Correction des énigmes

de la QUINZAINE DES MATHS

Enigme n°1 ( Le cryptarisme de César )

VENI + VIDI + VICI = CESAR.

De nombreuses solutions sont possibles. Par exemple, 8491 + 8161 + 8101 = 24753.

Enigme n°2 ( L’équilibre des nombres entiers )

L’équilibre peut être obtenu de quatre façons (mais uniquement en complétant la colonne centrale avec un

nombre pair) :

Enigme n°3 ( Les qualificatifs )

Myriam, Charlotte et Cécile colportent beaucoup de rumeurs. Parmi elles se trouvent une « juste » qui dit

toujours la vérité, une « roublarde » qui ment systématiquement et une « versatile » qui peut mentir comme dire

la vérité. En préparant la quinzaine des Maths, j’ai surpris une de leurs discussions.

Cécile : « Charlotte n’est pas juste ».

Myriam : « Cécile n’est pas versatile ».

TROIS

SOLUTIONS

Juste Cécile Juste Charlotte Juste Charlotte

Roublarde Charlotte Roublarde Cécile Roublarde Myriam

Versatile Myriam Versatile Myriam Versatile Cécile

Enigme n°4 ( Les nombres actifs )

On écrit la liste des 2014 premiers nombres

entiers positifs :

Puis on raye les deux premiers nombres de la

liste et on écrit leur somme au bout :

On raye ensuite les deux premiers nombres actifs

(non rayés) et on écrit leur somme au bout :

A chaque étape, on ne change pas du tout la somme de tous les nombres actifs (c'est-à-dire non rayés).

Donc la somme de tous les entiers de départ est égale au tout dernier nombre non rayé.

On trouvera donc le résultat de 2014 2015 / 2, c'est-à-dire 2 029 105.

Enigme n°5 ( Les nombres d’Hervé )

2014 est un nombre d’Hervé !

Les nombres d’Hervé sont des entiers qui ont toutes les propriétés suivantes :

- Ils s’écrivent avec quatre chiffres exactement ;

- Ils sont supérieurs à 2000 ;

- Leurs quatre chiffres sont différents ;

- La différence de deux des chiffres est 2 ;

- La différence de deux des chiffres est 3.

Combien existe-t-il de nombres d’Hervé ?

On cherche en premier lieu les listes de 4 chiffres dont le plus petit chiffre est 0 et qui vérifient les propriétés

des nombres d’Hervé .

Listes qui donnent 12 années Listes qui donnent 18 années Listes qui donnent 24 années

0,1,2,3

0,1,2,4

0,1,2,5

0,1,3,4

0,1,3,5

0,1,3,6

0,1,3,7

0,1,3,8

0,1,3,9

0,1,4,6

0,2,3,4

0,2,3,5

0,2,3,6

0,2,3,7

0,2,3,8

0,2,3,9

0,2,4,5

0,2,4,7

0,2,5,6

0,2,5,7

0,2,5,8

0,2,5,9

0,2,6,9

0,3,4,5

0,3,4,6

0,3,5,6

0,3,5,7

0,3,5,8

0,3,5,9

0,3,6,8

0,3,7,9

0,4,5,7

0,4,6,7

0,4,6,9

0,4,7,9

0,5,6,8

0,5,7,8

0,6,7,9

0,6,8,9

Pour déterminer les listes dont le plus petit chiffre est 1, il suffit d’ajouter (qd c’est possible) 1 à chaque chiffre

des listes précédentes.

Listes qui donnent 12 années Listes qui donnent 18 années Listes qui donnent 24 années

1,2,3,4

1,2,3,5

1,2,3,6

1,2,4,5

1,2,4,6

1,2,4,7

1,2,4,8

1,2,4,9

1,2,5,7

1,3,4,5

1,3,4,6

1,3,4,7

1,3,4,8

1,3,4,9

1,3,5,6

1,3,5,8

1,3,6,7

1,3,6,8

1,3,6,9

1,4,5,6

1,4,5,7

1,4,6,7

1,4,6,8

1,4,6,9

1,4,7,9

1,5,6,8

1,5,7,8

1,6,7,9

1,6,8,9

Pour déterminer les listes dont le plus petit chiffre est 2, il suffit d’ajouter (qd c’est possible) 1 à chaque chiffre

des listes précédentes. Ainsi de suite…

24 années

Plus ptt chiffre : 2

24 années

Plus ptt chiffre : 3

24 années

Plus ptt chiffre : 4

24 années

Plus ptt chiffre : 5

24 années

Plus ptt chiffre : 6

2,3,4,5

2,3,4,6

2,3,4,7

2,3,5,6

2,3,5,7

2,3,5,8

2,3,5,9

2,3,6,8

2,4,5,6

2,4,5,7

2,4,5,8

2,4,5,9

2,4,6,7

2,4,6,9

2,4,7,8

2,4,7,9

2,5,6,7

2,5,6,8

2,5,7,8

2,5,7,9

2,6,7,9

2,6,8,9

3,4,5,6

3,4,5,7

3,4,5,8

3,4,6,7

3,4,6,8

3,4,6,9

3,4,7,9

3,5,6,7

3,5,6,8

3,5,6,9

3,5,7,8

3,5,8,9

3,6,7,8

3,6,7,9

3,6,8,9

4,5,6,7

4,5,6,8

4,5,6,9

4,5,7,8

4,5,7,9

4,6,7,8

4,6,7,9

4,6,8,9

4,7,8,9

5,6,7,8

5,6,7,9

5,6,8,9

5,7,8,9

6,7,8,9

Reste à compter le nombre d’années :

10 12 + 58 18 + 51 24 = 2388 années d’Hervé.