Triangle rectangle et cosinus d’un angle aigu (trigonométrie) – Exercices corrigés

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Sont abordés dans cette fiche :

Exercices 1 et 2 : calcul de la longueur d’un côté adjacent à un angle aigu

Exercice 3 : calcul de la longueur de l’hypoténuse

Exercice 4 : calcul du cosinus d’un angle et de la mesure de cet angle

Exercice 5 : calcul du périmètre d’un rectangle

Exercice 6 : calcul de l’aire d’un parallélogramme

Rappel : Cosinus d’un angle aigu

Dans un triangle rectangle,

l’hypoténuse est le côté le plus long, opposé à l’angle

droit

le côté adjacent à un angle aigu relie les sommets de

l’angle aigu d’une part et de l’angle droit d’autre part

le cosinus d’un angle aigu est le quotient de la

longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur

de l’hypoténuse

Exemple :

est un triangle rectangle en .

Le cosinus de l’angle aigu est noté et :

Le cosinus de l’angle aigu est noté et :

Cosinus d’un angle aigu (trigonométrie)

Exercices corrigés

angle droit

hypoténuse

côté adjacent à

l’angle aigu

sommet de

l’angle aigu

hypoténuse

côté adjacent à

l’angle aigu

côté adjacent à

l’angle aigu

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est un triangle rectangle en tel que et cm. Calculer en arrondissant le résultat

au millimètre près.

1ère

étape : On réalise une figure à taille réelle (ou en modifiant l’échelle) ou un schéma (à main levée)

en reportant les indications fournies par l’énoncé (codage).

2ème

étape : On s’assure que le triangle est rectangle (soit à l’aide de l’énoncé, soit à l’aide du codage de

la figure ou du schéma, soit en utilisant une démonstration).

D’après l’énoncé, le triangle est rectangle en .

3ème

étape : On repère l’angle aigu, ainsi que l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle aigu.

4ème

étape : On écrit le cosinus de cet angle sous la forme d’un rapport de longueurs, en utilisant la

formule du cours.

5ème

étape : On cherche la valeur manquante de l’égalité.

Rappel : Produit en croix

Soient 4 nombres , , et , non nuls. En supposant que

, alors :

Exercice 1 (1 question) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1

hypoténuse

côté adjacent à

l’angle aigu

Ici, l’angle aigu à

repérer est l’angle

, indiqué en bleu.

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Dans cet exercice, on cherche . A l’aide d’un produit en croix, on trouve que :

6ème

étape : On donne le résultat exact en remplaçant les longueurs et les angles connus par leurs

mesures respectives.

7ème

étape : On utilise la calculatrice pour trouver le résultat arrondi.

8ème

étape : On conclut.

Le segment mesure cm (valeur arrondie au millimètre près par défaut).

On donne la figure ci-contre. Calculer et .

1) Calculons dans un premier temps .

D’après le codage de la figure, l’angle est un angle droit.

Le triangle est donc rectangle en .

Alors, dans le triangle rectangle en , on a :

D’où, à l’aide d’un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues :

Le segment mesure (arrondi au centième par excès).

Remarque importante : Dans cet exercice, l’unité de longueur n’est pas précisée ; il ne faut donc pas écrire

d’unité après le résultat du calcul.

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 2

Touches à saisir pour calculer cos 30

avec la Casio Collège 2D fx-92

avec la Texas Instrument TI-Collège

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2) Calculons désormais .

Dans un triangle, la somme des angles est égale à donc :

D’où :

Dans le triangle rectangle en , on a :

D’où, à l’aide d’un produit en croix puis en remplaçant par les mesures connues :

Le segment mesure (arrondi au centième par excès).

Remarque importante : On aurait pu également déterminer la distance en utilisant le théorème de

Pythagore. En effet, le triangle est rectangle en donc, d’après le théorème de Pythagore, on à l’égalité

suivante : , c’est-à-dire . Enfin, il en résulte

que . Le segment mesure (arrondi au centième par excès).

Rappel : Théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors, d’après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est

égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés du triangle.

Exemples :

Le triangle est rectangle en

donc, d’après le théorème de

Pythagore :

Le triangle est rectangle en

donc, d’après le théorème de

Pythagore :

Le triangle est rectangle en

donc, d’après le théorème de

Pythagore :

Soit un cercle de diamètre et soit un point du cercle tel que cm et . Calculer la

mesure du diamètre du cercle .

