Exercices act2121-session5

Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012

Actuariat IACT2121

cinquième séance

Arthur Charpentier

[email protected]

http ://freakonometrics.blog.free.fr/

Automne 2012

1


Exercice 1

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Que vaut P(X ≥ 2) siP(X = 0) = 2P(X = 1) ?

A)2

3B)

2

3e−1/3 C) 1− 2

3e−1/2 D) 1− 3

2e−1/2 E) 1− 3e−2

2


Exercice 2

Soit X et Y deux variables aléatoires continues de fonction de densité conjointefX,Y (x, y) = xe−x(y+1) pour x ≥ 0 et y ≥ 0. Trouver fY |X(y|x).

A) xe−xy B) (y + 1)2xe−x(y+1) C) (y + 1)−2

D) ye−y(y+1) E) xe−x(y+1)

3


Exercice 3

On lance trois fois un dé standard bien équilibré. Soit X1, X2 et X3 les troisrésultats. Trouver la probabilité que : X1 ≤ X2 ≤ X3.

A)1

36B)

1

8C)

1

6D)

7

27E)

1

2

4


Exercice 4

Soit fX(x) = 12 pour |x| < 1 et Y = 3X + 2. Trouver la variance de Y .

A)1

4B)

1

3C)

3

4D) 3 E) 9

5


Exercice 5

Soit X la variable aléatoire perte de fonction de densité fX(x), x ≥ 0. Si la policerembourse la perte jusqu’à un maximum de 1 000, laquelle des expressionssuivantes donne l’espérance du remboursement ?

A)1 000∫0

xfX(x)dx B)1 000∫0

xfX(x)dx+

∞∫1 000

1 000fX(x)dx C)∞∫0

xfX(x)dx

D) max(1 000, E[X]) E)∞∫

1 000

(x− 1 000)fX(x)dx

6


Exercice 6

Pour les assurés d’une compagnie le nombre N de réclamations durant une annéeest tel que P(N = n) = k 24n

33n+1 où k est une constante.Trouver la probabilité qu’il y ait exactement une réclamation durant l’année.

A)16

81B)

1

3C)

176

729D)

16

99E)

16

729

7


Exercice 7

Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition est :

FX(x) =

0 si x ≤ 0

1− e−x si x > 0.

Trouver P(0 < eX ≤ 4).

A) e−4 B)3

4C)

1

2D)

1

4E) 1− e−4

8


Exercice 8

Le nombre de nids-de-poules sur 100 mètres d’une rue de Montréal suit une loi dePoisson de moyenne 0.3. Trouver la probabilité que sur une distance d’unkilomètre de cette rue il y ait 5 nids-de-poules ou moins.

A) 0.92 B) 0.09 C) 0.82 D) 0.5 E) 0.33

9


Exercice 9

Soit X et Y deux variables de loi N(0, 1) chacune et telles que Cov(X,Y ) = 0.5.Trouver P(X + Y ≤

√3).

A) 0.11 B) 0.16 C) 0.84 D) 0.89 E) 0.96

10


Exercice 10

Dans une urne, il y a n boules rouges et n boules bleues. On tire sans remise troisboules de l’urne. Si la probabilité que les trois boules soient toutes rouges est 1

12

alors n vaut ?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12

11


Exercice 11

Soit X et Y des variables aléatoires de loi conjointe :

fX,Y (x, y) =

x+ y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1

0 sinon.

Trouver P(X < 2Y ).

A)7

32B)

3

4C)

1

4D)

7

8E)

19

24

12


Exercice 12

Supposons que le nombre d’erreurs typographiques par page dans les notes ducours ACT2121 suive une loi de Poisson de paramètre λ. Trouver la probabilitéque dans 10 pages prises au hasard il y ait un total d’exactement 10 erreurstypographiques.

A)1010λ10e−10λ

10!B) (λe−λ)10 C) (1− e−λ)10 D) 10λe−λ E)

10λ10e−10λ

10!

