Étude d’amortisseurs non-linéaires appliqués aux roues ... · Turboréacteur civil :...

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Soutenance de thèse en vue de l’obtention du titre de Docteur de l’École Centrale de Lyon Spécialité mécanique Étude d’amortisseurs non-linéaires appliqués aux roues aubagées et aux systèmes multi-étages Denis Laxalde Jury d’examen : A. Berlioz, Professeur, Université Paul Sabatier, Toulouse J.-C. Golinval, Professeur, Université de Liège J.-P. Lombard, Adjoint méthodes en mécanique, Snecma C. Pierre, Professeur, Université McGill de Montréal C. Gibert, Ingénieur de Recherche, École Centrale de Lyon F. Thouverez, Professeur, École Centrale de Lyon Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Directeur de thèse

Transcript of Étude d’amortisseurs non-linéaires appliqués aux roues ... · Turboréacteur civil :...

Soutenance de thèseen vue de l’obtention du titre de

Docteur de l’École Centrale de LyonSpécialité mécanique

Étude d’amortisseurs non-linéaires appliqués auxroues aubagées et aux systèmes multi-étages

Denis Laxalde

Jury d’examen :

A. Berlioz, Professeur, Université Paul Sabatier, ToulouseJ.-C. Golinval, Professeur, Université de LiègeJ.-P. Lombard, Adjoint méthodes en mécanique, SnecmaC. Pierre, Professeur, Université McGill de MontréalC. Gibert, Ingénieur de Recherche, École Centrale de LyonF. Thouverez, Professeur, École Centrale de Lyon

RapporteurRapporteurExaminateurExaminateurExaminateurDirecteur de thèse

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagées

Analyse non-linéaire fréquentielle

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Conclusions et perspectives

Introduction

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagées

Analyse non-linéaire fréquentielle

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Conclusions et perspectives

Introduction

Les roues aubagées de turboréacteursTurboréacteur civil :

Soufflante

Chambre de combustion

Compresseurs BP et HPTurbines HP et BP

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 4/ 39

Introduction

Les roues aubagées de turboréacteursTurboréacteur civil :

Soufflante

Chambre de combustion

Compresseurs BP et HPTurbines HP et BP

Roue aubagée (mobile) :

Différentes technologies :◮ Modules axiaux, centrifuges,

axiaux-centrifuges◮ Assemblées (aubes + disque)◮ Monoblocs (DAM, ANAM)

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 4/ 39

Introduction

Contexte et cadre des recherches

Conception des turbomachines modernes :

Augmentation desperformances et des

durées de vie

Optimisation mécanique

Progrès technologiques

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 5/ 39

Introduction

Contexte et cadre des recherches

Conception des turbomachines modernes :

Augmentation desperformances et des

durées de vie

Optimisation mécanique

Progrès technologiques

Enjeux pour les constructeurs :◮ maîtrise des niveaux vibratoires◮ amélioration de la prédictivité des méthodes de simulation

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 5/ 39

Introduction

Contexte et cadre des recherches

Conception des turbomachines modernes :

Augmentation desperformances et des

durées de vie

Optimisation mécanique

Progrès technologiques

Enjeux pour les constructeurs :◮ maîtrise des niveaux vibratoires◮ amélioration de la prédictivité des méthodes de simulation

Thématiques de recherche :1 Étude d’amortisseurs non-linéaires :

Technologies : Dispositifs frottants, absorbeurs de vibrationsMéthodologies : Modélisation, analyse non-linéaire, études

numériques et expérimentales

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 5/ 39

Introduction

Contexte et cadre des recherches

Conception des turbomachines modernes :

Augmentation desperformances et des

durées de vie

Optimisation mécanique

Progrès technologiques

Enjeux pour les constructeurs :◮ maîtrise des niveaux vibratoires◮ amélioration de la prédictivité des méthodes de simulation

Thématiques de recherche :1 Étude d’amortisseurs non-linéaires :

Technologies : Dispositifs frottants, absorbeurs de vibrationsMéthodologies : Modélisation, analyse non-linéaire, études

numériques et expérimentales2 Modélisation et analyse dynamique des ensembles multi-étages de

roues aubagées

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 5/ 39

Dynamique des roues aubagées

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagéesConception et modélisation des roues aubagéesAnalyse dynamique multi-étage

Analyse non-linéaire fréquentielle

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Conclusions et perspectives

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Sources d’excitation

Aéroélasticité : étude des interactions entre les forces d’origine inertielle,élastique et aérodynamique agissant sur les éléments structuraux

