Angles orient⎷s - exercices corrig⎷sexercices corrig´es 21 f´evrier 2014 Exercice 1 Exercice 2...
114
Angles orient´ es exercices corrig´ es 21 f´ evrier 2014
Transcript of Angles orient⎷s - exercices corrig⎷sexercices corrig´es 21 f´evrier 2014 Exercice 1 Exercice 2...
-
Angles orientésexercices corrigés
21 février 2014
-
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Exercice 4
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
Angles orientés
-
Exercice 1
-
Enoncé
Soit A et B deux points du plan tels que AB = 4 cm.
1 Construire le point C tel que (# »
AB,# »
AC) ≡π
4(2π) et AB = AC .
2 Soit D tel que ACD soit un triangle équilatéral et (# »
CA,# »
CD) ≡17π
3(2π).
Déterminer la mesure principale de (# »
CA,# »
CD) et construire D.
3 Construire le point E tel que (# »
DE,# »
DC) ≡11π
12(2π) et DE = 3 cm.
4 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
5 Construire F tel que A, F et C sont alignés et (# »
BF ,# »
CD) ≡5π
12(2π).
6 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
-
Construction de la figure
AB = 4 cm et (# »
AB,# »
AC) ≡π
4(2π) avec AB = AC
b
Ab
B
Angles orientés
-
Construction de la figure
AB = 4 cm et (# »
AB,# »
AC) ≡π
4(2π) avec AB = AC
b
Ab
B
b
C
π
4
Angles orientés
-
Question
1 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (# »
CA,# »
CD).
Angles orientés
-
Question
1 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (# »
CA,# »
CD).
on sait que (# »
CA,# »
CD) ≡17π
3(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (# »
CA,# »
CD).
on sait que (# »
CA,# »
CD) ≡17π
3(2π)
donc (# »
CA,# »
CD) ≡3 × 6π
3−
π
3(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (# »
CA,# »
CD).
on sait que (# »
CA,# »
CD) ≡17π
3(2π)
donc (# »
CA,# »
CD) ≡3 × 6π
3−
π
3(2π)
donc (# »
CA,# »
CD) ≡ 3 × 2π −π
3(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Déterminer la mesure principale d’un angle orienté (# »
CA,# »
CD).
on sait que (# »
CA,# »
CD) ≡17π
3(2π)
donc (# »
CA,# »
CD) ≡3 × 6π
3−
π
3(2π)
donc (# »
CA,# »
CD) ≡ 3 × 2π −π
3(2π)
Conclusion
La mesure principale de cet angle est donc −π
3.
Angles orientés
-
Construction de la figure
(# »
CA,# »
CD) ≡ −π
3(2π) et (
# »
DE,# »
DC) ≡11π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
Angles orientés
-
Construction de la figure
(# »
CA,# »
CD) ≡ −π
3(2π) et (
# »
DE,# »
DC) ≡11π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
bD
−π
3
Angles orientés
-
Construction de la figure
(# »
CA,# »
CD) ≡ −π
3(2π) et (
# »
DE,# »
DC) ≡11π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
bD
−π
3
b
E
11π
12
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) +
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) +
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après l’énoncé
(# »
AB,# »
AC) ≡π
4(2π) d’après 1.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
AC ,# »
CD) ≡ (# »
CA,# »
CD) + π (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
AC ,# »
CD) ≡ (# »
CA,# »
CD) + π (2π)
donc (# »
AC ,# »
CD) ≡ −π
3+ π (2π) d’après 2.a
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
AC ,# »
CD) ≡ (# »
CA,# »
CD) + π (2π)
donc (# »
AC ,# »
CD) ≡ −π
3+ π (2π) d’après 2.a
d’où (# »
AC ,# »
CD) ≡2π
3(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
CD,# »
ED) ≡ (# »
DC ,# »
DE) (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
CD,# »
ED) ≡ (# »
DC ,# »
DE) (2π)
donc (# »
CD,# »
ED) ≡ −(# »
DE,# »
DC) (2π) d’après 3.b
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
CD,# »
ED) ≡ (# »
DC ,# »
DE) (2π)
donc (# »
CD,# »
ED) ≡ −(# »
DE,# »
DC) (2π) d’après 3.b
d’où (# »
CD,# »
ED) ≡ −11π
12(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
donc (# »
AB,# »
ED) ≡π
4+
2π
3−
11π
12(2π)
d’où (# »
AB,# »
ED) ≡ 0 (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (ED) sont parallèles.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
ED) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
ED) (2π)
donc (# »
AB,# »
ED) ≡π
4+
2π
3−
11π
12(2π)
d’où (# »
AB,# »
ED) ≡ 0 (2π)
Conclusion
Les vecteurs# »
AB et# »
ED sont colinéaires et de même sens ce qui prouve que lesdroites (AB) et (ED) sont parallèles.
