Estimation des incertitudes sur un système de mesure · Estimation des incertitudes par la loi de...

Cécile Guianvarc'h

Laboratoire Commun de Métrologie LNE-Cnan

Saint Denis

Estimation des incertitudes sur un système de mesure :

intérêt et exemples de mise en œuvrede méthodes de calcul

9 novembre 2016 2 / 23EXACT#1, Saint Denis

Calcul d'incertitudes : pour quoi faire ? (1/4)

Avoir et inspirer confiance dans un résultat en chiffrant ses limites de validité

Répondre à des nécessités pratiques liées à l’activité

➔ Conformité d’un résultat de mesure par rapport à des spécifications (normes, réglementation, cahier des charges)

➔ Assurer la traçabilité de résultats au SI (métrologie)

➔ Expériences sous assurance qualité, laboratoire accrédité, ...



Juger de manière pertinente de l'accord entre des résultats de différentes sources ou de différentes natures

Module de l'impédance d'entrée d'une fente annulaire fine, résultats théoriques et expérimentaux

Valeurs de la constante de Boltzmann déterminées à différents moments et par différents laboratoires de métrologie

Résultats incohérentsRésultats cohérents

D. Rodrigues et al. JSV, 2008



Déterminer les grandeurs physiques qui ont une influence prépondérante sur un résultat de calcul ou un résultat de mesure indirecte

➔ Conception et optimisation d'expériences cohérentes avec les ordres de grandeurs des phénomènes à observer

➔ Estimation du niveau de complexité requis et pertinent pour un modèle ou un maillage compte tenu la précision expérimentale accessible

p

q Mm Rav

Cae CacRah

Cm

Caf

Mae

Membrane

Charge arrière



Le calcul d'incertitudes prend pleinement sa place dans des processus

d'analyse de résultats théoriques et expérimentaux

d'élaboration de modèles analytiques ou de maillages pour un modèle FEM

de conception de dispositifs expérimentaux


Expression des incertitudes

Tout « résultat de mesure » est une variable aléatoire

Mesures répétées de la même grandeur donnent des résultats légèrement différents les uns des autres

Résultat de mesure caractérisé par une variable aléatoire à laquelle est associée une loi de probabilité

Probabilité

68,26%

95,46%

Cux CCux C

Cux 2C Cux 2C

Cx

Espérance mathématique (valeur centrale)

Ecart-type

Intervalle de confiance à 95 %

Variance

Loi de probabilité normale

Grandeurs à déterminer lors d'une mesure


Expression des incertitudes : mesure directe

Exemple : réponse d'un microphone à la grille d'entraînement

Incertitude sur vr

Incertitudes de type ACauses aléatoires, liées aux conditions de mesure (répétabilité, reproductibilité)

⇒ Estimation sur une base statistique

Incertitudes de type BCauses identifiées, liées à la méthode et l’instrumentation (résolution, exactitude,…)

⇒ Estimation à partir des caractéristiques de la chaîne de mesure

Grille d'entraînement

Microphone Réponse à la grille d'entraînement déterminée par mesure directe


Expression des incertitudes : mesure indirecte

BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLGuide pour l’expression de l’incertitude de mesure, 2 édition, 1995

Résultat de mesure (indirecte) ou de calcul

Loi de composition des variances (propagation des erreurs)

Paramètres d'entrée indépendants

Paramètres d'entrée liés

Coefficients de sensibilité

Composantes d'incertitudes associées à chaque grandeur d'entrée

Coefficients de corrélation


Calcul d'incertitudes : loi de composition des variances

+ Méthode de calcul directe et exacte

+ Composantes d'incertitudes associées à chaque paramètre d'entrée➔ Quantifier l'influence relative des différentes grandeurs d'entrées sur le résultat

- Calcul des coefficients de sensibilité fastidieux si les variables d'entrée sont nombreuses, si f(x

1,x

2…) a une forme complexe, si y est le résultat d’une

interpolation ou d’un fit...● Utilisation d'un logiciel de calcul symbolique (pas toujours faisable)

● Calcul d'incertitudes sur une expression simplifiée pour f(x1,x

2…)

● Inutilisable sur des modèles FEM

Coefficients de sensibilité

Incertitude sur y exprimée analytiquement à l'aide de la loi de composition des variances

Résultat de mesure (indirecte) ou de calcul


Calcul d'incertitudes : méthode de Monte Carlo

« Postulat » de la mesurePrincipe de la méthode

Génération d’un jeu de N données aléatoires, en accord avec la loi de probabilité des grandeurs d’entrée

BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLEvaluation des données de mesure - Supplément 1 du “Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure” - Propagation de distributions par une méthode de Monte Carlo, 2008

Jeu de N données correspondant à une loi de probabilité à déterminer (histogramme)

Loi de probabilité

● Valeur centrale = valeur de la grandeur de sortie

● Ecart-type = incertitude totale sur la grandeur de sortie

N données

N données

N données


Calcul d'incertitudes : méthode de Monte Carlo

« Postulat » de la mesureCalcul de chaque composante d’incertitude

BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIMLEvaluation des données de mesure - Supplément 1 du “Guide pour l’expression de l’incertitude de mesure” - Propagation de distributions par une méthode de Monte Carlo, 2008

Jeu de N données correspondant à une loi de probabilité à déterminer (histogramme)

Ecart-type

Composante d’incertitude liée à x1

N données

x2

x3

Contribution relative de chaque composante dans l’incertitude finale ?


