Exercice n°6 Inertie d’un vilebrequin

Exercice n°6

Inertie d’un vilebrequin

Inertie d'un vilebrequinUn vilebrequin S est constitué de trois cylindres.Exprimer son opérateur d'inertie I(G1,S).Les trois cylindres sont définis tels que :- S1 de masse m1 de centre d'inertie G1 (0, 0, 0 ) de rayon R1et de hauteur h1

- S2 de masse m2 de centre d'inertie G2 (a2, 0, c2 ) de rayon R2 et de hauteur h2


z

G1

xy

G2

G3

i (G , x, y, z )

On notera Ai, Bi, Ci les moments d’inertie du cylindre indice i par rapport aux axes du repère

Piston

Chemise

Micro moteur Picco LE P21 G EVO

Vilebrequin

Bielle




z

G1

xy

G2

G3

Le moment d’inertie par rapport à l’axe

i i

2i i

G z/Cyl i

m R I C

2

1 i i i

2 2 2G z/Cyl G z/Cyl i i i i i i I I m (a b ) C m a

Avec ici bi = 0

i (G , z )

du cylindre i de masse mi s’écrit :

On exprime le moment d’inertie par rapport à l’axe

1 (G , z )

du cylindre i de masse mi qui a pour centrede gravité Gi (ai, bi, ci ) .




z

G1

xy

G2

G3

i i

2 2i i i i

G x/Cyl i

m R m h I A

4 12

1 i i i

2 2 2G x/Cyl G x/Cyl i i i i i i I I m (b c ) A m c

i (G , x )

du cylindre i de masse mi s’écrit :Le moment d’inertie par rapport à l’axe

Moment d’inertie par rapport à l’axe 1 (G , x )

du cylindre i de masse mi qui a pour cdg Gi (ai, bi, ci ) .

Résultat analogue pour l’axe i (G , x )

i

2 2i i i i

G y i

m R m h I B

4 12

1 i i i

2 2 2 2G y/Cyl G y/Cyl i i i i i i i I I m (c a ) B m (c a )




z

G1

xy

G2

G3

1 (G , x, y, z )On fait la somme des moments d’inertie par rapport aux trois axes

du repère pour les trois cylindres

1

3 2 2 3 2i 1 i 1G x i i i i i i i/S

I A m (b c ) A m c

1

3 2 2i 1G y i i i i/S

I B m (c a )

1

3 2 2 3 2i 1 i 1G z i i i i i i i/S

I C m (a b ) C m a

Inertie d'un vilebrequin

z

G1

xy

G2

G3

en yz i/Cyl Gi i

I D 0

On les calcule d’abord dans le repère centré en Gi

en yz i i i i/Cyl Gi 1

I D m b c 0 Puis on les calcule dans le repère centré en G1

en zx i i i i i i i/Cyl Gi 1

I E m c a m c a

en xy i i i i/Cyl Gi 1

I F m a b 0

Recherche des produits d’inertie pour le cylindre i :

Enfin on somme les pour chaque produit les produits des trois cylindres

i i de même E F 0

en en

3i 1yz yz/S G /Cyl G1 i 1

I I 0

en en

3 3i 1 i 1z z i i ix/S G x/Cyl G1 i 1

I I m c a

en en

3i 1xy xy/S G /Cyl G1 i 1

I I 0

Inertie d'un vilebrequin

z

G1

xy

G2

G3

D’où l’écriture de l’opérateur d’inertie :

3 2 3i 1 i 1i i i i i i

3 2 2i 1 i i i i

3 3 2i 1 i 1i i i i i i

A m c 0 m c a

0 B m (c a ) 0

m c a 0 C m a

(G1,S)

B0

On remarque que le plan 1 ( z, G , x )

est plan de symétrie. On confirme

bien ainsi les deux produits D et F nuls.

!!! Bien penser au signe moins devant les produits

Exercice n°6 Inertie d’un vilebrequin

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