1 Aéroélasticité statique2 Réponse forcée :

excitations par sillagephénomènes synchrones

3 Flottementvibrations instables et auto-entretenuesphénomènes asynchrones

4 Autres phénomènes asynchrones

sens du

flux

rotor

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 7/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Sources d’excitation

Aéroélasticité : étude des interactions entre les forces d’origine inertielle,élastique et aérodynamique agissant sur les éléments structuraux

1 Aéroélasticité statique2 Réponse forcée :

excitations par sillagephénomènes synchrones

3 Flottementvibrations instables et auto-entretenuesphénomènes asynchrones

4 Autres phénomènes asynchrones

sens du

flux

rotor

Excitations mécaniques :◮ Excitation par les rotors◮ Contact rotor / stator◮ Situations accidentelles

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 7/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 8/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale◮ Réponse forcée bC

détection des coïncidences

Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

bC

bC

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 8/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale◮ Réponse forcée bC

détection des coïncidences

◮ Flottement uT

modes aéroélastiques & stabilité

Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

bC

bC

uT uT uT uT uT uT

uT uT uT uT uT

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 8/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale◮ Réponse forcée bC

détection des coïncidences

◮ Flottement uT

modes aéroélastiques & stabilité

◮ Effets du désaccordage

Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

bC

bC

uT uT uT uT uT uT

uT uT uT uT uT

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Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale◮ Réponse forcée bC

détection des coïncidences

◮ Flottement uT

modes aéroélastiques & stabilité

◮ Effets du désaccordage◮ Analyse en fatigue vibratoire

Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

bC

bC

uT uT uT uT uT uT

uT uT uT uT uT

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 8/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Conception dynamique

Prédiction des risques vibratoires◮ Situation modale◮ Réponse forcée bC

détection des coïncidences

◮ Flottement uT

modes aéroélastiques & stabilité

◮ Effets du désaccordage◮ Analyse en fatigue vibratoire

Diagramme de Campbell

Vitesse de rotationF

réquen

ce

2N

10N

20N

30N

40N

50N60N

familles de modes

bC

bC

uT uT uT uT uT uT

uT uT uT uT uT

Retours d’expérience :◮ classement des conceptions◮ marges

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 8/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Symétrie cyclique

Roue aubagée accordée :

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Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Symétrie cyclique

Roue aubagée accordée : Symétrie cyclique :

Secteur

+

Contraintes inter-secteurs :

guk=

duke−ikα

k : nombre d’onde

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 9/ 39

Dynamique des roues aubagées

Conception et modélisation des roues aubagées

Symétrie cyclique

Roue aubagée accordée : Symétrie cyclique :

Secteur

+

Contraintes inter-secteurs :

guk=

duke−ikα

k : nombre d’onde

Base physique Base cyclique

u = {un, n = 1, . . . ,Nsecteurs} uk , secteur de référence, onde k

◮ Analyses découplées par nombre de d’onde◮ Recombinaison (nombre d’onde k) :

u = ek⊗uk avec ek =[

1 e2jπk

N e4jπk

N . . . e2(N−1)jπk

N

]T

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Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Analyse dynamique multi-étage

Ensemble multi-étage de rouesaubagées :

Problématique :◮ Optimisation des conceptions◮ Réduction des marges de

fonctionnement

⇒ Dynamique multi-étage

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 10/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Analyse dynamique multi-étage

Ensemble multi-étage de rouesaubagées :

Problématique :◮ Optimisation des conceptions◮ Réduction des marges de

fonctionnement

⇒ Dynamique multi-étage

État de l’art :◮ Calcul complet (360 )◮ Modèles dégradés (2D, Fourier,. . . )◮ Sous-structuration multi-niveau◮ Symétrie cyclique multi-étage

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Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Symétrie cyclique multi-étage

Secteur multi-étage :

◮ 1 secteur de chaque étage◮ incompatibilité géométrique à

l’interface

Principes de l’analyse :1 Symétrie cyclique pour chaque

étage :Secteur de référenceDéphasage inter-secteurselon un nombre d’onde

2 Couplage inter-étagecompatibilité en basephysiqueéquivalence des nombres

d’onde

⇒ Validation par comparaisonavec une référence 360

Notations :

uns base cyclique, étage s, onde n

bu déplacements à l’interface

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Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (1)Soit deux étages de N1 et N2 secteurs (N1 < N2)

