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États limites ultime et en service Les pièces — éléments de mécanismes ou de structures — sont soumises à des sollicitations : efforts extérieurs, vibrations, dilatation, … Elles sont en général dimensionnées selon deux critères : l'état limite ultime, ou ELU (en anglais, ultimate limit state, ULS), qui consiste à vérifier qu'elles ne subissent pas de déformation irréversible sous la charge, et a fortiori qu'elles ne présentent pas de dégradation ; l'état limite en service, ou ELS (serviceability limit state, SLS), qui consiste à vérifier que leur déformation élastique reste compatible avec le fonctionnement. Sommaire 1 Déformations élastique et plastique 2 Cas des sollicitations simples 2.1 Traction ou extension 2.2 Compression 2.3 Flambement 2.4 Flexion 2.5 Cisaillement simple 2.6 Torsion 3 Cas des sollicitations composées 3.1 Flexion + torsion 3.2 Flexion + extension ou compression 3.3 Torsion + cisaillement 4 Voir aussi 4.1 Articles connexes Déformations élastique et plastique Considérons une pièce faite d'un matériau ductile. Lorsque l'on augmente progressivement de la charge, la pièce passe par trois étapes successives : la déformation élastique : c’est la déformation non permanente que subit un matériau sous une certaine contrainte ; la pièce reprend sa forme initiale dès que cesse cette contrainte ; la déformation plastique, permanente : le matériau a atteint la limite d'élasticité et la pièce ne reprend pas sa forme initiale ; la dégradation, prélude de la rupture. Si la pièce est faite d'un matériau fragile, comme un verre, une céramique, un béton, un acier trempé, une fonte non ductile, … alors elle reste dans le domaine élastique jusqu'à la rupture. Dans ce cas, la validation à l'ELU est un critère de résistance à la rupture. Article détaillé : Essai de traction. Cas des sollicitations simples
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tatslimitesultimeetenserviceLespiceslmentsdemcanismesoudestructuressontsoumisesdessollicitations:effortsextrieurs,vibrations,dilatation,Ellessontengnraldimensionnesselondeuxcritres:
l'tatlimiteultime,ouELU(enanglais,ultimatelimitstate,ULS),quiconsistevrifierqu'ellesnesubissentpasdedformationirrversiblesouslacharge,etafortioriqu'ellesneprsententpasdedgradationl'tatlimiteenservice,ouELS(serviceabilitylimitstate,SLS),quiconsistevrifierqueleurdformationlastiquerestecompatibleaveclefonctionnement.
Sommaire
1Dformationslastiqueetplastique2Casdessollicitationssimples2.1Tractionouextension2.2Compression2.3Flambement2.4Flexion2.5Cisaillementsimple2.6Torsion
3Casdessollicitationscomposes3.1Flexion+torsion3.2Flexion+extensionoucompression3.3Torsion+cisaillement
4Voiraussi4.1Articlesconnexes
Dformationslastiqueetplastique
Considronsunepicefaited'unmatriauductile.Lorsquel'onaugmenteprogressivementdelacharge,lapicepassepartroistapessuccessives:
ladformationlastique:cestladformationnonpermanentequesubitunmatriausousunecertainecontraintelapicereprendsaformeinitialedsquecessecettecontrainteladformationplastique,permanente:lematriauaatteintlalimited'lasticitetlapicenereprendpassaformeinitialeladgradation,prludedelarupture.
Silapiceestfaited'unmatriaufragile,commeunverre,unecramique,unbton,unaciertremp,unefontenonductile,alorsellerestedansledomainelastiquejusqu'larupture.Danscecas,lavalidationl'ELUestuncritredersistancelarupture.
Articledtaill:Essaidetraction.
Casdessollicitationssimples
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Lescblesdecettegruesontsoumisdelatraction.
Pourunmmematriau,cettersistanceladformationdpenddutypedesollicitationoudefatiguequilsubit.Nousnousrfronsicilathoriedespoutres.
Tractionouextension
LorsquunepiceestsollicitelextensionparuneforceF,oncalculesacontraintenormale(lettregrecquesigma):
Lavalidationl'ELUconsistevrifierquecettecontrainteestinfrieureouauplusgalelarsistancepratiquelextensionRpe:
Rpe
Larsistancepratiquel'extensionestdfinie:
danslecasd'unmatriauductile,partirdelalimited'lasticit:Rpe=Re/sdanslecasd'unmatriaufragile,partirdelarsistancelatraction:Rpe=Rm/s.
Sousl'effetdelatraction,lapice,delongueurinitialel0s'allongequ'unequantitLvrifiantlaloideHooke:
=Eavec=L/L0
oEestlemoduledeYoungdumatriau,etestl'allongementrelatif.Lavrificationl'ELSconsistevrifierquelalongueurfinale
estcompatibleaveclefonctionnement.
