Exemples Calculs Hydrauliques

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  • 1Exemples dapplication

    Sommaire de louvrage

    Partie A lments de mcanique des fluidesChapitre 1 Notions gnrales sur les fluidesChapitre 2 coulement des fluidesPartie B Dplacement des liquides et des mlangesChapitre 3 PompesChapitre 4 Installations jetChapitre 5 Transport pneumatique et hydraulique des solidesPartie C Dplacement des gazChapitre 6 VentilateursChapitre 7 CompresseursChapitre 8 Installations de videPartie D Tuyauterie et stockage des fluidesChapitre 9 Distribution et circulation des fluidesChapitre 10 Stockage des fluidesChapitre 11 Mesures des fluides

  • 2Exemples dapplication du chapitre 1Notions gnrales sur les fluides

    nonc 1.1Dterminer la densit de lair sous un vide de 440 mm Hg, 40 C.

    Solution 1.1Masse molculaire de lair (79 % azote et 21 % oxygne, en volume) :

    M = 0,79 28 + 0,21 32 = 28,8 kg/kmol

    Dans la relation 1.3, 0 = M/22,4 est la densit des gaz des conditions normales,ainsi, il vient aprs remplacement :

    = (M/22,4)273p/Tp0 = 28,8 273(760 440)/22,4 233 760

    = 0,615 kg/m3

    nonc 1.2Calculer la viscosit dune suspension dun solide en eau, obtenue dans unrcipient dans lequel, V = 10 m3 deau, on ajoute m = 1 000 kg de produit solide.Temprature de la suspension : T = 20 CDensit relative de la phase solide : d = 1,2

    Solution 1.2Volume de la phase solide :

    Vs = m/ = 1 000/1 200 = 0,833 m3

    Concentration volumique de la phase solide en suspension :

    = Vs/(V + Vs) = 0,077 m3/m3

    T = 20 C, la viscosit de leau est l = 1,0 103 Pa.s. La relation 1.10 permetde dterminer la viscosit de la suspension :

    s = l(1 + 2,5) = 1,0 103(1 + 2,5 0,077)

    s = 1,19 1,0 103 Pa.sLa mme viscosit calcule avec la relation 1.11 conduit la valeur :

    s = l[0,59/(0,77 )2] = 1,0 103 0,59/(0,77 0,077)2

  • 3s = 1,23 103 Pa.s

    nonc 1.3De lazote se trouve dans un rcipient de 2,0 m3. La pression est de 23,5 bar et latemprature de 128 C. Calculer la masse dazote contenue dans le rcipient etcomparer le rsultat avec la valeur obtenue avec la relation du gaz parfait.

    Solution 1.3Le tableau 1.2 indique pour lazote la paire Tcr = 147,13 C et pcr = 33,92 bar. Onpeut dterminer ensuite la pression et la temprature rduites :

    pr = p/pcr = 23,5/33,92 = 0,7

    Tcr = T/Tcr = (273,15 128)/(273,15 147,13) = 1,15Un coup dil sur labaque (voir figure 1.2) nous permet de trouver pour lefacteur de compressibilit : Z = 0,8.En appliquant la relation 1.15, on trouve :

    m = MpV/ZRT = 28 103 23,5 105 2,0/0,8 8,314 145o M = 28 g/mol est la masse molaire de lazote.

    m = 136,5 kgSi lon avait calcul la masse de lazote laide de la relation du gaz parfait, onaurait :

    m* = Zm = 0,8 136,5 = 109,1 kgsoit un cart de 20 %.

    nonc 1.4Un manomtre form par un tube en U un seul liquide, du mercure, est reli pardeux points une canalisation horizontale transportant du gaz. La diffrence deniveau z du mercure dans le tube est de 25 mm.Calculer la diffrence de pression entre les deux points, si par la canalisationpasse :a) de leau ;b) de lair 20 C et la pression atmosphrique.

