Exemple de dimensionnement parasismique d_un btiment selon les normes sia 260_ 261 et 262

s i a Société Suisse des

Ingénieurs et Architectes Section Valais

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes Ecole d'ingénieurs du Valais, Sion octobre 2003

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment selon les normes sia 260, 261 et 262 éd. 2003 Version définitive, revue et corrigée

Roberto Peruzzi, ing. civil dipl. EPFL/SIA Kurmann et Cretton SA, Monthey

Xavier Mittaz, ing. civil dipl. EPFZ/SIA SD Ingéniérie SA, Sion

Dr Pierino Lestuzzi, ENAC-IS-IMAC, EPFL Vincent Pellissier, ENAC-IS-BETON, EPFL

Sous le patronage de : ! Etat du Valais, Service des routes et des cours d’eaux, Sion ! Office fédéral des eaux et de la géologie, Centrale de

coordination pour la mitigation des séismes, Bienne

Cours de formation continue pour ingénieurs et architectes, Sion 2003

1

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment Roberto Peruzzi, ing. civil dipl. EPFL/SIA, Kurmann et Cretton SA, Monthey Xavier Mittaz, ing. civil dipl. EPFZ/SIA, SD Ingéniérie SA, Sion Pierino Lestuzzi, ENAC-IS-IMAC, EPFL Vincent Pellissier, ENAC-IS-BETON, EPFL L’exemple d’application concerne le dimensionnement du bâtiment de sept étages décrit dans le document SIA D 0171 [14] selon le concept du comportement ductile des normes SIA 261 et 262. Une vue longitudinale et une coupe transversale de ce bâtiment sont présentées dans la figure ci-dessous.

DE

6.20m

6.20m

6.40m

6.40m

6.40m

6.40m

6.40m

6.20m

6.20m

5.30m

5.30m

C

5.00m

A11

Wu1

5.30m

5.30m

5.30m

5.30m

C

5.00m

A11

Wu1

5.30m

5.30m

Exemple de dimensionnement parasismique d’un bâtiment

2

1. Données et bases de calcul Caractéristiques du projet Références SIA 261 (2003) Valais, zone 3b : agd = 1.6 m/s2 art.16.2.1.2 Classe d'ouvrage COII : γf = 1.2 art. 16.3.2 tableau 26 Classe de sol de : S = 1.15 art. 16.2.2.4 tableau 25 fondation C TB = 0.2 s. " " " TC = 0.6 s. " " " TD = 2.0 s. " " " Vue en plan, position et dimensions des refends prévus pour reprendre les forces sismiques horizontales

Dimensions des refends et moments d’inertie Refends sens y : transversal Refends sens x : longitudinal A : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 D : 6.4 x 0.3 m ⇒ Iy = 6.55 m4 B : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 E : 6.2 x 0.3 m ⇒ Iy = 5.96 m4 C : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 F : 7.0 x 0.3 m ⇒ Iy = 8.58 m4 C': 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 G : 6.6 x 0.3 m ⇒ Iy = 7.19 m4 ∑Ix =14.89 m4 ∑Iy =28.27 m4 Répartition des masses par étage La méthode de calcul des masses par étage ainsi que le calcul des efforts normaux dans les refends sont décrits de manière détaillée dans l'annexe A1 du document D 0171 [14]. En remplaçant dans les calculs les coefficients de pondération ψacc de la norme SIA 160 par les coefficients ψ2 de la norme SIA 260 ainsi que la nouvelle valeur de la surcharge pour les balcons (SIA 261), on obtient de nouvelles valeurs plus favorables.

qr kN/m2 ψacc qk kN/m2 ψ2

Garage 2.0 0.3 2.0 0.6 ψ2 = 0.6 au lieu de 0.3Locaux de vente et couloirs 5.0 1.0 5.0 0.6 ψ2 = 0.6 au lieu de 1.0Bureaux 3.0 0.3 3.0 0.3 pas de changementLocaux d'habitation 2.0 0.3 2.0 0.3 pas de changementBalcons 4.0 0.3 3.0 0.3 qk = 3.0 kN/m2 au lieu de 4.0 kN/m2

SIA 160 SIA 260/261

Facteurs à appliquer sur les charges utiles pour le calcul des masses par étages et le calcul des forces verticales dans les refends.


3

La norme SIA 160 définit le niveau d’encastrement au 1er sous-sol, c’est pourquoi la masse du rez est prise en considération. La norme SIA 261 ne donne pas de spécification au sujet de la position du niveau d’encastrement. Celui-ci doit être évalué par l’ingénieur pour chaque cas. Ici le bâtiment comporte deux niveaux de sous-sol formant un caisson rigide, le niveau d’encastrement est donc admis au rez, c’est pourquoi la masse du rez n’est pas prise en compte.

Effort normal par étage pour les refends les plus sollicités Le calcul détaillé n’est donné ici que pour les refends les plus sollicités dans chaque direction soient les refends A et F. Les tableaux ci-dessous correspondent aux tabelles A1.3.4 et A1.3.6 de SIA D 0171 [14] avec les nouveaux coefficients ψ2.

Ndalles

Longueur refend lw [m]

5.3

TOITURE 32.1 4.0 128.4 13.13 69.6 198.0ATTIQUE 30.8 23.9 11.6 7.9 546.1 19.35 102.6 648.6 846.64ème ETAGE 54.6 11.6 633.4 19.35 102.6 735.9 1582.53ème ETAGE 54.6 11.6 633.4 19.35 102.6 735.9 2318.52ème ETAGE 54.6 11.6 633.4 19.35 102.6 735.9 3054.41er ETAGE 54.6 11.6 633.4 25.35 134.4 767.7 3822.1ENTRESOL 39.5 12.25 483.9 26.93 142.7 626.6 4448.7TOTAUX 3691.8 756.9 4448.7

q refend = hauteur d'étage · épaisseur refend · 25 kN/m 3

Descente effort

normal "N" [kN]

Surface plancher [m2]

Sp

Surface balcon [m2]

Sb

Plancher [kN/m2]

qp

Balcon [kN/m2]qb

Poids linéaire refend [kN/m']

qrefend

sp . qp + sb . qb

Masse refend par étage[kN]qrefend . Lw

+ Ndalles

poids propre refendpar étage

REFEND A / W12

Surface d'influence du refend [m2] Charges en kN/m2 Effort normal poids

propre refend Ng [kN]

effort normal dû aux dalles + masse refend

effort normal dûà l'appui des dalles

Longueur refend lw [m]

7TOITURE 0.0 13.13 91.9 91.9ATTIQUE 0.0 19.35 135.5 135.5 227.44ème ETAGE 15.0 11.6 174.0 19.35 135.5 309.5 536.83ème ETAGE 15.0 4.5 11.6 7.9 209.6 19.35 135.5 345.0 881.82ème ETAGE 15.0 4.5 11.6 7.9 209.6 19.35 135.5 345.0 1226.81er ETAGE 15.0 4.5 11.6 7.9 209.6 25.35 177.5 387.0 1613.8ENTRESOL 15.0 12.25 183.8 26.93 188.5 372.3 1986.1TOTAUX 986.4 999.7 1986.1

Effort normal poids propre refend Ng [kN] Masse

refend par étage[kN]

Descente effort

normal "N" [kN]

Surface plancher [m2]

Surface balcon [m2]

Plancher [kN/m2]

