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EPREUVE THEORIQUE. PROBLÈME n°2

REFROIDISSEMENT LASER PAR EFFET DOPPLER

ET « MÉLASSES » OPTIQUES

L’objet de ce problème est de développer une théorie simple permettant de comprendre

l’effet de refroidissement laser par effet Doppler et les mélasses optiques. Il fait

référence au refroidissement d’un faisceau d’atomes neutres, atomes alcalins le plus

souvent, par deux faisceaux lasers de même fréquence et de directions de propagation

opposées. C’est une partie du travail de S. CHU, P. PHILLIPS et C. COHEN-

TANNOUDJI récompensé par le prix NOBEL de physique 1997.

L’image ci-dessus montre des atomes de sodium (spot lumineux au centre) piégés à

l’intersection de trois paires de faisceaux lasers opposés et orthogonaux. La zone

centrale du piège contient alors une « mélasse optique », nom donné par analogie entre

la force optique dissipative et le mouvement d’un corps dans un milieu visqueux (la

mélasse est un sirop de sucre très visqueux).

Ce problème vous fera analyser l’interaction d’un photon incident avec un atome et les

bases du mécanisme de dissipation (pour une direction).

PARTIE I : PRINCIPE DU REFROIDISSEMENT LASER PAR EFFET

DOPPLER

Considérons un atome de masse m se déplacant à la vitesse v dans la direction +x. Pour

simplifier, le problème est étudié à une dimension, c'est-à-dire que l’on ignorera tout

mouvement dans les directions y et z (voir figure 1). L’atome possède deux états

2

d’énergie interne. L'énergie interne du niveau bas est considérée comme nulle et

l'énergie de l'état excité égale à

0 avec 2/h . L’atome est initialement dans

l’état d’énergie le plus bas.

Un faisceau laser de pulsation L dans le référentiel du laboratoire et de direction -x

interagit avec l’atome. Selon la mécanique quantique, le faisceau laser est décrit comme

le flux d’un grand nombre de photons, chacun d’énergie

Let de quantité de

mouvement

q. L’atome peut absorber un photon et en réémettre un plus tard ; cette

émission spontanée se produit selon les directions +x et –x, avec la même probabilité.

Les atomes se déplacent à des vitesses non-relativistes, telles que ν

c<<1 (où c

représente la vitesse de la lumière) et l’on ne conservera que les termes du premier ordre

pour cette quantité. On tiendra compte aussi que 1/ mvq , c'est-à-dire que la

quantité de mouvement d’un atome est largement supérieure à celle d’un photon. Dans

vos réponses, il faut linéariser les expressions contenant les deux quantités ci-dessus.

Fig.1 Un atome de masse m et de vitesse v dans la direction +x rencontre un photon

d’énergie

Let de quantité de mouvement

q. L’atome possède deux états d’énergie,

de différence

0.

On supposera que la pulsation

L du laser dans le référentiel du laboratoire est ajustée

pour que, dans le référentiel de l’atome en mouvement, il y ait résonance pour la

transition considérée.

Répondez aux questions suivantes :

3

1. Absorption.

1

a

Exprimer la condition de résonance pour l’absorption d’un photon. 0.2

1

b

Donner, dans le référentiel du laboratoire, la valeur algébrique de la

quantité de mouvement

patd’un atome après absorption.

0.2

1

c Exprimer, dans le référentiel du laboratoire, l’énergie

at d’un atome après

absorption.

0.2

2. Émission spontanée d'un photon dans la direction -x.

Après l'absorption d'un photon, l'atome peut réémettre spontanément, après un retard

variable, un photon dans la direction -x.

2

a

Exprimer, dans le référentiel du laboratoire, l'énergie du photon émis

spontanément dans la direction -x.

0.2

2

b

Donner, dans le référentiel du laboratoire, la valeur algébrique de la

quantité de mouvement du photon émis spontanément dans la direction -x.

0.2

2

c

Donner, dans le référentiel du laboratoire, la valeur algébrique de la

quantité de mouvement

pat d’un atome après émission spontanée d'un

photon dans la direction -x.

0.2

2

d Exprimer, dans le référentiel du laboratoire, l'énergie de l'atome

at après

émission spontanée d'un photon dans la direction -x.

0.2

3. Émission spontanée d'un photon dans la direction +x.

Après l'absorption d'un photon, l'atome peut aussi réémettre spontanément un photon

dans la direction +x.

4

3

a

Exprimer, dans le référentiel du laboratoire, l'énergie du photon émis

spontanément dans la direction +x.

0.2

3

b

Donner, dans le référentiel du laboratoire, la valeur algébrique de la

quantité de mouvement du photon émis spontanément dans la direction

+x.

0.2

3

c

Donner, dans le référentiel du laboratoire, la valeur algébrique de la

quantité de mouvement

pat d’un atome après émission spontanée d'un

photon dans la direction +x.

0.2

3

d Exprimer, dans le référentiel du laboratoire, l'énergie de l'atome

at après

émission spontanée d'un photon dans la direction +x.

0.2

4. Moyenne des émissions spontanées après absorption.

Lors de l'émission spontanée d'un photon, les directions +x ou -x sont équiprobables.

Utilisez cette hypothèse pour répondre aux questions suivantes :

4

a Exprimer l'énergie moyenne

phd'un photon, après émission spontanée. 0.2

4

b Donner la moyenne

pph de la valeur algébrique de la quantité de

mouvement d'un photon, après émission spontanée.

0.2

4

c Exprimer l'énergie totale moyenne d'un atome

at , après émission

spontanée.

