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Universit des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene
Facult dElectronique & Informatique
MASTER ELECTROTECHNIQUE INDUSTRIELLE
Techniques didentification et de contrle
MET305
LA COMMANDE ADAPTATIVE
A NAIT SEGHIR
2014-2015
-
ET305-M2EI Techniques dIdentification et de Commande
A.NAIT SEGHIR | Commande Adaptative page 1
LA COMMANDE ADAPTATIVE
INTRODUCTION
La motivation relle de la commande adaptative est d'apporter une solution au contrle des
systmes dont le comportement dynamique est partiellement ou totalement inconnu et ventuellement
variable dans le temps. En effet, dans ces situations, les mthodes classiques de commande
n'aboutissent pas aux performances dsires en boucle ferme, et conduisent une dtrioration du
rglage.
En automatique, un rgulateur est dit adaptatif s'il peut modifier son comportement, en rponse
des changements dans la dynamique du procd ou des perturbations, pour maintenir un certain
niveau de performance pralablement choisi. Cette modification doit se faire d'une manire
automatique, sans intervention externe [ST89].
Lorsque le systme de commande est non-linaire et que les paramtres de son modle de
connaissance varient dans de grandes proportions, la commande adaptative est une alternative
intressante.
Plusieurs possibilits de commande adaptative peuvent tre envisages. Nous nous intressons,
dans cette partie, la commande des systmes linaires, dont les paramtres sont inconnus ou variables
dans le temps. Le rgulateur comporte un algorithme d'identification rcursif, permettant d'estimer en
ligne les paramtres de la fonction de transfert chantillonne quivalente, combin avec une stratgie
de commande. Ce qui donne des rgulateurs auto-ajustables ou rgulateurs adaptatifs [GOO84].
COMMANDE A CONTRE-REACTION ET COMMANDE ADAPTATIVE
La structure de base de la commande adaptative est constitue de deux boucles de rgulation.
On retrouve la boucle classique contre raction comportant le procd et le rgulateur paramtres
ajustables. La seconde boucle permet de rajuster en ligne les paramtres du rgulateur en fonction
d'un certain indice de performance. Cet indice regroupe les objectifs dsirs [LAN86].
La boucle contre raction, prend en charge l'effet des perturbations agissant sur les variables
rguler. La boucle d'adaptation quant elle, permet de diminuer l'effet des perturbations paramtriques
agissant sur le procd lui-mme, tout en gardant les objectifs fixs.
Le schma de base de la commande adaptative est reprsent par la figure (1).
Figure 1 : Structure de base d'une commande adaptative
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DIFFERENTES TECHNIQUES DE COMMANDE ADAPTATIVE
Parmi les mthodes de commande adaptative, deux principales approches ont attir le plus
d'attention [ST89]:
La commande adaptative modle de rfrence (Model Reference Adaptive Control
"M.R.A.C").
Les systmes de commande auto-ajustable (Self-Tuning Regulator "S.T.R").
La principale diffrence qui existe entre les deux approches rside dans le mode d'ajustement
des paramtres du rgulateur. De plus, les systmes MRAC sont initialement dvelopps pour les
problmes de poursuite en temps continu dterministe et la technique STR pour les problmes de
rgulation discrte stochastique [LAN81].
Aprs la prsentation des gnralits sur ces deux approches, nous nous intresserons, au
rgulateur auto-ajustable.
Commande adaptative modle de rfrence
Les systmes (MRAC) sont importants puisqu'ils sont relativement simples implmenter et
qu'ils n'ont pas besoin d'une identification des performances de la dynamique du procd. L'ide de
base de ces systmes est de synthtiser le signal de commande qui forcera le systme de se conduire
d'une certaine manire prescrite par un modle de rfrence idalement choisi (Figure 2) [CHA87],
[LAN79].
Dans cette approche, la comparaison entre l'indice de performance (IP) dsir et celui mesur
est obtenu directement en comparant la sortie du modle de rfrence avec celle du systme
commander. L'erreur est utilise par la suite par le mcanisme d'adaptation pour l'ajustement des
paramtres du rgulateur. Ce schma reprsente les systmes (MRAC) implicite (appels aussi
systmes de commande adaptative directe).
