 18 Rsoudre dans C lquation : (z2 + 1)n (z i)2n = 0 (n N ) Applications des complexes la gomtrie 19 tout point M daffixe z = 1, on associe le point M daffixe z = z 1 1 z . tablir que |z | = 1 ; z 1 z 1 est rel ; z + 1 z 1 est imaginaire pur. En dduire une construction gomtrique du point M connaissant le point M. 20 Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que les points I daffixe i et M daffixe iz soient aligns avec M. Dterminer lensemble des points M . 21 Dterminer lensemble des points M daffixe z tels que : Re z 1 z i = 0 22 Soit A, B, C trois points distincts du plan complexe daffixes a, b, c. Montrer que les trois propositions suivantes sont quivalentes : 1) ABC est un triangle quilatral. 2) j ou j est solution de lquation az2 + bz + c = 0. 3) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. 23 Soit ABCD un carr dans le plan complexe. Montrer que si A et B ont des coordonnes entires, il en est de mme de C et D. Peut-on trouver un triangle quilatral dont les trois som- mets ont des coordonnes entires ? HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 29

30. 2 Fonctions usuelles OBJECTIFSOBJECTIFS Rviser les fonctions dj connues : exponentielles, logarithmes, puissances, fonctions circulaires. Dcouvrir de nouvelles fonctions : fonctions hyperboliques et hyperboliques rciproques, fonctions circulaires rciproques. Prparer le cours danalyse en dis- posant de nombreux exemples. INTRODUCTION Aprs un rappel concernant les fonctions logarithmes, exponentielles et circulaires, le cata- logue des fonctions usuelles senrichit ici de plusieurs spcimens dont les tudiants disposent dj sur leur calculatrice : quelles sont ces mystrieuses touches : sin1 , cosh, tanh1 ? Ces fonctions seront uti- lises couramment en analyse, notamment dans les calculs de primitives. 30

31. Fonctions usuelles COURS2 1 Fonctions logarithmes et exponentielles 1.1 Fonction logarithme nprien Nous verrons dans le chapitre 18 que toute fonction continue sur un intervalle possde des primitives sur cet intervalle. Les primitives dune mme fonction sur un intervalle sont gales une constante prs. On peut spcifier une primitive particulire en prcisant sa valeur en un point de lintervalle. On appelle logarithme nprien la primitive de la fonction x 1 x sur R + , qui sannule en 1. Cette fonction est note x ln x. Par dfinition, la fonction ln est drivable sur R + et sa drive 1 x est strictement positive : ln est strictement croissante sur R + . Pour tout rel y strictement positif, la fonction x ln(xy) est une primitive de 1 x sur R + , donc ln(xy) = ln x + C. Pour x = 1, on obtient C = ln y. IMPORTANT Cette proprit sera dmontre au 3.4 du chapitre 15. Do : (x, y) R + 2 ln(xy) = ln x + ln y On en dduit : x R + ln 1 x = ln x (x, y) (R + )2 ln x y = ln x ln y n Z x R + ln xn = n ln x ln tant strictement croissante, elle admet une limite finie ou infinie en +. y x 0 1 ln x 1 Doc. 1 Logarithme rprien. Comme ln 2n = n ln 2, lim n+ ln 2n = +. La limite de ln en + ne peut donc tre que +. lim x+ ln x = + En changeant x en 1 x , on en dduit : lim x0 ln x = La fonction ln ayant une drive dcroissante (on dit quelle est concave), sa courbe reprsentative est en dessous de sa tangente en tout point, en particulier au point 1 (Doc.1) : x R + ln x x 1 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 31

32. COURS 2 Fonctions usuelles APPLICATION 1 Dterminer lensemble des couples (n, p) N2 tels que : n = p et np = pn Remarquons que np = pn ln n n = ln p p , ce qui nous conduit tudier la fonction f : x ln x x . Cette fonction est drivable sur R + , de drive 1 ln x x2 , elle est donc croissante sur ]0, e], dcroissante sur [e, +[. Nous cherchons n et p entiers tels que : f (n) = f (p) ; lun de ces deux entiers appartient n- cessairement ]0, e]. Or f (1) = 0, valeur atteinte en ce seul point, f (2) = ln 2 2 = ln 4 4 = f (4). Les couples (2, 4) et (4, 2) sont donc les seules solutions (Doc. 2). y x0 21 4e 1 e Doc. 2 1.2 Fonction exponentielle de base e Vous avez vu en Terminale que toute fonction f strictement monotone et continue sur un intervalle I de R ralise une bijection de I sur lintervalle J = f (I); la bijection rciproque f 1 est alors strictement monotone et continue de J dans I. La fonction logarithme nprien est continue et strictement croissante sur lintervalle ]0, +[. Elle est donc bijective. Sa bijection rciproque est continue et strictement croissante de R dans ]0, +[; elle est appele exponentielle et note exp . Pour tous rels x et y, on a : ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x + y = ln(exp(x + y)) Do, puisque la fonction logarithme nprien est bijective : (x, y) R2 exp(x + y) = exp(x) exp(y) On en dduit : x R exp(x) = 1 exp(x) (x, y) R2 exp(x y) = exp(x) exp(y) n Z x R exp(nx) = exp(x) n On remarque que : n Z exp(n) = exp(n1) = exp(1) n 32

33. Fonctions usuelles COURS2 En notant e le rel exp(1), on a donc : n Z exp(n) = en . On convient dcrire pour tout x R : exp(x) = ex (pour x Z, cest une proprit ; pour x Z, cest une dfinition). La fonction exp est appele exponentielle de base e. Avec cette nouvelle notation, on a donc : x R ex = 1 ex (x, y) R2 exy = ex ey n Z x R enx = ex n Nous dmontrerons dans le chapitre 16 : Drivation des fonctions dune variable relle que, si f est une bijection, drivable, et si sa drive ne sannule pas sur I , alors f 1 est drivable sur J = f (I) de drive : (f 1 ) = 1 f f 1 y x x + 1 0 1 xe Doc. 3 La fonction exponentielle. La drive du logarithme nprien ne sannulant pas, la fonction exponentielle est drivable sur R et : x R (exp) (x) = 1 1/ex = ex La fonction exponentielle de base e est gale sa drive. Les limites de lexponentielle se dduisent de celles du logarithme nprien (Doc. 3) : lim x+ ex = + lim x ex = 0 1.3 Fonctions exponentielles de base quelconque Soit a R + . On appelle exponentielle de base a la fonction note expa dfinie sur R par : x R expa(x) = ex ln a On vrifie que : (x, y) R2 expa(x + y) = expa(x) expa(y) En effet : expa(x + y) = e(x+y) ln a = ex ln a ey ln a = expa(x) expa(y) En particulier : n Z expa(n) = expa(1) n = an On convient dcrire pour tout x R : expa(x) = ax . HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 33

