Etude de l’évolution des ventesEtude de l’évolution des ventes(1993-1999)(1993-1999)

Application Box & JENKINSApplication Box & JENKINS

Réalisé parRéalisé par : : Mr : OUAICHOUCHE HarounMr : OUAICHOUCHE Haroun

Mr : ABEDI Lotfi Ahmed Mr : ABEDI Lotfi Ahmed Mr : MERAJI Adem Mr : MERAJI Adem

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

E.N.S.S.E.A

Thème

Introduction   Introduction  

C’est une approche itérative qui consiste à identifier le modèle susceptible de représenter le phénomène étudié, elle se réfère à deux types de modèles autorégressifs et une moyenne mobile ou à une combinaison des deux, cependant ; la modélisation d’une chronique nécessite au préalable une stationnarisation.La méthodologie exige le passage des étapes principales suivantes :

Méthode de Box & JenkinsMéthode de Box & Jenkins

L’analyse de la série brute (stationnarité) L’identification du modèle L’estimation du modèle La validation du modèle Les prévisions.

Avant d’effectuer des tests sur cette série et de chercher à la modéliser , il convient d’étudier ces caractéristiques stochastique, telle que la variance et la moyenne, caril est nécessaire de vérifier que, pour cette série étudier, la variance et la moyenne restent stable au cours du temps.

Analyse de la série Vente  Analyse de la série Vente 

Ces deux graphes nous donnent un aperçu sur la nature de la série, nous constatonssur les deux graphes que la variance et la moyenne varient avec le temps.

Le graphe de la série laisse apparaître une tendance déterministe sur tout la duree ainsi que des fluctuations régulières qui traduisent la saisonnalité. Ceci est confirmé parles corrélogrammes qui présentent des pics significatifs aux retards 12 et 24. Ceux-ci nous amènent à supposer que, notre série est non stationnaire.

Analyse du graphique et du Analyse du graphique et du corrélogrammecorrélogramme

Analyse de la saisionnalitée Analyse de la saisionnalitée 

0H

Le test classique en cette matière est le test de Fisher, -Test d’influence du facteur ligne (mois) :

H : « Pas d’influence du facteur mois : pas de saisonnalité »

H : « Il y a influence du facteur mois : existence de la saisonnalité ».-Test d’influence du facteur colonne (années) :H : «La série n’est pas affectée d’une tendance» H : « La série est tendancielle ».

ANALYSE DE VARIANCE Source des variations Somme des carrés Degré de liberté Moyenne des carrés F Probabilité Valeur critique pour F

Lignes 31707,11444 11 2882,464949 32,7626356 3,3737E-20 1,967546647

Colonnes 34308,38278 5 6861,676556 77,9910987 1,0299E-23 2,382823301

Erreur 4838,913889 55 87,98025253

Total 70854,41111 71

CalFtabF

CalF tabF

-Règle de décision :

=32,76 > =1,96 ,accepter ,donc la série est Saisonnière.

=77,99 > =2,38 , accepter H0 ,donc la série est Tendancielle.

H0

Désaisonnalisation de la série : Désaisonnaliser une chronique, c’est éliminer cette saisonnalité sans modifier les autres composantes de la chronique, ce qui rend cette opération sensibles et délicate, cela explique le grand nombre des méthodes de Désaisonnalisation, mais avant il faut savoir qu’on est fasse à quelle type de saisonnalité (la sélection du schéma), afin de choisir la bonne méthode de Désaisonnalisation.-La sélection du schéma : Le schéma est déterminer selon 2 procédures :a)La procédure de la bande : Cela consiste à relier, par une ligne brisée, toutes les valeurs hautes et les valeurs basses de la chronique. Si :Les 2 lignes sont parallèles, la décomposition de la chronique se fait selon un schéma Additif.Sinon, la décomposition de la chronique se fait selon un schéma Multiplicatif.•Le test de Buys-Ballot : Ce test consiste a estimer par la méthodes des MCO les paramètres et de l’équation :la règle de décision est la suivante :

H0 : « n’est pas significativement différent de0 : c’est un schéma Additif »

H1 : « est significativement différent de 0 : c’est un schéma Multiplicatif »

a0

a0

a0

a1

Application du test de Buys-BallotLe test est fondé sur les résultats du tableau ci-dessous :Comme on a le nombre d’années suffisant (n=6), nous pouvons estimer par la

méthode des MCO les paramètres a1 et a0 de l’équation :

i = a1 + a0 * +ei

La règle de décision :

H0: a0 =

0 H1 : a0 ≠

0

Tc > t Student = 2,447 ...donc on accepte H1 le modèle est multiplicatif.

