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PHYSIQUE MPSI-PCSI-PTSIMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Oscillateurs harmoniques – 2. Propagation d’un signal – 3. Optique géométrique 4. Introduction au monde quantique – 5. Circuits dans l’ARQS – 6. Circuits linéaires du premier ordre – 7. Oscillateurs amortis – 8. Filtrage linéaire – 9. Cinématique du point – 10. Loi de la quantité de mouvement – 11. Énergétique du point matériel 12. Mouvement de particules chargées – 13. Loi du moment cinétique – 14. Mou- vement dans le champ d’une force centrale conservative – 15. Description macro-scopique de la matière – 16. Description microscopique de la matière – 17. Premier principe de la thermodynamique – 18. Second principe de la thermodynamique 19. Machines dithermes – 20. Statique des fluides – 21. Champ magnétique – 22. Forces de Laplace – 23. Lois de l’induction – 24. Induction de Neumann – 25. Induction de Lorentz.

Les auteurs :Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg.

Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.

Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.

Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer à Mulhouse.

ISBN : 978-2-311-40225-4

www. .fr

Des ouvrages pour faire la différence : – des synthèses de cours et méthode pour acquérir les connaissances indispensables

et réviser efficacement,– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation

d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes.

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MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

F. Bruneau

M. Cavelier

Y. Lozier

M. Strubel

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Table des matières

Chapitre 1. Oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. Tension exercée par un ressort ; allongement 5 – 2. Équation de l’oscillateur harmo-nique 6 – 3. Solutions de l’équation de l’oscillateur harmonique 7 – 4. Les fonctionssinus et cosinus en physique 8 – 5. Énergie mécanique de l’oscillateur harmonique 10 –6. Portrait de phase 11 – Exercices 12 – Corrigés 17

Chapitre 2. Propagation d’un signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271. Exemples de signaux – spectre 27 – 2. Onde progressive 28 – 3. Onde progressivesinusoïdale 30 – 4. Interférences entre deux ondes de même fréquence 31 – 5. Bat-tements 34 – 6. Ondes stationnaires mécaniques 34 – 7. Diffraction à l’infini 35 –8. Polarisation rectiligne de la lumière (PCSI) 36 – Exercices 37 – Corrigés 44

Chapitre 3. Optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511. Lumière dans les milieux 51 – 2. Lumière et miroirs 53 – 3. Les lentilles minces 54 –Exercices 56 – Corrigés 60

Chapitre 4. Introduction au monde quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691. Aspect corpusculaire de la lumière : introduction du photon 69 – 2. La dualité onde-corpuscule 70 – 3. Fonction d’ondes et probabilités 71 – 4. Relation d’indéterminationde Heisenberg (PCSI, PTSI) 71 – 5. Quantification de l’énergie d’une particule confi-née 72 – Exercices 73 – Corrigés 79

Chapitre 5. Circuits dans l’ARQS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851. Généralités sur le courant électrique 85 – 2. Dipôles et courant 86 – Exercices 90 –Corrigés 94

Chapitre 6. Circuits linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031. Mise en équation des circuits 103 – 2. Décharge en régime libre 106 – 3. Portrait dephase 107 – Exercices 109 – Corrigés 112

Chapitre 7. Oscillateurs amortis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211. Circuit oscillant 121 – 2. Régime sinusoïdal forcé 125 – Exercices 126 – Corrigés 130

Chapitre 8. Filtrage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391. Période et fréquence 139 – 2. Filtre RC série 140 – 3. Les différents filtres 142 –Exercices 145 – Corrigés 149

Chapitre 9. Cinématique du point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1591. Description du mouvement 159 – 2. Repérages classiques 160 – 3. Vitesse d’un pointdans un référentiel 162 – 4. L’accélération d’un point 163 – 5. Choix du repérage 164 –6. Mouvements fondamentaux 164 – 7. Mouvement des solides 164 – Exercices 166 –Corrigés 171

1

Table des matières

Chapitre 10. Loi de la quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791. Éléments cinétiques 179 – 2. Les lois de Newton et leurs conséquences 179 – 3. Ré-solution d’un problème de mécanique du point 181 – 4. Les forces usuelles 181 –Exercices 183 – Corrigés 190

Chapitre 11. Énergétique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1971. Puissance et travail d’une force 197 – 2. Théorème de la puissance et de l’énergiecinétique 197 – 3. Forces conservatives et énergie potentielle 198 – 4. Énergie mé-canique 199 – 5. Mouvement conservatif à une dimension 199 – Exercices 201 –Corrigés 205

