Chapitre 4

Fonctions de classe C1 - Ingalitdes accroissements finis.

Dans le chapitre prcdent, on a commenc par dfinir les drives partielles. Puis on adit que ce ntait pas une notion de drive satisfaisante, en particulier parce que lexistencedes drives partielles nimplique mme pas la continuit. On a ensuite dfini la notion dediffrentiabilit, qui correspond mieux nos attentes. Cest une notion plus forte, puisquelexistence de la diffrentielle implique en particulier lexistence des drives partielles. Mal-heureusement cest aussi une notion plus complique.

Le but de ce paragraphe est maintenant dintroduire les fonctions de classe C1. Cela gn-ralise la notion connue en dimension 1. Mais le vritable intrt est que cest une notion plusforte que la diffrentiabilit, et pourtant souvent plus simple vrifier. Ainsi, pour montrerquune fonction est diffrentiable on pourra chercher montrer quelle est en fait de classe C1(tout en gardant lesprit que ce nest pas parce quune fonction nest pas C1 quelle nestpas diffrentiable. . .). Dans dautres cas on aura explicitement besoin de sassurer quunefonction est bien C1.

On montrera ensuite lingalit des accroissements finis. On a vu que le thorme deRolle et donc le thorme des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction deplusieurs variables. Lingalit des accroissements finis est quant elle toujours valable. Etelle nous rendra bien des services.

4.1 Fonctions de classe C1

Soit U un ouvert de Rn et f une fonction de U dans Rp.Dfinition 4.1. On dit que f est de classe C1 sur U si toutes ses drives partielles sontdfinies et continues sur U .Thorme 4.2. On suppose que f est de classe C1 sur U . Alors f est diffrentiable sur U .Dmonstration. Pour allger les notations on suppose que n = 2. Le cas gnral se montreexactement de la mme manire. Soit a = (a1, a2) U et > 0 tel que [a1 , a1 + ] [a2 , a2 + ] U . Pour h = (h1, h2) [, ]2 on peut dfinir

r(h) = f(a+ h) f(a) h1 fx1

(a) h2 fx2

(a).

On a

f(a+ h) f(a) = f(a1 + h1, a2 + h2) f(a1, a2 + h2) + f(a1, a2 + h2) f(a1, a2).

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L2 Parcours Spcial - S3 - Calcul diffrentiel et intgral

Par hypothse, les fonctions t 7 f(a1 + t, a2 + h2) et t 7 f(a1, a2 + t) sont de classe C1 de[, ] dans R valeurs dans Rp. Daprs le thorme fondamental de lanalyse (qui sadapte ce cas en travaillant simplement coordonne par coordonne) on obtient

f(a+ h) f(a) = f(a1 + h1, a2 + h2) f(a1, a2 + h2) + f(a1, a2 + h2) f(a1, a2)

=

h10

f

x1(a1 + t, a2 + h2) dt+

h20

f

x2(a1, a2 + t) dt

= h1

10

f

x1(a1 + sh1, a2 + h2) ds+ h2

10

f

x2(a1, a2 + sh2) ds,

et donc

r(h) = h1

10

(f

x1(a1 + sh1, a2 + h2) f

x1(a1, a2)

)ds

+ h2

10

(f

x2(a1, a2 + sh2) f

x2(a1, a2)

)ds.

Soit > 0. Puisque les drives partielles de f sont continues en a, il existe 0 ]0, ] tel quepour tout h1, h2 [0, 0] et s [0, 1] on a fx1 (a1 + sh1, a2 + h2) fx1 (a1, a2)

< et fx2 (a1, a2 + sh2) fx2 (a1, a2)

< .Cela prouve que |r(h)| 6 max(|h1| , |h2|), et finalement r(h) = o

h0(h). Do le rsultat.

Dfinition 4.3. Soit V un ouvert de Rp. On dit que f est un C1 diffomorphisme de U dansV si f est une bijection de classe C1 de U dans V dont la rciproque f1 est de classe C1 surV.Remarque 4.4. Si f est un C1-diffomorphisme de U dans V etW U est ouvert, alors f(W)est ouvert comme image rciproque de W par lapplication continue f1.

4.2 Ingalit des accroissements finis

Soient U un ouvert de Rn et f : U Rp une application diffrentiable.Thorme 4.5 (Ingalit des accroissements finis). Soient a, b U tels que

[a; b] = {(1 )a+ b, [0, 1]} U .

Alors on af(b) f(a) 6 b a sup

x[a,b]|||dxf |||.

Dmonstration. On noteM = b a sup

x[a,b]|||dxf |||.

On considre lapplication

g :

{[0, 1] Rp,t 7 f(a+ t(b a)).

26 J. Royer - Universit Toulouse 3

Fonctions de classe C1 - Ingalit des accroissements finis.