Balcon [kN/m2]Charge

linéaire refend [kN/m']

REFENDF / W4

Surface d'influence du refend [m2] Charges [kN/m2] Effort

normal dalles Np

[kN]

RezENTRESOL1er ETAGE 2ème ETAGE3ème ETAGE4ème ETAGEATTIQUE :TOITURE :

∑ 9'358 ∑ 7'672

303 303

1'211 1'210954 946

1'290 1'2881'290 1'288

1'510 1'3491'290 1'288

Masses en tonnes selon SIA 160

Masses en tonnes selon SIA 260/261

1'510 0


4

Caractéristiques mécaniques des matériaux Références SIA 262 (2003)

Béton C 30/37 : fcd = 20 N/mm2 art. 4.2.1.4 tableau 8 τcd = 1.1 N/mm2 " " " Ecm = kE · fcm 1/3 = 8000 · 3 38 = 27'000 N/mm2 art. 3.1.2.3.3 équation (10) fck = 30 N/mm2 art. 3.1.2 tableau 3 Acier B500B : classe de ductilité B, soit acier usuel en Suisse fsk = 500 N/mm2 art. 3.2.2.3 tableau 5 εuk ≥ 5 % " " " (ft/fs)k ≥ 1.08 " " " fsd = fsk/γs = 500/1.15 = 435 N/mm2 art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6 coefficient de comportement structural q = 3 art. 4.3.9.3.5 tableau 14 Acier B450C : classe de ductilité C 450 N/mm2 ≤ fsk ≤ 550 N/mm2 art. 3.2.2.3 tableau 5 εuk ≥ 7.5 % " " " 1.15 ≤ (ft/fs)k ≤ 1.35 " " " 390 N/mm2 ≤ fsd ≤ 478 N/mm2 art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6 coefficient de comportement structural q = 4 art. 4.3.9.3.5 tableau 14 2. Détermination de la fréquence fondamentale Pour un calcul dynamique, le bâtiment peut être modélisé d’une des trois manières suivantes (modèle de base, modèles simplifiés 1 et 2) :

Pour les modèles simplifiés 1 et 2, la masse de la toiture est ramenée au niveau de l'attique. Pour le modèle simplifié 2, les masses et les hauteurs d’étages sont constantes.


5

Calcul de la fréquence selon la norme SIA 261 Le calcul de la fréquence s'effectue à l'aide des modèles simplifiés de la figure ci-dessus. Période de vibration fondamentale T1 : Références SIA 261 (2003)

T1 = Ct · H 0.75 = 0.05 · 18.63 0.75 = 0.448 s. art. 16.5.2.3 équation (38) Fréquence fondamentale : f = 1/T1 = 2.23 Hz Détermination à l'aide du quotient de Rayleigh L’équation (39) de SIA 261 constitue un cas particulier du quotient de Rayleigh. Le calcul de la fréquence s'effectue ici selon la version générale du quotient de Rayleigh et à l'aide du modèle simplifié 2 de la figure ci-dessus, soit : - la masse de la toiture est ramenée au niveau de l'attique - les hauteurs d'étages et les masses sont constantes

f = 2

jj6

1j

jj6

1j

dmΣ

dFΣ

2π1

⋅

⋅⋅

=

=

Calcul des déformations fictives d'étage avec la matrice de flexibilité :

d = ∧f · F

∧f : matrice de flexibilité

F : vecteur des forces fictives d’étage d : vecteur des déformations fictives d’étage

j,if∧

= EI6

h3 · j2 (3i - j) i ≥j

6

5

4

3

2

1

dddddd

= EI6

h3

43232522413564173252501761085214224176128814011135108815428864524028165171411852

654321

= EI6

h3

5663434630701900925252

6

1=Σj

Fj · dj = 75'790 · EI6

h3 [ ]Nm

6

1j=Σ mj · dj2 = 1'278'000 ·

EI6h3

· 64'911'314 = 8.309 · 1013 23

EI6h

[kgm2]


6

h : hauteur d’étage constante soit 18.63/6 = 3.105 m E : module d’élasticité du béton, soit E = 27 · 109 N/m2 Iy : somme des moments d’inertie des refends dans le sens longitudinal x, ∑ Iy = 28.27 m4 Ix : somme des moments d’inertie des refends dans le sens transversal y, ∑ Ix = 14.89 m4 mj : masse d’étage constante, 7672 tonnes/6 étages = 1278 tonnes par étage Sens transversal Y

sans tenir compte de la perte de

rigidité due à la fissuration des refends

Sens longitudinal X sans tenir compte de la perte de

rigidité due à la fissuration des refends La fréquence propre sans réduction de la rigidité est donc de :

f = 2

jj6

1j

jj6

1j

dmΣ

dFΣ

2π1

⋅

⋅⋅

=

= ⇒

Si pour tenir compte de la fissuration des refends, on réduit la rigidité à une valeur correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée, on obtient les valeurs suivantes : fx = 1.03 Hz fy = 0.74 Hz

Tx = 0.97 s. Ty = 1.34 s. Calcul de la fréquence à l’aide du logiciel Statik 3 Le calcul de la fréquence s'effectue à l'aide du modèle de base de la figure ci-dessus, soit : - sans ramener la masse de la toiture au niveau de l'attique - avec les hauteurs d'étages d'origine

Etat non fissuré : 100 % de EI fx = 1.78 Hz fy = 1.26 Hz

Tx = 0.56 s. Ty = 0.79 s.

Rigidité réduite à 30 % : fx = 1.03 Hz fy = 0.73 Hz

Tx = 0.97 s. Ty = 1.37 s.

Remarque : Les résultats des calculs de la fréquence dans les deux sens x et y obtenus avec le logiciel Statik 3 donnent des valeurs pratiquement égales à celles obtenues avec le quotient de Rayleigh pour une rigidité réduite à 30 %. Le modèle simplifié 2 (masses et hauteurs constantes) selon la figure représente donc le comportement dynamique du modèle de base pour le mode fondamental de manière satisfaisante.

fx = 1.88 Hz fy = 1.36 HzTx = 0.53 s. Ty = 0.74 s.

[ ]N/m1024.189.1410276

105.3EI6h 11

9

3

x

3−⋅=

⋅⋅⋅=

[ ]N/m1054.627.2810276

105.3EI6h 12

9

3

y

3−⋅=

⋅⋅⋅=


7

Calcul des valeurs spectrales de dimensionnement Sd SIA 261 (même fréquence pour x et y): Références SIA 261 (2003)

T1 = 0.45 s ⇒ spectre de dimensionnement Sd = 2.5 · γf · g

agd · qS

= 0.184 = Sdmax équation (31)

maxd 184.03

1.15101.62.12.5S dS==⋅⋅⋅=

Rayleigh non fissuré, rigidité à 100 % :

Sens x : Tx = 0.53 s. ⇒ Sd = Sdmax = 0.184 équation (31)

Sens y : Ty = 0.74 s. ⇒ 0.149TTS

qTTS

ga

γ2.5S cdmax

cgdf d =⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅= équation (32)

Rayleigh avec rigidité réduite à 30 % :

Sens x : Tx = 0.97 s. ⇒ Sd = Sdmax · TTc = 0.114 équation (32)

Sens x : Ty = 1.34 s. ⇒ Sd = Sdmax · TTc = 0.082 équation (32)