◮ Continuité des déplacements à l’interface inter-étage :dans la base physique commune :

Abu1 −

bu2 = 0

en composantes cycliques :

A

N1−1∑

n=0

en1 ⊗

bun1 −

N2−1∑

p=0

ep2 ⊗

bup2 = 0

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 12/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (1)Soit deux étages de N1 et N2 secteurs (N1 < N2)

◮ Continuité des déplacements à l’interface inter-étage :dans la base physique commune :

Abu1 −

bu2 = 0

en composantes cycliques :

A

N1−1∑

n=0

en1 ⊗

bun1 −

N2−1∑

p=0

ep2 ⊗

bup2 = 0

◮ Projection sur la base cyclique 2 :

(ep

2∗ ⊗ Ib2

)A

N1−1∑

n=0

(en

1 ⊗ Ib1

)bun

1 − bup2 = 0

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 12/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (1)Soit deux étages de N1 et N2 secteurs (N1 < N2)

◮ Continuité des déplacements à l’interface inter-étage :dans la base physique commune :

Abu1 −

bu2 = 0

en composantes cycliques :

A

N1−1∑

n=0

en1 ⊗

bun1 −

N2−1∑

p=0

ep2 ⊗

bup2 = 0

◮ Projection sur la base cyclique 2 :

(ep

2∗ ⊗ Ib2

)A

N1−1∑

n=0

(en

1 ⊗ Ib1

)

︸ ︷︷ ︸

couplage des nombres d’onde

bun1 − bup

2 = 0

⇒ Sélection des nombres de d’onde à coupler par congruence. . .

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 12/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (2)◮ Couplage entre nombres de d’onde :

C(p, n) =(e∗N2,p

⊗ Ib2

)A(eN1,n ⊗ Ib1

)

◮ Équivalence des nombres d’onde :

N1/2

N2/2p

n

Étage 2

Éta

ge1

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 13/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (2)◮ Couplage entre nombres de d’onde :

C(p, n) =(e∗N2,p

⊗ Ib2

)A(eN1,n ⊗ Ib1

)

◮ Équivalence des nombres d’onde :

N1/2

N2/2p

n

Étage 2

Éta

ge1

◮ 0 < n < N1 − N22 ⇒ p = n

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 13/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (2)◮ Couplage entre nombres de d’onde :

C(p, n) =(e∗N2,p

⊗ Ib2

)A(eN1,n ⊗ Ib1

)

◮ Équivalence des nombres d’onde :

N1/2

N2/2p

n

Étage 2

Éta

ge1

◮ 0 < n < N1 − N22 ⇒ p = n

◮ N1 − N22 ≤ n ≤ N1

2 ⇒ p = [n, N1 − n]

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 13/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Couplage inter-étage (2)◮ Couplage entre nombres de d’onde :

C(p, n) =(e∗N2,p

⊗ Ib2

)A(eN1,n ⊗ Ib1

)

◮ Équivalence des nombres d’onde :

N1/2

N2/2p

n

Étage 2

Éta

ge1

◮ 0 < n < N1 − N22 ⇒ p = n

◮ N1 − N22 ≤ n ≤ N1

2 ⇒ p = [n, N1 − n]

Relation de couplage inter-étage(

ep(n)2

⊗ Ib2

)

A(en

1 ⊗ Ib1

)bun

1 − bup(n)2 = 0

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 13/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Applications

Deux DAM de CoHP

◮ 1er étage – 36 secteurs◮ 2ème étage – 60 secteurs

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 14/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Applications

Deux DAM de CoHP

◮ 1er étage – 36 secteurs◮ 2ème étage – 60 secteurs

Situation modale

0 2 4 6 8 10 0

500

1000

1500

nombre de diametres nodaux

freq

uenc

e pr

opre

nor

mal

isee

× étage 1 seul

+ étage 2 seul

� multi-étage

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 14/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Applications

Deux DAM de CoHP

◮ 1er étage – 36 secteurs◮ 2ème étage – 60 secteurs

Déformées modalesComportement mono-étage :

Comportement multi-étage :

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 14/ 39

Dynamique des roues aubagées

Analyse dynamique multi-étage

Applications

Deux DAM de CoHP

◮ 1er étage – 36 secteurs◮ 2ème étage – 60 secteurs

Réponse forcée

0 200 400 600 800 100010

−8

10−6

10−4

10−2

100

vitesse de rotation normalisee

ampl

itude

nor

mal

isee

disque 1 seulmulti−etage

0 200 400 600 800 100010

−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

vitesse de rotation normalisee

ampl

itude

nor

mal

isee

disque 2 seulmulti−etage

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 14/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagées

Analyse non-linéaire fréquentielleMotivationsModes complexes non-linéairesApplication à un système simpleRéponse forcée

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Conclusions et perspectives

Analyse non-linéaire fréquentielle

Motivations

Motivations

Objectifs :◮ Analyse dynamique de systèmes non-linéaires

Mx(t) + C x(t) + Kx(t) + f(x, x) = 0 ou p(t)

◮ Non-linéarités dissipatives : frottement, . . .