13


Exercice 13

Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes dont la fonction de probabilitéconjointe est fX,Y (x, y) = 1

21 (x+ y) pour x = 1, 2, 3 et y = 1, 2.La fonction de densité de X sachant que Y = 2 sera :

A)1

21(x+ 2), x = 1, 2, 3 B)

x+ 2

2x+ 3, x = 1, 2, 3 C)

1

12(x+ 2), x = 1, 2, 3

D) x+ 2, x = 1, 2, 3 E)x+ 2

8, x = 1, 2, 3

14


Exercice 14

Soit X une variable aléatoire dont la série génératrice des moments est MX(t) =

e3t(1− t2)−1. Trouver σX/E[X].

A) 0.125 B) 0.333 C) 0.471 D) 0.500 E) 0.667

15


Exercice 15

La durée de vie d’un néon A (respectivement B) suit une loi exponentielle demoyenne 5 ans (respectivement 2 ans). Trouver la probabilité que le néon A duremoins de 4 ans et le néon B plus de 3 ans. (On suppose l’indépendance)

A) 1− e− 47 B) e−

2310 C) e−

32 · e− 4

5 D) e−45

(1− e− 3

2

)E) e−

32

(1− e− 4

5

)

16


Exercice 16

Soit X et Y des variables aléatoires de variances 2 et 3 respectivement, et decovariance −1. Laquelle des variables aléatoires suivantes a la plus petitevariance ?

A) 4X B) 3X − Y C) 3Y D) 2X + Y E) 2X − Y

17


Exercice 17

Le montant X de la réclamation annuelle d’un assuré de la compagnie azurtouta une moyenne µ et une variance σ2. Trouver le nombre nécessaire n d’assurés(d’un groupe de polices indépendantes) pour garantir que la réclamation moyenne(X̄ =

∑Xin

)du groupe s’écarte de µ d’au plus (0.1)σ avec une probabilité au

moins égale à 95% (c’est-à-dire n tel que P(|X̄ − µ| < 1

10σ)≥ 0.95).

A) 149 B) 271 C) 385 D) 484 E) 541

18


Exercice 18

Calculer P(X = 6) pour la variable aléatoire X ayant la fonction (ou série)

génératrice des moments MX(t) =(

et

3−2et

)4.

A)20

243B)

40

729C)

20

81D)

80

243E)

160

729

19


Exercice 19

Dans la province de Québec, le montant X d’une réclamation en assuranceautomobile se répartit autour d’une valeur moyenne de 725$. Calculer la valeurde l’écart-type σ de la variable X, si l’on sait que pour un groupe de 100réclamations indépendantes, P(63 500 ≤M ≤ 81 500) = 0.7698 où M est lemontant total des 100 réclamations.

A) σ < 200 B) 200 ≤ σ < 400 C) 400 ≤ σ < 600

D) 60 ≤ σ < 800 E) σ ≥ 800

20


Exercice 20

Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointefX,Y (x, y) = 4x pour 0 < x <

√y < 1. Trouver la fonction de densité de la

marginale Y .

A) 2y B) 2y2 C) y2 D) √y E) 4√y

21


Exercice 21

La variable aléatoire X, montant d’une réclamation, se répartit selon la densitéexponentielle. Trouver Var[X] sachant que P(X ≤ 2) = 2P(X ≥ 4).

A)2

ln 2B)

8

(ln 2)2C)

(ln 2)2

4D)

2

ln√

2E)

4

(ln 2)2

22


Exercice 22

Soit X le nombre d’épreuves indépendantes de Bernoulli jusqu’à l’obtention d’unpremier succès. Soit Y le nombre nécessaire d’épreuves indépendantes de la mêmeBernouilli pour obtenir 5 succès (pour la 1ère fois). Soit p la probabilité de succèsdans une épreuve et supposons Var[X] = 3

4 . Calculer Var[Y ].

A)3

20B)

15

4C)

75

4D)

3

4E)

3

4√

5

23


Exercice 23

Les variables aléatoires X1, X2, X3 sont uniformes sur l’intervalle [0, 1] avecCov(Xi, Xj) = 1

24 pour i = 1, 2, 3 et i 6= j. Calculer Var[X1 + 2X2 −X3].

A)5

12B)

11

12C)

1

2D)

1

4E)

1

6

24


Exercice 24

Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointe :

fX,Y (x, y) =

x+ y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1

0 sinon.

