Exemple de solution - Mise en situation 1....

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Section 7 Stratégies de résolution de problèmes Clé de correction

Exemple de solution - Mise en situation

1. Représentation

essentiellement, on me demande de calculer des surfaces à partir de 2 plans à

l’échelle;

pour obtenir les dimensions réelles des surfaces à calculer, je dois établir des

proportions avec l’échelle de chacun des plans;

coûts de construction pour l’atelier ≤ 1 000$;

espace libre entre 75% et 80% de l’espace total;

- espace total : toute la surface de l’atelier

- espace libre : la surface de l’atelier moins les meubles

espace à respecter pour la table de travail (entre 2 m² et 2,5 m²);

espace à respecter pour la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²);

proposer des changements aux plans, s’ils ne respectent pas les exigences

demandées;

2. Planification

mesurer, avec une règle (en cm), les dimensions des items suivants pour chacun des

plans;

- atelier, table, machine-outil, rangement, lavabo

convertir les dimensions mesurées en dimensions réelles en utilisant l’échelle de

chaque plan (établir des proportions et utiliser le produit croisé);

calculer les superficies pour chaque plan en utilisant les bonnes formules;

vérifier pour chaque plan si le budget est respecté (ne pas dépasser 1 000$);

- multiplier la surface totale de l’atelier par les coûts de construction qui sont de

25$/m²

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vérifier si l’espace libre de chaque plan est entre 75% et 80% de l’espace total de

l’atelier;

- additionner ensemble les surfaces des objets qui occupent de l’espace dans

l’atelier afin d’obtenir la superficie de l’espace utilisée

- soustraire ce total de la surface de l’atelier afin d’obtenir la superficie de

l’espace libre

- calculer le pourcentage de l’espace libre par rapport avec la surface totale de

l’atelier

vérifier si la surface de la table est comprise entre 2 et 2,5 m²;

vérifier si la surface de la machine-outil est comprise entre 1 et 1,5 m²;

Pour chacun des plans, utiliser le tableau suivant pour inscrire les mesures et le résultat des calculs.

PLAN NUMÉRO

Mesure plan (cm)

Mesure réelle (m)

Formule pour calculer la superficie

Superficie (m²)

Atelier longueur

largeur

Table diamètre

rayon (r)

Lavabo base

hauteur

Machine-outil longueur

largeur

Rangement 1 longueur

largeur

Rangement 2 longueur

largeur

Espace occupé

Espace libre

Espace libre en %

Coût total de construction

3

3. Activation

Plan 1 Atelier :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 5 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de l’atelier :

Table :

Les dimensions sur le plan sont : diamètre 1,3 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de la table :

Lavabo :

Les dimensions sur le plan sont : base 1 cm, hauteur 1 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface du lavabo :

4

Machine-outil :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 1 cm, largeur 0,75 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de la machine-outil :

Rangement 1 :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 1 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface du rangement 1 :

Rangement 2 :



5

Espace occupé :

Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,07 + 0,78 + 1,17 + 2,74 + 2,34

Espace occupé = 9,1

Espace libre :

Espace libre = Surface de l’atelier – espace occupé Espace libre = 39,06 - 9,1

Espace libre = 29,96

Espace libre en %:

Coûts de construction :

976,50 $

6

Tableau

PLAN NUMÉRO 1

Mesure plan (cm)

Mesure réelle (m)


Superficie (m²)

Atelier longueur 5 6,25

39,06 largeur 5 6,25

Table diamètre 1,3 1,625

2,07 rayon (r) 0,65 0,8125

Lavabo base 1 1,25

0,78

hauteur 1 1,25

Machine-outil longueur 1 1,25

1,17 largeur 0,75 0,9375

Rangement 1 longueur 1,75 2,19

2,74 largeur 1 1,25

Rangement 2 longueur 3 3,75

2,34 largeur 0,5 0,625

Espace occupé 9,1

Espace libre 29,96

Espace libre en %

76.7 %


976,50 $

7

Plan 2 Atelier :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 5 cm, largeur 2 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de l’atelier :

Table :

Les dimensions sur le plan sont : diamètre 0,8 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de la table :

Lavabo :

Les dimensions sur le plan sont : base 0,5 cm, hauteur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface du lavabo :

8

Machine-outil :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,25 cm, largeur 0,25 cm Calcul des dimensions réelles :