34. COURS 2 Fonctions usuelles ATTENTION Seul un rel strictement positif peut tre lev un exposant rel quelconque. 2 2 signifie exp2( 2), cest--dire exp( 2 ln 2); mais (2) 2 na aucun sens. Avec cette nouvelle notation, on a donc : x R ax = ex ln a x R ln ax = x ln a (x, y) R2 ax+y = ax ay x R ax = 1 ax (x, y) R2 axy = ax ay De plus : (x, y) R2 ax y = ey ln ax = ey(x ln a) = exy ln a = axy (x, y) R2 ax y = axy On a aussi : (a, b) (R + )2 x R (ab)x = ex ln(ab) = ex(ln a+ln b) = ex ln a ex ln b = ax bx (a, b) (R + )2 x R (ab)x = ax bx y x 2x 2x 1x 10x 10 x ex ex 0 1 Doc. 4 Les fonctions exponentielles. Ces relations gnralisent pour les exposants rels les proprits connues pour les seuls exposants entiers. Drive Pour tout a R + , la fonction expa (Doc. 4) est drivable sur R et : x R (expa) (x) = ax ln a Si a = 1, la fonction exp1 est constante : x R 1x = 1. Si a > 1, la fonction expa est strictement croissante. Si a < 1, la fonction expa est strictement dcroissante. Remarque : Pour driver x u(x)v(x) , il faut revenir la dfinition : u(x)v(x) = ev(x) ln u(x) . Par exemple x xx = ex ln x a pour drive x (ln x+1)xx . 1.4 Fonctions logarithmes de base quelconque Si a R + {1}, la fonction expa est continue et strictement monotone sur R : cest donc une bijection de R dans R + . La bijection rciproque est appele logarithme de base a et note loga . On a donc : a R + {1} y = loga x x R + x = ay y R y x a = 2 a = e a = 10 a = 1/10 a = 1/e a = 1/2 1 0 Doc. 5 Les fonctions logarithmes. Comme cette galit quivaut encore ln x = y ln a, on en dduit y = ln x ln a , cest--dire : a R + {1} x R + loga x = ln x ln a Toutes les fonctions logarithmes sont proportionnelles (Doc. 5). 34

35. Fonctions usuelles COURS2 Drive Pour tout a R + {1}, la fonction loga est drivable sur R + et : x R + (loga) (x) = 1 ln a 1 x Pour sentraner : ex. 2 et 3 1.5 Fonctions puissances La dfinition des fonctions exponentielles permet dlever un rel strictement positif la puissance dun exposant rel quelconque. Pour tout R, on peut donc dfinir la fonction : R + f R x x par : x R + x = e ln x Cette fonction f est drivable sur R + et : x R + f (x) = 1 x e ln x = x1 Cette proprit gnralise pour les exposants rels celle qui tait connue pour les seuls exposants rationnels. Si = 0, la fonction f est constante sur R + : x R + x0 = 1 . Si > 0, la fonction f est strictement croissante sur R + . Si < 0, la fonction f est strictement dcroissante sur R + . Pour = 0, on a les tableaux de variation suivants : Si > 0 x 0 + Si < 0 x 0 + + + f(x) f(x) 0 0 Doc. 6 Les fonctions puissances. Notons que si 0, on peut prolonger f par continuit en 0 en posant : f(0) = 0 si > 0 , et f0(0) = 1. Si > 1, lim x0 f (x) = 0, donc f est drivable en 0 et f (0) = 0 . Si = 1, f1(x) = x ; f1 est drivable en 0 et f (0) = 1 . Si < 1, lim x0 f (x) = +, donc f nest pas drivable en 0 (Doc. 6). 1.6 Croissances compares 1) On a prouv que pour tout x R + : ln x x 1; a fortiori, ln x < x. Pour tout > 0, ln x < x , do ln x < x . Pour tout > 0 et x 1, on a : 0 ln x x < x . HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 35

36. COURS 2 Fonctions usuelles En choisissant < et en appliquant le thorme dencadrement (chapitre 15, 4.3), on en dduit : > 0 lim x+ ln x x = 0 On dit que ln x est ngligeable devant x au voisinage de + (voir chapitre 15, 5.2). Plus gnralement, pour tout > 0 et > 0, on a : (ln x) x = ln x x , do : > 0 > 0 lim x+ (ln x) x = 0 (ln x) est ngligeable devant x au voisinage de +. En posant x = 1 X , on en dduit : > 0 > 0 lim x0 x | ln x| = 0 | ln x| est ngligeable devant 1 x au voisinage de 0. 2) Pour tout > 0 et > 0, ex x = ex ln x = ex( ln x x ) . Comme ln x x tend vers 0 quand x tend vers +, > 0 > 0 lim x+ ex x = + x est ngligeable devant ex au voisinage de +. En posant x = X, on obtient de mme : > 0 > 0 lim x |x| ex = 0 ex est ngligeable devant 1 |x| au voisinage de +. 2 Fonctions hyperboliques Toute fonction dfinie sur R est, de faon unique, la somme dune fonction impaire et dune fonction paire : x R f (x) = f (x) f (x) 2 + f (x) + f (x) 2 36

37. Fonctions usuelles COURS2 2.1 Fonctions sinus et cosinus hyperboliques Sur la TI-92/Voyage 200 ces deux fonctions sont notes sinh et cosh (menu MATH/Hyperbolic). On appelle sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique la partie impaire et la partie paire de la fonction exponentielle de base e : x R sh x = ex ex 2 et ch x = ex + ex 2 Ces deux fonctions (Doc. 7) sont drivables sur R et : x R (sh ) (x) = ch x et (ch ) (x) = sh x Il en rsulte les tableaux de variation suivants : x 0 + x 0 + sh x + 1 + ch x 0 + + + + sh x 0 ch x 1 y x ch sh O 2 ex Doc. 7 Cosinus et sinus hyperboliques. Remarque : lim x+ (ch x ex 2 ) = 0 et lim x+ (sh x ex 2 ) = 0. Les courbes dquations y = ch x, y = sh x et y = ex 2 sont asymptotes en +, leurs positions relatives tant donnes par les ingalits : x R sh x < ex 2 < ch x 2.2 Trigonomtrie hyperbolique On vrifie facilement que pour tout x R : ch x + sh x = ex et ch x sh x = ex Do : x R ch 2 x sh 2 x = 1 Y X M 1 chx shx Doc. 8 Paramtrage dune demi-hyperbole. En posant : X = ch x et Y = sh x, on a X2 Y 2 = 1 et X 1. Dans un plan rapport un repre orthonormal, le point de coordonnes (X, Y ) dcrit donc une demi-hyperbole quilatre (Doc. 8) (voir chapitre 6 : Coniques) : les fonctions hyperboliques servent paramtrer la demi-hyperbole dquations X2 Y 2 = 1 , X 1. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 37

