Chapitre 4

Etat solide

4.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous ferons une introduction à la physique du solide. Dans un premier

temps, nous dé�nirons les notions de base d'un solide : la structure périodique des solides

et la preuve expérimentale. Puis nous examinerons quelques propriétés des électrons libres

dans un métal. Finalement, la structure des bandes d'énergie des électrons dans un corps

solide nous permettra de comprendre les isolants et les conducteurs.

4.2 Structure périodique des solides

4.2.1 Réseau et maille unitaire

Un solide a une structure appelée cristal. Un cristal est la répétition de motifs formés

d'atomes, de molécules, ou de groupes d'atomes ou de molécules. Avant de discuter le

problème tridimensionnel, illustrons cela dans le cas bidimensionnel.

a1

b1

b2

a2

Fig. 4.1 � Exemple de réseau à deux dimensions

1

2 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE

Les cellules en gris de la �gure 4.1 sont des cellules unitaires : le réseau entier peut

être reproduit par translation de ce motif. Une cellule unitaire est dite primitive si

nous joignons les atomes voisins par une ligne (par exemple, la cellule correspondant au

parallélogramme formé par les vecteurs a1 et b1 est primitive).

Les réseaux sont caractérisés par des symétries. A deux dimensions, nous avons 5 types

de réseaux, représentés dans la �gure 4.2.

a1

b

a

b

a

ab

ab

b ba

120°

Réseau carré

Réseau oblique

Réseau hexagonal

Réseau rectangulaire

Réseau rectangulaire centré

Fig. 4.2 � Types de réseaux à deux dimensions

Pour le réseau rectangulaire centré, le rectangle formé à partir de a et b donne la cellule

unitaire rectangulaire. Le parallélogramme formé à partir de a1 et b donne la cellule

unitaire primitive.

4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 3

Ces cinq réseaux sont appelés réseaux de Bravais. Les opérations de symétries sont des

rotations de 2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4 et 2π/6. Il n'est pas possible d'avoir une symétrie 2π/5ou 2π/71. De plus, il est possible d'avoir une symétrie par rapport à un plan passant par

un point du réseau, ou une opération d'inversion (r → −r). Ce sont ces symétries qui

limitent le nombre des réseaux de Bravais.

A trois dimensions, le nombre de réseaux de Bravais s'élève à 14 (voir l'ouvrage cité en

note 1). Parmi les plus connus, nous avons :

• le réseau cubique :

• le réseau cubique centré, ou bcc (body centered cubic) :

• le réseau cubique à face centrée, ou fcc (face centered cubic) :

1Voir Introduction to solid state physics, Charles Kittel.

4 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE

Le fer à température ambiante est bcc. Le cuivre est fcc. Le sodium et le potassium sont

bcc.

Notez que la structure d'un corps dépend de la température. Le fer est par exemple bcc

à température ambiante jusqu'à 911 °C (fer α ou ferrite) et au dessus de 1392 °C (Fer δ),et il est fcc (Fer γ ou austénite) entre ces deux températures.

Quelles sont les dimensions des mailles élémentaires ? Comme ordre de grandeur, disons

qu'elles sont de l'ordre de 0.3 − 0.6 nm. Vous trouvez dans le livre de Kittel les valeurs

précises pour plusieurs corps.

4.2.2 Notation, indices de Miller

Comment dé�nissons-nous un plan dans un réseau avec les vecteurs a, b et c dé�nissant

la maille unitaire ?

ab

c

0 1

Fig. 4.3 � Réseau avec maille unitaire formée par trois vecteurs (a,b, c)

Considérons le plan gris de la �gure 4.3. Il coupe les axes a, b et c en (1,∞,∞). Laprocédure est la suivante :

• prendre l'intersection avec les axes, soit (1,∞,∞) dans le cas présent,• prendre l'inverse de cette intersection, soit (1, 0, 0),• réduire ces nombres à des entiers ayant le même rapport, ici (1, 0, 0).

Cette procédure permet de dé�nir un plan en connaissant les vecteurs unitaires de la

maille unitaire. Les trois nombres obtenus sont les indices de Miller du plan.

