Électromagnétisme

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Électromagnétisme

par Gérard FOURNETProfesseur émérite de l’Université de Paris VI

ne bonne connaissance de l’électromagnétisme, partie de la physique quitraite des relations entre les phénomènes électriques et magnétiques, est

une des bases nécessaires à l’électrotechnicien ; nous nous sommes doncefforcés de présenter un exposé logique, précis, utile et pouvant même aug-menter la culture générale de l’électrotechnicien.

Avant de détailler chaque point, signalons d’abord que nous avons adopté lesnotations et le système d’unités définis par les normes françaises et inter-nationales [Bureau International des Poids et Mesures (1985), Union Techniquede l’Électricité (1981), Union Internationale de Physique Pure et Appliquée (1965)]

1. Bases de l’électromagnétisme ............................................................. D 1 020 - 51.1 Définitions et grandeurs.............................................................................. — 51.2 Équations macroscopiques de Maxwell .................................................... — 71.3 Relations macroscopiques liées à l’état de la matière ............................. — 131.4 Énergies électromagnétiques ..................................................................... — 15

2. Différents aspects de l’électromagnétisme ..................................... — 172.1 Électrostatique ............................................................................................. — 182.2 Magnétostatique.......................................................................................... — 292.3 États quasi stationnaires ............................................................................. — 452.4 États dépendant complètement du temps ................................................ — 48

3. Applications à l’électrotechnique ....................................................... — 533.1 Le vecteur de Poynting et les transferts d’énergie ................................... — 533.2 Éléments typiques des circuits électriques ............................................... — 533.3 Circuits magnétiques................................................................................... — 583.4 Effet de peau ................................................................................................ — 643.5 Pertes par courants de Foucault................................................................. — 713.6 Lignes de transport ou de transmission .................................................... — 78

4. Annexe A : nature tensorielle des grandeurs et applications ..... — 834.1 Nature et classement des grandeurs physiques....................................... — 834.2 Nature tensorielle des grandeurs et lois physiques ................................. — 85

5. Annexe B : opérateurs différentiels.................................................... — 885.1 Définition des opérateurs différentiels ...................................................... — 885.2 Application des opérateurs différentiels à des produits

ou à des fonctions ....................................................................................... — 895.3 Combinaisons d’opérateurs différentiels .................................................. — 895.4 Intégrations d’opérateurs différentiels ...................................................... — 90

Références bibliographiques ......................................................................... — 90

U

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ÉLECTROMAGNÉTISME _________________________________________________________________________________________________________________

(cf. articles Unités légales et facteurs de conversion [A 24] dans le traité Plasti-ques et Composites et Système d’unités MKSA de Giorgi [D 50] dans le traitéGénie électrique). Nous utilisons donc le vocabulaire suivant :

— pour les grandeurs de base :

(1)

— pour les sources :

(2)

— dans le cas de relations linéaires :

(3)

Ces précisions sont très importantes dans le domaine de l’électromagnétismeoù il est difficile de dire que l’unanimité est atteinte ! Toutes les considérationsqui amènent à montrer que tel système est meilleur que tous les autres nousparaissent d’ailleurs artificielles : un système est bon s’il permet de repérer lesdifférents types de grandeurs par différents types de symboles en restant le plusprès possible de la réalité physique.

Des considérations de pure logique montrent qu’une relation dont on ignorele domaine de validité est inutile et peut même être dangereuse. Nous avons donccherché à montrer l’origine des différentes relations en distinguant dès le débutde l’article, d’une part, les lois générales de l’électromagnétisme (équations deMaxwell et relation énergétique) et, d’autre part, les relations particulièrescorrespondant aux différents matériaux. C’est ainsi qu’il faut distinguer une loi

générale , par exemple) d’une relation particulière quin’est pas une loi mais une relation valable dans certains cas (fréquemment réa-lisés, il est vrai).

Par ailleurs, il existe deux types de présentation (microscopique et macro-scopique) des équations de Maxwell suivant que, par exemple, dans un solide,la densité volumique de charge est définie soit en se glissant entreles atomes ( nettement inférieur à 10–3 nm3, le volume d’un atome étant del’ordre de 30 · 10–3 nm3), soit, au contraire, en considérant des comportantau moins 10 4 atomes. C’est cette dernière présentation (macroscopique) quenous avons considérée parce qu’elle est la plus simple et permet de traiter laquasi-totalité des problèmes (le domaine des supraconducteurs étant exclu, cf.,dans ce traité, article [D 2 700] Supraconducteurs) qui se présentent auxélectrotechniciens.

Enfin, pour que le lecteur puisse suivre la logique de l’exposé, nous avons tou-jours soit donné les détails des démonstrations simples, soit indiqué seulementle schéma du déroulement des idées dans les cas compliqués ; il est ainsi pos-sible, par exemple, de voir que la seule loi générale sur la densité volumique

d’énergie magnétique est sa variation et non pas sa valeur qui

n’a de sens que pour les corps idéaux, c’est-à-dire régis par une loi

de stricte proportionnalité entre .

E

B

D

H

champ électriqueinduction magnétique

déplacement (induction) électrique

champ magnétique

ρ

J

densité volumique de charge

densité de courant

γ

permittivité avec D ε E =

perméabilité avec B

µ

H

=

conductivité avec J γ E =

εµ

(div D ρ = J γ E = ( )

ρ dQd=( )d

d

H ∂B⋅

µ H 22

B µ H=

B et H

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_________________________________________________________________________________________________________________ ÉLECTROMAGNÉTISME

Pour qu’un exposé puisse être précis, il faut qu’il ne comporte que des

gran-deurs bien définies

n’intervenant que dans des

relations intrinsèques

.L’intensité d’un courant ne peut être bien définie qu’après avoir indiqué le

sens par rapport auquel ce courant est repéré. La différence de potentiel entredeux points doit, de même, être précisée par U = V

A

– V

B

ouU = V

B

– V

A

. La charge Q d’un condensateur n’a pas de sens : il faut indiquerles charges Q

i

et Q

j

des électrodes i et j, etc.La densité superficielle de charge

σ

à la limite de deux milieux doit s’exprimer

sous la forme de la relation intrinsèque est lanormale unitaire dirigée du milieu vers le milieu . Cette relation est bien intrin-sèque puisque la permutation de ne change pas le résultat ; il n’en estpas de même pour l’expression très répandue :

σ

= D

1n

– D

2n

.

On peut cumuler les deux types d’imprécisions dans une relation du typeQ = CU complètement asexuée (c’est-à-dire sans signe), alors que l’expressionintrinsèque de la charge d’une électrode d’un condensateur idéal estQ

i

= C (V

i

– V

j

).

Les électrotechniciens utilisent, de plus en plus, des

courants non sinusoï-daux

et des

fréquences

de base

plus élevées que 50 Hz

. Nous avons donc, pourcertains problèmes (évaluation des pertes par exemple), considéré l’évolutiondes phénomènes en fonction de la fréquence et montré qu’on pouvait secontenter, avec une assez bonne précision, d’utiliser deux lois asymptotiquesrespectivement valables pour . Nous avons ainsi développé uneméthode qui permet de calculer assez simplement les pertes par effet Joule dansun conducteur de section quelconque parcouru par un courant périodique quel-conque. Par ailleurs, l’utilisation de courants non sinusoïdaux et de fréquences

élevées

montre qu’il est de plus en plus nécessaire que les électrotechniciensacquièrent de bonnes connaissances de base sur les

matériaux magnétiques

.L’exemple montre qu’il existe parfois de grandes lacunes dans ce domaine et la

définition de l’aimantation comme la densité volumique de moment

magnétique (qui laisse croire que est une grandeur spatialement continue) afait beaucoup de mal à ce sujet : on ne peut vraiment comprendre le compor-tement des ferromagnétiques qu’en considérant la vérité, c’est-à-dire l’existencedes domaines de Weiss et leur séparation par les parois de Bloch . Nous avonsessayé de présenter ces notions de la façon la plus simple possible dans leparagraphe

2.2.4

.

Pour mettre en évidence les caractères des différentes grandeurs physiques,on peut distinguer, dans un premier temps, deux types de

vecteurs

:

— les vecteurs

polaires

(comme une force , le champ électrique , le

déplacement électrique ) qui ont la symétrie d’une flèche ;

— les vecteurs

axiaux

(comme un couple , le champ magnétique ,

l’induction magnétique ) qui ont la symétrie d’une toupie en train de tourner ;à ce stade, il est nécessaire de disposer d’un tire-bouchon pour définir les troiscomposantes

à droite

de ce type de « vecteur » tandis qu’un tire-bouchon defarce et attrape fournirait les trois composantes

à gauche

.Le petit effort nécessaire pour acquérir cette différence permet ensuite de pré-

voir le cadre des relations possibles et de mieux comprendre ainsi lesphénomènes : à propos de flux, par exemple, on montre qu’une

bonne

grandeur

physique ne peut concerner que le flux de au travers d’une surface fermée

limitant un volume

ou le flux de au travers d’une surface s’appuyant sur et

limitée par un contour

fermé.

A et B

σ D 1 D 2–( ) n21 , où n 21⋅=

2 11 et 2

ω 0 et → ω ∞→

M

dd

M

F E

D

Γ

H

B

D

B



Une analyse plus profonde et plus générale montre que chaque grandeurphysique peut être caractérisée au moyen de deux

critères

:— sa

nature dimensionnelle

(liée aux modifications de la mesure de cettegrandeur quand on change les unités de base) ;

— sa

nature tensorielle

(liée aux modifications des composantes de cettegrandeur quand on change les vecteurs de base qui permettent de repérerl’espace) ; ce second critère [très souvent négligé et considéré à tort comme trèsdifficile, ce qui nous a conduit, pour ne pas rebuter les lecteurs, à reporter dansl’annexe A

(§ 4)

tout ce qui le concerne] permet d’acquérir des notions plus syn-thétiques sur la physique en général et l’électromagnétisme en particulier.

Une

relation

générale

d’égalité

ne peut donc unir que deux grandeurs demême nature tensorielle, c’est-à-dire des grandeurs dont les composantes réa-gissent de la même façon quand on modifie les vecteurs de base de l’espace.

Comme il est possible de montrer que n’ont pas la même nature ten-sorielle, il ne peut donc exister, même dans le cas du vide (et quel que soit lesystème d’unités choisi), une relation

générale

de pure proportionnalité entre

; néanmoins, dans ce cas, si on s’astreint à n’utiliser que des vecteurs

de base triorthogonaux, la relation est utilisable de même que larelation « la longueur du navire = l’âge du capitaine » reste valable si ons’astreint à conserver les mêmes unités de longueur et de temps.

Il est également possible de montrer que n’ont pas la même naturetensorielle et il est donc impossible de prétendre

en général

que, dans le casdu vide, la différence entre ces grandeurs n’est qu’une question d’unités.

C’est toujours la nature tensorielle des grandeurs qui montre (contrairementà ce que l’on peut lire dans certains ouvrages) que le théorème de Gauss doit

faire intervenir

en général

les charges électriques et le

flux de

tandis que le

théorème d’Ampère doit lier les courants et la

circulation de .

Les erreurs que nous venons de signaler (exemple : dans le vide) subsistent dans la littérature parce que leurs usagers, tant qu’ilsse bornent à l’utilisation de vecteurs de base triorthogonaux, obtiennent desrésultats corrects sans être sanctionnés ; néanmoins, il ne faut pas confondreun procédé commode et ses conditions d’utilisation (que nous emploierons) avecla réalité des phénomènes. C’est dans ce sens que l’on peut montrer que les

prétendus vecteurs axiaux sont en réalité des grandeurs d’un type qui, dans l’espace à 3 dimensions, ont 32 = 9 composantes (les 3 ex-composantesà droite, les 3 ex-composantes à gauche et 3 composantes nulles), tandis qu’unvéritable vecteur (ex-vecteur polaire) est défini par 3 composantes. Si, épris dephysique moderne, on considère les doctrines relativistes (qui datent de 1905)où interviennent de façon indissolublement liée quatre coordonnées (x, y, z, t)d’espace-temps, on montre que l’électromagnétisme est constitué essentielle-

ment à partir de deux grandeurs du type composantes (dont quatre

sont nulles) : la première grandeur est formée à partir des composantes de

, la deuxième à partir de . Le rapprochement ainsi effectué entre

, d’une part, , d’autre part, montre que le vocabulaire adopté[relations (1)] n’est pas rationnel. Il paraît néanmoins difficile de changer la dési-gnation des grandeurs physiques à chaque nouveau progrès des connaissances.À titre d’exemple, les partisans du changement, depuis la découverte (1939) dela possibilité de fission de certains atomes devraient parler de la fission dessécables d’uranium 235 (et non plus des atomes d’uranium 235).

E et D

D et E

D ε 0 E =

H et B

D

H

D ε 0 E et B µ 0 H = =

T H et B( )&& && &&

&&T à 42 16=

&&

H et D&&&

&&

B et E&& &

H et D&

B et E&



Les natures tensorielles complètes de , le type n’étant

qu’une indication partielle, montrent alors [1] que doit satisfaire obligatoire-ment à une certaine relation qui conduit, dans le langage relatif à l’espace à 3dimensions, à :

(4)

(5)

tandis que, pour , la relation autorisée la plus simple (et donc la première àessayer) se traduit dans les mêmes conditions par :

(6)

(7)

Nous retrouvons ainsi les équations de Maxwell classiques (§ 1.2.1) à partirde pures considérations tensorielles.

L’article comprend trois parties respectivement consacrées aux bases de l’électromagné-tisme, à ses différents aspects et à ses applications à l’électrotechnique. L’annexe A (§ 4) estconsacrée à la nature tensorielle des grandeurs tandis que l’annexe B (§ 5) concerne les diffé-rents opérateurs différentiels et leurs applications.

H, D( ) et B, E( )&& && && &&& &

T&&

&&

rot H ∂D ∂

t

---------– J =

div D ρ =

&&

rot E ∂ B ∂

t

---------+

0

=

div B 0 =

1. Basesde l’électromagnétisme

1.1 Définitions et grandeurs

1.1.1 Importance de l’électromagnétisme

Le but de l’électromagnétisme est d’établir les lois qui régissentles phénomènes électriques et magnétiques au sens le plus largede ces termes. Il doit rendre compte de toutes les applications del’électricité : production d’énergie (alternateurs, dynamos...), trans-port et distribution de l’énergie électrique, utilisation de cette énergie(moteurs, éclairage...), ondes électromagnétiques (qui vont durayonnement γ aux ondes radioélectriques de communication enpassant par les rayons X, l’ultraviolet, la lumière visible etl’infrarouge).

De plus, la matière étant composée, à l’échelle atomique

, de particules chargées soit positivement (noyauxatomiques), soit négativement (électrons), il est possible de direque l’électromagnétisme est présent à cette échelle au plus intimede la matière.

L’électromagnétisme constitue donc une des branches les plusimportantes de la physique.

1.1.2 Choix de la méthode de présentationde l’électromagnétisme

On peut présenter l’électromagnétisme de deux façonsprincipales :

— après un rappel d’un grand nombre d’observations expérimen-tales traduites par des lois (loi de Coulomb, par exemple, sur lesforces s’exerçant entre particules électriquement chargées), onmontre que ces lois peuvent se déduire de quelques équations debase ;

— après avoir admis quelques équations de base, on montreque tous les phénomènes observés peuvent s’en déduire.

Quand une branche de la physique est en train de se constituer,on est bien obligé de suivre le premier type d’exposé. En revanche,pour un corps de doctrine établi, la deuxième méthode (que nousallons adopter) paraît meilleure parce qu’elle permet de connaîtrevraiment le noyau dur de la branche considérée, c’est-à-dire le trèspetit nombre de concepts et d’équations de base à partir desquelson peut expliquer tous les phénomènes connus. Bien entendu, ilfaut toujours revenir à ce noyau dur pour tenter d’expliquer unnouveau phénomène et si, sans faute de logique, cette tentative estinfructueuse, on doit modifier le noyau dur, ce qui entraîne unerévision déchirante d’une partie de la physique, de nouveaux pro-grès (et probablement le prix Nobel pour le casseur de noyau !).

1 A 10 10 – m = ( ) ˚


1.1.3 Les bonnes grandeurs de l’électromagnétisme

Les ingénieurs ont l’habitude d’utiliser des

grandeurs directementmesurables

, l’intensité du courant qui parcourt un circuit parexemple. Cela correspond à un souci de réalisme parce que le cahierdes charges d’un contrat ne peut porter que sur de telles grandeurs.

En revanche, quand on cherche l’expression générale d’une loiphysique, ces

grandeurs directement mesurables

ne sont pasattractives.

Sur ces deux exemples très simples, nous voyons qu’aux

gran-deurs directement mesurables

(intensité de courant et tension), lesseules qui intéressent en définitive les utilisateurs, il faut faire cor-respondre des

grandeurs plus élaborées

(densité de courant

J

etchamp électrique

E

) pour espérer écrire une loi universelle.

Un autre caractère des grandeurs qui peuvent entrer dans deslois universelles est la possibilité de

les définir avec le moinsd’ambiguïté possible

.

La

différence de potentiel

U

entre deux points A et B peut êtreaussi bien

U

’ =

V

A

–

V

B

que

U

’’ =

V

B

–

V

A

,

V

M

désignant le potentielau point M. Une définition, pour les phénomènes indépendants du

temps, du

champ électrique

par ne présente pas ce

type de défaut ; en chaque point, est un vecteur bien défini dontla valeur est même invariante quand on ajoute une constante quel-conque à

V

.

Le même type de remarque peut être effectué au sujet de la

densitéde courant

; à la notion simpliste de

J

=

I

/

S

(valable pour une répar-tition uniforme), il faut substituer la notation différentielle

J

M

= (d

I

/d

S

)

M

, tandis que, pour fixer l’aspect vectoriel, il suffit de

constater qu’une particule de charge

q

k

et de vitesse correspond

à un élément de courant ; dans le cas où il existe plusieursespèces de particules, cela conduit à :

(8)

avec

c

i

concentration des particules d’espèce

i

,

vitesse moyenne de ces particules.

La densité de courant , pour le système de repère

Oxyz

choisi,est ainsi bien déterminée.

Remarquons cependant que si un

courant électrique

est un phéno-mène physique indépendant de toute convention intrinsèquement

lié aux valeurs de la détermination du

signe de son intensité

exigele choix d’un sens repère (§ 3.2.2.1) : on peut aussi bien la mesurer

dans le sens que dans le sens .

1.1.4 Échelle d’exploration de la matière :grandeurs macroscopiqueset grandeurs microscopiques

Nous sommes ainsi conduits à penser que les lois universellesne peuvent être que des

lois locales

, faisant donc apparaître lamatière, les charges électriques, etc. sous forme de densitévolumique.

Les

charges électriques

, par exemple, ne peuvent apparaîtredans ces lois que par l’intermédiaire d’une densité volumique :

(9)

Classiquement, on définit

ρ

au point M en faisant le rapport entre,d’une part, la charge d

Q

contenue dans un volume entourantle point M et, d’autre part, l’étendue de ce volume quand tousles points de la surface qui le limite tendent vers le point M.Cette

définition

est ambiguë et, lorsqu’elle est prise au sens strictmathématique, entraîne un grand nombre de complications souventinutiles.

Considérons, par exemple, un solide métallique ; dans les exposésélémentaires, on indique que, dans ce type de conducteur,

ρ

est nul ;il est facile de s’opposer à cette proposition quand on sait que lesolide considéré peut être décrit comme un ensemble d’ions positifsentre lesquels se trouvent des nuages d’électrons négatifs, les dis-tances mutuelles entre les ions les plus proches étant de l’ordre de0,3 nm ; quand le point M est à l’extérieur des ions positifs et si levolume est négligeable devant (0,3 nm)

3

,

ρ

(M) est négatif ; sousla même condition pour ,

ρ

est positif en d’autres points. Le para-mètre essentiel dans la détermination de

ρ

est donc l’ordre degrandeur de :

— si le volume tend vers zéro au sens strict des mathéma-tiques, est bien inférieur aux dimensions atomiques et

ρ

prenddes valeurs positives et négatives ; cette première densité est nommée densité microscopique et peut être notée

ρ

µ

;— si le volume est négligeable à l’échelle des distances que

nous observons facilement (0,1 mm), tout en restant grand devantles dimensions atomiques [par exemple, un volume de l’ordrede (0,01

µ

m)

3

contient encore plusieurs dizaines de milliersd’atomes], la densité

ρ

est nulle ; cette deuxième densité, avec

tendant macroscopiquement vers zéro

, est la

densité macro-scopique

, nous la désignerons par

ρ

sans marque particulièreavec [(8)] :

(10)

La première densité ρ

µ contient beaucoup plus d’informations qu’il

est nécessaire pour traiter un grand nombre de problèmes. Dansl’état actuel de la technique, les ingénieurs n’ont vraiment besoinde

pratiquer

les densités microscopiques de charge et de courantque pour comprendre, et utiliser, les propriétés des supraconduc-teurs. Nous renvoyons, dans ce traité, aux articles spécialisés pourles précisions alors nécessaires. C’est pour cette raison que leprésent article est uniquement consacré à ce qui peut être prévu aumoyen des densités macroscopiques, la matière étant explorée aumoyen de volumes dont le diamètre est au moins de 0,01

µ

m.

Citons (en supposant, pour simplifier, que les phénomènes sontinvariables en fonction du temps) deux

exemples

.— On considère des fils conducteurs de même nature, de même

section mais de longueurs différentes ; l’intensité

I

du courantdépend de la différence de potentiel appliquée

U

et de la longueur ,mais on trouve que l’intensité

I

ne dépend que d’une variable réduite : la différence de potentiel

U

est

directement mesurable

; lechamp

E

est la

bonne variable

d’une loi physique.— On considère des fils conducteurs de même nature, de sections

S

différentes, soumis à un même champ

E

. L’intensité

I

du courant nedépend que de

S

tandis que sa densité

J

=

I

/

S

est uniquement liée à

E

.

Nous venons de voir que les

grandeurs

qui peuvent intervenirdans des lois universelles doivent être bien

définies

en chaquepoint et qu’en particulier leur signe ou leur aspect vectoriel doit

être défini par une expression universelle (par exemple, )sans convention particulière.

E U=

E grad V –=

E

vk

qk vk

J c i q i < v i > i

∑ =

<vi >

J

J

J

12 21

ρ dQd--------=

dd

S d( )

dd

d

dd

d 0→( )

d

d

d

ρ ci qii

∑=

d


1.1.5 Lois locales macroscopiques

Nous venons de voir l’intérêt d’effectuer un exposé de l’électro-magnétisme à partir de quelques équations de base (§ 1.1.2) four-nissant des lois locales (§ 1.1.3 et 1.1.4) où interviennent des densités

volumiques macroscopiques.

Nous allons montrer que, pour prévoir tous les phénomènesélectromagnétiques macroscopiques, il suffit d’ajouter à des rela-tions générales régissant la physique (en particulier, celles quiconcernent la thermodynamique) trois groupes d’équationsspécifiques :

— le premier groupe (les équations de Maxwell) est formé parles lois générales qui unissent les grandeurs électromagnétiquesmacroscopiques, quelle que soit la matière considérée (§ 1.2) ;

— le deuxième contient, au contraire, les relations qui définissentles propriétés électromagnétiques caractéristiques de l’état et de lamatière considérés (§ 1.3) ;

— le troisième groupe, formé par une loi générale énergétique,est nécessaire pour déterminer les forces et les énergies liées àl’électromagnétisme (§ 1.4).

Les premier et troisième groupes contiennent des

lois générales

qui ne peuvent être modifiées sans une révision

déchirante

d’unepartie de la physique (§ 1.1.2). Le deuxième groupe (sauf dans le casdu vide) est formé par des

relations particulières

, résultant de l’expé-rience, qui sont souvent idéalisées par des expressions simples (par

exemple, ) et commodes permettant des calculs faciles.

1.2 Équations macroscopiques de Maxwell

1.2.1 Énoncé

Les

équations de Maxwell

font intervenir, d’une part, les quatregrandeurs de base (1) et, d’autre part, les sources (2). Ces équationspeuvent prendre plusieurs formes ; dans le système légal MKSA, onpose :

(4) (5)

(6) (7)

Les autres formes s’obtiennent en faisant intervenir à certainsendroits de ces formules les facteurs 4

π

et

c

(vitesse de la lumière).Les équations de Maxwell sont valables quel que soit le systèmed’axes adopté.

Deux types de flèches ont été utilisés pourdistinguer les deux types de grandeurs.

Les

vecteurs polaires

sont caractérisés par une droite sup-port, un module et

un sens sur cette droite

indépendant de touteconvention et, en particulier, du choix des axes de coordonnées ; lesforces, les vitesses, les champs électriques, les densités de courantsont de bons exemples de vecteurs polaires.

Le

champ magnétique

créé par une longue bobine à sectioncirculaire fournit un

exemple typique

de

« vecteur axial »

; en un

point de l’axe de la bobine, est défini par une droite support(l’axe), un module et un

sens de rotation autour de cette droite

, cesens étant fixé de façon intrinsèque par le sens de passage du courant

(défini par ). Si l’on veut donner un aspect polaire à la grandeur

, il faut utiliser une

convention arbitraire

: pour un système d’axes

à droite (indice d) (où l’axe est amené sur l’axe en enfonçant

un tire-bouchon classique dans la direction ), le même tire-bou-

chon permet d’associer au sens intrinsèque de rotation de une

direction sur la droite support [d’où le vecteur de composante(

H

d

)

i

avec

i

=

x

,

y

,

z

], tandis que, pour un système d’axes à gauche(indice g), un tire-bouchon de

farce et attrape

fournirait :

et (

H

g

)

i

= – (

H

d

)

i

Nous avons toujours mis entre guillemets l’expression « vecteuraxial » parce qu’une grandeur ainsi désignée n’est en réalité pas unvecteur. Dans l’espace à trois dimensions, un vecteur n’a que troiscomposantes : les vecteurs polaires sont les véritables vecteurs ; en

revanche, a six composantes : il n’y a aucune raison de privilégier

les composantes de plutôt que celles de . On peut montrerl’annexe A (§ 4.1.5) fournit des détails sur la véritable nature du

champ magnétique] que est caractérisé par le tableau suivant(à ne confondre ni avec un déterminant, ni avec une matrice) :

(11)

où l’on remarque la relation de base :

H

ij

= –

H

ji

justifiée par

ce qui entraîne

H

ii = 0

Un autre exemple de « vecteur axial » est fourni par le produitvectoriel de deux vecteurs polaires :

(12)

le sens de rotation de étant celui qui amène le premier vecteur

sur le deuxième par un angle inférieur à π ; on obtientégalement :

cij = ai bj – aj bi = – cji

avec c d, z = ax by – ay bx

et c g, z = ay bx – ax by

En posant :

(13)

nous voyons que :

(14)

ce qui montre que le rotationnel de est bien un « vecteur axial »,

d’où la notation .

Par ailleurs, lorsqu’on passe d’un système d’axes à droite à unsystème d’axes à gauche, il intervient un changement de signe sur

la représentation ainsi que sur les composantes

ρ et J ( )

J γ E =

rot H J ∂ D ∂t

---------+=

div D ρ =

rot E ∂ B ∂ t -------–=

div B 0 =

E et D , B et H( )

a( )

H

H

J

H

Ox Oy

Oz

H

Hd

H g H d –=

H

Hd H g

H

0 Hd( )z Hg( )y

Hg( )z 0 Hd( )x

Hd( )y Hg( )x 0

0 Hx y Hx z

Hyx 0 Hyz

Hz x Hz y 0

=

Hd( )z Hx y≡ H g ( ) z – H yx –= =

a b∧ c=

c

a b

rot E ( ) d z

∂∂

x

--------- E y ∂∂

y

--------- E x – rot E ( ) x y = =

rot E ( ) x y rot E ( ) yx –=

E

rot E ( )

H d ou H g de H


d’un rotationnel ; la grandeur ne subit donc aucun chan-gement dans ce cas et on peut admettre (ce n’est pas la démons-tration !) que ce rotationnel présente un caractère polaire, d’où la

notation [(710) et (711)].

La

densité de charge macroscopique

[relation (10)] :

s’obtient en considérant la somme des contributions

ρ

i

dues àchaque espèce de particules, chaque contribution étant égale auproduit de la charge

q

i

d’une particule de l’espèce considérée par laconcentration

macroscopique

c

i

correspondante :

avec d

N

i

nombre de particules d’espèce

i

contenues dans unvolume pas trop petit (§ 1.1.4).

Pour un

métal

en équilibre, en faisant intervenir séparément lesélectrons (indice el) de charge –

q

et les ions de charge

zq

, noussavons que :

ρ

= (

zq

)

c

ions

+ (–

q ) cel = 0 (15)

Avec les mêmes notations, la densité de courant macroscopiques’exprime par la relation (8) :

puisque l’élément de courant lié à la particule α d’espèce i est le pro-

duit de sa vitesse par sa charge qi ; la vitesse moyenne est relative aux dNi particules qui ont permis d’évaluer la concen-tration ci , soit :

(16)

Si des personnes croient évaluer la densité de courant par une

expression du type (!), demandez-leur de vous indiquerla valeur de ρ dans un métal. Si elles donnent la réponse correcte(ρ = 0), elles seront obligées de conclure qu’il est impossible de fairecirculer un courant dans un métal. L’analyse correcte, effectuée àpartir de (8) et (15) :

(17)

montre que la même valeur de est obtenue :— dans le cas où le métal est fixe par rapport au système R0 d’axes

utilisé, ce qui impose , on a :

(18)

— dans le cas où le métal possède une vitesse de translation par rapport à R, on a :

(19)

1.2.2 Théorèmes généraux déduitsdes équations de Maxwell

Ces théorèmes généraux, valables quelle que soit la situationconsidérée, s’obtiennent en intégrant chacune des équations deMaxwell.

1.2.2.1 Théorème de Gauss

L’application de la relation (728) à l’équation (5) donne, avec (9) :

(20)

où est la surface fermée qui délimite le volume ; le signe

d’un flux lié à ne peut être défini que si le sens de la

normale unitaire est précisé.

L’énoncé général du théorème de Gauss indique que la chargetotale contenue dans un volume [limité par la surface

] est égale au flux de au travers de la surface quandce flux est évalué par rapport à la normale unitaire sortante (indice s)

de ce volume ; l’utilisation de la normale entrante (indice e) correspond évidemment au signe opposé, ce qui montre bien que

l’utilisation (fréquente !) de n’a pas de sens.

L’analyse tensorielle (§ 4.2.2) montre que seul peut jouer unrôle dans un théorème du genre Gauss ; le prétendu théorème faisant

intervenir n’est valable que dans le cas du vide et à conditiond’utiliser des axes orthogonaux.

1.2.2.2 Notion de flux d’induction au travers d’un contour

L’application de la relation (728) à l’équation (7) fournit :

(21)

Bien que le produit scalaire ne soit pas intrinsèque, puisqu’ilchange de signe quand on passe d’un système d’axes à droite à un

système d’axes à gauche (le vecteur polaire associé à changeant

alors de sens : ), la relation (21) est néanmoins correcte,

la valeur de l’intégrale portant sur étant nulle.

Un élément de flux intrinsèque :

(22)

Il est important, pour simplifier, de ne faire intervenir que la

moyenne du vecteur vitesse parce que, dans le cuivre parexemple, l’agitation thermique des électrons correspond à un

module moyen des vitesses de l’ordre de 106 m · s–1,tandis qu’une densité de courant de 1 A · mm–2 conduit à un

module de la moyenne du vecteur vitesse de l’ordre de10– 4 m · s–1.

rot H ( )

rot H ( )

ρ ρii

∑ ci qii

∑= =

ci dNid=

d

J ci qi < v i >

i

∑ ρ i < v i >

i

∑ = =

v α < v i >

ci < v i >

v

α

d

N

i

particules dans d

∑

d

------------------------------------------------------------=

< v >

< v >

< v >

J ρ v=

J zq( ) c ions < v ions > q – ( ) c el < v el > +=

J

< v ions , R 0> 0=

J q – ( ) c el < v el , R 0 > =

v 0

J zq( ) c ions v 0 q – ( ) c el v

0 < v el , R

0 > ++=

q

–

c

el

<

v

el,

R

0

>

=

Q ( )

ρ d

div D d = =

+

S

( )

D n

s

d

S

⋅

S

( )

D n

e

d

S

⋅

–==

S ( )

D n dS⋅n

Q ( )

S ( ) D S ( )

n s n e

D n dS⋅

D

ε0 E

div B d S

( )

B n s d S ⋅ 0 = =

B ns⋅

B

Bd Bg–=

B ns⋅

B n⋅ dS

B n⋅ B d nd⋅→ B d–( ) n d–( )⋅ Bg ng⋅ B n⋅= = =


ne peut se constituer qu’en faisant intervenir un « vecteur axial » qui s’introduit naturellement en considérant un contour fermé

Γ

, un

sens arbitraire sur ce contour [noté alors contour avec des paren-

thèses, pour le distinguer d’un vecteur axial, par exemple] et une

surface fermée

S

s’appuyant sur . En chaque point de

S

, on peut

ainsi définir par continuité avec un vecteur (figure

1

). Lecontour

Γ

divise la surface

S

en deux parties

S

1

et

S

2

de sorte queles flux

Φ

s

relatifs aux normales sortantes :

(23)

sont tels [(21)] que

Φ

1s

+

Φ

2s

= 0.

En introduisant les flux relatifs aux normales axiales :

(24)

nous voyons que le choix d’axes à droite entraîne :

— pour

S

1

: ;

— pour

S

2

: ;

tandis que des axes à gauche conduisent à et

, montrant ainsi que la relation intrinsèque est

.

Comme nous pouvons modifier les surfaces

S1 et S2 indépen-damment l’une de l’autre (exemple : S3), nous arrivons à la conclu-

sion que, quelle que soit la surface s’appuyant sur et limitée

par le contour , le flux :

(25)

est constant et constitue donc une bonne grandeur physique.

1.2.2.3 Pseudo-loi et loi de Faraday

La pseudo-loi de Faraday est donnée par la relation (26) ; la loide Faraday (27) sera explicitée au paragraphe 2.3.4.

À partir de l’équation (6), on obtient par intégration [(729)] lapseudo-loi de Faraday :

(26)

cela signifie qu’après avoir choisi un contour quelconque Γ et un

sens arbitraire sur ce contour (ce qui définit les ), la circulation

du champ sur le contour est l’opposée du flux de relatif à une surface quelconque qui s’appuie sur et est limitée par

, le sens des « vecteurs axiaux » (figure 2) étant lié au sens

adopté sur . Notons qu’une relation du type :

n’a aucune signification ; le sens choisi sur doit imposer

(figure 2) les sens de .

Dans la relation (26), la position de chaque point P du contour,

, ainsi que sont évalués par rapport à un même systèmed’axes R0 .

Cette remarque est importante parce que la loi de Faraday :

(27)Figure 1 – Étude du flux de au travers de plusieurs surfaces

n

Γ( )

B

Γ( )

Γ( )

n Γ

Φ1s S1

= B ns⋅ dS

Φ2s

S2

= B ns⋅ dS

et

Φ Γ( )

Φ1 Γ( ) S1 Γ( )

= B n Γ⋅ dS

Φ2 Γ( )

S2 Γ( )= B n Γ⋅ dS

et

n Γ( )dn s d ′où Φ1 Γ( )= Φ1s=

n Γ( )d n s – d ′ où Φ 2 Γ( ) Φ 2s –==

Φ1 Γ( ) Φ 1s –=

Φ2 Γ( ) Φ2s=

Φ1 Γ( ) Φ2 Γ( )=

B

Les produits scalaires intrinsèques sont de deux types :

.

Le flux de est donc lié à une normale polaire qui nepeut s’introduire qu’au moyen d’une surface fermée en

choisissant (§ 1.2.2.1). En revanche, le flux de nepeut fournir une bonne grandeur physique intrinsèque qu’en uti-

lisant un vecteur ; celui-ci ne peut être lié qu’à un contour

orienté et à la surface s’appuyant sur et limitée parce contour.

S Γ( )

Γ( )

Φ Γ( ) S Γ( )

= B n Γ⋅ dS

a b⋅ et a b⋅

D nS ( )

n s ou n e B

n Γ

Γ( )

S Γ( )

S

Γ( )

rot E ( ) n Γ d S ⋅

Γ( )

E d Γ ⋅ =

S

Γ( )

∂ B ∂

t

------- n Γ d S ⋅ –=

dΓ

E Γ( )

∂B∂t

Γ( )

n Γ

Γ( )

Γ

E d⋅ S Γ( )

∂B∂t------- n dS⋅

–=

Γ( )

d Γ et de n Γ

B

E

Γ( )

E P, t( ) u0

P, t( ) dP( )Γ⋅ ddt-------–

S Γ( )

=

B0 nΓ dS⋅


comporte deux différences avec la relation (26) :— elle fait intervenir la dérivée temporelle du flux et non pas le

flux de la dérivée temporelle de l’induction magnétique ;

— si la position de chaque point P du contour et sont évalués

par rapport à un même système R 0 (d’où la notation ), il faut, à

ce point P et au temps t1 , non pas utiliser mais :

(28)

avec vitesse du point P, au temps t1 , dans le système R0 ;

c’est-à-dire qu’il faut donc (§ 2.3.4) mesurer par rapport

à un système d’axes animé d’une vitesse constante

, quel que soit le temps, par rapport au système R0 .

Nous démontrerons au paragraphe 2.3.4 ce que nous venonsd’indiquer au sujet de la loi de Faraday, mais il était important debien distinguer la relation (26) de l’énoncé de cette loi, desconfusions fâcheuses ayant été observées. Il faut toutefoisremarquer que, si le contour Γ est indéformable et si le repère R 0

choisi pour évaluer est fixe par rapport à ce contour, il ya identité entre la relation (26) et la loi de Faraday.

1.2.2.4 Théorème d’Ampère

À partir de l’équation (4), on obtient par intégration [(729)] :

(29)

où est un contour quelconque orienté (figure 2).

Cette relation peut se simplifier et se mettre sous la forme duthéorème d’Ampère :

(30)

dans les cas ci-après :— les phénomènes ne dépendent pas du temps (§ 2.2) ;— la deuxième intégrale du dernier membre de (29) est négli-

geable devant la première ; une condition suffisante est obtenuequand le milieu considéré, soumis à des phénomènes variant sinu-soïdalement en fonction du temps (avec la pulsation ω ), est tel (§ 2.3)que :

Pour appliquer correctement le théorème d’Ampère, il convientde respecter le couplage entre le sens choisi sur le contour

et . À titre d’exemple, la figure 3, où le contour Γchoisi est une circonférence (de rayon r ) centrée sur l’axe du filconduisant le courant, comporte deux parties qui ne diffèrent que

par le sens choisi sur ; en axes à droite, nous avons, endétaillant chaque cas :

est donc colinéaire à (ce qui revient au

même), fixant ainsi le sens axial de ; par ailleurs, ce résultatpouvait être obtenu directement grâce à la règle : le sens axial de

est déterminé par le sens dans lequel on voit passer le courant

(défini physiquement à partir de ).