Récapitulation et comparaison des résultats

sens x sens y sens x sens y sens x sens y sens x sens y sens x sens y

période fond. T 0.45 s 0.45 s 0.53 s. 0.74 s. 0.97 s. 1.34 s. 0.56 s. 0.79 s. 0.97 s. 1.37 s.

fréquence fond. f 2.23 Hz 2.23 Hz 1.88 Hz 1.36 Hz 1.03 Hz 0.74 Hz 1.78 Hz 1.26 Hz 1.03 Hz 0.73 Hz

spectre de réponse élastique Se 4.60 4.60 4.60 3.73 2.85 2.06 4.60 3.49 2.85 2.01spectre de dimensionnement Sd 0.184 0.184 0.184 0.149 0.114 0.082 0.184 0.140 0.114 0.081

Statik 330 % EISIA 261

Rayleigh100 % de EI

Rayleigh30 % de EI

Statik 3100 % EI

Spectre de réponse élastique Se Spectre de dimensionnement Sd


8

Analyse des résultats L’équation (38) de la norme SIA 261 est une formule forfaitaire conservatrice qui ne donne qu’une idée grossière du comportement dynamique réel. Son utilisation ne devrait être réservée qu’à des phases d’avant-projet. Le quotient de Rayleigh, lui, tient compte des caractéristiques propres du bâtiment en particulier en distinguant le sens transversal du sens longitudinal. En revanche, l'effet des éléments non-porteurs n'y est pas considéré, et il n'est pas étonnant que les fréquences correspondantes soient plus basses. L'estimation de la fréquence fondamentale doit tenir compte des éléments non-porteurs et de la réduction de rigidité due à la fissuration. Tâche délicate dévolue à l'ingénieur qui peut moduler la rigidité en modifiant le coefficient EI. D'une manière générale, l'importance de la réduction dépend de l'amplitude des déformations et du niveau de l'effort normal. Avec une rigidité effective correspondant à 100 % de la rigidité non fissurée, on obtient une force horizontale de remplacement plus élevée qui conduit à la nécessité d'augmenter l'armature des refends, voire leurs dimensions. Dans ce cas, les déformations dues au séisme seront peu élevées (fréquence plus élevée). Avec une rigidité effective correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée, la force horizontale de remplacement est réduite de 40 % dans le sens longitudinal et de 45 % dans le sens transversal. Ce choix s'accompagne de déformations plus élevées (fréquence plus basse) et donc de dégâts potentiellement plus importants, particulièrement pour les éléments non-porteurs. Pour la suite de l'exemple et le calcul des forces horizontales de remplacement, les valeurs admises pour Tx et Ty sont celles obtenues avec une rigidité effective correspondant à 30 % de la rigidité non fissurée.

3. Détermination des forces de remplacement Références SIA 261 (2003) La méthode des forces de remplacement peut être appliquée, les critères de régularité en plan et en élévation étant remplis car ils ont été expressément considérés lors de la conception (voir SIA D 0171 [14]). art. 16.5.2.1 Calcul de la force horizontale de remplacement La force horizontale de remplacement due à l'action sismique est définie par :

Fd = Sd (T1) ·

jΣ (Gk + 2ΣΨ x Qk)j art. 16.5.2.4 équation (40)

Sd (T1) est la valeur spectrale du spectre de dimensionnement calculée ci-dessus.

dans le sens x : Sdx = 0.114 dans le sens y : Sdy = 0.082

jΣ (Gk + 2ΣΨ x Qk)j = 76'720 kN

Ce qui donne les résultats suivants : Fdx = 0.114 · 76'720 = 8'727 kN Fdy = 0.083 · 76'720 = 6'333 kN


9

Répartition de la force horizontale de remplacement dans les étages La force horizontale de remplacement doit être répartie sur la hauteur du bâtiment selon :

Fdi = ( )( )jQGZj

iQGZk2kj

k2kiΣΨ+ΣΣΨ+⋅ · Fd

Tableau de la répartition des forces horizontales à chaque étage :

Etage Zi (m) (Gk + 2ΣΨ · Qk)i [ ]kN

Fdi, x [ ]kN Fdi, y [ ]kN

6 attique 18.63 12'490 2'331 1'691 5 4ème étage 15.83 12'100 1'919 1'392 4 3ème étage 13.03 12'880 1'681 1'220 3 2ème étage 10.23 12'880 1'320 958 2 1er étage 7.43 12'880 959 696 1 Entresol 3.84 13'490 519 377

∑ 68.99 ∑ 76'720 ∑ 8'727 ∑ 6'333

répartition de la force horizontale de remplacement sur la hauteur du bâtiment dans le sens x

répartition de la force horizontale de remplacement sur la hauteur du bâtiment dans le sens y

4. Répartition des forces de remplacement dans les refends Les forces horizontales de remplacement doivent être réparties dans les 8 refends, principalement au prorata des rigidités mais en tenant compte de la torsion. Le calcul détaillé se trouve en annexe. Les tableaux ci-dessous résument la participation de chaque refend en tenant compte de la torsion :

art. 16.5.2.5 équation (41)


10

Répartition des forces horizontales sismiques dans chaque refend dans le sens x :

refend A refend B refend C refend C' refend D refend E refend F refend G SENS X S' + S'' Σ = Σ = Σ = Σ =

hi 0.016 0.006 0.012 0.010 0.242 0.220 0.314 0.259 1.08 Rez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN

Entresol 3.84 9 3 6 5 126 114 163 134 519 kN 1er

étage 7.43 16 5 12 10 232 211 301 248 959 kN 2e

étage 10.23 22 7 16 13 320 291 414 342 1320 kN 3e

étage 13.03 28 9 20 17 408 371 527 435 1681 kN 4e

étage 15.83 31 11 23 19 465 423 602 497 1919 kN

Attique 18.63 38 13 28 23 565 514 731 603 2331 kN Toiture 22.13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN Vd max kN 143 49 105 87 2116 1924 2737 2259 8727 kN Nd max kN 4449 4773 3543.9 3543.9 2547.0 2276.9 1986.1 2485.0 25605 kN

Md max kNm 1939 668 1429 1179 28689 26083 37099 30625 94479 kNm

Répartition des forces horizontales sismiques dans chaque refend dans le sens y :

refend A refend B refend C refend C' refend D refend E refend F refend G SENS Y S' + S'' Σ = Σ = Σ = Σ = hi 0.303 0.268 0.280 0.275 0.035 0.031 0.046 0.021 1.26

Rez 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN Entresol 3.84 114 101 106 104 13 12 17 8 376.504 kN

1er étage 7.43 211 187 195 191 24 22 32 14 695.555 kN

2e étage 10.23 290 257 269 263 33 30 44 20 957.675 kN

3e étage 13.03 370 327 342 336 42 38 56 25 1219.8 kN

4e étage 15.83 422 373 390 383 48 44 63 29 1392.17 kN

Attique 18.63 513 454 474 465 59 53 77 35 1691.23 kN Toiture 22.13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 kN Vd max kN 1919 1699 1776 1742 219 199 289 130 6333 kN Nd max kN 4449 4773 3543.9 3543.9 2547.0 2276.9 1986.1 2485.0 25605 kN

Md max kNm 26016 23031 24074 23617 2974 2704 3911 1766 57281 kNm

Sollicitations à chaque étage des refends les plus sollicités

refend A refend F

H [m] ∆hi [m] Md [kNm]

