Calcul Parasismique Par Etabs

Projet de semestre

« Modélisation parasismique »

Juin 2007

Cycle de Master

- Etudiants -

Pierre Bruchez

Lionel Bussard

Stefano Campana

Guillaume Thorens

____________________

Responsables :

Dr. Pierino Lestuzzi

Dr. Youssef Belmouden

EPFL – ENAC - IMAC - Modélisation parasismique - Master 1

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1 OBJECTIFS .................................................................................................................................... 4

2 MODÉLISATION GÉNÉRALE ................................................................................................... 4

2.1 PRISE EN MAIN DE LA STRUCTURE............................................................................................... 4 2.2 PARTICULARITE DE LA MODELISATION ...................................................................................... 5 2.3 DEFINITION DE LA STRUCTURE DANS ETABS............................................................................ 6 2.3.1 NOUVEAU MODELE ..................................................................................................................... 6 2.3.2 PROPRIETE DES MATERIAUX (« MATERIAL PROPERTIES ») ........................................................ 7 2.3.3 SECTION DES MURS (« FRAME SECTIONS ») ................................................................................ 7 2.3.4 DEFINITION DES DALLES (« WALL SLAB DECK SECTIONS ») ..................................................... 8 2.3.5 POSITIONNEMENT DES MURS, DES DALLES ET DES APPUIS.......................................................... 8 2.3.6 REALISATION DU MAILLAGE ....................................................................................................... 9 2.4 TESTS........................................................................................................................................... 10 2.4.1 OBJECTIFS ................................................................................................................................. 10 2.4.2 TEST DE LIAISON SOUS CHARGES VERTICALES ......................................................................... 10 2.4.3 TEST DE COMPORTEMENT A LA FLEXION SOUS CHARGES HORIZONTALES ............................... 11 2.5 ANALYSE MODALE...................................................................................................................... 13 2.6 DÉFINITION DES CHARGES ......................................................................................................... 16 2.7 ROTULES (CAS DES PAROIS EN MAÇONNERIE) .......................................................................... 17 2.7.1 PRINCIPE.................................................................................................................................... 17 2.7.2 MODES DE RUPTURE.................................................................................................................. 18 2.7.3 DEMARCHE ETABS .................................................................................................................. 18 2.7.4 CALCUL DES PARAMETRES SELON LA NORME FEMA............................................................... 20 2.7.5 FONCTIONNEMENT A LA FLEXION............................................................................................. 23 2.8 ZONES RIGIDES ........................................................................................................................... 25 2.9 NOTIONS THÉORIQUES DU CALCUL PUSHOVER........................................................................ 25 2.9.1 PRINCIPES THÉORIQUES DU CALCUL PUSHOVER....................................................................... 25 2.9.2 COURBE DE CAPACITÉ............................................................................................................... 26 2.9.3 POINT DE PERFORMANCE .......................................................................................................... 26 2.9.4 POINT DE PERFORMANCE DANS ETABS ET INTRODUCTION DU SPECTRE................................. 28 2.10 PRÉPARATION DU CALCUL PUSHOVER DANS ETABS ............................................................ 29 2.11 LANCEMENT DES CALCULS ...................................................................................................... 31 2.11.1 PRECISION DEMANDEE ET DUREE DE CALCUL......................................................................... 31 2.11.2 APPRECIATION DES RESULTATS ET UTILISATION .................................................................... 31

3 EXÉCUTION DES CAS SIMPLES DE RÉFÉRENCE ............................................................ 31

3.1 PAROI ENCASTRÉE – FORMATION D’UNE ROTULE DE FLEXION............................................... 31 3.1.1 DESCRIPTION............................................................................................................................. 31 3.1.2 CALCUL DES ROTULES ET EMPLACEMENTS............................................................................... 32 3.1.3 COMMENTAIRES DES RESULTATS.............................................................................................. 33 3.2 STRUCTURE A 3 PAROIS ELANCEES – RUPTURE PAR FLEXION................................................. 34 3.2.1 DESCRIPTION............................................................................................................................. 34 3.2.2 CALCUL DES ROTULES ET EMPLACEMENTS............................................................................... 35 3.2.3 COMMENTAIRES DES RESULTATS.............................................................................................. 35 3.3 STRUCTURE À 3 PAROIS (2 ÉLANCÉES + 1 TRAPUE) - RUPTURE AU CISAILLEMENT................ 36 3.3.1 DESCRIPTION............................................................................................................................. 36 3.3.2 CALCUL DES ROTULES ET EMPLACEMENTS............................................................................... 37 3.3.3 COMMENTAIRES DES RESULTATS.............................................................................................. 38


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3.4 MISE EN ÉVIDENCE DE L’EFFET CADRE OU CONSOLE DES PAROIS.......................................... 39 3.4.1 DESCRIPTION............................................................................................................................. 39 3.4.2 CALCUL DES ROTULES............................................................................................................... 39 3.4.3 COMMENTAIRES DES RESULTATS.............................................................................................. 39

4 CAS PARTICULIERS ................................................................................................................. 40

4.1 BATIMENT DE DOUANE DE DÖRFLINGEN .................................................................................. 40 4.1.1 PRESENTATION DU BATIMENT................................................................................................... 40 4.1.2 LOCALISATION .......................................................................................................................... 41 4.1.3 CARACTÉRISTIQUES TECHNIQUES............................................................................................. 43 4.1.4 DÉFINITION DES CHARGES ........................................................................................................ 45 4.1.5 MODÉLISATION SUR ETABS..................................................................................................... 47 4.1.6 ANALYSE MODALE .................................................................................................................... 53 4.1.7 CRITIQUE DES RÉSULTATS......................................................................................................... 55 4.2 BATIMENT DE DOUANE DE VERNIER ......................................................................................... 61 4.2.1 PRÉSENTATION DU BÂTIMENT................................................................................................... 61 4.2.2 LOCALISATION .......................................................................................................................... 62 4.2.3 CARACTÉRISTIQUES TECHNIQUES............................................................................................. 62 4.2.4 DÉFINITION DES CHARGES ........................................................................................................ 68 4.2.5 MODÉLISATION SUR ETABS..................................................................................................... 69 4.2.6 ANALYSE MODALE .................................................................................................................... 71 4.2.7 PLASTIFICATION DES ROTULES ................................................................................................. 71 4.2.8 COURBE DE CAPACITÉ............................................................................................................... 73 4.2.9 POINT DE PERFORMANCE .......................................................................................................... 74 4.2.10 CONCLUSION ........................................................................................................................... 76

5 CONCLUSION GÉNÉRALE ...................................................................................................... 77


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1 Objectifs Dans ce travail, nous allons étudier des structures existantes en vue de leur analyse sismique. Les logiciels d’éléments finis permettent d’évaluer la vulnérabilité des bâtiments vis-à-vis des séismes. C’est une procédure relativement longue et complexe. Pour les nouveaux bâtiments une méthode élastique comme celles des forces de remplacement ou du spectre de réponse convient parfaitement car un dimensionnement en capacité ou même souvent une bonne conception (régularité de l’ouvrage) suffit. De plus le coût engendré par une modélisation non linéaire n’est pas négligeable. Pour les bâtiments existants, lorsque l’on a des doutes sur la conception et que l’on a besoin de faire une étude approfondie du comportement au séisme, une modélisation s’impose pour obtenir la capacité totale du bâtiment face a un séisme et le niveau de dommage en fonctions des sollicitations. Pour ce faire, il y a deux solutions possibles qui sont soit de réaliser un calcul par la méthode Pushover soit d’effectuer un calcul non linéaire dynamique (temporel). Ce dernier étant beaucoup trop lourd et posant passablement de problèmes, nous nous concentrerons sur le Pushover qui est une méthode statique de simulation des séismes. Toutefois pour bien comprendre ce type de procédés, nous allons d’abord bien expliquer par quelles étapes il faut passer dans la modélisation et quels sont les pièges à éviter. Dans cette optique, nous allons en premier lieu décrire le cheminement pas à pas de la modélisation dans ETABS. D’autre part, pour bien comprendre toutes les subtilités du programme et de ce type d’analyse, nous nous aiderons de trois exemples simples. La première partie de ce travaille constitue donc aussi en quelque sorte une aide à la modélisation d’un bâtiment avec le logiciel ETABS. Néanmoins, il peut être aussi utile avec un autre programme car la méthodologie et une partie des difficultés rencontrées sont indépendantes du programme utilisé.

2 Modélisation générale

2.1 Prise en main de la structure Avant de commencer la modélisation proprement dite, il était important d’avoir tous les documents relatifs au bâtiment, nécessaires à la modélisation. Pour les bâtiments existants, les plans ne sont pas forcément très détaillés. Dans notre cas les plans du bâtiment de Vernier avaient pratiquement toutes les informations nécessaires alors que pour celui de Dörflingen il manquait les plans du sous-sol. Il a fallut définir les murs porteurs (en général un mur de plus de 12 cm en maçonnerie est considéré comme porteur). Nous avons ensuite modélisé le bâtiment avec un logiciel de dessin (AUTOCAD). Cela permet d’avoir une première appréciation du bâtiment, notamment de sa régularité. A partir de ces plans, nous avons créé une nomination claire des différents murs (différentiation de la direction et de l’étage du mur). Un tableau EXCEL synthétisant les caractéristiques de chaque mur est très utile lors de l’introduction de celles-ci dans le Logiciel d’éléments finis. Les caractéristiques que nous avons introduites ensuite dans le programme sont les suivantes : largeur,


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longueur, surface et position du centre géométrique. A noter que pour ce dernier, des problèmes peuvent arriver si entre 2 étages les centres sont distants de quelques centimètres (comme pour le bâtiment de Vernier). Il est préférable de déplacer un des murs pour que leurs centres soient confondus afin de ne pas avoir de soucis lors du maillage (voir ci-dessous).

Fig. 1 Adaptations des centres de gravité

A noter qu’il en va de même pour des murs sur un même étage dont les centres sont très proches dans le sens des X ou des Y. En effet, ces positions très proches impliquent la formation d’un maillage composé de zones rectangulaires très allongées. Normalement, les mailles ne devraient pas avoir des rapports entre leur longueur et leur largeur supérieurs à 10. Parfois plusieurs modèles sont nécessaires pour comprendre un phénomène non modélisable dans le programme (voir les exemples dans les cas concrets des deux bâtiments étudiés, torsion pour le bâtiment de Vernier et semi-encastrement pour le bâtiment de Dörflingen). Il est important d’y réfléchir avant pour anticiper sur la modélisation. Il est intéressant de noter qu’il n’est pas possible de modéliser un sous-sol enterré (en-dessous du « Base story »), car l’encastrement ne peut être placé qu’à la base, à savoir au niveau du sol. Une fois que ces étapes sont réalisées, le début de la modélisation sur le programme peut commencer.

2.2 Particularité de la modélisation ETABS étant un programme d’éléments finis, il importe en premier lieu de déterminer quels sont les types d’éléments qui vont modéliser au mieux nos différents éléments structuraux. Une façade en maçonnerie se comporte comme un système en cadre avec des zones rigides dans les angles et des zones déformables au milieu. Il faut donc modéliser cette structure de manière adéquate. Il existe 3 types d’éléments finis principaux que sont les éléments linéaires, surfaciques et solides. Dans cette étude nous n’utiliserons pas les solides. Pour les dalles nous emploierons des éléments surfaciques. Il en existe 3 types, à savoir les membranes (utilisables pour les parois), les plaques (utilisables pour les dalles) ou des coques. Afin de garantir une liaison correcte entre les murs et la dalle et éviter des conflits au niveau des liaisons, nous utilisons des éléments « coques » pour modéliser la dalle, ceux-ci comportent tous les degrés de liberté au droit des nœuds. Les murs par contre sont chargés dans le plan, il faudrait donc utiliser des éléments membranes. Toutefois, le programme de calcul ETABS ne considère la non linéarité

Murs inférieurs Murs supérieurs


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que pour les éléments linéaires unidimensionnels que sont les poutres. Ce sont donc eux que nous allons utiliser. Néanmoins, ce n’est pas l’idéal pour les murs de grandes dimensions. Schéma de la modélisation par éléments finis :

2.3 Définition de la structure dans ETABS Afin d’illustrer cette partie, nous avons effectué toutes les étapes avec un cas simple. Cela permet une meilleure compréhension des étapes et des résultats.