Chapitre 12. Mouvement de particules chargées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2131. Force de Lorentz et champ électromagnétique 213 – 2. Mouvement d’une particulechargée dans un champ électrique uniforme et indépendant du temps 214 – 3. Mouve-ment d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme et indépendant dutemps 215 – 4. Produit vectoriel 216 – Exercices 218 – Corrigés 223

Chapitre 13. Loi du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2291. Moment cinétique 229 – 2. Moment d’une force 230 – 3. Loi du moment ciné-tique pour un point matériel 232 – 4. Solide en rotation autour d’un axe fixe∆ 233 –5. Approche énergétique pour un solide en rotation et un système déformable 233 –Exercices 235 – Corrigés 240

Chapitre 14. Mouvement dans le champ d’une force centrale conservative . . . . 2491. Force centrale conservative 249 – 2. Force centrale et conservation du moment ci-nétique 250 – 3. Force centrale conservative et conservation de l’énergie 251 – 4. Casparticulier du mouvement dans un champ newtonien 252 – Exercices 254 – Corri-gés 258

Chapitre 15. Description macroscopique de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2651. Systèmes et variables d’état 265 – 2. État physique et équation d’état 267 – Exer-cices 271 – Corrigés 276

Chapitre 16. Description microscopique de la matière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2831. Les trois échelles 283 – 2. Distribution des vitesses dans un gaz 284 – 3. Pressioncinétique 286 – 4. Température cinétique 287 – 5. Énergie interne 287 – Exercices 289– Corrigés 294

Chapitre 17. Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031. Transformation thermodynamique d’un système 303 – 2. Échange d’énergie méca-nique avec l’extérieur 304 – 3. Échange d’énergie par transfert thermique avec l’ex-térieur 305 – 4. Premier principe de la thermodynamique 306 – 5. Enthalpie 308 –Exercices 310 – Corrigés 314

Chapitre 18. Second principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211. Réversibilité-Irréversibilité 321 – 2. Deuxième principe 322 – 3. La fonction entro-pie 323 – 4. Bilan entropique 324 – Exercices 325 – Corrigés 330

2

MÉTHODE

12Chapitre

Mouvementde particules chargées

1. Force de Lorentz et champ électromagnétique

Définition 12.1. Force de Lorentz et champ électromagnétique

Soit, en un point M à un instant t , une particule ponctuelle de charge q , demasse m et de vitesse −→vR (M , t ) par rapport à un référentiel R . On nomme force de

Lorentz−→FL la résultante des forces auxquelles elle est soumise du fait de sa charge.

• La composante de−→FL indépendante de la vitesse est la force électrique

−→FE

qui définit le champ électrique en M à l’instant t dans R ,−→ER (M , t ) =

−→FE

q.

• La composante de−→FL dépendante de la vitesse est la force magnétique

−→FB

qui définit le champ magnétique en M à l’instant t dans R ,−→BR (M , t ) tel que

−→vR (M , t )∧−→BR (M , t ) =−→FB

q.

L’ensemble des champs−→ER (M , t ) et

−→BR (M , t ) constitue le champ électromagné-

tique dans le référentiel R .

La force de Lorentz est donc donnée par :

−→FL =q

�−→ER (M , t )+−→vR (M , t )∧−→BR (M , t )

�

.

Propriété 12.1. Champ électrique

• Le champ électrique est produit par les charges et sa structure dépend deleur répartition spatiale.

• En appliquant une différence de potentiel U entre deux plaques planesparallèles et distantes de d , on obtient un champ électrique perpendiculaire

...

213

Physique MPSI-PCSI-PTSI

aux plans, dirigé dans le sens des potentiels décroissants et de norme E =U

d.

• Le champ électrique−→ER (M , t ) s’exprime en V.m−1.

Propriété 12.2. Champ magnétique

• Le champ magnétique est produit par le mouvement des charges et sa struc-ture dépend de celle du mouvement.

• Le champ magnétique−→BR (M , t ) s’exprime en Tesla : T avec 1 T= 1 kg.A−1.s−2.

Propriété 12.3. Une approximation utile

On peut toujours négliger le poids d’une particule chargée devant la force deLorentz.

Propriété 12.4. Puissance de la force de Lorentz

La puissance de la force de Lorentz dans le référentiel R est donnée par :

PR (−→FL ) =q

−→ER (M , t ) · −→vR (M , t ).

Elle est donc égale à la puissance dans R de la force électrique. La puissance dansR de la force magnétique est nulle.

Conséquence 12.5.

• Seul un champ électrique peut modifier l’énergie cinétique d’une particulechargée.

• Un champ magnétique permet de courber la trajectoire d’une particule sansmodifier son énergie cinétique.