Illustrons cette procédure dans un cas un peu plus compliqué. Considérons le plan en

gris de la �gure 4.4.

• Point d'intersection : (3, 2, 2),• Inverse : (1

3 ,12 ,

12),

• Nombres entiers ayant le même rapport : (2, 3, 3).

4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 5

a bc

3

0

2

2

Fig. 4.4 � Plan (2, 3, 3)

Les indices de Miller de ce plan sont (2, 3, 3). Les plans parallèles ont donc comme indices

de Miller {2, 3, 3}. Pour les nombres négatifs, il su�t de mettre une barre au dessus du

chi�re.

4.2.3 Véri�cation expérimentale

La véri�cation expérimentale des plans cristallins passe par la di�raction des rayons X

ou de particules. Si nous considérons une famille de plans parallèles déterminée par les

indices de Miller {h, k, l}, nous avons la situation décrite dans la �gure 4.5.

Plans {h,k,l}{ d

d

θ

θθ

Fig. 4.5 � Di�raction par un réseau

Les divers plans parallèles sont séparés d'une distance d. On envoie une onde (soit élec-

tromagnétique, soit de particules comme les électrons) sur ce cristal. Cette onde a une

6 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE

longueur d'onde λ et fait un angle θ avec les plans {h, k, l}. Cette onde est ré�échie

par chaque plan dans la direction θ également. Cherchons la condition pour obtenir une

interférence constructive des ondes ré�échies.

Les ondes incidentes et ré�échies correspondant à deux plans successifs ont une di�é-

rence de parcours égale à 2d sin θ. Pour que les ondes ré�échies interfèrent d'une manière

constructive, nous devons avoir alors la condition :

2d sin θ = nλ avec n entier

Cette relation est la loi de Bragg. On peut aussi voir la loi de Bragg sous la forme

2d sin θ = λ

Dans ce cas, le facteur n est absorbé dans le d. La loi de Bragg impose une condition sur

la longueur d'onde incidente. Comme sin θ est inférieur à 1, λ est également limité :

λ 6 2d

Aplication

Prenons λ = 0.154 nm, d = 0.4 nm. L'angle θ est donc :

θ = arcsin(λ

2d

)= 11°

Quelles sont les sources utilisées ? Les distances sont de l'ordre de quelques dixièmes de

nanomètres. Les longueurs d'onde doivent donc être de cet ordre ou inférieures. Nous

avons alors, comme sources :

• les rayons X,

• les faisceaux d'électrons,

• les faisceaux de neutrons.

Rayons X

Rappelons que les rayons X sont générés en bombardant un métal par un faisceau d'élec-

trons énergétiques. Le spectre émis consiste en un spectre de raie superposé à un spectre

continu (voir paragraphe 3.4.5). Si on utilise comme cible du Cu, on obtient une ligne

intense (ligne Kα1) à 0.1541 nm. Pour du Mo, la ligne Kα1 a une longueur d'onde de

0.0709 nm.

4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 7

Faisceau d'électrons

Rappelons que les électrons, d'après la mécanique quantique, peuvent être considérés

comme des ondes (voir paragraphe 1.5). La relation entre λ et l'énergie cinétique E des

électrons est :

E =h2

2mλ2

avec m = 9 · 10−31 kg la masse de l'électron. En unité plus pratiques, nous avons :

λ[nm] =1.2√E[eV]

Les électrons sont des particules chargées et interagissent fortement avec la matière : ils

ne pénètrent pas profondément dans le cristal et sont surtout utilisés pour des �lms ou

de petits cristaux.

Pour obtenir λ de l'ordre de 0.1 nm, l'énergie des électrons est de l'ordre de quelques

centaines d'eV.

Faisceau de neutrons

Comme pour les électrons, la mécanique quantique nous dit que les neutrons ont aussi

une nature ondulatoire. La relation entre l'énergie et la longueur d'onde est toujours

E =h2

2mnλ2

avec mn = 1.67493 · 10−27 kg la masse du neutron. En unité plus pratiques, nous avons :

λ[nm] =0.028√E[eV]

Pour λ = 0.1 nm, E = 0.08 eV, ce qui correspond aux neutrons thermiques d'un réacteur.