2.3.1 Nouveau modèle La première chose à faire à l’ouverture du programme est de choisir les unités afin d’éviter de devoir changer à chaque ouverture du fichier. Il faut donc avant de créer un nouveau fichier changer en bas à droite dans le menu déroulant (kip-in par défaut

KN/m). Après avoir cliqué sur « new model», nous avons sélectionné un modèle par défaut. Nous avons ensuite sélectionné la structure de notre modèle. Nous avons défini les lignes de constructions du modèle (nombre d’étages et hauteurs d’étages). Nous avons ensuite choisi « grid only » afin d’avoir uniquement les lignes de construction. Nous avons ensuite sauvé une première fois le modèle. Il est important de faire des sauvegardes régulières et de leur donner des noms adaptés. La procédure de modélisation se fait par étapes. Il est nécessaire de sauver au moins une fois par étape (sous des noms différents). Le début de la modélisation se fait principalement par le menu « define » montré ci-dessous.

Fig. 2 Modélisation par éléments finis


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Fig. 3 Menu « Define »

Les 3 premiers menus sont les trois premières étapes de la modélisation.

2.3.2 Propriété des matériaux (« Material Properties ») Nous avons défini deux matériaux dans notre modèle. D’une part, du béton armé pour les dalles, que nous avons considéré comme infiniment rigide dans un premier temps afin de vérifier le bon comportement des liaisons entre les murs et les dalles. Nous avons ensuite introduit le module d’élasticité de la norme SIA (E = 30'000’000 KN/m2). D’autre part, de la maçonnerie MB pour les murs a été insérée (briques de terre cuite non armée). Nous avons introduit la valeur de la norme SIA 266 pour le module d’élasticité (E = 7'000’000 KN/m2). Afin de pouvoir réaliser l’analyse non linéaire, nous avons dû introduire un poids volumique et une masse volumique nulle (le poids de la dalle sera introduit dans le calcul des charges verticales alors que le poids des murs est négligé car il va directement aux fondations).

2.3.3 Section des murs (« frame sections ») Dans cette partie, il faut introduire tous les murs avec leur nom, leur longueur, leur épaisseur et leur matériau. Attention à bien introduire les valeurs à savoir : « depth » = longueur et « width » = largeur. Cela a une importance dans la suite pour la visualisation des moments dans les murs car ainsi tous les efforts sont affichés sous la même nomination : « 2-2 » ou « 3-3 ».


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2.3.4 Définition des dalles (« Wall Slab Deck Sections ») Comme expliqué précédemment, nous avons utilisé un élément coque («Shell ») pour modéliser la dalle. Nous avons défini que les hauteurs participant à la compression et à la flexion étaient égales à l’épaisseur de la dalle. («Membrane» et «Bending»). Suivant les études effectuées et le degré de complexité du modèle, il est possible de négliger les ouvertures dans les dalles telles que celle de la cage d’escalier afin de simplifier la modélisation. Cela n’est pas du côté de la sécurité car cette ouverture diminue la rigidité, mais cette perte de rigidité de la dalle a peu d’influence dans les calculs. Une fois les éléments du modèle définis, la suite des opérations consiste à placer les murs et les dalles dans l’espace, puis à créer le maillage. Le programme propose de placer les éléments sur un ou tous les étages à la fois. Ceci est très intéressant si le bâtiment est régulier sur ses étages (en bas a droite sélectionner un ou tous les étages)

2.3.5 Positionnement des murs, des dalles et des appuis Nous avons tout d’abord créé des lignes de référence pour chaque centre de mur (« Edit reference line »). Pour un meilleur maillage, comme expliqué précédemment, il faut éviter d’avoir des centres trop proches les uns des autres. Pour placer chacun des murs, nous avons utilisé l’option « Placer des colonnes » (« Draw line object » puis « Create column in region or at click»). Il faut ensuite choisir les murs précédemment définis, choisir leur orientation (angle : 0 selon x et 90 selon y) et cliquer sur la ligne de référence correspondant à son centre. Pour positionner la dalle, nous avons utilisé la fonction « Draw area ». Comme expliqué précédemment, nous avons sélectionné le type de dalle à implanter avant de définir ses quatre coins. Une fois cette étape terminée, il faut introduire les appuis au sol de fondation. A noter qu’il n’est pas possible de définir un étage en dessous du « base story ». Pour modéliser la fondation du bâtiment, nous avons admis que les murs étaient encastrés au sol de fondation. Pour réaliser cela, nous avons sélectionné tous les points au niveau zéro et leur avons assigné un encastrement (« Assign », « Joint point » puis « Restraints »). Pour les nœuds entre les dalles et les poutres, les liaisons se créent automatiquement à leurs intersections.


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Fig. 4 Exemple simpe – positionnement des murs

2.3.6 Réalisation du maillage L’exécution du maillage se fait automatiquement par le programme en utilisant la fonction « Mesh area ». Après avoir sélectionné tous les points avec « all stories ». Nous choisissons ensuite le type de maillage, pour notre cas, nous avons utilisé « Cookie cut at selected points at 0 degrees » qui va créer des lignes perpendiculaires entre elles depuis le centre des murs (voir figure).

Fig. 5 Maillage


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2.4 Tests

2.4.1 Objectifs Les tests permettent de vérifier le bon comportement de la structure et de s’assurer que les liaisons entre les différents éléments de structures sont correctes. Il est essentiel de les réaliser pour ne pas poursuivre la modélisation avec des erreurs qui fausseront tous les résultats. Voici, par exemple, la description de deux tests simples à effectuer.

2.4.2 Test de liaison sous charges verticales Afin de vérifier la conformité de notre modèle et de s’assurer que les efforts se transmettent bien aux nœuds, le premier test est effectué sous charges verticales. Nous avons commencé par rendre la dalle infiniment rigide afin d’avoir uniquement des efforts normaux dans les murs. Nous avons ensuite introduit une charge répartie au sommet de l’ouvrage.

Fig. 6 Charges verticales pour le test de liaison

Après avoir lancé la simulation, nous avons visionné l’animation de la déformation du bâtiment sous la charge.


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Fig. 7 Animation – test effort normal

L’animation nous paraissant cohérente, les éléments étant liés entre eux, nous avons encore vérifié la répartition de l’effort normal dans les murs et la somme de cet effort au pied des murs à la base. Il faut obtenir : ∑ ∑= RFext

Fig. 8 Efforts normaux

2.4.3 Test de comportement à la flexion sous charges horizontales Nous avons ensuite effectué un deuxième test qui avait pour but de vérifier le comportement à la flexion du modèle sous charges horizontales et la liaison correcte des murs avec la base et les dalles. Nous avons donc placé des charges ponctuelles horizontales dans une direction au sommet du modèle.


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Fig. 9 Charges horizontales pour le test de comportement flexionnel

Comme pour le test précédent, nous avons vérifié d’une part la cohérence de la simulation et d’autre part la forme des diagrammes des moments.

Fig. 10 Animation et déformation – test flexionnel


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Fig. 11 Moments 2-2 et comportement en flexion

A la fin de ces tests, il est important de bien remettre les rigidités réelles des éléments pour les analyses qui vont suivre à savoir notamment celles du Pushover et également celles pour le calcul des rotules (voir chapitre relatif à ce sujet).

2.5 Analyse modale L’analyse modale est une fonction qui permet de définir les modes propres du bâtiment. Ces derniers correspondent aux modes naturels de vibration de la structure et permettent de comprendre le comportement d’un bâtiment face à une sollicitation dynamique telle qu’un effort sismique. ETABS permet de déterminer ces modes et la valeur de la période correspondante. Pour ce faire, il faut tout d’abord définir des charges correspondant au poids de chaque étage qui comprend celui des dalles, des murs, et des charges utiles multipliées par leur facteur de réduction y2. Ces calculs sont basés sur la représentation du bâtiment comme un oscillateur simple où toutes les charges sont concentrées au niveau des dalles d’étage. Cela permet d’avoir un nombre limité de degrés de liberté. En effet, sans cela il y en aurait une infinité.


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Fig. 12 Modélisation en oscillateur simple Ces valeurs sont donc entrées dans le programme de manière ponctuelle, il faut donc définir une trame et diviser la valeur totale par le nombre de points insérés. Dans notre exemple la charge est répartie aux quatre extrémités de la dalle. Nous avons donc :

1254

10510

intmod =

⋅⋅==

po

tot

nQ

m

Nous pouvons dès lors insérer ce résultat dans ETABS sous « Additional point mass » en activant les masses dans les sens X et Y.

Fig. 13 Masses modales

m2

m1

m3


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A noter que plus le nombre de masses insérées est grand plus le calcul des modes propres sera précis. Il est important d’en mettre beaucoup et si possible pas seulement aux quatre coins de la structure. Pour pouvoir lancer le calcul des modes, il faut encore définir les paramètres de l’analyse dynamique. Il est essentiel de cocher l’option « Dynamic Analysis » qui ne l’est pas forcément par défaut. Il faut ensuite choisir les paramètres et notamment le nombre de modes recherchés.

Fig. 14 Degrés de liberté et calcul des modes

A noter que la structure à choisir en général est de type « Full 3D » pour laquelle tous les mouvements sont possibles. Pour des analyses particulières, il est aussi possible de bloquer des degrés de liberté de manière à annihiler par exemple les effets de la torsion. Pour ce faire, il suffit de décocher RZ. Dans notre petit exercice, nous obtenons pour le premier mode la valeur de la période suivante : 1367.01 =T Il est possible de comparer les résultats du premier mode donnés par le programme à des calculs effectués à la main. Nous pouvons utiliser :

- Norme SIA 161 : 2.0102

10===

NT

- Norme SIA 261 : 192.0605.0 75.075.0 =⋅=⋅= hCT t


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- Rayleigh : 136.02111

1

2

1 =⋅

⋅==

∑

∑

=

=n

jjj

n

jjj

dm

dF

fT

π (voir annexe)

Nous voyons que ces valeurs sont relativement comparables surtout celle de Rayleigh qui est la plus précise. Les deux autres sont un peu plus conservatives.

2.6 Définition des charges Les charges que nous définissons dans ce chapitre sont destinées à l’analyse non linéaire du Pushover (voir chapitre relatif à ce sujet). Il faut déterminer deux types de charges : les charges gravitaires et les charges horizontales. Les charges gravitaires sont de type surfacique et comportent uniquement le poids de la dalle, des surcharges ainsi que celui des charges utiles multipliées par leur coefficient de réduction. Dans notre cas, nous avons fait l’hypothèse que le poids des murs descend directement aux fondations et n’est de ce fait pas pris en compte. Il n’intervient donc pas dans ce type d’analyse. Cette simplification est toutefois assez discutable.

Fig. 15 Charges gravitaires La charge horizontale, représentant une action dynamique telle que celle d’un séisme doit être disposée de manière triangulaire le long du bâtiment. Il faut définir une charge sommitale quelconque et répartir à tous les autres étages la valeur proportionnelle pour que l’ensemble corresponde à une sollicitation triangulaire.