En résumé, par intégration d’une équation de Maxwell, onobtient la relation (26) qui est différente de la loi de Faraday, saufdans le cas où le contour Γ est indéformable et à condition quele repère d’évaluation R 0 ait été choisi fixe par rapport à cecontour.

Figure 2 – Relation entre le sens de parcours choisi sur et le « vecteur axial »

B

B0

E0 P, t1( )

E P, t1( )u0 P, t( )

E0 P, t1( ) u0 P, t1( ) B0 P, t1( )∧+=

u0 P, t1( )

E P, t1( )

R u0 P, t1( )

u 0 P, t1( )

E et B

S Γ( )

rot H n Γ d S ⋅

Γ( )

H d Γ ⋅ =

=

S

Γ( )

J n

Γ

d

S

⋅

+

S

Γ( )

∂

D

∂

t

----------

n

Γ

d

S

⋅

Γ( )

n

Figure 3 – Détermination du sens axial de

Γ( )

H d Γ⋅ S Γ( )

J n Γ d S ⋅ =

J γ E , D ε E , avec γ ε ω = =

Γ( ), dΓ

n Γ

Γ( )

S Γ1( )

J nd1⋅ dS 0> Γ1( )

Hd dΓ1⋅ 0>⇒

S Γ2( )

J nd2⋅ dS 0< Γ2( )

Hd d Γ2⋅ 0<⇒

Hd d Γ1 ou à d Γ

2 –

H

H

J

H

Il est important de

remarquer

que le seul théorème d’Ampère ne

peut fournir que la

moyenne de la projection de

sur le contour

; si le contour

Γ

est une ligne de champ, on obtient la

moyenne

sur ce contour. Dans certains cas, les symétries du pro-blème considéré permettent d’affiner les résultats ; pour la figure

3

,par exemple, on aurait, en coordonnées cylindriques :

(31)

Une faute fréquente consiste à choisir un contour

Γ

, de supposerimplicitement que c’est une ligne de champ et de croire déterminer

ainsi et, même, en chaque point !

1.2.2.5 Condition de continuité

C’est la relation :

(32)

qui s’obtient à partir de la divergence de (4) en tenant compte dela relation (724) et de l’équation (5).

L’intégration de (32) fournit [(728)] :

(33)

Pour un volume invariable en fonction du temps ,cela donne [avec (9)] :

(34)

On observe que l’intensité du courant qui sort (présence de )du volume est égale à l’opposée de la dérivée temporelle de lacharge contenue dans ce volume : il n’y a que transport decharge sans création ni destruction. La relation (34) exprime doncbien la continuité de la charge (§ 3.2.2.2).

Cette relation de continuité est une relation de pure logique quel’on peut établir sans passer par l’équation de Maxwell (4). Histori-

quement d’ailleurs, le terme en a été ajouté au deuxième

membre de la relation pour permettre de retrouverl’équation de continuité.

1.2.3 Relations de passage entre deux milieux

Nous allons détailler les conditions de passage issues de chacundes théorèmes généraux (§ 1.2.2).

1.2.3.1 Condition de passage de

À la surface de séparation de deux milieux 1 et 2, considéronsun cylindre droit de révolution, infiniment petit, de hauteur

h

et dontles bases d

S

1

et d

S

2

(de même étendue d

S

), parallèles au plantangent à la surface de séparation, sont situées de part et d’autre

de celle-ci. Nous examinons le cas où est un élément infiniment

petit du 1

er

ordre tandis que

h

est du 2

e

ordre.

Le théorème de Gauss (20) s’écrit alors :

(35)

— le premier terme du second membre est le flux d

S

au

travers de la surface d

S

1

quand désigne la valeur de dansle milieu 1 au voisinage de la surface de séparation, la normale

unitaire dirigée du milieu

i

vers le milieu

j

étant notée ;

— le deuxième terme est le flux d

S

au travers de d

S

2

;— par ailleurs, nous avons négligé le flux sur la surface latérale

du cylindre puisque l’étendue de cette surface est du 3

e

ordre et d

S

du 2e.

Quand h tend vers zéro, l’intégrale du premier membre définit ladensité superficielle de charge σ et, par conséquent, (avec

) :

(36)

Comme toutes les véritables lois de la physique, cette expressionest intrinsèque, c’est-à-dire indépendante du choix des repères ; lechoix de nouveaux repères (indice prime), définis par rapport auxanciens au moyen de 1’ = 2 et 2’ = 1, redonne en effet :

(37)

En revanche, une expression très souvent citée dans la littératureet faisant intervenir les composantes normales Di n de Di sous laforme D 1n – D 2n = σ (!) n’est pas intrinsèque et conduit à unecontradiction : σ = D 1’n – D 2’n = D 2n – D 1n = – σ (!).

Nous allons montrer maintenant que les densités superficiellesn’existent pas, mais que l’on peut les faire intervenir – souvent avecintérêt – si on le désire. Quand h tend vers zéro, l’intégrale (35)portant sur ρ dh ne peut être non nulle que si ρ tend vers l’infini,ce qui est physiquement impossible : au sens strict du terme, σ esttoujours nul et D n1 = D n2 quand ces composantes sont repérées sur

la même normale , quelconque par ailleurs.

Pour obtenir une représentation plus nuancée, considérons unexemple linéaire défini par :

— toutes les grandeurs ne dépendent que de x ;

— les vecteurs n’ont qu’une composante ax ;— la répartition de ρ est du type :

ρ = 0 pour x < 0

et ρ = ρ0 exp (– x /λ) pour x > 0

— la valeur limite de Dx pour x → – ∞ est zéro.

Dans ces conditions :— pour x < 0, ρ = 0 impose Dx = Cte d’où Dx = 0 d’après la condi-

tion relative à x → – ∞ ;— pour x > 0 :

Dx = – ρ0 λ exp(– x /λ) + Cte = ρ0λ [1 – exp(– x /λ)] (38)

la deuxième expression de Dx étant obtenue en imposant par conti-nuité Dx (x = + 0) = 0.

Pour bien montrer la continuité de Dx à la surface de séparation,il suffit de considérer :

(39)

H

Γ

<H > de H

Hθ r, θ( ) dIα β

2 πr------------=

< H >

H

0 div J ∂ ρ ∂

t

--------+=

∂ρ∂t-------- d–

div J d S ( )

J ns dS⋅= =

0→( )

0

0

∂ρ∂t-------- d d

dt-------–= ρ d

dQ 0( )dt

-----------------------–= = S 0( )

J ns dS⋅–

n s

0

Q 0( )

∂D ∂t

rot H J=

D

dS

dSh

ρ dh D 1 n21 dS⋅ D 2 n12 dS⋅+≈

D ns⋅

D 1 D

n ij

D ns⋅

n12 n21–=

σ D 1 D 2–( ) n21⋅=

σ D 1′ D 2 ′–( ) n 2 ′1 ′⋅ D 2 D 1–( ) n12⋅ D 1 D 2–( ) n21⋅= = =

n12 ou n21( )

a

Dx x1( ) Dx x2( )– x2

x1

ρ x( ) dx=

et de l’appliquer à l’intervalle (– η2 , + η1) quand η1 et η2 tendentvers zéro par valeurs positives, d’où :

qui tend bien vers zéro.

Par ailleurs, si on explore la matière à grande échelle (plusieursλ par exemple) la valeur :

Dx (x ≈ + plusieurs λ) ≈ ρ0λ

permet d’écrire [(36)], étant dirigé suivant :

(40)

en remarquant que :

(41)

Quand la répartition (x ) est liée à une longueur typique ,

c’est-à-dire s’exprime normalement en fonction du rapport (dans

l’exemple ), l’exploration de la matière à une échelle très petite

devant doit conduire à utiliser D n1 = D n2 tandis que l’exploration

à une échelle grande devant permet d’utiliser (36) :

Il ne faut pas confondre, d’une part, des répartitions de chargesélectriques réelles dont l’aspect superficiel peut être utilisé ou niésuivant la finesse d’exploration de la matière et, d’autre part, lescharges superficielles mathématiques intervenant dans une inté-grale de surface née de la transformation d’une intégrale de volume(§ 2.1.3.3). Ces dernières charges, sans existence macroscopiqueréelle, sont des intermédiaires de calcul (souvent commodes) et pré-sentent le véritable aspect superficiel d’un être mathématique.

1.2.3.2 Conditions de passage de

La discussion effectuée au sujet de (§ 1.2.3.1) montre que, àla surface de séparation de deux milieux, on a :

Bn1 = Bn2 (42)

quand ces deux composantes normales sont mesuréesdans le même système d’axes (à droite ou à gauche) et repérées

par rapport à la même normale .


À la surface de séparation de deux milieux, au voisinage du

point O, nous considérons (figure 4) un contour rectangulairedont les deux grands côtés (l’un dans le milieu 1, l’autre dans lemilieu 2) sont parallèles au plan tangent à la surface au point O ;la longueur des grands côtés est infiniment petite, du 1er ordre,tandis que celle des petits côtés est du 2e ordre. À la limite, quand

, nous obtenons à partir de (26) :

(43)

en négligeant la circulation de sur les petits côtés et le flux de

au travers d’une surface tendant vers zéro (il n’y a pas de

densité superficielle de flux !). Nous avons désigné par

les valeurs de au voisinage de O respectivement dans les milieux

1 et 2 et la relation (43) montre que ont la même projection

sur puisque .

Citons deux exemples.

À la surface d’un métal, la longueur typique est de quelques0,1 nm, ce qui montre qu’il faut toujours utiliser pour l’interface vide-

métal puisque, dans le cas d’exploration à uneéchelle de l’angström ou plus fine, la structure atomique et la mécaniquequantique doivent être utilisées, ce qui sort du cadre de notre propos.

En revanche, pour l’étude d’une jonction semiconducteur N –semiconducteur P, les distances typiques sont de l’ordre de quelques0,1 µm et les résultats à petite échelle sont obtenus à partir deDn1 = Dn2 .

Dx η1( ) Dx η – 2 ( ) – η

2

–

η

1

ρ x ( ) d x 0

η

1

ρ 0 d x ≈ ρ 0 η 1 = =

n21 Ox

D 1 + plusieurs λ ( ) D 2 x 0 <( ) – n 21 ⋅ σ =

0

plusieurs λρ0exp x / λ – ( ) d x

0

∞

ρ 0 exp x / λ – ( ) d x = ρ 0 λ ≈ σ =

x/

λ→

D 1 D 2–( ) n21⋅ σ=

D 1 D 2–( ) n21⋅ σ=

B

D

Bn B n⋅=( )

n n 12 ou n21( )

E

Γ( )

A ′B B ′A AA ′ =

E 1 AA ′⋅ E2 BB ′⋅+ 0=

E

∂B∂t

E1 et E2

E

E1 et E2

AA ′ AA ′ BB ′ –=

Figure 4 – Détermination des relationsentre les composantes tangentielles,

, d’une part,

et , d’autre part

E t1E t 2=

Ht1 et Ht2

Dans le plan tangent, la direction de est quelconque, ce quimontre que la relation générale est :

(44)

où est la projection de sur le plan tangent.


La condition de passage au point O entre deux milieux 1 et 2

s’obtient en considérant le contour rectangulaire de la figure

4

,

où l’axe , dirigé suivant , permet de définir

z

(B’) = –

η

2

< 0

et

z

(A) =

η

1

> 0. Quand , le deuxième membre de la

relation (29) se réduit pratiquement à :

(45)

où sont respectivement les valeurs de au voisinage deO dans les milieux 1 et 2.

En remarquant que les seules variations importantes des gran-deurs s’effectuent en fonction de

z

, le troisième membre de (29)devient [(12) et (732)] :

(46)

puisque (figure

4

) sont colinéaires ; la dernièreintégrale en d

z

se réduit,

dans les conditions où le théorèmed’Ampère est valable

(§ 1.2.2.4), à la densité superficielle :

(47)

d’où

(48)

Comme la direction de est quelconque dans le plan tangent

en O à la surface de séparation, on en déduit pour les composantes

tangentielles :

(49)

car l’éventuelle composante normale donnerait :

la relation (49) est encore équivalente à :

(50)

Les

remarques

effectuées à propos de peuvent s’appliquer :

— la relation (!) n’a pas de sens puisque

l’orientation de n’est pas indiquée ;— les courants superficiels (47) n’existent pas, mais on peut les

faire intervenir si on le désire.

Considérons, par

exemple

, le cas où, dans le milieu 1 (un métal),

la densité de courant se réduit à

J

x

=

J

0

exp(–

z

/

δ

) tandis que

le milieu 2 (

z

< 0) est le vide où règne un champ constant . Si onexplore le métal à une très faible échelle devant

δ

(où l’on peutreconnaître l’épaisseur de peau (§ 2.4.4.3), on doit écrire :

(51)

en revanche, pour des valeurs de

z

de quelques

δ

, on a [(47)] :

(52)

et la relation (49) fournit :

(53)

de façon plus fine, on a, pour

z

quelconque :

(54)

Il ne faut pas confondre, d’une part, des

courants réels

dontl’aspect superficiel peut être utilisé ou nié suivant la finesse d’explo-ration de la matière et, d’autre part, les

courants superficiels

mathé-matiques

intervenant dans une intégrale de surface née de latransformation d’une intégrale de volume (§ 2.2.4.5). Ces dernierscourants, sans existence macroscopique réelle, sont des inter-médiaires de calcul (souvent commodes) et présentent le véritableaspect superficiel d’un être mathématique.


De même que l’équation (5) aboutit à la condition de passage (36),la condition de continuité (32) entraîne :

(55)

où nous avons utilisé la dérivée totale par rapport au temps de

σ

,

puisque σ résulte déjà d’une intégration sur l’épaisseur de la couchesuperficielle.

Les remarques détaillées au paragraphe 1.2.3.1 s’appliquentencore : si l’exploration des milieux s’effectue à une échelle trèspetite devant celles des longueurs typiques , la relation :

J

n1 = Jn2 (56)

est valable ; en revanche, si l’exploration a lieu à une échelle grandedevant , il faut utiliser (55).

1.3 Relations macroscopiquesliées à l’état de la matière

Nota : des indications plus précises sont fournies au paragraphe 2.1.3 sur les diélec-triques et au paragraphe 2.2.4 sur les matériaux magnétiques.

Les équations macroscopiques de Maxwell ne fournissent qu’uncadre général obligatoire ; il faut donc, pour résoudre un problèmeparticulier d’électromagnétisme, introduire les propriétés macro-scopiques des milieux considérés. Comme nous l’avons déjàindiqué (§ 1.1.4), l’adjectif macroscopique signifie que la matière estexplorée au moyen d’éléments de volume très petits à notre échelle,mais contenant encore un très grand nombre d’atomes.

AA ′

E t1 E t 2=

E ti E i

H

Γ( )

Oz B ′A

ηi AA ′

H1 AA ′⋅ H2 BB ′⋅+ AA ′ H1 H2–( )⋅=

H1 et H2

H

η2–

η1

J ∂ D∂t

----------+ AA ′ n 12∧ dz⋅

= AA ′ n 12 η

2

–

η

1

J ∂

D ∂ t ---------- + d z ∧⋅

nΓ et AA ′ n12∧( )

J s η2– 0→

η1 0→J dz=

AA ′ H1 H2–( )⋅ AA ′ n12 J s∧( )⋅=

AA ′

Ht et J s t

Ht1 Ht2– n12 J s∧ n12 J s t∧ J s t n 21∧= = =

Jsn de J s

n12 Jsn∧ 0=

J s t Ht1 Ht2–( ) n12∧ H1 H2–( ) n12∧= =

D 1 D 2–( ) n 21⋅ σ=

Ht1 Ht2– n J s∧=

n n12 ou n 21( )

J

H2

Ht1 z 10 2 – δ = ( ) H t2 ≈

Jsx J00

quelques δ= exp

z δ -----–

d z J 0 0

∞

exp z δ

-----– d z J 0 δ = ≈

H tx1 H tx2=

et H ty 1 quelques δ ( ) d H t y 2 d J 0 δ + ≈

H ty 1 z( ) d H ty 2 d J0δ 1 exp z δ ----- ––+=

J

J 1 J 2 – n 21⋅ dσdt-------+ 0=


1.3.1 Champs et inductions

Dans la plupart des cas, il est possible de considérer :

(57)

(58)

les variables non précisées étant la température T, les contraintesmécaniques et l’histoire de l’échantillon (par exemple, les cyclesd’hystérésis). Ce n’est que dans le cas très particulier des corpsmagnétoélectriques qu’il faut recourir à des relations du type :

et

Les relations (57) et (58) peuvent prendre plusieurs aspects suivantle matériau considéré et le type de système d’axes utilisé (§ 4.2.2et 4.2.3) ; nous ne considérerons dans la suite que le cas des axesorthogonaux.

Pour un milieu vide, on pose par définition :

(59)

(60)

Dans le système légal MKSA, ε0 permittivité du vide et µ0 perméa-bilité du vide ne sont pas des nombres ; le point de départ de cesystème est de poser :

µ0 = 4π · 10–7 H · m–1 (61)

ce qui entraîne, via la relation obligatoire (372) ε0 µ0 c 2 = 1, oùc (c ≈ 3,00 · 108 m · s–1) est la vitesse de la lumière :

(62)

Les diélectriques idéaux sont les diélectriques pour lesquels il

existe une relation de proportionnalité entre les composantes de

et celles de ; pour les diélectriques idéaux isotropes, on a donc :

(63)

tandis que le cas anisotrope se traduit par des relations dustyle (686) :

Di = ε i i (T ) Ei + ε i j (T ) Ej + ε ik (T ) Ek (64)

avec i, j, k = x, y ou z.

Pour les ferroélectriques, on observe un cycle d’hystérésis(cf. dans ce traité, article [D 213] Diélectriques. Bases théoriques et§ 2.1.3.2) :

Les substances magnétiques idéales isotropes sont régies par :

(65)

tandis que pour les corps ferromagnétiques, on observe des cyclesd’hystérésis (§ 2.2.4.3) :

1.3.2 Loi d’Ohm

Il serait plus rationnel de réserver le nom de loi aux égalités univer-

selles (exemple : ) et le nom de relation aux expressionssoit approchées, soit s’appliquant seulement dans certains cas

(exemple, la prétendue loi d’Ohm : ). Nous utiliseronsnéanmoins, conformément à l’usage, le vocabulaire classique.

1.3.2.1 Domaine de validité

La loi d’Ohm :

(66)

est bien connue ; elle n’est valable que dans le cas d’axes ortho-gonaux et s’applique alors à un grand nombre de conducteurs uni-formes et isotropes ; ces trois conditions sont nécessaires.

Pour des corps uniformes et isotropes, l’utilisation d’axes non

orthogonaux conduit à des expressions du type (§ 4.2.2

la discussion relative aux liens existant dans le vide entre ).

Tous les corps cristallisant dans un système cubique (Cu, Al, Fe,Ag, Ge, Si... par exemple) sont isotropes ; dans le cas de conducteursanisotropes (Co, Zn...), il faut considérer, au moins du point de vuemicroscopique et même en axes orthogonaux, des relations du type(avec i, j, k = x, y ou z ) :

Ji = γ i i Ei + γ i j Ej + γ ik Ek (67)

La condition d’uniformité (qui correspond à l’invariance spatialede la composition chimique) n’est pas assez souvent mise en valeur ;elle est pourtant essentielle. En effet, dans le cas général d’unconducteur métallique isotrope où le courant est dû à un flux d’élec-trons, la thermodynamique permet de montrer qu’au premier ordre :

(68)

avec q valeur absolue de la charge de l’électron,

conductivité au point défini par ,

potentiel chimique des thermodynamiciens (lanotation classique du potentiel chimique est µ ;nous utilisons ici µch pour éviter toute confusionavec la perméabilité µ ).

La dénomination potentiel chimique risque de gêner les électro-

techniciens puisque, par définition, est l’énergie supplé-

mentaire qu’il faut fournir pour introduire un électron supplé-

mentaire au point défini par ; le potentiel chimique dépend donc de la composition chimique locale :

— si cette composition est uniforme, µch est constant quel que

soit et on retombe sur la loi d’Ohm ;

— en revanche, dans le cas où est spatialement variable,

la densité de courant n’est plus seulement liée à ; dans le cas

limite où serait nul à un instant t, on observerait une densitéde courant :

dans la direction où µ ch augmente et, par conséquent, la charge desélectrons étant négative, une vitesse moyenne de ceux-ci dans ladirection opposée, ce qui conduirait bien à une nécessaire diminu-tion de l’énergie.

D D E ,…( )=

B B H,…( )=

D D E , H ,…( )=

B B E , H , …( ) =

D ε0 E=

B µ0 H=

ε01

36 π----------- 10 9 – F m 1 – ⋅ ≈

E

D

D ε T( ) E=

D D E( )=

B µ T( ) H=

B B H( )=

div D ρ=

J γ E=

J γ E=

Ji γ ijj

∑ Ej=

D et E

J r( ) γ r ( ) – grad V r ( ) µ

ch

r

( )

q --------------------–=

=

γ

r

( )

E r

( )

1

q

------

grad

µ

ch

r

( )

+

γ r( ) r

µch r( )

µch r( )

r µ ch r( )

r J γ E=

µch r( )

E

E

J γ q( ) grad µ ch=


Cette discussion sur la condition d’uniformité a surtout pour butde montrer le caractère tout à fait relatif de la loi d’Ohm qui estressentie (à tort) par certains comme une vérité absolue puisqu’elleleur a été enseignée presque depuis la

maternelle

et qu’ils peuventcontinuer à entretenir cette croyance fallacieuse par de mauvaiseslectures.

Au moyen de l’expression (68), on comprend pourquoi dans du

cuivre

(évidemment de composition chimique spatialement

constante), on doit utiliser tandis que, dans un

alliage

métallique

dont la composition varie, un courant nul correspond àun champ électrique :

(69)

non nul, ainsi qu’à une différence de potentiel électrique entre lespoints A et B :

(70)

également non nulle, ce qui peut paraître étrange aux

intégristes

dela

loi d’Ohm

. Les mêmes devront, en outre, remarquer que pour un

alliage non uniforme, [avec cependant ] et à courant nul,il existe, en général, une densité volumique de charge [(5), (59), (69)et (723)] :

(71)

non nulle

a priori

. Il faut noter ainsi que la relation :

dans un

conducteur en équilibre

,

la densité volumique de charge

ρ

est nulle

, ne s’applique en réalité qu’aux conducteurs uniformes.

Dans les

semiconducteurs

, où tout se passe comme s’il y avaitdeux types de charges libres [les

électrons

(repère n) et les

trous

(repère p)], il faut d’abord écrire pour chaque type de porteurs une

relation analogue à (68) définissant ainsi pour obtenir

ensuite . Pour un semiconducteur de dopage uni-forme, on retrouve (pour des champs électriques pas trop intenses)la loi d’Ohm tandis que les autres situations sont beaucoup pluscompliquées.

1.3.2.2 Réponse des voltmètres en régime stationnaire

Pour éviter des erreurs, il faut signaler que les voltmètres utiliséspar les électrotechniciens ne donnent une indication non nulle ques’ils sont parcourus par un courant si petit soit-il ; branchés entredeux points A et B, ces voltmètres ne mesurent donc [(68)] que desdifférences du type :

(72)

Dans le cas où (

µ

ch

)

A

= (

µ

ch

)

B

(réalisé, par exemple, quand lespoints A et B appartiennent au même corps de composition chimiqueuniforme), on obtient ainsi (

V

A – VB), cette différence des potentielsélectrostatiques étant considérée par beaucoup (et à tort) commela réponse universelle des voltmètres en régime continu.

En revenant sur les exemples cités au paragraphe 1.3.2.1, cetteréponse prend les formes suivantes :

— aux bornes d’un circuit en cuivre : ϕA – ϕ B = VA – VB ;— aux bornes d’un alliage métallique de composition spatiale-

ment variable, parcouru par un courant nul : ϕ A – ϕ B = 0, mais(VA – VB) ≠ 0 [(70) et (72)] ;

— aux bornes d’une jonction silicium P – silicium N non polarisée,c’est-à-dire parcourue par un courant nul : ϕ P – ϕ N = 0, mais(VP – VN) ≠ 0.

1.3.2.3 Champ électrique local et libre parcours

Dans un conducteur uniforme isotrope où le champ est nul,l’analyse microscopique montre que le mouvement d’un électron secompose d’une succession de trajectoires rectilignes (ou libres par-

cours) dont les vitesses sont orientées au hasard.

L’application d’un champ entraîne une très légère courbure,dans le même sens, de toutes les trajectoires et la moyenne des

déplacements cesse d’être nulle ; on peut montrer alors que

est lié à une moyenne spatiale des champs existant

au voisinage du point défini par , la contribution des différents

champs étant d’autant plus faible que est plus grand (la

contribution est pratiquement nulle pour ). L’utilisation decette moyenne (dont nous ne précisons pas la formulationmathématique) :

(73)

est nécessaire quand les variations relatives de ne sont pas faiblesà l’échelle du libre parcours des électrons (largement dépendantde la température et des impuretés du matériau) ; cela ne se produitpratiquement que pour un métal à basse température soumis à desphénomènes électromagnétiques de fréquence élevée (effet de peau

anormal ). En revanche, quand les variations relatives de sont

faibles à l’échelle du libre parcours (soit ), onaboutit à :

(74)

1.3.2.4 Conclusion

La loi d’Ohm est loin d’être universelle et il convient de ne l’appli-quer qu’à bon escient (ce qui est très souvent le cas, il faut lereconnaître).

1.4 Énergies électromagnétiques

1.4.1 Introduction et rôle du vecteur de Poynting

Les équations de Maxwell, couplées aux relations propres auxmilieux considérés, permettent de déterminer les grandeurs

quand les sources extérieures sont préci-sées, mais aucun renseignement sur les énergies et les forces nepeut alors être atteint : pour obtenir ces grandeurs, il faut se donnera priori une définition soit des forces, soit des énergies (une seuledonnée suffit puisque ces deux types de grandeurs sont liés). Les

J γ E=

E 1q------ grad µch–=

VA VB– 1q------= µch( )A µch( )B–

ε r( ) ε0=

ρ div D div ε0 1 q ------ grad µ ch –

ε

0 q

------ ∆ µ ch –= = =

J 0≡( )

J n et J p

J J n J p+=

ϕA ϕB– VA

µch( )A

q-------------------– VB

µch( )B

q------------------––=

Exemple :

pour le

cuivre

, à 300 K, les

ordres de grandeurs

sontles suivants :

— longueur

moyenne

d’un libre parcours : ;

— vitesse : ;— durée d’un libre parcours :

τ

= 10

–13

s

Pour un temps très grand devant 10

–13

s, la moyenne des déplace-

ments est nulle, d’où .

E

vk

10 7– m=

v k 106 m s 1–⋅=

< vk τk > J 0=

E

J r( )

E r ∆ r+( )

r

∆ r

∆ r >

J r( ) γ < E r ∆ r + ( ) > =

E

E

grad E 2 ( ) E 2

J r( ) γ < E r ∆ r + ( ) > γ E r ( ) ≈ =

E , B, D et H

ρ et J( )


équations de Maxwell étant des équations locales, nous avons choisid’introduire les échanges énergétiques au moyen d’une loi égale-ment locale en posant que le flux du vecteur de Poynting :

(75)

au travers de la surface , qui limite un volume , fournit lapuissance énergétique apportée sous forme électroma-gnétique à ce volume , le flux étant évalué par rapport à la normale

unitaire entrante . Notons que est un vecteur polaire puisquele passage d’un système d’axes à droite à un système d’axes àgauche entraîne deux changements de signe (représentation

, composantes du produit vectoriel).

La puissance énergétique est ainsi :

(76)

dans la dernière expression de , le signe moins s’introduit

parce que la relation classique (728) fait intervenir la normale unitaire

sortante .

La relation universelle [(720)] :

(77)

montre, en tenant compte des équations (6) et (4) de Maxwell, quela densité volumique de la puissance apportée sous forme électro-magnétique est :

(78)

L’énergie apportée sous forme électromagnétique ne comprendpas (§ 3.1) l’énergie apportée sous forme de chaleur par suite de pro-cessus électromagnétique.

Il est possible de donner dans des cas simples une interprétationphysique de chacun des termes de l’expression détaillée (78) :

— le premier et le troisième termes concernent respectivementl’énergie stockée sous formes magnétique et électrostatique ;

— le deuxième terme traduit la dissipation par effet Joule :

(pJ = γ E 2)

dans un corps obéissant à la loi d’Ohm, tandis que, dans un supra-conducteur, où le champ électrique est lié à la dérivée temporellede la densité de courant, il correspond à l’énergie stockée sous formede courants supraconducteurs (qui peuvent circuler sans perted’énergie).

Dans les cas plus compliqués où les matériaux présentent des

cycles d’hystérésis , le premier et le troisièmetermes conduisent en partie à des pertes par hystérésis magnétiqueou électrique.

1.4.2 Évocation de thermodynamique

La variation de l’énergie d’un système fermé (c’est-à-diren’échangeant pas de matière avec l’extérieur) s’obtient en effectuantla somme :

(79)

avec quantité de chaleur fournie par l’extérieur au système,

travail fourni par l’extérieur au système (ce termecomprend, en particulier, l’effet des forces électro-magnétiques).

Quand les phénomènes sont réversibles, c’est-à-dire quand :

(80)

T et étant respectivement la température et l’entropie du sys-tème, l’expression de devient :

(81)

Cette forme différentielle indique que est alors une fonction dont une variable naturelle est .

À partir de l’énergie (la seule vraie), les thermodynamiciensont montré que, pour résoudre différents types de problèmes, il estintéressant de disposer de différents types d’énergies conven-tionnelles (formées en ajoutant à différents types de termes) dontles variables naturelles sont liées au type du problème considéré.

Par exemple, on définit l’énergie libre par :

(82)

d’où [avec (81)] :

(83)

L’énergie libre est ainsi une fonction dont une desvariables naturelles est T, ce qui la rend intéressante (§ 1.4.3) pourles problèmes où la température est maintenue constante. Cettedernière proposition signifie que, pendant la transformation envi-sagée du système étudié (le déplacement d’un de ses éléments par

exemple), la température des différents points du système

ne varie pas, c’est-à-dire que ; il ne faut sur-tout pas croire que la température est maintenue constante indique

que .

En considérant maintenant les densités volumiques :

(84)

les variations temporelles correspondantes sont définies par :

(85)

où nous avons distingué dans w :— d’une part, wem lié aux phénomènes électromagnétiques ;— d’autre part, w≠ em = w – wem qui correspond aux autres

phénomènes.

En explicitant grâce à (78), nous obtenons :

(86)

ce qui montre que la densité d’énergie libre f s’exprime naturelle-

ment sous la forme puisque df contient des termes

en

Pour les problèmes d’électrostatique, définis par l’immobilité detoutes les charges (§ 2.1), la partie électromagnétique utile de (86)correspond à :

(87)

se désignant la partie électrostatique de l’entropie. L’utilisation de

la fonction , définie par (87), est recommandée (§ 1.4.3)

quand la température et les charges (donc ) sont maintenuesconstantes.

En revanche, la densité d’énergie électrique de Gibbs définie par :

(88)

S P E H∧=

S ( )

em ( )

n e S P

H d ou H g de H

em ( )

em ( ) S ( )

E H∧( ) n e dS⋅

= =

div E H∧( ) d–

em ( )

n s

div E H∧( ) H rot E E– rot H⋅ ⋅=

pemdem

d--------------- div E H ∧( ) – H ∂ B

∂

t ------- ⋅ E J E ∂ D

∂

t ---------- ⋅ + ⋅ += = =

E J⋅

B H( ) ou D E( )

d

d dq d+=

dq

d

dq T d=

d

d T d d+=

,…( )

T –=

d T d d+( ) T d dT+( )– dT– d+= =

T ,…( )

T r , t( )

T r , t( ) T r , t dt+( )=

T r( ) T0≡

f d d = , s d d = , w d d =

∂f∂t-------- s ∂ T

∂

t -------- ∂ w

∂

t --------+– s ∂ T

∂

t --------

∂

w

em ∂

t

--------------- ∂

w

em ≠

∂

t --------------------+ +–= =

∂wem∂t

∂f∂t-------- s ∂ T ∂ t

--------– E ∂ D ∂

t

---------- E J H ∂ B ∂

t

-------- ∂

w

em

≠ ∂

t

--------------------+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

f T, D , B ,…( )

dT, dD , dB,…

dfe s e – d T E d D ⋅ +=

fe T, D ( )

D

ge fe E D⋅–=



d’où

(89)

est une fonction intéressante quand la température et les

potentiels (donc les champs) ne varient pas.

Pour les

problèmes de magnétostatique

[définis par le maintienconstant des dens i tés de courant (§ 2 .2 ) , so i t

], la partie électromagnétique utilede (86) correspond à :

(90)

s

m

désignant la partie magnétostatique de l’entropie. La fonction

, définie par (90), permet de résoudre des problèmes où

la température et les flux d’induction (donc ) sont maintenusconstants.

Pour les problèmes où la température et les courants (donc ,

puisque ) sont invariables, il faut faire intervenir la densitéd’énergie magnétique de Gibbs :

(91)

puisque

(92)

montre que

g

m

s’exprime naturellement en fonction de

T

et .

Bien entendu, pour prévoir l’évolution d’un système, il fautconnaître l’énergie utile du système (et non pas seulement sa densitévolumique) de sorte qu’il faut introduire, par exemple :

(93)

les énergies étant définies par le même type d’inté-grale à partir de

g

e

,

f

m

,

g

m

. . .

1.4.3 Forces électromagnétiques

Nous allons montrer que, pour un problème donné, l’utilisationde la bonne énergie correspondante simplifie le calculdes forces ; tant que cette énergie ne sera pas fixée, nous ladésignerons par .

Cherchons à évaluer la force agissant sur l’élément

i

d’unsystème comprenant plusieurs éléments 1, 2, . . .,

i

, . . .,

n

(des

conducteurs par exemple). Le

déplacement

de l’élément

i

conduit à quatre

conséquences

:— il faut fournir au système l’énergie où apparaît la

force cherchée ;— l’énergie du système a été évaluée en fonction des posi-

tions des différents éléments et des grandeurs électromagnétiques ;la variation de la seule position de l’élément

i

entraîne un

type bien

particulier de variation de cette énergie, variation dont l’expressionest :

où le gradient doit être calculé en dérivant par rapport aux coor-données du seul élément mobile

i

;— la variation

totale

d’énergie est donc :

(94)

— si la nature de a été bien choisie (nous donnons des exemples

ci-après), est nul et :

(95)

Envisageons maintenant plusieurs

exemples

:— pour un problème d’électrostatique (§ 2.1) où la température

et les charges (donc ) sont maintenues constantes :

(96)

ce qui entraîne

et

(97)

— pour un problème d’électrostatique où la température et les

potentiels (donc ) sont maintenus constants :

(98)

ce qui conduit à

et

(99)

— pour un problème de magnétostatique (§ 2.2) où la tempéra-ture et les flux d’induction sont maintenus constants :

(100)

— pour un problème de magnétostatique où la température etles courants sont maintenus constants :

(101)

1.4.4 États d’équilibre

À l’état d’équilibre d’un système, les forces sont nulles et, parconséquent, quel que soit l’élément

i

, les gradients de la

bonne

éner-

gie du type sont nuls. L’énergie doit donc être extrémale,l’équilibre stable correspondant à la valeur minimale. Dans cesconditions, quand, dans un problème d’électrostatique, la tempé-rature et les charges sont maintenues constantes, l’état d’équilibreest celui qui correspond à la valeur minimale de ; si la tempé-

rature et le potentiel sont maintenus constants, la valeur minimalede est liée à l’état d’équilibre, etc.

2. Différents aspectsde l’électromagnétisme

C’est la considération des variations temporelles des charges etdes courants qui permet de définir les grands domaines de l’

électro-magnétisme

.

L’électrostatique (§ 2.1) correspond aux cas où les chargessont immobiles dans le système d’axes considéré :

dge s e –= d T D d E ⋅ –

ge T, E( )

J r , t dt+( ) J r , t( )=

dfm s m – d T H d B ⋅ +=

fm T, B( )

B

H

rot H J=

gm fm H B⋅–=

dgm s m – d T B d H ⋅ –=

H

e

= fe r( ) d

e, m, m…

e, e …( )

F i

dM i

Fi dM i⋅

syst

grad M i syst( ) dM i⋅

d syst , tot Fi dMi⋅ grad M i syst( ) dM i⋅+=

d syst , tot

F i grad M i

syst ( ) –=

D

df e s e d T E d D ⋅ +– 0 = =

de 0=

F i grad M i

e ( ) –=

E

dg e s e d T – D d E ⋅ – 0 = =

de 0=

F i grad M i

e ( ) –=

F i grad M i

m ( ) –=

F i grad M i

m ( ) –=

gradMi ( )

e

e

J r( ) 0= quel que soit r


L’électrocinétique

correspond aux autres cas ; on distingue :— le cas où les courants sont invariables en fonction du temps :

cela définit le domaine de la

magnétostatique

(§ 2.2) ;— les situations opposées, où l’on sépare l’étude des

états quasistationnaires

(§ 2.3) de celle du

cas général

(§ 2.4) en considérantla rapidité des variations temporelles, ainsi que d’autrescritères (§ 2.3.2).

Notons que certains auteurs restreignent l’électrocinétique à lamagnétostatique.

Bien entendu, comme nous l’avons dit (§ 1.2.1), l’expression de

(8) doit être obtenue à partir des

densités macroscopiques

decharge

ρ

(10) et des moyennes spatiales macroscopiques de la

vitesse (16) relatives à chaque espèce de particule.Nota : pour simplifier les exposés, nous supposons toujours que les axes utilisés sont

orthogonaux (§ 4.2.2).

2.1 Électrostatique

L’électrostatique a pour but principal d’étudier les grandeurs élec-

triques quand les densités de courant macroscopiques sontnulles dans le système d’axes considéré. Les relations de base del’électrostatique sont donc :

(5)

[(6)] (102)

(57)

et

la relation (102) étant encore valable dans les cas où .