Vd [kNm]

Nd [kNm] Md

[kNm] Vd

[kNm] Nd

[kNm] Attique 18.63 0 513 847 0 731 227

4e étage 15.83 2.8 1435 513 847 2046 731 227

3e étage 13.03 2.8 4051 934 1583 5777 1332 537

2e étage 10.23 2.8 7703 1304 2318 10984 1860 882

1er étage 7.43 2.8 12167 1594 3054 17349 2273 1227

Entresol 3.84 3.59 18647 1805 3822 26590 2574 1614

Rez 0 3.84 26016 1919 4449 37099 2737 1986

Σ =Σ =Σ =Σ = 18.63


11

5. Dimensionnement pour un comportement ductile du refend le plus sollicité dans le sens longitudinal : le refend F

Diagrammes des valeurs de calcul des efforts internes:

[ ]kNmMd [ ]kNVd [ ]kNNd

La section déterminante est située au rez-de-chaussée: Md = 37’100 kNm Références SIA 262 (2003) Vd = 2’737 kN Nd = 1'986 kN Caractéristiques mécaniques des matériaux : BC30/37 ⇒ fck = 30 N/mm2 ; fcd = 20 N/mm2 ; εc1d = 2.0‰ ; εc2d = 3.0‰ tableaux 3 et 8

Acier B500B ⇒ fsd = s

skfγ

= 15.1

500 = 435 N/mm2 art. 2.3.2.5 et 2.3.2.6

Le dimensionnement en capacité s’effectue selon les 10 points. N.B. :toutes les définitions des termes utilisés ci-dessous, dans les formules, sont données à l'art. 1.2 de la norme SIA 262 : notations Contrôle préliminaire : Contrôle de l'élancement du refend : hw/lw = 18.63/7 = 2.66 ≥ 2 : ok art. 4.3.9.4.1

Point 1 : choix du mécanisme plastique et de la hauteur de la rotule plastique.

Hauteur de la zone plastique au pied du refend: hpl ≥ (lw, hw/6) art. 5.7.1.1 • lw = 7 m; hw/6 = 18.63/6 = 3.1 m ⇒ hpl = 7 m • réduction de hpl si :

hs>= hw/9 ⇒ hs = 3.84 m > 18.63/9= 2.07 m : ok hs >= 2 lw/3 ⇒ hs = 3.84 m < 2 · 7.0/3 = 4.67 m : pas ok

• hpl ne peut pas être réduite à hs art. 5.7.1.1 Pour simplifier l’exécution du refend, il est judicieux de prolonger les mesures constructives de la rotule plastique jusqu’au deuxième étage. Point 2 : dimensionnement à la flexion de la rotule plastique figure 11 Choix : 12 Ø30 aux extrémités et 70 Ø12 e = 15 cm comme répartition :

• ρw= 0.5 % ≥ ρw,min = 0.2 % : ok art. 5.7.1.3 • Ø 30 ≤ Ø max = bw/10 = 300/10 = 30 : ok SIA D 0171, p. 166 • ρe= 3.3 % ≤ ρe,max = 4.0 % : ok SIA D 0171, p. 146 • ρw= 0.5 % ≤ ρw,max = 0.5 % : ok SIA D 0171, p. 146 • ρt= 1.18 % ~ ρt,max = 1.0 % : ok SIA D 0171, p. 146


12

déformation de la section :

forces :

Tractions :

• T1 = 12 · As (Ø30) . fsd = 12 · 707 . 435 . 10-3 = 3’691 kN • T2 = 4.30 . 2 · As (Ø12/e = 15) . fsd = 4.30 . 2 . 754 . 435 . 10-3 = 2’821 kN

Compressions :

• Cb = -0.85 . x . bw . fcd = -0.85 · 1060 . 300 . 20 . 10-3 = - 5’406 kN • Ca = -10 · As (Ø30) · fsd = -10 . 707 . 435 . 10-3 = - 3’075 kN

∑ = -1'969 kN ≅ Nd = -1'986 kN: ok

Moment résistant :

MRd = 3’691 . 3.075 + 2'821 . 0.50 + 5’406 . 3.05 + 3’075 . 3.15 = 38’935 kNm > Md = 37’100 kN: ok


13

Moment résistant maximal (calculé avec 1.1·fsk = 550 N/mm2 et fck = 30 N/mm2) : art. 4.3.9.3.3 Tractions :

• T1 = 12 . As (Ø30) . fsd = 12 . 707 . 550 . 10-3 = 4’666 kN • T2 = 4.60 . 2 · As (Ø12/e = 15) . fsd = 4.60 . 2 . 754 . 550 . 10-3 = 3’815 kN

Compressions :

• Cb = -0.85 . x . bw . fck = -0.85 . 860 . 300 . 30 . 103 = - 6’579 kN • Ca = -10 · As (Ø30) . fsd = -10 . 707 . 550 . 10-3 = - 3’889 kN

∑= -1'987 kN ≅ Nd = -1'986 kN: ok M+Rd = 4’666 . 3.075 + 3’815 . 0.35 + 6'579 . 3.13 + 3’889 . 3.15 = 48’526 kNm Point 3 : stabilité latérale de la rotule plastique.

• bw = 300 mm ≥ hs/15 = 3840/15 = 256 mm: ok art. 5.7.1.2

Point 4 : garantie de la ductilité en courbure de la rotule plastique.

La ductilité de la rotule plastique est considérée comme assurée si les dispositions suivantes sont respectées : art. 4.3.9.3.3

• bw = 300 mm ≥ 200 mm: ok art. 5.7.1.2

• lc = 850 mm ≥ 300 mm: ok art. 5.7.1.2

• lc = 850 mm ≥ lw/10 = 7000/10 = 700 mm: ok art. 5.7.1.2

• lc = 850 mm ≥ x(ε>εc1d) = 353 mm: ok art. 5.7.1.2

Il est intéressant de comparer avec la condition x < 0.2·lw. [2] p. 228

• x = 1.06 m < 0.2·lw = 0.2·7 m = 1.40 : ok Point 5 : stabilisation de l’armature longitudinale de la rotule

plastique.

• Les éléments de bord doivent toujours être pourvus d’une armature de frettage art. 5.7.1.2

• Choix pour l’armature de frettage des éléments de bord : Ø10 e = 150 mm: a) Sw ≤ 150 mm : ok art. 5.7.2.2 b) Sw ≤ 6Øsl = 180 mm : ok art. 5.7.2.2 c) Øw ≥ 0.35·Øsl,max = 10.5 mm : ~ok art. 5.7.2.2 d) ωc,min = 0.25·(Ac/Acc)·[(-Nd/Ac . fcd) - 0.08] équation (94) = 0.25·(0.85·0.3/0.77·0.3)·[(1986·103/(7000·300·20)) - 0.08] = 0.25·(1.104)·[(0.047) - 0.08] = -0.009 < 0.08 ⇒ ωc,min = 0.08 ici la contrainte de compression normalisée du béton (-Nd/Ac . fcd) = 4.7 % en général pour les refends, cette valeur est comprise entre 3 % et 12 % ωc,min = 0.08 est donc pratiquement toujours déterminant

Asw,min = 0.08·Ac·fcd/fsd = 0.08·300·150·20/435 = 166 mm2 Asw = 156 mm2 ≅ Asw,min: ok