    Solution 1.4Puisque la pression dans un mme fluide doit tre gale en tout point dun planhorizontal (figure Ex.1, plan a-a), on crit lgalit :

    p1 + z1g = 2 + z2g + zmang

  • 4On obtient aprs remplacement de z2 par (z1 z) :p1 p2 = z(man )g

    relation dans laquelle est la densit du fluide passant dans la canalisation, ycompris dans les deux branches, et man la densit du liquide dans le tubemanomtrique.Dans les conditions nonces z = 25 mm et man = 13 600 kg/m3, on dduit :a) pour leau, avec = 1 000 kg/m3 :

    p1 p2 = 0,025(13 600 1 000)9,81 = 3 090 Pab) pour lair 20 C :

    = 29 273/22,4 293 = 1,2 kg/m3

    p1 p2 = 0,025(13 600 1,2)9,81 = 3 335 PaDans cette ultime galit il rsulte que, pour lappareil fonctionnant en manomtrediffrentiel un seul liquide, on peut ngliger la correction pour la densit du gaz(

  • 5Solution 2.1Lenthalpie spcifique de leau 86 C peut tre, soit lue dans les tables devapeur, soit dtermine par le calcul (transformation pression constante) :

    h1 = cp(T2 T1) = 4 190(86 0) = 360 103 J/kgavec cp = 4 190 J/kgK, la chaleur spcifique de leau.La masse volumique de leau T1 tant 1 = 1/v1 = 1/0,0010325 = 968,5 kg/m3, onobtient pour le dbit massique la valeur G = Gv = 0,01033 968,5 = 10 kg/s(avec v1 volume massique donn par les tables et Gv = 37,2/3 600 = 0,01033 m3/s).Travail massique communiqu par la pompe lunit de masse de liquide :

    W = Ea/G = 8,2 103/10 = 0,82 103 J/kg

    Chaleur cde par leau dans lchangeur de chaleur :

    Q = 1 500/G = 1 500/10 = 150 103 J/kgLe signe moins signifie que lnergie a t enleve au systme.En substituant ce rsultat dans lquation 2.9 et en ngligeant la variationdnergie cintique due la vitesse dcoulement de leau entre les deux points,on a :

    h2 360 103 + 9,8(20 0) = 150 103 + 0,82 103

    On obtient lenthalpie de leau au point 2 :

    h2 = 210,62 103 J/kg

    ce qui donne :

    T2 = h2/cp = 210,62 103/4 190 = 50,2 C

  • 6nonc 2.2Un liquide ayant les caractristiques de leau T = 20 C scoule librement pargravitation, travers une conduite d = 25 mm, dun rservoir vers un appareil deproduction. La diffrence de niveau entre les deux appareils qui respirent latmosphre est z = 3,0 m. La longueur totale de la conduite, sur laquelle sontmonts deux coudes 90 et un robinet, est L = 8,0 m. Densit du liquide : = 998 kg/m3Calculer le dbit de liquide scoulant dans la conduite si le robinet estcompltement ouvert.

    Figure Ex.2 Illustration de lnonc 2.2.

    Solution 2.2Lquation de Bernoulli applique entre le niveau du liquide dans le rservoir(point 1) et le bout de la conduite lentre dans le racteur (point 2) permetdcrire (figure Ex.2) :

    z1 + w1_/2g + p1/g = z2 + w2_/2g + p2/g + ht (1)tant donn que p1 = p2 et w2 >> w1, lquation (1) devient :

    z1 z2 = w2_/2g + hf + hsou encore :

    zg = (w2_/2)[1 + (L/d) + ] (2)o hs est la perte de charge dans les singularits et hf la perte de charge parfrottement dans la conduite.Pour un liquide tel que leau, une temprature ordinaire, et pour un nombre deReynolds allant jusqu 100 000, ce qui est notre cas, on adopte un coefficient defrottement = 0,025.La somme des coefficients de rsistance locale aboutit aux valeurs :

  • 7Robinet 2,0Entre dans la conduite 0,5Coude 2 1,1 = 2,2Total = 4,7Ainsi, en portant les valeurs numriques dans lquation (2), on obtient :

    3 998 9,81 = 998(w2_/2)[1 + 0,025(8/0,025) + 4,7]do :

    w2_ = 58,86/13,7 = 4,3

    w2 = 2,07 m/sLe dbit maximal de liquide, avec un robinet totalement ouvert, sera :