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Fig. 16 Charges horizontales

A noter que toutes ces forces doivent être insérées dans des cas de charge différents. Il faut donc, par exemple, définir les ensembles suivants :

- Dead pour les charges gravitaires - EQX de type Quake pour le séisme dans le sens x - EQY de type Quake pour le séisme dans le sens y

Fig. 17 Cas de charge

2.7 Rotules (cas des parois en maçonnerie)

2.7.1 Principe Lors de la modélisation sur ETABS, en prévision d’une étude Pushover, il est évidemment primordial de considérer les modes de rupture des différents éléments porteurs. Considérant notre bâtiment, nous devons donc décrire les modes de rupture des murs en maçonnerie non armée. Avant d’expliquer précisément de quelle


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manière on en tient compte avec ETABS, il faut dans un premier temps déterminer les types de ruptures possibles. Finalement, on expliquera de quelle manière on calcule les paramètres des rotules de manière sommaire et dans la limite de nos connaissances actuelles à ce sujet.

2.7.2 Modes de rupture Les modes de ruptures possibles pour les murs en maçonnerie sont les suivants :

A : Rupture par traction au droit du joint due à la flexion (rocking)

B : Rupture par écrasement dû à la flexion (rocking)

C : Rupture par cisaillement au droit des joints (bed joint sliding) A noter que tous les modes de rupture se produisent d’autant plus facilement que les charges verticales sur le mur sont faibles. En effet, si les charges verticales sont insuffisantes, elles ne parviennent pas à compenser les effets de la flexion ou du cisaillement. La valeur réelle de l’effort normal dans la structure est donc déterminante.

2.7.3 Démarche ETABS Dans un premier temps, nous avons décidé d’assigner trois rotules à chaque mur ; deux de flexion aux extrémités et une de cisaillement au milieu du mur (fig. suivante). Pour définir les rotules, il faut utiliser la fonction « Frame Nonlinear Hinge, Properties ». Il faut faire attention à choisir le type de rotule conformément aux murs implantés précédemment et donc conformément à leurs axes. Dans le cas de la figure suivante, il faut par exemple choisir pour les rotules de flexion le moment M2 et pour les rotules de cisaillement l’effort tranchant V3 conformément à la manière dont le mur résiste à ces deux types d’efforts.

Fig. 19 Positionnement des rotules et définition des axes

3 2

Fig. 18 Rupture


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Après avoir défini toutes les rotules en leur donnant des noms logiques permettant de les localiser facilement, nous avons positionné toutes les rotules sur les différents murs. Pour ce faire, il faut sélectionner chaque mur indépendamment (vue en élévation) et utiliser la fonction « Assign, Frame Nonlinear Hinges » qui permet d’introduire la position des rotules en coordonnées relatives. Toutes les rotules sont à présent positionnées, il ne reste plus qu’à introduire les différents paramètres calculés, dans notre cas, à l’aide de la norme FEMA 356 (voir ci-dessous) car il s’agit de la norme américaine et ETABS est basé là-dessus. Comme expliqué précédemment, ces paramètres déterminent le comportement des murs sous flexion et cisaillement. Avant de procéder au calcul à proprement parlé, il faut relever tous les efforts normaux dans les murs de chaque étage (poids propre de la maçonnerie compris), sous charge réelle. De la même manière, il faut déterminer la hauteur de moment nul pour chaque mur, soit en relevant les valeurs directement sur ETABS, soit en relevant les moments aux extrémités de chaque mur et en les introduisant sur la feuille Excel (annexe). La hauteur de moment nul est déterminée sous un cas de charge triangulaire. A noter que le relevé des moments est effectué en considérant un cas de charge triangulaire dans le sens sollicitant la maçonnerie en flexion selon l’axe fort.

Pour en revenir aux paramètres des rotules, il est possible d’introduire directement les valeurs en « copier-coller » depuis Excel. Le nombre de rotules pouvant être très important, il peut être utile d’utiliser une macro Excel pour organiser les valeurs de la même manière que sur ETABS et ainsi limiter les tâches laborieuses (macro en annexe).

Fig. 20 Paramètres des rotules


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2.7.4 Calcul des paramètres selon la norme FEMA Comme nous l’avons vu précédemment, nous devons introduire les paramètres régissant la rupture de cisaillement et celle de flexion. La FEMA propose deux formules pour déterminer les forces de rupture liées à chacun des deux modes de rupture (flexion et cisaillement). Rotules de cisaillement :

1) CE me nQ Aν= ⋅ avec 0.75 0.75

1.5

mk

M nme

NA

νγ

ν

⎛ ⎞⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠=

meν Résistance au cisaillement du mortier (valeur prévue)

mkν Résistance du mortier (SIA 266 §3.3.5) 1Mγ = Etude d’une structure existante

N Effort normal sur la paroi (poids de la maçonnerie et charges comprises)

nA Surface du mur

2) ' 1'

w aCL dt n

w dt

l fQ f Ah f

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ avec a

n

NfA

=

wl Longueur du mur

wh Hauteur du mur

af Contrainte normale de compression 'dtf Limite inférieure de la résistance à la traction de la

diagonales (~1260 kN/m2 pour une maçonnerie MC) QCE est la résistance au cisaillement du mur basée sur la résistance au cisaillement du mortier (joints de la maçonnerie). QCL est également la résistance au cisaillement du mur mais cette fois basée sur la résistance en traction sur la diagonale. La compréhension de la théorie qui se cache derrière ces formules dépasse le cadre de ce projet. Nous nous contentons donc d’appliquer ces formules fidèlement. Dans le cadre de notre projet, on a pu remarquer que la résistance au cisaillement basée sur la résistance du mortier est plus basse que celle basée sur la résistance de la diagonale (constatation faite sur les deux cas particuliers et sur le modèle simplifié). Cela est dû au fait que l’effort normal est relativement faible et que ce dernier a une influence beaucoup plus grande dans la formule de QCE que de QCL. S’il avait été plus important, c’est peut être la résistance sur la diagonale qui aurait été déterminante. Nous devons garder uniquement la valeur minimale de résistance pour la suite du calcul et la détermination des paramètres des rotules de cisaillement. C’est en effet pour la résistance en cisaillement la plus faible que la rotule va se former.


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Rotules de flexion :

1) 0.9 wCE

w

lQ Nh

α⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

avec 0

w

hh

α =

α Facteur égal à 1.0 (si le mur fonctionne comme une poutre

console) ou 0.5 (si le mur fonctionne comme une poutre bi-encastrée)

N Effort normal sur la paroi (poids de la maçonnerie et charges comprises)

wl Longueur du mur

wh Hauteur du mur

0h Hauteur de moment nul (voir en fin de section)

2) 10.7

w aCL

w xk

l fQ Nh f

α⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠ avec a

n

NfA

= et 0

w

hh

α =

af Contrainte normale de compression

xkf Résistance à la compression de la maçonnerie (SIA 266 §3.1.3.3)

0h Hauteur de moment nul (voir en fin de section) De la même manière que pour le cisaillement, QCE est fonction de la résistance du mortier, tandis que QCL est fonction de la résistance à la traction de la diagonale du mur. A noter également que ce calcul ne nous donne pas des moments, mais les efforts tranchants correspondants. Pour les rotules de flexion, on garde pour la suite du calcul le minimum entre ces deux valeurs (QCE et QCL). Une fois la résistance au cisaillement de toutes les rotules trouvée, on peut calculer la rigidité de chaque mur qui est la dernière valeur à déterminer avant le calcul des paramètres. Les formules à utiliser, selon la FEMA, sont les suivantes et ne seront pas expliciter plus loin :

Rotules de cisaillement : 3

1

3w

m g

Kh

E I

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠

avec 1000m xk xkE E f= = ⋅

et 3

12w w

gt lI ⋅

=

mE Module élastique de la maçonnerie

gI Inertie de la section du mur

xkf Résistance à la compression de la maçonnerie (SIA 266 §3.1.3.3)


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Rotules de flexion: 0

1

(3 )6

w wCE

m g

Kh h hQ

E I

=⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ −

⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

0h Hauteur de moment nul (voir ci-dessous)

Nous devons finalement déterminer les paramètres à introduire dans ETABS, c’est-à-dire la loi force-déformation relative à chaque rotule. Pour ce faire, étant donné que nous pratiquons une étude non-linéaire du bâtiment, on utilise les valeurs des paramètres normalisés « c », « d » et « e » de la figure suivante. A partir de ces valeurs normalisées, de la rigidité et des valeurs de résistance au cisaillement calculées plus haut, on peut déterminer la relation force – déformation pour chacune des rotules selon le modèle proposé par FEMA 356. Il subsiste cependant un problème puisque le modèle force – déplacement à introduire dans ETABS est un modèle rigide plastique, ce qui n’est pas le cas de la FEMA. ETABS calcule en effet lui-même le comportement élastique automatiquement à partir des caractéristiques des matériaux. Il faut donc encore transcrire les valeurs de la FEMA à celles d’ETABS. Pour ce faire, on néglige la phase élastique de la FEMA. Il ne reste donc plus qu’à calculer les coordonnées des points « B », « C », « D » et « E ».

B C

D E

Fig. 21 Coefficient pour une analyse non linéaire

Fig. 22 Lois de comportement (FEMA , ETABS)


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Il faut encore relever qu’il est préférable d’introduire les valeurs réelles dans ETABS, c’est-à-dire d’introduire les valeurs non divisées par Qy pour la force et par hw pour les déplacements. Dans ce cas, il faut veiller à mettre des facteurs 1 sous les champs « Moment SF » et « Rotation SF » (fig. suivante). Finalement, les coordonnées doivent être légèrement modifiées, car ETABS n’arrive pas à calculer si on donne le même déplacement pour les points « C » et « D ». Une solution est tout simplement d’ajouter une faible déformation au point « D ».

2.7.5 Fonctionnement à la flexion La morphologie du bâtiment, ainsi que le type de liaison entre parois et dalles, peuvent faire varier considérablement le comportement flexionnel de la structure. En effet, suivant le positionnement des murs et des ouvertures (fenêtres par exemple), le comportement de la structure est sensiblement différent et influencera fortement les paramètres des rotules. Cette morphologie influence en fait la valeur de la hauteur de moment nul, valeur qui est indispensable au calcul des résistances en flexion et donc à la détermination des lois de comportement des différentes rotules. Deux cas limites sont en général à considérer :

• Comportement en console des refends en maçonnerie • Comportement en cadre des refends avec la dalle

Fig. 23 Facteur de « réduction »


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En général, la présence de linteaux de grande taille poussera le comportement de la structure vers un effet cadre. Des liaisons relativement souples entre les refends et la dalle provoqueront par contre un comportement en console. Cela est bien visible sur la figure suivante. Dans ETABS, ces deux cas limites peuvent être mis en évidence en jouant sur la rigidité de la dalle. L’effet cadre peut être approché par une dalle de rigidité infinie.

Fig. 24 Fonctionnement en flexion


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L’effet console peut, par contre, être créé avec une rigidité de la dalle plus faible (en général la vraie rigidité). Pour des parois en maçonnerie, la réalité se trouve très probablement entre ces deux cas limites. Dans ce sens une étude plus approfondie devrait être réalisée. Si des zones rigides sont aussi modélisées (voir plus loin), le comportement réel sera mieux approché. Dans le cas d’un comportement en cadre, la résistance propre de chaque rotule de flexion sera inférieure (car la valeur de α est plus faible). La résistance globale du bâtiment sera par contre évidemment meilleure car les valeurs de moments de flexion sont plus faibles (voir figure précédente). Pour mettre en évidence cela, on analysera un cas simple dans la partie dédiée à l’étude des cas élémentaires.

2.8 Zones rigides Lors de la modélisation du bâtiment, il faut penser à modéliser les zones rigides. Ces zones rigides augmentent la rigidité générale du bâtiment. Elles peuvent être modélisées soit par des éléments poutres, soit en « réduisant la hauteur libre » des éléments poutres verticaux représentant les murs. Dans le cadre de la modélisation de nos cas particuliers, nous n’avons pas eu suffisamment de temps pour modéliser les zones rigides.