Trouver l’espérance conditionnelle E[Y | X = 1/3 ].

A)3

8B)

1

2C)

5

12D)

7

12E)

3

5

25


Exercice 25

Soit X1, X2, X3 trois observations indépendantes de la variable aléatoire continueX ayant la fonction de densité :

fX(x) =

√

2− x pour 0 < x <√

2

0 sinon.

Calculer la probabilité qu’exactement deux des trois observations soientsupérieures à 1.

A)3

2−√

2 B) 3− 2√

2 C) 3(√

2− 1) · (2−√

2)2

D)(

3

2−√

2

)2

·(√

2− 1

2

)E) 3

(3

2−√

2

)2

·(√

2− 1

2

)

26


Exercice 26

Soit X1 et X2 deux observations indépendantes d’une distribution uniforme surl’intervalle [0, 1]. Soit Y = min(X1, X2). Trouver fonction de densité de Y .

A) 1 B) 2y C) 2(1− y) D) 1− y E) 2y(1− y)

27


Exercice 27

À Montréal, on suppose que les accidents (d’automobiles) se produisentaléatoirement et de manière indépendante. L’intervalle de temps entre lesaccidents suit une distribution exponentielle de moyenne 12 (minutes). Soit N lenombre d’accidents par heure.Trouver P(N = 10).

A)10e12

10!B)

10e−12e−10

10!C)

510e−5

10!D)

1210e−10

10!E)

1210e−12

10!

28


Exercice 28

Une enquête médicale sur les 937 décès en 2002 à l’hôpitalMaisonneuve-Rosemont de Montréal montre qu’il y avait 210 décès dus à desproblèmes cardiaques. De plus, 312 des 937 décès avaient des antécédentscardiaques familiaux. De ces 312, il y en a 102 qui sont décédés de problèmescardiaques. Trouver la probabilité pour qu’une personne prise au hasard dugroupe des 937 décès soit décédée de problèmes cardiaques sachant qu’elle n’avaitaucun antécédent familial cardiaque.

A) 0.115 B) 0.173 C) 0.224 D) 0.327 E) 0.514

29


Exercice 29

Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.Si on a FX(2)/FX(1) = 2.6 alors trouver la moyenne de X.

A) 4 B) 2.6 C) 2 D) 1 E) 0.8

30


Exercice 30Les assurés membres d’un club de sport ont des réclamations indépendantes. Lesdistributions des réclamations XH et XF des hommes et des femmes ont lescaractéristiques suivantes :

Moyenne Variance

Homme 2 4

Femme 4 10

Lorsque le sexe est inconnu, l’on suppose que le nombre N d’hommes se répartitsuivant une loi binomiale de paramètres m et p = 2

5 . Un groupe de m personnesdont la réclamation totale est S contribue une prime Π = E[S] + 2

√var[S]

(c’est-à-dire Π = µS + 2σS). Le club de sport accepte un total de 100 membrespour l’année 2004. Calculer la prime P pour le groupe des 100 membres.

A) 291 B) 326 C) 353 D) 379 E) 407

31


Exercice 31

Considérons le tableau suivant donnant les probabilités des valeurs (x, y) de deuxvariables aléatoires discrètes X et Y :

X

2 3 4 5

0 0.05 0.05 0.15 0.05

Y 1 0.40 0 0 0

2 0.05 0.15 0.10 0

Trouver ρX,Y , le coefficient de corrélation de X et Y .

A) 0.228 B) 0.201 C) 0 D) − 0.201 E) − 0.228

32


Exercice 32

Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité fX(x) = e−x pourx > 0. Trouver la fonction de densité de Y = eX .

A) ye−y B) e−ey

C) e−y D)1

yE)

1

y2

33


Exercice 33

Les montants des pertes sont des variables aléatoires continues et indépendantesayant la même fonction de densité :

fX(x) =

10/x2 pour x > 10

0 sinon.

Calculer la probabilité que la plus grande de trois pertes choisies au hasard soitplus petite que 25.