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 16/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Motivations

Motivations

Objectifs :◮ Analyse dynamique de systèmes non-linéaires

Mx(t) + C x(t) + Kx(t) + f(x, x) = 0 ou p(t)

◮ Non-linéarités dissipatives : frottement, . . .

Applications aux roues aubagées :◮ Symétrie cyclique◮ Réponse forcée◮ Flottement (description modale, stabilité, cycles limites)

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 16/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Motivations

Motivations

Objectifs :◮ Analyse dynamique de systèmes non-linéaires

Mx(t) + C x(t) + Kx(t) + f(x, x) = 0 ou p(t)

◮ Non-linéarités dissipatives : frottement, . . .

Applications aux roues aubagées :◮ Symétrie cyclique◮ Réponse forcée◮ Flottement (description modale, stabilité, cycles limites)

Choix méthodologiques :◮ Méthodes fréquentielles – Balance harmonique

◮ Approche modale pour les systèmes dissipatifs◮ Modélisation des interfaces en contact et frottement

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 16/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Modes complexes non-linéaires

DefinitionUn mode complexe non-linéaire est une oscillation du système autonomenon-conservatif présentant (potentiellement) un déphasage entre sescoordonnées.

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 17/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Modes complexes non-linéaires

DefinitionUn mode complexe non-linéaire est une oscillation du système autonomenon-conservatif présentant (potentiellement) un déphasage entre sescoordonnées.

◮ Valeur propre complexe :λ = −β + iω

◮ Série de Fourier :

x(t) =

Nh∑

n=0

enλtXn

◮ Vecteur propre complexe :

X = {Xℜn +iXℑn , n = 1, · · · ,Nh}

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 17/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Modes complexes non-linéaires

DefinitionUn mode complexe non-linéaire est une oscillation du système autonomenon-conservatif présentant (potentiellement) un déphasage entre sescoordonnées.

◮ Valeur propre complexe :λ = −β + iω

◮ Série de Fourier :

x(t) =

Nh∑

n=0

enλtXn

◮ Vecteur propre complexe :

X = {Xℜn +iXℑn , n = 1, · · · ,Nh}

Ex. :

m1 m2

k1, c1 k2µN

Trajectoires pour différentes énergies :

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

deplacement, masse 1

depl

acem

ent,

mas

se 2

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 17/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Formulation fréquentielle

Problème aux valeurs propres complexes non-linéaires

Trouver {λ,X} tel que Z (λ) X + F (X) = 0

Z (λ) = diag(Zn), Zn = (nλ)2M + nλC + K

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 18/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Formulation fréquentielle

Problème aux valeurs propres complexes non-linéaires

Trouver {λ,X} tel que Z (λ) X + F (X) = 0

Z (λ) = diag(Zn), Zn = (nλ)2M + nλC + K

◮ Définition de l’amplitude modale :

q = qℜ + iqℑ

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 18/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Formulation fréquentielle

Problème aux valeurs propres complexes non-linéaires

Trouver {λ,X} tel que Z (λ) X + F (X) = 0

Z (λ) = diag(Zn), Zn = (nλ)2M + nλC + K

◮ Définition de l’amplitude modale :

q = qℜ + iqℑ

◮ Normalisation du mode :

X = Φℜqℜ + iΦℑqℑ

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 18/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Formulation fréquentielle

Problème aux valeurs propres complexes non-linéaires

Trouver {λ,X} tel que Z (λ) X + F (X) = 0

Z (λ) = diag(Zn), Zn = (nλ)2M + nλC + K

◮ Définition de l’amplitude modale :

q = qℜ + iqℑ

◮ Normalisation du mode :

X = Φℜqℜ + iΦℑqℑ

◮ Continuation selon l’amplitude modale

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 18/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Modes complexes non-linéaires