2. Mouvement d’une particule chargée dans un champélectrique uniforme et indépendant du temps

Force électrique uniquement :−→FE =q

−→E . On note −→v0 la vitesse initiale.

Propriété 12.6. Nature du mouvement

L’application du principe fondamental de la dynamique (PFD) à la particulechargée en mouvement dans R galiléen, permet de montrer que le mouvement estuniformément accéléré.

214

Chapitre 12 – Mouvement de particules chargées

MÉTHODEPropriété 12.7. Types de trajectoires

L’intégration des équations du mouvement obtenues par application du PFDdans R permet d’obtenir le type de la trajectoire en fonction des conditions ini-tiales :

• Si la vitesse initiale −→v0 de la particule est parallèle au champ électrique−→E ,

la trajectoire est rectiligne.• Si la vitesse initiale−→v0 de la particule n’est pas parallèle au champ électrique−→E , la trajectoire est une parabole d’axe colinéaire à

−→E .

Définition 12.2. Potentiel et énergie potentielle électrostatique

La force électrique est conservative. Dans un champ électrique−→E , une particule

de charge q acquiert une énergie potentielle définie par :

Ep =qV + c s t e

où V est le potentiel électrostatique associé à−→E au point où se trouve la particule.

Propriété 12.8. Potentiel électrostatique dans un champ uniforme

Supposons un champ uniforme de la forme−→E = E−→ux , l’énergie potentielle d’une

particule de charge est :

Ep (x ) =−q E x + c s t e .

Le potentiel électrostatique associé au champ uniforme−→E = E−→ux est donc :

V (x ) =−E x .

Définition 12.3. Électron-volt

1 eV= 1, 6.10−19 J correspond à l’énergie qu’acquiert un électron accéléré dansune différence de potentiel de 1 V.

3. Mouvement d’une particule chargée dans un champmagnétique uniforme et indépendant du temps

Force magnétique uniquement :−→FB =q−→v ∧−→B . On note −→v0 la vitesse initiale.

Propriété 12.9. Mouvement et pulsation cyclotron

Le mouvement d’une particule chargée de charge q et de masse m dans un

champ magnétique−→B uniforme et stationnaire est dans le cas où la vitesse initiale

−→v0 de la particule est orthogonale au champ magnétique−→B , un mouvement circu-

...

215


laire uniforme à la vitesse angulaireω=−q B

m. La valeur absolue deω correspond

à la pulsation cyclotronωc =|q |Bm

.

Propriété 12.10. Trajectoire

Le cercle suivi par la particule est telle que :

• il est inscrit dans la plan perpendiculaire à−→B ;

• le sens de parcours dépend du signe de q ;

• son rayon est donné par R =m v0

|q |B.

Méthode : étude du mouvement

• L’application du théorème de l’énergie cinétique permet de montrer que lemouvement est uniforme : la norme de la vitesse reste constante.

• On admet que la trajectoire est circulaire. On écrit le principe fondamental dela dynamique et on projette sur le repère des coordonnées polaires (−→u r ,−→uθ )définies dans le plan du cercle. La projection suivant−→uθ permet de montrerl’uniformité, la projection suivant −→u r permet d’obtenir l’expression de la

vitesse angulaireω=−q B

m.

4. Produit vectoriel

Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 1

−→A

−→B

−→C

O

‖−→C ‖= ‖−→A ‖‖−→B ‖sinθ .

La direction de−→C est donnée par la règle du tournevis :

un tournevis tournant de−→A vers

−→B progresse dans le sens de

−→C .

−→C est perpendiculaire au plan (

−→A ,−→B ).

Propriété 12.13.

Le produit vectoriel est :

• nul si et seulement si l’un des vecteurs est nul ou si les deux vecteurs sontcolinéaires ;

• anticommutatif :−→A ∧−→B =−−→B ∧−→A ;

• distributif à gauche et à droite sur l’addition :−→A ∧

�−→B +

−→C�

=−→A ∧−→B +

...

216


MÉTHODE−→

A ∧−→C et

�−→B +

−→C�

∧−→A =−→B ∧−→A +−→C ∧−→A ;

• pour tout réel n : (n−→A )∧−→B =−→A ∧ (n−→B ) = n (

−→A ∧−→B ).

Méthode : calcul du produit vectoriel : méthode 2

Dans la base cartésienne on a : −→ux ∧−→u y =−→u z et −→u z ∧−→ux =

−→u y et −→u y ∧−→u z =−→ux .