2.9 Notions théoriques du calcul Pushover

2.9.1 Principes théoriques du calcul Pushover Le Pushover est une méthode de calcul, utilisée en particulier pour l’évaluation des structures existantes, qui consiste à appliquer une charge statique, d’allure triangulaire, sur la structure à analyser. Cette allure triangulaire a pour objectif de représenter l’effet d’un séisme par une force de remplacement statique. A partir de cette charge, qui est appliquée par étapes, le comportement non linéaire de la structure peut être défini. La non linéarité est en effet introduite dans la structure au moyen des paramètres des rotules de flexion et de cisaillement (voir chapitre « Rotules »).

3 N

2 N

1 N

R [KN]

d [m]

Fig. 25 Calcul Pushover et courbe de capacité


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L’exécution d’un calcul Pushover a pour objectif d’éviter de se lancer dans des méthodes plus poussées comme par exemple des calculs non linéaires dynamiques temporels. Cette méthode dynamique est plus exacte, car elle permet de définir le comportement réel d’une structure face à un séisme (graphiques déplacement-temps, accélération-temps). Toutefois, dans ce type de méthode, la difficulté se situe dans le choix du séisme, et plus particulièrement de son accélérogramme. En effet, l’étude doit être basée soit sur un séisme naturel mesuré, soit sur un accélérogramme artificiel. La définition de cette donnée de base pose des problèmes non négligeables et parfois reste très approximative. Malgré ses limites, comme par exemple le fait de modéliser le séisme comme une action unidirectionnelle, le Pushover représente un moyen satisfaisant de calcul qui permet d’acquérir des connaissances utiles sur le comportement de la structure.

2.9.2 Courbe de capacité Le calcul non linéaire permet d’obtenir une courbe de capacité de la structure. Cette courbe représente l’effort horizontal à la base du bâtiment en fonction du déplacement de celui-ci. La courbe de capacité est en général formée par une phase à caractère élastique linéaire suivie par une phase non linéaire correspondant à la formation des rotules de flexion et de cisaillement, jusqu’au moment de la rupture (défaut de résistance). La rupture est identifiable par une chute de l’effort à la base suite à un petit déplacement de la structure. Les stades de plastification, ainsi que les différents degrés d’endommagement, peuvent donc être introduits sur cette courbe.

2.9.3 Point de performance A partir de la courbe de capacité, il devient alors intéressant de comparer celle-ci avec la sollicitation d’un séisme. Pour considérer la demande d’un séisme, on utilise en général des courbes « Spectre d’accélération Sd – Spectre de déplacement Su ».

Fig. 26 Courbe de capacité


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Les axes de la courbe de capacité doivent donc être transformés afin d’avoir les mêmes unités :

• Réaction à la base / masse accélération • Déplacement / Facteur de participation modale déplacement

Plusieurs méthodes d’assemblage des deux courbes sont applicables. L’Eurocode 8 par exemple, permet de trouver un point de performance sur la base de la règle des déplacements égaux. Les normes américaines, par contre, prévoient des itérations avec plusieurs spectres représentants différents coefficients d’amortissement visqueux. Dans les deux cas on trouve ce que l’on appelle un « point de performance » qui permet de faire plusieurs considérations sur le comportement de la structure face au séisme. En principe, ce point devrait correspondre avec le déplacement maximal qu’on obtiendrait par la méthode non linéaire dynamique temporel. Selon les indications de l’Eurocode, le déplacement d’une structure équivalente élastique est trouvé par le prolongement de la partie élastique de la courbe de capacité jusqu’au croisement avec le spectre (point A). Le déplacement inélastique de la structure réelle est celui qui lui correspond sur la courbe de capacité au point B. Avec cette construction, on peut par exemple définir si la structure nécessite une augmentation de sa capacité de déformation ou bien une augmentation de sa rigidité.

Les normes américaines FEMA prévoient de croiser la courbe de capacité avec plusieurs spectres. Le comportement inélastique est approché par l’accroissement du coefficient d’amortissement visqueux. L’itération consiste en principe à trouver le point d’équilibre entre ductilité demandée et amortissement requis. Le point de croisement de la courbe avec un spectre permet de définir la ductilité nécessaire à la structure (rapport entre point D et point C).

Sd [m/s2]

Su [m]

> rigidité > capacité de déformation

Sd [m/s2]

Su [m]

A

B

Point de performance

Fig. 27 Point de performance selon Eurocode 8 et principe d’évaluation de la courbe de capacité


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2.9.4 Point de performance dans ETABS et introduction du spectre ETABS travaille sur le principe des normes américaines FEMA. Dans la figure ci-dessous on voit le processus d’itération permettant de trouver le point de performance. Le spectre en rouge est modifié pas à pas jusqu’à l’allure final donnant le point de performance (pour notre exemple : 306,866 – 0,204). Dans ce cas, le croisement se fait pratiquement à la limite du comportement élastique de la structure.

Sd [m/s2]

Su [m]

Augmentation de

C D

Point de performance

Fig. 28 Point de performance – principe de réduction du spectre

Fig. 29 Point de performance dans ETABS


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Dans ETABS il existe déjà, par défaut, plusieurs types de spectres. Toutefois, on pourra insérer un nouveau spectre qui s’adapte mieux à la structure analysée. La courbe du spectre peut être introduite à partir d’un ficher texte (.txt). Pour obtenir le point de performance il faudra toutefois appliquer des coefficients de calibrage (Ca et Cv) nécessaires pour se conformer à l’allure des spectres américains. Ces deux coefficients seront définis dans la fenêtre ci-dessus et sont calculés selon les indications du schéma suivant :

2.10 Préparation du calcul Pushover dans ETABS Dans ETABS, le calcul « Pushover » se fait à partir de l’application d’une charge triangulaire sur la structure. En général, deux cas de base sont à prévoir : le Pushover dans la direction X et celui dans la direction Y. Selon le type d’analyse qu’on veut faire, la torsion du bâtiment sera bloquée ou non. Pour des études particulières, la possibilité d’empêcher la rotation du bâtiment pourrait effectivement devenir intéressante. A l’utilisateur de choisir ce qui lui convient. Une fenêtre

« Analysis Options » permet de sélectionner le type de calcul choisi. Pour une analyse 3D, les cas suivants sont en général possibles :

• Pushover en X avec torsion • Pushover en X sans torsion (blocage des déplacements en direction Y) • Pushover en Y avec torsion • Pushover en Y sans torsion (blocage des déplacements en direction X)

Fig. 30 Détermination de Ca et Cv

Fig. 31 Degrés de liberté


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Les calculs se développent ensuite à partir d’un point de référence pour lequel le déplacement est contrôlé. De façon générale on choisira un point au dernier étage et le plus proche possible du centre de gravité de la structure. La définition du calcul Pushover se fait donc en trois étapes :

• Définition du Pushover pour les charges gravitaires • Définition du Pushover pour la direction X • Définition du Pushover pour la direction Y

Pushover charges gravitaires Il convient d’appliquer l’ensemble des charges gravitaires par étapes. On choisira par exemple une application en deux étapes (2 steps). La création d’un cas Pushover pour les charges gravitaires est indispensable pour la définition des deux autres cas. En effet, ces derniers utilisent comme base de départ les résultats finaux du premier. Par charges gravitaires, on entend l’ensemble des charges présentes sur la structure (poids propre, surcharges permanentes, charges utiles,…), par exemple selon les indications des Normes SIA 260 et 261 (séisme). Pushover direction X et Y Comme déjà expliqué ci-dessus, ces deux cas de Pushover (PushX ou PushY) doivent prendre comme point de départ la fin du premier calcul de type Pushover (PushPP). Les charges gravitaires doivent en effet être considérées lors du calcul Pushover. Les images ci-dessous illustrent les options à choisir : PushPP : Le point de référence est le 14 et se trouve au 2ème étage. La famille de

charges « DALLES » est considérée. Le nombre de pas choisi est égal à 2, car nous voulons simplement obtenir le résultat au dernier pas pour pouvoir procéder ensuite au PushX ou PushY.

PushX : Le point de référence est toujours le même. Un déplacement maximal de 1m est prévu. Le calcul débute à partir du cas PushPP et la famille de charges « EQX » est considérée (EQ = Earthquake). Le nombre de pas choisi est, cette fois, plus élevé car on souhaite obtenir un historique précis de la formation des rotules plastiques.

Après ces opérations, on est prêt pour lancer les calculs relatifs au Pushover selon X. Le Pushover selon Y s’effectue de la même manière.

Fig. 32 Paramétrage pour le Pushover


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2.11 Lancement des calculs

2.11.1 Précision demandée et durée de calcul La phase de calcul se divise en deux parties : calcul statique linéaire et calcul non-linéaire. Selon la taille du fichier et la précision demandée cette tâche demande peu ou énormément de temps. Pour ce faire, il conviendra d’adapter au mieux les requêtes aux objectifs à atteindre.

2.11.2 Appréciation des résultats et utilisation On insiste sur le fait que le programme exécute ses calculs sur la base de nos requêtes et de la structure qu’on introduit. L’utilisateur doit donc forcément prendre garde et être conscient que le programme ne corrigera pas les éventuelles erreurs commises. L’application de cas simples de référence sera donc très utile à l’utilisateur pour acquérir la confiance nécessaire et pour maîtriser la phase d’évaluation et de vérification des résultats. En tout cas il ne faudra jamais accepter, les yeux fermés, les résultats fournis mais toujours garder un fort esprit critique. L’utilisateur devra éventuellement anticiper les résultats avec des considérations intuitives plutôt que d’attendre ceux-ci et de se demander s’ils sont exacts. Pour donner un exemple simple, mais très parlant, on peut dire qu’une paroi élancée (en élévation) aura plutôt tendance à se « casser » par flexion (création de rotules en tête ou au pied) tandis qu’une paroi plus trapue se cassera par cisaillement. Dans cette phase d’évaluation des résultats, surtout en ce qui concerne le calcul non linéaire, l’utilisateur sera donc confronté à des nombreuses difficultés. La construction d’un « historique de plastification des rotules » pourra être une aide précieuse pour apprécier les résultats. Dans le cadre de l’évaluation d’une structure existante, les points suivants nous semblent en effet primordiaux :

• Définir si la structure pourra résister à l’arrivée d’un séisme (voir courbe de capacité)

• Relever les points faibles de la structure afin de déterminer un programme d’intervention

Un historique des rotules pourra finalement nous permettre de mettre en évidence les points faibles de la structure et les causes d’une éventuelle rupture.

3 Exécution des cas simples de référence

3.1 Paroi encastrée – formation d’une rotule de flexion

3.1.1 Description En suivant le processus décrit dans la première partie, on a créé un premier cas élémentaire montrant la rupture par flexion d’une paroi encastrée. Dans les images qui suivent, on voit la paroi en maçonnerie (hauteur 3m, largeur 2m et épaisseur 0,2m), les charges qui lui sont appliquées et les diagrammes correspondants.


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• Effort normal de 100 KN • Force horizontale pour l’application du Pushover de 10 KN

3.1.2 Calcul des rotules et emplacements Suivant les indications pour le calcul des paramètres des rotules, on a calculé une rotule de flexion et une rotule de cisaillement. Selon les diagrammes des images ci-dessus, les valeurs suivantes ont été utilisées :

• Effort normal N = 100 KN • Hauteur de moment nul h0 = 3 m ( α = 1, console parfaite)

Fig. 33 Cas simple – mur seul


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Les résultats du calcul sont visualisés dans les images ci-dessous.

3.1.3 Commentaires des résultats L’historique de formation des rotules, suite à l’analyse du cas Pushover (force horizontale appliquée au sommet de la paroi) est cohérent avec les résultats attendus. En effet on prévoyait la formation d’une rotule de flexion (élément élancé) au pied de la paroi. La paroi n’étant pas liée à d’autres éléments, le point E est atteint pour cette rotule de flexion et correspond à la rupture de la structure. Sur les images qui suivent, on peut visualiser le processus progressif de formation de la rotule : du point B (première plastification) au point E (défaut de résistance).