 Coeffici

entsErreur-type

Statistique t

Probabilité

Limite inférieure pour

seuil de confianc

e = 95%

Limite supérieure pour seuil de confianc

e = 95%

Limite inférieure pour

seuil de confianc

e = 95,0%

Limite supérieure pour seuil de confianc

e = 95,0%

Constante

0,84432097

3,07094197

0,27493876

0,79698012

-7,68198

0839,37062

276

-7,68198

0839,37062

276

Variable X 1

0,18897523

0,02559041

7,38461008

0,00179279

0,11792485

0,26002561

0,11792485

0,26002561

Dans notre cas les méthode les plus adopter sont la dessaisonalisation par moyenne mobile ou par différenciation. Dans notre série le schéma est

Multiplicatif ,alors on va procéder par les 2 manier :

PARTIE 1:PARTIE 1: désaisonnalisation par moyennes mobiles simples désaisonnalisation par moyennes mobiles simples

Afin de gommer la saisonnalité, on utilise l’option Moving Average dans Eviews Afin de gommer la saisonnalité, on utilise l’option Moving Average dans Eviews qui nous rend la série sans saisonnalité, et voici les graphes comparatifs des 2 qui nous rend la série sans saisonnalité, et voici les graphes comparatifs des 2 séries V et VSA :séries V et VSA :

D’après le graphe, on constate que notre série est désaisonnalise cela est D’après le graphe, on constate que notre série est désaisonnalise cela est confirme par le corrélogramme (FAC). confirme par le corrélogramme (FAC).

Méthode de désaisonnalisation par moyenne mobile :Méthode de désaisonnalisation par moyenne mobile :

Voici les cœfficients saisonnières :

On applique le test de DF pour confirmer la non stationnarité de la série VSA :Pour cela, il faut choisir un retard P qui minimise Ackaike et Schwartz de telle façon que les résidus sont des Bruit Blanc.

ppM{3}M{3} M{2}M{2} M{1}M{1}

AIKAIK SCSC AIKAIK SCSC AIKAIK SCSC

00 7,287,28 7,317,31 7,267,26 7,337,33 7,17,1 7.197.19

11 7,197,19 7,257,25 7,27,2 7,297,29 7,117,11 7,247,24

22 7,167,16 7,257,25 7,167,16 7,297,29 7,147,14 7,37,3

33 7,177,17 7,37,3 7,177,17 7,337,33 7,157,15 7.347.34

On constate bien que le retard ou Ackaike et Schwartz sont minimiser est P =0, cela est engendrer par le blanchement des résidus .

Correlogramme des résidus quand P=0:Correlogramme des résidus quand P=0:

D’après le Correlogramme des D’après le Correlogramme des résidus ,on constate que ces résidus ,on constate que ces résidus forment un bruit blanc car résidus forment un bruit blanc car tous les pics sont a l’intérieur de tous les pics sont a l’intérieur de l’intervalle de confiance ,et pour l’intervalle de confiance ,et pour confirmer ces résultats on applique confirmer ces résultats on applique le test de le test de Ljung-BoxLjung-Box pour le pour le retard 19 :retard 19 :

Q state= = 18,068Q state= = 18,068 Et la valeur tabule de Khi deux au Et la valeur tabule de Khi deux au

seuil de 5 % (17) est égale à seuil de 5 % (17) est égale à 27,58 27,58

Donc Q < , Donc Q < , 2758,)(172

)05,0(

Donc on peut appliquer le test de Dickey-Fuller D’où on accepte l’hypothèse H0 , les résidus forment un bruit D’où on accepte l’hypothèse H0 , les résidus forment un bruit blanc.blanc.

0)(:1

0)(..................)1()0(:0

ilH

klllH

kn

ilnn

k

i

2^)()2( 0

Algorithme de Dickey –Fuller augmentéAlgorithme de Dickey –Fuller augmenté : :

CalDF

91,3

tabDF CalDF35,4

tabDF

CalDF tabDF

On constate que la série est composée d’une tendance significative :

= >

=2,79 la série est Tendancielle.= >

=3,11 la série est avec Constante.

