Exercices de rentrée MPSI-PCSI - Lycée Saint-Louis ... pdf/R16/Maths... · Table des matières I...

Exercices de rentréeMPSI-PCSILycée Saint-Louis

2016-2017

Introduction

Cette feuille d’exercices s’adresse aux élèves rentrant en MPSI ou en PCSI au lycée Saint-Louis.Il s’agit d’exercices qui sont entièrement au programme de mathématiques de terminale (voire de

première). Il est en effet inutile de commencer le programme de classes préparatoires avant la rentrée.Par contre, il est indispensable de consolider les acquis du lycée.

Ce sont des exercices de mathématiques qui ont pour objectif d’être à la fois utiles pour les mathé-matiques et la physique. Certains exercices sont constitués de calculs extrêmement basiques mais surlesquels les étudiants ont l’habitude de faire des erreurs. D’autres exercices utilisent des notions pluscompliquées.

Les exercices sont précédés de rappels de cours qui concernent uniquement les domaines utilespour le programme de mathématiques de MPSI et de PCSI.

Les exercices sont classés en quatre catégories :

• Les exercices d’échauffement : il s’agit d’exercices basiques qui doivent être traités en respectantl’indication de temps afin d’acquérir plus de rapidité dans la résolution. Ces exercices doiventêtre parfaitement maîtrisés. Il peut donc être profitable de les recommencer en cas d’erreur oude non respect de la durée indiquée.

• Les exercices corrigés : ils sont accompagnés d’une correction rédigée. Il ne faut pas vérifieruniquement la validité du résultat obtenu, mais également la manière de rédiger afin de com-mencer à repérer les différences entre la rédaction demandée au lycée et celle demandée enMPSI ou en PCSI.

• Les exercices à préparer : ils sont accompagnés d’indications et ce sont les exercices sur lesquelsil faut accentuer ses recherches, quitte à ne pas travailler les exercices supplémentaires.

• Les exercices supplémentaires : ils sont également accompagnés d’indications et sont destinésaux élèves qui ont assez de temps pour les travailler.

Il est indispensable de se remettre au travail avant la rentrée afin d’être prêt à démarrer directe-ment au rythme d’une classe préparatoire. Il est donc vivement conseillé de travailler les exercices decette feuille au moins deux semaines avant la rentrée, et en cas de difficultés, de consulter les rappelsde cours, son cours ou un livre afin de combler ses lacunes. Cependant il n’est pas obligatoire de réus-sir à faire tous les exercices, le but de cette feuille est, principalement, d’aborder sereinement la ren-trée. Il est recommandé de conserver une trace de son travail (par exemple de garder ses brouillons).

Nous remercions Florence Rasle pour sa relecture précise et ses remarques constructives.Si vous remarquez des erreurs dans cette feuille, merci de les signaler à l’adresse suivante :

[email protected]

Un erratum contenant toutes les erreurs signalées est disponible à l’adresse suivante :

https://sites.google.com/site/rentreesaintlouis/

1

https://sites.google.com/site/rentreesaintlouis/

Table des matières

I Rappels de cours 3

1 Nombres complexes 4

2 Suites 7

3 Fonctions 11

4 Intégration 17

II Exercices 20

5 Résolution d’équations et d’inéquations 21

6 Puissances et suites géométriques 25

7 Récurrences 29

8 Géométrie plane et trigonométrie 33

9 Dérivation et intégration 38

10 Formules de trigonométrie 41

11 Fonctions cosinus et sinus 44

12 Nombres complexes 47

III Indications et corrections 50

13 Indications et solutions 51

14 Corrections 61

2

Première partie

Rappels de cours

3

Chapitre 1

Nombres complexes

Définition. On appelle ensemble des nombres complexes et on note C l’ensemble des nombres quis’écrivent sous la forme z = x + i y avec x et y deux réels et où i est tel que i 2 =−1.

Plus précisément, tout nombre complexe s’écrit de manière unique sous la forme z = x + i y avecx, y ∈R. Cette écriture est appelée écriture algébrique de z. x est appelé partie réelle de z, noté Re(z)et y est appelé partie imaginaire de z et noté Im(z).L’ensemble des nombres complexes est muni de deux opérations (l’addition et la multiplication) quipossèdent les mêmes propriétés que celles sur R. Ainsi, si z = x + i y et z ′ = x ′ + i y ′ avec x, y , x ′, y ′quatre réels alors :

z + z ′ = (x +x ′)+ i (y + y ′)

z × z ′ = (x + i y)(x ′+ i y ′) = (xx ′− y y ′)+ i (x y ′+x ′y)

Proposition. Soient z, z ′ ∈C. On a : z = z ′ si et seulement si(Re(z) = Re(z ′) et Im(z) = Im(z ′)

).

Interprétation géométrique des nombres complexesOn munit le plan d’un repère orthonormé direct (O,~u,~v). A tout point M de coordonnées (x, y) (resp.à tout vecteur −→w tel que −→w = x−→u + y−→v ) avec x, y ∈R, on associe le nombre complexe z = x + i y .On dit que z est l’affixe de M (resp. de −→w ) et M (resp. −→w ) est appelé image de z. On note M(z) (resp.(−→w (z)).

x−→u

y

−→v

0

M(z)

Re z

Im z

Pour tout point A(a) et B(b) du plan, l’affixe du vecteur−→AB est b −a.

Définition. Soit z un nombre complexe de forme algébrique x + i y avec x et y deux réels. On appelleconjugué de z, et on note z le nombre complexe x − i y .

Remarque. Si M est le point d’affixe z, le point M ′ d’affixe z est symétrique de M par rapport à l’axedes abscisses.

4

Proposition. Soient z, z ′ deux nombres complexes. Alors :

z = z

z + z ′ = z + z ′

z × z ′ = z × z ′

Si de plus, z ′ 6= 0, on a : ( z

z ′)= z

z ′

Définition. Soit le nombre complexe z de forme algébrique x + i y , avec x et y deux réels. On appellemodule de z et on note |z| le réel positif

|z| =√

x2 + y2.

Interprétation géométrique du module :

Si on note M(z) ou −→w (z) alors |z| = ||−−→OM || =OM ou |z| = ||−→w ||.Si A(a) et B(b) sont deux points du plan alors |b −a| = ||−→AB || = AB .

Proposition. Soient z, z ′ deux nombres complexes. Alors :

z = 0 ⇐⇒ |z| = 0

|z|2 = zz ; |z| = |z||zz ′| = |z|× |z ′|

Si de plus z ′ 6= 0 : ∣∣∣ z

z ′∣∣∣= |z|

|z ′| ;1

z ′ =z ′

|z ′|2

Remarque. Pour calculer l’inverse d’un nombre complexe z, ou simplifier une expression du typez1

z2on multipliera toujours numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.

Définition - Proposition. Soit z un nombre complexe non nul, alors il existe r > 0 et θ un réel tels quez = r (cos(θ)+ i sin(θ)). On a alors : r = |z|. Cette écriture est appelée forme trigonométrique.

Définition. Soit z un nombre complexe non nul. On appelle argument de z et on note arg(z) tout réelθ tel que z = |z|(cos(θ)+ i sin(θ)).

Proposition. Soient z et z ′ deux nombres complexes non nuls. Soit n un entier relatif.

z = z ′ ⇐⇒{ |z| = |z ′|

arg(z) = arg(z ′) [2π]

arg(z) =−arg(z) [2π] ; arg(−z) =π+arg(z) [2π] ; arg

(1

z

)=−arg(z) [2π]

arg(zz ′) = arg(z)+arg(z ′) [2π] ; arg( z

z ′)= arg(z)−arg(z ′) [2π] ; arg(zn) = n arg(z) [2π]

5

Remarque. Soit z un nombre complexe :

Re(z) = |z|cos(arg(z)) ; Im(z) = |z|sin(arg(z))

Ces relations permettent de faire le lien entre la forme algébrique et la forme trigonométrique d’unnombre complexe.

Interprétation géométrique de l’argument :Si on note M(z) le point du plan d’affixe z, alors arg(z) représente une mesure de l’angle orienté

(−→u ,−−→OM).

Définition. Soit θ un réel. On note e iθ le nombre complexe défini par e iθ = cosθ+ i sinθ.Soit z un nombre complexe non nul dont un argument est θ, on appelle forme exponentielle de zl’écriture z = |z|e iθ.

Proposition. Soient θ, θ′ deux réels et n ∈Z.

e iθ = e−iθ ; e iθe iθ′ = e i (θ+θ′) ; e−iθ = 1

e iθ;

e iθ

e iθ′ = e i (θ−θ′)

Formule de Moivre :(e iθ)n = e i nθ

Proposition (Résolution d’une équation du second degré à coefficients réels).Soit az2 +bz + c = 0 une équation d’inconnue z ∈C à coefficients réels a,b,c avec a 6= 0.On appelle discriminant de l’équation et on note ∆ le nombre b2 −4ac.

• Si ∆= 0, l’équation admet une unique solution réelle, appelée racine double :

z0 =− b

2a

• Si ∆> 0, l’équation admet deux solutions réelles :

z1 = −b −p∆

2aet z2 = −b +p

∆

2a

• Si ∆< 0, l’équation admet pour solution deux complexes conjugués :

z1 = −b − ip−∆

2aet z2 = −b + i

p−∆2a

.

Le trinôme az2 +bz + c peut alors se factoriser sous la forme :

az2 +bz + c = a(z − z1)(z − z2),

z1, z2 étant les solutions (distinctes ou confondues) de az2 +bz + c = 0.

Remarque. Toute fonction du second degré f : x 7→ ax2+bx+c avec a ∈R∗, b,c ∈R peut s’écrire sousla forme :

f (x) = a

[(x + b

2a

)2

− b2 −4ac

4a2

]Cette écriture est appelée forme canonique.

6

Chapitre 2

Suites

2.1 Principe de récurrence

Proposition. Soit P une propriété dépendant d’un entier n ∈N.Si on a :

• P (0) est vraie,

• pour tout n ∈N, si P (n) est vraie, alors P (n +1), est vraie

alors : pour tout n ∈N, P (n) est vraie.

2.2 Propriétés globales

Notation :Une suite de nombres réels ou complexes est notée (un)n∈N. On peut également noter (un) sans autreprécision.

BIl ne faut pas confondre (un) et un : (un) désigne une suite, l’indice n est alors muet et n’a doncpas besoin d’être défini ; un désigne un des termes de la suite, l’indice n n’est pas muet et doit êtredéfini au préalable.

Définition. Soit (un) une suite réelle.

• On dit que la suite (un) est croissante si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 ≥ un .

• On dit que la suite (un) est décroissante si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 ≤ un .

• On dit que la suite (un) est strictement croissante si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 > un .

• On dit que la suite (un) est strictement décroissante si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 < un .

7

BUne suite n’est pas toujours monotone, autrement dit, il existe des suites qui ne sont ni crois-santes, ni décroissantes. Pour montrer qu’une propriété est vraie pour toutes les suites, il ne suffitdonc pas de traiter le cas des suites croissantes et le cas des suites décroissantes.

Définition. Soit (un) une suite réelle. On dit que :

• (un) est majorée si et seulement si :

il existe M ∈R tel que, pour tout n ∈N, un ≤ M ,

• (un) est minorée si et seulement si :

il existe m ∈R tel que, pour tout n ∈N, un ≥ m,

• (un) est bornée si et seulement si (un) est majorée et minorée, c’est-à-dire si et seulement si :

il existe m, M ∈R tels que, pour tout n ∈N, m ≤ un ≤ M .

BLes réels m et/ou M ne doivent pas dépendre de n.

Définition. Soit (un) une suite à valeurs dans R.

• Soit q ∈R, on dit que (un) est une suite géométrique de raison q si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 = qun .

• Soit r ∈R, on dit que (un) est une suite arithmétique de raison r si et seulement si :

pour tout n ∈N, un+1 = un + r.

BLa raison d’une suite géométrique ou arithmétique ne dépend pas de n.

Proposition. Soit (un) une suite à valeurs dans R.

• Soit q ∈R, soit (un) une suite géométrique de raison q , on a :

pour tout n ∈ [[ 0,+∞ [[ ,un = qnu0,

et :pour tout n0 ∈ [[ 0,+∞ [[ ,pour tout n ≥ n0, un = qn−n0 un0 .

• Soit r ∈R, soit (un) une suite arithmétique de raison r , on a :

pour tout n ∈ [[ 0,+∞ [[ ,un = u0 +nr,

et :pour tout n0 ∈ [[ 0,+∞ [[ ,pour tout n ≥ n0, un = un0 + (n −n0)r.

Proposition.

• Soit n ∈N,

1+2+·· ·+n = n(n +1)

2.

• Soient n ∈N, q ∈R,

1+q +·· ·+qn ={

1−qn+1

1−q si q 6= 1,

n +1 si q = 1.

8

2.3 Propriétés asymptotiques

Notation :On parle de la convergence ou de la divergence d’une suite, on écrira donc (un) converge/diverge sansoublier les parenthèses.Lorsqu’on a prouvé qu’elle existait, la limite d’une suite est notée lim

n→+∞un ou limun .

Théorème. Soit (un) une suite réelle.

• Si (un) est croissante et majorée, alors (un) est convergente.

• Si (un) est décroissante et minorée, alors (un) est convergente.

Théorème. Soient (un), (vn) et (wn) des suites réelles.

• Si : pour tout n ∈N, un ≤ vn ≤ wn et si limun = lim wn = l avec l ∈R,alors : lim vn = l .

• Si : pour tout n ∈N, un ≤ vn et si limun =+∞,alors : lim vn =+∞.

• Si : pour tout n ∈N, vn ≤ wn et si lim wn =−∞,alors : lim vn =−∞.