Formulation fréquentielle

Problème aux valeurs propres complexes non-linéaires

Trouver {λ,X} tel que Z (λ) X + F (X) = 0

Z (λ) = diag(Zn), Zn = (nλ)2M + nλC + K

◮ Définition de l’amplitude modale :

q = qℜ + iqℑ

◮ Normalisation du mode :

X = Φℜqℜ + iΦℑqℑ

◮ Continuation selon l’amplitude modale◮ F (X), vecteur fréquentiel des forces NL, calculé par Alternance

Fréquentielle-Temporelle :

X x(t), x(t) f(x, x) FiDFT DFTLoi NL

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 18/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Application à un système simple

Analyse modalem1 m2

k1 k2µN

◮ Paramètres modaux (fréquence et taux d’amortissement) :

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

1

2

3

4

amplitude modale [m]

taux

d’a

mor

t. (%

)

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.53.8

3.9

4

4.1

freq

uenc

e [H

z]x

2 = 0

fNL

= 0

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 19/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Application à un système simple

Analyse modalem1 m2

k1

c1 < 0

k2µN

◮ Paramètres modaux (fréquence et taux d’amortissement) :

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.453.8

3.9

4

4.1

freq

uenc

e [H

z]

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−2

−1

0

1

2

amplitude modale [m]

taux

d’a

mor

t. (%

)x

2 = 0

fNL

= 0

Attracteur

limite de stabilite

◮ En présence d’un amortissement négatif déstabilisant :Zone de stabilité (amplitude modale)Cycles limites

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 19/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Application à un système simple

Analyse modalem1 m2

k1

c1 < 0

k2µN

◮ Paramètres modaux (fréquence et taux d’amortissement) :

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.453.8

3.9

4

4.1

freq

uenc

e [H

z]

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5−2

−1

0

1

2

amplitude modale [m]

taux

d’a

mor

t. (%

)x

2 = 0

fNL

= 0

Attracteur

limite de stabilite

◮ En présence d’un amortissement négatif déstabilisant :Zone de stabilité (amplitude modale)Cycles limites

−0.1 −0.05 0 0.05 0.1

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x2

dx2/d

t

−0.2 −0.1 0 0.1 0.2

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

x2

dx2/d

t

−40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40

−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

x2

dx2/d

t

bC

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 19/ 39

Analyse non-linéaire fréquentielle

Réponse forcée

Réponse forcéeDeux approches possibles :

◮ Calcul direct : Z (ω) X + F (X) = P◮ Synthèse possible de réponses forcées non-linéaires à partir des

paramètres modaux

111.85 111.9 111.95 112 112.05 112.1

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

frequence normalisee

ampl

itude

de

vibr

atio

n

RF F=1RF F=10RF F=30RF F=60MNL

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 20/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagées

Analyse non-linéaire fréquentielle

Étude d’amortisseurs non-linéairesJoncs de friction : étude numériqueJoncs de friction : étude expérimentalePompage énergétique

Conclusions et perspectives

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Amortissement par joncs de friction

Problématique : les structures monoblocs sont très peu amortiesSolution technologique étudiée : joncs de friction

jonc

gorge

φD

Modélisation :◮ Disque aubagé : modèle EF réduit

nœuds de contactnœuds d’excitation / observation

◮ Jonc : Poutre circulaire 3D◮ Symétrie cyclique

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 22/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Modélisation du contact

Contact :◮ Nœuds à nœuds◮ Unilatéral◮ Pénalité

h

σ

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 23/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Modélisation du contact

Contact :◮ Nœuds à nœuds◮ Unilatéral◮ Pénalité

h

σ

Frottement :◮ Lois macroscopiques◮ Effets microscopiques

τ = f (δ, σ, z , · · · )z = g(σ, δ, z , · · · )

z : variable interne caractérisant l’étatmicroscopique de la surface d’interaction

Ex. : modèle de Dahl, Bouc-Wen, LuGre. . .