=-4,48 =-3,46 la série est sans Racine Unitaire.

Donc le type de notre série est TS (Trend significative)avec dérivé.

Application du test de Dickey-Fuller

Application du test de Phillips-PeronApplication du test de Phillips-Peron

CalDF

tabDF CalDF35,4

tabDF

CalDF tabDF

>

=

=-4,48

91,3 >

=2,79 la série est Tendancielle.

=3,11 la série est avec Constante.

=-3,46 la série est sans Racine Unitaire.

Celons ces résultats, on remarque que PP nous donne la même conclusion que DF

On constate que la série est composée d’une tendance significative :

=

Donc le type de notre série est TS (Trend significative)avec dérivé.

Phillips-Peron Dickey-Fuller

Correction non paramétrique

L’erreur suit un processus ARMA(p,q)

Règle le problème d’heterocedastcitéAu même temps l’autocorrelation

Moins sensible du choix du L = T^(1/4) L : paramètre troncature

Correction paramétrique

L’erreur suit un processus AR(p)

Règle le problème l’autocorrelation

Le retard P qui minimise Ackaike et Schwartz pour blanchir les résidus.

Dans ce cas en va estime la tendance de la façon suivante:Dans ce cas en va estime la tendance de la façon suivante:

E(VSA)= 150.4632718 - 0.9398373329*(@TREND(1993:01))Et pour stationnariser la série, Et pour stationnariser la série, on retranche la tendance de la série:ST=VSA-E(VSA)

Nous avons notre nouvelle série STNous avons notre nouvelle série ST::

D’après le graphe et le corrélogramme, on constate que la série est bien D’après le graphe et le corrélogramme, on constate que la série est bien stationnaire, que l’on confirmé avec le test de Dickey-Fullerstationnaire, que l’on confirmé avec le test de Dickey-Fuller

donc effectivement notre série est stationnaire, alors en va procède a donc effectivement notre série est stationnaire, alors en va procède a l’autre étape l’identificationl’autre étape l’identification

M{1}M{1}

M{3} M{2} M{3} M{2}

L’identification du modèle

1.1. D’après l’FAC : D’après l’FAC : MA (1),( 2),( 3),(10),( 11),( 12),(13)MA (1),( 2),( 3),(10),( 11),( 12),(13)

2. D’après la PAC : 2. D’après la PAC : AR(1),(10)AR(1),(10)

3. Et d’après la combinaison des 2 3. Et d’après la combinaison des 2 fonctions : fonctions :

ARMA(1,1),(1,2),(1,3),(1,10),(1,11),ARMA(1,1),(1,2),(1,3),(1,10),(1,11),(1,12),(1,12),

(1,13),(2,1),(2,2),(2,3),(2,10),(2,11),(2,12),(1,13),(2,1),(2,2),(2,3),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13)(2,13)

L’estimation du modèleOn va estimé les paramètres comme suite : ex On va estimé les paramètres comme suite : ex ( AR(1) )( AR(1) )

Donc AR(1) est condidatDonc AR(1) est condidat

On procède á l’estimation des modèles identifiés, en acceptant les modèles ou les coefficients sont significativement différents de zéro :

2

2

212

1

0

)(

0)1(:

0)1(:

t

T

t

t

T

t tDW

lH

lH

)(

)(

0:

0:

1

0

V

ET

H

H

student

= 5,60 est comparée 96,1tabT

donc accepter H0 le paramètre est significatif

accepter H0 absence d autocréation d’ ordre 1

=2,09

Test:Test:

on voie aussi que l inverse de la recine unitaire est <1

La validation du modèle

D’après le Correlogramme des résidus D’après le Correlogramme des résidus ,on constate que ces résidus forment ,on constate que ces résidus forment un bruit blanc car tous les pics sont a un bruit blanc car tous les pics sont a l’intérieur de l’intervalle de confiance l’intérieur de l’intervalle de confiance ,et pour confirmer ces résultats on ,et pour confirmer ces résultats on applique le test de applique le test de Ljung-BoxLjung-Box pour le pour le retard 19 :retard 19 :

Q state = = 18,068Q state = = 18,068 Et la valeur tabule de Khi deux au seuil Et la valeur tabule de Khi deux au seuil

de 5 % (18) est égale à 28,86 de 5 % (18) est égale à 28,86 Donc Q < , Donc Q < , 2868,)(182

)05,0(

D’où on accepte l’hypothèse d’absence d’autocorrelation des D’où on accepte l’hypothèse d’absence d’autocorrelation des résidus ce qui résidus ce qui

confirme que les résidus forment un bruit blanc.confirme que les résidus forment un bruit blanc.