Ainsi pour un vecteur−→A = Ax

−→ux + Ay−→u y + Az

−→u z et un vecteur−→B = Bx

−→ux +By−→u y + Bz

−→u z on obtient :

−→A ∧−→B =−−→B ∧−→A =

�

Ay Bz −Az By

�−→ux +(Az Bx −Ax Bz )−→u y +

�

Ax By −Ay Bx

�−→u z .

217

ExercicesMouvement de particules chargées

On donne : masse de l’électron : m = 9.10−31 kg ; charge élémentaire e = 1, 6.10−19 C ;intensité de la pesanteur g = 9, 81 ms−1 ; masse du proton mp = 1, 67.10−27 kg.

Dans tous les exercices le référentiel d’étude est le référentiel du laboratoire supposégaliléen.

Exercices guidés

Exercice A (10 min.)

En chauffant par effet Joule un filament de matériau réfractaire à suffisamment hautetempérature, une faible fraction de ses électrons peuvent acquérir l’énergie nécessairepour quitter le filament (effet thermoélectronique). Ainsi, pendant des décennies, lasource d’électrons habituellement utilisée était constituée par un filament de tungstèneporté à 2 500°C.

On suppose qu’un électron quitte le filament avec une vitesse initiale nulle et qu’ilest accéléré vers une plaque portée au potentiel Vf = 100 volts, le filament étant aupotentiel nul. La distance entre le filament et les plaques est d = 1 cm. On fera commesi le champ électrique entre le filament et la plaque était uniforme. Montrer qu’on peutnégliger le poids devant la force électrique. Quelle est en joules puis en électron-volts,l’énergie cinétique Ec f de l’électron sur la plaque ? Quelle est la durée du trajet entre lefilament et la plaque ?

Exercice B (20 min.)

Un électron ayant une vitesse initiale−→v0 faisant un angle α avec l’horizontale, pénètreen O dans une région de l’espace délimité par deux plaques horizontales de longueurL = 5 cm, séparées d’une distance d = 2 cm. Le champ électrique entre les plaque est−→E = E0

−→u y avec E0 = 103 V.m−1.

y

xO |Iα

−→v0

L

d

Figure 12.1. Mouvement d’un électron dans un champ électrique

218


1) Déterminer un encadrement de la norme de la vitesse initiale v0 pour que l’élec-tron ne touche aucune des plaques.

2) Quelle vitesse initiale v0 doit-on donner pour que l’électron passe en sortie aumilieu des deux plaques ?

Exercice C (15 min.)

1) On considère deux situations pour une particule chargée positivement se dépla-çant dans le plan horizontal xOy à la vitesse −→v . Dans la situation 1, sa vitesse−→v1 faisant un angle α= 45° avec l’axe Ox . Elle subit alors une force magnétique−→F1 dirigée suivant −→u z . Dans la situation 2, sa vitesse −→v2 , de même norme qu’en

situation 1, est suivant Oy et elle subit une force magnétique−→F2 dirigée suivant

−−→u z . Les deux forces ont exactement la même norme. Déterminer l’orientationdu champ magnétique.

z

y

x

O

α

−→u z

−→F1

−→v1

Situation 1

z

y

x

O

−→u z

−→F2

−→v2

Situation 2

Figure 12.2. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magné-tique

2) On considère désormais une particule de charge q = −10e avec une vitessev0 = 106 m.s−1 dans le plan xOy faisant un angle α= 45° avec l’axe Ox . Le champmagnétique uniforme et stationnaire a une intensité de B0 = 0, 05 T.

(a) On choisit−→B = B0

−→u z , décrire la force agissant sur la particule.

(b) On observe une force magnétique−→Fm = F−→u z avec F = 2.10−14 N, décrire le(s)

champ(s) magnétique(s) possible(s).

219

EXERCICES


Exercices

Exercice 1 (20 min.)

Q P Q’

P’

T1 T2 T3−→v1

UPQ

UP ′Q ′

−→ux

−→u y

•−→u z

Figure 12.3. Filtre sélectif

1) On fait arriver avec une vitesse négligeable, des ions 3517C l − de masse m1 et 37

17C l −

de masse m2 en un point T1. Ils sont accélérés sous une différence de potentielUPQ =VP−VQ =U0 = 100 V. Déterminer les vitesses v1 et v2 au point T2. On donne :masse molaire de l’ion 35

17C l − M 1 = 35 g.mol−1, masse molaire de l’ion 3717C l −

M 2 = 37 g.mol−1, nombre d’Avogadro NA = 6, 02.1023 mol−1.2) Entre les deux plaques parallèles P ′ et Q ′ distantes de d = 5 cm on impose une

différence de potentiel UP ′Q ′ = VP ′ −VQ ′ =U1 = 200 V et un champ magnétique−→B = B0

−→u z uniforme. Déterminer la valeur que doit avoir B0 pour que seules lesions 35

17C l − aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent par le trou T3.3) On conserve la valeur précédente de B0. Quelle valeur U2 faut-il imposer à UP ′Q ′

pour que seuls les ions 3717C l − aient un mouvement rectiligne uniforme et sortent

par le trou T3. Comment agir sur UPQ , pour obtenir le même résultat en conservantles valeurs U1 et B0 ?