C’est le type envisagé de la relation (57) qui va distinguer lesdifférentes parties de l’exposé :

— le paragraphe 2.1.1 est consacré aux relations générales

valables quelle que soit la relation ;

— le paragraphe 2.1.2 concerne le cas du vide où ;— le paragraphe 2.1.3 traite les milieux diélectriques pour les-

quels , un cas particulier important étant celui où .

Pour terminer, le paragraphe 2.1.4 est consacré aux relations entrediélectriques et conducteurs.

2.1.1 Relations générales

Elles concernent le potentiel électrique V ainsi que les varia-tions d’énergie.

2.1.1.1 Notion de potentiel électrique V

Le rotationnel d’un gradient [(725)] étant nul, la relation (102)

montre que est un gradient dont la forme traditionnelle,

(103)

définit le potentiel électrique V ; en toute rigueur, la composante Ex

(sur l’axe ) au point M (x M , y M , z M) s’obtient au moyende :

(104)

il faut donc préférer aux expressions du type (103) la notationcomplète [(701)] :

(105)

l’indice M du gradient indiquant qu’il faut dériver par rapport auxcoordonnées du point M.

La relation (104) montre que, d’une part, V (x, y, z ) et, d’autre part,

[V (x, y, z ) + Cte] correspondent au même champ ; le potentielV n’est donc pas une grandeur intrinsèque : seules les différencesde potentiel [exemple : (V M – V R)] ont un sens physique. Ce n’estque l’adoption d’une convention universelle indiquant que V = 0 aupoint R choisi comme repère qui permet de parler, par abus de lan-gage, du potentiel V M au point M. À titre d’exemple, la conventionV (∞) = 0 est souvent effectuée, ce qui signifie que l’on a choisi V = 0pour tous les points situés à une distance infinie du domaine étudié.

Le potentiel V est une fonction continue de l’espace puisque est toujours borné [comme le montre l’expression (145) de la force :

]. En chaque point M d’une surface de séparation de deuxmilieux 1 et 2, on a donc toujours :

(V M)1 = (V M)2 (106)

Cette relation subsiste même si on a considéré une densité super-ficielle de charge σ sur la surface de séparation.

À titre d’exemple, considérons un problème linéaire où la surfacede séparation de deux milieux 1 et 2 correspond à x = 0, le milieu1 étant défini par x < 0.

Nous posons à la limite du milieu 1 :

V (– 0) = V0

et pour la seule composante Dx de :

D (– 0) = D 0

Dans le milieu 2, ρ est défini par :

ρ = ρ 2 pour 0 < x < a2

et ρ = 0 pour x > a2

Le calcul montre que :

V (a2) – V0 = – a2 (2D 0 + ρ2 a2)/2 ε2

quand une densité superficielle est introduite par :

σ2 = ρ2 a2, avec a2 → 0

nous obtenons :

V (a2) – V (0) = – a2 (2 D 0 + σ2)/2 ε2

qui tend bien vers zéro.

2.1.1.2 Variations d’énergie

À température T constante, la variation de la densité volumiqued’énergie libre de nature électrostatique s’obtient à partir de (87) :

(107)

∂ J∂t

----------- r , t( ) 0= quels que soient r et t

J

< v i >

D et E

div D ρ=

rot E 0=

D D E( )=

J 0=

∂J∂t

---------- 0=

D D E( )=

D ε0 E =

D ε0 E≠ D ε E=

E

E grad V –=

Ox ) de E

Ex xM, yM, zM( ) ∂ V ∂ x M --------------– x M , y M , z M ( ) =

EM grad M V ( ) M –=

E

E

F Q E=

D

δ fe( )T Cte= E δ D⋅=


ce qui conduit, pour un système de volume , à une variationd’énergie [(103)] :

(108)

Nota :

nous distinguons, d’une part, les variations dues à une modi-

fication des grandeurs locales et, d’autre part, les variations dues àl’extension plus ou moins grande du domaine considéré.

Quand tous les points de la surface qui limite le volume sont suffisamment éloignés des sources de champ (c’est-à-dire

des charges) et que la convention

V

(

∞

) = 0 a été effectuée, une inté-gration par parties permet d’obtenir une nouvelle forme [(730) avec

, l’intégrale de surface tendantvers 0] :

(109)

plus intéressante que la première puisque l’intégration est alorsréduite à

tous

les éléments de volume où

ρ

varie.

L’énergie libre est utile pour résoudre les problèmes où

(donc

ρ

) sont maintenus

constants

.

En revanche, si (donc

V

) sont

invariables

, il faut utiliserl’énergie électrique de Gibbs (89) qui correspond à :

(110)

soit [(730)] :

(111)

Les expressions générales que nous venons d’écrire neconcernent que les variations d’énergie et non les énergieselles-mêmes. Pour évaluer l’

énergie

relative à une situation donnée,au moyen de (109) par exemple, il faut imaginer que les densités de

charges sont apparues peu à peu ; chaque étape

[

k

varie de 0 à 1] correspond à une répartition de potentiel d’où :

(112)

soit

(113)

2.1.2 Électrostatique du vide

2.1.2.1 Équations de Laplace et de Poisson

En axes orthogonaux, la relation (59) :

permet de combiner (5)

et (103)

en une seule relation

(114)

qui fournit [(723)], dans le cas général, l’

équation de Poisson

:

(115)

et, quand

ρ

est nul, l’

équation de Laplace

:

∆

V

= 0

(116)

Le laplacien de

V

est défini par (713) :

(117)

la dernière expression n’étant valable qu’en coordonnéestrirectangulaires.

Il est possible de démontrer les deux

théorèmes

ci-après.

Dans

un milieu où la densité de charge électrique est nulle, lepotentiel

V

ne peut avoir ni maximum ni minimum ; il peut se pré-senter des valeurs extrémales de

V

sur les surfaces qui limitent lemilieu considéré, ce qui explique pourquoi on insiste sur

dans

. Lafigure

5

est relative, dans un modèle linéaire, à ce qui se passe dansun milieu vide situé entre deux métaux portés à des potentielsdifférents.

Pour une répartition donnée de charges, il existe (théorèmed’unicité) une unique répartition de potentiel et de champ quand larépartition du potentiel est la même sur toutes les surfaces limitesrelatives au problème : si, à la suite d’essais, on a élaboré une solu-tion qui vérifie toutes les conditions, on a trouvé la solution.

2.1.2.2 Déplacement, champ et potentiel électriques

Nous allons examiner successivement ce qui est relatif à unecharge isolée, un ensemble de charges, puis une répartition continuede charges.

En considérant une surface sphérique de rayon r centrée sur unecharge ponctuelle Q M située au point M et seule dans l’espace,nous pouvons écrire [(20)] :

(118)

en un point quelconque M’ de la sphère, la normale est dirigée

de M vers M’ et peut donc se noter . La symétrie

du problème montre que ne peut être que de la forme ± |D | et, par conséquent :

(119)

δ e( )T Cte= , T Cte =

, T Cte = –= =

E

δ

D

⋅

d

grad

V

δ

D

d

⋅

δ D , δ E , δ fe , δ V

D , E ,…( ) d ici( )

S ( )

a V, b δ D soit div b δ ρ= = =

δ e( ) ∞, T→ Cte= =

∞, T→ Cte=

= ∞, T→ Cte=

E δ D⋅ d V δ ρ d

∞→( )

e

T et D

T et E

δge D δ E ⋅ –=

δ e( ) ∞ , T→ Cte=

– ∞ , T→ Cte=

– ∞ , T→ Cte=

= =D δ E⋅ d ρ δ V d

ρ r( ) k ρ r( )

V k, r( )

δ e, k k δ k+→ ∞ , T→ Cte=

= V k, r( ) δk ρ r( ) d

V k, r ( ) ρ r ( ) d

∞

, T → Cte =

e

k 0 =

1

=

δ

k

D ε0 E=

div D ρ=

E grad– V=

div ε 0 grad – V ( ) ρ =

Figure 5 – Variation dans le vide ( ) du potentielentre deux parties métalliques dont les faces en regard sont parallèles

∆Vρε0-----+ 0=

∆V div grad V( ) ∂2V∂x 2---------- ∂2V

∂y 2---------- ∂2V

∂z 2----------+ += =

D n s⋅ dSS sphère( )

sphère( )

= ρ d = QM

n s

n s MM ′ MM ′=

D n s

D M ′( ) D M ′QM MM ′

4 π MM ′3

-------------------------------= =

0=



Les charges

« ponctuelles »

n’existent pas (elles conduiraient àdes énergies infinies !), mais cette notion est néanmoins utilisable– et l’expression (119) valable – quand les dimensions de la chargeconsidérée sont très petites devant la distance entre cette chargeet le point d’observation. Dans ces conditions, on a [(59)] :

(120)

En considérant deux points voisins définis par M’ et ,respectivement situés à une distance

r

et

r

+ d

r

du point M, il vient[(702)] :

(121)

d’où, avec (120) :

(122)

ce qui entraîne, quand est très grand devant les dimen-sions de la charge :

(123)

Quand la convention

« le potentiel à grande distance descharges est considéré comme nul »

a été effectuée, l’expression(123) se simplifie puisque la constante est alors nulle.

Le calcul du champ à partir du potentiel demande quelques pré-cautions. Il faut, en détaillant, écrire [(105)] :

(124)

l’indice M’ du gradient indiquant qu’il convient de dériver

V

par rap-port aux coordonnées

x

M’

,

y

M’

,

z

M’

, du point M’, la dérivation parrapport aux coordonnées de M fournissant le résultat opposé [(706)].

Si nous considérons maintenant un

ensemble de charges

, à

condition que, pour toutes les charges, la distance entre lepoint d’observation M’ et une charge

Q

i

soit grande devant lesdimensions

d

i

de cette charge, nous pouvons généraliser les expres-sions précédentes qui deviennent [d’après (119) et (123)] :

(125)

(126)

la constante étant nulle quand la convention

V

(

∞

) = 0 a été effectuée.

En cas de

répartition continue de charge

, étant lacharge contenue dans le volume situé au point M, nousobtenons :

(127)

(128)

en faisant intervenir, le cas échéant, des densités superficielles

σ

M

.

Ces expressions sont générales, sans restriction du type

, puisque les dimensions des

charges

:

considérées sont infiniment petites. Quand aucun doute n’existe surla distinction entre, d’une part, le point M’ où l’on cherche à évaluerle potentiel

V

et, d’autre part, le point courant M d’intégration, on

peut poser et se contenter d’écrire :

(129)

mais, à la moindre hésitation, il faut revenir à l’expression intrin-sèque (128).

2.1.2.3 Énergie libre

Dans le cas du vide, à température constante, la variation de ladensité d’énergie libre due aux phénomènes purement électriques[(107) et (59)] :

(130)

peut être intégrée et fournit :

(131)

en admettant que fe (T, D = 0) est nul. La forme la plus satisfaisante

de fe pour l’esprit est celle en D 2 puisque nous savons, de façon

générale, que fe est une fonction de .

L’énergie est alors [(109)] :

(132)

Le passage de la seconde à la troisième intégrale n’est possibleque si tous les points de la surface qui limite le volume d’inté-gration sont très éloignés des endroits où ρ est non nul (ce quiexplique la notation ).

L’application de l’expression générale (113) de au cas du vide,

où les relations linéaires (128) entre le potentiel V et les charges

conduisent à , permet bien de retrouver (132).

E M ′QM MM ′

4 π ε0 MM ′3

--------------------------------------=

M ′ dM ′+

E M ′ dM ′⋅ grad V( )M ′– dM ′⋅=

V M ′ dM ′+( ) V M ′( )–[ ]–= dVM ′–=

dVM ′ Q

M MM

′

dM

′⋅

4

π

ε

0

MM

′

3

--------------------------------------------– Q

M

4 π ε

0 ---------------

r

d

rr 3 ----------–= =

MM ′ r=

VM ′QM

4 π ε0 MM ′----------------------------------- Cte (avec Cte+ 0 si V∞ 0)= = =

E M ′ grad M ′ V( )M ′–=

M′ M i

D M ′ ε0 E M ′1

4 π----------

Qi Mi M ′

| Mi M ′ |3

---------------------------i

∑= =

VM ′1

4 π ε0--------------

Qi

| Mi M ′ |-----------------------

i∑ Cte+=

ρM dMdM

D M ′ ε0 E M ′=

14 π---------

=ρM MM ′

MM ′3

------------------------ dM1

4 π---------

S ( )

+σM MM ′

MM ′3

------------------------ dSM

VM ′1

4 π ε0---------------

=ρM dM

MM ′----------------------

14 π ε0---------------

S ( )

+σMdSM

MM ′--------------------- Cte+

M′ Mi d i

ρM dM, σM dSM( )

r MM ′=

V 14 π ε0---------------

=σ dS

r------------- Cte+

ρ dr

-------------1

4 π ε0---------------

S ( )

+

δ fe( )T Cte= E δ D⋅ Dε0------- δ D⋅= =

fe T , D( ) 0

DD ′ε0

--------- δ D ′⋅ D 2

2ε0--------- E D⋅

2------------------

ε0E 2

2------------= = = =

D

e

e ∞, T→ Cte=

= ∞, T→ Cte=

=D 2

2ε0---------d E D⋅

2------------------ d

∞, T→ Cte=

=V r( )ρ r( )

2----------------------------- d

S ( )

∞→

e

V k, r ( ) kV r ( ) =


À titre d’exemple, l’énergie libre

d’une particule seule dansl’espace

, sphérique (de rayon

r

0

) et de densité de charge uniforme

ρ

0

(la charge totale est donc ), s’obtient en

remarquant au préalable [(118) et (119)] que :— pour :

(133)

— pour :

(134)

En utilisant la forme en

D

2

/2

ε

0

de (132), on aboutit à :

(135)

Le choix de la forme en

D

2

/2

ε

0

, que nous avons effectué, nousobligeait à considérer

tout l’espace

(0 <

r

<

∞

) ; en revanche, la forme

en conduit à une intégration dans le seul volume

(0 <

r

<

r

0

) où

ρ

est non nul, mais exige le calcul préalable de .

L’expression (135) montre que l’énergie libre relative à une

charge ponctuelle

(de charge finie

Q

0

), seule dans l’espace, tend versl’infini puisque

r

0

doit alors tendre vers zéro : les

charges ponctuelles

ne peuvent donc exister. Nous allons néanmoins montrer que,moyennant certaines précautions, il est possible d’utiliser cettenotion pour obtenir certains résultats.

Considérons, seules dans l’espace,

deux particules

distinctes 1

et 2 définies par les répartitions de charge dansleurs volumes centrés sur les points M

1

et M

2

. En dési-

gnant par les potentiels dus respectivement à

, le calcul de , d’après (132) :

(136)

fait apparaître quatre termes. Les deux premiers correspondent auxénergies propres des particules 1 et 2 (l’énergie propre

d’une particule étant l’énergie observée quand cette particule estseule dans l’espace). Si tous les points de sont suffisamment

éloignés de tous les points de , le potentiel dû à la particule

2 est pratiquement égal à

V

2

(M

1

) dans le volume ; cela permet

de sortir V 2 (M 1 ) de l’intégrale en V 2 ρ 1 et d’obtenir (le même procédéétant valable pour l’intégrale en

V

1

ρ

2

) :

(137)

en introduisant ainsi les charges

Q

1

et

Q

2

des particules 1 et 2 [(118)].

En généralisant à

n

particules

pour lesquelles, quels que soient

i

et

j

(

i

≠

j

), tous les points du volume de la particule

i

centrée surle point M

i

sont suffisamment éloignés de tous les points de laparticule

j

centrée sur M

j

, on obtient :

(138)

où est le potentiel évalué au point Mi en tenant compte de toutes

les charges sauf celle de la particule i elle-même, soit [(126)] :

(139)

Quand, pour chaque particule i, la répartition n’est pas

influencée par la proximité des autres particules, les termes en de (138) sont constants et seule l’énergie d’interaction :

(140)

varie avec la position des particules et permet donc de calculer lesforces.

Si on idéalise un problème en considérant des charges ponc-tuelles, les énergies propres seront infinies, de même donc quel’énergie totale , mais les forces (et leurs conséquences) peuventnéanmoins être atteintes puisque la seule énergie alors utile, l’éner-

gie d’interaction, reste finie.

2.1.2.4 Forces

Pour des charges ponctuelles, de charge constante par défini-tion, l’expression (97), couplée avec (140), montre que, pour la par-ticule i :

(141)

où il faut bien prendre garde d’utiliser dans la sommation un indicej différent de i, relatif à la particule étudiée.

Le terme en i de cette sommation fournit une composante de laforce égale à :

(142)

où est le champ régnant au point Mi dû à toutes les chargesautres que celle de la particule i elle-même, d’après la définition (139)de .

Pour l’ensemble des autres termes (j ≠ i ), on a :

(143)

seuls les termes faisant intervenir Mi (termes avec k = i ) fournissentun gradient par rapport à Mi non nul ; la résultante de ces termesest égale à :

(144)

Q0 4πρ0r 03 3=

r r 0

D r( )

43------ πr 3ρ0

4πr 2------------------------ n s

r ρ0

3--------- n s= =

r r 0

D r( )

43------ π ρ0 r 0

3

4πr 2-------------------------- n s

r 03 ρ0

3r 2------------ n s= =

e1

2 ε0----------

0

r0

r 2ρ02

9------------ 4πr 2dr 1

2 ε0----------

r0

∞r 0

6 ρ02

9r 4-------------- 4πr 2dr+=

4πρ02

18 ε0-------------

r05

5----- r0

5+=

3Q 02

20 π ε0r0-----------------------=

V r( ) ρ r( ) /2

V r( )

e

ρ1 r( ) et ρ2 r( )1 et 2

V1 r( ) et V2 r( )

ρ1 r( ) et ρ2 r( ) e

e12------

1 et 2

= V1 V2+( ) ρ1 ρ2+( ) d12------

1

= V1 ρ1d

+ 12------

2

V2 ρ2d12------

1

+ V2 ρ1d12------

2

+ V1 ρ2d

e 11 et e 22

1

2 V2 r( )

1

e e 11 e 2212------V2 M1( ) Q1

12------V1 M2( ) Q2+ + +=

i

e e ii12------ V ′i Qi

i 1=

n

∑+i 1=

n

∑=

V ′i

V ′i1

4 π ε0--------------

Qj

| MiMj |---------------------

j i≠∑=

ρi r( )e ii

′e12------ V ′i Qi

i∑=

e ii

e

′e

F i grad Mi ′e– 1

2 ----- grad M

i V ′ j Q j

j

∑ –= =

12 ----- Q i grad M

i V ′ i ( ) – 1

2 ----- Q i E ′ i =

E ′i

V ′i

12----- grad Mi Qj V ′

jj i≠∑ –

12 ----- grad M

i Q j

14 π ε

0 --------------

Q

k

|M

j

M

k

| -------------------

k j

≠ ∑

j i

≠ ∑ –=

12------ gradMi

Q j 1

4 π ε 0

-------------- Q

i

| M

j

M

i

|

----------------------- j i

≠

∑ –

12

------

grad

M

i

Q

i

V

′

i

( )

–=

12

------

Q

i

E

′

i

=


ce qui montre qu’en définitive :

(145)

D’après la façon dont nous présentons l’électromagnétisme, cetteexpression était à démontrer ; il convient néanmoins de bien voir

la signification de . Quand il n’existe que deux particules

i

et

j

,on trouve immédiatement la

loi de Coulomb

sous un aspectintrinsèque [(120)] :

(146)

Dans le cas où il existe dans l’espace, non pas des particules, mais

une

répartition continue de densité de charge

, l’adapta-tion de (145) donne pour la densité volumique de force :

(147)

le champ se confondant avec puisque les charges

sont infiniment petites.

2.1.2.5 Tenseur électrostatique de Maxwell

Cette notion est née de l’idée de chercher à évaluer la force élec-

trique agissant sur l’ensemble des charges situées dans un

volume au moyen de l’intégrale d’une grandeur étendue

à la surface limite , soit :

(148)

L’adaptation directe de [(728)] :

(149)

est impossible parce que, dans l’intégrale triple, figure un scalaire

et non un vecteur . En revanche, nous pouvons écrire :

(150)

à condition que [(707)] :

(151)

en notant T xx , T xy et Txz les composantes du vecteur ; en

continuant dans cette voie, le calcul de fait intervenir neuf compo-santes, les Tij (avec j = x, y, z ) étant relatifs au calcul de Fi . La

considération de trois vecteurs est simpliste ; on peut

montrer qu’en réalité les Tij définissent un tenseur symétrique

[Tij = Tji (152)] du 2e ordre (§ 4.1.5).

Nous allons vérifier que l’expression [(684)] :

(152)

(où δi i = 1 et δi j = 0 quand i ≠ j ), fournit le bon résultat.

En effet [avec (150) et (151)] :

soit(153)

couplé à (102) :

conduit bien à [(707), (708), (709) et (5)] :

(154)

L’utilisation directe du tenseur de Maxwell est souvent pénible,aussi vaut-il mieux effectuer les calculs sous une autre forme, enévaluant :

— d’abord :

(155)

étant les vecteurs unitaires dirigés respectivement suivant

les axes ;— puis le facteur qui intervient dans l’intégrale (150), soit :

(156)

— et, enfin, l’expression de qui montreque [(148)] :

(157)

puisque (158)

Dans ces conditions, la force cherchée peut s’obtenir au moyen de :

(159)

Nota : il ne faut pas confondre, d’une part, le tenseur et ses neuf composantes Tij et,

d’autre part, le facteur [(148)] qui s’exprime à partir de ces Tij [(157)].

2.1.2.6 Dipôles, quadrupôles et leur suite

Un dipôle est un ensemble composé de deux charges + Q et – Q. L’étude des dipôles, base de la description des diélectriques, est

traditionnellement effectuée dans le cas où la distance entre lesdipôles et le point d’observation est très grande devant l’étendue dechaque dipôle ; cette condition est très bien vérifiée pour les diélec-triques où l’étendue des dipôles est de l’ordre des distances inter-atomiques et souvent même beaucoup plus petite. Dans ces

Fi Qi E i′=

E i′

FiQi Qj Mj Mi

4 π ε0 | Mj Mi |3

-----------------------------------------=

ρ r( )

dF r( )d

-------------------- f r( ) ρ r( ) E r( )= =

E ′ r( ) E r( )ρ r( ) d

T&&

F

T« »→

S ( )

F

= f r( ) d S ( )

= T dS? « »→

div a d

S ( )= a n s dS⋅

div a( ) f( )

Fx

= fx r( ) d = S ( )

T x n s⋅ dS

fx div T x∂Txx

∂x--------------

∂Txy

∂y--------------

∂Txz

∂z--------------+ += =

T x

F

T x , T y et T z

T&&

Tij ε0 (Ei Ej12------ δij E 2)–=

fx ε0∂

∂x------- Ex

2 E 2

2-------– ∂

∂y------- Ex Ey( ) ∂

∂z------- Ex Ez( )+ +=

fx ε0 Ex ∂Ex

∂x----------

∂Ey

∂y----------

∂Ez

∂z----------+ +=

+ ε0 Ey ∂Ey

∂x----------

∂Ex

∂y----------+– ε0 Ez ∂Ez

∂x----------

∂Ex

∂z----------+–+

rot E 0=

fx Ex div D ρ Ex= =

T x

T x i Txx j Txy k Tx z+ +=

ε0 Ex i Ex j Ey k Ez+ +( ) 12------ ε0 E 2 i–=

ε0 Ex= E 12------ ε0 E 2 i–

i , j , k

Ox , Oy et Oz

T x n s⋅ ε0 Ex E n s12------ ε0 E 2 i n s⋅–⋅=

F i Fx j Fy k Fz+ +=

T i T x n s⋅( ) j Ty n s⋅( ) k Tz n s⋅( )+ +=

ε0 E E n s⋅( ) 12------ ε0 E 2 n s–=

« »→

i i n s⋅( ) j j n s⋅( ) k k n s⋅( )+ +

i nsx j nsy k nsz+ += n s=

F S ( )

ε0 E E n s⋅( ) 12------ ε0 E 2 n s– dS=

T&&

T« »→



conditions, les interactions des dipôles avec l’extérieur peuvent êtreobtenues en assimilant chaque dipôle à deux charges ponctuelles(§ 2.1.2.3).

Considérons donc (figure 6) deux charges ponctuelles : + |Q | au

point M+ , – |Q | au point M– et définissons le vecteur et le pointM par :

(160)

Au point d’observation M’ (avec ), le potentiel relatifau dipôle [avec la convention V (∞) = 0] est [(123)] :

(161)

Avec la condition que l’on vient de donner , nousobtenons :

(162)

d’où (163)

et, en définitive, θ étant l’angle défini par ,

(164)

Ainsi, à grande distance, le dipôle situé au point M n’intervientque par son moment dipolaire :

(165)

et produit un potentiel variant en r –2 dont l’expression intrinsèqueest :

(166)

Il faut évidemment bannir toute expression du type qui n’a aucun sens puisque aucun signe n’est indiqué.

De façon générale, si on calcule en un point M’ le potentiel dû àdes charges ponctuelles Qi situées dans un certain volume del’espace en supposant que la distance entre M’ et un point M deréférence du volume est très grande devant l’étendue de , onpeut considérer les points suivants.

Si la somme des charges Qi est non nulle, on a :

(167)

le potentiel variant en r –1.

Si la somme des charges est nulle (Σ Qi = 0), la formule précé-dente ne peut s’appliquer ; il faut alors définir, par rapport au pointM :

— le centre de gravité M+ des charges positives (indice i+) :

(168)

— le centre de gravité M– des charges négatives (indice i–) :

(169)

— le moment dipolaire correspondant à l’ensemble des charges :

(170)

Ce moment est une grandeur intrinsèque, indépendante de M ;si ce point est remplacé par M0 , on a alors :

(171)

qui redonne bien en effet puisque Σ Qi = 0.

Le potentiel correspondant :

(172)

est donc bien défini ; il varie en r–2 et généralise l’expression (166)relative au dipôle. L’ensemble des charges a pu ainsi être remplacé,pour ses effets à grande distance, par un simple dipôle ; par exemple,la figure 7 est relative à quatre charges dont la somme est nulle.

Dans le cas où l’ensemble des charges considérées est tel que

non seulement Σ Qi = 0 mais encore , les considérations pré-cédentes ne sont plus valables. On peut montrer que les effets àgrande distance d’un tel ensemble sont équivalents à ceux de sonmoment quadrupolaire qui est formé d’un ensemble de quatrecharges bien choisies ; la somme de ces quatre charges ainsi que leurmoment dipolaire sont évidemment nuls.

Figure 6 – Étude d’un dipôle

a

M–M MM+ a= =

2 a M–M+=soit

MM ′ r=

VM ′1

4 π ε0--------------- + Q

M

+

M

′

---------------------- Q –

M

–

M

′

----------------------+ =

Q

4

π

ε

0

---------------

1

r a

–--------------------

1

r a

+---------------------–

=

r a ( )

r a–2

r a–( ) r a–( )⋅ r 2 2 a r⋅– a 2+= =

r 2 1 2 a r⋅r 2

--------------------– …+ =

VM ′Q

4 π ε0---------------- 1

r----- 1 a r⋅

r 2--------------- …+ + 1

r----- 1 a r⋅

r 2---------------– …+ –=

M–M + et MM ′ r=

VM ′2 Q a r⋅

4 π ε0r 3------------------------------- 2 Q a θcos

4 π ε0r 2---------------------------------= =

pM 2 a Q Q M–M += =

VM ′p M MM ′⋅

4 π ε0 MM ′3

---------------------------------------=

p Q ∆M=

Figure 7 – Définition du dipôle équivalent aux quatre charges3 |

Q

|, – 2 |

Q

|, |

Q

| et – 2 |

Q

| situées dans le plan de la figure

VM ′ΣQi

4 π ε0 MM ′------------------------------------=

r +ΣQi+ MM i+

ΣQi+--------------------------------

ΣQi+ r i+

ΣQi+----------------------= =

r –ΣQi – MM i –

ΣQi –----------------------------------

ΣQi – r i –

ΣQi –-------------------------

ΣQi – r i –

ΣQi+-----------------------–= = =

p ΣQi r i ΣQi+ r i + ΣQi – r i –+ ΣQi+( ) r + r ––( )= = =

p0 ΣQi M0Mi ΣQi M0M ΣQi MM i+= =

M0M ΣQi ΣQi r i+=

p

VM ′p MM ′⋅

4 π ε0 MM ′3

---------------------------------------=

1

p 0=

1

2



La figure 8 montre un tel ensemble où deux charges + |Q |sont disposées de part et d’autre, à la distance a, du point M sur

un axe , deux charges – |Q | étant situées à une distance c de

M sur un axe orthogonal à . L’ensemble des chargesdétermine la position des axes dans l’espace, l’axe qui porte lescharges positives, le rapport c /a ainsi que 2 |Q | a2 ; les potentielscorrespondant à l’ensemble ou à son moment quadrupolaire

ainsi déterminé varient alors de la même façon (en r –3) àgrande distance.

On peut imaginer des ensembles de charges dont la somme, lemoment dipolaire et le moment quadrupolaire sont nuls. On peutmontrer que pour l’évaluation du potentiel à grande distance, un telensemble peut être remplacé par son moment octupolaire(comprenant huit charges) donnant lieu à un potentiel variant en r – 4.

2.1.3 Diélectriques

Les diélectriques font l’objet, dans ce traité, de l’article [D 213]Diélectriques. Bases théoriques ; aussi ne donnerons-nous ici quela description des phénomènes de base.

2.1.3.1 Généralités

La distinction entre conducteurs et diélectriques peut s’effectueren comparant l’action permanente d’un champ électrique continusur ces substances :

— dans un conducteur, il circule des charges et on observe uncourant ;

— dans un diélectrique, les charges ne se sont déplacées qu’à trèspetite échelle en restant pratiquement sur place, créant ainsi desdipôles et non pas des courants ; de ce dernier point de vue, undiélectrique apparaît donc comme isolant.

Trois modèles sont classiquement considérés pour expliquerl’existence de ces dipôles.

Dans un atome, lorsqu’aucun champ électrique n’est appliqué, lecentre gravité des charges négatives (les électrons) est confonduavec le centre de gravité de l’ion positif correspondant. Sous l’action

d’un champ , les centres de gravité se séparent et il apparaît undipôle.

Dans un composé ionique solide (exemple NaCl), les ions positifs(Na+) et négatifs (Cl–) sont régulièrement disposés. L’applicationd’un champ électrique déplace très légèrement en sens contraire lesdeux types d’ions, ce qui correspond à la création de dipôles.

Dans un fluide de molécules dipolaires (du type A– B+), la répar-

tition des orientations de celles-ci est isotrope quand . Enrevanche, l’existence d’un champ non nul entraîne un effet moyend’orientation et l’apparition d’un moment dipolaire global. L’exemplele plus courant est l’eau dont la structure de la molécule (H2O) estévoquée sur la figure 9.

2.1.3.2 Polarisation

La polarisation traduit l’existence des dipôles. Cette grandeur,

pour un élément de volume macroscopique (§ 1.1.4), est

obtenue en effectuant le rapport entre, d’une part, sommedes moments dipolaires des dipôles contenus dans et, d’autrepart, l’étendue de :

(173)

Cette définition, tout à fait générale, est valable en chaque point

du diélectrique ; en revanche dépend a priori du point M quirepère le volume , de sorte que la notation complète est :

(174)

Pour les diélectriques idéaux isotropes, sont coli-néaires et on pose :

(175)

en définissant ainsi la susceptibilité électrique χe ; les dimensions

de sont les mêmes ([Q] [L] –2) et par conséquent χe est sansdimensions.

Pour les diélectriques idéaux anisotropes, il existe des rela-

tions linéaires entre les composantes de et celles de du type :

(176)

Un diélectrique quelconque est régi par une loi qui peut être compliquée et même traduire des phénomènesd’hystérésis (corps ferroélectriques).

Exemple : pour un atome, dont la somme des charges est nulle etles centres de gravité des charges positives et négatives confondus, lapremière donnée importante est son moment quadrupolaire.

Exemple : les effets à grande distance d’un ensemble de chargesdont la symétrie augmente peuvent être successivement équivalentsà ceux d’un monopôle (Σ Qi ), d’un moment dipolaire, d’un momentquadrupolaire, d’un moment octupolaire... dont les potentiels varientrespectivement en r –1, r –2, r – 3, r – 4... ; on peut ainsi imaginer des2n upôles conduisant à des potentiels en r – (n + 1).

2

Mu

Mv Mu 1

1

2

E

E 0=

Figure 8 – Représentation d’un groupe de quatre chargesdéfinissant un quadrupôle

Figure 9 – Évocation de la structure d’une molécule d’eau

P

d

dp d( )d

d

Pd p d( )

d-----------------------=

PdM

dp M P M dM=

P et E

P ε0 χe E=

P et D

P E

Pi ε0 χe , ijj

∑ Ej=

P P E ,…( )=



2.1.3.3 Charges fictives

Par adaptation des expressions (166) et (174), le potentiel dû àl’ensemble des dipôles se trouvant dans un diélectrique de volume

est, en un point M’ extérieur au diélectrique :

(177)

L’intégration par rapport à est facile en remarquant que[(716) et (706)] :

(178)

Nota : nous avons donné les deux équivalences pour montrer une fois de plus que

ne signifie rien tant que le point dont on utilise les coordonnées pour

effectuer la dérivation n’est pas indiqué.

Cette intégration (177) avec (178), conduit à [(730)] :

(179)

En comparant cette expression à (128) qui correspond à une dis-tribution quelconque de charges dans le vide, nous voyons que toutse passe comme si nous avions une densité volumique de chargeélectrique fictive :

(180)

et une densité superficielle de charge fictive :

(181)

située sur les surfaces limitant le diélectrique ; comme toujours, est la normale sortante du volume considéré, donc, ici, dudiélectrique.

L’ensemble des charges fictives a une charge nulle puisque[(728)] :

(182)

Pour saisir physiquement le sens des expressions ρP et σP ,considérons (figure 10) un cylindre diélectrique dont l’axe est

parallèle à la direction caractérisée par le vecteur unitaire .

Supposons d’abord que soit uniforme.Par la pensée, isolons dans le cylindre un cylindret de même hauteur,mais de section dS, puis dans celui-ci une cylindrette dS ; lemoment dipolaire correspondant [(174)] :

(183)

montre que tout se passe comme si les charges ± P dS étaient dis-posées sur les deux faces situées aux extrémités de la cylindrette, lacharge positive correspondant à la face dont la coordonnée z est laplus grande.

En considérant maintenant l’ensemble des cylindrettes qui occupecomplètement le cylindret, nous voyons que la charge + PdS d’unecylindrette est compensée par la charge – P dS de la cylindrette

immédiatement supérieure (dans le sens ) ; il n’apparaît ainsiaucune charge en volume, ce qui correspond bien à l’expressiongénérale de :

Les seules charges qui subsistent sont celles situées aux extré-mités du cylindret avec :

— pour la face 1, σ = + P, ce qui correspond bien à :

— pour la face 2, σ = – P, lié à :

Dans le cas où est de la forme , la somme descharges apportées à leur face commune par deux cylindrettesvoisines du même cylindret est :

(184)

quand ces cylindrettes sont respectivement centrées sur z et ; il apparaît ainsi l’équivalent d’une densité volumique de

charge égale à celle prévue, dans le cas considéré, par (180) :

2.1.3.4 Déplacement, champ et polarisation

Avec les notations simplifiées de (129) le potentiel VQ créé pardes charges dans le vide (ces charges étant situées soit dans unvolume , soit sur certaines surfaces S0i ) est de la forme :

(185)

d

VM ′1

4 π ε0----------------

d

=P M MM ′⋅

MM ′3

------------------------------ dM

dM

MM ′

MM ′3

---------------------- gradM 1

MM ′------------------- grad M ′ 1

MM

′ ------------------- –= =

grad f | MM ′ |( )[ ]=

VM ′1

4 π ε0----------------

d

divM– P M( )

MM ′--------------------------------- dM=

14 π ε0----------------

S d( )

P M n s⋅

MM ′------------------------- dSM+

ρP div P–=

σP P n s⋅=

n s

d

ρP d d

divP d–=

S d( )

P n s dS⋅–= S d( )

–= σP dS

Oz k

P (P P k avec P 0)>=

d

dp P dS d P dS( ) k d dQ M–M+= = =

Figure 10 – Étude d’un cylindre diélectrique

dont la polarisation est parallèle à l’axe du cylindreP

Oz

ρP divP– 0 quand P est uniforme= =

σP 1 P n s1⋅ P k k⋅ P= = =

σP 2 P n s2⋅ P k k – ( )⋅ P –= = =

P P P z( ) k=

P z( ) dS P z d+( )dS– d

P d z -------- d S d –=

z d+

ρP div P –=

0

VQ1

4 π ε0---------------

0

ρd

r-------------= +

14 π ε0---------------

ΣS0i

σ dSr

-------------



il est important de remarquer que :

(186)

fournit le coefficient de dans l’intégrale de volume.

Dans le cas où il existe des diélectriques et des charges dans levide, le potentiel en un point extérieur aux diélectriques s’obtientpar :

(187)

où l’intégrale de volume est étendue aux volumes des différents

diélectriques et au volume extérieur , le même type de consi-

dération étant valable pour les intégrales de surface.

L’analogie entre les expressions (185) et (187) montre que, en pré-sence de diélectriques, le calcul de :

(188)

fournit le coefficient de dans l’intégrale de volumede (187).

L’expression (188) est très importante parce qu’elle montre que

dépend de (ρ + ρP ).

Une relation de passage entre deux milieux sera donc [(36)] :

(189)

En revanche, la recherche d’une expression de ρ [(188) et (180)] :

(190)

montre l’intérêt de poser [(5)] :

(191)

Nota : le puriste, remarquant que la divergence d’un rotationnel est nulle, aurait puposer :

puis, ensuite, lors de l’élaboration de l’électromagnétisme, noter qu’il n’a jamais eu besoin

du terme pour satisfaire une relation et arriver ainsi à la conclusion que ce terme

est nul en général (il était déjà nul dans le cas du vide où ).

L’expression de l’induction électrique peut prendre ainsiplusieurs formes suivant que l’on considère :

— des diélectriques idéaux isotropes [(175)] :

(192)

— des diélectriques idéaux anisotropes [(176)] :

(193)

— ou des diélectriques quelconques :

(194)

Pour des diélectriques isotropes, où , on peut introduirela permittivité relative εr au moyen de εr = ε /ε0 . Il faut remarquer queε et ε0 sont des grandeurs (qui se mesurent en F · m–1 dans le systèmeMKSA) tandis que εr est un nombre sans dimensions ; certainsphénomènes (la forme des lignes de champ par exemple) ne dépen-dent que des εr .