Il est intéressant de noter que la formation de la rotule (première phase, point B) correspond à un moment de flexion de 180 KNm. Cette valeur était déjà donnée dans les paramètres de la rotule de flexion. Cette phase correspond à un effort à la base de 60 KN, ce qui détermine le point de passage à un comportement plastique.

Fig. 34 Rotules du cas simple – mur seul

Fig. 35 Processus de formation des rotules


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3.2 Structure à 3 parois élancées – rupture par flexion

3.2.1 Description On a ensuite créé un cas plus complet pour montrer l’interaction entre plusieurs éléments. Dans ce cas on a construit un modèle formé par trois parois identiques (hauteur 3m, largeur 2m et épaisseur 0.2m) reliées par une dalle en béton armé. Les charges appliquées et les diagrammes correspondants sont visibles dans les représentations suivantes :

• Effort normal de 100 KN pour chaque paroi • Force horizontale pour l’application du Pushover de 100 KN

Dans ce cas particulier il faut noter aussi que la dalle a la seule fonction de lier les éléments entre eux. Aucune charge n’est appliquée à celle-ci.

Fig. 36 Analyse – Passage à un comportement plastique

Fig. 37 Diagramme cas simple – 3 murs élancés


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3.2.2 Calcul des rotules et emplacements Suivant les indications pour le calcul des paramètres des rotules, on a calculé une rotule de flexion et une rotule de cisaillement. Selon les diagrammes des images ci-dessus, les valeurs suivantes ont été utilisées :

• Effort normal N = 100 KN à chaque paroi • Hauteur de moment nul h0 = 3 m environ ( α = 1)

Les résultats du calcul sont visibles dans les images ci-dessous.

3.2.3 Commentaires des résultats L’historique de formation des rotules, suite à l’analyse du cas Pushover (force horizontale appliquée au sommet de la première paroi) est cohérent avec les résultats attendus. En effet, on prévoyait une rupture régie par des rotules de flexion (élément élancé). En outre, dans le tableau récapitulatif des rotules, on voit que la symétrie de la structure est bien visible. Les trois parois étant liées, on peut facilement comprendre que la résistance est beaucoup plus élevée par rapport au premier cas simple analysé. Cela est bien visible sur la courbe de capacité.

Fig. 38 Rotules cas simple – 3 murs élancés


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3.3 Structure à 3 parois (2 élancées + 1 trapue) - rupture au cisaillement

3.3.1 Description Après avoir vu les résultats du premier modèle, montrant une rupture par flexion on trouve intéressant de mettre en évidence un autre type de rupture, à savoir la rupture par cisaillement.

Fig. 39 Courbe de capacité – cas simple à 3 murs élancés


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On a donc construit un nouveau modèle, formé une fois encore de trois parois, mais avec celle du milieu beaucoup plus trapue (hauteur 3m, largeur 4m et épaisseur 0.2m). Les autres parois sont identiques au premier modèle. Les charges appliquées, identiques au premier cas, sont les suivantes :

- Effort normal de 100 KN pour chaque paroi - Force horizontale pour l’application du

Pushover de 100 KN

3.3.2 Calcul des rotules et emplacements Suite au calcul des paramètres des rotules on a remarqué un fort accroissement de la résistance des rotules M et S pour la paroi du milieu. On peut aussi remarquer que l’accroissement de la résistance en flexion est plus important que celui du cisaillement.

Fig. 41 Rotules – cas simple à 3 murs élancés


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3.3.3 Commentaires des résultats L’historique de formation des rotules, suite à l’analyse du cas Pushover (force horizontale appliquée au sommet de la première paroi) est cohérent avec les résultats attendus. En effet, on s’attendait à une rupture régie par une rotule de cisaillement dans la paroi centrale (élément trapu). En outre, dans le tableau récapitulatif des rotules, on voit que la symétrie de la structure est bien visible. La surface porteuse étant plus importante par rapport au cas précédent, on peut bien comprendre pourquoi la résistance maximale donnée par la courbe de capacité est plus élevée (520 KN environ contre les 360 KN du cas précédent).

Rupture

Fig. 42 Courbe de capacité et commentaires


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3.4 Mise en évidence de l’effet cadre ou console des parois

3.4.1 Description Dans cet exemple, basé sur la petite structure utilisée pour description générale de la modélisation en ETABS, on veut montrer l’effet du type de comportement de la structure (effet console ou effet cadre) sur les paramètres des rotules et sur la résistance globale. Dans un premier temps on a utilisé une rigidité infinie de la dalle pour simuler l’effet cadre (image de gauche). Dans un deuxième temps, la rigidité réelle a été réintroduite pour observer un comportement en console (image de droite). Dans les deux cas, le calcul Pushover a été lancé avec la rigidité réelle des dalles.

3.4.2 Calcul des rotules Les rotules ont été calculées pour les deux cas. Comme prévu, on observe une résistance plus grande dans le cas de l’effet console (α = 1 contre 0.5 pour un cadre). En effet, les résistances en flexion (QCE et QCL) sont directement proportionnelles au facteur α définit plus haut et qui dépend de la hauteur de moment nul h0.

3.4.3 Commentaires des résultats L’analyse des courbes de capacité obtenues nous montre que la résistance de la structure du premier cas (effet cadre) est effectivement supérieure.

9078

Fig. 43 Cadre et console

Fig. 44 Comparaison des courbes de capacité (cadre – console)


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4 Cas particuliers Dans la suite de ce rapport, nous allons nous concentrer essentiellement sur deux structures types proposées en début de projet. Ces structures sont en fait des bâtiments d’habitation très courants en Suisse. Le but du projet étant avant tout d’acquérir des bases sur la modélisation et de se confronter aux différents problèmes qui peuvent en découler, nous n’avons pas comme ambition dans ce chapitre d’étudier de manière complète les deux bâtiments et d’en faire ressortir tous les problèmes liés aux problèmes sismiques. Nous avons donc comme objectif d’élaborer dans un premier temps une véritable réflexion orientée sur chacun des bâtiments et de déceler les caractéristiques particulières à chacun des ouvrages. Nous voulons donc déterminer les différents modèles possibles permettant de pratiquer une véritable analyse du bâtiment. Dans un second temps, nous modélisons une ou plusieurs de ces variantes avec ETABS. Dans ce chapitre, nous allons donc expliciter les problèmes particuliers que nous avons rencontrés dans la modélisation des deux cas, car les problèmes ne sont pas toujours les mêmes d’une structure à l’autre. Nous allons également discuter et réfléchir sur l’historique de plastification des rotules en s’appuyant sur nos connaissances acquise lors de l’analyse des cas simples effectuée plus haut.

4.1 Bâtiment de douane de Dörflingen

4.1.1 Présentation du bâtiment

4.1.1.1 Description générale Le bâtiment qui nous est proposé d’étudier dans le cadre de ce projet a été construit en 1951 et se situe à Dörflingen, petit village du canton de Schaffhouse, près de la frontière allemande. Cet immeuble est relativement élancé et jouxte un autre bâtiment de hauteur plus faible. Dans le cadre de ce projet, par simplification mais également pour pouvoir transposer les résultats à d’autres ouvrages de même type, nous négligeons l’annexe et nous concentrons ainsi uniquement sur le grand bâtiment. Nous ne tenons donc pas compte des problèmes d’interaction dynamique qui peuvent apparaître à la jonction entre deux bâtiments de taille différente, tels que


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joints non conformes aux règles de l’art ou encore cisaillement des colonnes par la dalle du bâtiment adjacent. Ce type de bâtiment d’habitation est caractéristique de bon nombre d’immeubles en Suisse. En effet, sa structure générale se retrouve régulièrement avec son sous-sol, ses combles et ses deux étages. Les matériaux utilisés pour sa construction sont le béton pour les dalles et la maçonnerie non armée pour les murs et les fondations encastrées1. Le bâtiment mesure 20.54 m sur 9.33 m et a une hauteur de 13.5 m, soit des étages habités de 2.45m de haut. Les murs porteurs disposent, comme on le verra plus tard, d’une excellente continuité verticale, ce qui est très favorable au niveau de la conception parasismique. Leur disposition fait que les portées des dalles sont régulières et valent en moyenne 4 m (ordre de grandeur). Les murs porteurs sont au nombre de 20 dans le sens longitudinal (murs selon x) - dont 12 extérieurs - et 14 dans le sens transversal (murs selon z) - dont 6 extérieurs -. A noter que la délimitation entre murs porteurs et non porteurs est issue d’une hypothèse concernant l’épaisseur des murs. Cette hypothèse a pour principe de considérer les murs de plus de 12 cm d’épaisseur comme porteurs. L’épaisseur des murs extérieurs est de 20 cm tandis que les murs intérieurs porteurs mesurent 12 cm et 15 cm (cage d’escalier). Finalement, les surfaces porteuses longitudinales et transversales totales valent respectivement 7.226m2 et 6.508m2.

4.1.2 Localisation Le but final du projet étant d’étudier le comportement dynamique d’un bâtiment typique soumis à une action sismique, nous étudions avant toutes autres choses les articles de la norme SIA 261 concernant le séisme. Cette étude nous permet dans un premier temps de localiser Dörflingen dans une zone sismique, puis de déterminer différents paramètres utiles pour l’étude détaillée.

1 Selon « Bâtiment type suisse, typologie du bâti existant suisse en vue de l’appréciation de sa vulnérabilité sismique », Projet ENAC, GC Master 3, Bieri Martin, Gentil Tabea, Michaud Nicolas.


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Selon l’annexe F de la SIA 261, Dörflingen se trouve dans la zone sismique Z1. La valeur de calcul de l’accélération horizontale du sol (agd – composante horizontale maximale de l’action sismique) est fixée à 0.6m/s2. Ne disposant pas d’informations particulières concernant la classe de sol, il nous semble intéressant dans un premier temps de déterminer les spectres de réponse élastique pour chacune des classes de sol, ce qui peut être utile également dans l’optique de généraliser nos résultats à des bâtiments de même type situés dans d’autres régions. Dans un premier temps, on se réfère à une classe de sol C, la plus courante en Suisse, puis nous essayerons de voir les répercutions d’un changement de sol de fondation sur la structure étudiée.

Le bâtiment étant dédié à l’habitation, il n’est pas soumis à des charges importantes telles que des rassemblements importants de personnes. Nous pouvons donc en déduire que la classe d’ouvrage selon la norme est CO 1. Ceci permet de fixer le facteur d’importance gf = 1.0.


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Avec les valeurs précédemment mentionnées, nous avons pu déterminer les spectres de réponse élastique, qui nous permettrons de calculer à l’aide d’une feuille Excel les coefficients Ca et Cb et ainsi de convertir le spectre élastique de la norme suisse aux spectres de la norme américaine utilisés par ETABS. Ces courbes, traduisant ce que le séisme demande à la structure pour que celle-ci résiste, seront superposées aux courbes de capacités issues du calcul effectué avec le logiciel ETABS, considérant la non-linéarité de la maçonnerie. La superposition des deux courbes pour la recherche du point de performance de la structure est faite avec la méthode ADRS.

4.1.3 Caractéristiques techniques La norme propose deux articles concernant la régularité des bâtiments (SIA 261) :

16.5.1.3 Un système structural sera considéré comme régulier en plan si les critères suivants sont remplis: – La construction est approximativement symétrique en plan

par rapport aux deux directions orthogonales en ce qui concerne la rigidité horizontale et la répartition des masses.

– La forme de la construction vue en plan est compacte. Les dimensions totales des angles saillants ou des évidements ne dépassent pas 25% de la dimension en plan extérieure de la construction dans la direction considérée.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0.01 0.1 1 10

T [ s]

SOL A

SOL B

SOL C

SOL D

SOL E


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– La rigidité des planchers dans leur plan est grande en comparaison de la rigidité horizontale des éléments porteurs de construction verticaux.

16.5.1.4 Un système structural sera considéré comme régulier en élévation, si les critères suivants sont remplis: – Tous les éléments de construction participants à la reprise

des forces horizontales, comme les parois porteuses, les noyaux ou les cadres, relient sans discontinuité la fondation au sommet de la construction ou de la partie de la construction.