38. COURS 2 Fonctions usuelles APPLICATION 2 Formules daddition en trigonomtrie hyperbolique Calculer ch (a+b), ch (ab), sh (a+b), sh (ab), ch 2a, sh 2a. ch (a + b) = 1 2 (ea+b + eab ) = 1 4 [(ea + ea )(eb + eb ) +(ea ea )(eb eb )] Do : ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b En changeant b en b, on obtient : ch (a b) = ch a ch b sh a sh b On en dduit : ch 2a = ch 2 a + sh 2 a = 2 ch 2 a 1 = 2 sh 2 a + 1 sh (a + b) = 1 2 (ea+b eab ) = 1 4 [(ea ea )(eb + eb ) +(ea + ea )(eb eb )] Do : sh (a + b) = sh a ch b + ch a sh b sh (a b) = sh a ch b ch a sh b et : sh 2a = 2 sh a ch a Remarque : La plupart des formules de trigonomtrie stendent aux fonctions hyperboliques, moyennant certains changements de signe. 2.3 Fonction tangente hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, cette fonction est note tanh (menu MATH/Hyperbolic). La fonction tangente hyperbolique est dfinie sur R par : th x = sh x ch x = ex ex ex + ex = e2x 1 e2x + 1 Cette fonction est impaire. Elle est drivable sur R et : x R th (x) = ch 2 x sh 2 x ch 2x x R th (x) = 1 th 2 x = 1 ch 2xy x 1 0 1 th Doc. 9 Tangente hyperbolique. La fonction th est strictement croissante sur R (Doc. 9). Au voisinage de +, th x ex ex , donc lim x+ th x = 1. Comme la fonction th est impaire, lim x th x = 1. Pour sentraner : ex. 4 et 6 38

39. Fonctions usuelles COURS2 3 Fonctions hyperboliques rciproques 3.1 Fonction argument sinus hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argsh est note sinh 1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la fonction x 1 sh x . La fonction sinus hyperbolique est continue et strictement croissante sur R ; ses limites en sont . Cest donc une bijection de R dans R. La bijection rciproque est appele argument sinus hyperbolique et note x Argsh x. Par dfinition : Pour tout x R, Argsh x est lunique lment de R qui a pour sinus hyperbolique x : y = Argsh x x R x = sh y y R Daprs le thorme utilis, la fonction argument sinus hyperbolique est galement continue et strictement croissante sur R. Drive sh Arg sh y xO Doc. 10 Argument sinus hyperbolique. La fonction sh tant drivable sur R et sa drive ne sannulant pas, la fonction Argsh est drivable sur R (Doc. 10) et : x R (Argsh) (x) = 1 ch (Argsh x) or ch 2 (Argsh x) = 1 + sh 2 (Argsh x) = 1 + x2 et ch (Argsh x) > 0, donc ch (Argsh x) = x2 + 1 . Do : (Argsh) (x) = 1 x2 + 1 3.2 Fonction argument cosinus hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argch est note cosh 1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la fonction x 1 ch x . La restriction R+ de la fonction cosinus hyperbolique est continue et strictement croissante sur R+; sa limite en + est +. Cest donc une bijection de R+ dans [1, +[. La bijection rciproque de [1, +[ dans R+ est appele argument cosinus hyperbolique et note x Argch x. Par dfinition : Pour tout x [1, +[ , Argch x est lunique lment de R+ qui a pour cosinus hyperbolique x y = Argch x x [1, +[ x = ch y y R+ Daprs le thorme utilis, la fonction argument cosinus hyperbolique est galement continue et strictement croissante sur [1, +[. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 39

40. COURS 2 Fonctions usuelles Drive ch Arg ch y x 1 10 Doc. 11 Argument cosinus hyperbolique. La fonction ch tant drivable et sa drive ne sannulant pas sur R + , la fonction Argch est drivable sur ]1, +[ (Doc. 11) et : x > 1 (Argch) (x) = 1 sh (Argch x) or sh 2 (Argch x) = ch 2 (Argch x) 1 = x2 1 et sh (Argch x) > 0 donc sh (Argch x) = x2 1 Do (Argch) (x) = 1 x2 1 3.3 Fonction argument tangente hyperbolique Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Argth est note tanh 1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre avec la fonction x 1 th x . La fonction tangente hyperbolique est continue et strictement croissante sur R ; ses limites en sont 1. Cest donc une bijection de R dans ]1, 1[ . La bijection rciproque de ]1, 1[ dans R est appele argument tangente hyperbolique et note x Argth x. Par dfinition : Pour tout x ]1, 1[ , Argth x est lunique lment de R qui a pour tangente hyperbolique x : y = Argth x x ]1, 1[ x = th y y R Daprs le thorme utilis, la fonction argument tangente hyperbolique est galement continue et strictement croissante sur ]1, 1[ . Drive y xx' y' th Arg th 1 1 1 1 0 Doc. 12 Argument tangente hyperbolique. La fonction th tant drivable sur R et sa drive ne sannulant pas, la fonction Argth est drivable sur ]1, 1[ (Doc.12) et : x ]1, 1[ (Argth) (x) = 1 1 th 2(Argth x) Or th (Argth x) = x, do : (Argth) (x) = 1 1 x2 40