Angles orientés
-
Construction de la figure
F ∈ (AC) et (# »
BF ,# »
CD) ≡5π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
bD
−π
3
b
E
11π
12
Angles orientés
-
Construction de la figure
F ∈ (AC) et (# »
BF ,# »
CD) ≡5π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
bD
−π
3
b
E
11π
12
Angles orientés
-
Construction de la figure
F ∈ (AC) et (# »
BF ,# »
CD) ≡5π
12(2π)
b
Ab
B
b
C
π
4
bD
−π
3
b
E
11π
12
b F
5π
12
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
or
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
or
d’après l’énoncé
(# »
AB,# »
AC) ≡π
4(2π) d’après 1.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
or
d’après les questions précédentes
(# »
AC ,# »
CD) ≡2π
3(2π) démontré au 4.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
CD,# »
BF) ≡ −(# »
BF ,# »
CD) (2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
CD,# »
BF) ≡ −(# »
BF ,# »
CD) (2π)
d’où (# »
CD,# »
BF) ≡ −5π
12(2π) d’après 5.
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
donc (# »
AB,# »
BF) ≡π
4+
2π
3−
5π
12(2π)
d’où (# »
AB,# »
BF) ≡π
2(2π)
Angles orientés
-
Question
1 Démontrer que les droites (AB) et (BF) sont perpendiculaires.
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AB,# »
BF) ≡ (# »
AB,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CD) + (# »
CD,# »
BF) (2π)
donc (# »
AB,# »
BF) ≡π
4+
2π
3−
5π
12(2π)
d’où (# »
AB,# »
BF) ≡π
2(2π)
Conclusion
Les vecteurs# »
AB et# »
BF sont orthogonaux ce qui prouve que les droites (AB) et(BF) sont perpendiculaires.
Angles orientés
-
Exercice 2
-
Enoncé
ABCDE est la ligne brisée ci-dessous.
On sait que# »
AB et# »
DE sont colinéaires et de même sens.
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
b
A
b
B
b
C
−
2π
3
b
D
π
5
b
E
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après l’énoncé
(# »
DE,# »
BA) ≡ π (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après l’énoncé
(# »
DE,# »
BA) ≡ π (2π)
car, les vecteurs sont colinéaires et de sens contraire
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après l’énoncé
(# »
BA,# »
BC) ≡ −2π
3(2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
DC) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
DC) ≡ (# »
CB,# »
CD) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
or
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
DC) ≡ (# »
CB,# »
CD) (2π)
d’où (# »
BC ,# »
DC) ≡π
5(2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡ π −2π
3+
π
5(2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡ π −2π
3+
π
5(2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡15π
15−
10π
15+
3π
15(2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡ π −2π
3+
π
5(2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡15π
15−
10π
15+
3π
15(2π)
d’où (# »
DE,# »
DC) ≡8π
15(2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
DE,# »
DC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
DE,# »
DC) ≡ (# »
DE,# »
BA) + (# »
BA,# »
BC) + (# »
BC ,# »
DC) (2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡ π −2π
3+
π
5(2π)
donc (# »
DE,# »
DC) ≡15π
15−
10π
15+
3π
15(2π)
d’où (# »
DE,# »
DC) ≡8π
15(2π)
Conclusion
la mesure principale est8π
15car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Exercice 3
-
Enoncé
Sur la figure ci-dessous, le triangle ABC est rectangle isocèle en B et les trianglesACM et ABN sont équilatéraux.
Déterminer la mesure pricipale des angles :
(# »
BC ,# »
AC)
(# »
AN ,# »
AC)
(# »
MA,# »
AB)
(# »
AN ,# »
AM)
(# »
AM ,# »
CB)
b
B
bA
b
C
bM
bN
π
2
π
3
π
3
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
BC ,# »
AC).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
BC ,# »
AC).
d’après des propriétés de calculs sur les angles
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
BC ,# »
AC).
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
AC) ≡ (# »
CB,# »
CA) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
BC ,# »
AC).