14

• Entre les éléments de bord, l’armature verticale ne nécessite pas de frettage. Les dispositions suivantes doivent être respectées :

e) bw0 = 300 mm ≥ 150 mm : ok art. 5.7.1.3 f) bw0 = 300 mm ≥ lw/25 = 7000/25 = 280 mm : ok art. 5.7.1.3 g) bw0 = 300 mm ≥ hs/20 = 3840/20 = 192 mm : ok art. 5.7.1.3 h) ρw= 0.5% ≥ ρw,min = 0.2% : ok art. 5.7.1.3 i) ρsw,min = 0.2% = 0.002·300·150 = 90 mm2 art. 5.7.1.3 j) evert/trans = 150 mm ≤ emin = 250 mm : ok art. 5.7.1.3 k) evert/trans = 150mm ≤ 25Ø = 300 mm : ok art. 5.7.1.3

Point 6 : dimensionnement à l’effort tranchant de la rotule

plastique. Facteur de majoration (surrésistance) du moment de flexion résultant des charges de remplacement: εεεε = M+Rd/Md = 48’526 / 38’935 = 1.25 équation (80) Facteur de majoration dynamique dû aux modes propres d’ordre supérieur: κκκκ = 1.5 pour n > 5 (n=nombre d’étages) équation (81) Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré: du rez (encastrement) à l’entresol : V+d = ε·κ·Vd = 1.25·1.50·2’737 = 5’132 kN équation (79) Dimensionnement de l’armature transversale : Choix Ø 14 etrans =150 mm (Asw = 2·154 = 308 mm2 > ρsw,min = 90 mm2) point 5-i Armature transversale dans la rotule plastique:

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 40° art. 4.3.3.3.2 Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 308/150 ·0.8 ·7.0 ·435 ·cot40° = 5’961 kN > V+d = 5'132 kN: ok art. 4.3.3.4.3


15

Contrôle des bielles de compression : kc = 0.4 art. 4.2.1.7 figure 12 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = art. 4.3.3.4.5 = 300·0.8·7.0·0.4·20·sin40·cos40 = 6’618 kN > Vd+ = 5'132 kN : ok Point 7 : dimensionnement à la flexion de la partie élastique. Dimensionnement conventionnel en tenant compte des valeurs de calcul des moments de flexion selon l’enveloppe ci-dessous :

Point 8 : dimensionnement à l’effort tranchant de la partie

élastique. Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré juste au-dessus de la rotule (surrésistance et modes supérieurs): V+d = ε·κ·Vd = 1.25·1.50·2’273 = 4’262 kN équation (79)

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 30° art. 4.3.3.3.2 Armature minimale en choisissant un écartement des étriers s = 150 mm:

minρ = 0.2 % ⇒ Asw,min = 0.2 % · 150 · 300 = 90 mm2 art. 5.5.2.2 Choix: ø10, s = 150 mm ⇒ Asw = 2·78 = 156 mm2 > Asw,min : ok Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 156/150 ·0.8 ·7.0 ·435 ·cot30° = 4’388 kN > V+d = 4'262 kN: ok art. 4.3.3.4.3

Contrôle des bielles de compression : kc = 0.6 art. 4.2.1.7 figure 12 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = art. 4.3.3.4.5 = 300·0.8·7.0·0.6·20·sin30°·cos30° = 8’729 kN >> Vd+ = 4'262 kN : ok

Point 9 : stabilisation de l’armature longitudinale de la partie

élastique. La norme SIA 262 ne donne pas de spécifications particulières concernant la stabilisation de l’armature longitudinale de la partie élastique. Dans ce cas, les dispositions relatives aux pièces comprimées s’appliquent. En particulier, une barre sur deux doit être assurée contre le flambage. art. 5.5.4 et 5.5.4.6


16

Etant donné que le principe de base du dimensionnement en capacité consiste à garantir le maintien de cette partie du refend dans l’état élastique, seules les barres d’angle doivent être formellement stabilisées. On peut cependant recommander d’adopter les règles de stabilisation pour les prolongements (zones de forte armature) des éléments de bord de la rotule plastique. du 2ème au 4ème étage Pour les 10 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 5e rangée intérieure, ainsi qu’un crochet en S pour la 3e rangée intérieure.

Espacements maximaux :

a) s = 150 mm < 15 Ø min = 450 mm : ok art. 5.5.4.7 b) s = 150 mm < amin = 300 mm : ok art. 5.5.4.7 c) s = 150 mm < 300 mm : ok art. 5.5.4.7

Compte tenu des équations a), b) et c) ci-dessus, l'espacement maximal des barres de stabilisation pourrait être de 300 mm. Pour des raisons constructives, le choix de l'espacement de 150 mm est conservé.

du 4ème étage à l'attique Pour les 6 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 3e rangée intérieure. Point 10 : contrôle des fondations. Pour le contrôle des fondations, il faut tenir compte des valeurs de calcul majorées (surrésistance et modes propres d’ordre supérieur) M+

Rd et V+d

pour garantir qu’elles ne subiront pas de plastification lors des sollicitations sismiques.


17

Remarques: A. Evaluation de la quantité d'acier d'armature Pour le refend F décrit ci-dessus, on obtient une densité d'armature de 120 kg/m3 de béton. Cette densité comprend toutes les armatures : armatures verticales + horizontales + étriers et barres de stabilisation. Cette valeur n'est pas excessive car la densité usuelle pour des refends est de 65 à 80 kg/m3. Le "surcoût" lié à un dimensionnement selon un comportement ductile du bâtiment est par conséquent faible. B. q = 2 au lieu de q = 3 Dans notre exemple, nous avons choisi d'effectuer un dimensionnement parasismique du bâtiment pour un comportement ductile. Si l'on décide, pour ce même bâtiment, de reprendre les efforts sismiques avec des refends dimensionnés selon un comportement non ductile, il faut faire face aux conséquences suivantes : Références SIA 262 (2003) 1. Le coefficient de comportement "q" passe de la valeur 3 (comportement ductile, classe d'acier B) à la valeur 2 (comportement non ductile, classe d'acier B) art. 4.3.9.2.2 tab. 13

2. La réduction de la rigidité des refends à 30 % ne peut plus être justifiée par de grandes déformations plastiques et doit donc être limitée à 50 % de la rigidité effective non fissurée, ce qui provoque une diminution de la valeur de la période de vibration.

3. Ces modifications de "q" et de la période de vibration provoquent une augmentation de 93 % de la valeur spectrale du spectre de dimensionnement Sd et donc de la force horizontale de remplacement Fd.

q = 2 et 50 % de EI

q = 3 et 30 % de EI

Sdx = 0.220 0.114 Sdy = 0.160 0.083 Fdx = 16’901 kN 8'727 kN Fdy = 12’264 kN 6'333 kN

Les efforts dans les refends sont donc également augmentés de 93 %. Pour le refend F, les valeurs de calcul deviennent : Md= 71’603 kN Vd = 5’282 kN Nd= 1'986 kN

Avec ces valeurs et, en gardant les mêmes dimensions du refend, soit 7 m x 0.3 m, on obtient les armatures suivantes :

armatures nécessaires dans les éléments de bords 24 Ø 34 au lieu de 12 Ø 30 !! armatures nécessaires entre les éléments de bord Ø 22 e = 15 cm

au lieu de Ø 12 e = 15 cm Avec de telles armatures, les pourcentages d'armature maximaux sont très largement dépassés, sans compter les difficultés de mise en œuvre de refends aussi fortement armés ! Il serait alors nécessaire d'augmenter le nombre et la dimension des refends. Dans les régions à risque sismique comme celui du Valais (Zones Z3a et Z3b), il n'est par conséquent pas recommandé, pour ne pas dire déraisonnable de projeter des bâtiments dont les structures porteuses sont dimensionnées selon un comportement non ductile !