    Gv = (pid_/4)w2 = (pi 0,025_/4) 2,07 = 4,0 10 m3/s

    Gv = 3,6 m3/h

    nonc 2.3On doit transporter, avec une conduite en acier de diamtre intrieur d1 = 250 mm,un dbit Gv = 0,736 m3/s dair dont la temprature est T = 20 C. un point 2, la conduite prsente une modification de diamtre (vasement), lesnouvelles caractristiques tant d2, w2 et p2.Densit de lair 20 C : = 1,2 kg/m3Viscosit dynamique de lair 20 C : = 18,1 106 N.s/m2a) Calculer le coefficient de frottement .b) Calculer le diamtre d2 en sachant que (p1 p2) = w2(w2 w1), afin que lachute de pression due au frottement ne dpasse pas pf = 50 N/m2.

    Solution 2.3a) Pour lcoulement en rgime turbulent, on peut employer la relation deBlasius :

    = 0,316/Re1/4 = 0,316/(w1d1/)1/4

    En explicitant la vitesse dans lexpression du dbit, on a :

    w1 = 4G1/pid1_

    Il vient aprs remplacement de w1 dans lexpression du coefficient de frottement :

    = 0,316/(4Gv/d1pi)1/4

    do, avec les valeurs numriques :

    = 0,316/[4 0,736 1,2/0,25 1,81 106 pi]1/4

  • 8 = 0,014b) Lquation de Bernoulli applique entre les points 1 et 2 scrit sous la forme :

    p1 + w12/2 = p2 + w22/2 + pfdo on tire pour la perte de charge :

    pf = (p1 p2) + (w12 w22)/2 (1)En introduisant la valeur de (p1 p2) en (1), on dduit :

    pf = [2w2(w2 w1) + w12 w22]/2 = (w1 w2)2/2 (2)Enfin, pour les points 1 et 2, lquation de continuit permet dcrire :

    w2 = w1(A1/A2)Ainsi lexpression (2) devient :

    pf = w12[1 (A1/A2)]2/2 = w12[1 (d1/d2)2]2/2 (3)Puisque la valeur maximale admise pour pf est 50 N/m2, on trouve, partir de(3), le diamtre d2 :

    d2 = d1/[1 (2pf/w12)1/2]1/2 = 0,25/[1 (2 50/152 1,2)]

    d2 = 0,40 m

    w1 = 4Gv/(pid12) = 4 0,736/(pi 0,252) = 15 m/s

    nonc 2.4De lair T = 20 C scoule travers une conduite de longueur L = 5 000 m et dediamtre intrieur d = 150 mm.Dbit volumique de lair : Q = 0,15 m3/sLa conduite dbouche la pression p2 = 1,2 bar.Calculer la pression de lair au dpart afin de maintenir le dbit constant.

    Solution 2.4La diffrence de pression entre les deux points reprsente la chute de pression dueau frottement. Dans ces conditions, lquation scrit :

    p1 p2 = (L/d)(q/A)2vm la pression atmosphrique et 20 C, la densit de lair est = 1,205 kg/m3. Ledbit masse dair devient :

    q = Q = 0,15 1,205 = 0,18 kg/sSection de la conduite dcoulement :

    A = pid2/4 = pi(0,15)2/2 = 0,0176 m2

  • 9Do la vitesse moyenne :

    w = Q/A = 0,15/0,0176 = 8,52 m/sLe dbit masse surfacique aura la valeur :

    qA = q/A = 0,18/0,0176 = 10,227 kg/m2.sAvec = 0,0181 103 la viscosit de lair T = 20 C, on calcule le nombre deReynolds :

    Re = dw/ = 1,205 0,15 8,52/0,0181 103 = 85 000En supposant que la rugosit absolue /d = 0,001, on trouve laide dudiagramme de Moody un coefficient de frottement = 0,023.Le volume massique de lair la pression p2 sera :

    v2 = (22,4/29)(293/273)(1/1,2) = 0,690 m3/kgalors que le mme volume la pression p1 scrit :

    v1 = (22,4/29)(293/273)(1/p1) = 0,829/p1 m3/kgce qui nous permet de calculer le volume moyen :

    vm = (v1 + v2)/2 = [0,690 + (0,829/p1)]/2 = (0,690p1 + 0