Les tableaux ci-dessous résument les opérations sur les limites connues.Soient (un) et (vn) des suites à valeurs réelles. Soient λ, l , l ′ ∈R.

lim(un +vn) limun = l limun =+∞ limun =−∞lim vn = l ′ l + l ′ +∞ −∞

lim vn =+∞ +∞ +∞ forme indéterminéelim vn =−∞ −∞ forme indéterminée −∞

lim(λun) limun = l limun =+∞ limun =−∞λ> 0 λl +∞ −∞λ< 0 λl −∞ +∞λ= 0 0 0 0

lim(un.vn) limun = l 6= 0 limun = 0 limun =+∞ limun =−∞lim vn = l ′ 6= 0 l .l ′ 0

+∞ si l ′ > 0−∞ si l ′ < 0

−∞ si l ′ > 0+∞ si l ′ < 0

lim vn = 0 0 0 forme indéterminée forme indéterminée

lim vn =+∞ +∞ si l > 0−∞ si l < 0

forme indéterminée +∞ −∞

lim vn =−∞ −∞ si l > 0+∞ si l < 0

forme indéterminée −∞ +∞

lim unvn

limun = l 6= 0 limun = 0 limun =+∞ limun =−∞lim vn = l ′ 6= 0 l

l ′ 0+∞ si l ′ > 0−∞ si l ′ < 0

−∞ si l ′ > 0+∞ si l ′ < 0

lim vn = 0 ±∞(∗)forme

indéterminée±∞(∗) ±∞(∗)

lim vn =+∞ 0 0 forme indéterminée forme indéterminéelim vn =−∞ 0 0 forme indéterminée forme indéterminée

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(∗)La règle des signes donne le signe de la limite du quotient.

On ne donne ici que les résultats propres aux suites, on peut également utiliser les limites de fonc-tions pour calculer des limites de suites.

Proposition. Soit q ∈R,

• si |q | < 1, alors limn→+∞qn = 0,

• si q = 1, alors limn→+∞qn = 1,

• si q > 1, alors limn→+∞qn =+∞,

• si q ≤−1, alors (qn) n’a pas de limite.

10

Chapitre 3

Fonctions

3.1 Limites de fonctions

Soit a ∈R∪ {+∞,−∞}. Soient λ, l , l ′ ∈R.On considère, dans les tableaux suivants, deux fonctions f et g telles que les limites données aient unsens.On suppose que g est définie sur I .

limx→a

(f(x)+g(x)) limx→a

f (x) = l limx→a

f (x) =+∞ limx→a

f (x) =−∞limx→a

g (x) = l ′ l + l ′ +∞ −∞limx→a

g (x) =+∞ +∞ +∞ forme indéterminée

limx→a

g (x) =−∞ −∞ forme indéterminée −∞

limx→a

(λf(x)) limx→a

f (x) = l limx→a


f (x) =−∞λ> 0 λl +∞ −∞λ< 0 λl −∞ +∞λ= 0 0 0 0

limx→a

(f(x).g(x)) limx→a

f (x) = l 6= 0 limx→a

f (x) = 0 limx→a


f (x) =−∞

limx→a

g (x) = l ′ 6= 0 l .l ′ 0+∞ si l ′ > 0−∞ si l ′ < 0

−∞ si l ′ > 0+∞ si l ′ < 0

limx→a

g (x) = 0 0 0 forme indéterminée forme indéterminée

limx→a

g (x) =+∞ +∞ si l > 0−∞ si l < 0

forme indéterminée +∞ −∞

limx→a

g (x) =−∞ −∞ si l > 0+∞ si l < 0

forme indéterminée −∞ +∞

11

limx→a

f(x)

g(x)limx→a

f (x) = l 6= 0 limx→a

f (x) = 0 limx→a


f (x) =−∞

limx→a

g (x) = l ′ 6= 0 ll ′ 0

+∞ si l ′ > 0−∞ si l ′ < 0

−∞ si l ′ > 0+∞ si l ′ < 0

limx→a

g (x) = 0 ±∞(∗)forme

indéterminée±∞(∗) ±∞(∗)

limx→a

g (x) =+∞ 0 0 forme indéterminée forme indéterminée

limx→a

g (x) =−∞ 0 0 forme indéterminée forme indéterminée

(∗) La règle des signes donne le signe de la limite du quotient.

Proposition. Composition des limitesSoit a,b,c ∈R∪ {+∞,−∞}. Soient f et g des fonctions telles que les limites suivantes aient un sens. Silimx→a

f (x) = b et si limx→b

g (x) = c, alors :

limx→a

g ( f (x)) = c.

Proposition.

limx→0+

1

x=+∞,

limx→0−

1

x=−∞,

limx→+∞

px =+∞,

Soit n ∈N∗,lim

x→+∞xn =+∞,

limx→−∞xn =

{ +∞ si n est pair,−∞ si n est impair.

Proposition.

limx→+∞exp(x) =+∞, lim

x→−∞exp(x) = 0.

Proposition.

limx→+∞ ln(x) =+∞, lim

x→0ln(x) =−∞.

Remarque. On rappelle que, par définition, si f est dérivable en a, alors :

limx→a

f (x)− f (a)

x −a= f ′(a).

Ce résultat permet d’obtenir des limites qui sont des formes indéterminées du type " 00 ".

Il est souvent appliqué avec a = 0.

Proposition.

limx→0

sin(x)

x= 1, lim

x→0

ln(1+x)

x= 1, lim

x→0

exp(x)−1

x= 1.

12

Proposition.

limx→+∞

exp(x)

x=+∞, lim

x→−∞x exp(x) = 0.

Proposition.

limx→+∞

ln(x)

x= 0, lim

x→0x ln(x) = 0.

Théorème.Soit a ∈ R∪ {+∞,−∞}. Soient f , g ,h des fonctions définies sur un intervalle I et telles que les limitessuivantes aient un sens. Soit l ∈R

• Si : pour tout x ∈ I , f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) et si : limx→a

f (x) = limx→a

h(x) = l , alors :

limx→a

g (x) = l .

• Si : pour tout x ∈ I , f (x) ≤ g (x) et si : limx→a

f (x) =+∞, alors :

limx→a

g (x) =+∞.

• Si : pour tout x ∈ I , g (x) ≤ h(x) et si : limx→a

h(x) =−∞, alors :

limx→a

g (x) =−∞.

3.2 Fonctions usuelles

3.2.1 Sinus et cosinus

Définition. Soit x ∈ R et (O,~i ,~j ) un repère orthonormé direct. On note M le point du cercle trigono-métrique (cercle de centre O et de rayon 1) tel que l’angle orienté (~i , ~OM) a pour mesure x radians. Onnote alors (cos x, sin x) les coordonnées de M dans le repère (O,~i ,~j ). On appelle cosinus la fonctionx 7→ cos(x) et sinus la fonction x 7→ sin(x).

x

cos x

sin x

On admet que cette définition géométrique permet de bien définir cos et sin et qu’elles vérifientles propositions suivantes :

13

Proposition.

• La fonction cos est définie sur R, 2π-périodique (c’est-à-dire pour tout x ∈R,cos(x + 2π) = cos(x)), paire (c’est-à-dire pour tout x ∈ R, cos(−x) = cos(x)), dérivable sur R etcos′ =−sin.

• La fonction sin est définie surR, 2π-périodique (c’est-à-dire pour tout x ∈R, sin(x+2π) = sin(x)),impaire (c’est-à-dire pour tout x ∈R, sin(−x) =−sin(x)), dérivable sur R et sin′ = cos.

• Leurs variations sur [0,π] sont données par :

x

(sin)′(x)

sin

0 π2 π

+ 0 −

00

11

00

x

(cos)′(x)

cos

0 π

0 − 0

11

−1−1

π2

0

Proposition.

• Pour tout x ∈R,cos2 x + sin2 x = 1.

• Pour tout a,b ∈R,cos(a +b) = cos(a)cos(b)− sin(a)sin(b),

cos(a −b) = cos(a)cos(b)+ sin(a)sin(b),

sin(a +b) = sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b),

sin(a −b) = sin(a)cos(b)−cos(a)sin(b).

Le tableau suivant donne les valeurs usuelles à connaître :

x 0 π6

π4

π3

π2 π

cos(x) 1p

32

p2

212 0 −1

sin(x) 0 12

p2

2

p3

2 1 0

3.2.2 Exponentielle

Définition. On appelle fonction exponentielle l’unique fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée etqui vaut 1 en 0.

Proposition. exp est dérivable sur R et exp′ = exp, pour tout x ∈ R, exp(x) > 0 et exp est strictementcroissante sur R.

BPour x ∈ R, on peut utiliser les notations exp(x) ou ex qui signifient la même chose. Cependant,lorsque l’on parle de la fonction exponentielle, on doit utiliser la notation exp.

14

La courbe représentative de la fonction exp est :

x

y y = exp(x)

1

1

e

x

(exp)′(x)

exp

−∞ +∞+

00

+∞+∞

0

1

1

e

Proposition. Si u est dérivable sur R, alors la fonction g : x 7→ exp(u(x)) est dérivable sur R et, pourtout x ∈R, g ′(x) = u′(x)exp(u(x)).

Proposition.• Pour tout a,b ∈R, exp(a +b) = exp(a)exp(b).

• Pour tout a ∈R, exp(−a) = 1

exp(a).

• Pour tout a,b ∈R, exp(a −b) = exp(a)

exp(b).

• Pour tout a ∈R et n ∈Z, exp(na) = (exp(a))n .

3.2.3 Logarithme

Définition. On appelle logarithme népérien et on note ln l’unique primitive de x 7→ 1

xsur R∗+ qui

s’annule en 1.

Proposition. ln est dérivable sur R+∗ et, pour tout x ∈ R+∗, ln′(x) = 1

x, ln est strictement croissante

sur R+∗.

La courbe représentative de la fonction ln est :

0 1

1

y = ln(x)

x

y

e

x

(ln)′(x)

ln

0 +∞+

−∞

+∞+∞

1

0

e

1

Proposition. Soient a,b ∈R+∗, on a :

ln(ab) = ln(a)+ ln(b), ln( a

b

)= ln(a)− ln(b), ln

(1

a

)=− ln(a).

15

Proposition. Soient a ∈R+∗ et b ∈R, on a :

ln(a) = b si et seulement si a = exp(b).

Remarque. On en déduit que ln(1) = 0 et ln(e) = 1.

16

Chapitre 4

Intégration

4.1 Primitives

Définition. Soient I un intervalle de R et f une fonction définie sur I .On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I et telle que pour tout x ∈ I , F ′(x) = f (x).

Proposition. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Proposition. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Primitives usuelles

Fonction f une primitive de f sur l’intervalle

x 7→ xn , n ∈N x 7→ xn+1

n +1R

x 7→ xn , n ∈Z\N et n 6= −1 x 7→ xn+1

n +1]−∞,0[ ou ]0,+∞[

x 7→ 1

xx 7→ ln(x) ]0,+∞[

x 7→ exp(λx), λ 6= 0 x 7→ 1

λexp(λx) R

x 7→ cos(λx), λ 6= 0 x 7→ sin(λx)

λR

x 7→ sin(λx), λ 6= 0 x 7→ −cos(λx)

λR

17

Primitives de quelques fonctions composées

Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I de R et n un entier relatif différent de −1.

Fonction f une primitive de f

x 7→ u′(x)(u(x))n x 7→ (u(x))n+1

n +1

x 7→ u′(x)eu(x) x 7→ eu(x)

Si de plus, u est strictement positive sur I :

x 7→ u′(x)

u(x)x 7→ ln(u(x))

x 7→ u′(x)pu(x)

x 7→ 2p

u(x)

4.2 Intégrale

Définition. Soient f une fonction continue sur un intervalle I , a et b deux réels de I . Soit F une

primitive de f sur I . On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel noté∫ b

af (t )d t et défini par :

∫ b

af (t )d t = F (b)−F (a).

Remarque. • La définition ne dépend pas de la primitive choisie.

• La différence F (b) − F (a) est souvent notée sous la forme condensée[

F (t )]b

a. On écrit alors∫ b

af (t )d t =

[F (t )

]b

a.

Interprétation géométrique :Soient a,b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a,b]. Notons C sa courbe

représentative dans un repère orthogonal (O,~i ,~j ).∫ b

af (x)d x est égal à l’aire algébrique de la partie

du plan délimitée par la courbe C , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.

x

y

a b

C

18

Proposition. Soient a, b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur [a,b].

La fonction F définie sur [a,b] par F (x) =∫ x

af (t )d t est l’unique primitive de f sur [a,b] s’annulant

en a.

Proposition (Linéarité de l’intégrale).Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et λ,µ deux réels.∫ b

a(λ f +µg )(t )d t =λ

∫ b

af (t )d t +µ

∫ b

ag (t )d t .

Proposition (Relation de Chasles).Soient f une fonction continue sur un intervalle I , a,b,c trois réels de I . Alors :∫ b

af (t )d t =

∫ c

af (t )d t +

∫ b

cf (t )d t .

Proposition. Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b deux réels.

• Positivité de l’intégrale : si a ≤ b et si pour tout t ∈ [a,b], f (t ) ≥ 0 alors,∫ b

af (t )d t ≥ 0.

• Croissance de l’intégrale : si a ≤ b et si pour tout t ∈ [a,b], f (t ) ≤ g (t ) alors,∫ b

af (t )d t ≤

∫ b

ag (t )d t .

Définition. Soit f une fonction continue sur I et soient a, b deux réels distincts de I . On appelle valeurmoyenne de f le réel défini par :

µ= 1

b −a

∫ b

af (t )d t .

19

Deuxième partie

Exercices

20

Chapitre 5

Résolution d’équations etd’inéquations

• Nombres réels

• Suites de nombres réels

• Equations différentielles

Notions utilisées dans le(s) chapitre(s):

Echauffement : 20 minutes

1. Soient a,b ∈R∗ tels que a 6= b. Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R∗ :

1

x+ 1

b= 1

a.