– La rigidité horizontale, la résistance ultime face aux forces horizontales et la masse des différents étages restent constantes sur la hauteur de la construction ou diminuent progressivement de bas en haut, sans variation brusque (exception: transition aux sous-sols).

Dans un premier temps, on peut remarquer sur les plans la parfaite continuité verticale des murs des fondations jusqu’au sommet du bâtiment (Fig. suivante). On peut également vérifier que la résistance aux forces horizontales ainsi que la masse des étages est constante sur la hauteur du bâtiment. Selon l’article 16.5.1.4 de la SIA 261, on peut donc dire que le bâtiment est régulier en élévation.

Pour ce qui est de la régularité en plan, nous avons localisé le centre de gravité ainsi que le centre de cisaillement du bâtiment. Ces deux valeurs sont identiques pour chaque étage étant donné que la configuration des murs est la même à chaque niveau. Les résultats de notre calcul sont les suivants : Dimensions du bâtiment 20.54 9.33

xs ys Centre de cisaillement [m] 10.09 3.90 xg yg Centre de gravité [m] 10.28 4.36

Différence 0.19 0.46


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Les résultats obtenus nous permettent de valider l’article 16.5.1.3 concernant la régularité en plan et de soulever que la torsion ne sera pas très importante dans le cas de notre bâtiment, vu la proximité des centres de gravité et de cisaillement. Pour confirmer la régularité en plan, nous avons également calculé indépendamment l’inertie totale des murs longitudinaux et transversaux. Les résultats sont les suivants :

Murs longitudinaux Iy [m4] 5.326

Murs transversaux Ix [m4] 5.929

Ces résultats montrent que la rigidité longitudinale est proche de la rigidité transversale, ce qui va également dans le sens de la validation de l’article 16.5.1.3. Ces principes étant respectés, la norme autorise à procéder au calcul des efforts dans les murs par la méthode des forces de remplacement selon le paragraphe 16.5.2 de la norme SIA 262. L’inertie calculée plus haut nous a aussi permis de quantifier l’importance relative de chacune des parois dans la reprise des efforts horizontaux (cf. Annexe). Ces résultats seront repris et comparés avec les résultats issus du logiciel ETABS plus loin dans le travail.

4.1.4 Définition des charges

4.1.4.1 Test du modèle (liaisons) : Lors de la modélisation du bâtiment, nous avons procédé au test des liaisons entre les différents éléments modélisés, soit les dalles et les murs, selon le paragraphe 2.4. Pour ce calcul, nous appliquons simplement une charge de 10kN/m2 sur chacune des dalles.

4.1.4.2 Charges réelles : Pour le calcul réel de la structure et donc la détermination du comportement sous séisme du bâtiment, nous appliquons évidemment les charges réelles selon la situation de projet de la norme SIA 260.

§ 4.4.4.5 SIA 260 – Situation de projet Séisme Ed = E {Gk, Pk, Ad, ψ2iQki, Xd, ad}

Il faut relever que nous avons négligé les charges du toit qui sont transmises directement aux fondations par l’intermédiaire des murs extérieurs. Toutes les dalles sont donc identiques au niveau des charges auxquelles elles sont soumises. Même pour ce qui est de la dalle des combles, nous avons décidé de prendre une charge utile de 2 kN/m2, normalement prescrite par la norme SIA 261 pour les zones


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d’habitation. Nous avons fait ce choix car la norme ne mentionne rien concernant les charges utiles pour le grenier. Au final, les charges utilisées sont les suivantes :

Dalle 0.2 m * 25 kN/m3 = 5 kN/m2 Surcharges (chape) 0.1 m * 25 kN/m3 = 2.5 kN/m2 Charge utile 2 kN/m2 * 0.3 [ψ2] = 0.6 kN/m2 Total 8.1kN/m2

Cette charge totale de 8.1 kN/m2 est répartie sur les dalles. Il faut mentionner que nous n’avons pas tenu compte du poids propre des parois qui est transmis directement aux fondations. Le poids des parois n’est en fait jamais considéré. Il faudrait approfondir l’étude pour savoir où et quand il faut considérer cette masse de murs, autrement dit s’il faut en tenir compte lors du Pushover, de l’analyse modale ou de l’analyse statique. Vu que dans le Pushover et dans la définition des modes, on utilise des modèles simplifiés considérant des masses ponctuelles au niveau des dalles, il n’est en effet pas évident de savoir dans quelle mesure le poids des murs est à prendre en compte.

4.1.4.3 Pushover : Dans le cadre de l’analyse «Pushover», nous considérons une charge triangulaire du type :

4.1.4.4 Analyse modale : Dans le cadre de l’analyse modale, nous considérons pour chacune des dalles la charge suivante :

kNmmmkN 3884

33.954.20/1.8 2

=⋅⋅

En fonction de ce calcul, nous plaçons finalement des masses ponctuelles de 40 tonnes aux quatre coins des dalles. A noter que ces masses peuvent agir dans les deux directions x et y.


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4.1.5 Modélisation sur ETABS

4.1.5.1 Préparation à la modélisation sur ETABS Avant de pouvoir modéliser le bâtiment de manière cohérente sur le logiciel informatique ETABS, nous avons repris le plan de base2 et l’avons redessiné sur Autocad, de manière à disposer clairement de la totalité des informations nécessaires. Nous avons donc essentiellement porté notre attention sur les dimensions et centres de masse des différents éléments porteurs, puisque ce sont ces valeurs qui nous permettrons plus tard de modéliser la structure. Il est important d’ajouter que dans le cadre de ce travail, nous avons négligé le rôle de la toiture dans le comportement de la structure tout en tenant compte du poids de celle-ci qui se dirige directement le long des murs porteurs extérieurs vers les fondations. Nous avons donc considéré uniquement le sous-sol ainsi que les deux étages principaux.

2 Bâtiment type suisse, typologie du bâti existant suisse en vue de l’appréciation de sa vulnérabilité sismique,

Projet ENAC, GC Master 3, Bieri Martin, Gentil Tabea, Michaud Nicolas.


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4.1.5.2 Choix des modèles utiles pour l’étude Comme expliqué dans la première partie de ce rapport, dans le cadre d’une analyse sismique d’un bâtiment, il est très important de réfléchir avant toutes choses à la « physionomie » du bâtiment qui donne différents renseignement sur la direction qu’il faut emprunter pour l’analyse approfondie. Bien que l’analyse approfondie du bâtiment ne soit pas de notre ressort dans le cadre de ce projet, nous avons malgré tout procédé à une réflexion permettant de choisir différents types de modèles qui pourraient être analysés dans le but de comprendre le comportement de la structure. Cette réflexion nous à permis de relever que l’influence du sol sur le niveau d’encastrement induisait de réels problèmes de modélisation. En effet, si les parois du sous-sol étaient en béton, on pourrait considérer le sous-sol comme une boîte rigide et ainsi positionner l’encastrement au niveau de la dalle du


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rez-de-chaussée. Pour la maçonnerie, cette hypothèse ne peut pas être acceptée sans une vérification détaillée. Compte tenu de tous ces éléments, nous avons choisi de travailler avec deux modèles représentant les cas limites du comportement de la structure, tout en sachant que la réalité se situe entre les deux. Ces deux modèles limites représentent le bâtiment avec l’encastrement au bas du sous-sol d’une part, le bâtiment avec encastrement au niveau de la dalle du rez-de-chaussée d’autre part. Ces deux modèles ont été modélisés sur ETABS et les résultats obtenus seront partiellement analysés plus loin. A noter que dans ces deux modèles limites, nous avons été confrontés à un problème de modélisation important. En effet, ETABS effectuant l’analyse non-linéaire uniquement pour les éléments poutres, nous avons dû modéliser le niveau du sous-sol avec des murs positionnés dans la parfaite continuité des autres étages. Ceci ne représente évidemment pas la réalité, puisque le sous-sol est composé de murs continus sur tout le pourtour du bâtiment. Sur ces deux modèles, il serait intéressant de pratiquer des analyses en bloquant alternativement les mouvements en x puis en y (en bloquant donc les effets torsionnels), ce qui est rendu possible par une option sur ETABS. Ce procédé permettrait de déceler précisément les points faibles du bâtiment. Entre les deux modèles limites, nous proposons également un troisième modèle intermédiaire sensé représenter de la meilleure manière la situation réelle (voir tableau ci-dessous). Ce troisième modèle recèle plusieurs problèmes au niveau de la modélisation, notamment au niveau du sol qui ne peut pas travailler en traction. Dans le cadre d’une analyse détaillée, il serait donc important d’essayer de modéliser ce cas intermédiaire d’une manière réaliste, ce qui nous renseignerait certainement sur le comportement effectif de la structure soumise à une sollicitation sismique. Cela n’a pas été effectué dans le cadre de ce projet pour des raisons de temps. Nous avons donné deux variantes au troisième modèle pour lesquelles il faudrait réaliser les trois études présentées dans le tableau, c’est-à-dire : laisser la torsion libre, puis bloquer alternativement chacune des directions. La première variante du modèle 3 modélise le sol comme un ressort ponctuel, la seconde comme une série de ressort tout au long de l’interface sol – mur. La première variante n’est pas optimale, puisque le fait de disposer un appui ponctuel va provoquer une augmentation locale de rigidité et donc une concentration des contraintes au droit de l’appui. De ce point de vue-là, la deuxième variante semble donc meilleure. Comme mentionné plus haut, on se retrouve confronté lors de la modélisation au fait que le sol ne peut pas travailler en traction et donc retenir la structure. Il faut donc réussir à dissocier dans ETABS le comportement de l’appui lorsqu’il est soumis à la compression ou à la traction. Il faudrait donc pouvoir assigner au ressort une rigidité k nulle en traction et une rigidité k réelle (ou, à défaut de données précises, de valeur infinie) en compression. Ceci est valable aussi bien pour la variante avec un ressort ponctuelle que pour celle avec des ressorts répartis. Il faut encore relever, dans le cadre de la modélisation de ces deux variantes, que l’on sera confronté au problème du positionnement des rotules. Considérant l’effet des appuis, ll ne semble en effet pas correcte de disposer, comme pour les modèles 1 et 2, des rotules de flexion aux extrémités des murs ainsi qu’une rotule de cisaillement à mi-hauteur du mur.


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Concernant le choix des modèles, il faudrait encore étudier de manière plus approfondie l’importance d’un comportement torsionnel du bâtiment. Pour chaque modèle, une étude uniquement dans la direction X, une autre étude dans la direction Y et une étude globale permettant la torsion devraient d’après nous être entreprises. Toutefois, étant donnée la faible distance entre le centre de gravité et le centre de cisaillement du bâtiment, il semble que l’effet torsionnel ne soit pas déterminant. Pour cette raison on a décidé de nous concentrer sur les deux cas limites en laissant actifs tous les degrés de liberté (torsion libre). On a représenté dans le tableau suivant l’ensemble des modèles qui, pour avoir un aperçu complet du comportement du bâtiment, nous semblent importants d’étudier :

Modèle 1 Modèle 2 Modèle 3 Sol Etudes

Rotules activables Rotules non activables

4.1.5.3 Exécution des tests Lors de la modélisation et après avoir implanté les murs ainsi que les dalles, nous avons pratiqué le test de l’effort normal pour vérifier la connexion entre les différents éléments modélisés. Pour ce faire, nous avons appliqué la charge répartie définie plus haut. Nous avons ensuite vérifié que la charge totale appliquée était identique à la somme des efforts normaux aux pieds des parois de l’étage inférieur (niveau d’encastrement. Par exemple, pour le modèle à trois étages, le test est vérifié comme on peut le voir sur le tableau suivant:

Nous avons ensuite appliqué une rigidité infinie à la dalle et vérifié la déformation du bâtiment à l’aide de l’animation ETABS. Le comportement de la structure est tout à fait conforme à nos attentes. Nous pouvons donc continuer la modélisation. Nous avons finalement relevé les efforts normaux sous charge réelle et les moments sous charge triangulaire correspondante pour déterminer les paramètres des rotules à l’aide d’un tableur Excel (voir annexes).