A) 0.216 B) 0.400 C) 0.600 D) 0.500 E) 0.784

34


Exercice 34

Les dépenses dentaires annuelles d’un fonctionnaire suivent une répartitionuniforme sur l’intervalle de 200 à 1 200. Le régime de soins dentaires de base dugouvernement rembourse à l’employé jusqu’à un maximum de 400 les dépensesdentaires qui surviennent dans l’année tandis que le régime supplémentairedébourse jusqu’à un maximum de 500 pour toutes les dépenses dentairesadditionnelles. Si Y représente les prestations annuelles payées par le régimesupplémentaire à un fonctionnaire, calculer Var[Y ].

A) 41 042 B) 32 089 C) 29 940 D) 27 320 E) 24 464

35


Exercice 35

Une compagnie fait une offre à quatre consommateurs potentiels. La compagniecroit que la probabilité de faire une vente est de 0.7 pour chacun des troispremiers consommateurs mais qu’elle est seulement de 0.2 pour le quatrièmeconsommateur. Les achats d’un consommateur sont indépendants des achats d’unautre consommateur.Calculer la probabilité qu’au plus deux consommateurs acceptent l’offre.

A) 40.2% B) 45.1% C) 48.7% D) 52.4% E) 56.9%

36


Exercice 36

Une compagnie d’assurance automobile divise ses assurés en 2 groupes, à savoir :les bons conducteurs et les mauvais conducteurs. Pour les bons conducteurs, laréclamation moyenne vaut 1 400 avec un écart-type de 200. Pour les mauvaisconducteurs, la réclamation moyenne est de 2 000 avec un écart-type de 500. Deplus 60% des assurés sont de bons conducteurs. Trouver la variance du montantde la réclamation d’un assuré pris au hasard.

A) 124 000 B) 145 000 C) 166 000 D) 210 400 E) 235 000

37


Exercice 37

Une compagnie d’assurance a 2 000 clients qui ont tous (de façon indépendante)une probabilité 0.02 de faire une réclamation X dont le montant est de loiexponentielle de moyenne 500$. Soit Π la prime nette de chacun (égale àl’espérance de son remboursement) et Π(1 + θ) la prime brute chargée pour quela compagnie ait 95% de probabilité de profit. Trouver θ.

A) 0.025 B) 0.366 C) 0.072 D) 0.111 E) 0.132

38


Exercice 38

Une compagnie d’assurance automobile assure les conducteurs de tous âges. Unactuaire compile les statistiques sur les conducteurs assurés par la compagnie :

Âge du Probabilité Répartition des conducteurs

conducteur d’avoir un accident assurés par la compagnie

16-20 0.06 0.08

21-30 0.03 0.15

31-65 0.02 0.49

66-99 0.04 0.28

Un conducteur qui est choisi au hasard et qui est assuré par la compagnie a unaccident. Calculer la probabilité que ce conducteur soit dans le groupe d’âges21-65.

A) 0.149 B) 0.472 C) 0.303 D) 0.323 E) 0.528

39


Exercice 39Un actuaire fait les constatations suivantes :(i) Le taux d’accident des femmes qui conduisent est 0.015, lequel représente

80% du taux d’accident de tous les conducteurs.

(ii) Le taux d’accident des jeunes hommes qui conduisent est 4 fois le tauxd’accident des hommes adultes qui conduisent.Nombre de conducteurs selon l’âge et le sexe.

Jeune Adulte Total

Femme 15 000 45 000 60 000

Homme 12 000 28 000 40 000

Total 27 000 73 000 100 000

Calculer le taux d’accident pour les jeunes hommes qui conduisent.

A) 3.1% B) 5.1% C) 7.1% D) 9.1% E) 11.1%

40


Exercice 40

X et Y sont des variables aléatoires continues ayant la fonction de densitéconjointe :

fX,Y (x, y) =

15y pour x2 ≤ y ≤ x

0 sinon.

Déterminer la fonction de densité de la variable marginale Y .

A) 15y3/2(1− y1/2) B) 15y(y −√y) C) 15(y − y2)

D)15

2(y − y2) E) 15y

41


Exercice 41

Soit Y = e−X où fX(x) = 2e−2x pour x > 0. Trouver fY (y).

A) y B) 2y2 C) y2 D)1

2y2 E) 2y

42


Exercice 42

X et Y sont des variables aléatoires telles que :

(i) Var[X] = Var[Y ] (ii) Var[X + Y ] = 10 (iii) Var[X − 2Y ] = 16

Calculer Cov(X,Y ).

