Université Paris 7D.E.A. de physique nucléaire1988–89

EXAMEN DE THEORIE QUANTIQUE DES CHAMPS(polarisation des électrons de désintégration des muons)

t0 = Mardi 17 Janvier, 14 heures∆t = 68 heures

Avant tout rester calme et boire frais pour éviter tout affolement ! Les réponses àcertaines questions (surtout lorsqu’il s’agit de démonstrations) ne sont pas toujoursnécessaires pour aborder les questions suivantes et vous pouvez travailler selon vosgoûts, seul(e) ou en équipe. Vous devez remettre une rédaction personnelle devos solutions à Jacqueline Dufournet, au plus tard le 20 Janvier à 10 heures.Le bon usage, parfois observé dans la profession, voudrait que vous indiquiezscrupuleusement vos éventuelles sources (livre, article, cours ou échanges de toutenature avec un(e) collègue). Il est toujours possible que des erreurs, parfaitementinvolontaires, se soient glissées dans cet énoncé ; sachez rester critique. Les valeursempiriques dont vous pourriez avoir besoin sont à prendre dans la littérature†.

Pour décrire un monde uniquement composé de leptons (c’est déjà pas mal,mais il n’y a pas d’interaction forte), on envisage le lagrangien d’interaction

Lint = −q j ém · A +G√2

j†f· j

f,

avecjém

= ēγe + µ̄γµ + · · ·jf= ν̄eγ(1 − γ5)e + ν̄µγ(1 − γ5)µ + · · · ,

en fonction des opérateurs de champ e(x), νe(x), µ(x), . . . Ce lagrangien comportedonc un terme d’interaction électromagnétique qui provient de l’électrodynamiquequantique, fondamentale, et un terme d’interaction faible, phénoménologique.

1. Discutez les invariances des termes figurant dans Lint et déterminez ladimension de la constante de couplage phénoménologique G.

2. Dorénavant on étudie divers aspects de la désintégration du muon

µ− → e− + ν̄e + νµ�q, rµ �p, re �k1, r1 �k2, r2mµ me 0 0

† . . . par exemple : Particle Data Group, Review of particle properties, Phys.Lett. B 204 (1988), où vous trouverez aussi une bibliographie récente concernantle muon et sa désintégration.

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Désintégration des muons non polarisés

(attention à ne pas confondre les deux significations du symbole ν̄e : l’antineu-trino électronique ou le conjugué, à la Dirac, du champ de neutrino électronique !)Calculez l’élément de matrice Sfi de ce processus à l’ordre le plus bas non nul dela théorie des perturbations.

3. En déduire l’élément de matrice invariant Mfi correspondant, en fonctiondes bi-spineurs u(µ), u(e), v(1) et u(2).

4. Calculez la probabilité d9P de désintégration d’un muon dans une grossecaisse de volume V, durée T , en électron et neutrinos dont les impulsions sontrespectivement dans les pavés d3�p, d3�k1 et d3�k2, en fonction de |Mfi|2. En déduirel’expression du taux de désintégration d9Γ df= d9P/T .

5. Montrez que |Mfi|2 peut s’écrire sous forme de produit de deux traces deproduits de matrices.

6. On n’observe pas du tout les neutrinos (ni leur présence et encore moinsleurs polarisations) :6.1. Par quelle expression |M′|2 faut-il remplacer |Mfi|2 dans l’expression précé-dente ?6.2. Donnez l’expression correspondante du taux différentiel d3Γ/d3�p.

Désintégration des muons non polarisésOn effectue l’expérience avec des muons non polarisés et on ne mesure pas lapolarisation des électrons.