2. Résoudre les inéquations suivantes d’inconnue x ∈R :

(a) 2x +4 ≤ 3,

(b) 3−2x > 5,

(c) |2x −5| < 13,

(d) |3−4x| ≥ 17.

3. Résoudre les équations suivantes d’inconnue x ∈C :

(a) 2x2 −14x +24 = 0,

(b) 3x2 −12x +12 = 0,

(c) x2 −2x +2 = 0.

INDICATIONS P 51

21

Exercice corrigé

1. (a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

3x +1

6x −3=−7

6.

(b) Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈R :

3x +1

6x −3≤−7

6.

(c) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :(3x +1

6x −3

)2

≤ 16.

2. Soient a,b,c ∈R tels que a 6= 0. Soit :

f : R → R

x 7→ ax2 +bx + c.

(a) Montrer que la courbe représentative de f admet un extremum (c’est-à-dire un maximum

ou un minimum) au point d’abscisse x =− b

2a.

(b) Déterminer limx→+∞ f (x) et lim

x→−∞ f (x).

On étudiera différents cas en fonction du signe de a.

(c) On considère les courbes suivantes :

Déterminer, en justifiant la réponse, les courbes qui correspondent aux valeurs :

i. a = 2, b =−4, c = 2,

ii. a =−2, b = 4, c =−2,

22

iii. a = 1, b = 2, c = 1,

iv. a = 1, b = 2, c = 2,

v. a = 1, b = 2, c = 12 .

CORRECTION P 61

Exercice à préparer

1. Soient a,b,c,d ∈R tels que a 6= 0 et d 6= 0.On considère l’équation d’inconnue x ∈R :

(a −x)(d −x)−bc = 0.

(a) Donner une condition sur a,b,c,d pour que cette équation admette deux racines réellesdistinctes.

(b) On considère l’équation d’inconnue x ∈R :

(2−x)(1−x)−6 = 0.

Montrer que cette équation admet deux racines distinctes et déterminer ses racines quel’on notera r1 et r2 avec r1 > r2.On pose :

x0 = 2, y0 = 1,

pour tout n ∈N, xn+1 = 2xn −3yn , yn+1 =−2xn + yn ,

pour tout n ∈N, Xn = xn − yn , Yn = 2xn +3yn .

(c) Montrer que, pour tout n ∈N,Xn = r n

1 et Yn = 7r n2 .

(d) En déduire, pour n ∈N, les valeurs de xn et de yn en fonction de n.

2. Soient a,b,c ∈R tels que a 6= 0.On considère l’équation d’inconnue x ∈R :

ax2 +bx + c = 0.

(a) Donner une condition sur a,b,c pour que cette équation admette au moins une raciner ∈R.On suppose dorénavant que cette condition est vérifiée.

(b) On pose :f : R → R

x 7→ er x .

Sans calculer r , montrer que, pour tout x ∈R :

a f ′′(x)+b f ′(x)+ c f (x) = 0.

(c) On pose :g : R → R

x 7→ xer x .

Quelle relation a,b,c doivent-ils vérifier pour que, pour tout x ∈R :

ag ′′(x)+bg ′(x)+ cg (x) = 0.

INDICATIONS P 51

23

Exercice supplémentaire

1. On considère l’équation (E1) d’inconnue x ∈R :

x3 −8x2 +17x −10 = 0. (E1)

(a) Montrer que 1 est solution de (E1).

(b) Montrer qu’il existe trois réels a,b,c tels que, pour tout x ∈R,

x3 −8x2 +17x −10 = (x −1)(ax2 +bx + c),

et déterminer leurs valeurs.

(c) Résoudre l’équation (E1).

(d) Soit r une racine de (E1). On pose

f : R → R

x 7→ er x .

Montrer que, pour tout x ∈R :

f ′′′(x)−8 f ′′(x)+17 f ′(x)−10 f (x) = 0.

2. On considère l’équation (E2) d’inconnue x ∈C :

x2 −4x +5 = 0. (E2)

(a) Résoudre l’équation (E2).

(b) On poseg : R → R

x 7→ cos(x)e2x ,

eth : R → R

x 7→ sin(x)e2x .

Montrer que, pour tout x ∈R,

g ′′(x)−4g ′(x)+5g (x) = 0 et h′′(x)−4h′(x)+5h(x) = 0.

INDICATIONS P 52

24

Chapitre 6

Puissances et suites géométriques

• Suites de nombres réels



1. Simplifier (sans utiliser la calculatrice) les expressions suivantes :

a = 610

27 ×38 , b =(p

2)7

, c =p

2+p8(−p2

)5 , d = 95

38 .

2. Soient x ∈R, y ∈R∗. Simplifier les expressions suivantes :

A = x5 × (2x)3, B = (x y)9

y7 , C = y9 + (−y)14

y7 + y12 (y 6= ±1), D =(y2

)10(y3

)6 .

3. On considère les suites suivantes :{u0 = 1,pour tout n ∈N, un+1 = 2un ,{

v1 = 2,pour tout n ∈N∗, vn+1 = 1

3 vn.

Exprimer un en fonction de n ∈N et vn en fonction de n ∈N∗.

4. On considère les suites suivantes :

pour tout n ∈N, un =p

1+en ,

pour tout n ∈N, vn =− 1

n +2.

Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont croissantes.

INDICATIONS P 52

25

Exercice corrigé

Soit x ∈R.On veut montrer les résultats connus suivants :

• si |x| < 1, alors limn→+∞xn = 0,

• si x > 1, alors limn→+∞xn =+∞,

• si x = 1, alors limn→+∞xn = 1,

• si x ≤−1, alors la suite (xn)n∈N n’a pas de limite en +∞.

On pose, pour tout n ∈N, un = xn .

1. Si x = 1, montrer que limn→+∞un = 1.

2. Si x =−1, montrer que la suite (un)n∈N n’a pas de limite en +∞.

3. On suppose, dans cette question, que |x| < 1.

(a) Montrer que la suite (|un |)n∈N est décroissante.

(b) Montrer que la suite (|un |)n∈N est minorée.

(c) Montrer que la suite (|un |)n∈N converge.On pose l = lim

n→+∞un .

(d) Supposer que l 6= 0 et obtenir une contradiction.

(e) Montrer que limn→+∞un = 0.

4. On suppose, dans cette question, que |x| > 1.

(a) Montrer que la suite (|un |)n∈N est croissante.

(b) On suppose, dans cette question, que x > 1.

i. Montrer que, pour tout n ∈N, un ≥ n(x −1)+1.On pourra étudier la fonction définie, pour tout x ∈ [1,+∞[, par f (x) = xn−n(x−1)−1.

ii. Montrer que limn→+∞un =+∞.

(c) On suppose, dans cette question, que x <−1.

i. Montrer que limn→+∞ |un | = +∞.

ii. En raisonnant par l’absurde, montrer que la suite (un)n∈N n’a pas de limite en +∞.

CORRECTION P 63


Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. (a) Montrer que, pour tout n ∈N,

2n −3n +4n = 4n(1+ 1

2n −(

3

4

)n).

26

(b) Montrer que :lim

n→+∞2n −3n +4n =+∞.


(6n)2 −2×3n = 62n(1− 1

22n−1 ×3n

).

(b) Montrer que, pour tout n ∈N,

5×36n −3n = 62n(5− 1

22n ×3n

).

(c) En déduire :

limn→+∞

(6n)2 −2×3n

5×36n −3n .

3. Déterminer :

limn→+∞

(−1)n +7n −32n

42n +6n+1 .

4. On définit la suite : {u0 = 1

2 ,

pour tout n ∈N, un+1 = n2+2n+12(n+1)2+1

un .

(a) Montrer que, pour tout n ∈N, 0 ≤ un+1 ≤ 12 un .

(b) Montrer que, pour tout n ∈N, 0 ≤ un ≤ 12n+1 .

(c) En déduire la limite de la suite (un)n∈N.

INDICATIONS P 52


1. Montrer que, pour tout n ∈N, pour tout x > 0 :

xn = en ln x .

2. Montrer que :

limx→0

ln(1+x)

x= 1.

On pourra utiliser la définition du nombre dérivé et remarquer que : ln(1+x)x = ln(1+x)−ln(1+0)

x−0 .

3. Soit a ∈]−1,+∞[.

(a) Montrer que :

limn→+∞n ln

(1+ a

n

)= a.

(b) Montrer que :

limn→+∞

(1+ a

n

)n= ea .

27

Remarque : on a limn→+∞1+ a

n= 1 et pourtant, en général, lim

n→+∞

(1+ a

n

)n6= 1.

4. Trouver une suite (un)n∈N∗ telle que limn→+∞un = 1 et lim

n→+∞unn =+∞.

5. Trouver une suite (vn)n∈N∗ telle que limn→+∞vn = 1 et lim

n→+∞vnn = 0.

INDICATIONS P 53

28

Chapitre 7

Récurrences

• Raisonnements de début d’année


Avertissement

La compréhension des raisonnements par récurrence signifie que l’on sait faire le raisonnementmais également que l’on sait quand le faire.

Toutes les questions de ce paragraphe ne se traitent donc pas par récurrence, c’est à vous de voirsi c’est le cas ou non.

Notation

Soit n ∈N∗, soit f une fonction.Si elle existe, on note f (n) la dérivée n-ième de f .Par convention, on pose f (0) = f . On a donc :

f (0) = f , f (1) = f ′, f (2) = f ′′, f (3) = f ′′′, . . .


1. On pose, pour tout n ∈N,

un = 1+cos(πn2 +2)

2.

Montrer que, pour tout n ∈N, un ≤ 1.

2. (a) Soit n ∈ N, montrer que si n est pair, alors n2 est pair et que si n est impair, alors n2 estimpair.

(b) On pose u0 ∈N et, pour tout n ∈N, un+1 = u2n +un .

Montrer que, pour tout n ∈N∗, un est un entier pair.

29

3. Soit f :R→R, x 7→ e3x . Montrer que, pour tout n ∈N, f (n) :R→R, x 7→ 3ne3x .

4. Soit f :R→R, x 7→ x cos(2πx).

(a) Montrer que, pour tout n ∈N, f (n) ≤ f (n +1).

(b) Montrer que f n’est pas croissante.

INDICATIONS P 53

Exercice corrigé

1. On pose :v0 = 1 et, pour tout n ∈N, vn+1 = (n +1)vn .

(a) Montrer que, pour tout n ∈N, vn ≥ 0.

(b) Montrer que la suite (vn)n∈N est croissante.

(c) Montrer que, pour tout n ∈N, vn ≥ n.

(d) En déduire limn→+∞vn .

(e) Montrer que, pour tout n ∈N∗,

vn = 1×2×3 · · ·×n.

Pour n ∈N, vn est appelée la factorielle de n et on note, pour n ∈N∗ :

n! = vn = 1×2×3 · · ·×n.

2. On pose, pour tout n ∈N :fn : R → R

x 7→ xne−x

n!

(avec la convention 00 = 1)et

un =∫ 1

0

xne−x

n!d x =

∫ 1

0fn(x)d x.

(a) Soit n ∈N∗, exprimer f ′n en fonction de fn et de fn−1.

(b) Soit n ∈N∗, calculer∫ 1

0 f ′n(x)d x.

(c) Calculer u0.

(d) Montrer que, pour tout n ∈N∗ :

un = un−1 − 1

en!.

(e) Montrer que la suite (un)n∈N est décroissante.

(f) Montrer que, pour tout n ∈N, un ≥ 0.

(g) En déduire que la suite (un)n∈N converge.

(h) Montrer que, pour tout n ∈N :

un ≤ 1

n!.

(i) En déduire la limite de la suite (un)n∈N.

CORRECTION P 65

30


On pose :f : R → R

x 7→ xe3x .

1. Montrer que, pour tout n ∈N∗ :

f (n) : R → R

x 7→ 3n xe3x +n3n−1e3x .

2. (a) Etudier les variations de f .

(b) Montrer que f(− 1

3

)>− 13 .

On pose u0 ∈R et, pour tout n ∈N, un+1 = f (un).

3. Que peut-on dire de la suite (un)n∈N lorsque u0 = 0 ? On justifiera la réponse.

4. Montrer que si la suite (un)n∈N converge vers l ∈R, alors l = 0.

5. On suppose dans cette question que u0 ∈]0,+∞[.

(a) Montrer que, pour tout n ∈N, un ∈]0,+∞[.

(b) Montrer que la suite (un)n∈N est croissante.

(c) Montrer que, pour tout n ∈N, un ≥ u0.

(d) Montrer que limn→+∞un =+∞.

6. On suppose dans cette question que u0 ∈[− 1

3 ,0[.

(a) Montrer que, pour tout n ∈N, un ∈ [− 13 ,0

[.

(b) Montrer que, pour tout x ∈ [− 13 ,0

[, f (x)−x ≥ 0.

(c) En déduire que la suite (un)n∈N est croissante.

(d) Montrer que limn→+∞un = 0.

7. On suppose dans cette question que u0 ∈]−∞,− 1

3

[.

(a) Montrer que u1 ∈[− 1

3 ,0[.

(b) En déduire la limite de la suite (un)n∈N.

INDICATIONS P 53


On pose :f : [0,1] → R

x 7→ − ln(x +1)+ 1+ln22 .

1. (a) Etudier les variations de f .

(b) Montrer, sans utiliser la calculatrice, que 0 ≤ f (1) ≤ f (0) ≤ 1.

(c) Montrer que, pour tout x ∈ [0,1], on a f (x) ∈ [0,1].

31

2. On pose u0 = 0 et, pour tout n ∈N, un+1 = f (un).

(a) Montrer que cette suite est bien définie.

(b) Montrer que, pour tout n ∈N, u2n ≤ u2n+1.

(c) Donner les valeurs exactes, puis, en utilisant la calculatrice, des valeurs arrondies à 10−2

près de u0, u1, u2 et u3.