A) − 1 B) − 2 C) 1 D) 2 E) 0

43


Exercice 43

Les données sur un certain test de grossesse indiquent que pour une femmeenceinte le test donnera un résultat négatif (elle n’est pas enceinte) dans 10% descas. Pour une femme qui n’est pas enceinte, le test donnera un résultat positifdans 20% des cas. De plus, on sait que 30% des femmes qui passent le test sontenceintes. Déterminer la probabilité qu’une femme est enceinte étant donné quele résultat de son test est positif.

A) 55.75% B) 65.85% C) 70.50% D) 75.65% E) 85.65%

44


Exercice 44

Soit fX(x) = k(2x+ 1) la fonction de densité de la variable aléatoire continue Xprenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 4]. Trouver le 20ième percentile de X.

A)4

5B)

1 +√

3

3C)

2

5D)

1 +√

2

3E)−1 +

√17

2

45


Exercice 45

Selon le modèle utilisé, la valeur accumulée d’un investissement de 2 500 est unevariable aléatoire Y = 2 500e2X , où X a une répartition continue dont la fonctionde densité est :

fX(x) =

Ce−x pour 0 < x < 1

0 sinon.

où C est une constante. Déterminer la fonction de densité fY (y) de la variablealéatoire Y dans la région où elle est positive.

A)C

2yB)

25(e− 1)

eyC)

25e

(e− 1)y3/2D) Ce−y E) 50

√y

46


Exercice 46

X représente l’âge d’une automobile assurée qui a été impliquée dans un accidentet Y représente le montant du sinistre encouru lors de l’accident. X et Y ont lafonction de densité conjointe suivante :

fX,Y (x, y) =

(x+ y)/1 000 pour 0 ≤ x ≤ 10 et 0 ≤ y ≤ 10

0 sinon.

Calculer la probabilité que Y < 2X.

A) 89% B) 79% C) 69% D) 59% E) 49%

47


Exercice 47

X et Y sont des variables aléatoires continues ayant une fonction de densitéconjointe :

fX,Y (x, y) =

6x pour 0 < x < y < 1

0 sinon.

Déterminer P(X + Y < 0.4).

A) 0.016 B) 0.16 C) 0.24 D) 0.024 E) 0.048

48


Exercice 48

Supposons que X1, . . . , X100 sont des variables aléatoires indépendantes, répartiesidentiquement et telles que P(X = 0) = P(X = 2) = 0.5 ; soitS = X1 + · · ·+X100. Calculer approximativement la valeur de P(S > 115).

A) 0.0127 B) 0.0107 C) 0.087 D) 0.067 E) 0.047

49


Exercice 49

Au service d’urgence d’un hôpital, le nombre d’arrivées entre 13h et 14h suit uneloi de Poisson de moyenne 2. On observe pendant 5 jours consécutifs, les arrivéesentre 13h et 14h. Quelle est la probabilité que parmi ces 5 jours, il y aitexactement 2 jours avec aucune arrivée entre 13h et 14h ?

A) 0.118 B) 0.012 C) 0.221 D) 0.021 E) 0.988

50


Exercice 50

Chaque employé d’une grande compagnie choisit un des trois niveaux decouverture d’assurance maladie dont les primes, qui sont dénotées par X, sont1,2, et 3 respectivement. Les primes sont sujettes à un escompte, dénoté par Y ,de 0 pour les fumeurs et de 1 pour les non-fumeurs. La distribution de X et Y estdonnée par :

P(X = x, Y = y) =

x2 + y2

31pour x = 1, 2, 3 et y = 0, 1

0 sinon.

Calculer la variance de X − Y , la prime totale payée par un employé choisi auhasard.

A) 0.54 B) 0.64 C) 0.94 D) 0.84 E) 0.74

51


Exercice 51

Une police d’assurance va payer 5 000 si un appareil tombe en panne la 1ère annéeet ce bénéfice va diminuer chaque année de 1 000 jusqu’à zéro. Si l’appareil n’estpas encore tombé en panne au début d’une année, il a toujours une probabilité de0.4 de tomber en panne durant cette année. Trouver l’espérance du bénéfice.