7. Par quelle expression |M′′|2 faut-il remplacer |M′|2 ?8. Reste à calculer enfin ce |M′′|2 . . . Montrez que |M′′|2 est de la forme

|M′′|2 = G2

4AαβBαβ ,

où les Aαβ et Bαβ sont des traces de matrices ne dépendant que de p et k1, et qet k2 respectivement. Reste à calculer ces traces :8.1. Que pouvez vous dire généralement des traces des produits de deux matri-ces Tr(M1M2) et Tr(M2M1) ?8.2. Montrez que Tr(γµγν) = 4ηµν . (Vous pouvez par exemple vous servir del’anticommutateur de γµ et γν .)8.3. Montrez que la trace du produit d’un nombre impair de matrices γµ est nulle.(Vous pouvez essayer de multiplier à gauche ce produit de matrices par 1 = (γ5)2

puis faire passer, par commutation, une de ces deux matrices γ5 à droite.)8.4. Montrez que

Tr(γµγαγνγβ) = 4(ηµαηνβ + ηµβηνα − ηµνηαβ).

(Vous pouvez par exemple essayer de ramener, par commutation, γβ à gauche duproduit.)

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Désintégration des muons non polarisés

8.5. Montrez que la trace du produit de γ5 et d’un nombre impair de matricesgamma est nulle.8.6. Montrez que Tr(γ5γµγν) = 0 (par exemple par le calcul direct pour quelquesvaleurs choisies de µ et ν, dans une représentation particulière).8.7. Montrez que l’on a, en fonction du tenseur de Levi-Civita,

Tr(γ5γµγαγνγβ) = −4i�µανβ

(par exemple en calculant cette trace lorsque deux indices ont la même valeur, enétudiant le comportement par rapport à la transposition de deux indices et enfinen calculant explicitement Tr(γ5γ0γ1γ2γ3)).8.8. Calculez Aαβ et Bαβ en fonction des composantes du tenseur métrique, dutenseur de Levi-Civita et des quadrivecteurs p, k1 d’une part et q, k2 d’autre part.

9. Montrez que

�µναβ�µ′ν′αβ = −2(δµ′µ δν

′

ν − δν′

µ δµ′

ν )

et calculez |M′′|2 en fonction de q, p, k1 et k2.

10. Quelle est alors l’expression du taux différentiel d3Γ/d3�p en fonction desintégrales

Iαβdf=

∫d3�k12ω1

∫d3�k22ω2

δ4(Q − k1 − k2)kα1 kβ2 ?

11. Calcul des Iαβ :11.1. Montrez que les Iαβ sont composantes d’un tenseur.11.2. A l’aide de cette propriété et de l’analyse dimensionnelle, écrivez la formegénérale de Iαβ en fonction des divers tenseurs à deux indices disponibles. Endéduire les formes de Iαβηαβ et de IαβQαQβ .11.3. Calculez d’autre part ces quantités directement en fonction de Q2 et del’intégrale ∫

d3�k12ω1

∫d3�k22ω2

δ4(k1 + k2 − Q).

Montrez que celle-ci est scalaire et évaluez la dans le système du centre de massedes deux neutrinos (!), c’est à dire lorsque �Q = 0.11.4. En déduire, par identification, la valeur de Iαβ .

12. Dorénavant toutes les questions concernent des muons au repos. Calculezle taux différentiel d3Γ/d3�p en fonction de G, mµ, me/mµ et ωp.

13. Quelle est la forme de la distribution angulaire des électrons ? Pouvait-ons’y attendre ?

14. Calculez le spectre en énergie des électrons, dΓ/dx, en fonction de x df=2ωp/mµ.

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Désintégration des muons non polarisés

15. Calculez dΓ/dx dans l’approximation me = 0 (si celle-ci vous semblejustifiée). Tracez la forme de ce spectre en fonction de x. Comparez cette formethéorique au spectre expérimental†.

16. Calculez le taux de désintégration Γ. En déduire, par comparaison avecla valeur mesurée de la durée de vie du muon, la valeur numérique de la constantede couplage G.

Polarisation des électronsOn envisage une expérience avec des muons non polarisés, dans laquelle on mesurele mode de polarisation de l’électron émis.

17. Par quelle expression |M(4)|2 faut-il remplacer |M′|2 ?18. Reste à calculer ce |M(4)|2 . . . Montrez que |M(4)|2 est de la forme

|M(4)|2 = G2

4EαβB

αβ

où les Eαβ sont des traces de matrices ne dépendant que de k1 et du spineur ure(�p)de l’électron.