Par composition de fonctions diffrentiables (on ladmet pour le moment, ce sera vu auchapitre 6) on obtient que g est diffrentiable (cest--dire drivable) sur [0, 1] et

t [0, 1], g(t) = da+t(ba)f (b a).En particulier :

g(t) 6 |||da+t(ba)f ||| b a 6M.Soit > 0. On considre

I = {t [0, 1] | g(t) g(0) 6 t(M + )}et s = sup(I). Ce supremum est bien dfini car I est born (par 1) et non vide (il contient0). Soit (tm)mN une suite dlments de I qui tend vers s. Alors pour tout m N on ag(tm) g(0) 6 tm(M + ). La fonction t 7 g(t) g(0) est continue, donc par passage la limite on obtient que g(s) g(0) 6 s(M+), et donc s I. Supposons par labsurdeque s < 1. Alors pour h > 0 assez petit on a s + h [0, 1] et

g(s + h) g(s) hg(s) 6 h.Ainsi

g(s + h) g(0) 6 g(s) g(0)+ h g(s)+ h 6 s (M + ) + hM + h6 (s + h) (M + ) .

Cela prouve que s + h appartient I et contredit la dfinition de s. Donc s = 1. Fina-lement pour tout > 0 on a g(1) g(0) 6 M + . En faisant tendre vers 0 cela donneg(1) g(0) 6M , ce qui conclut la dmonstration.Corollaire 4.6. On suppose que U est convexe. Si toutes les drives partielles de f sontnulles sur U alors f est constante sur U .Dfinition 4.7. Soit f une fonction dun domaine D de Rn valeurs dans Rp. Soit K > 0.On dit que f est K-lipschitzienne si

x, y D, f(x) f(y) 6 K x y .On dit que f est lipschitzienne si elle est K-lipschitzienne pour un certain K > 0.

Remarque 4.8. Attention, la constante de Lipschitz K dpend du choix des normes sur Rnet Rp. Par contre, par quivalence des normes, le fait quune fonction soit lipschitzienne ounon ne dpend pas des normes choisies.

Souvent, pour montrer quune application est lipschitzienne, on utilise lingalit de lamoyenne : si f est diffrentiable sur le convexe et sil existe K > 0 tel que |||df(x)||| 6 Kpour tout x , alors f est K-lipschitzienne sur .Dfinition 4.9. On dit que f est contractante si elle est K-lipschitzienne pour un certainK [0, 1[.

Attention, cette dernire notion dpend du choix des normes considres. . .

4.3 ExercicesExercice 4.1. On considre lapplication f : R2 R dfinie par

f(x, y) =

{x3yx4+y2 si (x, y) 6= (0, 0),0 sinon.

Dterminer en quels points la fonction f est continue, admet des drives partielles, estdiffrentiable. Dterminer le plus grand ouvert de R2 sur lequel f est C1.

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L2 Parcours Spcial - S3 - Calcul diffrentiel et intgral

Exercice 4.2. On considre lapplication f : R2 R dfinie par

f(x, y) =

{xy3

x4+y2 si (x, y) 6= (0, 0),0 sinon.

Dterminer en quels points la fonction f est continue, admet des drives partielles, estdiffrentiable. Dterminer le plus grand ouvert de R2 sur lequel f est C1.

Exercice 4.3. On considre lapplication f : R2 R dfinie par f(x, y) = inf(x2, y2).Dterminer en quels points la fonction f est continue, admet des drives partielles, estdiffrentiable. Dterminer le plus grand ouvert de R2 sur lequel f est C1.

Exercice 4.4. 1.Montrer que si f est une fonction contractante de U Rn dans Rn alorslquation f(x) = x admet au plus une solution.2.On considre le systme dquations

x =1

2sin(x+ y), y =

1

2cos(x y).

Montrer que ce problme admet au plus une solution (x, y) R2 (N.B. : on verra au thorme7.1 comment montrer que ce problme admet effectivement une solution).

Exercice 4.5. Montrer quune application lipschitzienne est continue.

Exercice 4.6. On munit Rn de la norme euclidienne 2. Montrer que lapplication

x 7 xx22est de classe C1 sur Rn \ {0} et dterminer sa diffrentielle en tout point.Exercice 4.7. Soit (fm)mN une suite de fonctions de classe C

1 dun ouvert U Rn dansRp. On suppose que cette suite converge simplement vers une fonction f : U Rp :

x U , fm(x) m+ f(x).

On suppose en outre que la suite des diffrentielles dfm converge uniformment sur U , cest--dire que pour tout x U il existe une application linaire g(x) de Rn dans Rp telle que

supxRn

|||dxfm g(x)||| m+ 0.

Montrer que la fonction f est de classe C1 sur U et dterminer sa diffrentielle en tout point.

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