4.1.6 Analyse modale Pour comparer les résultats ETABS de l’analyse modale, nous avons calculé avec la méthode de Rayleigh le premier mode du modèle 1 (modèle à trois étages) :

VERIF. N Σdiagrammes Total calcul

Total ét.3 1504.20 1504.20 Ok

Total ét.2 3008.40 3008.41 Ok

Total ét.1 4512.60 4512.61 Ok


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Les résultats concernant la première période propre sont donc les suivants :

Rayleigh (à la main) ETABS Selon x (T1x) – 1er mode 0.198 0.183

Selon y (T2y) – 2ème mode 0.188 0.176 Les résultats nous semblent satisfaisants et nous permettent de confirmer la validité de la modélisation.

4.1.7 Critique des résultats

4.1.7.1 Modèle à 2 étages Plastification des rotules Dans le modèle à deux étages, suite à l’analyse de l’historique de formation des rotules, on peut ressortir les considérations suivantes :


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• Le cas du Pushover dans la direction X (PushX) est caractérisé surtout par la formation de rotules de flexion. Cela nous semble assez correcte, car les parois orientées dans la direction X sont essentiellement des parois élancées (en élévation). Toutefois, dans les parois 7,9 et 12, c’est-à-dire les parois les plus « trapues » dans la direction X, on remarque des ruptures par cisaillement. C’est finalement la formation de ces rotules de cisaillement, particulièrement dans la paroi 9 (la paroi la plus longue au centre du bâtiment), qui semble amener à la rupture du bâtiment. En effet, au dernier pas de calcul (rupture), seuls les murs 7 et 9 présentent des plastifications au-delà du point B (cf. loi de comportement des rotules).

• Dans le cas du Pushover selon Y, on rencontre par contre dans la plupart des

parois la formation de rotules de cisaillement. Cela nous paraît logique puisque les parois orientées selon Y sont pour la majorité des parois « trapues ».

• Dans le cas du Pushover selon Y, on remarque aussi la formation de quelques

rotules (seulement au premier stade de formation de la rotule entre le point B et le point C) dans les parois orientées selon X. Ceci n’est pas le cas pour le Pushover selon X, pour lequel aucune rotule ne se forme sur les parois en Y. Selon nous et comme montré dans la figure suivante, cela est dû au fait que, dans le cas du Pushover Y, les moments torsionnels introduits dans la structure sont repris par des bras de levier plus petits.

Pushover X Pushover Y

Centre de gravité Centre de cisaillement Reprise de la torsion par les murs Torsion produite par F

Courbe de capacité

• En ce qui concerne la courbe de capacité, on relève dans la figure suivante

que dans le cas du Pushover selon X, la résistance globale est plus faible, cela malgré la grande longueur du bâtiment dans la direction X. On remarque donc que malgré les dimensions du bâtiment, qui intuitivement nous pousseraient à supposer la direction Y comme plus faible, c’est bien la direction X qui est la moins résistante. Cela est dû au grand nombre ainsi qu’à la grande taille des murs orientés selon Y et à leur régularité. En effet, selon X, les façades sont formées essentiellement de murs de faibles dimensions.

F

F


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Réaction à la base [kN] Limite élastique Rupture PushX 250 380 PushY 480 540

A noter encore que les courbes de capacité sont inversées pour les deux sollicitations (PushX et PushY) à cause du sens inverse donné aux charges triangulaires dans le cas du Push Y. Point de performance Comme nous l’avons vu précédemment, les spectres utilisés dans ETABS ne correspondent pas à ceux de la norme suisse. Il faut donc introduire dans ETABS les coefficients CA et CV qui permettent de transcrire les spectres des normes suisses aux normes américaines. Dans le cas du bâtiment type de Dörflingen, nous nous situons dans la zone 1 et sur un sol de type C (selon norme SIA 261). Dans cette situation, le spectre élastique est le suivant :

Spectre élastique

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0.01 0.1 1 10T [s]

Se/a

gd

SOL C


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A partir de ce spectre, nous pouvons calculer les paramètres de conversion Ca et Cv. Voici les résultats obtenus :

Ca Cv Zone 1 0.069 0.1035

Zone 3b 0.184 0.276 Pour déterminer les coefficients, il faut faire attention à l’échelle verticale du graphique représentant les spectres et la courbe de capacité. Cette échelle verticale est en effet rapportée à l’accélération gravitaire g = 9.81 m/s2. Ces valeurs ont été introduites dans ETABS afin d’obtenir le point de performance de la structure. Cela nous permet de faire les considérations suivantes :

• Pour une zone sismique Z1, dans les deux directions X et Y, on se trouve encore dans la zone de comportement élastique de la structure. Cela nous indique en fait que le niveau de dégâts sera probablement acceptable. De plus, on remarque que dans la direction X on se trouve plus proche de la fin de ce comportement élastique. Cela confirme la résistance moins élevée de la structure selon cette direction.

• Pour une zone sismique Z3b, et donc dans une situation beaucoup plus

défavorable, le même bâtiment réagit par contre de façon différente. Dans la direction X par exemple, on se trouve déjà hors du comportement élastique et les déplacements associés au point de performance sont plus importants. Le niveau de dégâts associé à cette situation sera donc beaucoup plus important. Cela est évident vu la plus grande puissance du séisme.

Z1

Z3b


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4.1.7.2 Modèle à 3 étages Les considérations faites plus haut pour le cas du modèle à deux étages sont parfaitement valables pour le cas du modèle à trois étages. En effet : • L’historique de formation des rotules donne la même évolution du

comportement et permet les mêmes considérations • Les résistances dans les deux sens X et Y permettent les mêmes

constatations • Les résultats concernant le point de performance sont du même type Dès lors, nous trouvons intéressant de nous concentrer uniquement aux différences, en terme de résistance et de niveau de dégâts, que nous pouvons mettre en évidence. • Dans l’analyse des courbes de capacité, on remarque que la réaction à la

base est plus élevée dans ce cas. Ceci indique une résistance globale plus élevée du modèle à trois étages.

Réaction à la base [ kN] Modèle 2 étages Modèle 3 étages

PushX 380 540 PushY 540 580


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• Dans l’analyse des points de performance, l’équilibre entre la courbe de capacité et la sollicitation sismique est par contre trouvé par des déplacements relatifs de la structure plus importants. Cela nous semble clair car la hauteur du bâtiment est plus grande. Sans entrer dans les détails, si nous regardons les résultats, nous sommes tentés de dire que le niveau général des dégâts est plus important dans le cas à trois étages.

4.1.7.3 Conclusion Les résultats semblent nous donner un comportement du bâtiment assez proche du comportement attendu. Les remarques faites ci-dessus le démontrent. L’objectif de ce travail n’étant pas d’évaluer précisément les résultats de la modélisation, nous nous contentons d’apprécier brièvement leur validité au niveau conceptuel. En effet, la validation détaillée des résultats, également du point de vue numérique, sort du cadre de notre étude.

Z1

Z3b


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4.2 Bâtiment de douane de Vernier

4.2.1 Présentation du bâtiment Le bâtiment de la douane de Vernier est un immeuble d’habitation de 2,5 étages. Il a été construit en 1949 et se situe dans un environnement rural dans la campagne genevoise. Ses murs sont constitués de maçonnerie avec une épaisseur variant entre 15 et 35 centimètres et une hauteur variant selon les étages. Les dalles sont en béton. L’épaisseur de celle du premier étage est de 33 centimètres alors que celle du rez et du deuxième est de 27 centimètres. Dernier élément structurel, la toiture est en bois et a une forme inclinée de moins de 1,70 mètre de hauteur. A noter que les ouvertures de la cage d’escalier sont décalées par rapport aux autres d’un demi-palier. Nous avons effectué une simplification en considérant qu’elles se trouvent à la même hauteur que celles dans les étages et que la porte est située au rez-de-chaussée.


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4.2.2 Localisation Pour modéliser la réponse sismique du bâtiment, il faut déterminer le spectre du séisme. Pour cela, nous utilisons la norme SIA 261 qui nous indique que Vernier se trouve dans la Zone de sismicité Z1 où l’accélération maximale vaut : a = 0.6 m/s2. Pour le sol, nous utilisons la classe E3 fournie par le micro zonage, alors que pour l’importance su bâtiment nous sommes dans la classe d’ouvrage 1.

4.2.3 Caractéristiques techniques Afin de modéliser au mieux les murs sous ETABS, nous avons définit tous les murs porteurs individuellement par leurs dimensions et leur position.

4.2.3.1 Sous-sol Les murs du sous-sol étant différents de ceux des deux autres étages, nous leur avons ajouté la lettre A devant pour les distinguer de ceux du dessus que nous avons nommés B

3 http://prod.swisstopogeodata.ch/kogis_apps/erdbeben/index.php


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Plan du sous-sol :

4.2.3.2 Etages supérieurs Lorsque les murs sont superposés à ceux du sous-sol, nous avons réutilisé les mêmes chiffres dans la notation. Si toutefois au lieu d’un seul mur, il y en a deux, nous rajoutons les indices a et b pour différentier les deux parties.


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A noter encore que le mur X4 des étages supérieurs se trouve dans la même zone que celui du sous-sol, mais ne lui est pas superposé. Nous rajoutons donc une « ‘ » pour bien marquer qu’il y a une particularité. Il en va de même des murs X6, X7 et X8 du fond qui sont remplacés par un seul mur que nous nommerons X6’ et Y9 et Y10 remplacé par Y9’.

Plan des étages supérieurs :

X1a X2a X2 X3X3a

X4’ X6’ X10

X11 X12

X11

X13 X14

X10

X15

X16

X17

Y1

Y2

Y3

Y5 Y7Y8

Y11

Y9’


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4.2.3.3 Vues du bâtiment : Les refends en maçonnerie de terre cuite sont représentés en orange, les dalles en jaune et les contres-cœur et couvertes de portes et fenêtres en gris.

Vue d’ensemble 3D :

Refends dans les sens x et y :


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Refends du sous-sol, rez et 1er étage :

Refends et contre-cœur et couvertes de portes et fenêtres du sous-sol, rez et 1er étage :

Ensemble des murs


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4.2.3.4 Matériaux Les deux matériaux introduits dans le modèle ont les modules d’élasticité suivants :

Maçonnerie (murs): E = 7'000’000 KN/m2 Béton (dalles) : E = 30'000’000 KN/m2

4.2.3.5 Torsion Afin de savoir si la torsion est importante ou non dans le bâtiment de Vernier, nous avons déterminé avec l’aide d’un tableau EXCEL les centres de cisaillement et de gravité. Nous avons remarqué qu’à l’étage du sous-sol nous avons une grande différence entre les deux centres qui engendrera des efforts de torsions non négligeables.

4.2.3.6 Continuité des parois Le poids des murs et le poids de la toiture n’ont pas été considérés car ils sont transmis directement aux fondations par les murs. Néanmoins, ceci n’est pas tout à fait vrai sur la dalle en-dessus du sous-sol. En effet, comme on peut le voir sur la figure ci-dessous, où l’on a superposé les murs supérieurs et inférieurs de la première dalle depuis le sol, on se rend compte que l’on n’a pas la continuité de

Sous-sol Etages supérieurs

Centre de cisaillement Centre de gravité


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certains murs. Ce qui est très défavorable d’un point de vue parasismique. Nous avons pourtant gardé les charges ainsi, faute de trouver une meilleure alternative.