2.1.4 Conducteurs et diélectriques

Le but de ce paragraphe est d’étudier les situations créées par laprésence de « conducteurs » (indice c) au sein de diélectriques(indice d) ou du vide, le vide pouvant être considéré comme un

diélectrique particulier où .

2.1.4.1 Relations de passage entre diélectriqueset conducteurs uniformes

Nous supposons que les conducteurs considérés sont uniformeset isotropes (§ 1.3.2.1) et régis par la loi d’Ohm :

Cette définition peut s’appliquer aux conducteurs métalliques,ainsi qu’à des semiconducteurs de type bien déterminé (mais pasà des jonctions P – N) quand les champs électriques ne sont pastrop élevés.

Nous admettons également que :

(195)

avec εc = ε0 pour les métaux et εc ≠ ε0 pour les semiconducteurs.

Nous sommes dans le domaine de l’électrostatique où les chargessont immobiles et, donc, les courants nuls ; par conséquent, enchaque point des conducteurs, on a [(66), (195), et (5)] :

(196)

ce qui montre que le potentiel de chaque conducteur i est uniforme :

(197)

La relation de passage (44), , fournit donc :

(198)

pour tous les points des diélectriques en contact avec les surfaces désigne la ou les surfaces qui limitent le

conducteur i dont le volume est .

La condition (36) , où, par exemple, lesrepères 1 et 2 sont respectivement attribués au diélectrique et auconducteur, entraîne donc, pour les points du diélectrique en contactavec un conducteur :

(199)

avec normale unitaire sortante du conducteur,

densité superficielle de charge du conducteur aupoint considéré.

La charge du conducteur i, uniquement superficielle, est donc :

(200)

qui ne fait que traduire le théorème de Gauss (20).

Par ailleurs, la combinaison de (199) et (198) donne, à la surfaced’un conducteur :

(201)

div E div grad VQ–( ) ρε0-----= =

d4 π r( )

VQ d+1

4 π ε0---------------

0 Σdj+

=ρ ρP+

r----------------- d

14 π ε0---------------

ΣS0i ΣSdj+

+σ σP+

r---------------- dS

dj

0

divE div grad VQ d+–( )ρ ρP+

ε0---------------= =

d/4 π r( )

E

E 1 E 2–( ) n 21⋅σ σP+

ε0----------------=

ρ ε0 div E( ) ρP– div ε0 E P+( )= =

D ε0 E P+=

D ε0 E P rot (X)+ +=

rot (X)

D ε0 E=

D

D ε0E ε0 χeE+ ε0 1 χe+( ) E εE= = =

Di ε0Ei ε0 χe , ij Ejj

∑+ ε0 δij χe , ij+( ) Ejj

∑ εij Ejj

∑= = =

D ε0E P E , ... ( ) + D E , …( ) = =

D εE=

P 0=

J γ E=

D εcE=

E c r( ) 0=

soit ρ r( ) 0=

Vc r( )[ ]i Vi≡

E t1 E t2=

E td r( ) 0 quel que soit S i( )=

S i( ), où S i( )i

D1 D 2–( ) n21⋅ σ=

σ r( ) D d r( ) n sc⋅ εd E d r( ) n sc⋅= =

n sc

σ r( )

Qi S i( )

= σ r( ) dS = S i( )

Dd r( ) n sc dS⋅

εd Ed r( ) Dd r( ) σ r( )nsc= =



Ajoutons enfin que, pour tous les points du ou des diélectriquesqui se trouvent au contact avec la surface du conducteur

i

,la continuité du potentiel montre que :

(202)

2.1.4.2 Relations de passage entre diélectriqueset conducteurs non uniformes

La composition chimique de ces conducteurs varie spatialement.L’application de la loi (68) :

à un tel alliage métallique (avec

ε

c

=

ε

0

) montre que, même dans le

domaine de l’électrostatique (où ), le champ n’est jamaisnul

a priori

dans cet alliage et, en conséquence, le potentiel

V

jamaisconstant.

Les relations de passage fournissent alors :

(203)

(204)

L’intégration de (204) sur la surface du conducteur

i

, soit :

(205)

montre que la charge superficielle

Q

i,s

(intégrale de

σ

) est égale à

la charge totale

Q

i

(intégrale de ) moins la charge intérieure

Q

i

, int

puisque [(71) et (728)] :

(206)

2.1.4.3 Ensemble de diélectriqueset de conducteurs en équilibre

Nous considérons uniquement le cas simple où des

conducteurs

uniformes

, portés à différents potentiels, sont placés dans le videdans lequel il n’existe aucune charge (

ρ

v

= 0).

Dans l’évaluation de l’énergie libre [(132)], les seules charges quiinterviennent sont alors uniquement les charges superficielles desdifférents conducteurs, les charges du conducteur

i

(dont la sommeest

Q

i

) étant portées au même potentiel

V

i

; dans ces conditions, nousavons [(140)] :

(207)

Quand les potentiels

V

i

sont imposés, les valeurs des charges

Q

i

peuvent être obtenues après avoir résolu, dans l’espace vide, l’équa-tion

∆

V

= 0, les conditions aux limites correspondant aux différents

potentiels imposés ; la connaissance du potentiel permet, en

effet, d’obtenir le champ électrique au voisinage des différentsconducteurs et donc les densités superficielles de charge.

Il existe un grand nombre de méthodes mathématiques pourrésoudre ce type de problème mais ces méthodes sont pratiquementlimitées aux cas où les surfaces limites sont de géométries simples(plan, cylindre de révolution, ellipsoïde, hyperboloïde). Cesméthodes sont très bien exposées dans

Électrostatique

deDurand [2].

Les méthodes numériques ont très largement étendu le champdes problèmes que l’on peut résoudre (cf., dans ce traité, article[D 3 020]

Calcul des champs électromagnétiques

).

Dans des cas simples (§ 2.1.4.4), il est possible de déterminer lecadre général des relations entre les charges

Q

i

et les potentiels

V

j

des différents conducteurs (

i

, j ...).

2.1.4.4 Coefficients d’influence, condensateurs et capacités

Coefficients d’influence Cij

Nous ne considérons que les cas où, d’une part, tous les conduc-teurs sont uniformes et, d’autre part, tous les corps (diélectriques

et conducteurs) sont idéaux avec . Dans ces conditions,toutes les relations entre les potentiels, les champs, les dépla-cements, les densités superficielles de charge et les charges desdifférents conducteurs sont linéaires. Quand la convention V (∞) = 0a été effectuée, la charge Qi du conducteur i est alors :

(208)

Vj désignant le potentiel du conducteur j.

En effet, dans le cas où seul Vj est non nul (nous symbolisons cecas par *j ), les charges sont proportionnelles à Vj et en particulierQi (*j) = Cij Vj . L’examen de l’ensemble des autres cas semblables

(*k ), ... et l’application du principe de superposition – valabledans le cas de relations linéaires – permettent d’aboutir à (208).

En considérant le cas (*j ) particulier où Vj est positif, le champ

est dirigé suivant la normale sortante du conducteur j et suivantla normale entrante de tous les autres conducteurs ; on endéduit (200) que Cjj est positif et que tous les Cij (j ≠ i ) sont négatifs.

On peut encore montrer, par l’intermédiaire de la thermodyna-mique, que les coefficients d’influence Cij (avec j ≠ i ) tels que Cij = Cji .

L’expression de l’énergie (207) devient alors, grâce à (208) :

(209)

soit, pour un ensemble de deux conducteurs :

Condensateurs

Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs ; lesremarques précédentes justifient les relations :

(210)

S i( )

Vd r( ) Vi≡

J r( ) γ r( )E r( ) 1q------ grad µch r( )+=

J 0= E

E td r( ) E tc r( ) 1

q------- grad µch r( )[ ]t–= =

1q------ grad µch n sc grad µch⋅( ) n sc–[ ]–=

σ r( ) Dd r( ) Dc r( )–[ ] n sc⋅=

Dd r( ) n scε0

q------- grad µch r( )[ ] n sc⋅+⋅=

S i( )

S i( )

S i( )

=σ dS Dd nsc dS +⋅ε0

q------- grad µch nsc dS⋅

S i( )

Dd nsc⋅

Qi, int i

div –ε0

q------- grad µchd=

S i( )

–ε0

q------- grad µch nsc dS⋅=

e12------ Vi

i∑ Qi=

V r( )

E r( )

D εE=

Qi CijVjj

∑ CiiVi CijVjjvi∑+= =

*( )

E

e

e12------ CiiV i

2 12------ CijViVj

jvi∑

i∑+

i∑=

12------ CiiV i

2 CijViVjj i>∑

i∑+

i∑=

e12------ C11V 1

2 12------ C22V 2

2 C12V1V2++=

Q1 C11V1 C12V2+ C11V1 C12 V2–= =

Q2 C21V1 C22V2+ C 12 V 1 C 22 V 2 +–= =


On peut encore, en posant :

–

C

12

= |

C

12

| =

C

(211)

les mettre sous la forme :

(212)

Dans les condensateurs pratiquement utilisés, les termes en(Cii – C ) sont négligeables devant ceux en C et on aboutit aux expres-sions traditionnelles que l’on peut résumer par :

Qi ≈ C (Vi – Vj ) (213)

Dans certaines dispositions, un des termes correctifs en (Cii – C )est nul. Par exemple, dans le cas de la figure 11, le corps 1 étantcomplètement entouré par le corps 2, on peut montrer queC11 – C = 0 et que la charge (C22 – C ) V2 est portée par la surface exté-rieure du corps 2.

De façon générale, les termes en (Cii – C ) sont dus à des effetsde bord du condensateur (figures 11 et 12). L’idéalisation ducondensateur représenté sur la figure 12a avec la partie définie par– (b /2) < y < (b /2) et – (c /2) < z < (c /2) du condensateur plan infini(dans les directions relatives aux variables y et z ) de la figure 12bfait, en effet, disparaître ces termes. Dans cette dernière figure, laseule variable géométrique significative est x, ce qui montre que,dans le diélectrique où ρ = 0, on peut écrire :

(214)

On obtient ensuite successivement :

Pour la section droite d’aire S = bc du condensateur plan infini,on aboutit ainsi, avec Qi = Sσi (i = 1 ou 2), à :

(215)

qui fournit l’expression traditionnelle de la capacité d’un conden-sateur plan. Ce résultat n’est qu’approché puisque l’assimilation de

au seul terme (dDx /dx ) n’est pas possible dans le cas ducondensateur réel de la figure 12a ; cette remarque montre quel’expression traditionnelle (215) de C est d’autant meilleure que bet c sont plus grands par rapport à l’épaisseur e = x2 – x1 .

Dans le cas où l’approximation (213) est valable, la valeur de Cpeut être déterminée par [(200)] :

(216)

si la répartition de est connue ; dans le cas où plusieurs typesde diélectriques existent, la valeur de εd à retenir est celle réaliséeau voisinage de la surface du conducteur (ici la surface Si duconducteur i ) pour lequel la charge (ici Qi ) est calculée.

L’énergie libre relative à un condensateur est [(209) et (211)] :

(217)

L’analyse complète de cette expression est compliquée [1], aussivaut-il mieux considérer directement le cas approché (213) qui,avec (207), correspond à :

(218)

Figure 11 – Coupe par un plan équatorial d’un condensateurconstitué par une sphère (1) concentrique à une coquille sphérique (2) avec indications de la charge globale de chaque surface

Figure 12 – Comparaison entre un condensateur planet une portion d’un condensateur plan infini

Q1 C V1 V2–( ) C11 C–( )V1+=

Q2 C V2 V1–( ) C22 C–( )V2+=

0 ρ divDdDx

dx------------- ε

dEx

dx------------ ε d

2

V d

x

2 ------------–= = = = =

σ1 D x1( ) ns c1⋅ εV2 V1–

x2 x1–--------------------- 1⋅– ε

V1 V2–

x2 x1–---------------------= = =

σ2 D x2( ) ns c2⋅ εV2 V1–

x2 x1–--------------------- 1 – ( )⋅ – ε

V

2 V

1

–

x

2

x

1

–---------------------= = =

V

V

2

V

1

–

x

2

x

1

–---------------------

x V1x 2 V2x1–

x 2 x1–----------------------------------+=

QiSε

x2 x1–------------------ Vi Vj–( )=

C Sεx2 x1–------------------=soit

divD

CQi

Vi Vj–----------------

Si

εd E d n s ci dS⋅

i

j

E d⋅

---------------------------------------------------------= =

E

e12-----C11V 1

2 C V1V212-----C22V 2

2+–=

12-----C V1 V2–( )2 1

2----- C11 C–( )V 1

2 12----- C22 C–( )V 2

2+ +=

e12----- V1C V1 V2–( ) V2C V2 V1–( )+[ ] 1

2-----C V1 V2–( )2= =


2.2 Magnétostatique

La magnétostatique a pour but principal d’étudier les grandeurs

magnétiques et quand les courants électriques macrosco-

piques sont invariables en fonction du temps. Les relations de basede la magnétostatique sont donc :

(219)

(7)

(58)

C’est le type envisagé de la relation (58) qui va distinguer les dif-férentes parties de l’exposé :

— le paragraphe 2.2.1 est consacré aux relations générales,

valables quelle que soit la relation ;

— le paragraphe 2.2.2 concerne le cas du vide où ;— le paragraphe 2.2.3 est relatif aux circuits électriques dans le

vide ;— le paragraphe 2.2.4 traite des matières aimantées, pour

lesquelles .


Elles concernent le théorème d’Ampère, le potentiel vecteur ,les différentes représentations des courants ainsi que les variationsd’énergie ; nous introduirons également le potentiel scalaire magné-tique .

2.2.1.1 Théorème d’Ampère

Ce théorème (30) est pleinement valable puisque les phéno-mènes ne dépendent pas du temps (§ 1.2.2.4).

2.2.1.2 Potentiel vecteur

La divergence d’un rotationnel étant nulle [(724)], la relation

montre qu’il est possible de poser :

(220)

en introduisant ainsi le potentiel vecteur ; la notation complète

est , l’indice P du rotationnel indiquant qu’il fautdériver par rapport aux coordonnées du point d’observation P.

Nota : pour éviter toute confusion dans l’étude des diélectriques, où intervient la polari-

sation , nous avons désigné le point courant par M ; dans ce paragraphe, où l’intensité

d’aimantation des corps magnétiques est notée , c’est pour des raisons analogues quele point courant est désigné par P.

Le potentiel vecteur n’est pas complètement déterminé

par (220) ; on démontre en effet que ne peut être bien défini que

si on connaît en tout point, non seulement , mais également

div . Il faut de plus que soit connu en un point : le choix tra-

ditionnel consiste à prendre [cf. V (∞) = 0 en électro-statique (§ 2.1.1.2)].

Les conventions sur peuvent être différentes suivant le typede problème considéré mais, pour chaque problème, la convention

est unique quel que soit le milieu ; on en déduit que estcontinu quand on passe d’un milieu à l’autre.

À la surface de séparation de deux milieux 1 et 2, la relation depassage (42) (Bn1 = Bn2) est satisfaite quand la composante tangen-

tielle est continue :

(221)

2.2.1.3 Différentes représentations des courants

Pour déterminer les phénomènes dus aux circuits électriquesréels, il est nécessaire d’introduire certaines notions ; nous défini-rons ainsi successivement les lignes de courant, un tube de courant,un élément de courant et un tube élémentaire de courant.

Les lignes de courant sont les lignes (figure 13) qui, en chaque

point, sont tangentes à la densité de courant .

Un tube de courant est la partie de l’espace située à l’intérieurde l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient sur une courbefermée Γ. Chaque section d’un tube est traversée par un courant demême intensité. Pour démontrer cette proposition, il suffit deconsidérer (figure 13) deux sections S1 et S2 de ce tube ; ces sec-tions et le tube lui-même déterminent un tronçon (de volume ),auquel on peut appliquer la relation (728) :

(222)

Le flux de au travers de la surface du tronçon est nul

puisque [(219)] ; le flux latéral étant obligatoirement nul

, on en déduit que les flux de au travers de S1 et

S2 sont égaux quand on choisit le même sens arbitraire pour les évaluer.

L’intensité du courant qui traverse, dans une direction précisée

portée sur les lignes de courant , une section Si quelconquedu tube :

(223)

est donc une constante.

H

B

rot H J=

div B 0=

B B H( )=

B B H( )=

B µ0H=

B v µ0H

A

m

A

div B 0=

B rot A=

A

BP rot P A( )P=

P

M

A

A

rot A

A A

A ∞( ) 0=

Figure 13 – Définitions des lignes de courant, d’un tube de courant, d’un tube élémentaire de courant et d’un élément de courant

div A

div A

A t

A t( )1 A t( )2=

J

div J d S ( )

J n s dS⋅=

J S ( )

div J 0=

J n s⋅ 0=( ) J

12 ou 21( )

ici 12( )

I12 Si

J n12 dS⋅=



La relation montre ainsi que tous les tubes de cou-rant sont obligatoirement fermés. Pour chaque tube, un contour

moyen orienté de façon arbitraire (figure 13) permet de définir

la normale unitaire [dans le sens choisi pour ] est d’obtenir

IC en utilisant une expression du type (223). On rappelle que

désigne un vecteur axial et un contour orienté.

Un élément de courant est un terme du type que l’onpeut mettre sous la forme :

(224)

la deuxième forme est obtenue en considérant le tube élémentairede courant dont fait partie l’élément considéré, tube à l’intérieur

duquel on choisit un contour moyen orienté de façon arbitraire ;l’élément d’intensité de courant a pour valeur :

quand dS désigne l’aire de la section droite du tube élémentaire au

point considéré, tandis que l’expression du vecteur est :

avec

Si le sens choisi pour est inversé, les nouveaux vecteurs

et sont opposés aux anciens, mais reste invariablepuisque dIc a changé de signe.

Un circuit réel est un tube de courant à l’intérieur duquel onpeut imaginer un grand nombre de tubes élémentaires de courant.

Nota : nous verrons (§ 2.2.2.3) que certaines relations simples ne s’appliquent qu’auxtubes élémentaires de courant et que, pour obtenir des relations pratiquement utiles (etdonc relatives aux circuits), il est nécessaire de considérer ceux-ci comme composés d’untrès grand nombre de tubes élémentaires de courant.

Pour un circuit quelconque , après avoir choisi un contour

moyen orienté , nous définirons avec la même orientation tous

les contours des différents tubes élémentaires fK du circuit K ;ce choix entraîne :

(225)

Il faut remarquer que les densités de courant et les éléments de courant ,comme les courants, sont des grandeurs intrinsèques, tandis que, pour ces courants, les élé-ments d’intensité et l’intensité IK dépendent, pour leur signe, d’une convention.

2.2.1.4 Variations d’énergie

À température T constante, la variation de la densité volumiqued’énergie libre de nature magnétostatique s’obtient à partir de (90) :

(226)

ce qui conduit, pour un système de volume , à une variationd’énergie [(220)] :

(227)

Quand tous les points de la surface qui limite le volume sont suffisamment éloignés des sources de champ (c’est-à-dire des

courants) et que la convention a été effectuée, uneintégration par parties conduit à une nouvelle forme [(731), l’inté-grale de surface tendant vers 0] :

(228)

plus intéressante que la première, parce qu’elle permet de faireintervenir l’ensemble des tubes élémentaires de courant.

Quand désigne le contour moyen orienté du tube f, ce quifixe, d’une part, le signe de l’intensité de courant dIcf (notée doré-

navant dIf pour simplifier) et, d’autre part, le sens de l’élément ,on peut alors écrire [(244)] :

(229)

la variation δΦcf (δ Φf pour simplifier) du flux d’induction étant définiepar [(729)] :

(230)

grâce à (220). Il ne faut pas oublier que dIf et δ Φ f dépendent du

sens choisi sur le tube élémentaire f.

L’énergie libre est utile pour résoudre les problèmes où T et

(donc les flux) sont maintenus constants.

En revanche, si T et (donc les courants) sont constants, il faututiliser l’énergie magnétique de Gibbs (92) qui correspond à :

(231)

soit [(731)] :

(232)

Les expressions générales que nous venons d’écrire neconcernent que les variations d’énergie et non les énergieselles-mêmes. Pour évaluer l’énergie relative à une situation donnée,au moyen de (232) par exemple, il faut imaginer que les densités de

courant sont apparues peu à peu ; chaque étape [k varie de 0 à 1] correspond à une répartition de potentiel vecteur

, d’où :

(233)

soit (234)

div J 0=

C( )

nC C( )

B

C( )

J d

J d dIc dc=

d

c( )

dIc J nc⋅ dS=

d c

d c n c dc=

dc tel que d dS dc=

c( )

nc

dc dIc dc

K

CK( )

c fK( )

IK dIfKf

∑ tous les tubes fK

= = dIfK

J J d

dIfK

δfm( )T Cte= H δB⋅=

δm( )T Cte= ,T Cte=

= H δ B d⋅

,T Cte=

= H rot δ A d⋅

S ( )

A ∞( ) 0=

δm( ) ∞→ ,T Cte=

∞→ ,T Cte=

= H δ B d⋅

∞→ ,T Cte=

= J δ A d⋅

cf( )

dcf

δm( )T Cte= tous les tubes f

cf( )

= dIf δA dcf⋅

fd= If δΦf

cf( )

δA dcf⋅ =S cf( )

δB dS⋅ δΦf=

c f( )

m

B

H

δgm B δH⋅–=

δm( ) ∞→ ,T Cte=

∞→ ,T Cte=–= B δH d⋅

∞→ ,T Cte=

–= δ J A d⋅ tous les tubes f

–= δ dIf Φf

J r( ) kJ r( )

A k,r( )

δm, k k δk+→ ∞, T→ Cte=

–= δk J r( ) A k, r( )d⋅

m k 0=

1

∞, T→ Cte=

= J r( ) A k, r( )d⋅ δk



2.2.1.5 Potentiel scalaire magnétique

Cette notion n’est valable que dans les régions où est nul ; dans

ce cas, la relation (219) devient , ce qui montre qu’il estpossible de poser [(725)] :

(235)

en introduisant le potentiel scalaire magnétique . Cette grandeurest un pseudo-scalaire, c’est-à-dire une quantité dont le signe changequand on passe d’un système d’axes à droite à un système d’axesà gauche.

2.2.2 Magnétostatique du vide

2.2.2.1 Équation de base

En axes orthogonaux, la relation (60) :

permet de combiner (219) et (220) en une seule relation :

(236)

ce qui fournit [(726)] :

(237)

En imposant (§ 2.2.1.2) :

(238)

on obtient :

(239)

qui correspond, pour des axes triorthogonaux et rectilignes, à troiséquations du type (avec i = x , y , z ) :

(240)

semblables à l’équation de Poisson (115) relative à l’électrostatique.Des conclusions analogues (théorème d’unicité) peuvent s’appliquerdans les mêmes conditions (§ 2.1.2.1).

2.2.2.2 Potentiel vecteur, induction et champ magnétiques

L’analogie entre (239) et l’équation de Poisson (115) permet

d’obtenir l’expression de relative au point P’ sous la forme (128) :

(241)

en faisant intervenir, le cas échéant, des densités superficielles de

courant .

Pour calculer [(220)] il faut dériver par rapport

aux coordonnées de P’ les composantes de , elles-mêmes

obtenues au moyen d’intégration relative aux coordonnées de P ;dans ces conditions, on a [(721) et (716)] :

(242)

Chaque élément de courant donne ainsi lieu à un élément

et (perpendiculaires au plan défini par ) dont lesens axial est celui dans lequel on voit passer le courant depuis lepoint d’observation P’ (figure 14).

En introduisant les tubes élémentaires (c’est-à-dire en rempla-

çant [(224)] les éléments ), les expressions (241)et (242) deviennent :

(243)

et (244)

Pour un tube élémentaire infini repéré par le vecteur unitaire ,on trouve ainsi, P0 étant le point du tube le plus proche de P’ :

(245)

résultat qui, dans cette géométrie idéalisée, s’obtient grâce authéorème d’Ampère :

Nous désignons par boucle élémentaire de courant un tubeélémentaire de courant dont l’étendue est assez petite pour que ladistance entre le point d’observation P’ et un point P quelconquede ce tube soit pratiquement une constante. Pour une telle boucle

, l’expression [(243)] :

(246)

peut par transformation mathématique se mettre sous laforme [(734)] :

(247)

m

J

rot H 0=

H grad m–=

m

B µ0 H=

rot 1µ0-------rotA J=

rot rotA( ) grad divA( ) ∆A– µ0 J= =

divA 0=

∆A µ0J+ 0=

∆Ai µ0Ji+ 0=

A

AP ′µ0

4π-------

J r P( )dP

PP ′--------------------------------=

S ( )

Js r P( ) dSP

PP ′--------------------------------+

µ0

4π---------

Js

BP ′ rotP ′= AP ′( )

AP ′

BP ′ µ0 HP ′=

µ0

4π--------

rotP ′= J r P( )

PP ′--------------------dP

µ0

4π-------+

S ( )

rotP ′ Js r P( )

PP ′-----------------------dSP

µ0

4π--------

J r P( ) PP ′

PP ′3

----------------- dP∧=µ0

4π--------

S ( )

Js r P( ) PP ′

PP ′3

-----------------dSP∧+

J d

dB

dH

PP ′ et J

J d par dId

A P ′ µ 0

4 π ---------

tous les tubes f

c

f

( )

d

P

PP

′ ---------------=

d I f

BP ′ µ0 HP ′µ0

4π---------

tous les tubes f

= = dPPP ′

PP ′ 3-----------------∧

cf( )

dIf

k

dBP ′ µ0dHP ′µ0dIk

2π-----------------

k P0P ′∧

P0P ′2

--------------------------= =

dHP ′ dIk 2π P0P ′=

c( )

d A P ′µ0dIc

4π-----------------

c( )

dP

PP ′----------------=

d AP ′µ0dIc

4π-----------------

S c( )

= dS gradP 1

PP ′---------------∧



elle peut se simplifier puisque le gradient de ne varie

pratiquement pas sur la surface délimitée par la boucle ; cegradient peut donc se mettre en facteur et l’intégrale ne porte plus

alors que sur . Le résultat est donc :

(248)

P pouvant désigner un point quelconque de .

Dans ces conditions (à grande distance ), la boucle élémentairede courant n’intervient plus que par l’intermédiaire de son momentmagnétique :

(249)

cette quantité est bien intrinsèque puisque le changement du sens

de repère sur le contour change le signe de dIc et de . Onpeut montrer que l’induction correspondante calculée à partir de :

(250)

est [(727) et (716)] :

(251)

la deuxième égalité n’étant valable que pour des points P et P’ dis-tincts, ce qui est toujours vrai puisque la boucle est examinée àgrande distance.

À titre d’exemple (figure 15), nous pouvons calculer le momentmagnétique dû à une sphère de densité uniforme de charge ρ, derayon R , tournant autour d’un de ses diamètres, la vitesse angu-

laire de ce mouvement étant caractérisée par le vecteur axial .La composante liée à la portion ds, située entre r et r + dr de l’axe

de rotation, d’un demi-cercle (d’où ) corres-

pond à avec dI = ρωr ds et S(r ) = πr 2 ; on en déduit :

(252)

en introduisant la charge totale de la sphère : .

2.2.2.3 Potentiel scalaire magnétique

Pour justifier la relation (235) (dans une région où est nul) etdéterminer l’expression de , il suffit d’abord de remarquer que,pour une boucle élémentaire à grande distance, le choix de [(716)] :

(253)

fournit, après le calcul de [(717), (725), (715), et (704)] :

(254)

l’expression déjà obtenue (251) à partir de .

En remarquant ensuite que l’induction magnétique produite parun tube élémentaire de courant d’intensité dI (figure 16a ) est iden-tique à l’induction due à l’ensemble de deux tubes élémentaires (demême intensité dI ) bien disposés et bien orientés (figure 16b ), leseffets liés au parcours commun AB s’annulant, on arrive à montrerqu’une association de boucles élémentaires (figure 16c ) bienchoisies (avec toujours la même intensité dI ) correspond aux mêmeseffets magnétiques que ceux dus à un tube élémentaire. Il suffit alorsde considérer une somme de termes analogues à (253) et relatifs àces boucles élémentaires pour obtenir le potentiel magnétique relatifau tube élémentaire considéré, une nouvelle somme conduisant aupotentiel magnétique qui caractérise un circuit. Pour que la méthodesoit correcte, il faut que l’approximation (248) soit valable,c’est-à-dire que la distance entre un point d’observation et uneboucle élémentaire soit toujours très grande devant les diamètresde cette boucle, quel que soit le point, et quelle que soit la boucle.

Une autre façon d’utiliser la relation (235) est de remarquer l’ana-logie (pour leur évaluation à grande distance) entre le potentielélectrostatique dû à un dipôle [(166)] et le potentiel scalairemagnétique relatif à une boucle de courant [(253)], le moment dipo-

laire (165), d’une part, et le moment magnétique

, d’autre part, jouant des rôles semblables. Entraîné par cetteanalogie, on peut être tenté d’écrire :

(255)

en introduisant ainsi un dipôle magnétique formé de deux massesmagnétiques opposées (|m*| au point P+, – |m*| au point P– ). Cesmasses magnétiques, définies par (255), ne traduisent pas bien laréalité physique. Elles ont d’abord contre elles leur caractèrepseudo-scalaire : il suffit de passer d’un système d’axes à droite (d )à un système d’axes à gauche (g) pour permuter le signe des masses.

1 PP ′( )

S c( )

dS

d A P ′µ0

4π---------dIcS c( ) grad P

1

PP′---------------∧≈

S c( )

dP dIcS c( )=

c( ) S c( )

d AP ′µ0

4π--------dP grad P 1

PP ′---------------∧=

µ0

4π-------- grad P ′= 1

PP ′--------------- dP∧

dBP ′ rotP ′ d AP ′( )µ0

4π-------- 3 dP PP ′⋅

PP ′5

------------------------------ PP ′dP

PP ′3

-------------------–= =

ω

ds 2 R2 r 2– dr=

dI S r( )

0

R

ρ ω r( ) π r 2( ) 2 R 2 r 2– dr( )=

4π ρR 5

15--------------------- ω=

QR 2

5-------------- ω=

Q 43

------ πR 3ρ=

m

Jm

dm( )P ′ 14

π --------- d P grad P ′ 1

PP

′ --------------- ⋅ –=

14

π

---------

d

P

PP

′

PP

′

3

-----------------

⋅

=

dBP ′ µ0dHP ′ µ– 0 grad P ′ dm( )P ′= =

dAP ′

Figure 14 – Détermination du caractère axial de

Figure 15 – Détermination du moment magnétique d’une sphère(de densité uniforme ) tournant autour d’un de ses diamètres

dH

p Q M–M+=

m* P– P+=



La figure

17

donne la représentation axiale intrinsèque avec les deuxreprésentations (d et g) dipolaires. La figure

18

met en évidence une

autre critique, seul le produit étant défini.

Historiquement, Maxwell a développé les analogies entre

(d’où les appellations communesde

champs

). On sait maintenant que ces analogies ne sont pas jus-tifiées puisque les doctrines relativistes – exigeant l’utilisation dequatre dimensions – montrent qu’il faut considérer deux tenseurs

dont nous avons indiqué les

composantes

,

, relatives à l’espace à trois dimensions. Maxwellfaisait ainsi correspondre aux charges électriques

Q

les massesmagnétiques

m

* avec un potentiel magnétique du type (128) :

(256)

où désignent respectivement les densités volumique et

superficielle de masses magnétiques.

On passe ainsi de l’expression du potentiel électrostatique valabledans un milieu vide à la relation (256) en remplaçant

V

par ,

ρ

/

ε

0

par .

Les correspondances suivantes sont alors immédiates :

(115)

(257)

(103) et (114)

(258)

(59) et (36)

(259)

Nota :

les critiques que nous avons effectuées au sujet de la réalité physique des massesmagnétiques ne doivent pas empêcher l’usage des expressions (256), (257), (258), et (259)quand elles conduisent [cas des systèmes d’aimants permanents par exemple (cf. article[D 2 090]

Aimants permanents. Principes et circuits magnétiques

)] à des calculs plus simples

que ceux relatifs à l’utilisation du potentiel vecteur .

2.2.2.4 Énergies

Dans le cas du vide, à température constante, la variation de ladensité d’énergie libre due aux phénomènes purement magnétiques[(226) et (60)] :

(260)

peut être intégrée et fournit :

(261)

en admettant que

f

m

(

T

,

B

= 0) est nul.

L’énergie est alors [(228) et (229)] :

(262)

le flux

Φ

f

relatif au tube élémentaire f [dont le contour moyen est

repéré par ] est défini, d’après (230), par :

(263)

Figure 16 – Tubes et boucles élémentaires de courant

Figure 17 – Comparaison entre la représentation axiale intrinsèque

d’un moment magnétique et sa

traduction

en utilisant soitun système d’axes à droite (d), soit un système d’axes à gauche (g)

Figure 18 – La traduction n’est pas univoque

m* P–P+

d de

E grad V et H– grad m–= =

B, E( ) et H, D( )

B et E , H et D

m( )P ′1

4π--------- ρm

*( )P

PP ′--------------- dP

14π--------- σm

*( )P

PP ′--------------- dSP+=

ρ*m et σ*m

mρ*m et σ /ε0 par σ*m

∆Vρε0-------+ 0= → ∆m ρm

*+ 0=

div Eρε0-------= → div H ρm

*=

E1 E2 – n21⋅ σε0-------= → H1 H2–( ) n21⋅ σ*m=

A

δfm( )T Cte= H δB⋅ Bµ0------- δB⋅= =

fm T, B( ) 1µ0-------

0

B

B ′ δB ′⋅=B 2

2µ0-----------= B H⋅

2------------

µ0 H 2

2---------------= =

m

m ∞, T→ Cte=

= B 2

2µ0-----------d =

∞, T→ Cte=

J A⋅2

------------------d12------=

tous les tubes f

dIf Φf

c f( )

Φf cf( )

= A d⋅ S cf( )

B dS⋅=



En introduisant, dans (262), l’expression (241) de , l’énergie librepeut se mettre sous la forme plus symétrique :

(264)

soit, encore, en faisant intervenir les tubes élémentaires decourant [(224)] :

(265)

L’énergie libre d’interaction entre les tubes élémentaires f et g estdonc :

(266)

en faisant intervenir l’inductance mutuelle :

(267)

En résumé, nous avons trois moyens équivalents d’exprimerl’énergie libre :

(268)

Nous rappelons que, pour chaque tube, dI et sont mesurés parrapport au sens de parcours arbitraire choisi sur le contour moyen

correspondant .

L’énergie de Gibbs magnétique s’obtient, dans les mêmes condi-tions, par :

(269)

2.2.2.5 Forces

Dans un espace vide où circulent des courants qui sont maintenus

constants, nous cherchons à évaluer la force qui s’exerce sur

un élément d’un tube élémentaire decourant en considérant deux configurations α et β (figure 19) qui

ne diffèrent que par la translation de cet élément ; dansla position β, les branches PP’ et S’S sont nécessaires pour assurer

le passage du courant conformément au bon sens (et à ).L’ensemble des courants étant maintenu constant, la force seraobtenue grâce à [(101)] :

(270)

où est la variation de l’énergie de Gibbs du système lors dupassage de l’état α à l’état β, soit [(232)] :

(271)

Les variations n’affectant que le contour infiniment petit

PP’S’S, les valeurs de nécessaires pour le calcul de sont

pratiquement constantes dans chaque état : et

. Le potentiel vecteur est dû à l’ensemble descourants ; la contribution du tube élémentaire considéré (liée à dIc)est donc aussi faible que l’on désire, ce qui montre que

.

Il est donc possible d’écrire, en sortant de l’intégrale :

(272)

où la dernière forme est obtenue en remarquant que le passage de

α à β s’effectue en supprimant et en ajoutant

.

La transformation en une intégrale de contour [(230)] :

(273)

permet de faire intervenir le flux de au travers de la surface

limitée par le contour PP’S’SP (figure 19) parcouru dans le

sens :

(274)

D’après (270) et (273), la force (dénommée force de Laplace) estainsi :

(275)

Le travail de cette force :

(276)

montre le rôle du flux dΦc de au travers de la surface ;si on se borne à indiquer qu’il s’agit du flux coupé, aucun rensei-gnement sur le signe n’est fourni.

A

m12-----

P ′

J P ′ A P ′⋅= dP ′µ0

8π-------=

P

P ′

J P J P ′⋅

PP′---------------------- dP dP ′

mµ0

8π---------

tous les tubes f

tous les tubes g

cf( ),P

cg( ), P ′

dP dP ′⋅

PP′----------------------------= dIf dIg

12----- dIf dIgmfg

mfgµ0

4π-------

cf( ), P

cg( ), P ′

=dP dP ′⋅

PP ′----------------------------- mgf=

m

m12-----

tous les tubes

= dIf Φfµ0

8π-------=

P

P ′

J P J P ′⋅

PP ′---------------------- dP dP ′

12-----

f

g

= mfgdIf dIg

d

c( )

m m–=

dFP

J d dIc dc dIc PS= =

δP PP ′=

div J 0=

dFP δP δm+⋅ 0=

Figure 19 – Évaluation de la force s’exerçant sur un élément de courant

δm

δm mβ mα– A δJ d⋅–= =

δJ

A r( ) δm

A r , α( ) A P, α( )≈A r , β( ) A P, β( )≈ A

A P, α( ) A P, β( ) A P( )≈ ≈A P( )

δm = A δ J d⋅– = A dIc PP ′ P ′S ′ S ′S PS–+ +[ ]⋅–

dIc PS

dIc PP ′ P ′S ′ S ′S+ +( )

δm dIc PP ′S ′SP

A d⋅ dIc B δP dc∧( )⋅–=–=

d I c d c B ∧( ) δ P ⋅ –=

B

δdS

PP ′S ′SP

δdS PP ′ PS∧ δP dc∧= =

dFP dIc dc B∧=

d2δt dFP δP⋅ δm– dIcB δP dc∧( )⋅ dIcdΦc= = = =

B

δP dc∧



L’adaptation de l’expression (275) montre, avec (224), que ladensité volumique de force est :

(277)

Pour une particule de charge

q

k

et de vitesse (ce qui corres-

pond à un élément de courant ), la force magnétique est donc :

(278)

Il est intéressant de déterminer la force s’exerçant sur un élément

de courant situé au point P’ (figure

20

) et due à un tube élé-

mentaire rectiligne de courant défini par le vecteur unitaire et P

0

, le point de ce tube le plus proche de P’. Elle s’obtient [(245)]au moyen de :

(279)

Dans le cas simple où est parallèle à , il vient :

(280)

ce qui montre qu’il y a attraction, tandis qu’il se manifeste évidem-

ment une répulsion quand sont antiparallèles.