41. Fonctions usuelles COURS2 APPLICATION 3 Expression des fonctions hyperboliques rciproques laide du logarithme nprien Les fonctions hyperboliques rciproques peuvent sexpri- mer laide de la fonction logarithme nprien ; vrifions- le pour chacune delles. 1) Montrer, de deux faons diffrentes, que : x R, Argsh x = ln(x + x2 + 1) 2) Montrer, de deux faons diffrentes, que : x [1, +[, Argch x = ln(x + x2 1) 3) Montrer, de deux faons diffrentes, que : x R, Argth x = 1 2 ln 1 + x 1 x 1) Rsolvons lquation en y : x = sh y, soit x = ey ey 2 . Posons Y = ey . Lquation devient : 2x = Y 1 Y soit Y 2 2xY 1 = 0 Cette quation du second degr en Y possde deux racines relles de signes contraires : Y = x + x2 + 1 et Y = x x2 + 1. Comme Y = ey , on conserve uniquement la solution positive : Y = x + x2 + 1 do y = ln(x + x2 + 1). x R Argsh x = ln(x + x2 + 1) Autre mthode : Les deux fonctions x Argsh x et x ln(x+ x2 + 1) sont drivables sur R. Or, ln(x + x2 + 1) = 1 + 2x 2 x2+1 x + x2 + 1 = 1 x2 + 1 o lon reconnat la drive de la fonction Argsh . De plus, ces deux fonctions prennent la mme valeur nulle pour x = 0, elles sont donc gales. 2) Rsolvons lquation en y : x = ch y, soit x = ey + ey 2 . Posons Y = ey . Lquation devient : 2x = Y + 1 Y soit Y 2 2xY + 1 = 0 Cette quation du second degr en Y possde deux racines relles positives : Y = x + x2 1 et Y = x x2 1. Comme on veut que y 0, on conserve uniquement la solution suprieure 1 : Y = x+ x2 1, do y = ln(x+ x2 1). x [1, +[ Argch x = ln(x + x2 1) Autre mthode : Les deux fonctions x Argch x et x ln(x + x2 1) sont drivables sur ]1, +[. Or, ln(x + x2 1) = 1 + 2x 2 x21 x + x2 1 = 1 x2 1 o lon reconnat la drive de la fonction Argch . De plus, ces deux fonctions prennent la mme valeur nulle pour x = 1, elles sont donc gales. 3) Rsolvons lquation en y : x = th y soit x = e2y 1 e2y + 1 Posons Y = e2y . Lquation devient : Y 1 = x(Y + 1) soit Y (1 x) = 1 + x HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 41

42. COURS 2 Fonctions usuelles do Y = 1 + x 1 x Lquation a une solution relle unique : y = 1 2 ln 1 + x 1 x car 1 + x 1 x > 0 x ] 1, 1[ Argth x = 1 2 ln 1 + x 1 x Autre mthode : Les deux fonctions x Argth x et x 1 2 ln 1 + x 1 x sont drivables sur ] 1, 1[. Or, 1 2 ln 1 + x 1 x = 1 2 2 (1 x)2 1 x 1 + x = 1 1 x2 o lon reconnat la drive de la fonction Argth . De plus, ces deux fonctions prennent la mme valeur nulle pour x = 0, elles sont donc gales. Pour sentraner : ex. 5 4 Fonctions circulaires 4.1 Paramtrage dun cercle y xO sin x M cos x x i j Doc. 13 Paramtrage dun cercle. Le plan orient est rapport un repre orthonorm direct (O, i, j). Soit C le cercle de centre O de rayon 1. Pour tout rel x, le point M de C tel que langle orient (i, OM) ait pour mesure x, a pour coordonnes (cos x, sin x) (Doc. 13). On dfinit ainsi deux fonctions de R dans R 2 -priodiques, sinus et cosinus, respectivement impaire et paire. Leur quotient est la fonction tangente dfinie sur R{ 2 + k, k Z} par tan x = sin x cos x . Cette fonction est impaire et -priodique. Retrouvons les proprits diffrentielles (limites, drives) de ces fonctions clas- siques partir de ce simple point de vue gomtrique. 4.2 Fonctions sinus et cosinus Soit x ]0, 2 [, M le point de coordonnes (cos x, sin x), A le point de coordonnes (1, 0). Continuity A xO M Doc. 14 Comparaison daires. Comparons les aires du triangle OAM et du secteur angulaire OAM (Doc. 14) : x ]0, 2 [ 1 2 sin x 1 2 x, soit : sin x x Cette ingalit est encore vraie pour x = 0, et comme la fonction sinus est impaire, on peut crire : x ] 2 , 2 [ | sin x| |x| 42

43. Fonctions usuelles COURS2 On en dduit lim x0 sin x = 0 = sin 0, donc la fonction sinus est continue en 0. Onsaitque x [ 2 , 2 ] cos x = 1 sin2 x, donc lim x0 cos x = 1 = cos 0 : la fonction cosinus est continue en 0. En un point quelconque x0, on a : h R sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h, donc lim h0 sin(x0 + h) = sin x0 h R cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin h, donc lim h0 cos(x0 + h) = cos x0 En dfinitive, les fonctions sinus et cosinus sont continues sur R. Drivabilit Soit T le point dintersection de la droite (OM) et de la tangente en A C. y T A xO M Doc. 15 Comparaison daires. Comparons les aires du triangle OAM, du secteur angulaire OAM et du triangle OAT (Doc. 15) : x ]0, 2 [ 1 2 sin x x 2 1 2 tan x Do lon dduit en divisant les trois membres par 1 2 sin x (qui est strictement positif) : 1 x sin x 1 cos x , ou en passant aux inverses : x ]0, 2 [ cos x sin x x 1 On en dduit que lim x0+ sin x x = 1. Comme cette fonction est paire, il en est de mme de la limite gauche. Do : lim x0 sin x x = 1 Cette limite exprime la drivabilit de la fonction sinus en 0, sa drive valant 1 en ce point. Comme : 1 cos x = 2 sin2 x 2 , on en dduit : lim x0 1 cos x x2 = 1 2 En un point x0 quelconque : sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h do : sin(x0 + h) sin x0 h = sin x0 cos h 1 h + cos x0 sin h h et par consquent : lim h0 sin(x0 + h) sin x0 h = cos x0 De mme : cos(x0 + h) = cos x0 cos h sin x0 sin h HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 43