4.2.3.7 Critère de régularité La norme SIA 261 propose deux articles permettant de déterminer si un bâtiment est régulier ou non. La régularité en plan et en élévation. En plan (16.5.1.3): Le bâtiment a une forme compacte et la rigidité des planchers est grande en comparaison de celle des éléments porteurs verticaux, ce qui, du point de vue de la régularité, est positif. Par contre comme vu précédemment, la structure n’est pas symétrique en ce qui concerne la répartition des masses. En effet, les centres géométriques et de cisaillement sont très différents. Cela va provoquer de la torsion. Par ces remarques, nous pouvons admettre que le bâtiment n’est pas régulier en plan En élévation (16.5.1.4): Les parois porteuses étant discontinues sur la hauteur en certains endroits (comme vu plus haut), et les épaisseurs de dalles n’étant pas les mêmes pour tous les étages (les masses d’étage varient), nous pouvons dire que le bâtiment n’est pas régulier en élévation. La structure n’étant pas régulière, le calcul des efforts par une méthode élastique ne peut se faire qu’avec une analyse dynamique comme le spectre de réponse et pas avec la méthode des forces de remplacement, qui est une simplification de l’analyse par spectre de réponse.

4.2.4 Définition des charges Les charges que nous avons calculées et introduites dans le programme sont des charges réparties sur la dalle (poids de la dalle et charge utile). Le poids des murs et

Murs du sous-sol

Murs du rez


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le poids de la toiture n’ont pas été considérés car ils sont transmis directement aux fondations par les murs. Les Charges réparties considérées sur chaque dalle sont les suivantes :

Poids des dalles : 1ère et 3ème dalle 6.75 KN/m2 2ème dalle (plus épaisse) 8.75 KN/m2 Charge utile : 0.3 . 2 KN/m2 = 0.6 KN/m2

Cela nous donne un total de : 1ère et 3ème dalle 7.35 KN/m2 2ème dalle 9.35 KN/m2

4.2.5 Modélisation sur ETABS Dans cette partie, nous allons exposer les particularités de la modélisation propre à la douane de Vernier. Nous allons aussi expliquer comment nous avons résolu ces problèmes.

4.2.5.1 Position des murs Les plans fournis étant très détaillés, nous avons positionné les murs au centimètre près. Néanmoins, lors de l’exécution du maillage, nous avons remarqué que le programme avait des difficultés à l’effectuer lorsque les centres des murs étaient très proches les uns des autres. Cela se produisait entre le sous-sol et le rez. En effet, à cet endroit, les murs inférieurs étant plus épais, certains centres étaient distants de seulement 5 centimètres. Afin de résoudre ce problème, nous avons déplacé certains murs vers l’intérieur.

4.2.5.2 Visualisation de la modélisation Ci-dessous, le résultat de la modélisation du bâtiment de la douane de Vernier.

Murs inférieurs Murs supérieurs


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4.2.5.3 Résultat des tests de charges horizontales et verticales Voici les résultats obtenus par les tests de charges sur les murs X12-X15. Ces résultats sont concluants. A noter que la charge verticale a été appliquée par étage.

4.2.5.4 Problème de torsion Afin d’analyser au mieux les résultats, nous avons effectué l’analyse non linéaire avec deux modèles. Un premier sans changement puis un deuxième pour lequel on a bloqué le bâtiment en torsion. Nous avons effectué ces calculs afin de voir la conformité du modèle et l’effet de la torsion sur celui-ci en faisant la comparaison avec le modèle libre.


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4.2.6 Analyse modale Dans notre bâtiment, nous avons placé les charges modales aux quatre extrémités de la structure. Elles ont des valeurs différentes en fonction des étages à cause des différentes épaisseurs de dalle et des différentes charges. Nous avons : Rez-de-chaussée : 2/10 mkN Premier étage : 2/5.11 mkN Deuxième étage : 2/75.7 mkN La première période (dans le sens x) donnée par le programme ETABS est : 1367.01 =T Il est possible de comparer les résultats du premier mode donnés par le programme à des calculs effectués à la main. Nous pouvons utiliser :

- Norme SIA 161 : 3.0103

10===

NT

- Norme SIA 261 : 236.0915.705.0 75.075.0 =⋅=⋅= hCT t

- Rayleigh : 195.02111

1

2

1 =⋅

⋅==

∑

∑

=

=n

jjj

n

jjj

dm

dF

fT

π

Nous voyons que la valeur obtenue avec Rayleigh s’approche de la valeur fournie par le programme, même si la différence reste assez importante. Cela est dû notamment au fait que dans cette méthode, la valeur du moment d’inertie que nous avons utilisée est celle des étages supérieurs qui vaut environ 5 m4, sans tenir compte que celle du sous-sol est beaucoup plus importante et vaut 22.5 m4. En faisant une moyenne pondérée on obtient une valeur plus précise qui vaut : T=0.133. Les deux autres méthodes sont beaucoup plus conservatives.

4.2.7 Plastification des rotules Nous avons réalisé pour notre bâtiment un historique de la plastification des rotules. Nous l’avons effectué pour les deux cas avec et sans torsion.

4.2.7.1 Historique des rotules pour Pushover avec torsion : Pour le modèle avec torsion, un chargement dans le sens X mobilise aussi d’une manière relativement importante les murs disposés dans le sens Y. Nous avons donc réalisé un seul tableau pour le PUSHX de manière à bien voir cet effet sur certains des murs dans l’autre direction.


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Pour les murs dans le sens X nous constatons que les premiers à se plastifier sont ceux des étages supérieurs, à savoir plus particulièrement celui du sommet. Cela est dû au fait que l’effort normal y est beaucoup plus faible. Ces sections ne bénéficient donc pas de son effet favorable. D’autre part, le fait que l’étage du fond ne se plastifie quasiment pas est imputable à l’épaisseur des murs qui double presque en passant de 25 à 35 centimètres. Nous pouvons observer que les parties symétriques fonctionnent de la même manière comme par exemple les murs X12 à X15 dont le comportement est parfaitement symétrique. Cela traduit un comportement correct du modèle.

Nous constatons également que la rupture à lieu en flexion, dans une rotule supérieure du deuxième étage dans un des murs du milieu du bâtiment, à savoir le mur X6’. A noter qu’il est assez étonnant que ce mur relativement « trapu » subisse une rupture en flexion et non en cisaillement. Cela est peut-être un signe qu’il y a une erreur dans le calcul de nos rotules. Il faudrait effectuer une vérification et éventuellement les remplacer, mais faute de temps, cette opération n’a pas été effectuée.


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A noter encore que la seule rotule en cisaillement qui se plastifie est celle du mur X10 au sous-sol. Cela est normal puisqu’il est très « trapu ». Nous constatons, dans le sens Y, que les murs subissent des efforts dus à la torsion. Les murs extérieurs sont les plus sollicités puisqu’ils sont les seuls à se plastifier. Les autres n’atteignent jamais ce stade. Cela est dû au fait que ce sont les murs les plus éloignés du centre de torsion, les efforts y sont donc plus importants. Toutefois, nous remarquons également qu’ils se plastifient tardivement et de manière peu importante. Ce qui est logique puisque les murs dans orientés selon le sens Y subissent des efforts bien plus faibles que ceux dans le sens X.

4.2.7.2 Historique des rotules pour Pushover sans torsion : Dans ce cas, les murs dans le sens perpendiculaire à la charge ne sont presque pas sollicités. Aucun d’eux ne se plastifie. Nous voyons donc que la fonction permettant d’enlever l’effet de la torsion fonctionne correctement. Dans cette partie, nous effectuons par conséquent un historique dans les deux sens pour PUSHX et PUSHY pour les murs dans les sens respectifs. Nous pouvons observer que la rupture pour le PUSHX est la même que pour le modèle avec torsion. Elle a lieu dans la rotule en flexion du haut du deuxième étage du mur X6’ au step 6. D’autre part, à une exception près, l’historique est identique pour les deux cas. Cela est relativement logique car la torsion ne devrait pas avoir une influence très importante sur les murs dans le sens de la sollicitation. En ce qui concerne le PUSHY, nous constatons tout d’abord qu’il y a beaucoup plus de pas qui sont effectués. Il y en a en effet 28 au lieu des 6 du PUSHX. D’autre part il n’y a plus seulement un mur qui atteint la rupture, mais deux. Le bâtiment résiste à l’effondrement de la paroi Y5 au pas 23 jusqu’au pas 28 où c’est le mur Y7 qui est détruit.

Comme pour le PUSHX, l’effondrement est dû à des murs qui se trouvent proches du centre du bâtiment et qui sont relativement grands.

4.2.8 Courbe de capacité Nous avons obtenu les courbes de capacité suivantes : Avec torsion, PushX Avec torsion, PushY


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Sans torsion, PushX Sans torsion, PushY

Nous remarquons que la courbe pour le PushX est identique qu’il y ait ou non de la torsion. Par contre, ce n’est pas le cas pour le PushY. Ces résultats sont toutefois à prendre avec précaution, car nous ne sommes pas sûr des calculs des rotules qui semblent, comme dit précédemment, incohérents.

4.2.9 Point de performance Pour les coefficients Ca et Cv, nous avons obtenu les valeurs suivantes : Ca = 0.084 Cv = 0.105 Les résultats de la recherche du point de performance sont les suivants : Pour le modèle libre :


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Nous pouvons voir avec ce graphique que le programme n’arrive pas à trouver le point de performance. De plus la courbe de capacité à l’air très plate, comparée aux spectres. Pour le modèle bloqué en torsion :


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Sur ce graphique, on remarque que le logiciel a trouvé un point de performance. Néanmoins, ce point se trouve très loin sur la courbe de capacité (à la fin de la plastification), ce qui est relativement étonnant. Ces résultats surprenants peuvent être le signe que notre calcul des rotules comporte une erreur. Cependant, le fait d’avoir négligé l’introduction des zones rigides peut être la source de cette insuffisance de résistance. Il est également possible que le bâtiment soit simplement sous-dimensionné. Toutefois, cette dernière hypothèse ne semble guère plausible du fait que le bâtiment se trouve en zone Z1 (faible sismicité).

4.2.10 Conclusion On voit que le comportement général du modèle est cohérant. A travers l’historique des rotules et les déformations des premiers tests, que le modèle est globalement correct. Néanmoins, certains résultats semblent improbables. Une erreur s’est donc certainement glissée dans une étape de la modélisation. Le fait que le bâtiment ait été relativement mal conçu (torsion importante, murs non continus et le non alignement des murs sur un même étage) n’est pas favorable d’un point de vue sismique mais n’explique pas une si faible capacité a l’analyse du Pushover.


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5 Conclusion générale Ce travail nous a permis de nous familiariser avec la modélisation parasismique de bâtiments existants dans un programme relativement complexe. Cela a été très profitable puisque quel que soit le programme travaillant par éléments finis, les problèmes et les pièges à éviter sont souvent les mêmes. D’autre part, cela nous a permis de mieux comprendre comment fonctionnent les calculs statiques non linéaires du Pushover, ainsi que d’acquérir une idée du comportement d’un bâtiment en maçonnerie face à un séisme. Nous avons ainsi développé une certaine intuition du fonctionnement des structures face à ce type de sollicitations. Enfin, nous savons maintenant que pour déterminer la résistance ultime des murs, il faut d’abord définir le comportement des rotules qui dépend des efforts dans les murs. A noter qu’au début du projet, nous pensions effectuer une grande partie de notre travail sur l’analyse des résultats de nos bâtiments. Malheureusement, étant donné les nombreux problèmes rencontrés et la complexité d’une telle étude dépassant largement le cadre de nos connaissances, nous avons recentré nos objectifs sur la maitrise de la modélisation et des principes théoriques simples. Pour ce faire, nous avons utilisé des exemples simples qui mettent bien en lumière les différents comportements des structures. D’autre part, nous avons décidé de bien développer les étapes de modélisation pour permettre à d’autres utilisateurs de reprendre notre travail et ainsi de bénéficier d’une prise en main plus aisée. Cela leur permettra de passer plus rapidement à la partie analytique des résultats et ainsi de poursuivre notre travail.

Calcul Parasismique Par Etabs

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