2.2.2.6 Tenseur magnétostatique de Maxwell

Comme en électrostatique, on peut introduire le tenseur deMaxwell en cherchant à calculer chaque composante de la force

magnétostatique qui s’exerce sur un certain volume au moyend’une intégrale s’appliquant à la surface qui limite ce volume,soit :

(281)

Pour que cette égalité soit satisfaite, il faut que [(707)] :

(282)

On aboutit finalement à :

(283)

forme très proche de celle qui a été obtenue en électrostatique[(152)]. De même, la force qui agit sur un volume est [(159)] :

(284)

2.2.3 Circuits électriques dans le vide

Quand aucune substance magnétique n’existe dans un système,

nous avons en tout point (valable dans du cuivre parexemple) et les expressions relatives à la magnétostatique du videsont encore valables. La seule difficulté est de passer de ces expres-sions, faisant intervenir les densités de courant et les tubes élémen-taires de courant, à une formulation utile pour les ingénieurs quiconsidèrent comme variables de base les intensités des courants quicirculent dans les différents circuits.

Au cours de l’exposé nous distinguerons (figure

21

) :— le circuit électrique constitué d’un volume fini de

matière ;— le contour moyen filiforme C

K

du circuit ;— les tubes élémentaires fK (de section transversale d

S

infinimentpetite) de ; l’ensemble des tubes fK est équivalent au circuit .

Figure 20 – Détermination de la force s’exerçant sur un élémentde courant situé au point P’

f PdF P

d------------ J B∧= =

vk

qk vk

Fk qk vk B∧=

dI ′c d ′c

k , dIk k

d2FP ′ dI ′c d ′c µ0dIk

2π------------------

k P0P ′∧

P0P ′2

---------------------------∧=

µ0dI ′cd Ik

2π P0P ′2

--------------------------- d′c P0P ′⋅( ) k d′c k⋅( ) P0P ′–[ ]=

dI ′c d ′c dIkk

d FP ′µ0dI ′cd Ik

2π P0P ′2

--------------------------- d′c k⋅( )P0P ′–=

dI ′c d ′c et dIk k

Fm

S ( )

Fx

fxd S ( )

Tx ns dS⋅= =

Figure 21 – Circuit électrique dans le vide

fx JyBz JzBy– div Tx∂Txx

∂x-------------

∂Txy

∂y--------------

∂Txz

∂z--------------+ += = =

Tij µ0 HiHj12-----δij H

2–=

Fm S ( )

= µ0H H n s⋅( ) 12----- µ0 H 2 n s dS–

B µ0H=

K K

K

K K



Le même sens arbitraire est choisi sur ( ) et sur tous les contours

moyens des tubes élémentaires ; c’est ce sens qui permet dedéfinir IK et les dIfK ; nous avons donc [(225)] :

(285)

C’est toujours le même sens qui introduira les flux Φ fK relatifs aux

ainsi que le flux ΦK correspondant au circuit .

2.2.3.1 Expression simplifiée du potentiel vecteur

Dans l’expression du potentiel vecteur relatif à un circuit ,donné, d’après (243), par :

(286)

la contribution du tronçon peut se simplifier, si, pour le point

d’observation , les différentes distances correspondant à ce

tronçon , relatives aux différents tubes élémentaires

f K, gK ..., sont pratiquement les mêmes. Nous pouvons alors écrirepour ce tronçon :

(287)

et faire apparaître ainsi l’intensité IK [évaluée selon ] du courantrelatif au circuit .

Si tous les tronçons du circuit ont la même propriété (dimensionstransversales faibles devant la distance entre ce tronçon et le pointd’observation), le potentiel vecteur devient ainsi :

(288)

et tout se passe comme si le courant circulait sur le contour moyen. Pour le point , cette simplification n’est pas valable et à plus

forte raison pour un point situé à l’intérieur du circuit

lui-même.

2.2.3.2 FLux d’induction au travers d’un circuit.Inductances propre et mutuelles

Le flux de l’induction magnétique au travers d’un circuit électriqueest une notion importante. Sa définition précise est délicate parceque, d’une part, un circuit électrique réel possède toujours desdimensions transversales et que, d’autre part, on ne sait définirfacilement que le flux au travers d’un contour fermé filiforme sansépaisseur [(25)]. Sans précaution, si on assimile le circuit à soncontour moyen on obtient, selon les circonstances, des résultatscorrects ou complètement aberrants (298).

La meilleure façon de définir les flux est de passer par un inter-médiaire énergétique. Pour cela, extrayons, dans les différentesexpressions de l’énergie libre magnétique [(268)], la quantité liéeau volume du circuit soit :

(289)

Les flux ΦfK dépendent du tube élémentaire fK considéré ; le flux

Φ K relatif au circuit électrique ne peut donc être défini que parune moyenne. En adoptant [(285)] :

(290)

la première intégrale de (289) conduit à :

(291)

Les flux Φ fK sont dus aux courants circulant soit dans le circuit

électrique lui-même, soit dans les autres circuits ( parexemple).

Dans (289), la contribution relative à :

(292)

permet de définir le flux propre ΦKK et l’inductance propre LK parΦKK = LKIK , les grandeurs ΦKK et IK étant évaluées à partir du même

sens repéré . La partie de concernant le circuit , soit :

(293)

introduit l’inductance mutuelle MKJ [la structure mathématiquede (293) montre que MKJ = MJK] ainsi que l’élément ΦKJ = MKJ IJdu flux extérieur ΦK ext, défini par l’intermédiaire de :

(294)

CK

cfK( )

IK tous les tubes fK

= dIfK

cfK( )K

K

A P ′( )Kµ0

4π---------

tous les tubes fK

cf( )

= dIfKdR( )fK

PP ′---------------------

dR

P′1

PfP ′1 , PgP ′1

fK

dIfKdR( )fK

PfP ′1------------------------ dR

PP ′1-----------------

fK

≈ dIfKdR

PP ′1-----------------IK=

CK( )

K

(AP ′1)K

µ0IK

4π--------------

CK( )

d R

PP ′1------------------=

K P′2P′3 K

mK K

mK12-----

tubes fK

= dIfKΦfKµ0

8π---------

K P( )

= ∞ P ′( )

J P JP ′⋅

PP ′----------------------dPdP ′

12-----=

tubes fK

tous les tubes g

mfK, gdIfKdIg

K

ΦK

fKdIfKΦfK

fK

dIfK

-------------------------------------

fKdIfKΦfK

IK

-------------------------------------= =

mK12----- IKΦK=

K J

mK K

µ0

8π---------

K P( )

K P ′( )

J P JP ′⋅

PP ′---------------------- dP dP ′

12-----

tubes fK

tubes gK

= mfK, gK dIfK dIgK12-----IKΦKK

12-----L KI K

2= =

CK( )

mK J

µ0

8π---------

K P( )

J P ′( )

J P JP ′⋅

PP ′---------------------- dP dP ′

12-----

tubes fK

tubes gJ

= mfK, gJ dIfKdIgJ

12-----IK ΦKJ=

12-----MKJ IK IJ=

ΦK ΦKK ΦK ext+ LKIK + J K MKJIJ≠∑= =



Pour le calcul des inductances mutuelles, une simplification inter-vient quand, à l’échelle des dimensions transversales des circuits,tous les points du circuit K sont très éloignés de tous les points du

circuit J. Pour un tronçon du premier et un tronçon dudeuxième, la contribution correspondante de mfK, gJ ne varie alorspratiquement pas quels que soient les tubes élémentaires fK et gJ

considérés ; les intensités de courant IK et IJ

peuvent donc se mettre en facteur. D’après l’hypothèse effectuée,cela peut être fait pour tous les couples de tronçons et, parconséquent :

MKJ IK IJ = IK IJ m K,J (295)

où m K, J n’a ni indice f, ni indice g ; cela donne [(267)] :

(296)

où il n’intervient plus que les contours moyens des

circuits . Dans la littérature, on trouve toujours cette expres-

sion, mais il importe de bien remarquer ses conditions de validité.

Pour les inductances propres, une transformation analogue est

impossible (il existe une infinité de couples de tronçons ,

qui sont confondus, d’où ) et l’adaptation de l’expression(296) fournirait l’infini ! Le calcul des inductances propres esttoujours pénible (nous n’en reproduirons donc aucun).

À titre d’exemple, l’inductance propre d’un tore circulaire (rayonde la fibre moyenne R, section circulaire du tore π r 2 ) est :

(297)

quand on suppose que la densité de courant est uniforme danschaque plan axial et que .

Une façon erronée de définir le flux relatif à un circuit électrique, par exemple, est de considérer son contour moyen et

d’écrire [(25)] :

(298)

et de poursuivre en supposant que les expressions simplifiées de

sont toujours valables, d’où :

(299)

On retrouve ainsi, pour ΦKJ (avec ), l’expression de MKJ (quenous savons valable seulement dans certaines conditions) tandis quepour ΦKK , l’expression diverge comme nous l’avons déjà indiqué ;l’expression (298) n’est donc pas correcte puisqu’elle conduit à desabsurdités. Si son usage est restreint au flux extérieur, elle peutdonner des résultats corrects [(296)] pour des circuits dont toutesles distances relatives sont très grandes devant leurs dimensionstransversales.

2.2.3.3 Énergies

D’après les bonnes définitions (292) et (293) des inductancespropres et mutuelles, l’énergie libre magnétique (268) est égaleà [(289)] :

(300)

Dans la dernière expression, le facteur 1/2 du terme concernantles mutuelles a disparu par l’intermédiaire de deux procédés : d’unepart, nous savons que M KJ = MJK et, d’autre part, l’indice prime àcôté du symbole de sommation indique qu’un couple JK bien déter-miné ne doit être considéré qu’une fois.

À titre d’exemple, l’énergie libre pour deux circuits est :

(301)

L’énergie de Gibbs magnétique s’obtient par :

(302)

2.2.3.4 Forces

Quand les différents courants sont maintenus constants, le travail

de la force qui agit sur un élément du circuit K ne peut pas s’obte-nir par une généralisation abusive de l’expression (276) :

concernant le déplacement d’un tronçon d’un tubeélémentaire. La difficulté est liée à la nécessité de bien distinguer

dans ce qui est lié au circuit K lui-même et ce qui est dû auxautres circuits. La considération des inductances mutuelles m fK, gJentre les différents tubes élémentaires permet d’aboutir à :

(303)

Dans cette expression le symbole d est relatif au tronçon considéré

du circuit K tandis que δ concerne le déplacement de ce tronçon ;l’expression dδKΦ signifie qu’il ne faut considérer que la variation

de Φ due à la déformation [déplacement du tronçon (§ 2.2.2.5 et figure 19)] du circuit K en excluant ce qui concerne soitles déformations des autres circuits, soit les variations des différentscourants. La force et le couple mis en jeu s’obtiennent à partir dugradient convenable de .

Le travail de la force agissant sur l’ensemble du circuit K, quandles différents courants sont maintenus constants :

(304)

est obtenu directement à partir de (303). Par ailleurs, nous savons[(101)] que, dans ce cas :

(305)

dP dS

PfSg PS≈( )

MKJµ0

4π--------

CK( ), P

CJ( ), S

=dP dS⋅

PS-----------------------------

CK( ) et CJ( )

K et J

dP , dS

PS 0=

L µ0R 8Rr

--------- 74-----–ln≈

R r

K

ΦK S CK( )

B dS⋅= CK( )

A P d P⋅=!

A

ΦKµ0

4π-------- IJ

J∑

CK( ), P

CJ( ), P ′

=dP dP′⋅

PP ′----------------------------- ΦKK ΦKJ

JvK∑+=!!

JvK

m mKK∑ 1

2-----LKI K

2 MKJ IKIJJvK∑+

K∑= =

12----- LKI K

2 ′ MKJ IK IJJvK∑+

K∑=

m12-----L1I 1

2 12-----L2 I 2

2 M12I1I2++=

m m–=

d

d2 δt dIB δP d∧( )⋅=

δP d

B

dδtK12-----IK dδKΦKK IK dδKΦ Kext+=

d

d de δP

dδt

δtK12-----I K

2 δLK IKIJδKMKJJvK∑+=

δtK δKm+ 0=


où est la variation de l’énergie de Gibbs magnétique corres-

pondant au déplacement et à la déformation du circuit K. Larelation (302) fournit alors :

(306)

ce qui redonne (303) via (300).

2.2.4 Matériaux magnétiques

Les matériaux magnétiques (dans lesquels la relation n’est pas valable) font l’objet de plusieurs articles dans les Tech-niques de l’Ingénieur, soit sur des phénomènes de base [4] [5] soitsur les différents types de substances [6] [7], soit sur les différentesutilisations [8] [9].

Nous ne donnerons donc que la description des phénomènes debase en nous consacrant toutefois essentiellement aux corps ferro-

magnétiques dans lesquels le rapport peut atteindre 104,

105... ce qui montre leur intérêt en électrotechnique.

2.2.4.1 Aimantation macroscopique et aimantation à saturation Ms(T )

Ces deux grandeurs sont très souvent désignées par« aimantation » sans précisions, ce qui facilite de dangereusesconfusions. Leur distinction exige une analyse un peu détaillée desphénomènes.

L’aimantation macroscopique , la seule qui intéresse endéfinitive l’ingénieur, est classiquement définie (dans le systèmelégal et avec les normes internationales) par :

(307)

Cette définition est toujours valable même si est une fonction

compliquée de et de l’histoire de l’échantillon ; néanmoins, pourles matériaux utilisés en électrotechnique, il vaudrait mieux

remplacer la notation par la moyenne spatiale [(311)], pourobliger le lecteur à penser à la véritable nature des phénomènesphysiques.

Une autre définition – sujette à caution (§ 2.2.4.2) – consiste à

dire que est la densité volumique de moment magnétique :

(308)

où nous rappelons que le moment magnétique d’une boucle de

courant est défini par (249) et peut donc se mesurer en

A · m2.

Pour bien comprendre ce qui se cache derrière l’aimantationmacroscopique, il est nécessaire de considérer la matière à diffé-rentes échelles et suivant plusieurs points de vue.

Les propriétés magnétiques des corps utiles en électrotechniquesont dues aux moments magnétiques liés au spin des électrons. Lamoins mauvaise image non quantique que l’on puisse évoquer àce sujet consiste à dire que le spin d’un électron correspond à larotation de celui-ci sur lui-même, ce qui entraîne la création d’unmoment magnétique puisque l’électron possède une charge[§ 2.2.2.2 et (252)]. On montre que ce moment magnétique a unmodule (magnéton de Bohr ) égal à :

(309)

où q et me désignent respectivement la valeur absolue de la chargeet la masse de l’électron.

La présence de la constante de Planck h montre qu’il est illusoirede donner une explication non quantique du spin. En simplifiant,les spins des électrons correspondant à un atome ne peuventprendre que deux directions opposées ; dans la plupart des maté-riaux (cuivre, aluminium, etc), il y a équipartition pour chaque atomedes deux types de population d’électrons (ceux avec un spin dansune direction et ceux avec un spin dans la direction opposée) etaucun effet n’apparaît à l’échelle atomique ; pour quelques solidesparticuliers (fer, cobalt, nickel, certaines terres rares), on montre qu’ilexiste une différence entre ces deux populations, ce qui entraînel’existence d’un moment magnétique par atome µat non nul.

L’aimantation à saturation Ms(T ) [(313)] est définie en faisantintervenir la concentration Nat des atomes et la valeur moyennespatiale des moments magnétiques atomiques :

(310)

δ Km

δtK + δKm=

B µ0 H=

B µ0 H

M

M

B µ0 H M+( )=

M

H

M

<M>

M

M d / d=

d dI S=

µBhq

4πme----------------- 0,927 10 23–⋅ A m2⋅= =

Dans le cas du fer, par exemple, et à la température de 0 K, tout sepasse comme si µat = 2,22 µB ; à cette température, la minimisation de

l’énergie montre que, dans une petite région, tous les ont la même

direction repérée par un vecteur unitaire . La figure 22a donne uneimage (à deux dimensions) de cette disposition.

Quand on élève la température de l’échantillon, la figure d’équilibre(figure 22b ) n’est plus la même, certains moments ayant changé de

direction . Ce phénomène se poursuit (figure 22c

et d ) jusqu’à la température de Curie TC où les sontéquirépartis.

Figure 22 – Réseau carré plan donnant une image,dans un espace à deux dimensions, du réseau cubique du fer

µat

k

µat k µat k–→( )

µat k et µatk–

<µ>r

T( )

Ms T( )k <µ>r

T( )[ ]Nat=


Dans la représentation schématique de la figure 22, relative aufer, nous avons ainsi :

La figure 23 fournit la courbe expérimentale relative au feravec Ms(0) = (2,22 × 0,927 · 10–23 A · m2) 8,58 · 1028 m–3 = 17,66 · 105

A · m–1.

La tangente horizontale à T = 0 montre que l’ordre maintientl’ordre tandis que la tangente verticale à T = TC – 0 indique que,une fois un certain désordre installé, la situation ne fait qu’empirer(ces remarques ne s’appliquent pas seulement aux corps ferro-magnétiques).

2.2.4.2 Domaines de Weiss

En consultant la figure 23 qui donne une aimantation Ms (T )largement non nulle à la température ambiante (300 K), le lecteurpeut être gêné parce qu’il sait très bien, par ailleurs, que, à cettetempérature, un morceau de fer est bien loin de constituer en généralun aimant. En 1907, P. Weiss, pour échapper à ce dilemme a introduitla notion de domaine.

Un domaine est une région où l’aimantation est uniforme, cette

aimantation Ms(T ) étant caractérisée par un vecteur unitaire ;de part et d’autre de la paroi séparant deux domaines i et j, les direc-

tions de sont différentes.

Dans un domaine, l’énergie dépend de l’orientation de parrapport au réseau cristallin du corps considéré ; l’orientation des

vecteurs ne peut donc être quelconque. Le fer cristallise toujoursdans un système cubique. Dans l’image que fournit la figure 25a, lesions sont rangés dans un système carré plan, les directions de plusfacile aimantation du fer sont alors celles des droites en double trait(côtés des carrés), les directions de plus difficile aimantation, cellesdes droites en tireté (diagonales des carrés).

Un morceau de matière quelconque se présente en général sousforme d’un polycristal formé de monocristaux ; dans un mono-cristal, tous les plans de même nature sont parallèles entre eux ; àtitre d’images (toujours à deux dimensions), la figure 24 représenteun polycristal composé de trois monocristaux : dans chacun d’eux,les côtés des carrés ne correspondent qu’à deux directions. Unmonocristal (les métallurgistes disent un grain ) comprend un ou

plusieurs domaines dont les vecteurs sont bien orientés par rap-port au réseau cristallin de ce monocristal ; sauf cas exceptionnel, undomaine n’est pas commun à plusieurs monocristaux.

Un morceau de matière correspond ainsi, en général, à un trèsgrand nombre de domaines.

Il n’existe pas de lien entre le champ magnétique et la rela-tion Ms (T ) définissant l’aimantation à saturation ; la distinctionentre cette aimantation Ms (T ) et l’aimantation macroscopique

est donc essentielle, puisque dépend de façon plus ou

moins compliquée de et de l’histoire de son application.

Ms 0( ) Nat µat ;=

Ms T2( ) 1/3( )Nat µat ;= Ms T1( ) 5/6( )Nat µat=

Ms T TC( ) 0=

H

M

M

H

k

k

ki et kj

k

k

k

Figure 23 – Variation, en coordonnées réduites, de l’aimantationà saturation Ms(T ) du fer en fonction de la température

Figure 24 – Représentation schématique d’un polycristalcomportant trois monocristaux

Figure 25 – Influence de la direction du champ magnétique sur l’aimantation d’un monocristal de fer

H


L’aimantation moyenne spatiale < > d’un volume dematière dans lequel se trouve n domaines est :

(311)

quand, à la température T considérée, le domaine i (par exemple)

est caractérisé par son volume , son vecteur unitaire et donc

son aimantation .

La figure 25b fournit les courbes d’aimantation macro-scopique :

(312)

(avec ) d’un monocristal de fer où est orienté (figure 25a )soit dans la meilleure direction (H= ), soit dans la pire (H– – ).

À titre d’exemple, nous avons représenté sur la figure 26, pourun champ magnétique nul (H = 0), la coupe par un plan z = Cte(aucune propriété ne variant en fonction de z ) d’un monocristal de

fer à T < TC pour lequel < > est nul ; dans chaque domaine i, une

flèche donne la représentation en axes à droite de .

Les formes des domaines, d’abord établies théoriquement[Bn1 = Bn2 entraîne Mn1 = Mn2 , ce qui s’observe à chaque paroi, tan-dis que Mn = 0 sur les faces libres entraîne Bn = 0, ce qui correspondà l’absence de lignes de flux à l’extérieur et à la minimisation del’énergie] ont été ensuite justifiées (1933) par les techniquesexpérimentales permettant de mettre en évidence les limites desdomaines.

Conclusion : l’expression (311) montre que, à la température T :

(313)

l’égalité n’étant atteinte que dans le cas où le morceau de matièreconsidéré ne comporte qu’un seul domaine ; c’est la relation (313)qui justifie l’expression d’aimantation à saturation pour Ms (T ).

L’aimantation macroscopique, définie par (308) :

ne peut avoir de sens que si l’élément de volume contient ungrand nombre de domaines. À titre d’exemple, dans les tôles de fer-silicium, les dimensions des domaines sont de l’ordre de 0,3 mm,la plage couverte s’étendant, sauf cas exceptionnel, de 0,1 à 1 mm ;chaque domaine est en général étendu sur toute l’épaisseur de latôle. La description de la matière aimantée par une aimantation (il

faudrait dire aimantation macroscopique ) définie en toutpoint est donc conventionnelle et assez souvent arbitraire ; il en estdonc de même pour la relation classique (307) :

qui donne une idée faussement précise sur les variations spatiales

de .

2.2.4.3 Courbes d’aimantation et cycles d’hystérésis

L’application d’un champ magnétique à un corps ferromagnétiqueprovoque soit des variations de l’étendue des domaines de Weiss,

soit le brusque changement de sens du vecteur caractéristique de certains domaines.

Sur la figure 27, nous avons représenté, extrêmement schéma-tiquement (la figure 26 fournissant une représentation plus réaliste),la situation relative à un monocristal de fer (ne comprenant quedeux domaines) soumis à plusieurs conditions :

a ) le champ appliqué est nul et ;

b ) le champ appliqué (avec H1 > 0) favorise le

domaine où (il y a ainsi diminution de l’énergie), d’où

; les détails indiqués sur la figuremontrent que [(311)] :

c ) le champ appliqué favorise le domaine

où ; pour lafigure M2 = – Ms /3.

Nous voyons ainsi comment les variations de l’étendue desdomaines (on parle plutôt du déplacement de leurs parois )

entraînent des variations de l’aimantation (et de l’aimantation

macroscopique si les éléments ne sont pas trop petits).

On conçoit aussi que le brusque changement de sens de l’aiman-

tation caractéristique de l’ensemble d’un domaine (passage de

à sans déplacement de paroi ) conduit à une brusque varia-

tion de ; ce dernier processus est plus difficile à mettre enœuvre que celui lié aux déplacements de paroi (parce que les éner-gies nécessaires sont plus élevées) et n’apparaît donc que pour leschamps H assez intenses.

La théorie et l’expérience montrent que la transition entre les orien-

tations moyennes des moments atomiques de deuxdomaines voisins α et β ne peut s’effectuer qu’en une tranche d’unecertaine épaisseur : pour, par exemple, les domaines 1 et 2 de la

figure 26, le passage de nécessite une épaisseur ∆y.C’est pour cette raison que l’on a introduit la notion de paroi : cesparois de Bloch séparent les domaines de Weiss. L’épaisseur des

Figure 26 – Représentation schématique des domaines de Weiss dans un monocristal de fer

M

<M> Ms T( )

i k in∑

in∑

-------------------=

i ki

Ms T( )ki

<M> H( ) <M> H( )[ ] HH------⋅=

H H=

H

M

ki

<M> Ms T( )

M d /d=

d

M r( )

B r( ) µ0 H r( ) M r( )+[ ]=

B

k

H

<M> 0=

H H1 k=

M +Ms k=

<M> M1 k avec 0 M1< Ms=

M1 Ms 3/2( ) /2( )–[ ]/2 Ms /2= =

H H2 k (avec H2 0)<=

M Ms k , d ′où <M>– M2k avec Ms M2 0<–= =

<M>

M

d

Ms ki

M– s ki

<M>

kα et kβ

k1 à k2 k1–=

parois dépend de plusieurs phénomènes ; l’ordre de grandeurtypique pour le fer à l’ambiante est de 0,1 µm (soit quelques cen-taines de couches atomiques). Sur la figure 26, la trace de la paroide Bloch entre les domaines 1 et 2, qui devrait correspondre à unrectangle (de côté AB selon Ox, de côté ∆y ≈ 0,1 µm selon Oy ), n’apu être ainsi schématisée que par le segment AB.

Dans un milieu idéalement homogène, l’énergie propre à la paroiest la même quelle que soit sa position ; dans un matériau réel, aucontraire, il existe toujours, par suite de défauts d’homogénéité(subis ou provoqués, § 2.4.4.4, des régions où la paroi présente uneénergie plus élevée que dans d’autres. Si, lors du passage du champ

appliqué de , la paroi se trouve en présence d’unetelle région, elle aura tendance à rester sur place (d’où une variation

très faible), puis, sous l’action d’unchamp H plus élevé, à franchir l’obstacle et à avancer d’un seul coup(par saut ) sur une grande distance, provoquant ainsi une brusque

variation de .

Les courbes de première aimantation – qui mettent en jeu tousles domaines d’un morceau de matière – présentent en gros troisparties ; pour des valeurs croissantes de H, on distingue ainsi(figure 28) :

— une première zone où d <M >/dH est moyen, les variations de<M > étant principalement dues aux déplacements réguliers pos-sibles des différentes parois ;

— une deuxième zone où d <M >/dH est notable, grâce à desdéplacements par saut de certaines parois ;

— une troisième zone où d <M >/dH est faible, les variations de<M > étant provoquées par le difficile changement de sens des

vecteurs des domaines où ils sont encore mal orientés ; à lalimite, on tend ainsi, plus ou moins facilement, vers l’aimantationà saturation Ms (T ).

Les courbes d’hystérésis, courbes de recul, etc., s’expliquenttrès facilement grâce à la présence d’obstacles s’opposant auxmouvements des parois. Dans le cas de l’obstacle schématisé parla zone hachurée des figures 29a et b, le passage de la situation(a) à la situation (b) n’est pas réversible, contrairement au cas idéal(représenté sur la figure 27) où le déplacement de la paroi n’étaitsoumis à aucune restriction particulière. Pour le cas étudié, lafigure 29c indique la position moyenne (définie par xp) de la paroien fonction du champ H pour des champs, soit croissants, soitdécroissants. Le champ H+ (qui correspond, en champ croissant, à

une brusque augmentation du domaine caractérisé par ) est plusélevé que le champ H– qui, en champ décroissant, entraîne unebrusque diminution de ce domaine. La seule considération de la posi-tion xp(H ) fournit ainsi une contribution à la moyenne <M > (H ) quisuit des variations analogues. Ces remarques permettent deconcevoir comment l’évolution de l’ensemble des domaines dumatériau permet de rendre compte des courbes d’hystérésis.

La figure 30 montre les deux représentations les plus utilisées :— la courbe µ0 <M >(H )

où <M > = 0 pour H = ± HcM ;— la courbe (H ) = µ0 [H + <M >(H )]

où = 0 pour H = ± HcB .

Dans les deux représentations, les champs coercitifs HcM et HcBsont différents, tandis que, pour H = 0, on observe l’égalité|(0)| = µ0 |<M >(0)| = µ0 Mr où Mr est l’aimantation rémanente.

Les phénomènes d’hystérésis (liés à une relation non biunivoque

entre , d’une part, et , d’autre part) conduisent à l’exis-tence de pertes. À température constante, à partir de la variation

Figure 27 – Évolution de l’aimantation moyenne par variation de l’étendue de chaque domaine

sous l’influence du champ appliqué

<M >

H

H k à H dH+( )k

k d<M>/dH⋅ d<M>/dH=

<M > <M> k⋅=

k

Figure 28 – Courbe de première aimantation

Figure 29 – L’énergie relative à la paroi de Bloch est maximalequand cette paroi occupe la zone hachurée

+ k

H

B ou <M >

élémentaire de la densité volumique d’énergiemagnétique [(226)], nous obtenons en effet pour un cycle completune variation :

(314)

positive [figure 30b] liée à l’aire du cycle.

Pour chaque cycle, le milieu extérieur doit donc fournir une énergieégale au produit de ∆fm par le volume de la substance intéressée.

Les deux présentations de la figure 30 conduisent au mêmerésultat puisque [(307)] :

(315)

en remarquant que :

(316)

La considération des cycles d’hystérésis montre que le point devue macroscopique a été adopté ; il ne faut donc pas croire que lesrésultats obtenus sont exacts : le cycle d’hystérésis est une traduc-tion approximative moyenne des phénomènes et ne permet pas d’enappréhender toutes les finesses. Le calcul des pertes par l’inter-médiaire de ∆fm ne pourrait être exact que si, quelles que soient la

position et l’étendue du volume considéré au sein du matériau,

le cycle était le même, ce qui est impossible puisque ,

par l’intermédiaire de , est lié à des moyennes spatiales.

2.2.4.4 Matériaux doux et matériaux durs

Les matériaux destinés aux tôles de transformateurs, ou à desusages analogues, doivent avoir des cycles d’hystérésis dont l’airesoit très faible. Il convient donc que de tels matériaux (les matériauxdoux) soient le plus uniformes possible (pas d’impuretés métal-lurgiques ou autres) pour que les parois puissent se déplacer trèslibrement. En outre, les différents grains (les monocristaux) doiventêtre très bien orientés (figure 24) par rapport à la direction imposée

du champ magnétique qui sera appliquée : la figure 31 donne lesimages relatives à une tôle à grains bien ou mal orientés ; la réalitéest plus complexe parce qu’il est nécessaire de raisonner dansl’espace à trois dimensions. Le revêtement des tôles peut aussijouer un rôle important [6].

Les matériaux destinés aux aimants permanents (les matériauxdurs) doivent au contraire comporter des hétérogénéités (précipités,présence de deux phases métallurgiques, etc.) ou bien êtreconstitués par frittage d’une poudre, chaque grain de cette poudreétant assez petit pour que l’énergie globale soit minimale quandchaque grain est monodomaine [8], la seule possibilité d’évolutionde <M > n’étant alors que les difficiles retournements des vecteurs

caractérisant chaque domaine.

dfm H dB⋅=

∆fm cycle

H dB⋅=

∆fm cycle

H dB⋅ cycle

H µ0⋅ d<M> dH+( )= =

µ0cycle

H d<M>⋅=

µ0cycle

H dH⋅ = µ0cycle

d H 2

2-------- = 0

d

 H( )



<M>

Figure 30 – Cycles d’hystérésis

k

Figure 31 – Représentation schématique d’une tôle à grains bien ou mal orientés


2.2.4.5 Représentation par les courants fictifs ampériens

En adoptant la représentation conventionnelle de l’aimantation

macroscopique définie par (308), on peut imaginer qu’un élé-ment de volume donne lieu à un élément de potentiel vecteur

(250), d’où, pour l’ensemble de volume de la matière aimantée :

(317)

qu’une intégration par parties met sous la forme [(736)] :

(318)

La comparaison de ce résultat avec l’expression (241) de relatifau vide montre que tout se passe comme si nous avions une densitévolumique de courant fictif définie par :

(319)

et, sur les surfaces libres de la matière aimantée, une densité super-ficielle fictive de courant fournie par :

(320)

où la normale unitaire est dirigée vers l’extérieur de la matièreaimantée.

Ces densités de courant fictives (ce ne sont que des équivalencesmathématiques sans existences réelles) sont connues sous le nomde courants ampériens : l’ensemble de ces courants est nulpuisque [(738)] :

(321)

Pour saisir physiquement le sens de , considérons(figure 32) un cylindre droit présentant une intensité d’aimantation

uniforme dirigée suivant son axe. Dans une tranche d’épaisseurdz nous définissons des éléments (prisme à base carrée) de volume

(da )2dz donnant lieu chacun à un moment magnétique ;

en posant , nous mettons en évidenceune boucle de courant :

(322)

Les intensités de courant dIα et dIβ dues à deux prismes voisinsα et β sont identiques (M0 est uniforme) et les courants corres-pondants circulent en sens opposé sur la branche commune repé-rée par PQ ; cette compensation montre qu’il n’y a pas de courant

en volume tandis que, sur la surface latéraleextérieure du cylindre, où cette compensation ne peut avoir lieu, il

subsiste un courant lié au sens axial de , ce que l’on retrouve

au moyen de . Quand n’est pas uniforme, dIαet dIβ sont légèrement différents et donnent alors lieu à des cou-rants en volume [(319)].

Avec des notations simplifiées, le potentiel vecteur créé pardes courants (indice c) (en volume ou superficiel) en l’absence detoute matière aimantée est de la forme [(241)] :

(323)

il est important de remarquer que [(236)] :

(324)

fournit le coefficient de dans l’intégrale de volume.

Dans le cas où il existe des matières aimantées et des courants,

l’expression générale de :

(325)

conduit donc à (326)

L’expression (326) est très importante parce qu’elle montre que

dépend de ; une relation de passage entre deuxmilieux est donc [(49)] :

(327)

M

dP

a

A P ′µ0

4π---------

a

= MP grad P 1

PP ′-------------- dP∧

A P ′µ0

4π---------

a

=

rotP MP( )

PP ′--------------------------- dP

µ0

4π---------+

S a( )

MP n s∧

PP ′----------------------- d SP

A

Ja rot M=

J sa M n s∧=

n s

a

Ja d a

rot M d=

S a( )

M n s∧( ) dS–= S a( )

J sa dS–=

Ja et J sa

M0

M0 da( )2dz

dS da( )2 k et dI M0dz= =

M0dz( ) da( )2 k[ ]⋅ dI dS=

J a rot M0 0= =( )

M0

Jsa M0 n s∧=

M

A cµ0

4π---------

= J dr

--------------µ0

4π---------

S

Js dSr

-----------------+

rot B rot rot A c( ) µ0J= =

d/4πr

A

Aµ0

4π---------J Ja+

r------------------- d

µ0

4π---------J s Jsa+

r------------------------ dS+=

rot B µ0 J J a+( )=

B

J J a+( )

Bt1 Bt2– µ0 n12 Js Jsa+( )∧=

Figure 32 – Étude d’un cylindre d’une substance magnétique dont l’aimantation M0 est parallèle à l’axe du cylindre


Par ailleurs, la grandeur qui dépend de s’obtient en remar-quant que [(326) et (319)] :

(328)

ce qui montre l’intérêt de poser , retrouvant ainsila relation (307).

Quand on a admis la représentation continue de l’aimantation

macroscopique [(308)], la relation (307) est générale et ne

dépend donc pas de la nature des variations de en fonction de .

Dans le cas (excluant pratiquement les corps ferromagnétiques)

où il existe une relation linéaire entre , on pose :

(329)

χm étant la susceptibilité magnétique ; on peut définir la perméabi-lité correspondante par :

µ = µ0 (1 + χm)

et on a (330)

certains auteurs introduisent également, dans ce cas, la perméabi-lité relative µr (par µ = µ0 µr).

2.2.4.6 Représentation par les masses magnétiques fictives

En adoptant la représentation conventionnelle de l’aimantation

macroscopique , on peut imaginer qu’un élément de volume

correspond à un moment magnétique et donnedonc lieu à un élément de potentiel scalaire magnétique [(253)] :

(331)

d’où, pour l’ensemble du volume de la matière aimantée :

(332)

Dans la relation (332), nous avons introduit le gradient par rapportaux coordonnées de P (et non de P’), ce qui change le signe et permet,grâce à (730), d’obtenir immédiatement :

(333)

En comparant ce résultat avec la formulation générale (256), toutse passe comme si on avait une densité volumique de massemagnétique fictive définie par :

(334)

et une densité superficielle de masse magnétique fictive :

(335)

L’ensemble des masses magnétiques fictives est nul puisque (728) :

(336)

Si nous considérons de nouveau un cylindre droit présentant

une intensité d’aimantation uniforme dirigée suivant son axe(figure 33), l’application de la relation (334) montre qu’il n’y a pasde masses magnétiques en volume tandis que les deux facesextrêmes du cylindre sont recouvertes d’une densité uniforme(valeur + |M0| et – |M0|) de masses magnétiques. La figure 33b1donne le résultat relatif à l’utilisation d’axes à droite. En intro-

duisant les relations entre et sa représentation dipolaire(255), on retrouve ces résultats.

Dans le cas où il existe des matières aimantées et des courants,le champ magnétique peut s’obtenir en ajoutant la contribution des

matières aimantées à celle relative aux courants ;pour cette dernière, l’introduction de doubles couches ( ) de

densités superficielles de masses magnétiques pour représenterdes tubes élémentaires de courant paraît vraiment artificielle ;aussi vaut-il mieux écrire :

(337)

où est obtenu à partir du potentiel vecteur lié auxcourants. La condition de passage correspondant à (337) est [(258),(5), (36), d’une part, et (42), d’autre part] :

(338)

puisque Bn1c = Bn2c . On peut vérifier par ailleurs que le rotationnelde la somme (337) est bien :

(339)

tandis que sa divergence [(257), (334) et (7)] :

(340)

montre que .

Pour trouver une grandeur telle que [avec dans le cas

particulier du vide ], on est ainsi conduit à

poser (307) .

2.2.4.7 Liens entre les deux systèmes de représentation

Pour montrer ces liens, nous considérons de nouveau (figure 33)

le cylindre droit (d’axe avec – c < z < c ) dont l’aimantation uni-

forme est dirigée suivant l’axe . En axes à droite (que nousadoptons dans l’ensemble du § 2.2.4.7, M0z est positif.