Figure 2 : Commande adaptative modle de rfrence.
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Il existe des systmes (MRAC) explicite (appels aussi systmes de commande adaptative
indirecte), dans lesquels, un prdicteur adaptatif driv des systmes adaptatifs modle de rfrence
(SAMR) est utilis [LAN80], [LAN81], [SIL79]. Les paramtres de ce dernier servent pour le calcul
du rgulateur (Figure 3). L'ensemble prdicteur adaptatif-contrleur se conduit chaque instant comme
le systme dynamique "dsire".
Par ailleurs, il est dmontr que pour une paramtrisation particulire du procd, les deux
aspects de commande conduisent aux mmes quations [ST89], [GOO84].
Figure 3 : Commande adaptative modle de rfrence explicite.
Commande auto-ajustable
Dans les systmes adaptatifs, il est suppos que les paramtres du rgulateur sont ajusts
pendant tout le temps. Ceci implique que les paramtres du rgulateur suivent les changements dans le
processus. Le rgulateur est appel auto-ajustable du fait qu'il ajuste le contrleur aux performances
dsires [ST89].
Figure 4 : Commande auto-ajustable schma de base
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A.NAIT SEGHIR | Commande Adaptative page 4
Les rgulateurs auto-ajustables se basent essentiellement sur l'estimation des paramtres du
procd. Les paramtres du rgulateur sont calculs indirectement, via le prdicteur (Figure 4). C'est
l'algorithme auto-ajustable indirect (explicit self-tuning control). Il est cependant possible de
reparamtriser le modle en termes de paramtres du rgulateur de faon ce qu'ils soient estims
directement (Figure 5). Ce qui donne une simplification signifiante de l'algorithme. C'est le rgulateur
auto-ajustable direct (implicit self-tuning control) [ST73].
Un de ces rgulateurs auto-ajustables, savoir le rgulateur auto-ajustable variance minimale
gnralise, sera dtaill dans la suite cours.
Pour cette stratgie de commande, l'approche directe est adopte. Elle a pour avantage d'liminer l'tape
de l'identification des paramtres du procd. Ce qui facilite les calculs et rduit le temps d'excution.
Le schma de la commande adaptative modle de rfrence est destin oprer dans un
environnement dterministe et le rgulateur auto-ajustable variance minimale gnralise est destin
oprer dans un environnement stochastique [ST89], [GOO84].
Figure 5 : Cycle auto-ajustable implicite
METHODES RECURSIVES DIDENTIFICATION
Parmi lensemble des techniques didentification dveloppes depuis le dbut des annes 60, les
mthodes rcursives ont rapidement vu le jour [LAN93a]. Leur principal objectif consiste estimer, de
manire consistante et en ligne, le modle du processus tudi. Les deux raisons fondamentales de ce
dveloppement sont que :
ces techniques permettent de suivre les volutions (lentes) de la dynamique du systme tudi
en adaptant continuellement le modle de procd. Il est alors possible de prendre des
dcisions en temps rel en fonction des dernires informations acquises sur le processus;
ces mthodes sont, la plupart du temps, moins gourmandes en mmoire et en temps de
calcul que leurs homologues hors ligne tout en tant capables de fournir un modle fiable
du procd.
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Comme la commande adaptative est articule principalement sur une phase didentification
paramtrique, les mthodes didentification paramtrique utilises sont: lAlgorithme du gradient et les
Moindres carres rcursifs.
COMMANDE AUTO-AJUSTABLE A VARIANCE MINIMALE
Principe de la commande
Le premier rgulateur auto-ajustable dvelopp par strm & Wittenmark, est bas sur le
principe de la variance minimale stochastique. C'est une approche utilisant l'objectif de la commande
optimale. Les suppositions requises sont que le systme soit phase minimale, le temps de retard soit
connu et qu'une limite de l'ordre du systme soit donne. L'objectif de cette approche est de minimiser
la variance de la sortie mesure [ST73].