δ

τ

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 23/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Analyse modale

Exemple industriel :DAM de CoHP Mode 2F à 4 DN

Paramètres modaux :

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14111.9

111.95

112

112.05

112.1

112.15

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

amplitude modale normalisee

taux

d’a

mor

t. (%

)

sans joncavec jonc

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 24/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Analyse modale

Exemple industriel :DAM de CoHP Mode 2F à 4 DN

Études d’influence :Coefficient de frottement

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14111.85

111.9

111.95

112

112.05

112.1

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

amplitude modale normalisee

taux

d’a

mor

t. (%

)

sans joncµ = 0.1µ = 0.3µ = 0.5µ = 0.7µ = 0.9

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 24/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Analyse modale

Exemple industriel :DAM de CoHP Mode 2F à 4 DN

Études d’influence :Modèle de frottement

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14111.85

111.9

111.95

112

112.05

112.1

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.02

0.04

0.06

amplitude modale normalisee

taux

d’a

mor

t. (%

)

sans joncmodele de Dahlpenalite

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 24/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Analyse modale

Exemple industriel :DAM de CoHP Mode 2F à 4 DN

Études d’influence :Modèle de frottement

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14111.85

111.9

111.95

112

112.05

112.1

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.140

0.02

0.04

0.06

amplitude modale normalisee

taux

d’a

mor

t. (%

)

sans joncmodele de Dahlpenalite

Avantages de l’approche modale :◮ Prédiction directe de l’efficacité d’amortissement◮ Études paramétriques◮ Prédiction « directe » de l’effet stabilisant de l’amortissement par

frottement et des cycles limites

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 24/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude numérique

Réponse forcéeExemple : influence de l’effort normal de contact (N)

79.1 79.2 79.3 79.4 79.5 79.6 79.7

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

frequence normalisee

ampl

itude

nor

mal

isee

sans jonc2.5×N2×N1.5×N1.25×NN0.75×N0.5×N0.25×N

Règles de conception :◮ l’efficacité du jonc dépend de la participation de sa zone

d’implantation du jonc au mouvement global◮ Compromis : efficacité d’amortissement / plage de fonctionnement

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 25/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Étude expérimentaleObjectifs :

◮ Évaluation des performances amortissantes◮ Compréhension des phénomènes d’amortissement par frottement◮ Validation et calibration les outils de simulation

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 26/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Étude expérimentaleObjectifs :

◮ Évaluation des performances amortissantes◮ Compréhension des phénomènes d’amortissement par frottement◮ Validation et calibration les outils de simulation

Méthodes expérimentales :◮ Config. d’essais :

- sous vide- en rotation

◮ Excitation :- piézoélectrique- à diam. nodaux

◮ Instrumentation :- jauges de déf.- télémétrie

Disque Aubagé Monobloc

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 26/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Étude expérimentale (2)

Détail du montage expérimentalDAM

Disque de support

Arbre

Boîtier électronique& télémétrie

Implantation des PZT

Mode cible : 2F, 4 diamètres

Implantation des joncsObjectifs :

◮ Études phénoménologiques et paramétriquesVitesse de rotationNiveau d’excitation

◮ Comparaison calculs-essais

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 27/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Analyses préliminaires

1 Analyse modale linéaire à l’arrêtModes cibles (2F-4DN) identifiés

5 10 15 20 25 30 35

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

5 10 15 20 25 30 35

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

: laser - pale, : jauge - pale, : jauge - plate-forme

Désaccordage : xxxAmortissement : xxx

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 28/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Analyses préliminaires

1 Analyse modale linéaire à l’arrêtModes cibles (2F-4DN) identifiés

5 10 15 20 25 30 35

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

5 10 15 20 25 30 35

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

: laser - pale, : jauge - pale, : jauge - plate-forme

Désaccordage : xxxAmortissement : xxx

2 Calibration des données mesuréesdéformations des pales instrumentées / déformation max sur la rouetransfert déplacements / déformations

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 28/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Analyses préliminaires

1 Analyse modale linéaire à l’arrêtModes cibles (2F-4DN) identifiés

5 10 15 20 25 30 35

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

5 10 15 20 25 30 35

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

numero des aubes

resi

dus

mod

aux

: laser - pale, : jauge - pale, : jauge - plate-forme

Désaccordage : xxxAmortissement : xxx

2 Calibration des données mesuréesdéformations des pales instrumentées / déformation max sur la rouetransfert déplacements / déformations

3 Vérification de la reproductibilité en présence de non-linéarités

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 28/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Résultats expérimentaux (1)

Essai à vitesse fixe (1500 tr/min), un jonc, plusieurs niveaux d’excitation :

111.6 111.8 112 112.2 112.4 112.6

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

frequence normalisee

taux

de

defo

rmat

ion

[µde

f]

3.1 V30.6 V104.3 V51.6 V30.6 V3.1 V

111.6 111.8 112 112.2 112.4 112.6

50

100

150

200

250

frequence normalisee

soup

less

e dy

nam

ique

[µde

f/V]

sans jonc

Phénomélogie :◮ effets non-linéaires & atténuation des niveaux vibratoires◮ décalage des fréquences de résonances vers les basses fréquences