Dans la représentation au moyen des courants ampériens, lesseuls courants présents correspondent à une nappe uniforme(Jsa = M0 ) sur la surface latérale du cylindre (figure 33a1). Sur lapartie a2 , nous avons représenté Bzd(r = 0, z ) (noté pour simplifier B )en fonction de z ; la valeur maximale (pour z = 0) est inférieure àµ0Js a = µ0M0 , l’égalité ne pouvant être atteinte que dans le cas oùle cylindre serait infiniment long.

J

J 1µ0------- rot B Ja– rot B

µ0------- M –= =

H B/µ0( ) M–[ ]=

M r( )

M

H

M et H

M χmH=

B µ0 1 χm+( )H µH= =

M

d d M d=

dm( )P ′1

4π--------- MP dP grad P ′ 1

PP ′--------------⋅–=

a

m( )P ′+ 14

π

---------

a

M P

grad P

1

PP

′

-------------- d

P

⋅ =

m( )P ′1

4π---------

a

div P M P – ( )

PP

′

------------------------------

d

P

=

14

π

---------+

S

a

( )

M P n s ⋅

PP

′

---------------------

d

S

ρ*m div M –=

σ*m M n s⋅=

a

ρ*m d a

div M d–=

S a( )

M n s dS⋅–= S a( )σ*m dS–=

M0

M0d

Ha grad ma–=

± σ*mc

H grad ma Hc+– grad maBc

µ0------+–= =

µ0 Hc Bc=

A c

H1 H2–( ) n 21⋅ = H1a H2a–( ) n 211µ0------- B1c B2c–( ) n 21⋅+⋅ = σ*

ma

rot H rot grad ma( )– J+ J= =

divH ∆ma divHc+– divM 1µ0-------divBc+– divM–= = =

div H M+( ) 0=

div B 0=

où M 0=( ), B µ0 H=

B µ0 H M+( )=

OzM0 Oz

Le champ magnétique s’obtient par (307) ; àl’extérieur du cylindre, nous avons donc :

µ

0

H

z

d

(

r

= 0,

z

) =

B

z

d

(

r

= 0,

z

)

soit, dans notre notation simplifiée, µ0 H = B, tandis qu’à l’intérieur,dans les mêmes conditions, µ0 H = B – µ0M. Dans l’intervalle– c < z < c , nous avons 0 < B < µ0 M et par conséquent– µ0 M < µ0 H < 0 ; dans le matériau et sur l’axe r = 0, la direction de

est donc opposée à celle de .

Dans la représentation au moyen des masses magnétiquesfictives les seules masses présentes correspondent à des densitéssuperficielles uniformes sur les faces extrêmes (z = ± c ) du

cylindre : sur la face z = c et pour z = – c(figure 33b1) ; nous avons représenté (b2 ) les courbes de µ0 Hz i(r = 0, z ) (notées µ0 Hi et repérées par i = + ou – ), qui correspondent

respectivement aux deux répartitions ; à titred’exemple, on peut montrer que µ0 H+ varie de – 0 à – µ0 M0/2 pour– ∞ < z < c et de + µ0 M0 / 2 à + 0 pour c < z < ∞ ; les variations

analogues de µ0 H– montrent (b2 ) que µ0 H = µ0 H+ + µ0 H– est dis-continu en z = ± c avec :

µ0 H (– c + 0) – µ0 H (– c – 0) = – µ0 M0 (341)

µ0 H (c + 0) – µ0 H (c – 0) = + µ0 M0 (342)

Les valeurs de µ0 H sont négatives dans l’intervalle – c < z < c etpositives à l’extérieur (figure 33a3). L’induction magnétique

s’obtient par ; à l’extérieur du cylindre, nous avonsdonc, avec nos notations simplifiées, B = µ0 H tandis qu’à l’intérieur,dans les mêmes conditions, B = µ0 H + µ0 M 0 ; les variations de B (z )sont donc continues [(341) et (342)].

Les deux représentations fournissent les mêmes résultats, les

courants ampériens conduisant d’abord à tandis que les masses

magnétiques donnent en premier lieu.

2.3 États quasi stationnaires

2.3.1 Introduction

L’appellation classique états quasi stationnaires concerne lesphénomènes dépendant du temps avec une rapidité telle que, danscertaines relations, les dérivées temporelles doivent être considéréestandis que, dans d’autres, un terme de la même forme peut êtrenégligé (§ 2.3.2). La possibilité de supprimer ce terme (et de simplifierles calculs) ne dépend pas que de la fréquence, les propriétés dumatériau considéré (sa conductivité électrique en particulier) inter-venant très fortement. Dans le domaine de l’électrotechnique, la for-mulation des états quasi stationnaires peut ainsi être utilisée pourprévoir tout ce qui concerne les conducteurs (même mauvais), tandisque l’étude détaillée des phénomènes se produisant dans lesdiélectriques ne peut s’effectuer qu’en considérant les équationscomplètes sans approximation. Cette étude détaillée est le plus sou-vent inutile (les phénomènes importants sont ceux qui concernentles conducteurs), aussi la considération des états quasi stationnairessuffit en général pour résoudre la plupart des problèmes d’électro-technique.

2.3.2 Définition

En précisant ce qui a été évoqué dans le paragraphe 2.3.1, lesétats quasi stationnaires sont définis en considérant les équationsde Maxwell sous la forme :

(219) (5)

(6) (7)

Figure 33 – Comparaison entre les représentationsde la matière aimantée

µ0 H B µ0 M–=

H M et B

σ*mσ*m+ + M 0 = σ*m– – M 0 =

σ*mi + M 0 ou M 0 –=

Pour un problème quelconque comportant conducteurs etdiélectriques, la solution exacte (§ 3.6.3) ne peut être obtenuequ’en utilisant les équations complètes de Maxwell et qu’en pre-nant en compte, dès le début, les relations de passage entremilieux. Néanmoins, les calculs d’ordre de grandeur justifient lepoint de vue simpliste que nous venons de signaler.

B µ0 H µ0 M+=

B

H

rot H J =

div D ρ =

rot E ∂

B ∂ t ---------–=

div B 0 =

Il faut remarquer que l’ensemble de ces équations est illogique :

— a priori, le champ dépend du temps (on ne pose plus comme

en électrostatique, ) et, par conséquent, n’est pasnul ;

— on écrit cependant en négligeant le terme en

.

C’est ce caractère hybride qui correspond au qualificatif quasistationnaire ; la rapidité des variations des phénomènes en fonctiondu temps est telle qu’il est, d’une part, nécessaire de considérer (6)sous sa forme complète et, d’autre part, possible de ne prendre encompte qu’une forme approchée (219) de (4). Cette simplification nepeut se justifier que par des considérations d’ordre de grandeur.

Les calculs correspondants ne sont simples que si les matériauxconsidérés sont uniformes, soumis à des phénomènes variant

sinusoïdalement en fonction du temps, régis par et la loi

d’Ohm . Dans ce cas, en effet, avec ,l’expression :

(343)

montre que l’approximation quasi stationnaire est correcte à, parexemple, environ 1 % près si ε ω < γ /100 ; cela correspond, pour lecu ivre , aux températures usuel les (T ≈ 300 K) , avecγ = 0,6 · 108 Ω–1 · m–1 et ε = ε0 = (1/36 π) 10–9 F · m–1, à une fréquence

f < 1016 Hz ! Il ne faut évidemment pas en déduire que ce n’est que

dans les cas considérés (caractère uniforme,

) que l’approximation des états quasi stationnaires estvalable !

Dans le domaine de l’électrotechnique, la formulation des étatsquasi stationnaires s’applique donc à tous les conducteurs, mêmemauvais. En revanche, il faut revenir aux équations complètes deMaxwell si on veut étudier en détail les phénomènes dans les iso-lants, y compris l’air environnant.


Les relations (7) et (219) sont identiques à celles de la magnéto-statique (§ 2.2.1), nous en tirons donc les mêmes conséquences :

— le théorème d’Ampère (30) est valable ;

— il existe des tubes de courant, puisque ;

— l’induction magnétique est définie par (220) : ;

— le potentiel vecteur [avec (238) : ] a toujours lamême expression (241) ;

— dans les conditions déjà signalées (§ 2.2.4.1 et 2.2.4.2), on

a (307) .

La relation (6) ne permet pas de conserver, comme en électro-

statique (103) qui implique ; la rela-tion (6), couplée avec (220), montre au contraire que :

(344)

c’est-à-dire que ont le même rotationnel et nepeuvent donc différer que d’un gradient. Dans ces conditions, nouspouvons poser :

(345)

Le potentiel V ainsi introduit est toujours défini par (187) ; nousobtenons, en effet, à partir de (345) et avec (238), la relation :

(346)

identique à (188), et donc compatible avec (191)

puisque (180) .

2.3.4 Loi de Faraday

En électrostatique, la relation (103) montre que la circulation de le long d’un contour fermé Γ est nulle ; dans le cas étudié dans ceparagraphe 2.3, cette circulation est régie par la loi de Faraday (27) :

bien connue, bien qu’elle soit souvent énoncée sans précision, cequi peut conduire (et conduit) à des erreurs. Nous allons décrire lesprécautions nécessaires et préciser ainsi les notations de (27).

Pour que le signe moins reliant les deux membres ait une signifi-

cation, il faut d’abord choisir un sens arbitraire sur le contour

fermé définit ainsi les et donc la circulation de ] ;

le flux de à travers une surface quelconque (qui s’appuiesur et est limitée par Γ ) doit être ensuite calculé en utilisant des vec-

teurs unitaires , normaux en tout point à et dont le sens

axial est celui déterminé par . Pour les réfractaires aux vecteurs

axiaux et à la réalité physique, le produit devient où,

en axes à droite, se correspondent par la règle dutire-bouchon.

Il faut également ne pas confondre la simple intégration d’unerelation de Maxwell (26) :

qui fait intervenir le flux de la dérivée partielle , avec la loi de

Faraday qui considère la dérivée totale dΦ /dt du flux Φ de .

L’adoption des notations de la Commission Électronique Inter-nationale (en particulier, lettres minuscules pour les grandeursdépendant du temps) ne pose aucun problème pour un articleconsacré uniquement à de telles grandeurs, mais, dans unexposé d’ensemble de l’électromagnétisme, il nous paraîtmauvais de changer de notations en passant des phénomènesinvariables en fonction du temps au cas général. Quelles quesoient les circonstances, les grandeurs électromagnétiques sonttoujours régies par les mêmes équations de Maxwell ; il est doncpréférable de les écrire avec les mêmes notations. Par ailleurs, il

y aurait risque de confusion entre, d’une part, qui, pourles phénomènes constants en fonction du temps, doivent satis-

faire à certaines équations et, d’autre part, qui, pour desphénomènes dépendant sinusoïdalement du temps, désignentalors des valeurs efficaces qui ne satisfont évidemment pas auxéquations précédentes.

E et H

E et H

E

rot E 0 = ∂ D /∂t

rot H J =

∂ D /∂t

D ε E =

J γ E = E E0 ωtsin=

J ∂ D∂t

----------+ E0 γ ωtsin εω cos ωt+[ ]=

D ε E = , J γ E = ,

E E 0= ωtsin

div J 0 =

B rot A=

A div A 0=

B µ0 H M+( )=

E grad V–= rot E( ) 0=

rot E ∂∂ t ----- rot A ( ) – rot ∂ A

∂ t ---------–

= =

E et ∂ A / ∂ t –

E grad V– ∂ A∂t

----------–=

div E div grad V– ∂ A∂t

----------– div grad V–( )

ρ ρP+

ε0---------------= = =

D ε0 E P+=

ρP div P–=

E

Γ( )

E P, t( )[ ] u0 P, t( ) dP( )Γ⋅ ddt--------

S Γ( )B0 nΓ dS⋅–=

Γ( )

[ Γ( )

dP( )Γ E

B

S Γ( )

nΓ S Γ( )

Γ( )

B0 nΓ⋅ B0 nΓ⋅

nΓ et Γ( )

S Γ( )

rot E( ) nΓ dS⋅ Γ( )

E dΓ⋅ S Γ( )

∂B∂t-------– nΓ dS⋅= =

∂B/∂t

B

Dans les cas utiles d’application de la loi de Faraday, le contourfermé Γ est une partie d’un circuit électrique ; ce circuit peut se dépla-cer et se déformer, aussi convient-il de bien préciser le systèmed’axes choisi. Nous considérons un système d’axes quelconque R0 ;une grandeur évaluée dans ce système, une dérivée effectuée parrapport aux coordonnées correspondantes sont alors indiquées par

un indice zéro (par exemple (6) : ). Une charge Q

se déplaçant (par rapport à R0) à la vitesse subira une force(évaluée dans R 0 ) dont l’expression à un instant quelconque t1s’obtient en ajoutant les forces électrique (145) et magnétique (278) :

(347)

Considérons maintenant un système R animé d’une vitesse

constante (quel que soit le temps) par rapport au système R0 ;les grandeurs relatives au système R sont indiquées par l’indice « R »(par exemple , avec les dér ivées correspondantes ,

). En choisissant pour la vitesse constante

la valeur particulière , la charge Q sera immobile par rapport

à R à cet instant t1 et, par conséquent :

(348)

Les deux systèmes R0 et R étant animés l’un par rapport à l’autre

d’une vitesse constante, les forces sont identiques, ce qui montreque :

(349)

cette relation ne dépend pas du temps (t1 est quelconque), et nouspouvons écrire, de façon plus générale et à chaque instant :

(350)

où indique la vitesse de translation du système R par rapportau système R0 ; les électrotechniciens désignent par champ élec-

tromoteur d’induction le terme .Nota : l’expression (350) n’est valable que lorsque la vitesse est très faible par

rapport à la vitesse de la lumière, ce qui suffit évidemment pour les besoins de l’électro-technique. Seules des considérations relativistes (qui distinguent les temps mesurés dansles systèmes R et R0) permettent d’obtenir une formulation exacte.

La démonstration générale de la loi de Faraday doit donc s’entou-rer des précisions suivantes :

— on définit sur le contour Γ, en ses différents points P et dans

le sens choisi , des éléments ;— on choisit un système d’axes quelconque R0 dans lequel sont

évalués et les positions successives des différents points Pdu contour, ce qui permet d’en définir les vitesses de déplacement

.

L’évaluation de la dérivée totale du flux Φ fait apparaître deuxtermes :

— l’un, correspondant au flux de ;— l’autre, lié aux déformations du contour et donc aux vitesses

.

La démonstration (non reproduite) fournit ainsi :

(351)

où, dans le premier membre, les deux termes correspondent, dansl’ordre, aux deux termes signalés dans l’évaluation de la dérivéedu flux. Pour le point P de Γ et au temps t, d’après (350) :

(352)

est l’expression du champ électrique dans un système en translationà une vitesse constante au cours du temps (cette vitesse étant celledu point P à l’instant t ) par rapport au système R0 .

Nous avons ainsi complètement explicité l’expression (27) de laloi de Faraday. Le système R 0 est absolument quelconque (sonchangement entraînant des modifications concomitantes de

) et peut donc être choisi par simple convenance.

Deux cas particuliers très simples permettent d’isoler chacun

des deux termes de .

Le contour Γ est indéformable. En choisissant un repère R0 fixe

par rapport à Γ, les vitesses sont nulles. Il ne reste alors que le

terme en que l’on peut retrouver par ailleurs en considérant (26)

puisque la dérivée totale du flux de se réduit alors au flux de

.

Les différentes sources (aimant, courant) de sont

stationnaires dans un repère R0 ; les dérivées partielles

sont donc nulles (d’où ) et la circulation de sur Γ est

nulle ; il ne reste donc que le terme en que l’on met classi-quement en évidence par une expérience où le contour Γ possèdeune partie fixe (en forme de U) et une partie mobile (barre glissantsur la partie fixe). La figure 34 représente un tel dispositif où lecontour Γ est dans le plan de la figure, tandis que la direction du sup-

port de est perpendiculaire à ce plan. Pour les sens définis de

, l’orientation du contour Γ correspond à des valeurs

positives du flux Φ et de sa dérivée dΦ /dt d’où :

(353)

ce qui fixe le sens de (défini intrinsèquement par ) ;

pour l’orientation de Γ, Φ sont négatifs etpar conséquent :

(354)

le champ n’étant pas modifié.

rot0 E0 ∂B0 / ∂t–=

u0 t( )

F 0 t1( ) Q E 0 t1( ) u0 t1( )+ B0 t1( )∧[ ]=

U01

rotR E R ∂ B R / ∂ t –= U01

u0 t1( )

FR t1( ) Q ER t1( )=

Fy

ER t1( ) E 0 t1( ) u0 t1( )+ B0 t1( )∧=

ER E R0uR/R0

+ BR0∧=

uR/R0

u B∧

u

Γ( )d P( )Γ

B0 r , t( )

u0 P, t( )

∂B0 /∂t

u , t( )

Γ t( )[ ]

E0 P, t( ) u0 P, t( )+ B0 P, t( )∧[ ] d P( )Γ⋅

ddt--------

S Γ t( )[ ]B0 r , t( ) nΓ dS⋅–=

E 0 P, t( ) u0 P, t( )+ B0 P, t( )∧ E P, t( )[ ] u 0 P, t( )=

E 0 , u 0 et B0

E P, t( )[ ] u 0 P, t( )

u0

E 0

B

∂B/∂t

B0 r , t( )

∂B∂t

--------- r , t( )

rot0 E 0 0= E 0

u0 B0∧

B

B et u

Γα( )

Γα( )

Γα( )

Γα( )

E dα⋅ M

N

E dα 0<⋅=

E E u B∧=

Γβ( )

Γβ( ) et dΦ Γβ( )/dt

Γβ( )

E dβ⋅ N

M

E dβ 0>⋅=

E


La force électromotrice d’induction est la circulation du champ

définie par le premier membre de (27) ; son signe dépend de

l’orientation choisie sur le contour Γ [(353) et (354)] mais, quelque soit ce choix, on a toujours :

(355)

quand le même sens est adopté pour calculer la circulation de

et le flux de .

La loi de Lenz indique que les variations temporelles du flux Φd’induction produisent toujours des effets qui tendent à s’opposeraux variations initiales. À titre d’exemple, dans le cas où l’ensembledu contour Γ (figure 34) est matérialisé par des conducteurs, quand

la surface offerte à l’induction augmente, le champ créé fait

circuler un courant produisant une composante de dont le sensaxial est l’opposé de celui de l’induction initiale.

Dans la littérature, on voit très souvent que la loi de Lenz justifiele signe moins d’une relation du type :

(356)

en oubliant de signaler les liens indiqués dans (355) par la présence

de dans chaque membre. La relation (355) est correcte tandisque (356) peut aussi bien comporter le signe moins que le signe plus.

2.3.5 États quasi stationnairesvariant sinusoïdalement en fonction du temps

Une grande partie de l’électrotechnique est traitée dans ce cadre.Pour éviter des répétitions, nous renvoyons le lecteur aux dévelop-pements correspondants qui concernent :

— le rôle de l’épaisseur de peau δ (§ 2.4.4.3 et 2.4.4.7), longueurtypique définie par δ2 = 2/ω µ γ (388) ;

— l’effet de peau (§ 3.4) ;— les pertes par courants de Foucault (§ 3.5) ;— la validité et la critique de l’utilisation stricte de l’approxima-

tion des états quasi stationnaires (§ 3.6.3).

2.4 États dépendant complètementdu temps

Nous prenons maintenant en compte l’ensemble des équationsde Maxwell sous leur forme temporelle complète :

(4) (5)

(6) (7)

les deux dernières équations permettent de poser :

(345) (220)

2.4.1 Équations relatives à une seule grandeur

Au moyen de différentes combinaisons entre ces relations, il estpossible d’obtenir des équations où il n’apparaît principalement

que .

À titre d’exemple [(726)] :

(357)

devient, pour une substance uniforme isotrope idéale (ε, µ ) :

(358)

Dans le cas où ρ = 0 et , une forme plus simple apparaît(ε, µ, γ ) :

(359)

De façon analogue et dans les mêmes conditions (ε, µ, γ, ρ = 0),il vient :

(360)

Figure 34 – Loi de Faraday dans un contour déformablesoumis à une induction stationnaire

E

Γ( )

Γ( )

E dΓ⋅ ddt--------- Φ Γ( )–=

Γ( )

E

B

E

B

E d⋅ ddt--------- Φ–=

!

Γ( )

Pour abréger le texte, l’indication (ε, µ ) signifie que

quels que soient les champs ; laprésence de (ε, µ, γ ) montre que le matériau est en outre régi par

la loi d’Ohm (66) (quel que soit ).

rot H J ∂D∂t

-----------+=

div D ρ=

rot E ∂B∂t

---------–=

divB 0=

E grad V– ∂A∂t

---------–= B rot A=

E , H, A et V

rot rot E( ) grad div E( ) ∆ E–∂∂t-------- rot B( )–= =

∆ E 1ε----- grad ρ – µ ∂ J

∂ t ----------– µε ∂

2

E ∂

t

2

--------------– 0 =

D ε E= et B µ H=

E et H

J γ E = E

J γ E=

∆ E µγ ∂ E ∂ t -----------– µε ∂

2

E

∂

t 2 --------------– 0 =

∆H µγ ∂ H ∂ t --------– µε ∂

2

H ∂

t

2

-----------– 0 =



Les potentiels et

V

, qui n’interviennent que par des combi-naisons de leurs dérivées partielles, ne sont pas complètement défi-

nis à partir des grandeurs physiques mesurables .

L’ensemble ( ,

V

), avec :

(361)

(362)

fournit ainsi les mêmes valeurs de que l’ensemble ( ,

V

1

).Le détail des calculs (non reproduits) montre que si la condition deLorentz :

(363)

est satisfaite [ce qui est possible par un bon choix de la fonction

], les équations régissant et

V

deviennent (

ε

,

µ

) :

(364)

(365)

2.4.2 Phénomènes de propagation

Dans le cas d’un milieu isotrope idéal (

ε

,

µ

) et isolant (

γ

= 0) larelation (359) devient :

(366)

L’

essai

d’une solution définie au moyen d’une fonction quel-conque

F

(

s

) par :

(367)

[où

u

(qui possède la dimension d’une vitesse) et sont desconstantes] conduit à [(714) et (713)] :

(368)

et montre que

u

2

ε

µ

= 1

(369)

est une condition nécessaire de validité ; si cette relation est satis-faite, les solutions se présentent sous deux formes :

(370)

puisque seul

u

2

est imposé. Pour la première forme , à l’instant

t

1

et pour tous les points du plan défini par

x

=

x

α

, le champ présente

la même valeur repérée par ; cette même valeursera observée à l’instant

t

1

+ d

t

sur le plan relatif à

x

α

+ d

x

, àcondition que :

(371)

Nous voyons ainsi apparaître les deux

propriétés

caractéris-tiques des

solutions essayées

:— à un instant

t

donné, tous les points d’un plan

x

= Cte présentent

la même valeur de ;— au cours du temps, une même valeur de s’observe sur dif-

férents plans parallèles entre eux, les positions successives de cesplans permettant de définir la vitesse de propagation du champélectrique.

Il n’y a aucun déplacement macroscopique de matière et parlerde la vitesse avec laquelle se déplacent les points où l’on observe

successivement la même propriété [pour ] est unabus de langage. C’est pourquoi certains refusent d’utiliser dans cecas le mot vitesse et le remplacent par célérité. Par souci de simpliciténous utiliserons par la suite vitesse, mais il convient de biendistinguer, d’une part, cette vitesse de propagation et, d’autre part,la vitesse d’une particule ou d’un objet matériel quelconque.

Ces propriétés définissent les phénomènes de propagation par

onde plane, la solution correspond à la vitesse

tandis que est lié à .

Nous avons imposé les relations (367) et ainsi obtenu les deuxformes (370) qui caractérisent la propagation par onde plane. Il nefaut surtout pas en déduire que les phénomènes de propagations’effectuent toujours par onde plane !

Dans le cas du vide, la vitesse c de propagation des ondes élec-tromagnétiques (et donc celle de la lumière) est toujours définie par :

c 2 ε0 µ0 = 1 (372)

2.4.3 Potentiels retardés

Il est possible de montrer que les solutions de (364) et (365) sontfournies par des expressions désignées sous le nom de potentielsretardés :

(373)

(374)

où la vitesse u est encore définie par (369).

Pour évaluer , il faut connaître, en un point défini par

, non pas au temps t’ mais :

à un instant antérieur, la différence de temps étant juste égale à

, c’est-à-dire au temps nécessaire pour que l’information,

se propageant à la vitesse u, franchisse la distance entre

le point considéré et le point est évalué.

Dans le cas du vide, les potentiels retardés font intervenir lavitesse de la lumière c (372).

A

B et E

A

A r , t( ) A1 r , t( ) grad f r , t( )+=

V r , t( ) V1 r , t( ) ∂f r , t( )∂t

-------------------------–=

B et E

A1

div A εµ ∂V∂t

---------+ 0=

f r , t( ) A

∆ A µε ∂2 A∂t 2

--------------– µ J+ 0=

∆V µε ∂2V∂t 2-----------– ρ

ε----+ 0=

∆ E µε ∂2 E∂t 2

--------------=

s t xu------+=

E E 0 F s( )=

avec

E 0

∆ E ∂2 E∂x2------------- E0

∂2F∂x 2----------- E0

d 2Fds 2----------- 1

u-----

2µε E 0

d2Fds 2----------= = = =

E + E 0 F t x εµ–( )=

E – E 0 F t x εµ+( )=

E+

s1α t1 xα εµ–=

dt dx εµ– 0= d x d t

-------- 1 εµ

-----------= ⇒

E E x, t( )=E

E+ , ux 1/ εµ=

E+ ux + 1/ εµ =

E– ux 1 – / εµ =

A r ′ , t ′( ) µ4π--------- J r , t ′ r ′ r–

u------------------------–

r ′ r–---------------------------------------------------------- d r =

V r ′ , t ′( ) 14πε------------ ρ r , t ′ r ′ r–

u------------------------–

r ′ r–------------------------------------------------------- d r =

A r ′ , t ′( )

r J r , t ′( )

J r , t ′ r ′ r–u

------------------------–

r ′ r– /u

r ′ r–

r r ′ où A



2.4.4 Phénomènes variant sinusoïdalementen fonction du temps

Nous allons maintenant nous restreindre aux cas où les variationsdes différentes grandeurs en fonction du temps sont sinusoïdales ;

il suffit, par exemple, que ait des variations de ce type pour

qu’il en soit de même pour .

2.4.4.1 Notations

Pour, par exemple, une composante Ei du champ électrique :

(375)

nous pouvons poser :

(376)

et écrire :

(377)

dans ces conditions, nous avons :

(378)

où est défini par ses composantes soit, par exemple :

(379)

quand l’espace est rapporté à un trièdre trirectangle de vecteurs

unitaires .

Pour toutes les autres grandeurs nous utiliserons des notationsanalogues, par exemple :

(380)

2.4.4.2 Relations de base

Dans le cas d’un matériau uniforme idéal isotrope (ε, µ, γ ) oùρ = 0, les équations de Maxwell prennent la forme :

(381)

(382)

(383)

(384)

L’équation (357) devient alors :

(385)

soit (386)

cette relation aurait pu être obtenue à partir de (359) grâce à (378).

On a de même :

(387)

2.4.4.3 Longueurs typiques

On fait souvent intervenir, en physique, des constantes de temps[τ, par exemple, dans une expression du type exp(– t /τ )] mais ilsemble qu’on utilise moins fréquemment des constantes d’espaceou longueurs typiques [ , par exemple, dans une expression dutype ]. Ce sont, en général, des relations de dimensions quifixent ces longueurs typiques. Nous allons examiner de ce point devue les équations (386) [et (387)] dans deux cas opposés.

1er cas : (bons conducteurs)

Il est alors possible de négliger le terme en ; la dimension

étant [E] [L]–2, celle de ωµγ est [L]–2. Le carré d’une longueurtypique correspondante est donc du type C /ωµγ, la constante C étantchoisie pour simplifier les calculs et les différentes expressions quien découlent. Le choix traditionnel introduit l’épaisseur de peau au moyen de :

(388)

et conduit à des expressions du type pour les diffé-rentes grandeurs électromagnétiques.

2e cas : (bons isolants)

Le terme en est alors négligeable. La dimension de ω2εµest [L] –2 ; le choix traditionnel définit la longueur d’onde λ par :

(389)

les expressions intéressantes seront alors du style .

2.4.4.4 Cadre de la suite de l’exposé

Dans les paragraphes qui vont suivre (§ 2.4.4.5, 2.4.4.6 et 2.4.4.7)nous chercherons uniquement, pour simplifier, les solutions quicorrespondent à une propagation par onde plane (il existe biend’autres types de propagation !) dans le sens que nous repérons par

le demi-axe . Pour résoudre certains problèmes particuliers (§ 3.4et 3.5), il conviendra, le cas échéant, d’adapter ce type de solutions.

2.4.4.5 Propagation dans un milieu isolant

Avant d’aborder le cas général, nous allons étudier le cas simpleoù γ = 0, qui correspond à la propagation dans un isolant (commele vide par exemple). Le seul moyen de concilier les relations (370)et (378) est d’écrire :

(390)

avec une valeur constante de (valeur de pour x = 0) et :

(391)

La relation fournit , ce qui montre que

a un caractère transversal, c’est-à-dire qu’il est orthogonal à la direc-

tion de propagation ; sans nuire à la généralité de l’exposé nous

pouvons donc choisir, pour la direction de , axe perpendiculaire

à , la direction du vecteur constant . Nous n’avons donc

qu’une composante de :

(392)

E t( )

B t( ), H t( ), J t( ) et D t( )

Ei r , t( ) Emax i r( ) ωt ϕi r( )+[ ]cos=

Ei r( ) Emax i r( ) exp jϕi r( )=

Ei r , t( ) Re Ei r( )exp jωt[ ]=

E r , t( ) Re E r( ) exp jωt[ ]=

E Ei

E Ei i E j j E k k + +=

i , j , k

H r , t( ) Re H r( )exp jωt[ ]=

rot H γ jωε+( ) E=

div E 0=

rot E j ωµ H –=

div H 0=

rot rot E( ) grad div E( ) ∆ E– j ωµ γ j ωε + ( ) E –= =

∆ E jωµγ E– ω 2εµ E+ 0=

∆ H jωµγ H– ω 2εµ H+ 0=

f x /( )

ω2εµ E

∆ E

δ 2 2ωµγ-------------=

f r / δ , ω t ( )

ωµγ E

λ2 4 π2

ω 2εµ----------------=

f r / λ , ω t ( )

Ox

E Re E 0 expjω t x εµ –=

Re E0 exp j ωt kx–( )[ ]=

_

_

E0_ E

k ω εµ=

div E 0= j kE 0 x – 0 = E0_

Ox

Oy

Ox E0_

E

Ey x, t( ) Re E0y exp j ωt kx–( )[ ]=



à prendre en compte ; la relation (383) montre alors qu’il n’existe

qu’une composante de définie par (en axes à droite) :

(393)

L’ensemble des phénomènes ne dépend donc que de la pulsation

ω

et de la constante qui sont déterminées par les conditionsinitiales.

Dans le

cas général

, est complexe [ =

E

max

y

exp j

ϕ

0

]et conduit à :

E

y

(

x, t

) =

E

max

y

cos (

ω

t

–

kx

+

ϕ

0

)

(394)

il suffit de changer l’origine des temps pour obtenir :

E

y

(

x, t

) =

E

max

y

cos (

ω

t

–

kx

)

(395)

et

(396)

Nous venons ainsi de mettre en évidence les

caractéristiquesd’une onde plane électromagnétique

se propageant dans unmilieu isolant :

— la direction de propagation , le champ électrique

et le champ magnétique forment un trièdre trirectangled’axes à droite ;

— la propagation s’effectue sans atténuation : quel que soit lepoint considéré, les amplitudes des variations sinusoïdales enfonction du temps de

H

z

et Ey sont constantes (respectivementk Emax y /ω µ et Emax y ) ; le rapport de ces amplitudes est [(391)] :

(397)

— les variations de Hz et Ey en fonction de (ωt – k x ) sont en phase

puisque le rapport de est réel (k /ωµ ) ; la vitesse de pro-

pagation est u = ω /k = .

2.4.4.6 Propagation dans un milieu conducteur

Nous cherchons maintenant les lois de propagation dans un milieu

uniforme idéal (ε, µ ) satisfaisant à la loi d’Ohm . Nous nousrestreignons à une propagation dans la direction Ox, du type régi

par la relation (390), avec donc . La détermi-

nation de k s’effectue maintenant à partir de (386) qui montre que :

(– jk )2 – j ω µγ + ω2 εµ = 0 (398)

soit k 2 = ω2 εµ – j ω µγ = – j ω µ (γ + j ω ε ) (399)

Pour un milieu isolant (γ = 0), on retrouve bien (391). Dans le casgénéral, k est complexe et donné par :

k = ± [α (ω ) – j β (ω )] (400)

où α et β sont des valeurs réelles positives définies à partir de :

(401)

(402)

il existe ainsi deux solutions :

(403)

(404)

qui correspondent à des propagations dans des sens opposés. Nousne garderons dans la suite que la première, relative à une propa-

gation dans le sens :— la phase ωt – αx reste constante quand dx /dt = ω /α > 0 ;— l’amplitude des oscillations décroît quand x augmente ; ce

caractère est bien lié à l’existence de pertes par effet Joule puisque βest nul quand γ l’est.

La relation (382) fournit toujours – j k E0x = 0, ce qui montre que

est encore transversal ( ) ; en choisissant la bonne

direction de , on écrit :

(405)

ce qui entraîne, pour la seule composante de :

(406)

ou, en posant :

(407)

(408)

La même expression (390) conduit ainsi à des résultats différentssuivant que k est purement réel (γ = 0) ou complexe (γ ≠ 0). Dans cedernier cas :

— la direction de propagation , le champ électrique

et le champ magnétique forment toujours un trièdre trirec-tangle d’axes à droite ;

— la propagation s’effectue avec atténuation, les amplitudes desvariations sinusoïdales en fonction du temps de Hz (x, t ) et Ey (x, t )décroissant en exp (– βx ) ; le rapport de ces amplitudes est [(397)] :

(409)

— les variations de Hz et Ey en fonction de (ωt – αx ) ne sont pas

en phase puisque le rapport de , [(α – jβ)/ω µ], est

complexe ; il est possible de définir la vitesse de phase par uϕ = ω /α.

Nous venons de voir le rôle fondamental de α (ω) et β (ω). Poursimplifier l’étude de ces fonctions, nous supposons que µ, γ et ε nevarient pas en fonction de la fréquence ; ces hypothèses sont criti-cables surtout dans le cas de matériaux magnétiques (mais on a déjà

supposé quel que soit ) ou de certains matériaux dié-lectriques. Grâce à ces hypothèses, les variations de lg α2 et lg β2

en fonction de lg ω se réduisent pratiquement à celles des asymp-totes (figure 35) :

(410)

(411)

H

H0z[ ]d

kE0y

ωµ------------=

E0y

E0y E0y

Hz x, t( )d

k Emax y

ωµ---------------------- ωt kx–( )cos=

Ox( ) E y( )

H z d

Hmax z

Emax y-------------------- k

ω µ---------- ω εµ

ω µ---------------- ε

µ-----= = =

H0z à E0y

1/ εµ

J γ E =

E E 0 exp j k x – ( ) = _

α 2 ω 2εµ ω 2εµ( )2 ωµγ( )2++2

--------------------------------------------------------------------------=

β2 – ω 2 εµ ω 2 εµ ( ) 2 ωµγ ( ) 2 ++ 2

---------------------------------------------------------------------------------=

E+ exp β x – ( ) Re E 0 + exp j ω t α x – ( )[ ] = _

E – exp + β x ( ) Re E 0– exp j ω t α x + ( )[ ] = _

Ox

E 0_ E0x 0=

Oy

E Ey x, t( )→ exp β x – ( ) Re E 0 y exp j ω t α x – ( )[ ] =

H

H0zdα jβ–

ωµ--------------- E0y=

α jβ–

α2 β2+----------------------- exp j ψ – ( ) =

Hz x, t( )[ ]d =

ω

2

εµ

( )

2

ωµγ

( )

2

+

[ ]

1/4

ωµ

------------------------------------------------------------

exp β x – ( ) Re E 0

y

exp j ω t α x – ψ – ( )[ ]

Ox( ) E y( )

Hz d

Hmax z

Emax y------------------ α 2 β2+

ωµ-----------------------

εµ

------ 2 γ

ωµ---------

2+

1/4= =

H0zd à E0y

B µH=

H

ω 0→ α2 ω µγ2

-------------- 1δ 2--------=→ et β2 ω µγ

2--------------→ 1

δ 2--------=

ω ∞→ α2 ω 2εµ 4π2

λ2---------=→ et β2 µγ 2

4ε-------------→ β c

2=


qui se coupent au point défini par :

(412)

(413)

Sauf éventuellement pour une petite gamme de fréquences,nous n’avons pratiquement qu’à considérer deux cas, suivant lavaleur de la pulsation ω par rapport à la pulsation critique ωc :

1er cas : (414)

2e cas : (415)

Pour le cuivre la fréquence critique est fc = ωc /2π = 5 · 1017 Hz, cequi montre que, dans le domaine de l’électrotechnique, tous lesconducteurs métalliques, même médiocres, correspondent au pre-mier cas. La propagation par onde plane se traduit alors par desexpressions du type :

(416)

(417)

(418)

les grandeurs électromagnétiques ne peuvent donc avoir des valeurssignificatives que dans une épaisseur égale à quelques δ qui seconfond (§ 3.4) avec l’écorce des conducteurs.

En revanche, pour les matériaux diélectriques, ωc = γ /2 ε est trèspetit et des relations du type :

(419)

(420)

(421)

sont presque toujours valables.

2.4.4.7 Retour sur l’approximation des étatsquasi stationnaires

Cette approximation néglige l’effet du terme en dans l’expres-

sion de [(4) et (219)].

Pour des corps uniformes idéaux (ε, µ, γ ) cela revient à supprimertous les termes en εµ des différentes relations par l’assimilationsuivante :

– j ω µ (γ + j ω ε ) = ω2 ε µ – j ω µγ ≈ – j ω µγ (422)

Les relations de base deviennent ainsi :

(364) (423)

(365) (424)

(la relation étant conservée)

(386) (425)

(387) (426)

de même :

(401) et (402) (427)

Ces relations montrent que, dans l’approximation considérée, iln’existe plus qu’une seule longueur typique, l’épaisseur de peau δ,et que les champs, dans le cas de propagation par ondes planes,sont régis par les expressions (416), (417) et (418).