Dans l’expérience de Millikan, on pulvérise finement un liquide pour obtenir desgouttelettes supposées sphériques de rayon r . Les gouttelettes pénètrent entre deuxplaques planes horizontales placées dans l’air. On envoie pendant un bref instant unfaisceau de rayons X pour fixer des charges électriques sur les gouttelettes. On considèreune gouttelette portant une charge q . On effectue deux manipulations :

• On impose un champ électrique uniforme E entre les plaques pour obtenir l’équi-libre de la gouttelette.

• On supprime le champ E et on mesure la vitesse limite vl de chute de la goutte-lette.

Montrer que ces deux manipulations permettent d’obtenir la valeur de la charge qen fonction de η viscosité de l’air, vl , ρ la masse volumique du liquide, ρa la massevolumique de l’air, g intensité de la pesanteur et E . On donne le loi de Stockes pour lefrottement F = 6πηr v avec v vitesse de la gouttelette de rayon r .

220



O1 2 345 −→ux

−→u y

−→v0

•−→u z

•−→B

Figure 12.4. Trajectoires dans un champ magnétique uniforme

Tous les ions sont soit de charge−e soit de charge+e et sont injectés en O avec la même

vitesse initiale −→v0 . Le champ magnétique est uniforme et stationnaire−→B = B−→u z . La

trajectoire 1 correspond à un ion Li+ de masse m1 = 6,9 u.m.a (1 u.m.a= 1,66.1027 kg.Après avoir déterminé le rayon du cercle pour une particule de charge q et de masse m ,calculer la charge et la masse des particules des trajectoires 2, 3, 4 et 5.


Un cyclotron est formé de deux demi-cylindres, appelées "Dees", à l’intérieur desquels

règne un champ magnétique uniforme−→B perpendiculaire au plan des demi-cylindres.

Une tension U , de fréquence f , appliquée entre les deux "Dees", permet d’accélérer leproton à chaque passage dans l’espace entre les "Dees". Les protons sont injectés aucentre S.

•S

−→ux

−→u y

•−→u z

•−→B

•−→B

Figure 12.5. Cyclotron

On veut obtenir un faisceau de proton de Ec m a x = 1 MeV sur une dernière trajectoirecirculaire de rayon égal à rm a x = 50 cm après après avoir effectué 100 tours dans lecyclotron.Déterminer l’intensité du champ magnétique, la valeur de U et le fréquencef .


Une particule de masse m , de charge électrique q est introduite sans vitesse initiale àl’origine O d’un référentiel galiléen (O,x , y , z ). Dans l’espace règnent un champ élec-

trique uniforme−→E = E−→u y et un champ magnétique uniforme

−→B = B−→u z . Déterminer

x (t ), y (t ) et z (t ).

221

EXERCICES



Un proton sans vitesse initiale est accéléré par une différence de potentiel de 103 Vpuis pénètre dans une région de l’espace où règne un champ magnétique uniforme. Satrajectoire est d’abord un cercle de rayon r1 = 10 cm. Après 20 tours le rayon n’est plusque de r2 = 9, 5 cm. Évaluer la force de frottement produite par les molécules de gaz quifrappent le proton le long de sa trajectoire.


POUR ALLER PLUS LOIN

Dans le cadre de la mécanique relativiste, pour une particule de masse m et de vitesse−→v la quantité de mouvement a pour expression −→p = γm−→v où γ =

1Ç

1−v 2

c 2

, l’énergie

cinétique est donnée par Ec = (γ−1)m c 2 enfin l’énergie totale vérifie E 2 = p 2c 2+m 2c 4.

En mécanique relativiste, le principe fondamentale de la dynamique s’écrit dans un

référentiel galilléen comme en mécanique classiqued−→pd t=−→F . Nous allons établir la loi

de vitesse relativiste pour une particule de charge q et de masse m placée avec une vitesse

initiale nulle dans un champ électrique−→E = E−→ux

1) Montrer que : p =q E0t ou γm v =q E0t . La présence du terme γ dans l’expression dela quantité de mouvement nous empêche d’intégrer une seconde fois directement.

2) En utilisant l’équation précédente et l’expression de l’énergie totale de la particuledonnée dans le texte, trouver la loi de la vitesse v (t ).

