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PPrroobbllmmee ddee PPrrooggrraammmmaattiioonn LLiinnaaiirree

Lentreprise AMLAS produit des chaises et des petites tables partir d'un stock de 16 units de bois, 10 units de tissu et emploie un ouvrier qui fournit 40 heures de travail par semaine.

Pour produire une chaise il faut 1 heure de travail, une unit de bois et une unit de tissu ; tandis que pour une table il faut 4 heures de travail et 1 unit de bois.

Le prix d'une chaise est de 100 Units-Montaire (UM) et celui d'une table de 200 UM. L'entrepreneur dsire dterminer la production hebdomadaire des chaises et des tables permettant de maximiser son chiffre d'affaires.

Travail faire :

1. Donnez la formalisation mathmatique, sous forme canonique, du prsent programme linaire (programme primal) ;

2. Dterminez graphiquement la production optimale des chaises et des tables ; 3. Quelle est l'interprtation conomique de ces rsultats ? 4. La production optimale est-elle dgnre (donnez la dfinition de la dgnrescence du 1er et du 2ime

type) ? 5. crivez le programme primal sous forme standard ; 6. Le passage de la forme canonique la forme standard se fait par l'ajout des variables d'cart. Quelle

est l'interprtation conomique de chacune dentres elles ? 7. Retrouvez la production optimale via l'algorithme de simplexe (crivez les chiffres l'intrieur des

trois tableaux de simplexe sous forme de fractions) ; 8. Si on produit 10 tables, de combien faudrait-il rduire cette production pour produire 4 chaises ? 9. crivez le dual du programme primal ; 10. Donnez le tableau final du programme dual partir de celui du programme primal.

Rponse :

1. Donnons la formalisation mathmatique, sous forme canonique, du programme primal. Soient :

x1 : nombre de chaises produites par semaine x2 : nombre de tables produites par semaine Nous sommes en prsence dun programme linaire :

++

+=

0,(3) )en tissustock (10

(2) )boisen stock (16)1( ) travailde heures(404

/

200100max

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

cs

xxz

2. Dterminons graphiquement la production optimale des chaises et des tables ; Le vecteur directeur de la droite reprsentant la fonction objectif 21 200100 xxz += est ( )100,200=ur ou encore ( )1,2' =ur . La production optimale A est la solution du systme suivant :

( )UMz

Ax

x

xx

x

xx

xx

2400)8(200)8(100

8,888

168

31640

16404

max

2

1

21

2

21

21

=+=

=

=

=

=

=

=

=+

=+

Exercice corrig recherche oprationnelle

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( 1) 404 21 =+ xx

x1 0 8

x2 10 8

(2) 1621 =+ xx

x1 0 16

x2 16 0

(3) 101 =x

droite verticale 3. L'interprtation conomique des rsultats :

Lentreprise utilise toutes les heures de travail disponibles (la premire contrainte est sature 404 21 =+ xx ) et tout le bois disponible (la deuxime contrainte est sature 1621 =+ xx ) mais il lui reste 2 units de tissu non utilises (la troisime contrainte est non sature 1081

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B HB x1 x2 e1 e2 e3 C R

e1 1 4 1 0 0 40 40/4

e2 1 1 0 1 0 16 16/1

e3 1 0 0 0 1 10 -

-z 100 200 0 0 0 0

Tablea

u interm

diaire B HB x1 x2 e1 e2 e3 C R

x2 1/4 1 1/4 0 0 10 40

e2 3/4 0 -1/4 1 0 6 8

1 0 0 0 1 10 10

-z 50 0 -50 0 0 -2000

B HB x1 x2 e1 e2 e3 C

x2 0 1 1/3 -1/3 0 8

x1 1 0 -1/3 4/3 0 8

e3 0 0 1/3 -4/3 1 2

-z 0 0 -100/3 -200/3 0 -2400

Tableau final

La solution de base admissible est )2,0,0,8,8(),,,,( 32121 =eeexx . Donc la production optimale est )8,8(),( 21 =xx et le chiffre daffaires maximal est UMz 2400max =