Calcul de la surface de la machine-outil :

Rangement 1 :



Rangement 2 :

Les dimensions sur le plan sont : longueur 1,75 cm, largeur 0,5 cm Calcul des dimensions réelles :


9

Espace occupé :

Espace occupé = table + lavabo + machine-outil + rangement 1 + rangement 2 Espace occupé = 2,01 + 0,5 + 1,25 + 4 + 3,5

Espace occupé = 11,26

Espace libre :

Espace libre = Surface de l’atelier – espace occupé Espace libre = 40 - 11,26

Espace libre = 28,74

Espace libre en %:

Coûts de construction :

1000 $

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Tableau

PLAN NUMÉRO 2

Mesure plan (cm)

Mesure réelle (m)


Superficie (m²)

Atelier longueur 5 10

40 largeur 2 4

Table diamètre 0,8 1,6

2,01 rayon (r) 0,4 0,8

Lavabo base 0,5 1

0,5

hauteur 0,5 1

Machine-outil longueur 1,25 2,5

1,25 largeur 0,25 0,5

Rangement 1 longueur 2 4

4 largeur 0,5 1

Rangement 2 longueur 1,75 3,5

3,5 largeur 0,5 1

Espace occupé 11,26

Espace libre 28,74

Espace libre en %

71,85 %


1000 $

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4. Réflexion

les deux plans respectent le budget (≤ 1 000 $)

les deux plans respectent les limites d’espace pour la table (entre 2 m² et 2,5 m²) et

la machine-outil (entre 1 m² et 1,5 m²)

le plan numéro 1 respecte le % d’espace libre demandé (entre 75% et 80%)

le plan numéro 2 ne respecte pas le % d’espace libre demandé; l’espace libre

est inférieur à 75 %

Conclusion :

Le plan 1 est conforme et sera présenté au client tel qu’il a été conçu par le

stagiaire.

Le plan 2 doit être modifié avant d’être présenté au client. Il faut augmenter le

% d’espace libre afin de respecter la consigne.

Proposition de modification pour le plan 2 : Une augmentation de 4 % en espace libre serait suffisante pour respecter la consigne. Nous obtiendrions ainsi un espace libre de 75,85%.

Une augmentation de 4 % en espace libre représente combien de m² dans l’atelier?

4% × superficie de l’atelier = 0,04 × 40 m² = 1,6 m² Pour obtenir 1,6 m² de plus en espace libre, on peut soit réduire l’espace de rangement numéro 1 ou le numéro 2 ou même les deux à la fois. Choisissons, par exemple, de réduire seulement l’espace de rangement 1. Il faut diminuer sa superficie de 1,6 m².

Nouvelle superficie = 3,5 m² - 1,6 m² = 1,9 m² La superficie est calculée en multipliant la longueur par la largeur ( ). On peut donc soit réduire la longueur ou la largeur du rangement ou même les deux mesures à la fois. Choisissions, par exemple, de conserver la largeur et de réduire seulement la longueur. La nouvelle longueur du rangement 1 deviendrait donc ainsi 1,9 m.

→

Le plan 2 deviendra conforme et pourra être présenté au client à la condition que les dimensions de l’espace de rangement 1 deviennent 1,9 m par 1 m.

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Exemple de solution – Situation – problème 1

1. Représentation

Pour la tâche 1, je dois tracer un plan à l’échelle. J’ai besoin de choisir une échelle convenable.

- Je dois établir une relation entre la longueur réelle la plus longue et la longueur maximale dont je dispose sur papier pour faire le plan.

Pour la tâche 2, je dois faire l’inventaire des planches de mélamine dont j’ai besoin pour monter le système de rangement. Ensuite, je choisis parmi les items présentés pour que la facture soit la moins élevée.

- Je dois optimiser mon choix selon les dimensions requises par le plan et les dimensions disponibles en magasin à des prix différents.

2. Planification

Tâche 1 - Je choisis l’échelle appropriée. - Je transforme les mesures réelles en mesures sur le plan avec l’échelle (produit

croisé). - Je trace le plan à l’échelle.

Tâche 2 - Je fais l’inventaire de toutes les tablettes et panneaux horizontaux et verticaux

dont j’ai besoin pour faire le système de rangement. - Je compare les panneaux à acheter entre eux pour faire l’achat le moins

dispendieux possible. - Je donne ma solution d’achat.