0

0)(:1

0)(..................)1()0(:0

ilH

klllH

kn

ilnn

k

i

2^)()2( 0

Test de normalité:Test de normalité:Histogramme des résidusHistogramme des résidus

JB = 10,16 > 99,5)2(2)05,0(

V1 =

V2 = 96,123,275/24

325,4

/24

32

n

B

96,185.275/6

08,0

/6

02/1

1

n

B

TEST:H0 : résidus suis une loi normaleH1 : residus ne suis pas la loi normale

nous rejetons l’hypothèse de normalité en ce qui concerne l’aplatissement et la symétrie de la distribution, ce qui est confirmé par le test de Jarque-Bera Ce qui veut dire que les queues de la probabilité de cette distribution sont plus épaisses que celles de la loi normale , aussi il y a absence de symétrie parfaite.Les résidus forment un bruit blanc non gaussien.Alors en peut pas calculer l intervalle de prévision.

Test d’homoscédasticité:Test d’homoscédasticité:

On a :TR2 = 0.627341<  =5.99 au seuil 5%. On accepte alors On a :TR2 = 0.627341<  =5.99 au seuil 5%. On accepte alors )2(2)05,0(

l’hypothèse nulle H0: d’homoscédasticité de la variance . l’hypothèse nulle H0: d’homoscédasticité de la variance . Nous Nous avons donc absence d effet ARCH. avons donc absence d effet ARCH.

0:

0............:

..........

1

110

2211110

2

i

kk

ktkktkttt

aH

babaH

xbxaxbxaa

TEST DE WHITE:TEST DE WHITE:

Le test de white permet de testé Le test de white permet de testé l’homoscédastisité entre les résidus ainsi la l’homoscédastisité entre les résidus ainsi la

corrélation entre les résidus et leurs corrélation entre les résidus et leurs regresseurs. On a choisi ce test par ce que regresseurs. On a choisi ce test par ce que il dépend pas de la normalité des résidusil dépend pas de la normalité des résidus

Ce qui est confirmé avec le Ce qui est confirmé avec le correloggramme des résidus au correloggramme des résidus au

carréscarrés

2

Résultats de la prévisionRésultats de la prévision : :

PB CVS PREVISION

mai-99 79,03563 1,177834 93,0908522

juin-99 78,0958 1,23665 96,5771711

juil-99 77,15596 1,175967 90,7328628

août-99 76,21612 1,10907 84,5290122

sept-99 75,27629 1,051867 79,1806453

oct-99 74,33645 1,110385 82,542079

nov-99 73,39661 0,903868 66,3408471

déc-99 72,45677 0,729815 52,8800376

janv-00 71,51694 0,75804 54,2127012

févr-00 70,5771 0,750187 52,9460229

mars-00 69,63726 1,009837 70,3222817

avr-00 68,69742 1,189735 81,731725

PB : les prévisions de la série désaisonnalisée. CVS : les coefficients saisonniers. prévision : les prévisions de la série brute.

PREVISION = PB * CVS

Graphe de prevision:Graphe de prevision:

notre série est de type:notre série est de type:

)0,0,1(12SARIMA

PARTIE 2: PARTIE 2: désaisonnalisation pardésaisonnalisation par

DIFFERENCIATIONDIFFERENCIATION

Analyse du graphique et du Analyse du graphique et du corrélogrammecorrélogramme

Afin de gommer la saisonnalité, on applique l’opérateur (1-B12 ) à la série V.