44. COURS 2 Fonctions usuelles do : cos(x0 + h) cos x0 h = cos x0 cos h 1 h sin x0 sin h h et par consquent : lim h0 cos(x0 + h) cos x0 h = sin x0 y' x' x 2 2 y sin cos O Doc. 16 Fonctions sinus et cosinus. Les fonctions sinus et cosinus sont donc drivables sur R et (Doc. 16) : x R sin (x) = cos x cos (x) = sin x Or sin (x) = sin x + 2 et cos (x) = cos x + 2 . On en dduit facilement par rcurrence que les fonctions sinus et cosinus sont indfiniment drivables sur R et : n N sin(n) (x) = sin x + n 2 cos(n) (x) = cos x + n 2 4.3 Fonction tangente O x 2 2 y Doc. 17 Fonction tangente. La fonction tangente (Doc. 17), note tan, est dfinie sur R{ 2 + k , k Z} par tan x = sin x cos x ; elle est impaire et -priodique. Elle est drivable sur cet ensemble et : tan (x) = 1 + tan2 x = 1 cos2 x 5 Fonctions circulaires rciproques Les fonctions que nous venons dtudier ne sont videmment pas bijectives sur tout leur ensemble de dfinition, mais certaines restrictions convenablement choisies peuvent ltre. Les bijections rciproques correspondantes dfinissent de nouvelles fonctions qui sont trs importantes, notamment en calcul intgral. 5.1 Fonction Arc sinus X Y x O 2 0 2 1 1 Arc sin x Doc. 18 Arc sinus. Soit f la restriction de la fonction sinus 2 , 2 , f est continue et strictement croissante sur cet intervalle. Cest donc une bijection de 2 , 2 dans [1, 1] . La bijection rciproque de [1, 1] dans 2 , 2 est appele Arc sinus et note x Arcsin x (Doc. 18). Par dfinition : Pour tout x [1, 1] , Arcsin x est lunique lment de 2 , 2 qui a pour sinus x : y = Arcsin x x [1, 1] x = sin y y 2 , 2 44

45. Fonctions usuelles COURS2 Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arcsin est note sin 1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1 sin x . Daprs le thorme utilis, la fonction Arc sinus est galement continue et strictement croissante sur [1, 1] . Drive Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule pas sur 2 , 2 , la fonction Arc sinus est drivable sur ]1, 1[ et : x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 1 f (f (x)) = 1 cos(Arcsin x) Or cos2 (Arcsin x) = 1 sin2 (Arcsin x) = 1 x2 et comme Arcsin x ] 2 , 2 [, cos(Arcsin x) > 0. Do cos(Arcsin x) = 1 x2. En dfinitive : x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 1 1 x2 y x y xO 2 2 1 1 Arc sin sin Doc. 19 Fonctions Arc sinus. La fonction Arcsin est continue sur [1, 1], drivable sur ]1, 1[ et lim x1 (Arcsin) (x) = +. Par consquent, Arcsin nest pas drivable en 1, ni de mme en 1. Sa courbe reprsentative (Doc.19) prsente aux points dabscisse 1 et 1 des demi-tangentes verticales. Remarque : La fonction Arcsin est impaire. 5.2 Fonction Arc cosinus Y O 2 0 Arc cos x 11 Xx Doc. 20 Arc cosinus. Soit f la restriction de la fonction cosinus [0, ], f est continue et strictement dcroissante sur cet intervalle. Cest donc une bijection de [0, ] dans [1, 1] . La bijection rciproque de [1, 1] dans [0, ] est appele Arc cosinus et note x Arccos x (Doc. 20). Par dfinition : Pour tout x [1, 1] , Arccos x est lunique lment de [0, ] qui a pour cosinus x : y = Arccos x x [1, 1] x = cos y y [0, ] Daprs le thorme utilis, la fonction Arc cosinus est galement continue et strictement dcroissante sur [1, 1]. Drive Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule pas sur ]0, [, la fonction Arc cosinus est drivable sur ]1, 1[ et : x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1 f (f (x)) = 1 sin(Arccos x) HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 45

46. COURS 2 Fonctions usuelles Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arccos est note cos 1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1 cos x . Or sin2 (Arccos x) = 1 cos2 (Arccos x) = 1 x2 et comme Arccos x ]0, [, sin(Arccos x) > 0. Do sin(Arccos x) = 1 x2. En dfinitive : x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1 1 x2 La fonction Arccos est continue sur [1, 1], drivable sur ]1, 1[ et lim x1 (Arccos) (x) = . Par consquent, Arccos nest pas drivable en 1, ni de mme en 1. Sa courbe reprsentative prsente aux points dabscisse 1 et 1 des demi-tangentes verticales (Doc. 21). x y Arc cos 1 0 11 1 cos Doc. 21 Fonction Arc cosinus. Remarque : La fonction x Arcsin x + Arccos x est drivable sur ]1, 1[ et sa drive est nulle : cette fonction est donc constante sur cet intervalle. La valeur de cette constante est 2 (valeur en 0). Comme on a aussi : Arcsin 1 + Arccos 1 = 2 et Arcsin (1) + Arccos (1) = 2 , on peut conclure : x [1, 1] Arcsin x + Arccos x = 2 5.3 Fonction Arc tangente X xY 2 0 2 Arc tan x Doc. 22 Arc tangente. Soit f la restriction de la fonction tangente 2 , 2 , f est continue et strictement croissante sur cet intervalle ; ses limites aux bornes sont . Cest donc une bijection de 2 , 2 dans R. La bijection rciproque de R dans 2 , 2 est appele Arc tangente et note x Arctan x (Doc. 22). Par dfinition : Sur la TI-92/Voyage 200, la fonction Arctan est note tan 1 . Ne pas confondre avec la fonction x 1 tan x . Pour tout x R , Arctan x est lunique lment de 2 , 2 qui a pour tangente x : y = Arctan x x R x = tan y y 2 , 2 Daprs le thorme utilis, la fonction Arc tangente est galement continue et strictement croissante sur R. Drive Comme la fonction f est drivable et que sa drive ne sannule pas sur 2 , 2 , la fonction Arc tangente est drivable sur R et (Doc. 23) : x R (Arctan ) (x) = 1 f (f (x)) = 1 1 + tan2(Arctan x) 46

47. Fonctions usuelles O y x 2 tan Arc tan 2 2 2 Doc. 23 Fonction Arc tangente. Or tan(Arctan x) = x, do : x R (Arctan ) (x) = 1 1 + x2 Remarque : La fonction Arctan est impaire. Pour sentraner : ex. 7 13 ............................................................................................................MTHODE Retenir les quivalences : y = Argsh x x R x = sh y y R y = Argch x x [1, +[ x = ch y y R+ y = Argth x x ]1, 1[ x = th y y R Ainsi que : y = Arcsin x x [1, 1] x = sin y y [ 2 , 2 ] y = Arccos x x [1, 1] x = cos y y [0, ] y = Arctan x x R x = tan y y 2 , 2 Argsh est continue et drivable sur R : x R (Argsh) (x) = 1 1 + x2 Argch est continue sur [1, +[ et drivable sur ]1, +[ : x ]1, +[ (Argch) (x) = 1 x2 1 Argth est continue et drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Argth) (x) = 1 1 x2 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 47