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3. Activation

Tâche 1 Choix de l’échelle : La longueur réelle maximale à tracer est de 2,1 m. Sur le plan, on dispose au maximum de 26 carreaux verticalement pour représenter cette mesure. Afin de faciliter la conversion des mesures, je choisi que 21 carreaux correspondront à 2,1 m.

21 carreaux = 2,1m 1 carreau = 0,5 cm 0,5 cm = 0,1m Échelle

1 carreau = 0,1m 0,5 cm = 10 cm 1 ≙ 20 1 cm = 20 cm

Convertir 2,1 m :

Convertir 2 m :

Convertir 30 cm :

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Tâche 2

besoin d’une planche de 2 m (200 cm) de long par 30 cm de profondeur (planche du haut)

besoin de 3 planches de 2,1 m (210 cm) de long par 30 cm de profondeur (planches verticales)

besoin de 7 petites planches de 30 cm de long par 30 cm de profondeur (tablettes) Avec un panneau de 120 cm de large, on peut couper 4 planches de 30 cm de large. Le format panneau est donc plus économique que le format tablette (28,98$ 4×8,49$) 1 panneau 120 cm × 244 cm

Tablette en mélamine

30 cm × 244 cm

8,49 $

Panneau en mélamine

120 cm × 244 cm

28,98 $


30 cm × 183 cm

7,99 $


30 cm × 115 cm

6,95 $

30 cm 30 cm 30 cm 30 cm

210 cm 210 cm 210 cm 200 cm

restes

120 cm

244 cm

34 cm 34 cm 34 cm 44 cm

Avec le panneau, on obtient les 4 planches verticales du rangement.

Avec les restes du panneau, on peut couper 4 tablettes de 30 cm de long

chacune.

Il manque donc 3 tablettes de 30 cm (90 cm) par 30 cm de profondeur.

On utilisera 1 tablette 30 cm × 115 cm qu’on coupera en 3 tablettes de 30

cm de long chacune.

30 cm

115 cm 90 cm

Matériel non utilisé

Provenant du panneau 120 cm × 244 cm :

- 3 morceaux 4 cm × 30 cm

- 1 morceau 14 cm × 30 cm

Provenant de la tablette 90 cm × 115 cm :

- 1 morceau 25 cm × 30 cm

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4. Réflexion L’achat qui donnera la facture la moins élevée est le suivant : 1 panneau 120 cm × 244 cm : 28,98$ 1 tablette 30 cm × 115 cm : 6,95$ Le montant de la facture sera de 35,93$.

Exemple de solution – Situation – problème 2 1. Représentation

Je dois savoir si le camion passera sous le hauban.

J’annote le schéma pour clarifier la situation.

Je fais l’inventaire des données manquantes qui me permettront de trouver la solution : distance entre la base de le hauban et le bord de la route 9,3 – (3 + 2,5) = 3,8.

Le schéma représente un triangle rectangle, je peux donc utiliser le théorème de Pythagore et les rapports trigonométriques.

2. Planification

Je dessine sur le schéma le camion entre les lignes qui représentent la largeur de la route.

Je vérifie la hauteur disponible pour le camion selon la position de celui-ci par rapport à la route (camion au milieu de la route, ou plus à droite de celle-ci).

Pour calculer chaque hauteur possible, je dois d’abord trouver l’angle d’élévation du hauban en utilisant le rapport trigonométrique suivant :

3 m

10 m

9,3 m

2,5 m 3,8 m

θ

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3. Activation Calcul de l’angle d’élévation :

4. Réflexion Il sera possible de passer sous le hauban avec un camion de 2 m 5 m de haut à la condition que le camion roule complètement à l’extrême droite de la route.

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Je dois répondre à 2 questions : - trouver la distance horizontale qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère

lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois; - trouvez la distance que l’hélicoptère pourrait parcourir en 15 secondes.

Je dessine un schéma qui représente la situation telle que décrite;

J’identifie sur mon schéma ce que je cherche et ce que je connais : - Je connais les 2 angles de dépression 30° et 35° et l’altitude 300m. - Je représente la distance parcourue par l’hélicoptère en 5 secondes par la

lettre z. - Je représente la distance séparant l’hélicoptère de l’accident 5 secondes

après que le pilote l’ait aperçu par la lettre y. - Je représente la distance qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère

lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois par la lettre x.