Parailleurs,sadimensiontransversea0(largeur,paisseur,rayon)diminued'unequantitavrifiant:
.
Cetamincissementaugmentelejeuetpeutprovoquerundesserragesilapiceestsertie.Lavalidationl'ELSconsistedoncgalementvrifierquel'ajustementfinalestfonctionnel.
Compression
Commepourlextension,unepicecourtecomprimedoitavoirunecontraintedecompressioninfrieurelarsistancepratiquelacompressiondumatriau.
Rpc
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Unpylonetravailleessentiellementencompression.
Sollicitationauflambage
Lamedesciedformeenflexion.
avecRpc=Rec/souRmc/s.Pouruncertainnombredematriauxisotropes,leslimitesd'lasticitentractionetencompressionsontgales:
Rec=ReRmc=Rm
Cen'estpaslecaspourlesbtonsetlesfontes.
Ladformationsefaitcommepourlatractionlalongueurdiminued'unequantitLtandisqueladimensiontransverseaugmentd'unequantita,selonlesmmesquationsqueprcdemment(seuleschangentlessignesdesgrandeurs).Lavalidationl'ELSconsistevrifierquecesvariationsnenuisentpaslafonctiondelapice.
Flambement
Lachargecritiquedeflambage,ouflambement,Festlachargepourlaquellelapiceprsenteunrisqued'instabilitencompression:aulieudesimplementseraccourciretdes'largir,ellepeutsecourber.L'expressiondecettechargecritiqueestdonneparlaformuled'Euler:
o
EestlemoduledeYoungdumatriauIestlemomentquadratiquedelapoutrelkestlalongueurdeflambementdelapoutre,oulancement.
Articledtaill:Flambage.
Sileflambageestvit,lapiceestsimplementencompression.Lavalidationl'ELSestdoncceluidelacompression.
Flexion
Dansunepicesoumisedelaflexion,lamatireestsoumisedelatraction/compression.Lacontraintenormalemaximalevaut
avec:
Mfmax:momentdeflexionmaximal(mmN)Wl:moduledeflexiondelasectiondumatriau(mm3).
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Lemoduledeflexionestcalculpartirdumomentquadratiqueautourdel'axedeflexion,parexempleIGz,etladistancemmaximaleparrapportlafibreneutreselonl'axeperpendiculaire,Vy:
Lavalidationl'ELUconsistevrifierque
maxRpe
Souslacharge,lapicesedformetransversalement.Ilfautdoncvaluerledbatementmaximal,appelflche.Danslescassimples,l'valuationdelaflchepeutsefairepartirdeformulaires(voirparexempleWikibooks:FormulairedespoutressimplesDforme),oubienparuncalculintgral.
Lavalidationl'ELSconsistevrifierquelaflchenedpassepasunevaleurdonne.Danslecasd'unaxe,laflchedoittreinfrieureaujeupournepasprovoquerdeserrage.Engniecivil,laflcheadmissibledpenddelalongueurLdelapoutre,parexempleellevaut:
L/150(soit1/150delaporteL)pourlespartiesd'ouvrageenconsolen'ayantpassupportercourammentunecirculation(auvents,dbordsdetoiture),pourlestubesd'unestructuresupportantunpostelectriqueHTB(RTE)L/200pourlespicessupportantdirectementdeslmentsdecouverture(chevrons,liteaux),lacharpented'unestructuresupportantunpostelectriqueHTB(RTE)L/250pourunepoutre,dalleouconsolesoumisedeschargesquasipermanentes(clause7.4.1.4del'Eurocode2.Btonarm)L/300pourunesolivesupportantunplancher,lespannes,lespicessupportantdirectementdesmatriauxverriers,lesconsolessupportantunecirculation(montageouentretien),lespoteauxavecpontsroulants,lespoteauxavecremplissageenmaonnerieprenantappuisurlepoteau,lespoteauxdestinsrecevoirunvitragesurplusdelamoitideleurhauteur,leslmentsflchisreposantsurdeuxouplusieursappuis,etnesupportantpasd'lmentsderemplissageL/400pourlesouvragesflchisautresquelesconsoles,etsupportantunecirculation(montageouentretien)ouunremplissageL/500pourunlinteaudemensuiserieL/600pourunpontforestierneufacierbois(Ministredesressourcesnaturelles,Qubec)
Articledtaill:Flexion(matriau).