Clarke et Gawthrop, ont tendu cette ide pour couvrir une large varit d'objectifs, en incluant
les variations du point de fonctionnement de faon assurer la poursuite et de la rgulation. Cela
ncessite la minimisation d'une combinaison de la variance de la commande et celle de la sortie
[CLA75], [CLA79].
Synthse d'un rgulateur auto-ajustable variance minimale gnralise
Le systme commander est dcrit par le modle ARMAX (Auto-Regressif moyenne Mobile
et entre eXogne), paramtres constants. Ce modle est la base de la synthse de la plupart des lois
de commande linaire et de techniques d'identification (Figure 6). Il est donn par:
(k))qC(+)u(k)qB(q=)y(k)qA(-1-1-d-1 (1)
d reprsente le retard pur du systme. C'est un nombre entier de priodes d'chantillonnage, et d1.
y(k) et u(k) sont respectivement, l'entre et la sortie du systme. (k) est une squence non corrle
provenant du bruit de mesure, de variance .
Les polynmes A, B et C sont donns par:
q c...++qc+1=)qC(
0b ,q b...++qb+b=)qB(
q a...++qa+1=)qA(
l-
l
-1
1
-1
0
m-
m
-1
10
-1
-n
n
-1
1
-1
La dfinition de d impose: b0 0. Les racines du polynme C sont supposes rsider l'intrieur du
cercle unit (stabilit du systme en boucle ferme).
Figure 6: Structure du modle ARMAX.
+
+
-
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Aucune restriction n'est impose aux polynmes A et B. Cependant, le retard d et des bornes suprieurs
de n, m et l doivent tre connus a priori.
La structure du rgulateur dpend du choix de la fonction cot minimiser. Pour la technique
de variance minimale gnralise, le critre choisit par Clarke et Gawthrop consiste minimiser la
variance d'une sortie auxiliaire [CLA79].
)]/d+(kE[=J k2
(2)
est la sortie auxiliaire (Figure 7) de la forme:
)W(k)qR(-)u(k)qQ(+d)+)y(kqP(=d)+(k-1-1-1 (3)
W(k) dsigne le signal de rfrence l'instant k. Les Polynmes P, Q et R sont des pondrations qui
peuvent tre choisies selon les caractristiques de la rponse dsire (action intgrale, minimisation des
effets de la perturbation,...).
Ce critre introduit dans sa structure suffisamment de degrs de libert pour pouvoir assurer la
stabilit d'une large varit de systmes.
Dans l'quation (3), le second et le troisime terme du second membre sont connus l'instant k. Il reste
alors prdire le premier terme, qui est de la forme:
)y(k)qP(=(k)-1
y (4)
La prdiction de la sortie y est donne par [CLA79], [GAW82]:
)u(k)qG(+)y(k)qF(=)/d+(k)qC(-1-1
k*
y
-1
(5)
o F et G sont des polynmes vrifiant l'identit:
)qA(
)qF(q+)qE(=
)qA(
)q)P(qC(-1
-1d--1
-1
-1-1
(6)
avec: B E =G . E et F sont respectivement, d'ordre (d-1) et (n-1). A partir des quations (3) et (5), la
sortie auxiliaire prdite sera:
)W(k)qR(-)u(k)qQ(+d)+(k=d)+(k-1-1*
y*
(7)
La loi de commande optimale obtenue par minimisation du critre choisi, en annulant la prdiction
l'instant k de la sortie auxiliaire dfinie par (7), est donne comme suit:
)qQ(
)/d+(k -)W(k)qR( =(k)U -1
k*
y
-1
0
(8)
En utilisant les quations (5) et (7), elle s'exprime par:
)q)C(qQ(+)qG(
)y(k)qF(-)W(k)q)R(qC(=(k)U
1-1-1-
-1-1-1
0 (9)
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Figure 7 : Structure du modle du procd avec le modle auxiliaire.
C'est une loi de commande incluant la trajectoire de rfrence. Cette commande optimale doit,
en outre, tre combine avec un algorithme d'estimation paramtrique pour produire un rgulateur
auto-ajustable.
