EST ESSAOUIRA 2009/2010 1

LES ARBRES

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SOMMAIRE : Notion d’arbre:

Définitions

Déclaration de type arbre

Exemples

Propriétés Arbres n-aires :

Définition

Fonctionnalités

Parcours

programme principal

LES ARBRES

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EXEMPLES

un graphe

b

an

i r

e

z

un arbre

Un arbre est un graphe - non orienté- connexe : mise à part la racine de l ’arbre, tout nœud possède un père- acyclique : ne comporte pas de cycle

: nœud

racineb

an

i r

e

z

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EXEMPLES

(livre(C1((C1.1),(C1.2),(C1.3))),(C2),(C3 ((C3.1),(C3.2))))

livre

C1.2

C1 C2 C3

C1.1 C1.3 C3.2C3.1

table des matières d ’un livre

arbre généalogique d ’une famille

Arbre non vide :: (racine (fils1, fils2, …,filsN))

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Arbres : propriétés

Il existe un chemin unique entre la racine de l ’arbre et chaque sommet.

b

an

i r

e

z

: nœud

Un des nœuds de l’arbre est particulieril n ’a pas de père : c’est la racine de l’arbre

racine

Un arbre comprend un nombre fini de sommets (appelés aussi nœud).

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Arbres : définitions

Le sous-arbre de racine b est l’arbre composé des descendants de i, enraciné en iOn appelle aussi ce sous-arbre : fils de b

i est le père de n et de an est un descendant de ii est un ascendant de b

b

an

i r

e

z

: nœud

racine

==> algorithmes récursifs

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Arbres : définitions

Un nœud sans fils est un nœud externe ou une feuille.Exemples : n,a,e

b

an

i r

e

z

: nœud

racine

Un nœud qui n ’est pas une feuille est un nœud interne.Exemples : b,i,r

Le nombre de fils d ’un nœud x est appelé degré de x.Lorsque chaque nœud doit avoir au plus n fils (n fixé) alors l ’arbre est n-aire.Exemple : si n=2, l’arbre est binaire.

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Arbres : profondeur

La profondeur ou niveau d ’un nœud est le nombre de liens sur l ’unique chemin qui conduit de la racine à ce nœud.

b

an

i r

e

z

: nœud

Profondeur 0

Profondeur 1

Profondeur 2

Deux nœuds frères ont la même profondeur.

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3 types de parcours : infixés

Gauche, Racine, DroiteDroite, Racine, Gauche

préfixé Racine, Gauche, Droite Racine, Droite, Gauche

postfixés Gauche, Droite, Racine,Droite, Gauche, Racine

34

3020

23 5O

45

gauche

48

droit

29

Parcours dans un arbre n aires

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Conclusions

Les arbres binaires de recherche sont des structures de données efficaces pour implanter des suites ordonnées dynamiques. Les opérations associées sont:RECHERCHER,INSERER et SUPPRIMER . Pour les arbres , les opérations de base sur les arbres n aire ont une complexité de l ’ordre de Log2(N), N étant le nombre de nœuds. Cependant, quand l’arbre est dégénéré : s ’il se réduit par exemple à une liste linéaire chaînée alors les opérations ont une complexité de l ’ordre de (N).Pour garantir de bonnes performances, il existe une variante des ABR : les arbres rouge et noir.