(d) Montrer que la suite (u2n)n∈N est croissante.

(e) Montrer que la suite (u2n+1)n∈N est décroissante.

(f) La suite (un)n∈N est-elle monotone?

INDICATIONS P 54

32

Chapitre 8

Géométrie plane et trigonométrie

• Cours de physique (optique, . . .)


Dans toute cette partie, on considère un repère orthonormé direct R = (O,~i ,~j ).Sauf mention du contraire, les coordonnées des points seront données dans ce repère et les coordon-nées des vecteurs dans la base (~i ,~j ).


1. Simplifier (sans utiliser la calculatrice) :

a = 0,1+0,3

0,1, b = 2× (0,1+2,6)

0,9, c = 0,4−0,2

1,6−1,3, d = 10× (0,2+0,3)2.

2. Soit A le point de coordonnées (2,1), soit B le point d’ordonnée 2, d’abscisse strictement infé-

rieure à 2 et tel que AB =p

52 . Soit C le point d’abscisse strictement supérieure à 1, tel que le

triangle ABC soit rectangle en A et tel que BC =p

15

3.

(a) Représenter les points A, B et C sur une figure.

(b) Calculer l’abscisse de B .

(c) Calculer la longueur AC .

(d) Soit θ l’angle formé par les vecteurs−→B A et

−→BC .

Calculer le cosinus et le sinus de θ.En déduire la valeur de θ.

INDICATIONS P 54

33

Exercice corrigé

Soit A un point du plan de coordonnées (xA , y A).Soit B un point du plan de coordonnées (xB , yB ) tel que xA 6= xB .Soit ~u un vecteur du plan de coordonnées (x0, y0) tel que x0 6= 0.

1. (a) Montrer que la droite (AB) est bien définie et n’est pas verticale.On peut donc considérer a,b ∈R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax +b.

(b) Montrer que :

a = y A − yB

xA −xB.

(c) Montrer que :

b = xA yB −xB y A

xA −xB.

2. Soit D la droite passant par A et dirigée par ~u.

(a) Montrer que la droite D est bien définie et n’est pas verticale.On peut donc considérer a,b ∈R tels que la droite (AB) ait pour équation : y = ax +b.

(b) Montrer que :

a = y0

x0.

(c) Montrer que :

b = x0 y A −xA y0

x0.


(a) Montrer qu’on peut se ramener au cas où x0 > 0.

(b) Soit θ ∈ ]−π2 , π2

[l’angle orienté (~i ,~u).

Faire une figure en indiquant θ.On dit que θ est l’angle entre l’axe des abscisses et D .

(c) Donner une formule reliant cosθ, sinθ et la pente de D .

4. Applications :

(a) Calculer la pente de la droite D , l’équation réduite de la droite D et l’angle θ entre l’axe desabscisses et D , dans les cas suivants :

i. D est la droite passant par le point A de coordonnées (p

3,−2) et dirigée par le vecteur~u de coordonnées (

p3,3),

ii. D est la droite passant par le point A de coordonnées (2p

3,1) et dirigée par le vecteur~u de coordonnées (

p3,−1),

iii. D est la droite passant par le point A de coordonnées ( 3p

22 , 5

p2

2 ) et le point B de coor-

données (p

8,3p

2),

iv. D est la droite passant par le point A de coordonnées (p

3,0) et le point B de coordon-nées (−p3,6).

(b) Donner l’équation réduite de la droite D et un vecteur directeur de la droite D dans les cassuivants :

i. D est la droite passant par le point A de coordonnées (−1,2) et faisant un angle θ = π4

avec l’axe des abscisses,

34

ii. D est la droite passant par le point A de coordonnées (2p

3,6) et faisant un angle θ =−π

6 avec l’axe des abscisses.

CORRECTION P 67


1. Preuve vectorielle du théorème de Thalès.On rappelle l’énoncé du théorème de Thalès (vu au collège et utile pour la physique de prépa) :soient A,B ,C trois points du plan deux à deux distincts et non alignés, soit D un point de ladroite (AB), soit E un point de la droite (AC ). On suppose que les droites (DE) et (BC ) sontparallèles.

On a alors :AD

AB= AE

AC= DE

BC.

(a) Traduire vectoriellement les hypothèses suivantes :

i. D est un point de la droite (AB),

ii. E est un point de la droite (AC ),

iii. (DE) et (BC ) sont parallèles.

(b) Soient a,b ∈R. Montrer que si a−→AB +b

−→AC =~0, alors a = b = 0.

(c) Conclure.

(d) On considère la configuration suivante :

35

Montrer que :F ′A′

F ′O= O A′

O A.

2. Soient A,B ,C trois points du plan.

(a) Soit G l’unique point du plan tel que :

−−→OG = 1

3(−−→O A+−−→

OB +−−→OC ).

i. Montrer que : −−→G A+−−→

GB +−−→GC =~0.

ii. Soit M un point du plan. Montrer que :

−−→M A+−−→

MB +−−→MC = 3

−−→MG .

(b) Soit I le milieu du segment [AB ].

i. Montrer que :

2−→G I +−−→

GC =~0.

ii. Montrer que G appartient à la droite (IC ).

(c) Montrer que G est le centre de gravité du triangle ABC , c’est-à-dire que G est l’intersectiondes médianes du triangle ABC .

INDICATIONS P 55


On considère un second repère orthonormé direct du plan R′ = (O,~I ,~J ) tel que l’angle entre~i et~Isoit égal à θ ∈ ]−π

2 , π2[.

Soit ~u un vecteur de norme 2 faisant un angle α ∈ ]−π2 , π2

[avec~i .

36

1. (a) Déterminer l’affixe de ~u dans la base (~i ,~j ).

(b) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (~i ,~j ).

(c) Déterminer l’affixe de ~u dans la base (~I ,~J ).

(d) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (~I ,~J ).

2. On considère le vecteur ~v de coordonnées (3,p

3) dans la base (~i ,~j ).

(a) Déterminer la norme de ~v .

(b) Déterminer l’angle entre~i et ~v .

3. On considère, dans cette question, que α=−π3 .

(a) Déterminer les coordonnées de ~u dans la base (~i ,~j ).

(b) Déterminer l’angle formé par~i et ~u +~v .

INDICATIONS P 55

37

Chapitre 9

Dérivation et intégration

• Etude de fonctions

• Fonctions usuelles

• Primitives



1. (a) Soient x, y ∈R. Exprimer en fonction de ex et e y les quantités suivantes :

a = e2x−y , b = e−x +1

e−x , c = e3x +e y−x

ex+y +e2y−3x .

(b) Soient x, y ∈R+∗. Exprimer en fonction de ln(x) et ln(y) les quantités suivantes :

a = ln(x2 y5), b = ln(−px +e ln(y+px)

), c = ln(y2e ln x )

2+ ln(

xe2 )

) (x 6= 1).

(c) Dire pour quelles valeurs de x les expressions suivantes ont un sens et les simplifier :

a = ln(3p

ex)

, b = ln((ex +e−x )2 −ex (ex +e−3x )

), c = e− ln(2x4).

2. Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

f : R∗ → R

x 7→ 1x4

,g : R+∗ → R

x 7→ ln(2x)ex ,h : R → R

x 7→ e3x

ln(x2+1)

.

INDICATIONS P 55

38

Exercice corrigé

1. On pose :f : R → R

x 7→{ x

2 si x ≤ 2x2 − 7

2 x +4 si x > 2

(a) Etudier les variations de f sur ]−∞,2] et sur ]2,+∞[, ses limites en ±∞ et tracer la courbereprésentative de f .

(b) Soit x ∈R+. Calculer : ∫ x

0f (t )d t .

2. (a) Déterminer a,b ∈R, tels que, pour tout x ∈R\ {−1,1} :

x2 −x −6

x2 −1= 1+ a

x +1+ b

x −1.

(b) En déduire la valeur de :

I =∫ 5

3

x2 −x −6

x2 −1d x.

3. (a) On pose :f : R+∗ → R

x 7→ x2 ln x.

Calculer la dérivée de f .


J =∫ e

1x ln x d x.

CORRECTION P 69


1. On pose :f : R → R

x 7→

e(x−1)/2 si x ≤ 1x+1

2 si 1 < x < 2(x −2)4 + 3

2 si x ≥ 2

(a) Etudier les variations de f sur ]−∞,1], sur ]1,2[ et sur ]2,+∞[, ses limites en ±∞ et tracerla courbe représentative de f .

(b) Soit x ∈R+. Calculer : ∫ x

0f (t )d t .

2. (a) Déterminer a,b,c ∈R, tels que, pour tout x ∈R\ {1} :

x2 −3x +3

(x −1)3 = a

x −1+ b

(x −1)2 + c

(x −1)3 .

39


I =∫ 5

3

x2 −3x +3

(x −1)3 d x.

3. (a) On pose :f : R+∗ → R

x 7→ e(x2)

x .

Calculer la dérivée de f et la dérivée seconde de f .


J =∫ p

2

1

e(x2)(x2 −1)

x3 d x.

INDICATIONS P 56


1. (a) Montrer que, pour tout x ∈R+,ex +e−x

2≥ 1.

(b) Montrer que, pour tout y ∈ [1,+∞[ :

0 < y −√

y2 −1 ≤ 1 ≤ y +√

y2 −1.

(c) Soit y ∈ [1,+∞[, résoudre l’équation d’inconnue X ∈ [1,+∞[ :

X + 1

X= 2y.

(d) Soit y ∈ [1,+∞[, résoudre l’équation d’inconnue x ∈R+ :

ex +e−x

2= y.

2. On pose :f : ]1,+∞[ → R

x 7→ ln(x +p

x2 −1).

(a) Calculer la dérivée de f .


I =∫ 3

2

1pt 2 −1

d t .

(c) Calculer :

limx→1

∫ 2

x

1pt 2 −1

d t .

INDICATIONS P 56

40

Chapitre 10

Formules de trigonométrie

• Nombres complexes



1. (a) Simplifier :π

3− π

4.

(b) En déduire les valeurs de cosπ

12et sin

π

12.

2. (a) Simplifier :π

3+ π

4.

(b) En déduire les valeurs de cos7π

12et sin

7π

12.

3. Soit θ ∈R.

(a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

x2 −2x + sin2θ = 0. (E)

On pensera à utiliser la relation, valable pour tout x ∈R, cos2 x+sin2 x = 1 afin de simplifierle discriminant.

(b) Déterminer les solutions de (E) dans les cas particuliers :

θ = 0, θ = π

3, θ = 2π

3, θ = π

6.

INDICATIONS P 57

Exercice corrigé

Soit θ ∈R.

41

1. (a) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de cos(π− θ) en fonction decosθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.

(b) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de sin(π+ θ) en fonction desinθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.

(c) Déterminer, en utilisant les questions précédentes, les valeurs de cos2π

3et de sin

7π

6.

(d) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de cos(π2 −θ)

en fonction desinθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.

(e) Déterminer à partir du cercle trigonométrique l’expression de sin(π2 −θ)

en fonction decosθ, puis, en utilisant les formules de trigonométrie, prouver le résultat obtenu.

2. (a) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

cos x = sinθ.

(b) Soit x ∈R, montrer que :

cos x + sin x =p2cos

(x − π

4

).

(c) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

cos x + sin x =p2sinθ.

Préciser le résultat obtenu dans le cas particulier θ = 3π4 .

(d) Résoudre l’équation d’inconnue x ∈R :

cos x + sin x = cosθ+ sinθ.

CORRECTION P 70


Soit θ ∈R.

1. (a) Exprimer cos(2θ) en fonction de cosθ.

(b) Exprimer cos(3θ) en fonction de cosθ.

(c) Exprimer sin(3θ) en fonction de cosθ et sinθ.

(d) Exprimer cos(5θ) en fonction de cosθ.

2. Posons a = cosπ

10.

(a) Montrer que a > 0.

(b) Montrer que :16a4 −20a2 +5 = 0.

3. Résoudre (sans utiliser la calculatrice), l’équation d’inconnue x ∈R :

16x2 −20x +5 = 0.

42

4. (a) Montrer que a >p

22 .

(b) Montrer (sans utiliser la calculatrice) que :√5−p

5

8<

p2

2.

(c) Déterminer la valeur de a.

5. Déterminer les valeurs de sinπ

10, cos

π

5et sin

π

5.

INDICATIONS P 57


On pose, pour tout n ∈N,

un = cos( π

2n

)et vn = sin

( π2n

).

1. Calculer u0,u1,u2, v0, v1 et v2.


un+1 =√

un +1

2.

On fera attention à bien étudier le signe avant de conclure.

(b) Montrer que, pour tout n ∈N∗,

vn+1 = vn√2(

√1− v2

n +1)

.

(c) Calculer u3 et v3.

3. Montrer que, pour tout n ∈N,(un −1)2 + v2

n = 4v2n+1.

4. Montrer que, pour tout n ≥ 2,

un − vn =p2cos

((2n−2 +1)π

2n

).

5. Montrer que, pour tout n ∈N,

(un + i vn)2n+1 = 1.

INDICATIONS P 58

43

Chapitre 11

Fonctions cosinus et sinus

• Fonctions usuelles

• Cours de physique (signaux physiques, . . .)


Complément

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I , alors :

• x 7→ cos(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x 7→ −u′(x)× sin(u(x)),

• x 7→ sin(u(x)) est dérivable sur I et a pour dérivée x 7→ u′(x)×cos(u(x)).


1. Simplifier les expressions suivantes :

A = 4(π

3+ π

6

)−3

(π

4− 2π

3

),

B =2π5 + 3π

4π5 − 3π

2

2. Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈R :

0 ≤ 2x + π

3< π

2.

3. Résoudre l’inéquation d’inconnue x ∈R :

0 <−3x + π

6≤ 3π

2.