8. Supposons quon produit 10 tables. Daprs le tableau intermdiaire de simplexe, la production de 4 chaises

implique une diminution de la production des tables de 1441

= . Ainsi, pour produire 4 chaises on doit

rduire la production des tables dune unit, cest--dire, ne produire rien que 9 tables. 9. crivons le programme dual :

++

+=

0,1016404

/

200100max

21

1

21

21

21

xx

x

xx

xx

cs

xxz

+++

++=

0,,2004100

/

101640min

321

21

321

321

yyyyy

yyycs

yyyw

10. Donnons le tableau final du programme dual partir de celui du programme primal :

HB B x1 x2 e1 e2 e3 C

x2 0 1 1/3 -1/3 0 8

x1 1 0 -1/3 4/3 0 8

e3 0 0 1/3 -4/3 1 2

-z 0 0 -100/3 -200/3 0 -2400

Tablea

u final d

u programme primal

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HB B

y1 y2 y3 t1 t2 C

y1 1 0 -1/3 1/3 -1/3 100/3

y2 0 1 4/3 -4/3 1/3 200/3

-w 0 0 -2 -8 -8 -2400 Tab

leau final du

programme du

al

loptimum,

1081 =x : la premire contrainte du dual est sature donc 100321 =++ yyy 082 >=x : la deuxime contrainte du dual est sature donc 2004 21 =+ yy

Donc la solution du programme dual est : ( )

= 0,

3200

,

3100

,, 321 yyy

PPrroobbllmmee dd''oorrddoonnnnaanncceemmeenntt :: Lentreprise AMLAS dsire construire un nouveau entrept. Pour ce faire, elle a dsign un responsable du projet. Ce dernier a analys le projet, a dfinit les tches ncessaires la construction de cet entrept et a fix les antriorits ainsi que la dure de chaque tche :

Code de la tche

Dsignation de tche Tches

antrieures Dure

(en jours) A tude, ralisation et acceptation des plans - 4 B Prparation du terrain - 2 C Commande matriaux (bois, briques, ciment, tle pour le toit A 1 D Creusage des fondations A, B 1 E Commandes portes, fentres A 2 F Livraison des matriaux C 2 G Coulage des fondations D, F 2 H Livraison portes, fentres E 10 I Construction des murs, du toit G 4 J Mise en place des portes et des fentres H, I 1

Travail faire :

1. laborez la matrice des niveaux des tches ; 2. Reprsentez cette succession de tches par un graphe Mthode Potentiel Mtra (on rajoute au graphe

un sommet terminal, not Fin , permettant de dater la fin de la construction de l'entrept). Il n'est pas indispensable de donner le dtail de tous les calculs relatifs aux calendriers des dates de dbut au plus tt et de dbut au plus tard, mais les formules sont indispensables. Les rsultats peuvent tre reports directement sur le graphe MPM ;

3. Quelle est la dure minimale des travaux ncessaires la construction de l'entrept ; 4. Dfinissez et indiquez le chemin critique ; 5. Dterminez les tches qui peuvent tre rallonges sans modifier la dure totale du projet ; 6. Dfinissez les deux types de retard relatif lexcution des tches sans remettre en cause

lachvement de la construction de lentrept ; 7. Dterminez le tableau des marges ; 8. Quel est lensemble de dcisions que devra prendre le responsable concernant diffrentes tches

mettre en uvre pour mener bien le projet ? Rponse :

1. laborons la matrice des niveaux des tches :

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Niveaux Tche

Tches antrieures Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 Niveau 5 Niveau 6

A - A B - B C A C D A, B D E A E F C F G D, F G H E H I G I J H, I J

2. Reprsentons cette succession de tches par un graphe Mthode Potentiel Mtra :

Calendrier des dates de dbut au plus tt :

xT est la date de dbut au plus tt correspondant la valeur du chemin de valeur maximale aboutissant x (algorithme de Ford). On commence par les sommets de niveaux les plus faibles jusquaux sommets de niveaux les plus levs.