Algorithme auto-ajustable implicite
Le schma implicite de strom et Wittenmark, et Clarke & Gawthrop est bas sur l'ide
d'viter de sparer entre l'tape d'identification et celle de la commande, car les paramtres du
contrleur sont incorpors dans la procdure d'identification [ST73], [CLA75], [CLA79].
Pour calculer la commande optimale (8), il est ncessaire d'avoir la sortie )/d+(k k*
y dfinie
par (5). Comme les polynmes F, G et C sont inconnus, leurs coefficients sont alors estimer. Pour
cela, un algorithme d'identification rcursif bas sur les moindres carrs tendus (MCE), est utilis. Le
"principe d'quivalence certaine", permet d'utiliser les estims la place des vrais paramtres, dans la
loi de commande [ST89].
Le prdicteur peut s'crire comme suit:
)/id+(kc- u(k) )qG( + y(k) )qF( = )/d+(k i-k* yi
n
1=i
-1-1
k*
y
(10)
Dfinissons les vecteurs et par:
] ... ,)/1-d + (k ; ... ,y(k) ; ... ,u(k) [ = (k)
] ... ,c - ; ... ,f ; ... ,g [ = (k)
-1k*
y
T
100
T
Ces derniers dsignent les observations et les paramtres correspondants. L'quation (5) devient alors:
(k)(k)=)/d+(kT
k*
y (11)
Finalement, prdire la sortie )/d+(k k*
y revient estimer le vecteur paramtres compos des
coefficients des polynmes F, G et C.
Perturbation
Entre
Point dsir
Sortie
+
+
+ +
- Sortie
auxiliaire
Modle
Auxiliaire
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A.NAIT SEGHIR | Commande Adaptative page 8
L'algorithme auto-ajustable direct est donn par:
tape 1: Estimation du vecteur paramtres par les moindres carrs tendus.
tape 2: Calcul du prdicteur )/d+(k k*
y puis du signal de commande donn par l'quation (8)
en utilisant les estims obtenus dans l'tape 1.
Revenir l'tape 1.
CONCLUSION
La commande adaptative, base sur les rgulateurs auto-ajustables, a t analyse. La stratgie
de commande explore est la commande variance minimale gnralise. Lapproche directe du
rgulateur auto-ajustable a t considre. L'application de cette stratgie couvre tous les types de
systmes grce l'introduction, dans la structure du critre minimiser, dun certain nombre de
paramtres de pondration (de degrs de libert) pour assurer la stabilit de la boucle ferme. Il suffit
pour cela de faire le bon choix des coefficients des polynmes de pondration.
Cette technique permet aussi de prendre en charge leffet des bruits qui peuvent entacher les
grandeurs mesures. Cette loi de commande est associe un algorithme d'estimation paramtrique,
bas sur les moindres carrs rcursifs, pour estimer directement des paramtres de la loi de commande
ce qui donne lieu un rgulateur auto-ajustable.
RFRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
[AST89] K.J. Astrom, B. Wittenmark, ''Adaptive control", Addison Wesley, 1989.
[CLA79] D.W. Clarke, P.J. Gawthrop, "Self-tuning control", IEE proc. , Vol. 126, No. 6, pp.
633-640, 1979.
[GOO84] G.C. Goodwin, K.S. Sin, "Adaptive prediction filtering and control", Prentice Hall,
1984.
[LAN86] I.D.Landau, Commande adaptative : Aspects Pratiques et Thoriques, Masson, 1986.
[LAN93a] I.D. Landau, "Identification et commande des systmes", (seconde dition), Herms,
Paris, 1993.
[LAN93b] I.D. Landau, F. Rolland, "Identification and digital control of electrical drives", Control
Eng Practice, Vol. 1, No. 3, pp. 539-546, 1993.
[NAI97] A. Nait Seghir, Identification et Commande adaptative d'une machine synchrone
autopilote alimente par onduleur de tension. Thse de Magister, ENP, Alger, 1997.