3) Montrer que dans le cas des champs électriques faibles on retrouve la loi classiquedu mouvement uniformément accéléré.

222

CORRIGÉS

CorrigésMouvement de particules chargées

Corrigés des exercices guidés

Exercice A

On considère le champ uniforme donné par E =Vf −0

d= 104 . Calculons

e E

m g=

1, 8.1014. Le poids de l’électron est bien négligeable devant la force électrique.

La force électrique est conservative, l’énergie mécanique Em = Ec +Ep = Ec − e V del’électron est constante. L’électron quitte le filament avec une énergie mécanique nullecar sa vitesse initiale est nulle et le potentiel du filament est nul. On a donc :

Ec f − e Vf = 0 soit Ec f = e Vf = 1, 6.10−17 J = 100 eV.

Choisissons le champ électrique uniforme suivant un axe Ox avec O point de départ

de l’électron sur le filament :−→E = −

Vf

d−→ux . Le signe − est dû au fait que le champ

électrique est dans le sens des potentiels décroissants donc de la plaque vers le filament.L’application du principe fondamentale de la dynamique à l’électron nous donne :

m−→a =e Vf

d−→ux soit en projection sur Ox : x =

e Vf

m d.

On intègre deux fois en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 et x (0) = 0 et onobtient :

x (t ) =e Vf t 2

2m dainsi la durée pour avoir x = d : t f =

r

2m d 2

e Ve= 3, 35 ns.

Exercice B1) Appliquons le principe fondamental de la dynamique à l’électron : m−→a =−e E0

−→u y .

Le mouvement est uniformément accéléré avec−→a =−e E0

−→u y

m. Projetons sur Oy puis

intégrons en tenant compte des conditions initiales y (0) = 0 et y (0) = v0 sinα :

y =−e E0

msoit y =

−e E0t

m+v0 sinα et ainsi y =

−e E0t 2

2m+v0t sinα.

Projetons sur Ox puis intégrons en tenant compte des conditions initiales x (0) = 0 etx (0) = v0 cosα :

x = 0 soit x = v0 cosα et ainsi x = v0t cosα.

223


En éliminant le temps on obtient comme dans l’étude de la chute libre l’équation de latrajectoire qui est une parabole :

y =−e E0x 2

2m v 20 cos2α

+x tanα.

En x = 0, 05 m, il existe deux positions extrêmes de passages en y =+0, 01 m et y =−0, 01

m. Déterminons les vitesses v0 =

r

e E0x 2

2m cos2α�

x tanα− y� associées au passage par

ces points à l’aide de l’équation de la trajectoire. On obtient pour le point (0,05,0,01)v01 = 3,23.106 m.s−1 et pour le point (0,05,−0,01) v01 = 3,17.106 m.s−1. L’électron netouchera aucune des deux plaques si v02 < v0 < v01.

2) Pour passer en (0, 05, 0) il faut imposer une vitesse v0 =

Ç

e E0x

2m cosαsinα= 3, 20.106

m.s−1.

Exercice C1) Utilisons la méthode 1 du calcul du produit vectoriel. Notons θ1 l’angle entre −→v1

et le champ magnétique−→B et θ2 l’angle entre −→v2 et le champ magnétique

−→B . On a

d’après le texte :

‖−→F1 ‖= ‖−→F2 ‖ soit ‖−→v1 ‖‖

−→B ‖sinθ1 = ‖−→v2 ‖‖

−→B ‖sinθ2.

Les vitesses étant de même norme, les angles θ1 et θ2 sont nécessairement égaux et

le champ magnétique−→B est donc la bissectrice de l’angle compris entre −→v1 et −→v2 . Le

champ magnétique−→B fait donc un angle de 67, 5° avec l’axe Ox .

2) (a) Utilisons la méthode 2 du calcul du produit vectoriel.−→F =q−→v0 ∧

−→B =−10e

�

v0 cosα−→ux +v0 sinα−→ux

�

∧ B0−→u z = 10e v0 B0

�

cosα−→u y − sinα−→ux

�

.

La force fait un angle de 135° par rapport à l’axe Ox et son intensité est de 8.10−14 N.(b) La force étant suivant Oz le champ magnétique doit être dans le plan xOy . Si on

note θ l’angle entre −→v0 et−→B , on a : F = 10e v0 B0 sinθ . On obtient sinθ = 0, 25 soit deux

valeurs possibles de θ : 14, 5° ou 165, 5°.

Si on choisit la première valeur, le champ magnétique−→B est donc à 30, 5° de l’axe Ox .

Corrigés des exercices

Exercice 1

1) La charge des ions est q =−e . La masse d’un ion 3517C l − est donnée par m1 =

M 1

NA.