A) 3 417 B) 3 617 C) 3 817 D) 4 017 E) 4 217

52


Exercice 52

Soit pn la probabilité que le minimum de n nombres (tous choisis uniformémentet indépendamment au hasard sur l’intervalle [0, 1]) soit supérieur à 1

n . Que vautlimn→∞

pn ?

A)1

2B)

1

eC)

1

3D)

2

eE)

2

3

53


Exercice 53

Une compagnie assure un grand nombre de maisons. La valeur assurée X d’unemaison prise au hasard suit une distribution de fonction de densité fX(x) = 3x−4

pour x > 1 et 0 sinon. Sachant qu’une maison est assurée pour plus de 32 , trouver

la probabilité qu’elle soit assurée pour moins de 2.

A)37

64B)

35

64C)

1

2D)

7

16E)

5

16

54


Exercice 54

Une compagnie installe deux machines identiques au même moment. Les périodesde temps avant que ces machines ne tombent en panne sont indépendantes etchacune est répartie uniformément sur l’intervalle de 5 à 20 ans. Calculer laprobabilité que les deux machines tombent en panne en deçà d’un an l’une del’autre.

A) 12.9% B) 13.9% C) 14.9% D) 15.9% E) 16.9%

55


Exercice 55

Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive une loide Poisson avec moyenne λ. Sachant que P(X = 1 | X ≤ 2) = 0.4, trouver λ.

A) 4 B) 3 ou 4 C) 2 ou 3 D) 1 ou 2 E)3

2

56


Exercice 56

Soit X, le temps entre l’inspection d’un certain moteur d’avion et le moment dela première panne du moteur. Supposons que X suive une loi exponentielle demoyenne 15 heures. Un avion à quatre moteurs entreprend un voyage de 20heures après inspection de ses moteurs. Supposons que l’avion peut voler pourvuqu’au moins un de ses moteurs fonctionne.Quelle est la probabilité qu’il puisse terminer son vol ?

A) 0.500 B) 0.523 C) 0.706 D) 0.750 E) 0.831

57


Exercice 57

Pour un conducteur automobile, les accidents automobiles peuvent résulter endes sinistres annuels de 0, 1 000, 5 000, 10 000 ou 15 000 avec des probabilités de0.75, 0.12, 0.08, 0.04, et 0.01, respectivement. Un assureur automobile offre unepolice qui assure les conducteurs automobiles contre ces sinistres sujette à undéductible annuel de 500. L’assureur charge une prime annuelle qui excède lessinistres annuels attendus par 75 pour couvrir ses dépenses et son profit. Calculerla prime annuelle chargée par l’assureur.

A) 1 345 B) 1 295 C) 1 245 D) 1 195 E) 1 145

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Exercice 58

L’actuaire attend le premier des trois rapports faits simultanément par desinspecteurs indépendants avant de commencer son étude menant auremboursement des dommages d’un assuré. Si les temps (en semaines) pour faireleurs rapports suivent des lois exponentielles de moyenne 2, 3, 4 respectivementet le temps de l’étude de l’actuaire est aussi une exponentielle de moyenne 5,combien de temps (en semaines) y aura-t-il en moyenne avant le remboursement ?

A) 7 B) 8 C)77

13D)

12

13E) 14

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Exercice 59

Soit X le coût aléatoire des réparations de l’auto lors d’un accident et Y le coûtdes soins médicaux. Si au cours des 5 dernières années le coût des réparations aaugmenté de 25% et le coût des soins médicaux a diminué de 5%, de quelpourcentage la covariance de X et Y a-t-elle variée ?

A) 15.25% B) 18.75% C) 20% D) 30% E) 22.45%

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Exercice 60

Un actuaire constate que la probabilité qu’un assuré n’ait aucun accident est 5fois plus grande que celle d’en avoir au moins un durant l’année. En supposantque le nombre d’accidents de l’assuré suit une loi de Poisson, trouver laprobabilité que l’assuré ait exactement trois accidents durant l’année.

A) 0.00084 B) 0.0084 C) 0.084 D) 0.00122 E) 0.0122

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Exercices act2121-session5

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