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
AC) ≡ (# »
CB,# »
CA) (2π)
donc (# »
BC ,# »
AC) ≡ d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
BC ,# »
AC).
d’après des propriétés de calculs sur les angles
(# »
BC ,# »
AC) ≡ (# »
CB,# »
CA) (2π)
donc (# »
BC ,# »
AC) ≡ −π
4(2π) d’après l’énoncé
Conclusion
La mesure principale est −π
4car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡ (# »
AN ,# »
AB) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡ (# »
AN ,# »
AB) + (# »
AB,# »
AC) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡ (# »
AN ,# »
AB) + (# »
AB,# »
AC) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AC) ≡ d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡ (# »
AN ,# »
AB) + (# »
AB,# »
AC) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AC) ≡π
3+
π
4(2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AC).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AC) ≡ (# »
AN ,# »
AB) + (# »
AB,# »
AC) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AC) ≡π
3+
π
4(2π) d’après l’énoncé
d’où (# »
AN ,# »
AC) ≡7π
12(2π)
Conclusion
La mesure principale est7π
12car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AB) + π (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AB) + π (2π)
donc (# »
MA,# »
AB) ≡ −π
3−
π
4+ π (2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AB) + π (2π)
donc (# »
MA,# »
AB) ≡ −π
3−
π
4+ π (2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
MA,# »
AB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AB) + π (2π)
(# »
MA,# »
AB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AB) + π (2π)
donc (# »
MA,# »
AB) ≡ −π
3−
π
4+ π (2π) d’après l’énoncé
d’où (# »
MA,# »
AB) ≡5π
12(2π)
Conclusion
La mesure principale est5π
12car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AM) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AM) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AM) ≡ d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AM) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AM) ≡7π
12+
π
3(2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AM) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AM) ≡7π
12+
π
3(2π) d’après l’énoncé
d’où (# »
AN ,# »
AM) ≡11π
12(2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AN ,# »
AM).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AN ,# »
AM) ≡ (# »
AN ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
AM) (2π)
donc (# »
AN ,# »
AM) ≡7π
12+
π
3(2π) d’après l’énoncé
d’où (# »
AN ,# »
AM) ≡11π
12(2π)
Conclusion
La mesure principale est11π
12car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CA) +
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CA) + (# »
CA,# »
CB) (2π)
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CA) + (# »
CA,# »
CB) (2π)
donc (# »
AM ,# »
CB) ≡ d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CA) + (# »
CA,# »
CB) (2π)
donc (# »
AM ,# »
CB) ≡ −π
3+ π +
π
4(2π) d’après l’énoncé
Angles orientés
-
Question
Déterminer la mesure principale de (# »
AM ,# »
CB).
d’après la relation de Chasles, on a
(# »
AM ,# »
CB) ≡ (# »
AM ,# »
AC) + (# »
AC ,# »
CA) + (# »
CA,# »
CB) (2π)
donc (# »
AM ,# »
CB) ≡ −π
3+ π +
π
4(2π) d’après l’énoncé
d’où (# »
AM ,# »
CB) ≡11π
12(2π)
Conclusion
La mesure principale est11π
12car elle appartient bien à ] − π; π].
Angles orientés
-
Exercice 4
-
Enoncé
1 Résoudre sur l’intervalle [0; 2π] les équations
cos 2x = −
√2
2et 2 cos 2x = −1
2 Développer (1 −√
2)2, puis résoudre sur R l’équation
2X2 + (√
2 + 1)X +
√2
2= 0
3 Résoudre sur l’intervalle [0; 2π] l’équation
2 cos2 2x +(√
2 + 1)
cos 2x +
√2
2= 0
-
Exercice 5
-
Enoncé
Résoudre sur R.
1 sin x =
√2
2
2 cos2 x =3
4
3 sin 2x = cos(x)
-
Exercice 6
-
Enoncé
Résoudre dans R l’équation :
2 sin3 x − 17 sin2 x + 7 sin x + 8 = 0
-
Exercice 7
-
Enoncé
Résoudre dans ]−π ; π[.
1 2 cos3 x − 7 cos2 x + 2 cos x + 3 = 0
2 2 sin3 x + cos2 x − 5 sin x − 3 = 0
-
Exercice 8
-
Enoncé
Dans cet exercice, on donne :
cosπ
5=
1 +√
5
4
Calculer la valeur exacte de cos2π
5puis de cos
3π
5.
-
Exercice 9
-
Enoncé
1 θ est un angle situé dans l’intervalle ] − π ; π[ dont on sait que
cos θ =
√3
2et sin θ =
1
2
Que vaut θ en radians ?
2 θ est un angle situé dans l’intervalle
[
π
2; π
]
tel que sin θ =4
5
Calculer cos θ et tan θ.
3 θ est un angle situé dans l’intervalle ]−π ; 0] tel que cos θ =2
3
Calculer sin θ et tan θ.
4 θ est un angle situé dans l’intervalle ]−π ; 0] tel que tan θ = 2
Calculer cos θ et sin θ.