Exemples de calculs d’incertitudes I (1/4)

Fréquence de résonance d'une membrane déterminée par régression non linéaire sur des résultats expérimentaux

Régression non linéaire sur une fonction lorentzienne

Fréquence de résonance et largeur à mi-hauteur (amortissement)

Réponse d'une membrane de microphone à une grille d'entraînement

Résultats expérimentaux

Incertitudes sur les paramètres de sortie du fit ?

C. Guianvarc'h et al. CFA 2016


N tirages des paramètres d'entrée du fit (série de valeurs expérimentales) selon leurs lois de probabilité respectives (simultanément ou séparément)

N estimations des paramètres de la fonction lorentzienne


Incertitudes sur les données expérimentales

Loi de probabilité normale (?)

Ecart-type 0,004 Hz

N = 10 0,02 mV

Valeur centrale 47767,511 Hz



Calcul complexe à faire analytiquement...






Ecart-type 0,004 Hz

0,02 mVN = 102


Loi de probabilité normale (?)










Ecart-type 0,004 Hz

0,02 mVN = 103












Valeur centrale

Ecart-type 0,004 Hz

47767,513 Hz

0,02 mVN = 106





Tension d'une membrane déduite de sa fréquence de résonance

Expression analytique simple impliquant peu de paramètres

Estimation des incertitudes par la loi de composition des variances

Grandeur Valeur Incertitude-type

Masse volumique (kg.m-3) 8300 6

Épaisseur (µm) 6,95 0,03

Rayon (mm) 2 0,02

Fréquence de résonance (Hz)

47767,513 0,004

Valeurs typiques, incertitudes estimées

Mesurée, incertitude calculée




Loi de composition des variances

2,6 N/m 15,5 N/m 71,9 N/m

74 N/m

3594 N/m

0,0006 N/m

soit 2 % en valeur relative




Loi de composition des variances

2,6 N/m 15,5 N/m 71,9 N/m

74 N/m

3594 N/m

0,0006 N/m

soit 2 % en valeur relative

Composante principale


Exemples de calculs d’incertitudes II (1/3)

Champ acoustique en cavité : perturbation introduite par un tube fin en paroi

Techniques de thermométrie acoustique à gaz

Fréquence de résonance d’un gaz rare (He, Ar) en cavité sphérique (modes radiaux)

Vitesse du son dans le gaz

Température thermodynamique du gaz

Petits éléments localisés en paroi (transducteurs, tubes d’arrivée et de sortie de gaz)

Paramètres « importants » pour le calcul des perturbations liées aux tubes ?

Perturbations sur les propriétés de résonance du champ acoustique




Propriétésde l’argon (c

0 , ρ

0 , λ, μ, η)

Effet du tube sur la fréquence de résonance et la largeur à mi-hauteur du mode (0,n)

Calcul ab inito

Méthodes de calcul et modèles supposés exacts

Rayon du tube

Longueur du tube

Arguments peu nombreux mais expression un peu complexe...

Volume de l’enceinte

Rayon de la cavité

Pression, température de travail

Argon gazeux à

Cavité sphérique

Tube cylindrique

Enceinte close

Méthode de Monte Carlo2 Pa

0,1 mK

0,5080 ± 0,0127 mm

87,78 ± 0,02 mm

0,005 m³ à 10%

0.09010451 m à 3.10-7

273,16 mK

variable avec




Important contrôle du système de mesure dans son ensemble

Effet du tube sur les propriétés de résonance du champ acoustique en cavité (mode 04)

Décalage en fréquence

Largeur à mi-hauteur

Incertitudes totales très faibles !

Incertitudes liées uniquement aux dimensions du tube (autres composantes négligeables)


Conclusion

Contraintes liées au calcul d'incertitudes (quelle que soit la méthode)

Identifier toutes les grandeurs physiques indépendantes et évaluer leurs incertitudes respectives

Connaître les relations entre les différentes grandeurs en jeu et leurs éventuelles corrélations

Calcul parfois fastidieux

D'un autre côté...

Apport intéressant pour

✔ l'analyse de résultats théoriques et expérimentaux

✔ la conception et l'optimisation d'expériences

✔ l'élaboration de modèles pertinents (analytiques, FEM)

Questionnement et réflexion sur

✔ l'instrumentation utilisée pour une expérience

✔ les grandeurs physiques participant à un résultat de mesure ou de calcul

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