On peut retrouver formellement ces résultats en remarquant quel’approximation (422) revient à considérer que ε est nul, ce quientraîne mathématiquement que ωc = γ /2ε tend vers l’infini et que,par conséquent, seul le premier cas (ω < ωc ) [(414)] est à prendre encompte. Corrélativement il n’y aurait plus de phénomènes de pro-pagation, ou, plutôt, cette propagation serait instantanée, εµu2 = 1conduisant à une vitesse u tendant vers l’infini quand ε tend verszéro. Au paragraphe 3.6.3.1 nous établirons que l’application strictede l’approximation des états quasi stationnaires montre que les phé-nomènes de propagation sont instantanés et sans affaiblissement.

Pour un problème comportant des conducteurs situés dans le vide(ou plutôt dans l’air), il existe alors un conflit si l’on pense (commele devoir nous l’impose) à considérer les conditions de continuitéentre les deux types de milieux puisque la propagation des

Figure 35 – Les demi-droites correspondent aux asymptotesdes courbes [(401)] et [(402)] en fonction de [(412)] ; les points indiquent quelques valeurs exactes

ω ωcγ

2ε-------= = et α c

2 β c2 µγ 2

4ε----------- εµω c

2 4π2

λ2---------

ω c

ω-------

2

= = = =

α2 ωc( ) 1 5+2

----------------- α c2 1,62 α c

2= =

β2 ωc( ) – 1 5 + 2

---------------------- β

c2

0,62 β

c2

= =

puisque

et

ω ωc<γ

2ε-------= k 1 j–( )±

ωµγ2

-------------1 j–

δ-----------±= =

ω ωc>γ

2ε-------=

1 jωc

ω--------–

2πλ

---------±=

k ω εµ j γ2----- µ

ε-----–

±=

Ey x, t( ) exp x δ -----–

Re E 0 y exp j ω t x δ -----–

=

H0zd1 j–ωµδ------------- E0y

γωµ--------- E0y exp j π

4 -----–

= =

Hz x, t( )d

exp x δ -----–

γ

ωµ --------- Re E 0 y exp j ω t x δ -----– π 4

-----–

=

lg 2 lg 2 lg /c( )

Ey x, t( ) exp εµ ω c x – ( ) Re E 0 y exp j ω t 2 π λ ------- x –

=

H0zdα jβ–

ω µ----------------- E0y

εµ----- 1 j

ω c

ω-------–

E0y= =

H0 z x , t( )[ ]d =

exp

εµω c x – εµ ----- 1

ω

c ω ------

2 +

1/2 Re E 0 y exp j ω t 2 π λ ------ x – arctan

ω

c ω

------–

∂D∂t

-----------

rot H

2j δ 2 ------–=

∆ A µ J+ 0=⇒

∆Vρε-----+ 0=⇒

D ε E=

∆ E j ωµγ E– ∆ E 2jδ 2------ E– 0= =⇒

∆H j ωµγ H– ∆H 2jδ 2------ H– 0= =⇒

α2 β2 ωµγ2

------------- 1δ 2------= = =⇒

phénomènes électromagnétiques serait instantanée dans lesconducteurs, tandis qu’elle s’effectuerait, dans l’air, à la vitesse dela lumière, la longueur d’onde λ correspondante étant égale àλ = 2πc /ω. On pourrait penser que cette difficulté disparaît quand onne considère que des conducteurs dont la longueur est faible devantλ (λ = 6 · 106 m pour une fréquence de 50 Hz, λ = 3 · 105 m pourf = 1 kHz), les champs dans l’air n’ayant alors pas assez d’espace pourvarier sensiblement. L’étude effectuée dans le paragraphe 3.6.3montre que ce point de vue est inexact, mais que, néanmoins, dansla plupart des cas concernant l’électrotechnique (conducteurs desection pas trop faible, fréquences pas trop élevées), l’approximationdes états quasi stationnaires fournit des prévisions numériquesconvenables.

3. Applicationsà l’électrotechnique

3.1 Le vecteur de Poyntinget les transferts d’énergie

Nous avons indiqué (§ 1.4.1) que la puissance apportée sousforme électromagnétique dans un volume pouvait s’obteniren considérant le flux du vecteur de Poynting (75) :

au travers de la surface qui limite le volume , ce flux étant

évalué par rapport à la normale unitaire entrante relative à cevolume.

Au sujet de la formulation mathématique de la loi (76) :

il faut noter les points suivants.

1o) Le signe de est très important :— si est positif, le volume absorbe de l’énergie qui sera

stockée ou dissipée ;— si est négatif, le volume fournit de l’énergie à

l’extérieur.

Il est donc nécessaire de bien préciser l’orientation de la normale

( et non pas sans indication).

2o) En revanche, il est inutile d’indiquer si l’évaluation de

sur la surface doit être effectuée pour des points intérieurs

ou extérieurs au volume . Pour démontrer cette propriété, il suffitde considérer, en un point M de cette surface, un trièdre d’axes ortho-

gonaux à droite M x y z en choisissant pour le sens de celui

de la normale entrante ; dans ces conditions et en ce point M,la relation :

(428)

ne fait intervenir que les composantes tangentielles de etnous savons que, même si coïncide avec la frontière de deuxmilieux, ces composantes sont respectivement égales pour les

points . La continuité de au travers dela surface est d’ailleurs obligatoire : sans cela il y aurait absorptionou création finie d’énergie dans une épaisseur infiniment faible !

Il faut remarquer que la relation (76) est générale : elle fournit lapuissance apportée sous forme électromagnétique sans qu’aucunehypothèse sur l’état ou la nature de la matière, sur le processus decréation ou de dissipation (effet Joule, hystérésis, etc.) de l’énergie,n’ait besoin d’être effectuée. Nous avons toujours mis en italique« sous forme électromagnétique » pour mettre le lecteur en gardecontre une fausse interprétation que nous pouvons combattre aumoyen d’un exemple très simple. Imaginons qu’un fil, parcouru parun courant (et donc siège de pertes par effet Joule), soit idéalementrefroidi par le milieu ambiant, la température du fil étant ainsi main-tenue à la valeur initiale qu’elle présentait avant le passage du cou-rant. La puissance électromagnétique apportée au fil (f ), et dontrend compte le vecteur de Poynting, serait alors pratiquement égaleà la puissance cédée sous forme de chaleur par le fil (f ) au milieuambiant (a) :

(429)

soit, pour la puissance formellement apportée au fil sous forme dechaleur :

(430)

ce qui conduirait à une valeur nulle de la puissance totale apportéeau fil :

(431)

Il convient donc de bien distinguer les puissances :• apportée au fil sous forme électromagnétique ; dans notre

cas, est positif ;• apportée au fil sous forme de chaleur par suite de

processus électromagnétique ; dans notre cas est négatif puisque le fil cède de la chaleur au milieu ambiant ;

• , puissance totale apportée ; dans notre exempleschématique, elle est nulle [relation (431)].

3.2 Éléments typiquesdes circuits électriques

Ces éléments (résistance R, capacité C, inductance propre L ) sontcaractérisés soit par des considérations énergétiques (§ 3.2.1), soitpar des relations U = F (I ) entre la différence de potentiel U et l’inten-sité I du courant qui leur correspondent (§ 3.2.2).

3.2.1 Relations énergétiques

Dans un premier temps, nous ne considérons que des élémentspurs ou idéaux caractérisés par une relation linéaire entre U (t ) etsoit l’intensité I (t ) du courant, soit l’intégrale temporelle de I (t ), soitla dérivée dI/dt. Le cas général sera évoqué au paragraphe 3.2.1.4.

Les éléments R, C, L sont alors respectivement liés à la puissancedissipée, à l’énergie stockée sous forme électrique et à l’énergiestockée sous forme magnétique ; ils correspondent ainsi, chacun àchacun, aux trois termes de la variation temporelle (à températureconstante) de la densité volumique d’énergie électro-magnétique [(86)] :

(432)

3.2.1.1 Résistances

La résistance d’un élément de circuit est le paramètre qui permetde déterminer la puissance dissipée dans cet élément quand onconnaît l’intensité I (t ) du courant qui le traverse [(445)].

em

SP E H∧=

S ( )

n e

em ( ) S ( )

E H∧( ) n e dS⋅=

em

em

em

n e n s ou n

E et H

S ( )

Mx

n e

SP n e⋅ E H ∧x

1⋅ Ey Hd , z Ez Hd , y–= =

E et Hd

S ( )

M η± n e 0 η 1<( ) SP n e⋅

Des exemples d’utilisation du vecteur de Poynting seront donnésdans les paragraphes 3.4 et 3.5.

em

Q f a→( ) em=

Q a f→( ) – Q f a →( ) =

tot a f→( ) em Q a f→( )+ 0= =

ememQ a f→( )

Q a f→( ) em–=

tot a f→( )

∂fem

∂t------------ E J⋅ E ∂D

∂t----------⋅ H ∂B

∂t-------⋅+ +=

Nous considérons d’abord le cas simple d’un conducteur cylin-

drique (axe ), infini, uniforme, régi par la loi d’Ohm, de section

constante S (définie dans un plan Oxz orthogonal à ), parcourupar un courant invariable en fonction du temps ; l’intensité Iy corres-

pondante est repérée dans le direction Oy (de vecteur unitaire ).

Dans le conducteur, le champ ne peut dépendre quede x et z puisque toutes les sections y = Cte doivent y jouir des

mêmes propriétés. Ce champ détermine :— d’une part, l’intensité du courant [(66)] :

(433)

— d’autre part, la densité linéaire de puissance dissipée :

(434)

Pour un conducteur déterminé (S, γ ) et une intensité Iy de courantimposée, la puissance dissipée doit être minimale, ce qui implique :

(435)

L’expression de la densité de charge ρ devient donc [(5) et (195)] :

(436)

ce qui entraîne ρ = 0.

La relation générale (365) se réduit à [(713)] :

(437)

et montre que V (x, y, z ) = V (y ) = (a – b y ) où a et b sont de véritablesconstantes indépendantes de x et z [(435)].

La seule composante de est donc b = Ey avec [(433)] :

(438)

Le champ étant uniforme, la puissance dissipée par effet Jouledans un tronçon de longueur du conducteur étudié est [(434)] :

(439)

En posant :(440)

on définit ainsi, dans le cas étudié, la résistance R par :

(441)

Toujours pour le même tronçon de conducteur, mais avec descourants périodiques (période T ), de fréquence pas trop élevée[(446)], on peut admettre que la répartition spatialement uniformede la densité de courant subsiste ; la moyenne temporelle de lapuissance dissipée est alors :

(442)

en définissant l’intensité efficace du courant au moyen de :

(443)

Dans le cas où les variations du courant sont sinusoïdales, avecI = Imax cos (ωt + ϕ ), l’intensité efficace du courant est simplement :

(444)

L’expression classique (441) de la résistance est liée à l’uniformitéde la densité de courant. Une telle répartition ne peut s’observer quesi deux critères sont satisfaits.

— Le conducteur doit être rectiligne et avoir une sectionconstante. Dans les situations opposées (tore des figures 47 et 48,configuration de la figure 51), les corrections à apporter sont faiblessoit quand le diamètre du conducteur est assez petit devant le rayonde courbure de l’ensemble [l’expression (497) dans le cas d’un toreà section circulaire], soit quand les sections ne sont trop différentes[(508)]. En général, pour les conducteurs, ces effets peuvent êtrenégligés ; en revanche, dans le cas des circuits magnétiques, leseffets correspondants sont susceptibles d’être importants et c’estpour cette raison que les détails des discussions sont donnés auxparagraphes 3.3.4 et 3.3.6.

— Les phénomènes ne doivent pas varier en fonction du tempsou plutôt, en étant réaliste, les variations temporelles ne doiventpas être trop rapides (cf. détails ci-après).

Pour un conducteur quelconque, l’utilisation de l’expressiontraditionnelle (442) de la puissance moyenne dissipée, même avecl’introduction d’une résistance apparente Rapp :

(445)

exige plusieurs précautions. Pour un courant continu, cette expression est exacte avec

Rapp (ω = 0) = R0 [(441) par exemple]. Pour un courant sinusoïdal, Rapp(ω ) augmente régulièrement

avec la fréquence pour atteindre un comportement asymptotique en

quand ω → ∞.

Pour un conducteur déterminé, Rapp(ω ) ne dépend alors que dela fréquence et peut donc être noté R (ω ). Pour, par exemple, un filmétallique, de section circulaire de rayon r0 , constitué d’un matériaucaractérisé par γ , µ et l ’épaisseur de peau δ [ (388)] , ledéveloppement :

(446)

donne des résultats exacts à 5 % près jusqu’à [soit

pour un fil de cuivre avec r0 = 1 cm, f < 170 Hz] ; aux fréquences

élevées, [cf. détails § 3.4.5].

Remarquons, de plus, que l’expression (446) montre que l’assimi-lation de R (ω ) à R0 [(441)] est valable à 5 % près quand la condition

est satisfaite.

Dans le cas d’une intensité de courant périodique quelconqueI (ωt ), Rapp dépend non seulement de ω mais également de la formede I (ωt ), cette influence étant d’autant plus sensible que la fréquenceest plus élevée (§ 3.4.7) ; en revanche, quand ω → 0, Rapp → R0 .

Oy

Oy

n y

E x, y, z( )

E x, z( )

Iy S

J n y dx dz⋅ γ S

Ey x, z( ) dx dz= =

ddy--------

SJ E dx dz⋅=

γ S

Ex2 x, z( ) Ey

2 x, z( ) E z2 x, z( )+ +[ ]dx dz=

Ex ∂ V / ∂ x – 0 = =

E

z ∂ V / ∂ z – 0 = =

ρ∂ ε Ey x, z( )[ ]

∂y------------------------------------ ε

∂Ey x, z( )∂y

---------------------------= =

∂2V∂x 2----------- ∂2V

∂y 2----------- ∂2V

∂z 2-----------+ + ∂2V

∂y 2----------- 0= =

E

Ey

Iy

γ S---------- I

γ S----------= =

E

S=

γ E y2 d γ I

γ

S ----------

2

S

γ

S ---------- I 2 = = =

RI 2=

R /γ S=

γ E 2S

γ S---------- I 2 R I 2= = =

~

I~

I 2 1T-----

0

T

I 2 t( ) dt I 2= =~

I Imax / 2=~

ω( ) Rapp ω( ) I 2=~

ω

R

app

ω

( )

R

ω

( )

γ

π

r

02

--------------- 1 148

------ r

04

δ

4 ------ … + +

= =

γ

π

r

02

--------------- 1 1192

---------- ω 2 µ 2 γ 2 r 04 … + +

=

ω 8/r 02 µ γ( )<

R ω( ) /2πr0 δ≈ ω µγ /2π 2 r0( )=

ω 3/r 02 µ γ( )<


3.2.1.2 Capacités

Dans le cas approché déjà considéré (§ 2.1.4.2), les liens entre

(432),

f

e

(131) et [(132), (209) et (218)] montrent

que l’énergie libre stockée sous forme électrique dans uncondensateur :

ne dépend que de la différence de potentiel

U

=

V

1

–

V

2

entre sesbornes.

Pour des

différences de potentiel périodiques

U

(

t

), la

moyennetemporelle de l’énergie stockée

est :

(447)

la valeur efficace correspondante est définie de la même façon

que [(443)], avec dans le cas de phénomènessinusoïdaux.

3.2.1.3 Inductances propres

D’après ce que nous avons établi sur l’énergie libre magnétique,

les liens entre (432),

f

m

(261) et [(262), (289)et (300)] montrent que la contribution relative à une inductancepropre

L

est :

(448)

avec [(443)], dans le cas de phénomènes

périodiques

:

(449)

3.2.1.4 Cas général

Nous venons d’examiner le rôle des éléments

purs R, C, L

. Laréalité est souvent plus complexe comme le montrent les deux

exemples

suivants.

Pour un

fil conducteur

parcouru par un courant, on observe à lafois une dissipation de puissance et une énergie stockée sous formemagnétique ; il faut donc associer les effets d’une

résistance

etd’une

inductance propre pour traduire l’ensemble des phénomènes.

Pour représenter une bobine constituée par un conducteurenroulé autour d’un noyau magnétique, il faut combiner les actionsde trois éléments :

— une résistance qui traduit les pertes par effet Joule dans leconducteur et les pertes dans le noyau, par hystérésis et par courantsde Foucault (§ 3.5.6) ;

— une inductance propre liée à l’énergie magnétique stockée dansle noyau et (pour une part extrêmement faible) dans le conducteur ;

— une capacité pour tenir compte de l’énergie électrostatiquedue aux très faibles différences de potentiel qui existent entre lesparties en regard de spires voisines.

3.2.2 Relations entre différence de potentiel Uet intensité I de courant. Notion d’impédance

Les relations U = F (I ) qui caractérisent chaque élément typique(R, C, L ) sont quelquefois entourées d’un certain flou au sujet deleurs signes, aussi ce paragraphe sera surtout consacré à ceux-ci.

3.2.2.1 Résistances

Quand elle est valable [une des conditions nécessaires étant lecaractère uniforme du matériau (§ 1.3.2)], la loi d’Ohm établit une

relation intrinsèque (c’est-à-dire libre de toute convention)

entre la densité de courant et le champ électrique . En revanche,le signe à adopter dans la relation entre l’intensité I du courant etla différence de potentiel U (exemple : U = ± RI ) ne peut être déter-miné que si des conventions indiquent le sens dans lequel chaquevariable (I et U ) est mesurée.

Convention relative aux intensités de courant

Nous avons montré que, dans le conducteur considéré au débutdu paragraphe 3.2.1.1, la densité de courant est uniforme. Si, sansdiscussion, la valeur absolue | I | de l’intensité du courant est alors

égale à , le signe qui relie I à ne peut être fixé sansconvention c’est-à-dire sans indiquer le sens dans lequel l’intensitéest repérée (§ 1.1.3) :

— si le sens choisi est indiqué par la flèche de Iα (figure 36a ),on a :

(450)

où est la normale unitaire dirigée de 1 vers 2 et ayant poursupport la ligne médiane de l’élément de circuit examiné ; à titre

d’exemple Iα est positif si est dirigé de 1 vers 2 ;— si le sens choisi est indiqué par la flèche de Iβ (figure 36b ),

on a :

(451)

— la figure 36c ne permet pas de choisir entre (450) et (451) ;cette notation incomplète est donc à prohiber.

Dans le conducteur qui vient d’être considéré, le champ électrique

est uniforme de sorte que la différence de potentiel entreles sections repérées par 1 et 2 (figure 37) s’exprime par :

(452)

où désigne la distance (toujours positive) entre les sectionsconsidérées.

Grâce aux relations (450) et (451), nous obtenons alors :

(453)

(454)

où R est la résistance correspondant au tronçon de conducteurétudié.

δfe E δ D⋅= e

e12----- C V1 V2–( )2≈ 1

2----- C U 2=

e12----- C U 2 1

2----- C U 2= =

~

U~

I~

U Umax / 2=~

δfm H δB⋅=

m

m12-----L I 2=

m12-----L I 2 1

2-----L I 2= =

~

Figure 36 – Définitions (a et b ) et non-définition (c )de l’intensité d’un courant

J γ E=

J E

S J S J

Iα I12 S J n12⋅ S γ E n12⋅= = =

n12

E

Iβ I21 S J n 21⋅ S γ E n 21⋅ S γ E n12⋅–= = = =

E J /γ=

V1 V2– V r1( ) V r 2( )–=

r2

r1

E d r⋅– E r 2 r 1–( )⋅ E n12 ⋅= ==

V1 V2–

S γ---------- I12 R I12= =

V1 V2–

S γ ----------– I 21 R – I 21 = =



Convention relative aux différences de potentiel

La notation quasi universelle correspond, pour la figure 38, à :

U = VA – VB (455)

où ce qui concerne le point A s’obtient en partant de B et en ajou-

tant ce qui correspond à la flèche :

VA = VB + (U ) = VB + (VA – VB)

cette convention est du même type que celle utilisée en géométrie

où la composante sur l’axe du vecteur est [(455)]

= x Ai – x Bi . Dans certains ouvrages helvétiques [9], laconvention opposée est utilisée, ce qui correspond, pour la figure 38,à U = VB – VA .

La notation de la figure 39 est stupide, U ne pouvant avoir aucunsigne : un voltmètre [(VA – VB) = – (VB – VA)] ne peut donner desindications du type de celles fournies par un pied à coulisse (dis-tance de A à B = distance de B à A) !

Combinaison des conventions

Sur la figure 40, où U = V1 – V2 , les parties a et b montrent, à partirde la figure 36 et des équations (453) et (454), que :

U = + R I12 = + R Iα (456)

et U = – R I21 = – R Iβ (457)

cela peut se résumer en disant que la loi d’Ohm est du style U = + R Iquand les flèches qui définissent U et I sont de sens opposés, tandisque U = – R I correspond aux cas où les flèches sont de même sens.

Ces notations (U = ± R I ) sont uniquement liées aux sens repèredéfinis pour U et I et n’ont évidemment rien à voir avec les signesréels de U et I ; pour la figure 40a par exemple, on peut aussi bienavoir U et Iα positifs que U et Iα négatifs.

Les précautions qui viennent d’être indiquées sont très utiles pourla bonne application du théorème de Thévenin (cf., dans ce traité,articles Réseaux électriques linéaires [D 60]), qui nécessite la défi-nition du sens dans lequel est repérée la force électromotrice E déli-vrée par le générateur idéal.

3.2.2.2 Capacités

Relations entre la charge d’une électrode et l’intensité de courant

Pour l’intensité de courant repérée sur la figure 41a, la relationentre Iα et la charge Q1 est [(34)] :

Iα = + dQ1 /dt (458)

Pour s’en convaincre simplement, sans utiliser la relation decontinuité (32), il suffit de supposer que Iα est positif, ce qui entraîneune augmentation des charges de l’électrode 1 en admettant quele condensateur est idéal et qu’aucune charge ne peut franchir leplan P ; si Iα était négatif, la charge Q1 diminuerait et (458) seraitencore valable.

Le lecteur doit maintenant vérifier que, pour la figure 41b, avecIβ = – Iα , on observe :

Iβ = – dQ1 /dt (459)

La figure 42 correspond à l’ensemble d’un condensateur avec,comme notations,

(460)

dans ces conditions, on a :

(461)

Figure 37 – Différence de potentiel entre deux sectionsd’un conducteur : définition

U

Oi BA

BA( )i

Figure 38 – Convention quasi universellepour repérer une différence de potentiel

Figure 39 – Exemple de notation stupidepour repérer une différence de potentiel

Figure 40 – Conventions nécessaires pour écrire la loi d’Ohm

Figure 41 – Relations entre intensité de courant et chargedans un condensateur

Iα I12=

Iβ I21=

dQ1

dt----------- I12 I 21 –= =

d

Q

2

dt

-----------

I

21 I 12 –= =

d

Q

i

dt

----------

I

ij I ji –= = soit


Nous avons tenu à détailler ces relations très simples parce quenous avons remarqué que certaines contrevérités du style«

I

= + d

Q

/d

t

quand le condensateur se charge et

I

= – d

Q

/d

t

quandil se décharge » sont encore répandues : les relations (461)dépendent uniquement des conventions de sens effectuées et sontindépendantes de l’évolution du condensateur.

Relation entre la charge des électrodes et la différence de potentiel

Là aussi il convient de lutter contre la relation

asexuée

du type

Q

=

C U

qui ne renseigne que sur la faible rigueur de son utilisateur.

En

admettant le caractère linéaire

de la relation entre les chargeset la différence de potentiel, nous avons montré que [(213)] :

Q

i

=

C

(

V

i

–

V

j

)

soit

Q

1

=

C

(

V

1

–

V

2

)

(462)

et

Q

2

=

C

(

V

2

–

V

1

)

(463)

Si (

V

1

–

V

2

) est positif, le champ (avec ) estdirigé de 1 vers 2, ce qui correspond à des charges positives surl’électrode 1 et négatives sur l’électrode 2 ; dans le cas contraire[(

V

1

–

V

2

) < 0], la relation

Q

1

=

C (V1 – V2), avec Q1 négatif, est encorevalable.

Relation entre l’intensité du courant et la différence de potentiel

La combinaison de (461), (462) et (463) fournit, avec U = V1 – V2(figure 42) :

soit (464)

et (465)

Nous retrouvons une loi identique à celle notée pour l’applicationde U = ± R I : quand les flèches qui définissent U et I sont de sensopposés, I = + C dU /dt, tandis que I = – C dU /dt correspond aux casoù les flèches sont de même sens.

3.2.2.3 Inductances propres

Considérons (figure 43a ) une bobine et ses connexions dont les parties sont pratiquement

confondues. Pour simplifier, nous supposons que l’ensemble est formé d’un fil, d’un matériau uniforme, de section constante Set de conductivité γ . Nous supposons également que la bobine estindéformable et fixe par rapport au système d’axes utilisé.

Calculons la circulation du champ [(345)] :

le long du trajet orienté de . L’utili-

sation de (le matériau est uniforme), soit :

(466)

fait apparaître l’intensité I12 du courant ainsi que la résistance de l’ensemble de la bobine et de ses connexions.

La prise en compte du deuxième membre de (345) introduit deuxintégrales :

— l’évaluation de la première :

(467)

est très facile ;— la seconde intégrale :

(468)

Figure 42 – Relations entre intensité de courantet différence de potentiel dans un condensateur

E E grad V–=

IijdQi

dt----------- C d

dt------- Vi Vj–( )= =

I12 C ddt------- V1 V2–( ) C dU

dt---------= =

I21 C dUdt

---------–=

12

11 et 22 m11 et m22

12

Figure 43 – Étude d’une bobine

i

E grad V– ∂ A∂t

----------–=

1m1 12 m22 1 vers 2

J γ E=

i 2

E d12⋅=

1 m112m22( )

1γ

------

1

2

J d 12 ⋅ R I 12 ==

R 12/γ S=

iV et iA

iV 2

grad– V d12⋅ V1 V2–= =

1 m112m22( )

iA 2

∂ A ∂ t ----------– d 12 ⋅

m

2

∂ A ∂

t

---------- d 12 ⋅ –= =

1

m

1

1

2

m

2

2

( )

m

1

1

2

m

2

( )

Γ( )

∂

A ∂ t

---------- d Γ ⋅ –=


se simplifie en remarquant que les parcours (quasiconfondus) donnent des contributions opposées et que seul est àconsidérer le trajet qui peut être assimilé au contour

fermé puisque les points

m

1

et m2 sont pratiquement en coïn-cidence. La bobine étant indéformable, nous avons encore [(230)] :

(469)

où , qu’il faut évaluer en utilisant la relation (290), est le fluxd’induction relatif à l’ensemble de la bobine et de ses connexions(un flux ne pouvant être défini qu’au travers d’une surface limitéepar un contour fermé ).

De la relation [(345)], nous tirons :

(470)

en remarquant l’identité des intensités de courant I12 et IΓ . L’expres-sion (294) est donc valable et fournit, quand les inductancesmutuelles n’interviennent pas :

(471)

Le schéma correspondant est indiqué sur la figure 43b.

3.2.2.4 Notion d’impédance

Nous venons de montrer que lorsque, d’une part, la flèche qui sertde repère pour l’évaluation de l’intensité I d’un courant et, d’autrepart, la flèche qui, par convention, indique la différence depotentiel U considérée, sont de sens opposés (figure 44), les rela-tions à utiliser pour des éléments idéaux sont :

(472)

les signes « moins » correspondent aux cas où les flèches sont demême sens.

En régime sinusoïdal, les relations correspondantes :

(473)

fournissent respectivement les impédances soit :

(474)

3.2.2.5 Considérations énergétiques

Pour l’ensemble de trois éléments idéaux, représenté sur lafigure 44, nous avons [(472)] :

(475)

Le produit U I est donc la puissance fournie par le réseaupuisqu’elle correspond, d’une part, à la puissance dissipée R I2 et,d’autre part, aux variations temporelles des énergies stockables(1/2) CU 2 et (1/2) L I2.

Pour des phénomènes périodiques (période T ), et les élémentsidéaux considérés, la puissance moyenne dissipée est donnée par :

(476)

Précisons encore que, si les phénomènes sont purement sinusoï-daux [§ 3.4.6 et (446) par exemple], on a :

tandis que, dans le cas général [§ 3.4.7 et (445)], on a alors :

3.3 Circuits magnétiques

3.3.1 Notion de réluctance

La réluctance d’un circuit magnétique, autour duquel N spires(parcourues par un courant d’intensité I ) sont enroulées (figure 45),est définie par le rapport du produit N I (désigné par forcemagnétomotrice ) au flux Φ d’induction magnétique dans le circuit :

(477)

Quand la réluctance est bien déterminée (c’est-à-dire indépen-dante de l’intensité I du courant), elle joue un rôle très utilepuisqu’elle permet d’obtenir la grandeur intéressante (le flux Φ ) àpartir de la force magnétomotrice imposée.

Pour assurer l’indépendance de la réluctance vis-à-vis del’intensité I du courant, il faut que deux critères, au moins, soientsatisfaits :

1o ) le théorème d’Ampère (30) doit être valable et, parconséquent, le courant doit être invariable en fonction du temps ousatisfaisant aux conditions des états quasi stationnaires (§ 2.3) ;

2o) tous les matériaux constituant le circuit doivent être idéaux

( pour le matériau i ).

1m1 et m22

m112m2

Γ( )

iAd

dt-------

Γ( )A dΓ⋅–

ddt-------

S Γ( )rot A dSΓ⋅–= =

ddt-------–

S Γ( )B dSΓ⋅ d

dt------- Φ Γ( )–==

Φ Γ( )

i iA iV+=

V1 V2– R I12d

dt------- Φ Γ( )+=

U V1 V2– R I12 LdI12

dt-----------+= =

UR + R I=

dUC

dt------------ + I

C-----=

UL L dIdt--------=

UR R I=

j ω UC1C----- I=

UL j ωL I=

Z U / I=

ZR R=

ZC1

j ω C---------------=

ZL j ω L=

Figure 44 – Étude d’un circuit composite : schéma équivalent

U I UR I UC I UL I+ +=

RI( ) I UC C d

U

C

d

t -------------

L d

I

d

t

------- I + +=

R

I

2

12

-----

C

dd

t

-------

U

C

2

12

-----

L

dd

t

-------

I

2

+ +=

1T-----

0

T

U I dt 1T-----

0

T

R I 2 dt= =

R ω( ) I 2 R ω( ) I 2= =

Rapp ω( ) I 2=

NIΦ

---------=

B µi H =



Les relations linéaires entre

I

et (2

o

), et

donc entre

I

et

Φ

, assurent ainsi une définition de sans ambiguïté.

Dans le cas où seul le premier critère est respecté, la relation entre

Φ

et

N

I

ne peut être déterminée que par un calcul complet (par laméthode des éléments finis par exemple) et la relation (477), mêmeavec une valeur bien choisie de , ne peut fournir que des valeursapprochées de

Φ

en fonction de

N

I

.

Dans le cas où non seulement les deux critères que nous venonsd’énoncer sont satisfaits, mais encore les conditions suivantes sontvérifiées :

— le circuit est constitué d’un seul matériau uniforme défini par

;— la section

S

du circuit est constante ;on peut obtenir une expression approchée de la réluctance sous laforme :

(478)

désignant la longueur du contour

moyen

du circuit magnétique.

L’analogie formelle entre cette expression (478) et celle (441)concernant la résistance, définie sous des conditions du même type

[ et (

S

=

Cte

)], peut conduire, sans justificationdirecte [(503)], à proposer, pour la réluctance d’un circuit magnétiquecomposé d’éléments

i

(caractérisés par ,

µ

i

et

S

i

) en série, l’expres-

sion traditionnelle suivante :

(479)

Cette formule, même approchée, montre que, pour un circuitcomprenant un entrefer (figure

45

), le terme prépondérant de laréluctance est celui en 1/

µ

0

.

Dans la suite du paragraphe 3.3, après voir donné les lois régissantles tubes de flux, nous établirons des expressions exactes de la réluc-tance d’un circuit magnétique, ce qui nous permettra de donnerles conditions de validité des expressions traditionnelles.

3.3.2 Les tubes de flux

La relation (7) montre que les lignes de flux (cf. parexemple repère c

f

de la figure

46

) ne peuvent former que descontours fermés. Un tube de flux est la partie de l’espace située àl’intérieur de l’ensemble des lignes de flux qui s’appuient sur unecourbe fermée (repère

Γ

).

L’étude effectuée (§ 2.2.1.3) à partir de et relative aux

tubes de courant

a montré que le flux de (223) est constant quelleque soit la section considérée de ce tube de courant ; à partir de

, la même technique mathématique appliquée au

tube Ade flux

indique que le flux :

(480)

est constant quelle que soit la section

S

i

considérée du tube A, quecelle-ci soit droite (c’est-à-dire orthogonale aux lignes de flux)

comme ou quelconque comme ; à l’inté-rieur du tube, nous considérons des tubes élémentaires (repère f)de section ∆ S très petite, les parois de ces tubes étant uniquementconstituées de lignes de flux ; la relation (480) s’applique à chaque

tube élémentaire et correspond alors à un flux

∆

Φ

(

∆

Φ

f

pour letube élémentaire f ).

Les

signes

ne peuvent être définis que lorsque chaque grandeurest bien repérée : sur la figure

46

nous indiquons l’orientation

commune de tous les contours moyens des tubes élémen-taires ainsi que le sens repère de l’intensité

I

du courant sur la partiesupérieure (en trait plein et la seule visible) des spires de la bobine.

Avant d’appliquer le théorème d’Ampère (30), nous remarquonsque, avec les conventions choisies sur la figure, sur chaque ligne

de flux, on a (en axes à droite) de même

quand d

S

est l’aire de la section

droite

du tube,

tandis que la valeur de l’intégrale en est simplement +

I

pourune spire et donc

N

I

pour l’ensemble de la bobine. Pour simplifier

la suite de l’exposé, nous supprimerons les indices « d » à .Dans ces conditions, la relation (30), quel que soit le tube élémentairef considéré, fournit toujours par intégration le long du contour moyen

de ce tube :

(481)

À titre d’

exemple

, la figure

46

schématise une bobine comprenant

N

spires et le tube A de flux (qui ne correspond qu’à une partie duflux

Φ

relatif à la bobine).

H r( ) 1o( ), H r( ) et B r( )

B µ H=

µS--------=

J γ E=( )

i

i

µi Si--------------

i∑=

divB 0=

divJ 0=

J

divB 0=

ΦA S Γi( )

B dS⋅=

S1 S Γ1( )=

S2 S Γ2( )=

Figure 45 – Représentation d’un circuit magnétique

Figure 46 – Définition des tubes de flux

C

c f

H dc⋅ Hddc=

B dS⋅ Bd dS=

J dS⋅

H et B

cf

θ 0 cf( )=

θ 2π=

Hf θ( )df

dθ--------- dθ NI=



la variable θ, qui, dans le cas général, n’est pas un angle, sert à repérerles différents points du contour cf , les surfaces θ = Cte étant ortho-gonales aux lignes de flux de l’ensemble du tube (et non pas seu-lement d’un tube élémentaire). Si les conditions sont telles (§ 2.2.1.5)

que l’on puisse utiliser , les surfaces θ = Cte sont

les surfaces Um = Cte. La surface qui est orthogonale auxlignes de flux correspond ainsi à θ = θ1 et à Um = Um1 . La notationθ ne doit pas faire croire que les systèmes examinés ont nécessai-rement une symétrie de révolution ; la figure 45 fournit un exempleà ce sujet.

3.3.3 Les deux expressions exactes de la réluctance

Ces expressions s’obtiennent en décomposant le système étudiéen un très grand nombre de tubes élémentaires de flux, ces tubesétant en parallèle les uns avec les autres. L’ensemble des flux élé-mentaires ∆Φ doit fournir le flux total Φ.

Pour obtenir la première expression de , nous considéronsdes tubes élémentaires f quelconques. Dans la section droite(repérée par θ ) du tube f, on a [(480)] ∆Φ f = B f (θ ) ∆S f (θ ).

En introduisant la valeur µ (f, θ ) de la perméabilité au pointconsidéré, la relation (481) devient :

(482)

et définit ainsi la réluctance [par analogie avec la relation (477)] :

(483)

correspondant au tube f.

Pour l’ensemble des F tubes élémentaires (en parallèle) dusystème, il vient :

(484)

ce qui montre que [(477)] :

(485)

Cette expression est à rapprocher de celle concernant la résistance

R d’éléments (R f) mis en parallèle, soit .

Pour obtenir la deuxième expression de , nous définissons unensemble particulier de G tubes élémentaires (en parallèle) en pré-cisant que chacun de ces tubes g correspond au même flux ∆Φ = Φ /G(les tubes élémentaires f correspondaient à un flux ∆Φ f quelconque).

Pour un tube g, l’expression (482) s’écrit :

(486)

On en tire, d’après (477) :

(487)

cette expression est valable quel que soit le tube g considéré, cerésultat étant dû à la définition particulière de ces tubes.

La réluctance (487) correspond aux différents éléments mis ensérie dans le tube élémentaire g considéré [(479)] ; de façon analogue

la résistance R d’éléments (Ri ) mis en série est .

Dans le paragraphe 3.3.4 nous donnons un exemple d’applicationdes deux expressions de .

3.3.4 Circuit magnétique à section constante composé d’un milieu uniforme

Même dans ce cas, le plus simple, la formule traditionnelle (478)n’est valable qu’en introduisant une longueur équivalente telleque :

(488)

cette longueur équivalente étant différente (assez peu en général)de la longueur du contour moyen du circuit, longueur qu’un obser-vateur non averti pourrait croire être la bonne.

À titre d’exemple, considérons (figure 47) un tore, de rayon

moyen rmoy , d’axe et de section droite rectangulaire (d’aire4ab ) sur lequel N spires jointives (et donc régulièrement espacées)ont été bobinées. Le matériau constituant le tore est uniforme (B = µHavec µ > µ0 ) et compris entre les rayons (r moy – a ) et (r moy + a )et z = ± b.

Ce tore peut être ainsi identifié à bon droit avec le tube de fluxqui correspond au flux total Φ ; les surfaces orthogonales auxlignes de flux sont repérées par θ = Cte où θ possède ici sa signifi-

cation habituelle d’angle [(481)] autour de l’axe .

Dans la suite de l’article, nous distinguerons toujours les tubesf (flux ∆Φ f quelconque) des tubes g (flux Φ /G quel que soit le tubeconsidéré de cette famille).