Par conservation de l’énergie mécanique entre les plaques P et Q , on a :

1

2m1v 2

1 +qVP =qVQ soit v1 =Ç

2e NAU0

M 1= 23, 5.103 m.s−1.

224

CORRIGÉS


De même pour les ions 3717C l − on trouve v2 = 22, 8.103 m.s−1.

2) Un ion va être soumis à la somme de la force électrique−→FE =q

U1

d−→u y et de la force

magnétique FB =q−→v ∧−→B . La mouvement des ions 3517C l − sera rectiligne uniforme s’il y

a compensation exacte entre l’action des forces électrique et magnétique :

qU1

d−→u y +qv1 B0

−→ux ∧−→u z ⇔qU1

d−→u y −qv1 B0

−→u y soit B0 =U1

d v1= 0, 17 T.

3) De même qu’à la question précédente, il faut U2 = B0d v2 = 194 V.Si on souhaite conserver les réglages de la question mais obtenir une trajectoire

rectiligne pour les ions 3717C l −, il faut modifier UPQ pour changer la vitesse v2 et l’amener

à la valeur de v1. On doit imposer U ′0 =m2v 2

1

2e= 106 V.

Exercice 2Écrivons l’équilibre des forces subies par la gouttelette dans la première manipulation

(on suppose q positif) :

q−→E +

4

3πρr 3−→g︸︷︷︸

poids de la gouttelette

−4

3πρa r 3−→g︸︷︷︸

poussée d’Archimède

=−→0 .

On en déduit la charge :

q =4πr 3

�

ρ−ρa�

3E.

Il faut donc obtenir le rayon de la gouttelette et c’est l’objet de la deuxième manipulation.

Écrivons le principe fondamental de la dynamique en absence de champ−→E :

md−→vd t=

4

3πρr 3−→g︸︷︷︸

poids de la gouttelette

−4

3πρa r 3−→g︸︷︷︸

poussée d’Archimède

− 6πηr−→v︸︷︷︸

force de Stockes

.

En régime permanent on atteint la vitesse limite−→vl telle que :

−→0 =

4

3πρr 3−→g −

4

3πρa r 3−→g −6πηr−→vl soit r =

r

9ηvl

2�

ρ−ρa�

g.

En reportant dans l’expression de q , on obtient :

q =18π

E

r

η3v 3l

2�

ρ−ρa�

g.

225


Exercice 3Appliquons le principe fondamental de la dynamique à une particule de charge q et

de masse m : m−→a =q−→v ∧−→B . La trajectoire et un demi cercle de centre C de rayon R .Projetons sur un repère polaire de centre C dans le plan du demi-cercle. (C ,−→u r ,−→uθ ,−→u z

forment un trièdre direct. On a :

m−→a =−mv 2

0

R−→u r =qv0 B−→u r et donc R =

m v0

|q |B.

La force magnétique en O est :

−→F0 =qv0

−→u y ∧ B−→u z =qv0 B−→ux ,

les ions positifs vont vers la droite (ce qui est cohérent avec la trajectoire 1 pour l’ionLi+), les ions négatifs vers la gauche.

On peut donc conclure sur les charges : +e pour 2 et 3 −e pour 4 et 5. On obtient lesmasses en comparant le rayon R1 de 1 avec le rayon Ri de i . Ainsi :

m i =m1Ri

R1.

On trouve ainsi : m2 =m4 = 1, 5m1 et m3 = 3m1 et enfin m5 = 2, 5m1.

Exercice 4

Les protons ont en sortie une vitesse vm a x =

r

2Ec m a x

mp. Nous savons que le rayon

de la trajectoire est alors Rm a x = 0.5 m et nous avons vu dans l’exercice précédent

Rm a x =mp vm a x

e B.

On obtient ainsi B =

p

2mp Ec m a x

e rm a x= 0.29 T.

Les protons doivent être accélérés à chaque demi-tour quand ils passent dans l’espaceentre les « Dees ». À chaque passage la variation d’énergie cinétique est par le théorèmede l’énergie cinétique∆Ec = eU . On a 200 passages donc Ec m a x = 200eU et U = 5 kV.

Pour accélérer le proton il faut inverser le sens du champ avec la même pulsation que

la pulsation cyclotron du mouvement soit une fréquence f =e B

2πmp= 4, 4 MHz.