Hypoténuse

Hypoténuse

Hypoténuse

Exercice 3 (1 question) Niveau : facile

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Rappel : Triangle rectangle et cercle circonscrit

Si un triangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et a

pour hypoténuse le diamètre du cercle.

Le segment est un diamètre

du cercle

et est un point

de ce cercle.

donc

Le triangle

est rectangle

en et a pour

hypoténuse

.

D’après l’énoncé, est un cercle de diamètre et . Autrement dit, le triangle est inscrit dans le

cercle , de diamètre . Par conséquent, le triangle est rectangle en et a pour hypoténuse .

Il en résulte que :

C’est-à-dire :

Le diamètre du cercle mesure exactement 6 cm.

Schéma :

On considère le schéma ci-contre. Les points , et sont

alignés.

1) Calculer les valeurs arrondies au degré près de la

mesure de l’angle et de la mesure de l’angle

.

2) En déduire que les droites et sont

perpendiculaires.

Correction de l’exercice 3

Exercice 4 (3 questions) Niveau : moyen

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1)

Calculons dans un premier temps la mesure de l’angle .

D’après le codage, le triangle est rectangle en .

Par conséquent, d’après le théorème de Pythagore, on a

l’égalité suivante :

.

Il s’ensuit que .

En outre, on a :

D’où (arrondi au degré près).

Touches à saisir pour calculer la mesure de l’angle de cosinus 0,8

avec la Casio Collège 2D fx-92

avec la Texas Instrument TI-Collège

Calculons dans un second temps la mesure de l’angle .

D’après le codage, le triangle est rectangle en .

Par conséquent, on a :

D’où (arrondi au degré près).

Correction de l’exercice 4

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2) Déduisons-en que les droites et sont perpendiculaires.

Rappel : Angles adjacents

Deux angles adjacents et sont deux angles qui :

ont le même sommet

ont un côté commun

se situent de part et d’autre de ce côté commun

D’après l’énoncé, les points , et sont alignés. Autrement

dit, l’angle est un angle plat ; c’est-à-dire .

Or, les angles et sont adjacents, de même que sont

adjacents les angles et . De ce fait, on a :

D’où, en remplaçant par les mesures connues :

C’est-à-dire

L’angle mesure donc le triangle est rectangle en . En d’autres termes, les droites et

sont perpendiculaires.

Soit un rectangle tel que cm et . Calculer le périmètre de ce rectangle.

Rappel : Périmètre d’un rectangle

Soit un rectangle de longueur et de largeur .

Alors le périmètre du rectangle est donné par la formule :

Sommet commun

Côté commun

Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 5

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est un rectangle donc le triangle est rectangle en . Par

conséquent, on a :

D’où :

L’hypoténuse du triangle , qui est aussi une diagonale du rectangle mesure près de cm

(arrondi au mm par défaut).

est un triangle rectangle en . Donc, d’après le théorème de

Pythagore, on a l’égalité suivante :

D’où :

Par conséquent, .

La largeur du rectangle mesure cm.

Le périmètre du rectangle est donnée par la formule :

Le rectangle a pour périmètre approximatif cm.

Soit un parallélogramme . désigne le pied de la hauteur issue de . On sait que cm, cm

et . Calculer un arrondi de l’aire du parallélogramme.

Rappel : Aire d’un parallélogramme

Soit un parallélogramme de base et de hauteur .

Alors l’aire du parallélogramme est donnée par la formule :

Exercice 6 (1 question) Niveau : difficile

Correction de l’exercice 6

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est un parallélogramme donc ses angles opposés sont deux à

deux de même mesure. Par conséquent, . De plus,

par construction, , donc .

En outre, est le pied de la hauteur issue de . Autrement dit,

. Ainsi, comme , le triangle est rectangle

en . Il s’ensuit que :

D’où :

Par conséquent, l’hypoténuse du triangle mesure

approximativement cm (arrondi au millimètre par défaut).

De plus, comme est un triangle rectangle en , d’après le

théorème de Pythagore, on a l’égalité suivante :

D’où :

Ainsi,

Par conséquent, la hauteur du parallélogramme, issue de ,

mesure approximativement cm (arrondi au millimètre par défaut).

Enfin, l’aire du parallélogramme est donnée par la formule :

Comme est un parallélogramme, ses côtés opposés sont deux à

deux de même mesure, c’est-à-dire cm. D’où :

Le parallélogramme a pour aire approximative cm².