Puisqu’on parle d’angles de dépression, de distance horizontale et d’altitude, je sais que je devrai utiliser des rapports trigonométriques pour trouver les mesures manquantes.

2. Planification

J’étudie mon schéma afin d’identifier comment trouver ce que je cherche

Je calcule la distance x à l’aide du rapport trigonométrique suivant :

⇨

Je calcule la distance y à l’aide du rapport trigonométrique suivant :

⇨

300 m

30° 35°

5 secondes

x

y z

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Je ne peux pas calculer la distance z à l’aide d’un rapport trigonométrique mais je peux la trouver si je connais x et y à l’aide de la relation suivante :

⇨

La distance z représente la distance parcourue en 5 secondes par l’hélicoptère. Pour répondre à la question, qui demande la distance qui pourrait être parcourue en 15 secondes, je dois établir une proportion.

3. Activation

Calcul de x :

Calcul de y :

Calcul de z :

Calcul de la distance parcourue par l’hélicoptère en 15 secondes

⇨

4. Réflexion La distance horizontale qui sépare le lieu de l'accident de l'hélicoptère lorsque le pilote aperçoit l'accident pour la première fois est de 519,6 m. La distance que l’hélicoptère pourrait parcourir en 15 secondes est de 273,6 m.

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Je dois trouver le diamètre de la roue.

J’utilise le schéma fourni et j’y ajoute les valeurs numériques qui me sont données ainsi que des informations complémentaires (un triangle rectangle isocèle a 1 angle

droit et 2 angles aigus de 45°).

Je sais que le diamètre correspond à la longueur du segment FE.

Je fais l’inventaire des données manquantes qui me permettront de trouver la solution. FE = FM + ME

Je dois déterminer la valeur de FM et de ME afin de trouver le diamètre de la roue.

M

45°

45°

45° AJ = 158,4 cm

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2. Planification

J’interprète les données que j’ai placées dans le schéma et j’y ajoute de l’information si nécessaire.

Les 2 triangles qui forment le support à vélo sont rectangles-isocèles. Donc dans chacun des triangles, les côtés de l’angle droit sont égaux et les angles aigus valent 45°.

Le triangle AKJ est semblable au triangle ABD. De plus, le triangle ABD est 2 fois plus petit que le triangle AKJ. Je peux donc trouver la longueur du segment AD du triangle ABD en établissant une proportion avec la longueur AJ du triangle AKJ.

⇨

Avec la mesure de AD, je peux trouver la mesure de DB à l’aide du rapport trigonométrique suivant.

⇨

Puisque les points C et D sont à la même hauteur du sol, et que M est situé sur le segment CD, alors le point M est aussi à la même hauteur du sol que C et D. Je peux en déduire que le segment ME est donc égal au segment DB.

ME représente un partie du diamètre, il me reste donc à calculer la valeur de FM. Pour y arriver, je dois considérer le triangle CFD. On nous a indiqué que CF = FD alors on sait que ce triangle est donc isocèle. Cette information nous indique que le segment FM rencontre le segment CD perpendiculairement et le coupe en deux parties égales.

Nous pouvons également déduire que CD est égal à AB qui est égal à DB puisque le triangle ABD est rectangle isocèle.

Pour obtenir FM, il me faut établir un rapport trigonométrique dans le triangle FMD. Puisque je peux calculer MD et que je cherche FM, je vais utiliser la fonction tangente de l’angle MDF. J’ai donc besoin de connaitre cet angle pour calculer FM. Je sais que l’angle ADJ est un angle plat donc de 180 . Je sais aussi que l’angle

CDA est de 45° puisque l’angle CDB est droit et que l’angle ADB est de 45°.

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3. Activation

Calcul de AD :

Calcul de DB :

Calcul de ME :

Calcul de MD :

Calcul de ∠MDF :

Calcul de FM : ⇨

Calcul du diamètre de la roue :

4. Réflexion Le diamètre de la roue est de 70 cm. Nous avons calculé cette valeur à partir des informations qui décrivaient le support à vélo et le motif décoratif de la roue.

AJ = 158,4 cm

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Je dois vérifier les 2 plans qu’une entreprise en aménagement paysager a faits selon ma demande.