44

4. Calculer la dérivée des fonctions suivantes :

f1 : x 7→ cos(2x)+ sin(3x), f2 : x 7→ cos(2x)× sin(3x)

f3 : x 7→ (cos x)7, f4 : x 7→ sin( x

π

).

INDICATIONS P 59

Exercice corrigé

1. Soitf : R → R

x 7→ cos(x + π

3

) .

(a) Calculer f (0), f(π6

), f

(−π3

)et f

(−π6

).

(b) Calculer f ′ et en déduire les variations de f sur l’intervalle[−π

3 , 5π3

].

(c) Tracer la courbe représentative de f sur l’intervalle[−π

3 , 5π3

].

(d) En utilisant la périodicité de la fonction f , tracer la courbe représentative de f sur l’inter-valle [−3π,3π].

(e) Sur le même graphique, tracer la courbe représentative de la fonction cos.Comment passe-t-on de la courbe représentative de cos à celle de f ?

2. Soitg : R → R

x 7→ cos(2x).

(a) Calculer g (0), g(π4

)et g

(π2

).

(b) Calculer g ′ et en déduire les variations de g sur l’intervalle [0,π].

(c) Tracer la courbe représentative de g sur l’intervalle [0,π].

(d) Montrer que, pour tout x ∈R, g (x +π) = g (x).

(e) En déduire la courbe représentative de g sur l’intervalle [−3π,3π].

CORRECTION P 73


Soitf : R → R

x 7→ cos(5x + π

4

) .

1. (a) Montrer que, pour tout x ∈R, f(x + 2π

5

)= f (x).

(b) Comment pourra-t-on, à partir de la courbe représentative de f sur[0, 2π

5

], obtenir la

courbe représentative de f sur [−π,π] ?

2. Calculer f (0), f(π5

)et f

( 2π5

).

3. Calculer f ′ et en déduire les variations de f sur l’intervalle[− π

20 , 7π20

].

4. Tracer la courbe représentative de f sur[− π

20 , 7π20

]puis sur [−π,π].

INDICATIONS P 59

45


Soient ω ∈R∗, ϕ ∈ [0,π].

Soitf : R → R

t 7→ cos(ωt +ϕ) . On suppose que la courbe représentative de f est la suivante :

La droite représentée sur cette figure est la tangente à la courbe représentative de f au point d’abs-cisse 0.

Le but de cet exercice est de déterminer, par lecture graphique, les valeurs de ω et ϕ.

1. (a) Calculer f (0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f (0).

(b) En déduire la valeur de ϕ.

2. Première méthode pour la détermination de ω.

(a) Calculer f ′(0) puis donner, avec la précision permise par le graphique, la valeur de f ′(0).

(b) En déduire la valeur de ω.

3. Seconde méthode pour la détermination de ω.

(a) Montrer que, pour tout t ∈R, f(t + 2π

ω

)= f (t ).

(b) Donner, avec la précision permise par le graphique, une valeur de de T telle que, pour toutt ∈R, on ait f (t +T ) = f (t ).

(c) En déduire la valeur de ω.

INDICATIONS P 59

46

Chapitre 12

Nombres complexes

• Nombres complexes



1. Simplifier les quantités suivantes :

a = 1

i−2i , b =

4+3i2+i

1− i, c = 4+3i

2+i1−i

,

d = (2− i )(1+ 3

2i ), e = 1

12−i + 1

1+ 32 i

− 17+4i

.

2. Calculer la partie réelle, la partie imaginaire et le module des nombres complexes suivants :

z1 = (1+2i )(3−8i ), z2 = 3− i

(1−2i )2 , z3 = (p

3− i )6.

3. Calculer le module des nombres complexes suivants :

z1 = (2+ i )4, z2 = (p

18− ip

7)2, z3 = 1+ i a

b + i aoù a,b ∈R, (a,b) 6= (0,0).

4. Déterminer un argument des nombres complexes suivants :

z1 = (1− i )7, z2 =p

3− i

(1+ i )5 , z3 =−(1+ ip

3)(1+ i )3, z4 = i (p

3+ i )5.

INDICATIONS P 59

47

Exercice corrigé

1. (a) Soit θ ∈R. Montrer que :

e iθ+e−iθ

2= cosθ et

e iθ−e−iθ

2i= sinθ.

(b) Soient p, q ∈R.

i. Montrer que :

e i p +e i q = 2e i p+q2 cos

( p −q

2

).

ii. Déterminer une formule analogue pour e i p −e i q .

(c) Soient p, q ∈R. Calculer |e i p +e i q | et |e i p −e i q |.

2. On pose z1 = e i π4 +e i π12 et z2 = e i π4 −e i π

12 .

(a) Calculer |z1| et |z2| en fonction de cos(π12

)et sin

(π12

).

(b) Déterminer un argument de z1 et de z2.

3. On pose z3 = e−i 13π15 +e i π5 et z4 = e−i 13π

15 −e i π5 .

(a) Calculer |z3| et |z4| en fonction de cos( 8π

15

)et sin

( 8π15

).

(b) Déterminer un argument de z3 et de z4.

4. Soient p, q ∈]−π,π].

(a) Montrer que −2π< p −q < 2π.

(b) Montrer que e i p +e i q a pour argument :

• p +q

2si p −q ∈ [−π,π],

• p +q +2π

2sinon.

(c) Montrer que e i p −e i q a pour argument :

• p +q +π2

si p −q ∈ [0,2π[,

• p +q +3π

2sinon.

CORRECTION P 75


1. On pose z0 = 1+ i . Calculer z20 , z3

0 et z40 .

On donnera les réponses sous forme algébrique et sous forme exponentielle.

2. On considère l’équation d’inconnue z ∈C :

z4 −6z3 +18z2 −24z +16 = 0 (E)

48

(a) Soit a ∈R, on pose z = a + i a. Montrer que :

z4 −6z3 +18z2 −24z +16 = 0 ⇔{

a4 −3a3 +6a −4 = 0a3 −3a2 +2a = 0.

(b) Résoudre l’équation d’inconnue a ∈R :

a3 −3a2 +2a = 0.

(c) En déduire deux solutions de (E).

3. (a) Montrer que si z ∈C est solution de (E), alors z̄ est solution de (E).

(b) En déduire quatre solutions de (E) que l’on notera z1, z2, z3 et z4.

4. Montrer que, pour tout z ∈C :

z4 −6z3 +18z2 −24z +16 = (z − z1)(z − z2)(z − z3)(z − z4).

INDICATIONS P 60


Soit (zn)n∈N une suite de nombres complexes et soit l ∈C.On dit que la suite (zn)n∈N converge vers l si les suites réelles (Re(zn))n∈N et (Im(zn))n∈N convergentrespectivement vers Re(l ) et Im(l ). On note alors :

l = limn→+∞zn .

1. On pose, dans cette question uniquement, pour tout n ∈N∗, zn =(

1

n2 + i

n

)(n + i ).

Montrer que la suite (zn)n∈N∗ converge et déterminer sa limite.

2. (a) Montrer que, si limn→+∞zn = 0, alors lim

n→+∞ |zn | = 0.

(b) Montrer que, pour tout z ∈C,

−|z| ≤ Re(z) ≤ |z| et −|z| ≤ Im(z) ≤ |z|.

(c) Montrer que, si limn→+∞ |zn | = 0, alors lim

n→+∞zn = 0.

3. On pose z0 = 2 et, pour tout n ∈N, zn+1 =(

1

4+ i

p3

4

)zn + 3

4− i

p3

4.

(a) Montrer que, pour tout n ∈N :

zn = 1+(

e iπ/3

2

)n

.

(b) Montrer que limn→+∞ |zn −1| = 0.

(c) En déduire limn→+∞zn .

INDICATIONS P 60

49

Troisième partie

Indications et corrections

50

Chapitre 13

Indications et solutions

13.1 Résolution d’équations et d’inéquations

Echauffement

1. Solution : x = ab

b −a

2. (a) Solution : x ≤−1

2(b) Solution : x <−1

(c) Remarquer que |2x −5| < 13 ⇔−13 < 2x −5 < 13.Solution : −4 < x < 9

(d) Remarquer que |3−4x| ≥ 17 ⇔ 3−4x ≥ 17 ou 3−4x ≤−17.

Solution : x ≥ 5 ou x ≤−7

2

3. (a) Solution : Remarquer que 2x2 −14x +24 = 0 ⇔ x2 −7x +12 = 0.Solution : x = 4 ou x = 3

(b) Remarquer que 3x2 −12x +12 = 0 ⇔ x2 −4x +4 = 0.Solution : x = 2

(c) Solution : x = 1+ i ou x = 1− i


1. (a) Remarquer que l’équation considérée est x2 − (a +d)x +ad −bc = 0 et étudier son discri-minant.Solution : (a −d)2 +4bc > 0

(b) Appliquer la question précédente à a = 2, d = 1 et bc = 6.Solution : r1 = 4 et r2 =−1

(c) Montrer que, pour tout n ∈ N, Xn+1 = 4Xn et Yn+1 = −Yn et utiliser la formule des suitesgéométriques avec X0 = 1 et Y0 = 7.

(d) Montrer que, pour tout n ∈N, xn = 3

5Xn + 1

5Yn et yn = 1

5Yn − 2

5Xn .

Solution : xn = 3×4n +7× (−1)n

5et yn = 7× (−1)n −2×4n

5

51

2. (a) Utiliser le discriminant.Solution : b2 −4ac ≥ 0.

(b) Remarquer que ar 2 +br + c = 0.

(c) Raisonner par identification après avoir simplifié er x . On trouve r =− b2a donc le discrimi-

nant est nul.Solution : b2 −4ac = 0


1. (a)

(b) Raisonner par coefficients indéterminés.Solution : a = 1, b =−7, c = 10

(c) Résoudre l’équation x2 −7x +10 = 0.Solution : x = 1 ou x = 2 ou x = 5

(d) Remarquer que r 3 −8r 2 +17r −10 = 0.

2. (a) Solution : x = 2+ i ou x = 2− i

(b) Calculer les dérivées premières et secondes de g et h.

13.2 Puissances et suites géométriques

Echauffement

1. Solution : a = 72, b = 8p

2, c =− 34 , d = 9.

2. Solution : A = 8x8, B = x9 y2, C = y2, D = y2.

3. Solution : un = 2n et vn = 23n−1 .

4. Montrer, en utilisant des inégalités, que, pour tout n ∈N, un ≤ un+1 et vn ≤ vn+1.


1. (a) Utiliser les propriétés des puissances.

(b) Se ramener au produit d’une quantité tendant vers +∞ et d’une quantité tendant vers 1.

2. (a) Utiliser les propriétés des puissances.

(b) Utiliser les propriétés des puissances.

(c) Simplifier les 62n .

Solution : limn→+∞

(6n)2 −2×3n

5×36n −3n = 1

5.

3. Factoriser le numérateur par 9n et le dénominateur par 16n .

Solution : limn→+∞

(−1)n +7n −32n

42n +6n+1 = 0.

4. (a) Raisonner par récurrence pour montrer que un+1 ≥ 0 puis montrer que n2+2n+12(n+1)2+1

≤ 12 .

(b) Raisonner par récurrence.

(c) Utiliser le théorème des gendarmes.Solution : lim

n→+∞un = 0.

52


1. Utiliser les propriétés de l’exponentielle et du logarithme.

2. Montrer que la limite est égale à la dérivée de x 7→ ln(1+x) en 0.

3. (a) Utiliser le résultat précédent en remplaçant x par an .

(b)

4. Solution : un = 1+ 1pn

5. Solution : vn = 1− 1pn

13.3 Récurrences

Echauffement

1. Il est inutile de faire une récurrence, il suffit de remarquer que cos(πn2 +2) ≤ 1.

2. (a) Si n est pair, il existe k ∈N tel que n = 2k et calculer n2.Si n est impair, il existe k ∈N tel que n = 2k +1 et calculer n2.

(b) Raisonner par récurrence. Ne pas oublier de montrer que un+1 est un entier. Faire deux casselon la parité de un et utiliser la question précédente.

3. Raisonner par récurrence.

4. (a) Remarquer que f (n) = n.

(b) Montrer, par exemple, que f (0) > f( 1

2

).


1. Raisonner par récurrence.

2. (a) Solution : f est décroissante sur]−∞,− 1

3

]et croissante sur

[− 13 ,+∞[

.

(b) Remarquer que e−1 < 1.

3. Raisonner par récurrence.Solution : la suite (un)n∈N est constante égale à 0.

4. Passer à la limite dans la définition de (un)n∈N, pour montrer que le3l = l .

5. (a) Raisonner par récurrence.

(b) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur [0,+∞[.

(c) Utiliser la croissance de (un)n∈N.

(d) Raisonner par l’absurde pour montrer que (un)n∈N est divergente et utiliser la croissancede (un)n∈N pour conclure.

6. (a) Raisonner par récurrence et utiliser la croissance de f sur[− 1

3 ,0[.

(b) Remarquer que f (x)−x = x(e3x −1).

(c) Appliquer la question précédente à x = un .

53

(d) Montrer que (un)n∈N est croissante et majorée.

7. (a) Utiliser les variations de f .

(b) Se ramener au cas précédent.Solution : lim

n→+∞un = 0


1. (a) Calculer f ′.Solution : f est décroissante.

(b) On sait que 1 ≤ 2 ≤ e donc 0 ≤ ln(2) ≤ 1.

(c) Utiliser la décroissance de f et les inégalités précédentes.

2. (a) Comme f n’est définie que sur [0,1], il faut prouver par récurrence que, pour tout n ∈ N,un ∈ [0,1].

(b) Raisonner par récurrence et appliquer deux fois la fonction f à l’inégalité u2n ≤ u2n+1,donc, en changeant deux fois le sens des inégalités.