Calendrier des dates de dbut au plus tard :

xT * est la date de dbut au plus tard laquelle peut commencer une tche sans remettre en cause la date de fin des travaux. On commence par les sommets de niveau les plus levs jusquaux sommets de niveau les plus faibles.

FinFin TT =* pour le sommet terminal

[ ]),(*min* yxVTT yyx = le min tant pris sur les suivants y de x.

0)dbut( =T pour les sommets de niveau 0 [ ]),(max xyVTT yyx +=

le max tant pris sur les prcdents y de x

inFT La date de dbut au plus tt laquelle lensemble des travaux peut sachever

H

A

C

G

Fin

J

B

F

2

4 2

4

4

2

1 4

10

12

6 6

17 17 16 16 7 10 5 8 4 7

0 7

0 0

E

4 4

D

I

9 12

1 4 9

yy11

TT**yy11

xx

TTxx V(y2,x)

V(y1,x) yy11

TTyy11

yy22

TTyy22

yy22

TT**yy22 xx

TT**xx V(x,y2)

V(x,y1)

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3. La dure minimale de lachvement des travaux ncessaires la construction de l'entrept : Lentreprise peut inaugurer lentrept dans 17 jours au minimum. Cette dure reprsente la dure totale du projet.

4. Le chemin critique passe par les tches dites critiques, qui sont celles pour lesquelles la date de dbut au plus tt est gale la date de dbut au plus tard. Il est appel critique car tout retard pris sur l'une des tches de ce chemin entrane du retard dans l'achvement du projet. Selon notre exemple, le chemin critique est (AEHJ) (voir graphe MPM).

5. Les tches qui peuvent tre rallonges sans que la dure totale ne sen ressente sont les tches autres que celles qui forment le chemin critique : B, C, D, F, G, I.

6. Il y a deux types de retard relatif lexcution des tches sans remettre en cause lachvement de la construction de lentrept :

Marge totale : Cest le retard maximum que l'on peut prendre dans la mise en route d'une tche x sans

remettre en cause les dates de dbut au plus tard des tches suivantes xxt TTxm = *)( o xx TT *,

sont respectivement la date de dbut au plus tt et la date au plus tard de la tche x.

Marge libre : Cest le retard maximum que l'on peut prendre dans la mise en route d'une tche sans remettre

en cause les dates de dbut au plus tt des tches suivantes [ ]),(min)( yxVTTxm xyyL = o yx TT , sont respectivement la date de dbut au plus tt de la tche x et la date de dbut au plus tt de la tche y qui suit la tche x, et ),( yxV est dlai minimum aprs lequel peut dbuter tche y.

7. Dterminons le tableau des marges : Les tches critiques A, E, H, J ont une marge nulle

Tche Marge totale Marge libre

B 7 2 C 3 0 D 5 2 F 3 0 G 3 0 I 3 3

8. Le responsable du projet devra prendre les dcisions suivantes : La dure minimale du projet est de 17 jours ; Les tches nadmettant aucun retard sont les tches critiques A, E, H, J. En effet, ces tches

ont une marge totale nulle. Alors on ne peut accuser aucun retard au dmarrage ou pendant lexcution de ces tches, sinon on risque de modifier la date de lachvement du projet ;

Sagissant des tches non critiques B, C, D, F, G et I la marge totale de la tche B (resp. C, D, F, G et I) est gale 7 (resp. 3, 5, 3, 3 et 3),

cest--dire, le retard maximum que lon peut apporter au dmarrage de lexcution de cette tche est de 7 jours (resp. 3, 5, 3, 3 et 3) sans modifier la date de dbut au plus tard de la tche D (resp. F, G, G, I et J),

la marge libre de la tche B (resp. D et I) est gale 2 (resp. 2 et 3), cest--dire, le retard maximum que lon peut apporter au dmarrage de lexcution cette tche est de 2 jours (resp. 2 et 3) sans modifier la date de dbut au plus tt de la tche D (resp. G et J),

Tout retard au dmarrage de lexcution des tches C, F et G modifie la date de dbut au plus tt des tches F, G et I. En effet, les marges libres de ces tches sont nulles.