Exercice 1 : autour du calcium -...
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dm 4 Cinétique et Atomistique CORRIGE Pour le lundi 9 janvier 2017 Exercice 1 : autour du calcium A1 Atomistique A1.1 Préciser la composition du noyau de l’atome de calcium 40 20 Ca . Un noyau de l’atome de calcium contient 20 protons et (40-20) neutrons. A1.2 Ecrire la configuration électronique du calcium 40 20 Ca dans son état fondamental. En déduire le nombre d’électrons de valence du calcium et sa position (colonne et période) dans la classification périodique. La configuration électronique fondamentale de l’atome de calcium est : 1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 6 / 4s 2 Il possède 2 électrons de valence, qui sont les 2 électrons 4s (associés au nombre quantique principal n le plus élevé). nmax =4 : il appartient à la quatrième période. ns 2 : il appartient à la deuxième colonne, celle des alcalinoterreux.
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dm4
Cinétique et Atomistique CORRIGE
Pourlelundi9janvier2017
Exercice1:autourducalcium
A1Atomistique
A1.1 Préciserlacompositiondunoyaudel’atomedecalcium 4020Ca .
Unnoyaudel’atomedecalciumcontient20protonset(40-20)neutrons.
A1.2 Ecrire la configuration électronique du calcium 4020Ca dans son étatfondamental.Endéduirelenombred’électronsdevalenceducalciumetsaposition(colonneetpériode)danslaclassificationpériodique.
Laconfigurationélectroniquefondamentaledel’atomedecalciumest:
1s22s22p63s23p6/4s2
Ilpossède2électronsdevalence,quisontles2électrons4s(associésaunombrequantiqueprincipalnleplusélevé).
nmax=4:ilappartientàlaquatrièmepériode.
ns2:ilappartientàladeuxièmecolonne,celledesalcalinoterreux.
A2RadioactivitéetdatationK-Ar(cf.document1)
Soit un nucléide M, se décomposant selon un seul mode de désintégration nucléaired’ordre1,deconstantedevitesseketdepérioderadioactive(outempsdedemi-vie)T.OnnoteraPM(0)lapopulationdecenucléideMàladatet=0etPM(t)celleàladatet.
A2.1 Etablirenfonctiondutempst laloid’évolutionPM(t)delapopulationennucléideM.EndéduirelarelationentreketT.
𝑣 = 𝑘.𝑃!(𝑡)
𝑒𝑡 𝑣 = −11𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡
D’oùl’équationdifférentielleàrésoudre
−𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘!""𝑃!(𝑡)!
Etsasolutionaprèsintégration:
𝑳𝒏𝑷𝑴(𝒕)𝑷𝑴(𝒕)𝟎
= −𝒌. 𝒕
Lademi-viecorrespondàladisparitiondelamoitiédesnoyauxdoncenappelantTcetemps,quiestenfaitletempsdedemi-réaction,alorsonétablitque:
𝑳𝒏𝑷𝑴(𝒕)𝟎
𝟐𝑷𝑴(𝒕)𝟎
= −𝒌.𝑻 𝑳𝒏𝟏𝟐 = −𝒌.𝑻
Onretrouvelerésultatconnu:𝑳𝒏𝟐 = 𝒌.𝑻𝑻 = 𝑳𝒏𝟐
𝒌
A2.2 Entenantcomptedesdeuxprincipauxmodesdedésintégrationnucléairedu potassium 4019K présentés dans le document 1, établir l’équationdifférentielleportantsurlapopulationPK(t).Endéduirelaloid’évolutionPK(t).
D’aprèscedocument,alorsnousavons:
VoieA:%040 40 00 e19 20 1K Ca e−→ + + υ (antineutrino)
et
VoieB:40 0 40 019 1 18 0 eK e Ar−+ → + υ (neutrino)
−𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡 !"!
= −𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡 !
−𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡 !
−𝑑𝑃!(𝑡)𝑑𝑡 !"!
= −𝑘!𝑃!(𝑡)− 𝑘!𝑃!(𝑡)
−𝑑𝑃! 𝑡𝑑𝑡
!"!= −(𝑘! + 𝑘!).𝑃!(𝑡)
Enfait,c’estuneréactiond’ordre1,avecuneconstanteglobalequivaut(k1+k2),celas’intègresansdifficulté:
𝑳𝒏𝑷𝑲(𝒕)𝑷𝑲(𝒕)𝟎
= −(𝒌𝟏 + 𝒌𝟏). 𝒕
Onpeutdoncproposeraussi:
𝑷𝑲 𝒕 = 𝑷𝑲 𝟎 𝒆!(𝒌𝟏!𝒌𝟐).𝒕
A2.3 Etablir de même la loi d’évolution PAr(t). Retrouver la relation (1),présentéedansledocument1,entrePK(t)etPAr(t).