(c) Solution : u0 = 0, u1 = 1+ln(2)2 ≈ 0.85, u2 =− ln(3+ ln(2))+ 1+3ln(2)

2 ≈ 0,23, u3 =− ln(− ln(3+ ln2)+ 3+3ln2

2

)+

ln2+12 ≈ 0,64.

(d) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n ∈N, u2n ≤ u2n+2.

(e) Raisonner par récurrence pour montrer que, pour tout n ∈N, u2n+1 ≥ u2n+3.

(f) Raisonner par l’absurde.Solution : La suite (un)n∈N n’est pas monotone.

13.4 Géométrie plane et trigonométrie

Echauffement

1. Solution : a = 4, b = 6, c = 23 , d = 2,5

2. (a) Solution :

(b) Se ramener à l’équation : (xB −2)2 + (2−1)2 =(p

52

)2.

Solution : 32

54

(c) Appliquer le théorème de Pythagore.

Solution :p

156

(d) Remarquer que cosθ = ABBC et sinθ = AC

BC .

Solution : cosθ =p

32 , sinθ = 1

2 et θ = π6 .


1. (a) i. Solution :−−→AD = k1

−→AB , k1 ∈R

ii. Solution :−→AE = k2

−→AC , k2 ∈R

iii. Solution :−−→DE = k3

−→BC , k3 ∈R

(b) Supposer a 6= 0 et en déduire que A,B ,C sont alignés, ce qui est absurde.

(c) Montrer que (−k1 +k3)−→AB + (k2 −k3)

−→AC =~0.

(d) Appliquer deux fois le théorème de Thalès.

2. (a) i. Remarquer que−−→G A =−−→

GO +−−→O A et raisonner de même pour les autres points.

ii. Remarquer que−−→M A =−−→

MG +−−→G A et raisonner de même pour les autres points.

(b) i. Montrer que−−→G A+−−→

GB = 2−→G I .

ii. Montrer que−→G I et

−→IC sont colinéaires.

(c) Remarquer que (IC ) est la médiane issue de C et raisonner de même pour les autres points.


1. (a) Solution : 2e iα

(b) Solution : (2cos(α),2sin(α))

(c) Remarquer que l’angle entre~I et ~u est α−θ.Solution : 2e i (α−θ)

(d) Solution : (2cos(α−θ),2sin(α−θ))

2. (a) Solution : 2p

3

(b) Calculer l’argument de l’affixe de ~v .Solution : π6

3. (a) Solution : (1,−p3)

(b) Calculer ~u +~v .Solution : 0

13.5 Dérivation et intégration

Echauffement

1. (a) Solution : a = (ex )2

e y , b = 1+ex , c = (ex )2

e y .

(b) Solution : a = 2ln(x)+5ln(y), b = ln(y), c = ln(x)+2ln(y)ln(x) .

55

(c) Pour b, étudier et simplifier d’abord (ex +e−x )2 −ex (ex +e−3x )Solution : pour x ∈R, a = ln(3)+ x

2 ; pour x ∈R, b = ln(2) ; pour x ∈R\ {0}, c = 12x4 .

2. Pour f , remarquer que f (x) = x−4.

Solution : f ′(x) =− 4x5 , g ′(x) = ( 1

x + ln(2x))ex , h′(x) = (3(x2+1)ln(x2+1)−2x)e3x

(ln(x2+1))2(x2+1).


1. (a) Solution : f est strictement croissante sur ]−∞,1[, sur ]1,2[ et sur ]2,+∞[, limx→−∞ f (x) = 0,

limx→+∞ f (x) =+∞ et on obtient la courbe suivante :

(b) Une primitive de x 7→ e(x−1)/2 est x 7→ 2e(x−1)/2, une primitive de x 7→ x+12 est x 7→ (x+1)2

4 et

une primitive de x 7→ (x −2)4 + 32 est x 7→ (x−2)5

5 + 32 x.

Solution :∫ x

0 f (t )d t = 2(e(x−1)/2 −e−1/2) si x ≤ 1,∫ x

0 f (t )d t = 1−2e−1/2 + (x+1)2

4 si 1 < x ≤ 2,∫ x0 f (t )d t = 1

4 −2e−1/2 + (x−2)5

5 + 32 x si x > 2.

2. (a) Mettre ax−1 + b

(x−1)2 + c(x−1)3 au dénominateur commun (x −1)3.

Solution : a = c = 1, b =−1.

(b) Sur ]1,+∞[, une primitive de x 7→ 1x−1 est x 7→ ln(x − 1), une primitive de x 7→ 1

(x−1)2 est

x 7→ − 1x−1 , une primitive de x 7→ 1

(x−1)3 = (x −1)−3 est x 7→ − 12(x−1)2 .

Solution : I = ln2− 532 .

3. (a) Solution : f ′(x) =(2− 1

x2

)e(x2), f ′′(x) =

(4x − 2

x+ 2

x3

)e(x2).

(b) Remarquer que :e(x2)(x2 −1)

x3 = 2xe(x2) − f ′′(x)

2et qu’une primitive de x 7→ 2xe(x2) est x 7→

e(x2).

Solution : J = e2

4− e

2.


1. (a) Etudier la fonction : x 7→ ex +e−x

2.

(b) Etudier les fonctions y 7→ y −√

y2 −1 et y 7→ y +√

y2 −1.

56

(c) Se ramener à une équation du second degré et, en utilisant la question précédente, cher-cher une solution X ≥ 1.Solution : X = y +

√y2 −1.

(d) Se ramener à la question précédente en posant X = ex .Solution : x = ln(y +

√y2 −1).

2. (a) Solution : f ′(x) = 1px2 −1

.

(b) Remarquer que I = f (3)− f (2).

Solution : I = ln3+2

p2

2+p3

(c) Remarquer que∫ 2

x

1pt 2 −1

d t = f (2)− f (x) et que limx→1

f (x) = 0.

Solution : ln(2+p3)

13.6 Formules de trigonométrie

Echauffement

1. (a) Solution :π

12

(b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cosπ

12= cos

π

3cos

π

4+ sin

π

3sin

π

4et

sinπ

12= sin

π

3cos

π

4− sin

π

4cos

π

3.

Solution : cosπ

12=

p2(1+p

3)

4et sin

π

12=

p2(p

3−1)

4

2. (a) Solution :7π

12

(b) Utiliser les formules de trigonométrie pour avoir : cos7π

12= cos

π

3cos

π

4− sin

π

3sin

π

4et

sin7π

12= sin

π

3cos

π

4+ sin

π

4cos

π

3.

Solution : cos7π

12=

p2(1−p

3)

4et sin

7π

12=

p2(1+p

3)

4

3. Soit θ ∈R.

(a) Montrer que le discriminant est ∆= (2cosθ)2.Solution : 1+cosθ et 1−cosθ.

(b) Solution : Pour θ = 0 : 2 et 0, pour θ = π

3:

3

2et

1

2, pour θ = 2π

3:

3

2et

1

2, pour θ = π

6:

2+p3

2

et2−p

3

2.


1. (a) Remarquer que cos(2θ) = cos(θ+θ) et que sin2θ = 1−cos2θ.Solution : 2cos2θ−1.

57

(b) Remarquer que cos(3θ) = cos(2θ+θ).Solution : 4cos3θ−3cosθ.

(c) Remarquer que sin(3θ) = sin(2θ+θ).Solution : sinθ(4cos2θ−1).

(d) Remarquer que cos(5θ) = cos(3θ+2θ).Solution : cosθ(16cos4θ−20cos2θ+5).

2. (a) Remarquer que 0 ≤ π10 < π

2 .

(b) Remarquer que cos(5 π

10

)= 0 et utiliser le résultat de 1.d.

3. Calculer le discriminant associé à cette équation.

Solution : x = 5±p5

8

4. (a) Remarquer que 0 ≤ π10 < π

4 .

(b) Elever au carré chacun des deux membres.

(c) Comme a > 0, on a a =√

5±p58 et utiliser les questions précedentes pour choisir le signe.

Solution :

√5+p

5

8

5. Remarquer que sinπ

10=

√1−cos2 π

10, cos

π

5= cos

(2π

10

)et sin

π

5=

√1−cos2 π

5.

Solution :sinπ

10=

√3−p

5

8, cos

π

5= 1+p

5

4et sin

π

5=

√5−p

5

8.


1. Solution : u0 =−1, u1 = 0, u2 =p

22 , v0 = 0, v1 = 1, v2 =

p2

2 .

2. (a) Remarquer que un = cos(2 π

2n+1

)et en déduire, en utilisant les formules de trigonométrie,

que un = 2u2n+1 −1.

(b) Remarquer que vn = sin(2 π

2n+1

)et que un =

√1− v2

n .

(c) Utiliser les formules obtenues aux questions précédentes.

Solution : u3 =√

2+p2

2et v3 = 1√

2(p

2+2).

3. Remarquer que u2n + v2

n = 1.

4. Remarquer que un − vn =p2(p

22 cos

(π

2n

)− p2

2 sin(π

2n

)).

5. Remarquer que un + i vn = e iπ/2n.

58

13.7 Fonctions cosinus et sinus

Echauffement

1. Solution : A = 13π4 ,B =− 23

26 .

2. Solution : −π6 ≤ x < π

12 .

3. Solution : − 4π9 ≤ x < π

18 .

4. Solution : f ′1(x) = −2sin(2x) + 3cos(3x), f ′

2(x) = −2sin(2x)sin(3x) + 3cos(2x)cos(3x), f ′3(x) =

−7sin(x)×cos6(x), f ′4(x) = 1

π cos( xπ

).


1. (a) Utiliser la 2π-périodicité du cosinus.

(b) Solution : On obtient la courbe représentative de f sur [−π,π] à partir de la courbe repré-sentative de f sur

[0, 2π

5

]en effectuant des translations horizontales de multiples de 2π

5 .

2. Solution : f (0) =p

22 , f

(π5

)=−p

22 , f

( 2π5

)= p2

2 .

3. L’étude du signe de f ′ sur[− π

20 , 7π20

]se déduit du signe du sinus sur [0,2π].

Solution : f ′(x) =−5sin(5x + π

4

), f est décroissante sur

[− π20 , 3π

20

]et croissante sur

[ 3π20 , 7π

20

].

4.


1. (a) Solution : Calculer f (0) = cos(ϕ) et par lecture graphique f (0) ≈ 0,87.

(b) On a cos(ϕ) ≈p

32 .

Solution : ϕ= π6 .

2. (a) Solution : f ′(0) = −ωsin(ϕ) et par lecture graphique (pente de la tangente à l’origine)f ′(0) ≈−1.5.

(b) On a −ωsin(ϕ) =−ωsin π6 ≈− 3

2 .Solution : ω= 3.

3. (a) Utiliser la 2π-périodicité du cosinus.

(b) Solution : T ≈ 2,1

(c) Solution : ω= 2πT = 3.

13.8 Nombres complexes

Echauffement

1. Pour e, on peut utiliser la valeur de d pour choisir le dénominateur commun.Solution : a =−3i , b = 9+13i

10 , c = 13−9i5 , d = 7

2 +2i , e = 3+i2

2. Pour z3, passer par la forme trigonométrique.

Solution : Re(z1) = 19, Im(z1) =−2, |z1| =p

365, Re(z2) =− 15 , Im(z2) = 3

5 , |z2| =p

105 , Re(z3) =−64,

Im(z3) = 0, |z3| = 64

59

3. Solution : |z1| = 25, z2 = 25, z3 =p

1+a2pb2+a2

.

4. Solution : arg(z1) = π4 , arg(z2) = 7π

12 , arg(z3) = π12 , arg(z4) =− 2π

3 .


1. Solution : z20 = 2i = 2e i π2 , z3

0 =−2+2i = 2p

2e i 3π4 , z4

0 =−4 = 4e iπ

2. (a) Remplacer z par a + i a et écrire une équation pour la partie réelle et une équation pour lapartie imaginaire.

(b) Se ramener, dans le cas où a 6= 0 à une équation du second degré.Solution : a = 0 ou a = 1 ou a = 2.

(c) Regarder, parmi les trois valeurs précédentes, celles qui vérifient a4 −3a3 +6a −4 = 0.Solution : 1+ i et 2+2i

3. (a) Calculer le conjugué de z4 −6z3 +18z2 −24z +16.

(b) Solution : 1+ i , 1− i , 2+2i et 2−2i .

4. Remarquer que, (z−(1+i ))(z−(1−i )) = ((z−1)−i )((z−1)+i ) = (z−1)2−i 2 et raisonner de mêmepour l’autre terme.


1. Calculer Re(zn) et Im(zn).Solution : lim

n→+∞zn = i .

2. (a) Utiliser |zn | =√

Re(zn)2 + Im(zn)2.

(b) Utiliser |z| =√

Re(z)2 + Im(z)2, Re(z)2 ≤ Re(z)2 + Im(z)2 et Im(z)2 ≤ Re(z)2 + Im(z)2.

(c) Appliquer l’inégalité de la question précédente à zn et utiliser le théorème des gendarmes.

3. (a) Raisonner par récurrence.

(b) Montrer que |zn −1| = 12n .

(c) Solution : limn→+∞zn = 1

60

Chapitre 14

Corrections

14.1 Résolution d’équations et d’inéquations

1. (a) L’équation est définie pour 6x −3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 12 .

Soit x 6= 12 , on a :

3x+16x−3 =− 7

6 ⇔ 6(3x +1) =−7(6x −3)⇔ 18x +6 =−42x +21⇔ 60x = 15⇔ x = 15

60 = 14

Donc l’équation admet pour solution :

x = 1

4.

(b) L’inéquation est définie pour 6x −3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 12 .

Méthode 1 : Soit x 6= 12 , on a :

3x+16x−3 ≤− 7

6 ⇔{

6(3x +1) ≤−7(6x −3) si 6x −3 > 06(3x +1) ≥−7(6x −3) si 6x −3 < 0

⇔{

60x ≤ 15 si x > 12

60x ≥ 15 si x < 12

⇔{

x ≤ 14 si x > 1

2 (cas impossible)x ≥ 1

4 si x < 12

⇔ 14 ≤ x < 1

2

Donc l’inéquation admet pour solution :

x ∈[

1

4,

1

2

[.