C. q = 4 au lieu de q = 3 A l'inverse de la remarque B ci-dessus, il est possible de réduire les efforts de dimensionnement des refends en réduisant la force horizontale de remplacement Fd. Dans ce cas, il faut procéder à un dimensionnement selon un comportement ductile mais en choisissant une classe d'acier C définie dans le tableau 14 de la norme SIA 262. art. 4.3.9.3.5


18

Cette classe d'acier doit satisfaire aux conditions du tableau 5. art. 3.2.2.3 La modification de la valeur q = 4 provoque une diminution de 26 % de la valeur du spectre de dimensionnement Sd et de la force horizontale de remplacement Fd.

q = 4 et 30 % de EI

q = 3 et 30 % de EI

Sdx = 0.085 0.114 Sdy = 0.062 0.083 Fdx = 6'546 kN 8'727 kN Fdy = 4'750 kN 6'333 kN

Les efforts dans les refends sont par conséquent également réduits de 26 %. Pour le refend F, les valeurs de calcul deviennent : Md= 27’662 kN Vd = 2’041 kN Nd= 1'986 kN

Avec ces valeurs et, en gardant les mêmes dimensions du refend, soit 7 m x 0.3 m, on obtient les armatures suivantes :

armatures nécessaires dans les éléments de bord 10 Ø 26 au lieu de 12 Ø 30 !! armatures nécessaires entre les éléments de bord Ø 10 e = 15 cm au lieu de Ø 12 e = 15 cm

La réduction des efforts permet une réduction intéressante de l’armature, puisque la densité d'armature passe dans ce cas de 120 kg/m3 à 95 kg/m3 de béton. (Réduction des diamètres et de l’armature verticale et réduction des diamètres des armatures horizontales d’effort tranchant) D. Aptitude au service La vérification de l’aptitude au service de doit pas être effectuée car elle ne concerne que les ouvrages de la COIII selon la norme SIA 261. art. 16.1.5 E. Mesures relatives à la conception et mesures constructives Les mesures constructives énumérées dans le tableau 27 la norme SIA 261 ont été respectées lors de la conception (voir SIA D 0171). art. 16.4.1


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6. Dimensionnement pour un comportement ductile du refend le plus sollicité dans le sens transversal : le refend A

Diagrammes des valeurs de calcul des efforts internes:

[ ]kNmMd [ ]kNVd [ ]kNNd

La section déterminante est située au rez-de-chaussée: Md = 26’016 kNm Références SIA 262 (2003) Vd = 1’919 kN Nd = 4’449 kN Caractéristiques mécaniques des matériaux (idem § 7.4) Le dimensionnement en capacité s’effectue selon les 10 points. Contrôle préliminaire : Contrôle de l'élancement du refend : hw/lw = 18.63/5.3 = 3.52 ≥ 2 : ok art. 4.3.9.4.1 Point 1 : choix du mécanisme plastique et de la hauteur de la

rotule plastique.

Hauteur de la zone plastique au pied du refend: hpl ≥ (lw, hw/6) art. 5.7.1.1 • lw = 5.3 m; hw/6 = 18.63/6 = 3.1 m ⇒ hpl = 5.3 m • réduction de hpl si :

hs ≥ hw/9 ⇒ hs = 3.84 m > 18.63/9= 2.07 m : ok hs ≥ 2 lw/3 ⇒ hs = 3.84 m > 2 · 5.3/3 = 3.54 m : ok ⇒ hpl peut être réduite à hs, soit hpl = 3.84 m art. 5.7.1.1

Point 2 : dimensionnement à la flexion de la rotule plastique figure 11 Choix : 10 Ø30 aux extrémités et 52 Ø10 e = 15 cm comme répartition :

• ρw= 0.35 % ≥ ρw,min = 0.2 % : ok art. 5.7.1.3 • Ø30 ≤ Ø max = bw/10 = 300/10 = 30 : ok SIA D 0171, p. 166 • ρe= 3.4 % ≤ ρe,max = 4. 0% : ok SIA D 0171, p. 146 • ρw= 0.35 % ≤ ρw,max = 0.5 % : ok; ≥ ρw,min = 0.2% : ok SIA D 0171, p. 146 • ρt= 1.10 % ~ ρt,max = 1.0 % : ok SIA D 0171, p. 146


20

déformation de la section :

forces :

Tractions :

• T1 = 10 · As (Ø30) · fsd = 10 · 707 · 435 · 10-3 = 3'075 kN • T2 = 2.70 · 2 · As (Ø10/e = 15) ·fsd = 2.70 · 2 · 524 · 435 · 10-3 = 1’231 kN

Compressions :

• Cb = -0.85 · x · bw · fcd = -0.85 · 1110 · 300 · 20 · 10-3 = - 5’661 kN • Ca = -10 · As (Ø30) · fsd = -10 · 707 · 435 · 10-3 = - 3’075 kN

∑ = -4’430 kN ≅ Nd = -4’449 kN: ok

Moment résistant :

MRd = 3'075 · 2.30 + 1’231 · 0.60 + 5’661 · 2.18 + 3’075 · 2.30 = 27’225 kNm > Md = 26’016 kN: ok


21

Moment résistant maximal (calculé avec 1.1·fsk = 550 N/mm2 et fck = 30 N/mm2) : art. 4.3.9.3.3 Tractions :

• T1 = 10 · As (Ø30) · fsd = 10 · 707 · 550 · 10-3 = 3'889 kN • T2 = 3.10· 2 · As (Ø10/e = 15) · fsd = 3.10 · 2 · 524 · 550 · 10-3 = 1’787 kN

Compressions :

• Cb = -0.85 · x · bw · fck = -0.85 · 920 · 300 · 30 · 10-3 = - 7’038 kN • Ca = -8 · As (Ø30) . fsd = -8 · 707 · 550 · 10-3 = - 3'111 kN

∑= -4’473 kN ≅ Nd = -4’449 kN: ok M+Rd = 3'889 · 2.30 + 1’787 · 0.40 + 7’038· 2.26 + 3’111 · 2.45 = 33’187 kNm Point 3 : stabilité latérale de la rotule plastique.

• bw = 300 mm ≥ hs/15 = 3840/15 = 256 mm: ok art. 5.7.1.2

Point 4 : garantie de la ductilité en courbure de la rotule plastique.

La ductilité de la rotule plastique est considérée comme assurée si les dispositions suivantes sont respectées : art. 4.3.9.3.3

• bw = 300 mm ≥ 200 mm: ok art. 5.7.1.2 • lc = 700 mm ≥ 300 mm: ok art. 5.7.1.2 • lc = 700 mm ≥ lw/10 = 5300/10 = 530 mm: ok art. 5.7.1.2 • lc = 700 mm ≥ x(ε>εc1d) = 370 mm: ok art. 5.7.1.2

Il est intéressant de comparer avec la condition x < 0.2·lw. [2] p. 228

• x = 1.11 m ≅ 0.2·lw = 0.2·5.3 m = 1.06 m. : ~ok

Point 5 : stabilisation de l’armature verticale de la rotule

plastique.