⇒ qualitativement conforme aux prédictions

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 29/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Résultats expérimentaux (2)

Basse vitesse (1000 tr/min), plusieurs niveaux d’excitation :

111.2 111.4 111.6 111.8 112 112.2 112.4 112.6

5

10

15

20

25

30

35

40

45

frequence normalisee

taux

de

defo

rmat

ion

[µde

f]

3.1 V30.6 V51.5 V74.1 V104.2 V74.1 V51.5 V30.6 V104.2 V

111.2 111.4 111.6 111.8 112 112.2 112.4 112.6

10

20

30

40

50

60

frequence normalisee

soup

less

e dy

nam

ique

[µde

f / V

]

Phénomélogie :◮ évolution différente des fréquences de résonance◮ effets non-linéaires plus importants (décollement, impacts, usure,. . . )

⇒ complexe et difficilement reproductible numériquement

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 30/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Comparaison avec la modélisation

Comparaison des paramètres modaux :◮ Lissage linéaire des FRF◮ Modèle de frottement de Dahl◮ Plusieurs coefficients de frottement

0 10 20 30 40 50 60 70 80111.9

111.95

112

112.05

112.1

112.15

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 10 20 30 40 50 60 70 800.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

deformation max. [µdef]

taux

d’a

mor

t. (%

)

mode 1, exp.mode 2, exp.µ = 0.3, simu.µ = 0.4, simu.µ = 0.5, simu.

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 31/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Joncs de friction : étude expérimentale

Comparaison avec la modélisation

Comparaison des paramètres modaux :◮ Lissage linéaire des FRF◮ Modèle de frottement de Dahl◮ Plusieurs coefficients de frottement

0 10 20 30 40 50 60 70 80111.9

111.95

112

112.05

112.1

112.15

freq

uenc

e no

rmal

isee

0 10 20 30 40 50 60 70 800.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

deformation max. [µdef]

taux

d’a

mor

t. (%

)

mode 1, exp.mode 2, exp.µ = 0.3, simu.µ = 0.4, simu.µ = 0.5, simu.

Analyse :◮ Incertitudes expérimentales (niveaux)◮ Limitations de la modélisation (désaccordage, discrétisation,. . . )

ConclusionLes ordres de grandeur et les évolutions des paramètres modauxthéoriques et expérimentales sont comparables

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 31/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Pompage énergétique

Pompage énergétique

Principe :Absorber puis dissiper l’énergie vibratoire d’une structure principale àl’aide d’un petit dispositif passif fortement non-linéaire

Système étudié

0M mγ

x

v

NL

Non-linéarité de Bouc-Wen :

For

ce:

r

Déplacement : δ

β = 0, 5

β = 0, 1

β = 0, 01

Application potentielle :

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 32/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Pompage énergétique

Pompage énergétique

Principe :Absorber puis dissiper l’énergie vibratoire d’une structure principale àl’aide d’un petit dispositif passif fortement non-linéaire

Système étudié

0M mγ

x

v

NL

Non-linéarité de Bouc-Wen :

For

ce:

r

Déplacement : δ

β = 0, 5

β = 0, 1

β = 0, 01

Application potentielle :

◮ Mise en œuvre des approches fréquentielles développéesAnalyse modaleComparaison et validation par analyses temporelles (régimetransitoire, flottement)

◮ Critères de conception

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 32/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Pompage énergétique

Analyse modale et énergétiqueOscillateur principal

0 10 20 30 40 50 60

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Energie

Am

plitu

de m

odal

e (x

) [m

]

Absorbeur

0 10 20 30 40 50 600

2

4

6

8

10

12

14

16

Energie

Am

plitu

de m

odal

e (v

) [m

]Fréquences propres

0 10 20 30 40 50 60

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

Energie

Fre

quen

ce p

ropr

e [H

z]

Amortissements modaux

0 10 20 30 40 50 60

0

0.01

0.02

0.03

0.04

Energie

Am

ortis

sem

ent m

odal

[%]

◮ Dépendance énergétique◮ Nécessite une non-linéarité faiblement dissipative

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 33/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Pompage énergétique

Régime transitoire

◮ Réponse impulsionnelle : x(t = 0) =√

2h, x(t = 0) = 0

Réponse temporelle

0 10 20 30 40 50 60 70 80−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

temps [s]

depl

acem

ent [

m]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

temps [s]

depl

acem

ent [

m]