48. Fonctions usuelles Arcsin est continue sur [1, 1] et drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Arcsin) (x) = 1 1 x2 Arccos est continue sur [1, 1] et drivable sur ]1, 1[ : x ]1, 1[ (Arccos) (x) = 1 1 x2 Arctan est continue et drivable sur R : x R (Arctan) (x) = 1 1 + x2 Pour tout > 0 et > 0 : (ln x) est ngligeable devant x au voisinage de + | ln x| est ngligeable devant 1 x au voisinage de 0 x est ngligeable devant ex au voisinage de + ex est ngligeable devant 1 |x| au voisinage de Comparaison des fonctions circulaires et des fonctions hyperboliques. Pour tout x R : Fonctions circulaires Fonctions hyperboliques sin x = eix eix 2i cos x = eix + eix 2 sh x = ex ex 2 ch x = ex + ex 2 cos x + i sin x = eix cos x i sin x = eix ch x + sh x = ex ch x sh x = ex cos2 x + sin2 x = 1 ch 2 x sh 2 x = 1 (sin) (x) = cos x (cos) (x) = sin x (sh ) (x) = ch x (ch ) (x) = sh x ................................................................................................................................................................................................... 48

49. Fonctions usuelles Exercice rsolu DAPRS ENSTIM (COLES DES MINES DALBI, ALS, DOUAI, NANTES) 1 Soit g lapplication de R dans R dfinie par : g(t) = Arctan t t + t3 3 a) Vrifier que g est impaire, drivable sur R, et calculer g (t), pour t R. b) Montrer que : t R, 0 g (t) t2 . c) En dduire : t R+, t t3 3 Arctan t t. 2 Soit f lapplication de R dans R dfinie par : f (0) = 1 et t = 0, f (t) = Arctan t t a) Montrer que f est continue sur R et paire. b) Montrer que f est drivable en 0 et donner f (0). c) Justifier que f est drivable sur R et calculer f (t), pour t R . 3 laide dune intgration par parties, montrer que : t R , t 0 u2 (1 + u2)2 du = 1 2 t2 f (t) En dduire le sens de variation de f . 4 Tracer la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm. Conseils Solution 1) a) g est dfinie sur R, et pour tout t R, g(t) = Arctan (t) + t t3 3 = g(t) g est impaire ; elle est drivable sur R comme somme de fonctions drivables et pour t R, g (t) = 1 1 + t2 1 + t2 = t4 1 + t2 . b) On en dduit immdiatement : t R, 0 g (t) t2 . Intgrer lingalit prcdente. c) Pour t R+, on obtient alors, en intgrant sur [0, t], 0 g(t) t3 3 , cest--dire : t t3 3 Arctan t t (). 2) a) f est dfinie et continue sur R comme quotient de fonctions continues, elle est paire comme quotient de fonctions impaires. Calculer lim t0+ f (t). Daprs (), nous pouvons crire pour t > 0 : 1 t2 3 f (t) 1 (), ce qui prouve, par le thorme dencadrement, que lim t0+ f (t) = 1, f est continue droite en 0, par parit, elle est continue gauche en 0. f est donc continue sur R. HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 49

50. Fonctions usuelles Se souvenir de la dfinition de la drivabilit dune fonction en un point. b) Pour t = 0, f (t) f (0) t = Arctan t t t2 . Utilisons encore (), pour t > 0 : t3 3 Arctan t t 0 do t 3 Arctan t t t2 0 ce qui prouve, par le thorme dencadrement, que lim t0+ Arctan t t t2 = 0 et, par parit lim t0 Arctan t t t2 = 0 : f est drivable en 0 et f (0) = 0. c) Dautre part, f est drivable sur R comme quotient de fonctions drivables et, pour t R , f (t) = 1 t(1 + t2) Arctan t t2 . 3) Calculons, pour t R , t 0 u2 (1 + u2)2 du laide dune intgration par parties : 1 2 t 0 u 2u (1 + u2)2 du = 1 2 u 1 (1 + u2) t 0 + 1 2 t 0 1 (1 + u2) du = t 2(1 + t2) + 1 2 Arctan t = 1 2 t2 f (t) Quel est le signe de t 0 u2 (1 + u2)2 d u ? f (t) est donc du signe oppos celui de t : f est dcroissante sur R+, croissante sur R. Prciser les limites de f en . 4) De plus lim t+ Arctan t = 2 , do : lim t+ f (t) = 0. Nous pouvons alors donner lallure du graphe de f : y xx 1 101 Doc. 24 50

51. Exercices 1 Vrai ou faux ? a) Pour tout rel x = 2 + k : Arctan (tan x) = x b) Pour tout rel x : tan(Arctan x) = x c) Pour tout rel x [1, 1] : Arccos x + Arcsin x = 2 d) La fonction Arcsin est continue et drivable sur [1, 1]. e) La fonction Arctan est continue et drivable sur R. f) ln x est ngligeable devant 1 x au voisinage de 0. g) ch x sh x tend vers 0 quand x tend vers +. h) La fonction cosinus hyperbolique est bijective. i) x R{1, 1} 1 2 ln 1 + x 1 x = 1 1 x2 Exponentielles et logarithmes 2 Rsoudre les quations suivantes : a) x x = x x b) 2x3 = 3x2 c) loga x = logx a d) log3 x log2 x = 1 e) 2x +2x+1 + +2x+n = 3x +3x+1 + +3x+n o n N 3 Dmontrer que log10 2 nest pas rationnel. Fonctions hyperboliques 4 Calculer n k=0 ch (a + kb) et n k=0 sh (a + kb) . 5 Simplifier les expressions suivantes : ch (ln(x + x2 1)) sh (ln(x + x2 1)) ch (ln(x + x2 + 1)) sh (ln(x + x2 + 1)) 6 tudier la drivabilit des fonctions suivantes et calculer leurs drives : a) f (x) = th x 1 3 th 3 x b) f (x) = Arcsin (th x) c) f (x) = Arctan (sh x) d) f (x) = Arctan (th x) Fonctions circulaires rciproques 7 tudier les variations des fonctions suivantes et tracer leur courbe reprsentative : a) f (x) = Arcsin 2 x 1 + x b) f (x) = th x 1 x + 1 c) f (x) = (x 1)2 Arctan x d) f (x) = 1 x2eArcsin x 8 Reprsenter graphiquement les fonctions f et g d- finies par : f (x) = cos(Arccos x) et g(x) = Arccos (cos x) 9 Calculer Arctan x +Arctan y en discutant suivant les signes des rels 1 xy et x + y. 10 Simplifier les expressions : cos(Arctan x) ; sin(Arctan x) ; tan(2 Arctan x) ; cos(4 Arctan x) ; tan(Arcsin x) ; tan(Arccos x) ; Arcsin 2x 1 + x2 . 11 Dmontrer la formule de Machin : 4 = 4 Arctan 1 5 Arctan 1 239 12 tudier la drivabilit des fonctions suivantes et calculer leurs drives : a) f (x) = Arcsin 1 + x 1 x b) f (x) = 1 Arcsin x 1 + Arcsin x c) f (x) = Arctan 1 1 + x2 d) f (x) = Arctan 1 sin x 1 + sin x 13 1) Soit p N. Calculer Arctan (p + 1) Arctan (p) 2) tudier la convergence et la limite de la suite (Sn) dfinie par : Sn = n p=0 Arctan 1 p2 + p + 1 Exercice pos aux oraux des concours 14 (Petites Mines 2005) Simplifier lexpression : f (x) = cos(Arccos x Arcsin x)sin(Arccos x Arcsin x) HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 51