• Les éléments de bord doivent toujours être pourvus d’une armature de frettage art. 5.7.1.2

• Choix pour l’armature de frettage des éléments de bord : Ø10 e = 150 mm: a) Sw ≤ 150 mm : ok art. 5.7.2.2 b) Sw ≤ 6Øsl = 180 mm : ok art. 5.7.2.2 c) Øw ≥ 0.35·Øsl,max = 10.5 mm : ~ok art. 5.7.2.2 d) ωc,min = 0.25·(Ac/Acc)·[(-Nd/Ac · fcd) - 0.08] équation (94) = 0.25·(0.7·0.3/0.62·0.3)·[(4449·103/(5300·300·20)) - 0.08]

= 0.25·(1.129)·[(0.140) - 0.08] = 0.017 < 0.08 ⇒ ωc,min = 0.08 cette contrainte de compression normalisée (-Nd/Ac · fcd) = 14 % est plutôt élevée car en général pour les refends, cette valeur est comprise entre 3 % et 12 % malgré tout ωc,min = 0.08 est largement toujours déterminant

Asw,min = 0.08·Ac·fcd/fsd = 0.08·300·150·20/435 = 166 mm2 Asw = 156 mm2 ≅ Asw,min: ok


22

• Entre les éléments de bord, l’armature verticale ne nécessite pas de frettage. Les dispositions suivantes doivent être respectées :

e) bw0 = 300 mm ≥ 150 mm : ok art. 5.7.1.3 f) bw0 = 300 mm ≥ lw/25 = 5300/25 = 212 mm : ok art. 5.7.1.3 g) bw0 = 300 mm ≥ hs/20 = 3840/20 = 192 mm : ok art. 5.7.1.3 h) ρw= 0.35% ≥ ρw,min = 0.2 % : ok art. 5.7.1.3 i) ρsw,min = 0.2% = 0.002·300·150 = 90 mm2 art. 5.7.1.3 j) evert/trans = 150 mm ≤ emin = 250mm : ok art. 5.7.1.3 k) evert/trans = 150 mm ≤ 25Ø = 250 mm : ok art. 5.7.1.3

Point 6 : dimensionnement à l’effort tranchant de la rotule

plastique. Facteur de majoration (surrésistance) du moment de flexion résultant des charges de remplacement: εεεε = M+Rd/Md = 33’187 / 27’225 = 1.22 équation (80) Facteur de majoration dynamique dû aux modes propres d’ordre supérieur: κκκκ = 1.5 pour n > 5 (n=nombre d’étages) équation (81) Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré: V+d = ε·κ·Vd = 1.22·1.50·1’919 = 3’512 kN équation (79) Dimensionnement de l’armature transversale : Choix Ø 12 etrans =150 mm (Asw = 2·113 = 226 mm2 > ρsw,min = 90 mm2) point 5-i Armature transversale dans la rotule plastique:

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 35° art. 4.3.3.3.2


23

Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 226/150 ·0.8 ·5.3 ·435 ·cot35° = 3’969 kN > V+d = 3'512 kN: ok art. 4.3.3.4.3

Contrôle des bielles de compression : kc = 0.4 art. 4.2.1.7 figure 12 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = art. 4.3.3.4.5 = 300·0.8·5.3·0.4·20·sin35°·cos35° = 4’781 kN > Vd+ = 3'512 kN : ok Point 7 : dimensionnement à la flexion de la partie élastique. Dimensionnement conventionnel en tenant compte des valeurs de calcul des moments de flexion selon l’enveloppe ci-dessous :

Point 8 : dimensionnement à l’effort tranchant de la partie

élastique. Valeur de calcul de l’effort tranchant majoré juste au-dessus de la rotule (surrésistance et modes supérieurs): V+d = ε·κ·Vd = 1.22·1.50·1’805 = 3’303 kN équation (79)

Choix de l’inclinaison des bielles de compression α = 30° art. 4.3.3.3.2 Armature minimale en choisissant un écartement des étriers s = 150 mm:

minρ = 0.2 % ⇒ Asw,min = 0.2 % · 150 · 300 = 90 mm2 art. 5.5.2.2 Choix: ø10, s = 150 mm ⇒ Asw = 2·78 = 156 mm2 > Asw,min : ok Résistance à l’effort tranchant : VRd,s = Asw/s ·z ·fsd ·cotα = 156/150 ·0.8 ·5.3 ·435 ·cot30° = 3’322 kN > V+d = 3’303 kN: ok art. 4.3.3.4.3 Contrôle des bielles de compression : kc = 0.6 art. 4.2.1.7 figure 12 VRd,c = bw·z·kc·fcd·sinα·cosα = art. 4.3.3.4.5 300·0.8·5.3·0.6·20·sin30°·cos30° = 6’609 kN > Vd+ = 3'303 kN : ok


24

Point 9 : stabilisation de l’armature longitudinale de la partie élastique.

Etant donné que le principe de base du dimensionnement en capacité consiste à garantir le maintien de cette partie du refend dans l’état élastique, seules les barres d’angle doivent être formellement stabilisées. On peut cependant recommander d’adopter les règles de stabilisation pour les prolongements (zones de forte armature) des éléments de bord de la rotule plastique. art. 5.5.4 et 5.5.4.6 du 1er au 2ème étage Pour les 6 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par un étrier de bord qui stabilise les barres d’angle et celles de la 3e rangée intérieure.

Espacements maximaux :

a) s = 150 mm < 15 Ø min = 450 mm : ok art. 5.5.4.7 b) s = 150 mm < amin = 300 mm : ok art. 5.5.4.7 c) s = 150 mm < 300 mm : ok art. 5.5.4.7

Compte tenu des équations a), b) et c) ci-dessus, l'espacement maximal des barres de stabilisation pourrait être de 300 mm. Pour des raisons constructives, le choix de l'espacement de 150 mm est conservé. du 2ème étage au 3ème étage Pour les 4 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par les barres horizontales d'effort tranchant qui stabilisent les barres d'angle. du 3ème étage à l'attique Pour les 2 barres Ø 30 d'extrémité : stabilisation assurée par les étriers de l’armature d’effort tranchant qui stabilisent les barres d’angle. Point 10 : contrôle des fondations. Pour le contrôle des fondations, il faut tenir compte des valeurs de calcul majorées (surrésistance et modes propres d’ordre supérieur) M+

Rd et V+d

pour garantir qu’elles ne subiront pas de plastification lors des sollicitations sismiques.