Cisaillementsimple
Lecisaillementsimpleestunesituationodeuxforcesopposess'appliquententantlgrementdcales.Lacontraintedecisaillement,oucission,estnote(lettregrecquetau)etvaut
o
Festl'efforttranchant,ennewtons(N)Sestl'airedelasectioncisaille,enmillimtrescarrs(mm2).
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Ruptured'unaxeenportefauxouenchape.
Dformationdanslecasd'uncisaillementsimple
Ilimportedednombrerlessectionscisailles:danslecasd'unaxeenportefaux,iln'yaqu'uneseulesectioncisaille,Sestdoncl'airedelasectiondroite.Maispouruneaxeenchape,l'effortserpartitsurplusieurstronons,ilyaautotaldeuxsectionscisailles,doncSvautdeuxfoisl'airedelasectiondroite.
Lavalidationl'ELUconsistevrifierque
Rpg
Larsistancepratiqueauglissement,Rpg,estdfiniepartirdelarsistancelastiqueauglissementReg:
Rpg=Reg/s.
Pourlesmtaux,larsistancelastiqueauglissementestrelielalimited'lasticit:
0,5ReReg0,8Re.
Sousl'effetducoupledeforces,lapoutresubitlocalementunedviation.L'anglededviation,(lettregrecquegamma),estrelilacontrainteparlemoduledecisaillementGdumatriau:
=G
oetGsontenmgapascalsetestenradians.Lesdeuxtrononsdelapicesedcalentd'unevaleurvvalant:
v=xtanx.
lavaleurxtantl'cartemententrelespointsd'applicationdesforces.
Lavalidationl'ELSconsistevrifierquecettedformationestcompatibleaveclafonctiondelapice.
Articledtaill:Contraintedecisaillement.
Torsion
Dansunepicesoumisedelatorsion,lamatiresedformeencisaillement.Lacontraintedecisaillementmaximale,oucissionmaximale,vaut:
avec
Mt:lemomentdetorsion(mmN)
C:moduledetorsiondelasectiondumatriau(mm3).
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Rotationdessectionssousl'effetdumomentdetorsion.
Danslecasd'unepoutredesectionfermecirculaire,lemoduledetorisonsecalculepartirdumomentquadratiqueIGetdurayonv:
.
Lavalidationl'ELUconsistevrifierquel'onnedpassepaslarsistancepratiqueauglissementRpg
maxRpg.
Latorsioncrelarotationd'uneextrmitparrapportl'autreextrmitautourdel'axe.L'anglederotationrelatifestnot(lettregrecquealpha).PourunmomentMtdonn,pluslapiceestlongue,plusestimportant.Ondfinitunangledetorsionunitaire(lettregrecquethta)enradiansparmillimtre(rad/mm),quivrifiel'quation
Mt=GIG
oGestlemoduledecisaillementdumatriau.L'angletotalderotationvaut
=L
oLestlalongueurdelapice,soit
Lavalidationl'ELSconsistevrifierquecetterotationestcompatibleaveclefonctionnementdel'ensemble.
Articledtaill:Torsion.
Casdessollicitationscomposes
Flexion+torsion
Lorsquunarbredetransmissionsubitlafoisunetorsionetuneflexion,samatiresubitlafoisdelacontraintenormaleetdelacontraintedecisaillement.
OndfinitunmomentdeflexionidalM,quiestlemomentgnrantunrisquederupturequivalentaumomentdeflexionrelMfetaumomentdetorsionMt:
Puisoncalculeunecontraintenormalequivalentecommeenflexion:
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Flexionettorsionsimultanes
Flexionetextensionsimultanes
Torsionetcisaillement
Lavalidationl'ELUconsistevrifierque
eqvRpe.
Cettemthoden'estvalablequepourlespicesdesectioncylindriqueferme.
lavalidationl'ELSconsistedterminersparmentlesdformationslaflexionetlatorsion(principedesuperpositionpourlespetitesdformations).
Flexion+extensionoucompression
Laflexionetl'extension/compressioncrentdelacontraintenormale.Onpeutdonccalculerlacontraintemaximalecommetantlasomme
delacontraintenormaleduelatraction/compression,N=F/S,etdelacontraintemaximaledeflexion,f=Mfmax/Wl
max=N+f
etlavalidationl'ELUconsistevrifierque
maxRpe.
Lavalidationl'ELSconsisteappliquerindpendammentladformationentractioncompressionetenflexion.
Torsion+cisaillement
Latorsioncommelecisaillementsimplecrentdelacontraintedecisaillement.Lacontraintersultanteestsimplementlasommedesdeuxcontraintescalculesindpendamment:
c=F/St=Mt/C=c+t
Lavalidationl'ELUconsistevrifierque
Rpg.
Voiraussi
Articlesconnexes
Mthodecontraintersistance
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