Apes avoir efféctué le test de ADF(p=1)Apes avoir efféctué le test de ADF(p=1)On a trouvé que V est intégré d ordre 1 (DS sans dérrivé).On a trouvé que V est intégré d ordre 1 (DS sans dérrivé).Alors on la appliqué le filtre de différenciation d ordre 1:Alors on la appliqué le filtre de différenciation d ordre 1:

(1-B) DVS (1-B) DVS

On voit d après le corrélogramme que PAC On voit d après le corrélogramme que PAC converge rapidement ver 0 donc notre converge rapidement ver 0 donc notre

nouvelle série DDV est stationnaire(intégré nouvelle série DDV est stationnaire(intégré d’orde 0) ce qui a été confirmé avec le test d’orde 0) ce qui a été confirmé avec le test

de dickey-fullerde dickey-fuller .

AIK SC R^2%

AR(1) 7,82 7,85 15

MA(1) 7,76 7,80 18

ARMA (12,1)

7,56 7,63 34

après avoir effectué les différentes étapes avec leur test après avoir effectué les différentes étapes avec leur test on a trouvé qui il y a 3 modèles valides .on a trouvé qui il y a 3 modèles valides .

On a utilisé 3 critère afin de déduire le meilleure modèles entre euxOn a utilisé 3 critère afin de déduire le meilleure modèles entre eux

Donc d âpres ces critères(minimiser AIK,SC,RMSE et maximiser R^2Donc d âpres ces critères(minimiser AIK,SC,RMSE et maximiser R^2 on a choisi ARMA(12,1))on a choisi ARMA(12,1))

Graphe des prévisions:Graphe des prévisions:

12)1,1,12(SARIMA

notre série est de type:notre série est de type:

Prévision(df)

Prévision(Mv)

mai-99 100.0498 93,0908522

juin-99 97.69451 96,5771711

juil-99 103.2553 90,7328628

août-99 103.4799 84,5290122

sept-99 94.71099 79,1806453

oct-99 86.16667 82,542079

nov-99 102.0509 66,3408471

déc-99 75.25385 52,8800376

janv-00 66.16410 54,2127012

févr-00 71.58718 52,9460229

mars-00 78.85020 70,3222817

avr-00 111.5556 81,731725

Analyse graphique:Analyse graphique:après avoir appliqué les 2 manières de dessaisonalisation de la série (moyenne après avoir appliqué les 2 manières de dessaisonalisation de la série (moyenne mobile , différenciation) on voie bien d après le graphe de comparaison que mobile , différenciation) on voie bien d après le graphe de comparaison que PMV marque bien la saisonnalité et plus proche de valeurs de la série V par PMV marque bien la saisonnalité et plus proche de valeurs de la série V par rapport a PDF.rapport a PDF.

Conclusion:Conclusion:

PMV:prévision après avoir appliqué dessaisonalisation avec moyen mobile.PMV:prévision après avoir appliqué dessaisonalisation avec moyen mobile.PDF:prévision après avoir appliqué dessaisonalisation avec différenciation.PDF:prévision après avoir appliqué dessaisonalisation avec différenciation.

Analyse d après le critères RMSE:Analyse d après le critères RMSE:

-La comparaison se fera en utilisant -La comparaison se fera en utilisant le carré des moyennes des résidusle carré des moyennes des résidus (RMSE)(RMSE)

Où N est le nombre d’observationsOù N est le nombre d’observations-une méthode est jugée plus appropriée qu’une autre (c’est-à-dire ses résultats -une méthode est jugée plus appropriée qu’une autre (c’est-à-dire ses résultats prévisionnels sont plus fiables), si son application permet de minimiser le critère prévisionnels sont plus fiables), si son application permet de minimiser le critère RMSE. RMSE.

PMVAvec AR(1)

PDFARMA(12,1)

RMSE 9,68 12,65

Cela confirme ce que nous avons dans l analyse graphique.Cela confirme ce que nous avons dans l analyse graphique. donc les prévisions avec AR(1) obtenue dans la première partie est plus donc les prévisions avec AR(1) obtenue dans la première partie est plus efficace que celle ARMA(12,1) obtenue dans la 2eme partie.efficace que celle ARMA(12,1) obtenue dans la 2eme partie.Cela explique que la meilleur manier de désaisonnaliser notre série avec la Cela explique que la meilleur manier de désaisonnaliser notre série avec la moyenne mobile , du au nombre des données(75 observation), on appliquant moyenne mobile , du au nombre des données(75 observation), on appliquant la différenciation on aura une parte d information de 12 observation et cela la différenciation on aura une parte d information de 12 observation et cela va diminué notre efficacité prévisionnelle.va diminué notre efficacité prévisionnelle.