0.2

4

d Donner la moyenne

pat de la valeur algébrique de la quantité de

mouvement d'un photon, après émission spontanée.

0.2

5

5. Transferts d'énergie et de quantité de mouvement.

En prenant pour modèle le processus d'absorption-émission d’un photon décrit ci-

dessus, on constate qu'il existe un transfert d'énergie et de quantité de mouvement

moyenne entre le faisceau laser et l'atome.

5

a

Exprimer la variation d'énergie moyenne

pour un atome après un cycle

complet d'absorption-émission d’un photon.

0.2

5

b Exprimer la variation de quantité de mouvement moyenne

p pour un

atome, après un cycle complet d'absorption-émission d’un photon.

0.2

6. Transferts d'énergie et de quantité de mouvement avec un faisceau laser de

direction +x.

Considérons un faisceau laser de direction +x et de pulsation

L en interaction avec un

atome, atome lui-même en mouvement dans la direction +x avec une vitesse v. Avec

l'hypothèse que la condition de résonance entre la fréquence du laser vue par l'atome et

la transition interne est vérifiée, répondez aux questions suivantes :

6

a

Exprimer la variation d'énergie moyenne

pour un atome après un cycle

complet d'absorption-émission d’un photon.

0.3

6

b Exprimer la variation de quantité de mouvement moyenne

p pour un

atome après un cycle complet d'absorption-émission d’un photon.

0.3

PARTIE II: LA DISSIPATION, À LA BASE DES MÉLASSES OPTIQUES

Il existe pour tout phénomène quantique, une incertitude fondamentale. Ainsi,

l'absorption d'un photon par un atome conduisant à une émission spontanée après un

temps déterminé a pour corollaire que la condition de résonance imposée lors de

l'étude précédente n'a pas besoin d'être exactement vérifiée. Ainsi le processus

d'absorption-émission peut avoir lieu quelles que soient les pulsations des faisceaux

laser

L et

L . Seule sa probabilité (quantique) change et le maximum de probabilité

est, comme l'on s'y attendait, atteint lorsque la condition de résonance est exactement

vérifiée.

6

Le temps moyen pour un atome s'écoulant entre une absorption et l'émission spontanée

est appelé la durée de vie du niveau excité de l'atome. Cette durée de vie est notée

1.

Prenons un ensemble de N atomes au repos dans le référentiel du laboratoire, soumis à

l'action d'un faisceau laser de pulsation

L . Absorptions et émissions se succèdent

continuellement pour les atomes, et en moyenne

Nexcatomes sont dans l'état excité (et

par conséquent

N Nexcsont dans l'état fondamental). L'application de la mécanique

quantique fournit pour le nombre moyen d'atome dans l'état excité le résultat suivant :

Nexc NR

2

0 L 22

4 2R

2

où

0 est la pulsation de résonance de la transition atomique considérée et

R

représente la fréquence de Rabi ;

R

2 est proportionnelle à l'intensité du faisceau laser.

Vous pouvez constater sur l'expression ci-dessus que ce nombre ne s'annule pas lorsque

la pulsation

L du laser diffère de la pulsation de résonance

0. L' application de la

mécanique quantique au processus d'absorption fournit un autre résultat: le nombre de

processus par unité de temps est égal à

Nexc .

Étudions la situation physique décrite dans la figure 2, dans laquelle deux faisceaux

laser de directions opposées, de pulsations identiques mais quelconques

L

interagissent avec un gaz de N atomes se déplaçant à la vitesse v dans la direction +x.

Figure 2. Deux faisceaux laser de directions opposées, de pulsations identiques mais

quelconques

L interagissent avec un gaz de N atomes se déplaçant à la vitesse v dans

la direction +x

7

7. Force exercée par les faisceaux laser sur le nuage atomique.

7

a

A l'aide des informations fournies, exprimer la force exercée par les lasers

sur le nuage atomique. Vous devez supposer que qmv .

1.5

8. Approximation des faibles vitesses.

Supposons maintenant que la vitesse des atomes soit suffisamment faible pour linéariser

en v l'expression de la force.

8

a

Donner l'expression de lDéterminez l’expression linéarisée de la force trouvée à la question 7a dans

cette approxiation cette approximation.

1.5

En utilisant ce résultat, vous pouvez trouver les conditions pour obtenir à l'aide des

lasers une accélération, un ralentissement ou encore un effet nul sur les atomes.

8

b

Exprimer la condition Ecrivez la condition pour obtenir une force positive (accélératrice)

atomes.

0.25

8

c

Exprimez la condition pour obtenir une force nulle. 0.25

8

d

Exprimer la condition conduisant à une force négative (ralentissement des

atomes).

0.25

8

e

Étudiez maintenant le cas d'un nuage d'atomes se déplaçant à la vitesse -v

(donc dans la direction -x). Exprimer la condition conduisant à un

ralentissement des atomes.

0.25

9. Mélasses optiques.

Dans le cas d'une force négative, celle-ci se comporte comme une force de freinage

dissipative. On suppose que le nuage d'atomes est dans les conditions initiales

suivantes : à 0t , 0vv .

8

9

a

Dans l'approximation des vitesses faibles, trouver la vitesse des atomes

après un temps d'interaction avec les lasers.

1.5

9

b

Supposons maintenant que le nuage d'atomes (assimilé à un gaz) soit à la

température T0. Calculer la température T atteinte après un temps

d'interaction avec les lasers.

0.5

Ce modèle ne permet pas d'atteindre des températures arbitrairement basses.