Ma première tâche consiste à vérifier si les exigences suivantes sont respectées : - L’espace patio au complet ne doit pas prendre plus de la moitié de la

superficie totale de l’arrière-cour. - L’espace pour les arbustes doit couvrir au moins 10% de l’espace patio sans

toutefois dépasser 15% de cet espace.

Ma deuxième tâche consiste à planifier l’achat de dalles pour l’espace patio au coût le moins élevé.

Je dois calculer des surfaces à partir de 2 plans.

Pour effectuer les calculs des surfaces, je devrai utiliser les formules d’aire associées à la forme des surfaces à calculer.

2. Planification Tâche 1

Je calcule la superficie totale de l’arrière-cour à l’aide de la formule suivante :

Je calcule la superficie de l’espace patio complet pour les 2 plans. Il est possible que je doive décomposer l’espace en plusieurs formes de base afin de calculer la surface de chacune d’elle pour ensuite les additionner toutes ensemble.

Je calcule le % qu’occupe l’espace patio par rapport à la superficie de l’arrière-cour.

Je calcule l’espace occupé par les arbustes. J’utilise les formules d’aire des formes de base. Au besoin, je décompose l’espace en plusieurs formes de base.

Je calcule le % qu’occupent les espaces pour arbustes par rapport à la superficie du patio complet.

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Tâche 2

Je dois calculer la surface couverte en par chaque modèle de dalle.

Je transforme d’abord en cm les mesures données en pouces à l’aide de la relation suivante: .

Je converti ensuite les cm en m pour finalement arriver à calculer la surface en .

Pour trouver le nombre de dalles de chaque modèle requis par chaque plan, je dois diviser la superficie à couvrir (air espace patio – aire espace pour arbustes) en m² par la superficie d’une dalle en m².

Je calcule finalement le coût de l’achat des dalles de chaque modèle pour chaque plan en multipliant le nombre de dalle requis par le prix unitaire d’une dalle.

3. Activation Tâche 1 Aire de l’arrière-cour = 9m × 10m = 90m² Plan 1 :

A1

A2

6,5 m

6,5 m – 1 m = 5,5 m

6 m

1 m

2 m

2,5 m

80 cm

80 cm

1,5 m 2,5 m A3

A4

A5 6,5 m – 1 m – 3,5 m – 0,8 m = 1,2 m

3,5 m

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Calcul de l’aire de l’espace patio :

Aire espace patio = A1 + A2 Aire espace patio = 2 m² + 33 m² = 35 m²

Calcul de l’aire de l’espace arbustes :

Avec Pythagore on trouve la base du triangle :

Aire espace arbustes = A3 + A4 + A5 = 1,5 + 0,96 + 2 = 4,46

Plan 2 :

A1

A2

7 m + 1 m = 8 m

1 m

7 m

3,5 m

2 m

3,5 m + 2 m = 5,5 m

A3 A4 30 cm

3 m 2 m

5,2 m - 3 m = 2,2 m

5,2 m

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Calcul de l’aire de l’espace patio :

Aire espace patio = A1 – A2 Aire espace patio = 44 m² - 3,5 m² = 40,5m²

Calcul de l’aire de l’espace arbustes :

Aire espace arbustes = A3 + A4 = 2,53 + 0,9 = 3,43

Le plan 1 et le plan 2 respectent tous les deux la consigne pour la surface de l’espace patio par rapport à surface de la cour. En ce qui concerne la consigne pour la surface de l’espace arbustes par rapport à l’espace patio, seulement le plan 1 la respecte. Il faut donc rejeter le plan 2.

Donc plan 1 accepté et plan 2 refusé. Tâche 2 On effectue les calculs seulement pour le plan 1 puisque le plan 2 ne respecte pas les exigences demandées. Calcul de la superficie à couvrir pour le plan 1 : superficie à couvrir = aire espace patio – aire espace pour arbustes superficie à couvrir = 35 - 4,46 = 30,54

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Dalle 1

0,4064 m × 0,4064 m = 0,1652 m²

Dalle 2

0,5334 m × 0,381 m = 0,2032 m²

4. Réflexion Seulement le plan 1 respecte les exigences demandées. Il faut donc choisir ce plan et rejeter le plan 2. Le modèle de dalle le moins cher est la dalle 2. Il faut acheter 151 dalles de ce modèle pour recouvrir l’espace patio du plan 1. Les couts d’achat seront de 1 123,44 $.

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