DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES APPLICATION A LA MODELISATION DES STRUCTURES PAR ELEMENTS FINIS

ex-ef-matrice-raideur-poutre.doc/version du 01/11/2010/JG

ELABORATION DE LA MATRICE DE RAIDEUR

DE L’ELEMENT POUTRE EN FLEXION PLANE

OBJECTIFS Cet exercice à pour but de découvrir toutes les étapes permettant d’élaborer la matrice de raideur d’un élément fini poutre

sollicité en flexion plane

���� Rappel : sollicitation de flexion plane sur une poutre

Considérons une flexion de poutre s'effectuant dans un plan principal, par exemple (xy) et dont la ligne moyenne est portée

sur l'axe x . On rappelle qu'alors les éléments de réduction du torseur de cohésion au centre géométrique G de la section droite se

réduisent à : { }G

G

=z

yr

r

z

y

Mf

TCoh , où Ty est l'effort tranchant porté par l'axe y et Mfz le moment de flexion porté par l'axe z .

Les déplacements d'une section sont dans ce cas :

� v(x) : déplacement linéaire ou flèche suivant l'axe y du centre de la section.

� θz(x) : déplacement angulaire ou rotation de la section autour de l'axe z .

On montre que lorsque la surface latérale de la poutre est libre de tout effort, l'équilibre d'une tranche élémentaire dx de poutre

amène aux relations : 0dx

d=+ y

z TMf

et 0dx

d=

yT

Et la relation de comportement s'écrit dans le cadre de l'hypothèse de Bernoulli : z

2

2

zEIdx

vd

dx

dv)x( zMf

=⇒≅θ

���� Matrice de raideur

� Définition de l'élément fini

C’est une poutre de longueur l. Il a pour propriété de matériau un module d'élasticité longitudinale E, et pour propriété de

section droite le moment quadratique par rapport à l'axe z soit Iz. Cet élément fini sera représenté et modélisé pour le calcul par sa

ligne moyenne. Les centres géométriques des sections d'extrémités (1) et (2) sont les nœuds de l'élément. Le repère (xyz), lié à

l'élément, est le repère local.

Actions mécaniques extérieures

appliquées aux nœuds de l'élément

poutre en flexion plane

Déplacements nodaux et déformée

engendrés

21

Y1

N1

Y2

N2

y

x

<E, Iz, l>

v1

θθθθz1

v2

θθθθz2

21

élément de poutre non déformé

déformée apparente de l'élément fini

y

x

déformée réelle

Le chargement de l'élément consiste en des forces transverses et des moments respectivement y1Y , z1N au nœud (1) et

y2Y , z2N au nœud (2). Les degrés de liberté associés sont donc :

- les translations y1v au nœud (1) et y2v au nœud (2)

- les rotations de section z1zθ au nœud (1) et z2zθ au nœud (2),

2222- exprimer la fonction

déplacement d’un point courant

en fonction des déplacements

nodaux à partir des relations

d’équilibre et de comportement

1111- écrire l’expression

analytique de l’énergie de

déformation où apparaît le

déplacement d’un point courant

3333- introduire l’expression

du déplacement d’un point

courant dans l’expression de

l’énergie de déformation

4444- faire apparaitre une forme

quadratique des déplacements

nodaux dans l’expression de

l’énergie de déformation

5555- identifier l’expression

de l’énergie de déformation

avec celle issue d’une

écriture généralisée

6666- extraire la matrice de

raideur de l’élément fini

soit au total 422 =× d.d.l. pour l'élément.

� Expression des déplacements

Toute section droite intermédiaire d'abscisse x ( l≤≤ x0 ) a son déplacement repéré par :

� v(x) avec v(0) = v1 et v(l) = v2

� θz(x) avec θz(0) = θz1 et θz(l) = θz2.

On rappelle l'expression de l'énergie de déformation Epot. (cf. énergétique des structures) à partir du déplacement transverse v(x) de

toute section droite d'abscisse x pour la poutre de longueur l : dxdx

vdEI

2

1E

2

2

2

z.pot ∫

=

l

Le calcul de cette énergie nécessite donc de connaître la loi d'évolution v(x). L'élément étant supposé chargé uniquement en ses

extrémités, l'effort tranchant rT y y est donc constant. A partir des relations d’équilibre et de comportement au moment de flexion, on

peut écrire : 0dx

vdEI

dx

d

dx

d

4

4

z2

2

=−=−=zy MfT

la déformée v(x) est donc régie par l'équation différentielle : 0dx

)x(vd

4

4

=

qui conduit après intégrations successives à : v(x) = ax3 + bx

2 + cx + d

On obtient avec l'approximation de Bernoulli (dx

dv)x(z ≅θ ), les expressions suivantes :

v(x) = ax3 + bx

2 + cx + d

θz(x) = 3ax2 + 2bx + c

Calcul des constantes a, b, c, d en fonction des conditions aux limites, c'est-à-dire des déplacements des nœuds (ou d.d.l.) de

l'élément v1, v2 et θz1, θz2 :

pour x= 0 : v(0) = v1, → v1 = d

θz(0) = θz1, → θz1 = c

pour x= l : v(l) = v2, → v2 = al 3 + bl

2 + cl + d

θz(l) = θz2, → θz2 = 3al 2 + 2bl + c

On obtient un système de 4 équations à 4 inconnues a, b, c, d, dont la résolution amène à l'écriture regroupée suivante où l'on a

posé : l

xx =

v

v

)x2x3()xx(

6-)1x4x3()xx(

6

)xx()x2x3()xx2x( x2x31

)x(

)x(v

2z

2

1z

1

)

2222

23323232

z

θ

θ•

−−+−−

−−+−+−=

θ

×4(2 ioninterpolatd' matrice

ll

ll

Cette relation nous permet de connaître le déplacement de toute section droite intermédiaire, d’abscisse x, au moyen d'une matrice

d'interpolation (2×4).

� Détermination de la matrice de raideur

En dérivant deux fois la valeur de v(x) fournie par la relation précédente, on obtient la forme suivante de 2

2

dx

vd :

( ) ( ) ( ) 2z221z122

2

1x32

v1x26

12

x34v1x2

6

dx

vdθ−+−−θ

−+−=

llll

En substituant dans l'expression de l'énergie de déformation dxdx

vdEI

2

1E

2

2

2

z.pot ∫

=

l

, il vient après calcul :

θ−θθ+θ−θ+−

θ+θ++θ+= 2z222z1z1z222z122131z12

22z

223

21z

213z.pot v

124v

12v

12vv

24v

124v

124v

12EI

2

1E

llllllllll

qui se réécrit :

θ

θ•

−

−−−

−

−

•

θ

θ=

2z

2

1z

1

22

22

3

z

T

2z

2

1z

1

.potv

v

4626

612612

2646

612612

EI

v

v

2

1E

llll

ll

llll

ll

l

On obtient une forme quadratique des degrés de liberté v1, v2 et θz1, θz2 que l'on doit identifier à l'expression :

{ } [ ] { } dkd2

1E élél

Tél

élément

.pot ••=

Il apparaît ainsi la matrice de raideur : [ ]

−

−−−

−

−

=

22

22

3

zél

4626

612612

2646

612612

EIk

llll

ll

llll

ll

l

Le comportement de l'élément poutre en flexion plane dans son repère local s'écrit donc :

{ } [ ] { }

θ

θ•

−

−−−

−

−

=

⇔•=

2z

2

1z

1

22

22

3

z

2

2

1

1

élélélv

v

4626

612612

2646

612612

EI

N

Y

N

Y

dkF

llll

ll

llll

ll

l