52. 3 quations diffrentielles linaires OBJECTIFSOBJECTIFS tudier les quations diffrentielles linaires du premier ordre. Donner un exemple de rsolution approche : la mthode dEuler. tudier les quations diffrentielles linaires du second ordre coefficients constants et second membre du type polynme- exponentiel. INTRODUCTION De trs nombreuses applications des mathma- tiques conduisent la recherche dune fonction assujettie une certaine relation avec ses drives successives. Cest ce quon appelle une quation diffrentielle. Limmense progrs scientifique des XVII e et XVIII e sicles, en particulier en astronomie, re- pose sur la capacit de prvoir le comportement fu- tur dun systme grce la rsolution dquations diffrentielles. De trs nombreux noms de mathma- ticiens sont attachs la thorie des quations diffrentielles : Euler, dAlembert, Lagrange, Riccati, Clairaut, Bernoulli, Legendre, Cauchy... Malheu- reusement, il nexiste pas de mthode systmatique pour rsoudre exactement toutes les quations diffrentielles. Nous devrons nous contenter dtudier quelques types trs simples, comme les quations linaires. Par ailleurs il existe une branche des ma- thmatiques en plein essor, lanalyse numrique, qui dveloppe, lusage des physiciens et des ingnieurs, des algorithmes trs performants de rsolution approche dquations diffrentielles. 52

53. quations diffrentielles linaires COURS3 1 quations linaires du premier ordre 1.1 Lexemple des fonctions exponentielles Nous avons vu que pour tout a C, la fonction f de R dans C dfinie par f (t) = eat est drivable, et vrifie pour tout t R : f (t) = aeat = a f (t). On dit que f est solution de lquation diffrentielle y ay = 0. Rciproquement, soit y une solution quelconque de cette quation ; posons pour t R : y(t) = z(t)eat . En drivant, on obtient : y (t) = z (t)eat + a z(t)eat , do y (t) a y(t) = z (t)eat . La fonction y vrifie lquation diffrentielle si et seulement si : z (t) = 0, cest--dire z(t) = Cte . Lensemble des solutions de lquation diffrentielle y ay = 0 est donc lensemble des fonctions y de la forme : y(t) = C eat . Une solution est caractrise par la constante C, cest--dire y(0). La fonction exponentielle t eat est lunique solution de lquation diffrentielle y ay = 0 qui vrifie y(0) = 1. 1.2 quation linaire du premier ordre sans second membre ATTENTION On rsistera la tentation dcrire y y = , car cela conduirait ne chercher que des solutions y qui ne sannulent pas. Inspirons-nous de ce qui prcde pour rsoudre lquation diffrentielle : y + a(t) y = 0 (1) o a est une fonction continue valeurs relles ou complexes de la variable relle t. Comme a est continue sur R, elle admet une primitive A. La fonction f dfinie par f (t) = eA(t) est drivable, et vrifie pour tout t R : f (t) = A (t)eA(t) = a(t) f (t). f est donc solution de lquation (1). Rciproquement, soit y une solution quelconque de cette quation ; posons pour t R : y(t) = z(t)eA(t) . En drivant, on obtient : y (t) = z (t)eA(t) A (t) z(t)eA(t) , do y (t) + a(t) y(t) = z (t)eA(t) . La fonction y vrifie lquation diffrentielle si et seulement si : z (t) = 0, cest-- dire z(t) = Cte . Lensemble des solutions de lquation diffrentielle y + a(t)y = 0 est lensemble des fonctions y de la forme : y(t) = C eA(t) , o A est une primitive de a. Remarque : Une quation de la forme a(t)y + b(t)y = 0 pourra tre rsolue de cette faon sur un intervalle o la fonction a ne sannule pas. Nous verrons plus loin comment recoller , lorsque cest possible, deux solutions de part et dautre dun point o a(t) = 0. 1.3 quation linaire du premier ordre avec second membre Considrons maintenant lquation diffrentielle : y + a(t) y = b(t) (1) HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 53

54. COURS 3 quations diffrentielles linaires o a et b sont deux fonctions continues valeurs relles ou complexes de la variable relle t. Soit y1 et y2 deux solutions de lquation (1). On peut crire : y1 + a(t) y1 = b(t) y2 + a(t) y2 = b(t) En retranchant membre membre, on obtient : y1 y2 + a(t)(y1 y2) = 0 La fonction y1 y2 vrifie lquation sans second membre : y + a(t)y = 0 (2) que nous avons dj appris rsoudre au paragraphe prcdent. Rciproquement, si y0 est une solution quelconque de (2) et y1 une solution de (1), on peut crire : y1 + a(t) y1 = b(t) y0 + a(t) y0 = 0 En ajoutant membre membre, on obtient : y1 + y0 + a(t)(y1 + y0) = b(t) cest--dire que la fonction y1 + y0 vrifie lquation (1). On obtient donc toutes les solutions de lquation (1) en ajoutant y1 une solution quelconque de lquation (2). On peut noncer : Thorme 1 La solution gnrale de lquation diffrentielle linaire du premier ordre : y + a(t) y = b(t) (1) est la somme dune solution particulire de (1) et de la solution gnrale de lquation sans second membre associe : y + a(t) y = 0 (2) Remarque : La structure des solutions fait penser celle dune droite D : lensemble des points de D est obtenu partir dun point particulier A en ajoutant un vecteur quelconque de la droite vectorielle D. Il reste dterminer une solution particulire de lquation. On pourra souvent reconnatre une solution vidente. Exemple : Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = 2t (1). Lquation sans second membre associe scrit : y ty = 0 ; sa solution gnrale est y = Ce t2 2 . Une solution vidente de lquation (1) est : y = 2. La solution gnrale est donc : y = 2 + Ce t2 2 54