19. Reste à calculer ces Eαβ . . . Pour cela, on peut d’abord déterminer uneexpression commode de la matrice ure(�p)ūre(�p) :19.1. Rappelez l’expression u1(|�p|3̂) du bi-spineur de base en représentation deDirac, d’hélicité +1, pour un fermion de masse m, impulsion �p, dans un repèredont on a choisi l’axe 3̂ selon �p.19.2. Que devient cette expression dans un repère où le fermion est au repos ?Calculez la matrice correspondante u1(0 × 3̂)ū1(0 × 3̂).19.3. D’autre part, on définit un quadrivecteur s+, associé à la polarisation dufermion d’hélicité +1, par(i) le fait que c’est un quadrivecteur (!),(ii) ses composantes dans le repère précédent, où le fermion est au repos : (s+µ)

df=(0, 0, 0, 1).Calculez s+

2 et s+ · p. Calculez explicitement les éléments de la matrice (/p +m)(1 + γ5/s+) dans ce repère.19.4. En déduire une expression (de forme indépendante du repère) de u1(�p)ū1(�p)en fonction de cette matrice.

20. Montrez que Eαβ = (1/2)(Aαβ +Fαβ) et calculez les Fαβ en fonction descomposantes du tenseur métrique, du tenseur de Levi-Civita, des quadrivecteurs k1,et se+ (associé à un électron d’hélicité +1), et de la masse me.

† Voir par exemple :D. Fryberger, Measurement of the Muon Decay Spectrum with a Wire Spark-Chamber Spectrometer, Phys. Rev. 166 (1968) 1379 ;S.E. Derenzo, Measurement of the Low-Energy End of the µ+ Decay Spectrum,Phys. Rev. 181 (1969) 1854.

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Désintégration des muons non polarisés

21. Calculez EαβBαβ en fonction de q, p, se+, k1, k2 et me.

22. En déduire l’expression intégrale (sur d3�k1 d3�k2) de d3Γ+/d3�p, le tauxdifférentiel de désintégration des muons non polarisés en électrons d’hélicité +1.

23. A l’aide de l’expression déjà trouvée pour Iαβ , calculez ce taux en fonctiondes quadrivecteurs q, p, se+, des énergies ωp, ωq et des masses mµ et me.

24. Calculez d3Γ+/dxd2p̂ pour la désintégration de muons au repos (�q = 0),non polarisés, en électrons (d’énergie x, direction p̂, polarisation se+) en fonctionde G, mµ, x et se+0 (la composante temporelle de se+ dans ce repère), dansl’approximation me/mµ � 1.

25. Reste à calculer se+0 . . . Pour cela :25.1. Rappelez les expressions des composantes contravariantes s′e+

µ et p′µ dansle repère où l’électron est au repos.25.2. Rappelez les expressions des composantes contravariantes pµ dans le repèredu laboratoire.25.3. En déduire les coefficients de la transformation de Lorentz entre ces deuxrepères, et la valeur de la composante se+0 dans le laboratoire.25.4. Quelle est la valeur de la composante se−0 correspondant au cas d’un électronfinal dans l’état d’hélicité −1 ?

26. Calculez explicitement, en fonction de G, mµ et x, les taux différen-tiels d3Γ+/dxd2p̂ et d3Γ−/dxd2p̂ correspondant respectivement aux cas d’un élec-tron final d’hélicité +1 et −1.

27. Vous préparez une diapositive du schéma de cette expérience et de sonrésultat pour une présentation dans un séminaire, mais à la projection cette dia-positive peut-être par inadvertance engagée à l’envers (la tête en bas, ou retournéede gauche à droite, ou les deux à la fois). Risquez vous une réaction de la part decertains membres de l’assistance ?

28. Préoccupations empiristes :28.1. Quels procédés expérimentaux pouvez-vous imaginer pour mesurer l’hélicitédes électrons émis ?28.2. Comparez vos prédictions théoriques pour l’hélicité des électrons émis auxrésultats expérimentaux.†

† H. Burkard & al., Muon decay : measurement of the positron polarization andimplications for the spectrum shape parameter η, V-A and T-invariance, Phys.Lett. 150 B (1985) 242.

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