8 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE

Réalisation expérimentale

Avant de montrer une réalisation expérimentale, dessinons les divers plans dans un réseau

cristallin. Ces plans sont représentés dans la �gure 4.6.

{0,1,0}

{1,1,0} {3,1,0}

{1,2,0}

{1,3,0}

}Fig. 4.6 � Di�érents plans {h, k, l}

Grâce à la �gure 4.6, nous voyons que la distance entre deux plans successifs décroît

lorsque les indices de Miller augmentent. Ceci requiert :

• à sin θ constant, des longueurs d'ondes plus courtes,• à λ constant, une augmentation de sin θ, donc de θ.Parmi les nombreuses méthodes possibles, nous décrivons la caméra de di�raction des

rayons X, utilisant des poudres. On envoie un faisceau de rayons X monochromatiques

dans une chambre cylindrique. Un �lm sensible aux rayons X est mis dans la chambre.

Au centre du cylindre, on place un petit tube rempli d'une poudre du cristal que l'on

veut étudier. La �gure 4.7 montre ce dispositif.

Film sensible aux rayons X

2θFaisceau de rayons X monochromatiques

Tube contenant une poudre de cristal

Direction des rayons X réfléchis dans une direction satisfaisant la condition de Bragg pour des plans {h,k,l}

Fig. 4.7 � Schéma d'une caméra utilisée pour la di�raction d'une poudre par rayons X

4.2. STRUCTURE PÉRIODIQUE DES SOLIDES 9

Par la loi de Bragg, 2d sin θ = λ. Nous avons la situation où λ est �xé, car le faisceau de

rayons X est monochromatique. Comment obtenir les �gures d'interférence correspondant

aux divers d ?

Notons que la poudre est un ensemble de cristaux dont l'orientation par rapport aux

rayons X est aléatoire. Il y aura toujours des plans {h, k, l} satisfaisant la condition de

Bragg. La �gure 4.8 montre la situation pour un tel plan.

Plans {h,k,l} satisfaisant la condition de Bragg

2θRayons X incidents

Rayons X réfléchis

θ}

Fig. 4.8 � Di�raction pour un plan satisfaisant la loi de Bragg

Le faisceau di�racté fait donc un angle 2θ par rapport au faisceau incident, avec

θ = arcsin(λ

2d

)où d est la distance entre deux plans {h, k, l}. L'angle θ augmente avec les indices {h, k, l}.

Dans une caméra pour di�raction de poudres, les faisceaux di�ractés dans les directions

satisfaisant la condition de Bragg sont émis selon des cônes dont l'axe est le faisceau

incident. Sur le �lm, ces faisceaux donnent des arcs de cercles caractérisant les divers

plans {h, k, l}. La mesure de l'angle θ correspondant nous donne d correspondant à la

distance entre les plans {h, k, l}.

4.2.4 Réseau réciproque

Soit un cristal avec des vecteurs de base (a,b, c) Un point du cristal est

ρ = ma+ nb+ qc

Dé�nissons les vecteurs suivants :

A = 2πb ∧ c

a · (b ∧ c)

B = 2πc ∧ a

a · (b ∧ c)

10 CHAPITRE 4. ETAT SOLIDE

C = 2πa ∧ b

a · (b ∧ c)

Les vecteurs A, B et C sont les vecteurs de base du réseau réciproque. Soit G un

vecteur du réseau réciproque :

G = hA+ kB+ lC

On a :

G · ρ =2π

a · (b ∧ c)[hma · (b ∧ c) + knb · (c ∧ a) + lqc · (a ∧ b)]

En utilisant

a · (b ∧ c) = b · (c ∧ a) = c · (a ∧ b)

on a :

G · ρ = 2π [hm+ kn+ lq] = 2π × nombre entier

exp {iG · ρ } = 1

Table des matières

4 Etat solide 1

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2 Structure périodique des solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2.1 Réseau et maille unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

4.2.2 Notation, indices de Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

4.2.3 Véri�cation expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2.4 Réseau réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

11