Nousavons:
VoieB: 1940K + −1
0e → 1840Ar + 0
0υe (neutrino)
𝑑𝑃!"(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘!.𝑃!(𝑡)
soit,enutilisantlerésultatdelaquestionprécédente:
𝑑𝑃!"(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑘!.𝑃! 0 𝑒!(!!!!!).!
Nousrecherchonsdoncunefonctiondontladérivéecontiente-ax.
Oruneprimitivedelafonctione-axeste-ax/a=λ,λétantunréel.
Ainsi:
𝑃!" 𝑡 = − 𝑘!.𝑃! 0 𝑒!(!!!!!).!
𝑘! + 𝑘! + 𝜆
λvaêtredéterminéenutilisantlesconditionsinitiales:
𝑃!" 0 = 0 = − !!.!! !!!!!!
+ 𝜆 𝜆 = !!.!! !!!!!!
D’oùlaloid’évolutiondelapopulationdesatomesd’argonenfonctiondutemps:
𝑃!" 𝑡 = − 𝑘!.𝑃! 0 𝑒!(!!!!!).!
𝑘! + 𝑘! +
𝑘!.𝑃! 0𝑘! + 𝑘!
𝑷𝑨𝒓 𝒕 = 𝒌𝟐.𝑷𝑲 𝟎𝒌𝟏 + 𝒌𝟐
𝟏 − 𝒆!(𝒌𝟏!𝒌𝟐).𝒕
Celapeuts’écrireainsi:
𝑃!" 𝑡 = 𝑘!.𝑃! 0𝑘! + 𝑘!
− 𝑘!.𝑃! 𝑡𝑘! + 𝑘!
(𝑘! + 𝑘!)𝑃!" 𝑡 = 𝑘!.𝑃! 0 − 𝑘!.𝑃! 𝑡
Cequiestbiendelaformeattendue:
𝑘! + 𝑘! .𝑃!" 𝑡𝑘!
= 𝑃! 0 − 𝑃! 𝑡
Carc’estbien:
𝑷𝑲 𝟎 = 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐𝒌𝟐
.𝑷𝑨𝒓 𝒕 + 𝑷𝑲 𝒕
A2.4 Apartirdel’étudedurapport ( )( )
K
K
P 0P t
,établirlarelation(2)présentéedans
le document 1 et permettant de dater un échantillon de roche. Estimerl’âgedelacendrevolcaniquedeOkote.
𝑃! 0 = 𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡 + 𝑃! 𝑡
𝑃! 0𝑃! 𝑡 =
𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 + 1
𝑃! 0𝑃! 𝑡 =
𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 + 1
etcomme𝑃! 𝑡 = 𝑃! 0 𝑒!(!!!!!).!
𝑃! 0𝑃! 𝑡 = 𝑒(!!!!!).!
D’où:
𝒌𝟏 + 𝒌𝟐𝒌𝟐
.𝑷𝑨𝒓 𝒕𝑷𝑲 𝒕 + 𝟏 = 𝒆(𝒌𝟏!𝒌𝟐).𝒕
Commeuntermeesttrèspetitdevant1,nousproposonslepassageauloarithmenépérien,puisundéveloppementlimité:
Lorsquex<<1,alors𝐿𝑛 1+ 𝑥 ≈ 𝑥
Cequidonne:
𝐿𝑛( !!!!!!!
.!!" !!! !
+ 1) = (𝑘! + 𝑘!). 𝑡
et
𝐿𝑛(𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 + 1) ≈
𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡
D’oùlerésultat:
𝑘! + 𝑘!𝑘!
.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 = (𝑘! + 𝑘!). 𝑡
1𝑘!.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 = 𝑡
1𝑘!.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 = 𝑡
𝒕 = 𝟏𝒌𝟐.𝑷𝑨𝒓 𝒕𝑷𝑲 𝒕
L’âgedelacendreesttcendre(onutilisek2=Ln2/T2)
𝑡!"#$%" = 1𝑘!.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 =
111,9. 109
8,3. 1012
8,6. 1016
𝑡!"#$%" = 1𝑘!.𝑃!" 𝑡𝑃! 𝑡 =
11,9. 109
Ln2 8,3. 1012
8,6. 1016
tcendre=1,67.106annéessoit:tcendre=1,7.106années
Remarque : lors d’une éruption volcanique, sous l’effet de la chaleur, la roche fond, elle devient de la lave et elle libère alors l’argon. Puis la lave refroidit et se solidifie. Elle contient alors du potassium 40 mais plus d’argon.
Ainsi, la quantité d’argon accumulée dans la roche depuis sa solidification de la lave permet alors de connaitre son âge.
Aujourd’hui, l’âge de la Terre, admis et confirmé par différentes méthodes de datation, est voisin de 4,55 milliards d’années.