Méthode 2 : Soit x 6= 12 , on a :

3x+16x−3 ≤− 7

6 ⇔ 3x+16x−3 + 7

6 ≤ 0⇔ 2(3x+1)

6(2x−1) + 7(2x−1)6(2x−1) ≤ 0

⇔ 20x−56(2x−1) ≤ 0

⇔ 5(4x−1)6(2x−1) ≤ 0

⇔ 4x−12x−1 ≤ 0

61

On a le tableau de signes suivant :

x 14

12

4x −1 − 0 + +2x −1 − − 0 +

4x−12x−1 + 0 − ‖ +


x ∈[

1

4,

1

2

[.

(c) L’inéquation est définie pour 6x −3 6= 0, c’est-à-dire x 6= 12 .

Soit x 6= 12 , on a : ( 3x+1

6x−3

)2 ≤ 16 ⇔ ∣∣ 3x+16x−3

∣∣≤ 4⇔ |3x +1| ≤ 4|6x −3|

Or, on a le tableau de signes suivant :

x − 13

12

3x +1 − 0 + +6x −3 − − 0 +

Donc : ( 3x+16x−3

)2 ≤ 16 ⇔

−(3x +1) ≤−4(6x −3) si x ≤− 13

(3x +1) ≤−4(6x −3) si − 13 < x < 1

2(3x +1) ≤ 4(6x −3) si x > 1

2

⇔

21x ≤ 13 si x ≤− 13

27x ≤ 11 si − 13 < x < 1

213 ≤ 21x si x > 1

2

⇔

x ≤ 1321 si x ≤− 1

3x ≤ 11

27 si − 13 < x < 1

21321 ≤ x si x > 1

2

Or −1

3< 1

2< 13

21et −1

3< 11

27< 1

2, ainsi :

( 3x+16x−3

)2 ≤ 16 ⇔ x ≤− 13 ou − 1

3 < x ≤ 1127 ou 13

21 ≤ x.


x ∈]−∞,

11

27

]ou x ∈

[13

21,+∞

[.

2. (a) Soit x ∈R, on a : f ′(x) = 2ax +b. Ainsi :

• si a > 0, f ′ est négative sur]−∞,− b

2a

]et positive sur

[− b

2a ,+∞[

.

Donc f est décroissante sur]−∞,− b

2a

]et croissante sur

[− b

2a ,+∞[

.

D’où, pour tout x ∈]−∞, −b

2a

], f (x) ≥ f

(−b2a

)et, pour tout x ∈

[−b2a ,+∞

[, f (x) ≥ f

(−b2a

).

Ainsi, pour tout x ∈R, f (x) ≥ f(−b2a

).

Donc la courbe représentative de f admet un minimum au point d’abscisse x =− b

2a.

62

• si a < 0, f ′ est positive sur]−∞, −b

2a

]et négative sur

[−b2a ,+∞

[.

Donc f est croissante sur]−∞, −b

2a

]et décroissante sur

[−b2a ,+∞

[.

D’où, pour tout x ∈]−∞, −b

2a

], f (x) ≤ f

(−b2a

)et, pour tout x ∈

[−b2a ,+∞

[, f (x) ≤ f

(−b2a

).

Ainsi, pour tout x ∈R, f (x) ≤ f(−b2a

).

Donc la courbe représentative de f admet un maximum au point d’abscisse x =− b

2a.

Dans tous les cas, la courbe représentative de f admet un extremum au point d’abscisse

x =− b

2a.

(b) Soit x ∈R∗, on a :

f (x) = ax2(1+ b

ax+ c

ax2

).

Or :

limx→±∞

(1+ b

ax+ c

ax2

)= 1.

Ainsi :

limx→+∞ f (x) =

{ +∞ si a > 0−∞ si a < 0,

et

limx→−∞ f (x) =

{ +∞ si a > 0−∞ si a < 0.

(c) i. On a a > 0 et −b2a = 1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au point

d’abscisse x = 1 et ce minimum vaut f (1) = 0.Il s’agit donc de la courbe f1.

ii. On a a < 0 et −b2a = 1 donc la courbe représentative de f admet un maximum au point

d’abscisse x = 1 et ce maximum vaut f (1) = 0.Il s’agit donc de la courbe f3.

iii. On a a > 0 et −b2a =−1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au point

d’abscisse x =−1 et ce minimum vaut f (−1) = 0.Il s’agit donc de la courbe f6.

iv. On a a > 0 et −b2a =−1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au point

d’abscisse x =−1 et ce minimum vaut f (−1) = 1.Il s’agit donc de la courbe f5.

v. On a a > 0 et −b2a =−1 donc la courbe représentative de f admet un minimum au point

d’abscisse x =−1 et ce minimum vaut f (−1) =− 12 .

Il s’agit donc de la courbe f7.

14.2 Puissances et suites géométriques

1. Soit n ∈N, on a :un = 1n = 1.

Ainsi la suite (un)n∈N est constante égale à 1. Donc :

limn→+∞un = 1.

63

2. Soit n ∈N, on a :un = (−1)n ∈ {−1,1}.

Donc la suite (un)n∈N est bornée. Ainsi, si elle admet une limite, cette limite est finie.Supposons que lim

n→+∞un = l ∈R. On a, pour tout n ∈N, un+1 =−un , donc par passage à la limite,

l =−l , d’où l = 0.De plus, on a, pour tout n ∈N, |un | = 1 d’où lim

n→+∞ |un | = 1. Or, limn→+∞ |un | = |l |, ainsi, |l | = 1.

On a donc |0| = 1 ce qui est absurde.Donc (un)n∈N n’a pas de limite en +∞.

3. (a) Soit n ∈N, on a :|un+1|− |un | = |x|n+1 −|x|n = |x|n(|x|−1) ≤ 0,

car 0 ≤ |x| < 1.Donc la suite (|un |)n∈N est décroissante.

(b) On a, pour tout n ∈N, |un | ≥ 0.Donc la suite (|un |)n∈N est minorée par 0.

(c) La suite (|un |)n∈N est décroissante et minorée donc est convergente.

(d) Supposons l 6= 0, on a, pour tout n ∈N :

|un+1| = |xn+1| = |x|.|xn | = |x|.|un |.

Donc, en faisant tendre n vers +∞, on a :

l = |x|.l .

Or l 6= 0, donc, |x| = 1 ce qui contredit l’hypothèse |x| < 1.

(e) On a donc limn→+∞ |un | = 0.

Or, pour tout n ∈N, on a : −|un | ≤ un ≤ |un |.De plus, lim

n→+∞ |un | = limn→+∞−|un | = 0.

Donc, d’après le théorème des gendarmes, limn→+∞un = 0.

4. (a) Soit n ∈N, on a :|un+1|− |un | = |x|n+1 −|x|n = |x|n(|x|−1) ≥ 0,

car |x| > 1.Donc la suite (|un |)n∈N est croissante.

(b) i. Soit n ∈N.On considère la fonction définie, pour tout x ∈ [1,+∞[, par f (x) = xn −n(x −1)−1.La fonction f est dérivable sur R et on a, pour tout x ∈ [1,+∞[ :

f ′(x) = nxn−1 −n = n(xn−1 −1) ≥ 0.

Donc f est croissante sur [1,+∞[.Ainsi, pour tout x ∈ [1,+∞[, f (x) ≥ f (1), or f (1) = 0 donc, pour tout x ∈ [1,+∞[, f (x) ≥0. On a donc xn −n(x −1)−1 ≥ 0. Donc :

un ≥ n(x −1)+1.

64

ii. Comme x −1 > 0, on a : limn→+∞n(x −1)+1 =+∞.

Donc, d’après le théorème de comparaison des limites :

limn→+∞un =+∞.

(c) i. Soit n ∈N, on a : |un | = |x|n .Donc, d’après la question précédente appliquée à |x| > 1, on a :

limn→+∞ |un | = +∞.

ii. Supposons que la suite (un)n∈N admette une limite en +∞.Alors, comme lim

n→+∞ |un | = +∞, on a limn→+∞un =+∞ ou −∞.

• Si limn→+∞un =+∞, alors lim

n→+∞un+1 =+∞ et, comme x < 0, limn→+∞xun =−∞.

Donc, comme pour tout n ∈ N, un+1 = xun , on a, par passage à la limite : +∞ =−∞ ce qui est absurde.

• Si limn→+∞un =−∞, alors lim

n→+∞un+1 =−∞ et, comme x < 0, limn→+∞xun =+∞.

Donc, comme pour tout n ∈ N, un+1 = xun , on a, par passage à la limite : −∞ =+∞ ce qui est absurde.

Donc la suite (un)n∈N n’a pas de limite en +∞.

14.3 Récurrences

1. (a) • Pour n = 0, on a v0 = 1 ≥ 0.

• Soit n ∈N, supposons que vn ≥ 0.On a vn+1 = (n +1)vn , donc, comme n +1 ≥ 0 et vn ≥ 0, on a vn+1 ≥ 0.

On a donc prouvé par récurrence que, pour tout n ∈N, vn ≥ 0.

(b) Soit n ∈N, on a :vn+1 − vn = (n +1)vn − vn = nvn ≥ 0.

Donc la suite (vn)n∈N est croissante.

(c) • Pour n = 0, on a v0 = 1 ≥ 0.

• Soit n ∈N, supposons que vn ≥ n.On a vn+1 = (n +1)vn , ainsi :

– Si n ≥ 1, comme vn ≥ n ≥ 1, on a vn+1 ≥ n +1.

– Si n = 0, comme v0 = 1 ≥ 1, on a vn+1 ≥ n +1.

Dans tous les cas, on a vn+1 ≥ n +1.

On a donc prouvé par récurrence que pour tout n ∈N, vn ≥ n.

(d) Comme limn→+∞n =+∞, on a, d’après le théorème de comparaison des limites :

limn→+∞vn =+∞.

(e) • Pour n = 1, on a v1 = 1.v0 = 1.

• Soit n ∈N∗, supposons que vn = 1×2×3 · · ·×n.On a alors :

vn+1 = (n +1)vn = vn × (n +1) = 1×2×3 · · ·×n × (n +1)

On a donc prouvé par récurrence que pour tout n ∈N∗,

vn = 1×2×3 · · ·×n.

65

2. (a) Soit x ∈R,

f ′n(x) = nxn−1e−x +xn(−e−x )

n!= nxn−1e−x

n!− xne−x

n!= xn−1e−x

(n −1)!− xne−x

n!= fn−1(x)− fn(x).

Donc :f ′

n = fn−1 − fn .

(b) Comme fn est une primitive de f ′n , on a :∫ 1

0f ′

n(x)d x = [fn(x)

]10 =

e−1

n!.

(c) On a :

u0 =∫ 1

0e−x d x = [−e−x]1

0 =−e−1 − (−1) = 1−e−1.

(d) Soit n ∈N∗, comme f ′n = fn−1 − fn , on a :∫ 1

0f ′

n(x)d x =∫ 1

0fn−1(x)d x −

∫ 1

0fn(x)d x.

Donc :e−1

n!= un−1 −un .

Ainsi :

un = un−1 − 1

en!.

(e) Soit n ∈N∗, comme 1en! ≥ 0, on a, d’après la question précédente :

un ≤ un−1.

Donc la suite (un)n∈N est décroissante.

(f) Soient n ∈N et x ∈ [0,1], on a :xne−x

n!≥ 0, donc

∫ 1

0

e−x xn

n!d x ≥ 0.

Ainsi pour tout n ∈N, un ≥ 0.

(g) La suite (un)n∈N est décroissante et minorée, elle est donc convergente.

(h) Soient n ∈N et x ∈ [0,1], comme 0 ≤ xn ≤ 1 et 0 ≤ e−x ≤ 1, on a :

xne−x

n!≤ 1

n!.

Donc, comme∫ 1

01n! d x = 1

n! , on a pour tout n ∈N :

un ≤ 1

n!.

(i) On a, pour tout n ∈N :

0 ≤ un ≤ 1

n!.

Or d’après 1., limn→+∞n! =+∞, donc lim

n→+∞1

n!= 0. Ainsi, d’après le théorème des gendarmes :

limn→+∞un = 0.

66

14.4 Géométrie plane et trigonométrie

1. (a) On a xA 6= xB donc A 6= B ainsi la droite (AB) est bien définie.On a xA 6= xB donc la droite (AB) n’est pas verticale.

(b) Comme A et B sont des points de la droite (AB), on a y A = axA +b et yB = axB +b.En soustrayant ces deux égalités, on a y A − yB = a(xA −xB ).

Et comme xA 6= xB , on obtient : a = y A − yB

xA −xB.

(c) On a donc, en réinjectant la valeur précédente : y A = y A − yB

xA −xBxA +b.

Ainsi b = y A − y A − yB

xA −xBxA = y A(xA −xB )− (y A − yB )xA

xA −xB= xA yB −xB y A

xA −xB.


(a) Comme x0 6= 0, on a ~u 6=~0 donc la droite D est bien définie.On a x0 6= 0 donc la droite D n’est pas verticale.

(b) Soit B le point tel que−→AB =~u, alors D = (AB).

De plus, xB −xA = x0 et yB − y A = y0.

Donc, d’après les questions précédentes, a = y A − yB

xA −xB= −y0

−x0= y0

x0.

(c) En appliquant les résultats précédents, on a :

b = xA yB −xB y A

xA −xB= xA(y0 + y A)− (x0 +xA)y A

−x0= x0 y A −xA y0

x0.

3. (a) Si x0 < 0 comme −~u est un vecteur directeur de D de coordonnées (−x0,−y0) et −x0 > 0,on peut, quitte à changer ~u en −~u, se ramener au cas où x0 > 0.