55. quations diffrentielles linaires COURS3 On peut aussi utiliser le principe de superposition : si y1 est une solution de lquation y a(t)y = b1(t) et y2 une solution de lquation y a(t)y = b1(t), alors y1 + y2 est solution de lquation y a(t)y = b1(t) + b2(t). Exemple : Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = t3 (1). Remarquons que t3 = 2t (2t t3 ). Lquation y ty = 2t a pour solution vidente : y1 = 2. Lquation y ty = 2t t3 a pour solution vidente : y2 = t2 . Lquation (1) a donc pour solution particulire : y = y1 y2 = 2 t2 . La solution gnrale est donc : y = 2 t2 + Ce t2 2 Pour sentraner : ex. 2 1.4 Mthode de la variation de la constante Lorsquil nest pas possible de trouver une solution vidente, mme par le principe de superposition, on peut chercher une solution particulire de lquation y + a(t)y = b(t) sous la forme : y = C(t)eA(t) , cest--dire en remplaant dans lexpression de la solution gnrale de lquation sans second membre la constante C par une fonction C(t), que lon supposera drivable. On a donc : y (t) = C (t)eA(t) C(t)a(t)eA(t) . En reportant dans lquation diffrentielle, il reste : C (t)eA(t) = b(t), do : C (t) = b(t)eA(t) On peut donc trouver la fonction C par une recherche de primitives. Exemple : Rsoudre lquation diffrentielle : y ty = te t2 2 (1) La solution gnrale de lquation sans second membre est : y = Ce t2 2 ; cherchons une solution de lquation (1) sous la forme : y = C(t)e t2 2 . En reportant dans lquation diffrentielle, il reste : C (t) = t, do : C(t) = t2 2 . Remarque : Il est inutile dcrire une constante dintgration, puisquon cherche seulement une solution particulire ; cette constante apparatra lorsquon ajoutera la solution gnrale de lquation sans second membre. La solution gnrale de lquation (1) est donc : y = t2 2 e t2 2 + Ce t2 2 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 55

56. COURS 3 quations diffrentielles linaires 1.5 Condition initiale y O y0 t0 t Doc. 1 Solution dtermine par une condition initiale La solution dune quation diffrentielle linaire du premier ordre dpend dune constante. y(t) = y1(t) + CeA(t) Pour dterminer cette constante, il suffit de connatre une condition initiale, cest--dire la valeur de la fonction en un point donn : y(t0) = y0 (Doc. 1). On doit avoir : y0 = y1(t0) + CeA(t0) , do : C = (y0 y1(t0))eA(t0) . Do le rsultat : Thorme 2 Soit lquation diffrentielle y +a(t)y = b(t). Une condition initiale de la forme y(t0) = y0 dtermine une solution et une seule. Remarque : Si lquation est de la forme : a(t)y + b(t)y = c(t), la condition initiale doit tre choisie telle que a(t0) = 0 ; lexistence et lunicit de la solution sont garanties dans tout intervalle contenant t0 sur lequel la fonction a ne sannule pas, mais pas ncessairement sur une runion de tels intervalles. Exemple : tudier lensemble des solutions de lquation diffrentielle y cos t + 2y sin t = 1 + sin2 t, vrifiant la condition initiale y(0) = 0. Considrons lintervalle I = 2 , 2 , sur lequel la fonction cos t ne sannule pas. Sur I, lquation devient : y + 2y tan t = 1 + sin2 t cos t Lquation sans second membre y + 2y tan t = 0, admet pour solution gnrale : y = C cos2 t. Une solution vidente de lquation complte est : y = sin t. Do la solution gnrale sur I : y = sin t + C cos2 t La condition initiale y(0) = 0 dtermine une solution unique sur I : y = sin t Cependant, en 2 et en 2 , cette fonction se prolonge en une fonction continue et drivable, de drive nulle. Ainsi, toute fonction de la forme : y = sin t + Ck cos2 t o Ck = Cte sur 2 + k, 2 + k et C0 = 0 est solution sur tout R et vrifie la condition initiale. Lunicit de la solution se perd aux points singuliers t = 2 (Doc. 2). Pour sentraner : ex. 3 et 4 56

57. quations diffrentielles linaires COURS3 2 3/2 /2 /2 3/2 2 Doc. 2. 2 Rsolution approche 2.1 Expression des solutions sous forme intgrale La mthode de rsolution dune quation diffrentielle linaire du premier ordre fait appel deux reprises une recherche de primitives : dans la rsolution de lquation sans second membre y + a(t)y = 0, o lon cherche A(t) = a(t) dt; dans la dtermination dune solution particulire par la mthode de variation de la constante, o lon cherche C(t) = b(t)eA(t) dt. Il arrive souvent quon ne puisse exprimer explicitement ces primitives, et que les solutions fassent intervenir des intgrales quon ne sait pas calculer. Exemple : Considrons lquation : y et2 y = 1 et la condition initiale y(0) = 0. La solution gnrale de lquation sans second membre est : y = C exp t 0 eu2 du Par la mthode de variation de la constante, cherchons une solution particulire de la forme : y = C(t) exp t 0 eu2 du On obtient : C (t) = exp t 0 eu2 du do : C(t) = exp t 0 eu2 du dt et enfin : y(t) = exp t 0 eu2 du exp t 0 eu2 du dt La condition initiale dtermine une solution unique : y(t) = exp t 0 eu2 du t 0 exp v 0 eu2 du dv Il est clair que de telles solutions sont peu exploitables. Cest pourquoi il est intressant de disposer de mthodes de rsolution approche, qui faute de donner la solution exacte en donneront une approximation aussi prcise que lon veut. Pour sentraner : ex. 5 HachetteLivreHPrpa/MathLaphotocopienonautoriseestundlit 57

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