Fréquence instantanée

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 503

3.5

4

4.5

5

5.5

temps [s]

freq

. ins

t. [H

z]0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

3

3.5

4

4.5

5

5.5

temps [s]

freq

. ins

t. [H

z]

◮ le pompage énergétique a lieu au delà d’un niveau d’énergie seuil◮ comportement conforme aux prédictions des modes non-linéaires

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 34/ 39

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Pompage énergétique

Stabilité◮ En présence d’un amortissement négatif : ξ = −0.2%

Réponse temporelle

0 10 20 30 40 50 60−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

temps [s]

freq

uenc

e [H

z]

0 10 20 30 40 50 60−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

temps [s]

freq

uenc

e [H

z]

Fréquence instantanée

0 10 20 30 40 50 60

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

temps [s]

freq

uenc

e [H

z]0 10 20 30 40 50 60

3.4

3.6

3.8

4

4.2

4.4

4.6

4.8

5

5.2

5.4

temps [s]fr

eque

nce

[Hz]

◮ stabilisation au delà d’une amplitude seuil◮ l’amortissement négatif et celui de la non-linéarité se compensent

Compromis : pompage énergétique / dissipation / potentiel stabilisant

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 35/ 39

Conclusions et perspectives

Sommaire

Introduction

Dynamique des roues aubagées

Analyse non-linéaire fréquentielle

Étude d’amortisseurs non-linéaires

Conclusions et perspectives

Conclusions et perspectives

Principales contributions

1 Modélisation multi-étageSymétrie cyclique multi-étageIndustrialisation dans un code EF

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 37/ 39

Conclusions et perspectives

Principales contributions

1 Modélisation multi-étageSymétrie cyclique multi-étageIndustrialisation dans un code EF

2 Analyse non-linéaire et étude d’amortisseurs non-linéairesMéthode des modes non-linéaires complexesModélisation des joncs de frictionDéveloppement d’un banc d’essaisApplications sur des cas moteurs, industrialisationÉtude du pompage énergétique pour des non-linéaritéshystérétiques

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 37/ 39

Conclusions et perspectives

Perspectives scientifiques et industrielles

1 Analyses multi-étages :Critères et pratiques de conception multi-étageIntégration du désaccordage (aléatoire, volontaire)

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 38/ 39

Conclusions et perspectives

Perspectives scientifiques et industrielles

1 Analyses multi-étages :Critères et pratiques de conception multi-étageIntégration du désaccordage (aléatoire, volontaire)

2 Analyse non-linéaire et modélisation des interfaces :Analyses de stabilité et étude des bifurcations (approchesmulti-fréquentielles)Couplage aéroélastique (calcul aérodynamique fréquentiel)Enrichissement des modèles de contact et prise en compte des effetsd’usure

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 38/ 39

Conclusions et perspectives

Perspectives scientifiques et industrielles

1 Analyses multi-étages :Critères et pratiques de conception multi-étageIntégration du désaccordage (aléatoire, volontaire)

2 Analyse non-linéaire et modélisation des interfaces :Analyses de stabilité et étude des bifurcations (approchesmulti-fréquentielles)Couplage aéroélastique (calcul aérodynamique fréquentiel)Enrichissement des modèles de contact et prise en compte des effetsd’usure

3 Étude d’amortisseurs non-linéaires :Joncs de friction : - Études expérimentales supplémentaires

- Corrélation calculs-essaisPompage énergétique : - Réalisation technologique et application

à des structures complexes- Amélioration des modélisations et de

leur représentativité

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 38/ 39

Soutenance de thèseen vue de l’obtention du titre de

Docteur de l’École Centrale de LyonSpécialité mécanique

Étude d’amortisseurs non-linéaires appliqués auxroues aubagées et aux systèmes multi-étages

Denis Laxalde

Jury d’examen :

A. Berlioz, Professeur, Université Paul Sabatier, ToulouseJ.-C. Golinval, Professeur, Université de LiègeJ.-P. Lombard, Adjoint méthodes en mécanique, SnecmaC. Pierre, Professeur, Université McGill de MontréalC. Gibert, Ingénieur de Recherche, École Centrale de LyonF. Thouverez, Professeur, École Centrale de Lyon

RapporteurRapporteurExaminateurExaminateurExaminateurDirecteur de thèse

Amortissement non-linéaire des roues aubagées Denis Laxalde 39/ 39