(b)

(c) Le vecteur ~u de coordonnées (cosθ, sinθ) est un vecteur directeur de D .

De plus, d’après la question 2.b, la pente de la droite D est a = y0

x0= sinθ

cosθ.

4. (a) i. La pente de la droite D est :

a = y0

x0= 3p

3=p

3.

On a b = −2p

3−3p

3p3

=−5, donc l’équation réduite de D est :

y =p3x −5.

67

On a sinθcosθ = a =p

3, donc sinθ =p3cosθ. Or cos2θ+ (

p3cosθ)2 = 1, ainsi cos2θ = 1

4.

De plus, θ ∈ ]−π2 , π2

[, donc cosθ > 0, ainsi, cosθ = 1

2. De plus a > 0, donc θ > 0, on a

donc :θ = π

3.

ii. La pente de la droite D est :

a = y0

x0= −1p

3=−

p3

3.

On a b =p

3+2p

3p3

= 3, donc l’équation réduite de D est :

y =−p

3

3x +3.

On a sinθcosθ = a =−

p3

3 , donc sinθ =−p

33 cosθ. Or cos2θ+(−

p3

3 cosθ)2 = 1, ainsi cos2θ =3

4. De plus, θ ∈ ]−π

2 , π2[, donc cosθ > 0, ainsi, cosθ =

p3

2. De plus a < 0, donc θ < 0, on

a donc :θ =−π

6.

iii. La pente de la droite D est :

a = y A − yB

xA −xB=

5p

22 −3

p2

3p

22 −p

8= −

p2

2

−p

22

= 1.

On a b =3p

22 ×3

p2−p

8× 5p

22

3p

22 −p

8= 9−10

−p

22

= 2p2=p

2, donc l’équation réduite de D est :

y = x +p2.

On a sinθcosθ = a = 1, donc sinθ = cosθ. Or cos2θ+ cos2θ = 1, ainsi cos2θ = 1

2. De plus,

θ ∈ ]−π2 , π2

[, donc cosθ > 0, ainsi, cosθ =

p2

2. De plus a > 0, donc θ > 0, on a donc :

θ = π

4.

iv. La pente de la droite D est :

a = 0−6p3+p

3=− 6

2p

3=− 3p

3=−p3.

On a b =p

3×6+p3×0p

3+p3

= 6p

3

2p

3= 3, donc l’équation réduite de D est :

y =−p3x +3.

On a sinθcosθ = a =−p3, donc sinθ =−p3cosθ. Or cos2θ+(−p3cosθ)2 = 1, ainsi cos2θ =

1

4. De plus, θ ∈ ]−π

2 , π2[, donc cosθ > 0, ainsi, cosθ = 1

2. De plus a < 0, donc θ < 0, on a

donc :θ =−π

3.

68

(b) i. Le vecteur (cosθ, sinθ) est un vecteur directeur de D , or (cosθ, sinθ) =(p

22 ,

p2

2

)=

p2

2 (1,1). Ainsi (1,1) est un vecteur directeur de D .

On a a = 1

1= 1 et b = 2×1+1×1

1= 3, donc D a pour équation : y = x +3.

ii. Le vecteur (cosθ, sinθ) est un vecteur directeur de D , or (cosθ, sinθ) =(p

32 ,− 1

2

)=

12 (p

3,−1). Ainsi (p

3,−1) est un vecteur directeur de D .

On a a = −1p3=−

p3

3et b = 6

p3+2

p3p

3= 8, donc D a pour équation : y =−

p3

3 x +8.

14.5 Dérivation et intégration

1. (a) On a :

• pour x < 2, f ′(x) = 1

2> 0, donc f est strictement croissante sur ]−∞,2],

• pour x > 2, f ′(x) = 2x − 7

2> 4− 7

2> 0, donc f est strictement croissante sur ]2,+∞[.

De plus :

limx→−∞ f (x) = lim

x→−∞x

2=−∞,

et

limx→+∞ f (x) = lim

x→+∞x2 − 7

2x +4 =+∞.

On obtient donc la courbe suivante :

(b) On a :

• si x ≤ 2 : ∫ x

0f (t )d t =

∫ x

0

t

2d t =

[t 2

4

]x

0= x2

4,

si x > 2 : ∫ x0 f (t )d t = ∫ 2

0 f (t )d t +∫ x2 f (t )d t

= ∫ 20

t2 d t +∫ x

2 (t 2 − 72 t +4)d t

=[

t 2

4

]2

0+

[t 3

3 − 7t 2

4 +4t]x

2

= 1+ x3

3 − 7x2

4 +4x − 83 +7−8

= x3

3 − 7x2

4 +4x − 83 .

69

2. (a) Soient a,b ∈R on a :

1+ a

x +1+ b

x −1= (x +1)(x −1)+a(x −1)+b(x +1)

(x +1)(x −1)= x2 + (a +b)x −1−a +b

x2 −1

Or : {a +b =−1−1−a +b =−6

⇔{

a =−1−b2b =−6

⇔{

a = 2b =−3

Ainsi a = 2 et b =−3 conviennent.

(b) On a :I = ∫ 5

3x2−x−6

x2−1d x

= ∫ 53 1+ 2

x+1 − 3x−1 d x

= [x +2ln(x +1)−3ln(x −1)]53

= 5+2ln6−3ln4−3−2ln4+3ln2= 2+2ln6−5ln4+3ln2

= 2+ ln 62.23

45

= 2+ ln 932

3. (a) Soit x ∈R+∗, on a :

f ′(x) = 2x ln x +x2 × 1

x= 2x ln x +x.

(b) On a :J = ∫ e

1 x ln x d x

= ∫ e1

f ′(x)−x2 d x

= 12

∫ e1 ( f ′(x)−x)d x

= 12

[f (x)− x2

2

]e

1

= 12

(f (e)− e2

2 − f (1)+ 12

)= 1

2

(e2 − e2

2 −0+ 12

)= e2+1

4

14.6 Formules de trigonométrie

1. (a) On a la figure suivante :

70

On remarque donc que :cos(π−θ) =−cosθ

De plus, on a :

cos(π−θ) = cosπcosθ+ sinπsinθ = (−1)×cosθ+0× sinθ =−cosθ.

(b) On a la figure suivante :

On remarque donc que :sin(π+θ) =−sinθ

De plus, on a :

sin(π+θ) = sinπcosθ+cosπsinθ = 0.cosθ+ (−1).sinθ =−sinθ.

(c) On a :

cos2π

3= cos

(π− π

3

)=−cos

π

3=−1

2,

et :

sin7π

6= sin

(π+ π

6

)=−sin

π

6=−1

2.

(d) On a la figure suivante :

On remarque donc que :

cos(π

2−θ

)= sinθ

71

De plus, on a :

cos(π

2−θ

)= cos

π

2cosθ+ sin

π

2sinθ = 0×cosθ+1× sinθ = sinθ.

(e) La figure précédente permet de remarquer que :

sin(π

2−θ

)= cosθ

De plus, on a :

sin(π

2−θ

)= sin

π

2cosθ−cos

π

2sinθ = 1×cosθ−0× sinθ = cosθ.

2. (a) Soit x ∈R, on a :cos x = sinθ ⇔ cos x = cos

(π2 −θ)

⇔ x =±(π2 −θ)+2kπ, k ∈Z.

Donc les solutions sont :x =±

(π2−θ

)+2kπ, k ∈Z.

(b) On a :

p2cos

(x − π

4

)=p

2(cos

π

4cos x + sin

π

4sin x

)=p

2

(p2

2cos x +

p2

2sin x

)= cos x + sin x.

(c) Soit x ∈R, on a :

cos x + sin x =p2sinθ ⇔ p

2cos(x − π

4

)=p2sinθ

⇔ cos(x − π

4

)= sinθ⇔ x − π

4 =±(π2 −θ)+2kπ, k ∈Z,

d’après la question précedente.Donc les solutions sont :

x = 3π

4−θ+2kπ et x =−π

4+θ+2kπ, k ∈Z.

Dans le cas particulier θ = 3π4 , les solutions sont :

x = 2kπ et x = π

2+2kπ, k ∈Z.

(d) Soit x ∈R, on a :

cos x + sin x = cosθ+ sinθ ⇔ p2cos

(x − π

4

)=p2cos

(θ− π

4

)⇔ cos

(x − π

4

)= cos(θ− π

4

)⇔ x − π

4 =±(θ− π

4

)+2kπ, k ∈Z.

Donc les solutions sont :x = π

4±

(θ− π

4

)+2kπ, k ∈Z.

72

14.7 Fonctions cosinus et sinus

1. (a) • f (0) = cos(π3

)= 12 ,

• f(π6

)= cos(π6 + π

3

)= cos(π2

)= 0,

• f(−π

3

)= cos(−π

3 + π3

)= cos(0) = 1,

• f(−π

6

)= cos(−π

6 + π3

)= cos(π6

)= p3

2 .

(b) • La dérivée de x 7→ x + π3 est x 7→ 1, donc, pour tout x ∈R :

f ′(x) =−sin(x + π

3

)• Si x ∈ [−π

3 , 5π3

], alors x + π

3 ∈ [0,2π].

• Soit x ∈ [−π3 , 5π

3

], on a :

f ′(x) ≤ 0 ⇔ sin(x + π

3

)≥ 0⇔ x + π

3 ∈ [0,π]⇔ x ∈ [−π

3 , 2π3

]Ainsi f est décroissante sur

[−π3 , 2π

3

]et croissante sur

[ 2π3 , 5π

3

].

(c) On obtient donc la courbe suivante :

(d) • On a, pour tout x ∈R :

f (x +2π) = cos(x + π

3+2π

)= cos

(x + π

3

)= f (x).

Donc f est 2π-périodique.

• L’intervalle[−π

3 , 5π3

]est de longueur 2π, donc on obtient la courbe représentative de

f sur un intervalle quelconque en partant de celle sur[−π

3 , 5π3

]et en effectuant des

translations horizontales de multiples de 2π.

• On obtient donc la courbe suivante :

73

(e) On a :

On remarque que l’on passe de la courbe représentative de cos à celle de f par une trans-lation horizontale de −π

3 .

2. (a) • g (0) = cos(0) = 1,

• g(π4

)= cos(π2

)= 0,

• g(π2

)= cos(π) =−1.

(b) La dérivée de x 7→ 2x est x 7→ 2, donc, pour tout x ∈R :

g ′(x) =−2sin(2x)

• Si x ∈ [0,π], alors 2x ∈ [0,2π].

• Soit x ∈ [0,π], on a :g ′(x) ≤ 0 ⇔ sin(2x) ≥ 0

⇔ 2x ∈ [0,π]⇔ x ∈ [

0, π2]

Donc g est décroissante sur[0, π2

]et g est croissante sur

[π2 ,π

].

(c) On obtient donc la courbe suivante :

74

(d) Soit x ∈R, on a :

g (x +π) = cos(2(x +π)) = cos(2x +2π) = cos(2x) = g (x).

(e) On obtient la courbe représentative de g sur un intervalle quelconque en partant de cellesur [0,π] (qui est de longueur π) et en effectuant des translations horizontales de multiplesde π. On a donc :

14.8 Nombres complexes

1. (a) On a :e iθ+e−iθ

2= cosθ+ i sinθ+cosθ− i sinθ

2= cosθ,

ete iθ−e−iθ

2i= cosθ+ i sinθ−cosθ+ i sinθ

2i= sinθ.

(b) i. On a, d’après la question précédente :

2e i p+q2 cos

( p −q

2

)= e i p+q

2

(e i p−q

2 +e−i p−q2

).

Donc :2e i p+q

2 cos( p −q

2

)= e i p+q

2 +i p−q2 +e i p+q

2 −i p−q2 = e i p +e i q .

75

ii. On a, d’après la question précédente :

2i e i p+q2 sin

( p −q

2

)= e i p+q

2

(e i p−q

2 −e−i p−q2

).

Donc :2i e i p+q

2 sin( p −q

2

)= e i p+q

2 +i p−q2 −e i p+q

2 −i p−q2 = e i p −e i q .

Ainsi :e i p −e i q = 2i e i p+q

2 sin( p −q

2

).

(c) On a :

|e i p +e i q | =∣∣∣2e i p+q

2 cos( p −q

2

)∣∣∣ .

Or, |e i p+q2 | = 1, donc :

|e i p +e i q | = 2∣∣∣cos

( p −q

2

)∣∣∣ .

De même :|e i p −e i q | =

∣∣∣2i e i p+q2 sin

( p −q

2

)∣∣∣= 2∣∣∣sin

( p −q

2

)∣∣∣ .

2. (a) En appliquant les formules précédentes :

|z1| = 2

∣∣∣∣cos

( π4 − π

12

2

)∣∣∣∣= 2cosπ

12,

et

|z2| = 2

∣∣∣∣sin

( π4 − π

12

2

)∣∣∣∣= 2sinπ

12.

(b) D’après la question 1.b,

z1 = 2e iπ4 + π

122 cos

( π4 − π

12

2

)= 2cos

π

12e i π6 = |z1|e i π6 .

Ainsi :arg(z1) = π

6.

De même,

z2 = 2i e iπ4 + π

122 sin

( π4 − π

12

2

)= 2i sin

π

12e i π6 = |z2|e i π6 +i π2 = |z2|e i 2π

3 .

Ainsi :

arg(z2) = 2π

3.

3. (a) En appliquant les formules précédentes :

|z3| = 2

∣∣∣∣∣cos

(− 13π15 − π

5

2

)∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣cos

(−8π

15

)∣∣∣∣=−2cos

(8π

15

),

et

|z4| = 2

∣∣∣∣∣sin

(− 13π15 − π

5

2

)∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣sin

(−8π

15

)∣∣∣∣= 2sin

(8π

15

).

76

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