25

Annexe : répartition des forces horizontales de chaque étage dans les 8 refends Pour tenir compte de l’effet de la torsion, il faut tout d’abord déterminer la position du centre de masse M et la position du centre de rigidité S. Références SIA 261 (2003) Ensuite il faut calculer l’excentricité effective « e » entre le centre de masse M et le centre de rigidité S. L’excentricité à prendre en compte pour le calcul des effets de la torsion est définie dans la norme SIA 261. art. 16.5.2.7

Position du centre de masse M :

Dimensions du bâtiment : longueur Lx = 59.5 m largeur Ly = 17.6 m

XM = ( ) ( )

( ) ( )1.42.535.135.592

2.537.31.42.532

5.595.135.59

⋅+⋅

+⋅⋅+⋅⋅

= 29.87 m

YM = ( ) ( )

( ) ( )1.42.535.135.5921.41.42.531.4

25.135.135.59

⋅+⋅

⋅⋅+

+⋅⋅

= 8.97 m

Position du centre de rigidité S :

Refends sens y : transversal Refends sens x : longitudinal A : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 D : 6.4 x 0.3 m ⇒ Iy = 6.55 m4 B : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 E : 6.2 x 0.3 m ⇒ Iy = 5.96 m4 C : 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 F : 7.0 x 0.3 m ⇒ Iy = 8.58 m4 C': 5.3 x 0.3 m ⇒ Ix = 3.72 m4 G : 6.6 x 0.3 m ⇒ Iy = 7.19 m4 ∑Ix =14.89 m4 ∑Iy =28.27 m4

Xs = 89.14

40.4472.340.4772.325.2272.3772.3 ⋅+⋅+⋅+⋅ = 30.26 m

Ys= 27.28

15.419.715.058.845.1795.545.1755.6 ⋅+⋅+⋅+⋅ = 8.82 m

A

D E

B C

C’

F G


26

Excentricités ex = Xm – Xs = - 0.395 m ey = Ym – Ys = 0.150 m

L'excentricité pour le dimensionnement et la prise en compte des effets de la torsion est définie dans la norme SIA 261 : art. 16.5.2.7

selon le sens longitudinal X : b = Ly = 17.60 m edy, sup = 1.5ey + 0.05b = 1.5 ⋅ 0.15 + 0.05 ⋅ 17.60 m = 1.1 m edy, inf = 0.5ey - 0.05b = 0.5 ⋅ 0.15 - 0.05 ⋅ 17.60 m = - 0.81 m

selon le sens transversal Y : b = Lx = 59.50 m edx, sup = 1.5ex + 0.05b = 1.5 ⋅ 0.395 + 0.05 ⋅ 59.50 m = 3.57 m edx, inf = 0.5ex - 0.05b = 0.5 ⋅ 0.395 - 0.05 ⋅ 59.50 m = - 2.78 m

Remarques Quelle que soit la valeur de l'excentricité du centre de masse M par rapport au centre de rigidité S, les effets de la torsion doivent être obligatoirement pris en compte, conformément à la norme SIA 261. art. 16.5.2.7 Cette obligation est nouvelle par la rapport à la norme SIA 160 car dans le cas de notre exemple, comme : SIA 160 art. 4.19.510 ex = 0.395 m < 0.1 · bx = 0.1 · 59.50 = 5.95 ey = 0.150 m < 0.1 · by = 0.1 · 17.60 = 1.76 ⇒ la torsion ne devait pas être prise en considération

La répartition des forces horizontales Fdi, x et Fdi, y dans chaque refend s'effectue en déterminant : [2] § 6.3

1° La part de translation S': La distribution de la force Fdi se fait au prorata des rigidités de chaque refend, soit :

dans le sens x : S'x = Iy,i et Ix,i = moment d'inertie de chaque refend

dans le sens x respectivement y

dans le sens y : S'y = ∑Iy ou ∑Ix = somme des moments d'inertie de

tous les refends dans le sens x respectivement y

Fdi,x et Fdi,y = force horizontale de remplacement dans le sens x respectivement y

2° La part de rotation S'' : L'excentricité entre le centre de masse M et le centre de rigidité S provoque un moment de torsion dans le bâtiment qui sollicite les refends dans les deux directions x et y :

répartition dans les refends longitudinaux selon x :

S''x = ⋅ ed ⋅ Fdi,x ed = excentricité entre le centre de rigidité S et le centre de masse M à considérer dans les direction x et y

ed ⋅ Fdi = moment de torsion à considérer dans les deux directions x et y

( )2ii,y

2ii,x

ii,y

yIxI

yI

⋅+⋅Σ

⋅−

x,diy

i,y FI

I⋅

Σ

y,dix

i,x FI

I⋅

Σ


27

répartition dans les refends transversaux selon y :

S''y = ⋅ ed ⋅ Fdi

N.B. : pour les deux directions x et y, le calcul des coefficients de répartition dans les refends doit être effectué en tenant compte des deux valeurs de l'excentricité selon SIA 261, soit : art. 16.5.2.7 ed,sup = 1.5 ⋅ ed + 0.05 ⋅ b ed,inf = 0.5 ⋅ ed - 0.05 ⋅ b Il est recommandé de déterminer le sens des parts de rotation par rapport à celles de translation physiquement à l’aide d’un schéma plutôt que sur la base d’une utilisation stricte des signes. indication, l’inertie en torsion vaut :

( )2ii,y

2ii,x yIxI ⋅+⋅Σ = 5823 m6

Calcul des coefficients de répartition S' et S''

Force agissant dans le sens longitudinal x :

Refend part translation part rotation S'' part rotation S'' S' avec edy,inf = - 0.81 m. avec edy, sup = 1.10 m.

A 0 - 0.012 + 0.016 B 0 - 0.004 + 0.006 C 0 + 0.009 - 0.012 C' 0 + 0.007 - 0.010 D 0.232 - 0.008 + 0.011 E 0.211 - 0.007 + 0.010 F 0.303 + 0.010 - 0.014 G 0.254 + 0.005 - 0.006

C'est avec la valeur edy,sup = 1.10 m. que l'on obtient les coefficients de répartition déterminants (S' + S'') pour les refends transversaux A, B, C, et C' et longitudinaux D et E :

Refend Σ translation + rotation S' + S''

A 0.016 B 0.006 C 0.012 C' 0.010 D 0.243 E 0.221

et c'est avec la valeur edy,inf = - 0.81 m. que l'on obtient les coefficients de répartition déterminants pour les refends longitudinaux F et G :


F 0.313 G 0.259

( )2ii,y

2ii,x

ii,x

yIxI

xI

⋅+⋅Σ

⋅−


28

Force agissant dans le sens transversal y :

Refend part translation part rotation S'' part rotation S'' S' avec edx,inf = - 2.78 m. avec edx, sup = 3.57 m.

A 0.250 - 0.041 + 0.053 B 0.250 - 0.014 + 0.018 C 0.250 0.030 - 0.039 C' 0.250 0.025 - 0.032 D 0 - 0.027 + 0.035 E 0 - 0.025 + 0.031 F 0 0.035 - 0.046 G 0 0.016 - 0.021

Dans la direction transversale y les coefficients de répartition déterminants (S' + S'') s'obtiennent avec edx,inf = - 2.78 m. pour les refends


C 0.280 C' 0.275

et avec la valeur edx,sup = 3.57 m. pour les refends


A 0.303 B 0.268 D 0.035 E 0.031 F 0.046 G 0.021

Bien que l'excentricité entre M et S soit faible dans cet exemple, les effets dus à la torsion sont bien visibles dans la répartition des forces horizontales et par conséquent dans la répartition des efforts dans les refends. C'est pourquoi, il est judicieux de bien planifier dès l'étude de l'avant-projet d'un bâtiment, la position et la dimension des refends afin de limiter l'excentricité entre le centre de masse M et le centre de rigidité S.

N.B. : même si, contrairement à la norme SIA 160, la norme SIA 261 ne le précise pas expressément, les sollicitations engendrées par l’action sismique dans les directions principales ne doivent pas être superposées. SIA 160 art. 4.19.503

Exemple de dimensionnement parasismique d_un btiment selon les normes sia 260_ 261 et 262

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