Exercice 5Appliquons le principe fondamental de la dynamique à la particule dans le référentiel

galiléen du laboratoire : m−→a =q−→E +q−→v ∧−→B . Projetons suivant les axes Ox , Oy et Oz

et on doit donc résoudre le système différentiel 1 :

x =ωc y

y =ωcE

B−ωc x .

z = 0

226

CORRIGÉS


Une première intégration sur le temps (en tenant compte des conditions initiales (x (0) =0, y (0) = 0, z (0) = 0) en (0, 0, 0) nous donne le système 2 :

x =ωc y

y =ωcE t

B−ωc x .

z = 0

La dernière équation du système 2 montre que z = 0 quelque soit t : le mouvements’effectue dans le plan xOy . Combinons la première relation du système 2 avec ladeuxième relation du système 1, on obtient une équation en y :

y +ω2c y =ωc

E

B= 0 qui donne y (t ) =

E

ωc B(1− cosωc t )

On intègre alors :

x =ωc y =E

B(1− cosωt ) on obtient : x (t ) =

E t

B−

E

Bωcosωt .

Exercice 6Voici un exemple de solution possible.

Estimons tout d’abord la longueur du parcours effectué par le proton. Le rayon moyendes cercles est de rm = 9, 25 cm. On peut donc estimer la longueur à l = 20.2πrm = 11, 62m.

Déterminons la vitesse initiale sur la trajectoire de rayon r1. Accélérés sous 103 Vles protons de charge e acquièrent une énergie cinétique de Ec 1 = 1 keV. On a donc

v1 =

r

2Ec 1

mp= 4, 38.105 m.s−1.

Estimons la vitesse sur la trajectoire de rayon r2. Nous avons vu dans l’exercice 6 que

R =m v

q B. On a donc :

v1

r1=

v2

r2et ainsi v2 = v1

r2

r1= 4, 15.105 m.s−1.

On suppose que le frottement est une force constante F et opposée au mouvement.Son travail sur les 20 tours est résistant et environ égal à W =−l F .

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique entre l’état initial et l’état final, onobtient :

−l F =1

2mp v 2

2 −1

2mp v 1

2 soit F = 1, 3.10−18 N.

Exercice 71) Appliquons le principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen

du laboratoire en projection sur la direction Ox puis intégrons en tenant compte du faitque la vitesse, et donc la quantité de mouvement, soit nulle à l’instant initial.

227


d−→pd t=q E0

−→ux soit p =q E0t ou γm v =q E0t .

La présence du terme γ dans l’expression de la quantité de mouvement nous empêched’intégrer une seconde fois directement.

2) Nous allons donc passer par l’énergie. On a en utilisant la formule du texte et lerésultat de la question 1 :

E 2 = p 2c 2+m 2c 4 =q 2E 2c 2t 2+m 2c 4 soit E 2 =q 2E 2c 2�

t 2+τ2�

.

comme on a p =E v

c 2, on obtient avec l’équation de la question 1 :

E v

c 2=

q E

c

p

�

t 2+τ2�

=q E t soit v =c t

p

�

t 2+τ2�

d’où v =q E t

m

È

�

1+�

q E t

m c

�2�

3) Si le champ E tend vers zéro, on peut faire un développement limité de v ; Onobtient ainsi :

v 'q E t

m

�

1−1

2

�

q E t

m c

�2�

.

Pour les champs faibles on retrouve bien l’expression classique du mouvement rectiligne

uniformément accéléré : v 'q E t

m.

228

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PHYSIQUE MPSI-PCSI-PTSIMÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES

SOMMAIRE1. Oscillateurs harmoniques – 2. Propagation d’un signal – 3. Optique géométrique 4. Introduction au monde quantique – 5. Circuits dans l’ARQS – 6. Circuits linéaires du premier ordre – 7. Oscillateurs amortis – 8. Filtrage linéaire – 9. Cinématique du point – 10. Loi de la quantité de mouvement – 11. Énergétique du point matériel 12. Mouvement de particules chargées – 13. Loi du moment cinétique – 14. Mou- vement dans le champ d’une force centrale conservative – 15. Description macro-scopique de la matière – 16. Description microscopique de la matière – 17. Premier principe de la thermodynamique – 18. Second principe de la thermodynamique 19. Machines dithermes – 20. Statique des fluides – 21. Champ magnétique – 22. Forces de Laplace – 23. Lois de l’induction – 24. Induction de Neumann – 25. Induction de Lorentz.

Les auteurs :Frédéric Bruneau est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Victor Grignard à Cherbourg.

Marc Cavelier est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Joliot-Curie à Rennes.

Yann Lozier est enseignant dans le secondaire, détaché en classes préparatoires scientifiques.

Marc Strubel est professeur en classes préparatoires scientifiques au lycée Albert Schweitzer à Mulhouse.

ISBN : 978-2-311-40225-4

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