H grad Um–=

S Γ1( )

0 cf( )

2π∆Φf

µ f, θ( ) ∆S f θ( )------------------------------------------

df

dθ--------- dθ NI=

∆f

1µ f, θ( ) ∆S f θ( )------------------------------------------

df

dθ--------- dθ∆f

NI∆Φf----------

0 cf( )

2π

= =

Φ ∆Φff 1=

F

∑ NI 1∆f----------

f 1=

F

∑= =

1------

1∆f-----------

f 1=

F

∑=

1/R 1/Rf( )f

∑=

Figure 47 – Coupe axiale d’un tore d’axe et de section rectangulaire

1µ g, θ( ) ∆Sg θ( )---------------------------------------------

dg

dθ----------- dθ NI= Φ

G------

θ

0 c

g

( )

=

θ

2

π

=

θ 0 cg( )=

θ 2π=

=1

µ g, θ( ) G∆Sg θ( )--------------------------------------------------

dg

dθ----------- dθ

R Rii

∑=

eq

eq /µS=

Oz

Oz

Oz


Considérons un tube élémentaire f qui est défini, sans précautionspéciale, en indiquant que tous ses points sont à une distance

r

de

l’axe telle que

r

f

<

r

<

r

f

+ d

r

f

, ce qui correspond àd S f = 2 b d r f . L’adaptation de la première expression (482) fournitalors :

(489)

ce qui conduit à [(485) et (483)] :

(490)

Le dernier membre met en évidence le résultat simpliste quiserait obtenu avec .

En posant

a

=

s r

moy

, la longueur équivalente est :

(491)

où

m

(

s

) tend évidemment vers l’unité quand

s

tend vers zéro(figure

48

a

). La longueur équivalente, définie par :

(492)

est plus petite que la longueur simpliste , puisque les

faibles longueurs 2

π

r

des lignes de flux sont privilégiées dans (492).

Pour utiliser la

deuxième expression

(487), nous calculons d’abordle flux :

(493)

puis la largeur

∆

rg qu’il faut attribuer au tube élémentaire g (définipar rg < r < rg + ∆rg) en nous servant de la relation (486) dont l’inté-gration fournit :

(494)

ce qui, par l’intermédiaire de (487), conduit au résultat déjàobtenu (490) :

(495)

et ce, quel que soit le tube considéré de la famille g.Nota : on pourrait critiquer ce type de calcul en indiquant qu’il ne sert à rien puisque

l’évaluation, obligatoirement préalable, de Φ fournit la réluctance [(493) et (477)]. L’intérêtsera explicité au paragraphe 3.3.5.

Pour les tores à section quelconque, en désignant par S (r ) drla surface de la section droite qui est située à une distance comprise

entre r et r + dr de l’axe (les valeurs extrémales de r sont notéesr inf et rsup), on a [(485)] :

(496)

où, dans le dernier membre, le second facteur est l’aire de la sectiondroite tandis que le troisième est égal à l’inverse de la longueuréquivalente. On trouve ainsi, par exemple, pour un tore de section

circulaire avec rmoy – r0 < r < rmoy + r0 et s = r0 /rmoy :

(497)

En revenant au paragraphe 3.2.1.1, la résistance d’un tore de

même géométrie [ ; r moy ; s = r 0 /r moy] est égale à

p (s ) (2 π rmoy /γ ).

3.3.5 Circuit magnétiquecomposé d’une suite de milieux uniformes

En introduisant la perméabilité µi de chaque milieu i, l’expression(487) relative à un tube élémentaire g (avec ∆Φ = Φ /G) devient :

(498)

À titre d’exemple, nous avons représenté sur la figure 48b la coupe

perpendiculaire à l’axe d’un tore qui correspond à s = 0,5 ; dans cecas, la longueur simpliste 2 π rmoy conduit à une erreur de 9 %.

Oz

dΦf 2π r f⋅µ 2b dr f⋅

----------------------------- N I=

1------

µbπ

-------rmoy a–

rmoy a+

=

dr f

r f---------

µbπ

---------rmoy a+

rmoy a–----------------------

ln=

µ 4ab⋅2π rmoy-----------------------

rmoy

2a------------

rmoy a+

rmoy a–----------------------

ln=

2π rmoy soit 1/ µ 4ab⋅ / 2π rmoy[ ]==

eq

eq 2π rmoy2a

rmoy rmoy a+

rmoy a–----------------------ln

--------------------------------------------------=

2π rmoy2 s 1

s

+

1

s

–--------------

ln

--------------------= 2 π r moy

m s ( ) =

1eq--------

12a--------

rmoy a–

rmoy a+

= dr2 π r---------------

2 π rmoy=

Oz

Φ rmoy a–

rmoy a+

=µ N I2 π r

-------------- 2 b dr N Iµ bπ

----------rmoy a+

rmoy a–----------------------

ln=

1G------- N I µ b

π----------

rmoy a+

rmoy a–----------------------

ln2 π rg

µ 2 b ∆ rg--------------------------- N I=

2 π rg

µ G 2 b ∆ rg( )------------------------------------- π

µ brmoy a+

rmoy a–----------------------

ln------------------------------------------------= =

Figure 48 – Longueur équivalente d’un toredu type représenté sur la figure 47.

Oz

1------ µ

rinf

rsup

= S r( )dr2 π r

---------------------- µ= rinf

rsup rinf

rsup

S r( ) dr2 π r

-----------------------

rinf

rsup---------------------------------------

S r( )dr S r( )dr

π r 02

eq

2 π rmoy----------------------- s 2

2 1 1 s 2–– --------------------------------------- p s( ) 1 s 2

4-------– s 2

16-------– …–= = =

π r 02

π r 02

1µi------

θg, i min cg( )

θg, i max

i∑=

1G ∆Sg θ( )------------------------------

d

g d θ ------------ d θ 1

µ

i ------

S

------ g,

ii

∑ =


où θg, i min et θg, i max sont respectivement la plus petite et la plusgrande valeur de θ observée dans le milieu i le long du tube g ; c’estl’intégrale en θ relative au milieu i qui définit le paramètre .Nous savions déjà que la valeur est toujours la même quel quesoit le tube considéré ; nous venons de montrer que l’expressionde prend bien la forme traditionnelle pour des élé-

ments en série, mais l’insatisfaction s’instaure quand on remarqueque dépend du tube g considéré.

Pour mettre cette propriété en évidence, considérons un circuitmagnétique comportant un entrefer (figure 45), en s’intéressant plusparticulièrement à la région voisine de celui-ci (figure 49) et auxtubes élémentaires α et β qui correspondent au même flux Φ /G.

Pour les tronçons de ces tubes compris entre les surfaces défi-

nies par , l’utilisation de fournit, enremarquant que le tronçon relatif au tube α est dans l’air tandisque le tronçon correspondant au tube β est dans un matériau deperméabilité µ :

(499)

soit encore :

(500)

L’élément correspondant de la réluctance :

(501)

peut ainsi s’exprimer en faisant intervenir des perméabilités diffé-rentes ; pour le tube γ , situé entre α et β et indiqué seulement parsa fibre moyenne cγ , nous avons même :

(502)

Cet exemple, concernant l’élément de la réluctance du cir-cuit examiné, montre que, de façon générale, dans les différentesformulations de relatives aux différents tubes élémentaires, lefacteur de (1/µi ) relatif au matériau i dépend du tube g considéré,les différentes formulations de conduisant malgré tout à lamême valeur numérique.

On ne peut donc s’affranchir du rôle d’un tube g particulier quepar une formulation portant sur tous les tubes, chacun de ces tubesjouant le même rôle puisqu’ils correspondent au même flux Φ /G.L’expression ainsi obtenue [(498)] :

(503)

justifie la formule traditionnelle en donnant l’expression rationnelle(indice rat), mais compliquée !, de :

(504)

3.3.6 Détermination pratique de la réluctance

L’expression (504) a le mérite de montrer ce qu’il faudrait faire maisparaît peu adaptée aux problèmes pratiques. À titre d’exemple, lafigure 50, dans sa zone hachurée, montre une partie de la zone àexplorer pour déterminer le terme prépondérant [en (1/µ0)] relatifà la réluctance d’un circuit magnétique présentant un entrefer(figure 49).

Pour que l’influence d’un morceau de matériau i dans un circuitmagnétique puisse intervenir par la présence d’un terme dans l’expression traditionnelle (479) de la réluctance, il faudraitque toutes les conditions suivantes soient satisfaites :

— le matériau i doit être idéal et uniforme [ ]quel que soit le point du matériau i ;

— le morceau doit avoir la forme d’un cylindre droit, la hauteurétant désignée par et l’aire de la section droite par Si ;

— dans tout le volume du matériau, les lignes de champ doiventêtre parallèles à la hauteur du cylindre ;

— il n’existe pas de lignes de champ à l’extérieur du matériau,une des conditions nécessaires étant que µi soit extrêmement grandpar rapport à la perméabilité (µ0 le plus souvent) du milieu extérieur.

Dans ces conditions, les erreurs commises en utilisant la formu-lation simpliste (479) sont liées aux situations suivantes :

— présence de milieux non idéaux où n’est pas proportionnel

à ;— frontière commune (en série dans le circuit magnétique) de

deux milieux de perméabilités très différentes (cf. l’entrefer de lafigure 49) ;

— variations brusques de la section d’un matériau (figure 51) ;— raccordement de deux parties (du même matériau ou de maté-

riaux différents) où les orientations moyennes privilégiées deschamps sont différentes (figure 52) ;

Figure 49 – Étude schématique détaillée du voisinage d’un entrefer

/S( )g, i

i∑=

/S( )g, i

1 et 2 H grad Um–=

θ1 cα( )

θ2

Hα θ( )dαdθ

----------- dθ θ1 cβ( )

θ2

= Hβ θ( )dβ

dθ---------- dθ Um θ1( ) Um θ2( )–=

Φ 1µ0--------

θ1 cα( )

θ2

1G ∆Sα θ( )---------------------------

dαdθ

----------- dθ

Φ 1µ-----

θ1 cβ( )

θ2

=1

G ∆Sβ θ( )---------------------------

dβ

dθ---------- dθ Um θ1( ) Um θ2( )–=

12

121µ0--------

S------12, α

1µ

------ S-----12, β

Um θ1( ) Um θ2( )–

Φ----------------------------------------------= = =

121µ-----

S------13, γ

1µ0--------

S------32, γ

+=

12

1G------ 1

µi------

i∑

S------g, i

g 1=

G

∑ 1µi------

i

Si-------

ratg 1=

G

∑= =

i /Si( )rat

i

Si-------

rat

1G------

S------g, i

g 1=

G

∑=

i /µi Si( )

B µ H=( )

µ r( ) µi=

i

B

H


— présence d’une courbure des lignes de champ (cette situationest impossible à éviter puisque les lignes de champ sont obligatoi-rement fermées).

L’évaluation des erreurs commises est très difficile. Nousdonnons ci-après, dans l’ordre adopté pour leur classement,quelques commentaires à ce sujet.

a) Dans un circuit présentant un entrefer, le terme relatif à l’airest très souvent le plus important ; les erreurs commises en ne tenant

pas compte des relations exactes entre dans un milieu fer-romagnétique sont alors faibles.

b) Le rôle d’un entrefer est très délicat à évaluer (figures 49 et 50).Dans la littérature, il est indiqué que la valeur simpliste estplus élevée que la valeur réelle puisque les lignes de champ s’épa-nouissent dans l’entrefer et que la surface à prendre en compte estdonc supérieure à Se . Il est en réalité difficile de conclure simplement[(501)] parce que la longueur des lignes de champ est toujours supé-rieure (ou égale) à , la surface effective ne pouvant croître sansune augmentation corrélative de la longueur des lignes de champ.Une évaluation expérimentale approchée peut être effectuée quand,dans les matériaux qui limitent l’entrefer et pour tous les points P

de la surface correspondante, le rapport est très granddevant l’unité ; dans le cas particulier où le matériau est idéal (avec

) cette condition revient à .

Les lignes de champ dans l’air (figure 49) sont alors quasiorthogonales aux surfaces libres de ces matériaux, chacune de cessurfaces correspondant à une valeur quasi constante du potentielmagnétique Um . Cette situation est à rapprocher de celle des lignes

de champ dans l’air, qui sont orthogonales aux surfaces libresd’un conducteur (métal par exemple) quand celui-ci n’est parcourupar aucun courant. On peut alors rapprocher l’expression de la capa-cité entre deux conducteurs i et j situés dans l’air [(216)] :

(505)

de celle de la réluctance d’un entrefer entre deux parties i et j situéesdans l’air [(501)] :

(506)

Les expressions (505) et (506) montrent que, si les mêmesformes extérieures sont adoptées, la mesure de C peut donner unevaleur approchée de :

(507)

puisque sont régis par le même type d’équation

, satisfaisant les mêmes conditions aux limites.

Il faut remarquer que, pour évaluer l’influence d’un matériau i,une expression du type (507) obtenue en remplaçant µ0 par µi ,n’est pas générale ; la validité n’est assurée que dans le cas où leslignes de champ sont orthogonales aux surfaces de séparationentre ce matériau i et les matériaux adjacents du circuit.

c) L’effet d’un changement de section dans un matériau est trèsdifficile à évaluer. Quand la perméabilité µ de ce matériau est trèsgrande devant celle de l’air, la quasi totalité des lignes de champse trouvent dans le matériau, de sorte que l’adaptation des expres-sions relatives aux résistances de la même forme que celle de lapartie de circuit magnétique étudié fournit une bonne estimation.À titre d’exemple (figure 51), le passage d’un barreau cylindriquecirculaire (section πa2, longueur ) à un barreau de même type et

de même axe (section πb2, longueur , b < a ) correspond à la réluc-tance supplémentaire :

(508)

qui s’obtient en remplaçant 1/γ par 1/µ dans l’expression de la résis-tance supplémentaire [10] liée à cette géométrie.

B et H

e /µ0 Se

e

BP /µ0 HP

B µ H=

µ /µ0 1

H( )

E( )

CQi

Vi Vj–----------------

Si

ε0 E nsidS⋅

i

j

E d⋅

------------------------------------------------= =

Umi Umj–

Φi---------------------------

i

j

H d⋅

Si

µ0H nsidS⋅

------------------------------------------------= =

ε0

µ0 C--------------=

E et H

∆ E 0= , ∆H 0=( )

Figure 50 – Zone à explorer pour déterminer le terme en de la réluctance

Figure 51 – Portion de circuit magnétiqueprésentant une variation brusque de section

Figure 52 – Portion de circuit magnétique présentant un coude

1/0

A

B

S1

µb--------- 0,250 0 0,354 0 b

a ----- –=

+ 0,015 8 ba -----

2 0,038 2 b

a ----- 3

0,050 0 ba -----

4 + +


La réluctance totale relative aux deux barreaux est alors :

(509)

en négligeant les effets d’extrémités en A et B. La réluctance sup-plémentaire varie depuis (1/4µb ) pour b /a tendant vers zéro jusqu’àévidemment zéro pour b = a .

d) Le calcul de l’effet d’un changement de la direction moyennedu champ est très difficile à effectuer. On peut seulement espérerobtenir le résultat relatif à un coude (figure 52) dans un seul matériauquand l’épaisseur du circuit (selon la direction Oz ) est constante ettrès grande devant a et b .

e) La courbure des lignes de champ et, de façon plus générale,la non-uniformité de la longueur totale relative à chaque tubeélémentaire sont toujours présentes. L’étude effectuée au para-graphe 3.3.4 montre que cet effet peut être négligé quand l’épaisseurdu circuit (dont donne une idée) est suffisamment petite [(492)]devant l’étendue générale du circuit.

3.4 Effet de peau

3.4.1 Généralités

L’expression effet de peau est relative aux phénomènes qui se pro-duisent quand un conducteur est parcouru par un courant électriquedépendant du temps. L’expérience et la théorie montrent alors quela densité de courant n’est pas uniforme : il y a concentration deslignes de courant vers la surface extérieure du conducteur, cet aspectétant d’autant plus marqué que la vitesse temporelle de variationdu courant est plus grande. Pour un courant périodique dont l’inten-sité est du type I0 f (ω t ) [où I0 est constant et f (ω t ) une fonctionquelconque], l’effet de peau entraîne, en fonction de la pulsation ω,une augmentation de la puissance dissipée par effet Joule.

3.4.2 Cadre de l’exposé

Nous supposons que toutes les conditions suivantes sontréalisées.

1o) Le matériau considéré est idéal, uniforme et donc régi par

, µ, ε et γ étant des constantes.

2o) La grandeur électromagnétique imposée par les conditionsextérieures varie sinusoïdalement en fonction du temps, ce quientraîne, via des relations linéaires (1o), le même type de compor-tement pour toutes les autres grandeurs.

3o) Il est possible d’utiliser les lois des états quasi stationnaires

(§ 2.3), en négligeant le rôle de devant celui de dans

l’expression de [relation (219)] ; la permittivité ε n’apparaîtdonc pas dans nos expressions.

La condition 1 est satisfaite pour la plupart des matériaux conduc-teurs utilisés en électrotechnique, à l’exception notable des corpsferromagnétiques. La condition 2 dépend du système examiné ;cependant, nous donnons dans le paragraphe 3.4.7 des indicationsrelatives aux cas où les grandeurs subissent des variations pério-diques, mais non sinusoïdales, du type f (ω t ). La condition 3 esttoujours satisfaite dans le seul cas utile des conducteurs, quand onnéglige les interactions entre ces conducteurs et le milieu extérieur.

Les conditions précédentes montrent que les champs sont régis par les relations (425) et (426), qui mettent en évidencele rôle de l’épaisseur de peau δ .

Nous allons étudier l’effet de peau (et la puissance dissipée) dansle cas de plusieurs dispositions géométriques, où nous supposonstoujours que les différents conducteurs sont seuls et placés dans l’airque nous assimilerons au vide.

3.4.3 Effet de peau au voisinage d’une surface plane d’un conducteur de grande épaisseur

3.4.3.1 Définitions particulières

Nous désignons par x = 0 la surface plane considérée, l’axe étant dirigé vers l’intérieur du conducteur. Nous choisissons pour

axe la direction constante des densités de courant , l’axe

venant compléter le trièdre trirectangle d’axesà droite (figure 53). Nous idéalisons le problème en supposant quele conducteur est infini dans les directions Oy et Oz . Le milieu exté-rieur impose une densité superficielle de courant (en A · m–1) telleque :

(510)

Js max étant constant.

3.4.3.2 Répartition des champs

Dans le problème idéalisé que nous considérons, les dérivées parrapport à y et z doivent être nulles ; les différentes grandeurs nepeuvent donc dépendre que de x et t . Les conditions définies auxparagraphes 2.4.4.6 et 2.4.4.7 sont alors réalisées et par conséquentles relations (416) et (418) sont valables puisque, d’une part, la direc-

tion de impose que seul Ey soit non nul et que, d’autre part, unesolution du type (404) où Ey varierait en exp (β x ) = exp (x /δ ) ne peutêtre envisagée puisqu’elle correspond à des grandeurs tendant versl’infini au fur et à mesure que x augmente.

L’évaluation de :

(511)

conduit à :

(512)

ce qui montre que :

(513)

d’où [(406) et (427)] :

(514)

En conclusion, la formule traditionnelle (479) permet d’avoirun ordre de grandeur de la réluctance d’un circuit avec deserreurs difficiles à évaluer (de 1 à 10 % ou plus ?). Si on désireaugmenter la précision (dans le cas où la réluctance peut êtredéfinie sans ambiguïté, c’est-à-dire si tous les matériaux sontidéaux), il faut se donner beaucoup de mal. Dans tous les cas, lesméthodes de calcul par éléments finis permettent de déterminerla relation Φ = Φ (N I ).

A

µ π a 2----------------- S

B

µ π b 2------------------+ +=

S

B µ H= , D ε E= et J γ E=

∂ D /∂t J

rot H

E et H

Ox

Oy J

Oz Ox , Oy , Oz

dIdz-------- Js t( ) Js max ωtcos= =

J

Js t( ) 0

∞

γ Ey x, t( ) dx=

Js max exp jωt( ) γ EOy0

∞

exp x δ -----– exp j ω t x

δ -----– d x =

EOy1 j+γ δ

------------ Js max2

γ δ--------- Js max exp j π

4-----= =

HOz1 j–

ω µ δ----------------- 1 j+

γ δ------------ Js max Js max= =


Les valeurs observables sont donc :

(515)

(516)

(517)

La présence du facteur exp (–

x

/

δ

) montre que les courants nepeuvent circuler qu’au voisinage de la surface, dans une

écorce

dontl’épaisseur est de l’ordre de quelques

δ

; l’affaiblissement corres-

pondant, par rapport à la valeur réalisée en

x

= 0, est

de 0,37 pour

x

=

δ

, de 10

–1

pour

x = 2,3 δ, de 10–2 pour x = 4,6 δ,de 10–3 pour x = 6,9 δ .

La figure 53 donne symboliquement les orientations relatives de

à un instant donné.

3.4.3.3 Puissance dissipée

La moyenne temporelle de la densité volumique de la puissancedissipée s’obtient par [(432)] :

(518)

ce qui conduit, Jy (x, t ) variant sinusoïdalement en fonction dutemps, à [(517)] :

(519)

la puissance moyenne globale dissipée est donc caractérisée par ladensité superficielle :

(520)

Ce résultat peut être obtenu beaucoup plus rapidement enconsidérant le flux du vecteur de Poynting sur la surface extérieure(x = 0) [(76)] :

(1) (521)

= Ey (x = 0, t ) Hz (x = 0, t )

d’où, pour la moyenne temporelle [(513) et (514)] :

(522)

l’astérisque indiquant qu’il s’agit d’une valeur conjuguée.

L’expression générale de la puissance moyenne dissipée dansune résistance R parcourue par un courant d’intensité Imax cosω t,

soit , permet de traduire les pertes que nousvenons de calculer par l’effet d’une résistance équivalente.

Pour un prisme (figure 54) défini par x > 0, 0 < y < b, 0 < z < c etparcouru (dans le sens des y ) par un courant d’intensitéc Js max cos ω t, la résistance correspondante R est ainsi déterminéepar [(520)] :

soit (523)

Pour rendre compte de la puissance dissipée, on imagine sou-vent un modèle dans lequel la densité de courant Jy est uniformedans une couche d’épaisseur et nulle partout ailleurs, soit :

(524)

La puissance moyenne qui serait alors dissipée s’obtient par[(518)] :

(525)

et correspond à la valeur exacte pour .

L’expression (523) de R reçoit ainsi une interprétation simple, maisil ne faut surtout pas en déduire que l’on peut confondre modèleet réalité : la densité de courant Jy (x, t ) est régie par (517) et nonpar (524).

Figure 53 – Orientations relatives symboliques de au voisinage de la surface (x = 0) d’un conducteur (x > 0)

parcouru par un courant dans la direction .

Ey x,t( ) Js maxω µ

γ---------- exp x δ

-----– ω t x δ -----– π 4

-----+ cos =

Hz x,t( ) Js max exp x δ -----– ω t x δ -----– cos =

Jy x,t( )2 Js max

δ-------------------------- exp x δ

-----– ω t x δ -----– π 4

-----+ cos =

J

y

max

x

( )

ω

t x

δ

-----–

π

4

-----+

cos

=

2 Js max /δ

J , E et H

d x( )d

------------------ Jy x, t ( ) E y x , t ( ) 1 γ ----- J y 2 x , t ( ) = =

d x( )d

------------------1

2γ--------- J y max

2 x( ) 12γ---------

2J s max2

δ 2----------------------- exp 2 x δ

---------– = =

ddSyz--------------

0

∞

d x( )d

------------------ dxJ s max

2

γ δ 2-----------------

0

∞

exp 2 x δ ---------– d x = =

J

s

max2

2

γ δ

------------------=

J

s

max2

2 2

-----------------

ω µγ

----------=

J , E et H

Oy

Figure 54 – Définition d’un volume prismatiqueau sein du conducteur considéré sur la figure 53

ddSyz------------- E H∧ ne⋅ E H d∧ x

= =

ddSyz---------------

12----- Re E Oy H*Oz

J s max2

2 2----------------- ω µ

γ----------= =

1/2( ) R I max2

=

J s max

2

2 γ δ------------------- bc 1

2----- R c Js max( ) 2= =

R ω( ) 1γ----- b

c δ ω( )------------------=

Jy x, t ( ) J

s

max

------------------ ω t cos =

J

y

x

, t ( ) 0 =

0

x

< <

x >

ddSyz--------------

1γ----- J y

2 x, t ( ) 2

γ --------- J

s

max

------------------ 2

J

s

max

2

2

γ

-------------------= = =

δ=

3.4.4 Effet de peau dans une plaqued’épaisseur finie


Nous considérons une plaque définie par –

a

<

x < a . Nous choi-sissons pour axe Oy la direction constante du courant imposé parl’extérieur (figure 55), avec pour expression de la densité super-ficielle de courant :

(526)

Pour simplifier le problème, nous supposons que la plaque est

infinie dans les directions Oy et Oz ( définissant untrièdre trirectangle à droite).


Les dérivées par rapport à y et z sont nulles et les différentes gran-deurs ne peuvent dépendre que de x et de t. Dans le problème pré-cédent (§ 3.4.3.2), nous n’avons considéré qu’une solution du

problème, celle correspondant à une propagation dans le sens .Dans notre problème, dont le domaine (– a < x < a ) est limité, il fautau contraire considérer les sommes [(403), (404) et (427)] :

(527)

et, avec la relation (383) :

(528)

soit encore :

(529)

(530)

les paramètres (complexes) résultant de combinaisonslinéaires de .

La plaque étant seule dans l’espace, la répartition de la densitéde courant Jy doit être symétrique par rapport au plan médian défini

par x = 0 ; l’égalité Jy (x ) = + Jy (– x ) montre alors que doit êtrenul (pour le sceptique, indiquons que l’on peut établir que la puis-sance dissipée est minimale, à Js max constant, quand est nul).

L’évaluation de [(526) ]:

(531)

montre ensuite que est déterminé par :

(532)

(533)


à un instant donné.

Pour comprendre l’évolution des phénomènes en fonction de lafréquence, il est intéressant de considérer deux cas limites :

1o) dans le premier cas [(a2 /δ2) = (ω µ γ a2 /2) 1], les dévelop-pements :

(534)

montrent que, en première approximation [ω → 0 et δ → ∞], l’inten-sité du courant se répartit de façon uniforme, le champ magnétiquevariant alors linéairement avec x ; la seconde approximation intro-duit une correction parabolique [de moyenne nulle pour , nullesur les bords (x = ± a ) pour ] ;

2o ) dans le deuxième cas [(a 2/δ 2) = (ω µ γ a 2 /2) 1], lesexpressions :

(535)

(536)

montrent que la densité de courant est pratiquement localisée (à 1 %près) dans deux couches : (a – 5 δ ) < x < a pour l’exponentielle en(a – x ) ; – a < x < (– a + 5 δ ) pour l’exponentielle en (a + x ), les varia-tions significatives de se produisant évidemment dans lesdeux mêmes zones ; au voisinage de chaque surface libre (x = aet x = – a ), nous observons ainsi ce que nous avons décrit dans leparagraphe 3.4.3.2.

L’étude des deux cas limites permet deprévoir l’évolution générale des phénomènes en fonction de lafréquence ; la figure 56 n’en donne qu’une représentation symbo-lique parce qu’il est impossible de traduire sur un seul diagrammedes variations des types Hz (x, t ) = H max (x ) cos [ω t + ϕ H (x )] etEy (x, t ) = Emax (x ) cos [ω t + ϕE (x )] ; on remarquera néanmoins queHz (a, t ) = – Hz (– a, t ) = – (Js max /2) cos ω t.

Figure 55 – Orientations relatives symboliques de dans une lame (– a < x < a ) parcourue par un courant

dans la direction

dIdz-------- Js t( )

a–

+a

Jy x, t ( ) d x J s max ω t cos = = =

Ox , Oy , Oz

Ox

Ey x( ) E 0 + exp 1 j + ( ) – x δ ----- E 0 – exp 1 j + ( ) x δ ----- +=

H z x( ) 1j ω µ--------------

dEy

dx----------–=

1 j–ω µ δ--------------- E 0 +exp 1 j + ( ) – x

δ ----- 1 j –

ω µ δ --------------- E

0 – exp 1 j + ( ) x

δ ----- –=

Ey x( ) A1 ch 1 j+( ) xδ----- A2 sh 1 j+( ) x

δ-----+=

Hz x( ) 1 j–ω µ δ---------------– A1 sh 1 j+( ) x

δ----- 1 j–

ω µ δ---------------- A2 ch 1 j+( ) x

δ-----–=

A1 et A2E 0 + et E 0 –

A2

A2

J , E et H

Oy

Js Re Js max exp j ω t( )=

Rea–

+a

γ A1ch 1 γ+( ) xδ----- exp j ω t( ) dx=

A1

Js max

2 γ A1 δ1 j+( )

---------------------- sh 1 j+( ) aδ-----=

d ′où

et

Ey x( )1 j+( ) Js max

2 γ δ sh 1 j+( ) aδ-----

---------------------------------------------------- ch 1 j+( ) xδ----=

Hz x( )Js max

2 sh 1 j+( ) aδ-----

------------------------------------------- sh 1 j+( ) xδ-----–=

E , J et H

Jy γ Ey

Js max

2 a----------------- 1 j 3x 2 a 2–

3 δ 2------------------------ …+ + = =

Hz

Js max x2 a

-----------------------– 1 j x 2 a 2–3 δ 2

-------------------- …+ + =

JyHz

Jy γ Ey=

1 j+( )Js max

2 δ--------------------------------- exp 1 j + ( ) –

a x

– δ ------------- exp 1 j + ( ) – a x

+ δ -------------- + ≈

Hz

Js max

2------------------ exp 1 j + ( ) –

a x

– δ ------------- exp 1 j + ( ) – a x

+ δ -------------- – – ≈

Hz x( )

a /δ( ) 1 ; a / δ ( ) 1 [ ]



La

moyenne

temporelle

de la puissance dissipée

peut s’obtenirpar trois procédés :

— la moyenne de

J

2

/

γ

(qui conduit à des calculs très lourds) ;— l’utilisation du vecteur de Poynting ;— la détermination de l’impédance correspondante.

L’utilisation du

vecteur de Poynting

, en reprenant (521), nousdonne ici, en considérant les deux faces

x

=

a

et

x

= –

a

de la lame etleur normale entrante :

(537)

la dernière expression ayant été obtenue en tenant compte dessymétries ; la moyenne temporelle correspondante est ainsi,avec (533) :

(538)

où la fonction

f

(

α

) qui intervient est définie par :

(539)

Cette fonction présente deux formes asymptotiques :

(540)

qui ont un point commun en

α

c

= 2 ; le point de concours desasymptotes correspond à la pulsation

ω

c

définie par [(539)] :

(541)

La figure

57

montre que la fonction

f

(

α

) peut pratiquement seconfondre avec ses asymptotes [

f

(2) = 2,171]. La puissance moyennedissipée peut ainsi approximativement s’exprimer sous deux formes[(538), (539) et (540)] :

— pour , on obtient :

(542)

ce qui correspond à la puissance dissipée par une densité de courantuniforme

J

= (

Js max /2 a ) cos ω t dans la totalité de l’épaisseur de laplaque ;

— pour , on obtient :

(543)

qui est égal à deux fois la puissance dissipée à la surface d’unconducteur épais parcouru par un courant (Js max /2) cos ω t [(522)].

À titre d’exemple, pour du cuivre (γ = 0,6 · 108 Ω–1 · m–1, µ = µ0),

la fréquence fc est de 1,69 · 102 Hz pour une épaisseur 2a = 1 cm et

de 1,69 · 104 Hz pour 2a = 1 mm.

ddSyz-------------- Ey a, t( )Hz a, t( )[ ] 1–( ) Ey a– , t( )Hz a– , t( )[ ] + 1 ( ) +=

E

y

a

,

t

( )

J

s

max ωtcos=

ddSyz--------------

12----- Re Ey a, t( ) J*s max =

J s max2

4 γ δ------------------ Re 1 j+( ) coth 1 j+( ) a

δ-----

=

J s max2

4 γ δ------------------ 1

α------ f α( )

J s max2

8 γ a------------------ f α( )==

α 2 aδ

---------- a 2 ω µ γ= =

f α( ) α sh α αsin+ch α αcos–---------------------------------=

pour α1,pour α1,

f α( ) f 0 α( )→ 2=

f α( ) f ∞ α( )→ α=

2 2 aδ ωc( )---------------=

ωc2

a 2µ γ----------------=

c, soit a ( )

ddSyz--------------

J s max2

4 γ a-----------------≈

c, soit a ( )

ddSyz--------------

J s max2

4 γ δ-----------------≈ 1

4 2-------------- Js max

2 ω µγ

----------J s max

2

4 γ a----------------- ω

ωc------= =

Figure 56 – Variations symboliques de

H

z

et

E

y

dans la lame de la figure 55 pour trois pulsations

Figure 57 – Fonction f ( )


Pour obtenir l’

impédance

relative au morceau de plaque définipar [–

a

<

x

<

a

, 0 <

y

<

b

, 0 <

z

<

c

], le courant d’intensité

c

J

s

max

cos

ω

t

circulant dans la direction

Oy

, nous pouvons [lesmesures ne pouvant être effectuées que sur les surfaces (

x

= ±

a

) dela plaque] considérer le rapport [(533)] :

(544)

La détermination de la puissance moyenne dissipée, au moyende

R

[avec (539)], soit :

(545)

conduit au résultat (538) :

(546)

L’étude déjà effectuée de

f

(

α

) montre que

R

(

α

) (545) peut prati-quement s’obtenir en faisant intervenir soit

f

0

(

α

), soit

f

∞

(

α

)[relations (540)] :

— pour , avec

f

0

(

α

) :

(547)

expression classique relative au courant continu ;— pour , avec

f

∞

(

α

) :

(548)

Les asymptotes de la courbe relative aux variations delg [

R

(

ω

)/

R

(0)] = lg [

f

(

α

)/2] en fonction de :

lg (

ω

/

ω

c

) = lg (

ω

a

2

µ

γ

/2) = lg (

a

2

/

δ

2

) = lg (

α

2

/4)

sont représentées sur la figure

58

, les différents

points

correspon-dant aux valeurs exactes. Ces asymptotes suffisent donc pour déter-miner pratiquement l’évolution de

R

(

ω

)/

R

(0) et de la puissancedissipée. À titre d’exemple, pour

ω

=

ω

c

[soit

α

= 2 et

δ

(

ω

c

) =

a], onobtient Rc = 1,085 R (0).

3.4.5 Effet de peau dans un fil de section circulaire

Nous considérons un fil conducteur d’axe Oz, de section , par-couru par un courant dont l’intensité est I = I0 cos ω t . La symétriecirculaire et la considération d’un morceau de fil suffisamment longpermettent de supposer qu’en coordonnées cylindriques r, θ, z leproblème ne dépend plus que de r et t. Les expressions des champsEz (r, t ) et Hθ (r, t ) font intervenir [1] les fonctions de Bessel

de la variable :

(549)

La détermination de la résistance d’un tronçon de longueur , avec donne :

(550)

cela conduit alors dans les cas limites :

— pour , à :

(551)

qui est l’expression classique relative au courant continu ;

— pour , à :

(552)

où tout se passe comme si la section offerte au courant était2 π r0 δ ce que l’on retrouve au moyen de (523) avec c = 2 π r0 .

La valeur commune des deux formes asymptotiques correspondà r0 = 2 δ (ωc) = 2 δc et définit ainsi la pulsation typique :

(553)

dont les valeurs numériques coïncident avec celles de ωc (541) pourr0 = 2a.

Les asymptotes de la courbe relative aux variations delg [R (ω ) /R (0)] en fonction de lg (ω /ωc ) sont identiques à cellesconsidérées lors de l’étude de la lame et représentées en trait pleinsur la figure 58 ; la croix correspond à la valeur exacte deR (ωc ) = 1,26 R (0). L’évolution de la puissance dissipée est doncencore pratiquement déterminée par les deux asymptotes.

3.4.6 Effet de peau dans un fil de section quelconque et remarque générale

Pour un fil de section quelconque (d’aire S et de périmètre P ), lesdeux expressions asymptotiques de la résistance R (ω ) d’un tronçonde longueur sont :

(554)

Figure 58 – Évolution de la résistance d’une plaqueparcourue par un courant variant sinusoïdalement en fonction du temps

ZbEy x a=( )

c Js max-------------------------------

b2 c γ δ------------------- 1 j+( ) coth 1 j+( ) a

δ----- R j X+= = =

R α( ) b2 c γ δ------------------- sh α αsin+

ch α αcos–------------------------------------ b

4 γ c a------------------ f α( )= =

ddSyz--------------

R c Js max ωtcos( )2

bc------------------------------------------------------=

b4 γ c a------------------ f α( )

c 2 J s max2

2bc-------------------------=

J s max2

8 γ a----------------- f α( )=

c

R α( ) R0 α( )≈ b4 γ c a------------------ 2 b

2 γ c a------------------ R 0( )= = =

c

R α( ) R∞ α( )≈ b4 γ c a------------------2 a

δ--------- b

2 γ c δ----------------- R 0( ) a

δ----- R 0( ) ω

ωc------= = = =

πr 02

J0 s( ) et J1 s( )

s s r( ) – 1 j + ( ) r δ ----- 2 exp j 3 π 4

------- r δ -----= = =

exp

j 3

π

4

-------

r

ωµγ

=

s0 s r0( )=

R ω( ) Re Ez r0( )

I0---------------------

2 π γ r 02

-------------------- Res0 J0 s0( )

J1 s0( )---------------------------= =

r 02 /4 δ 2 ω µ γ r 0

2 /8 /c 1= =

R ω 0→( )

2 π γ r 02

-------------------- 2→ 1γ-----

πr 02

--------- R 0( )= =

r 02 /4 δ 2 ω µ γ r 0

2 /8 /c 1= =

R ω ∞→( ) R∞ ω( )

2 π γ r 02

--------------------r0

δ-----=→

1γ-----

2 π r0 δ---------------------= R 0( ) ω

ωc--------=

ωc8

µ γ r 02

--------------- 2

µ γ δ c2

----------------= =

R0 ω( ) γ S--------- R 0( )= =

R∞ ω( ) γ P δ ω( )------------------------=

l’expression de R∞(ω ) étant basée sur l’étude effectuée au § 3.4.4.3.

En définissant la pulsation typique ωc par S = P δ(ωc), on obtient :

(555)

Nota : en remarquant que l’expression générale (555) de ωc permet de retrouver lesrésultats particuliers relatifs soit à une plaque d’épaisseur 2 a (541), soit à un fil de section

circulaire (553), nous voyons que la figure 58 fournit, quelle que soit la section du

conducteur étudié, les valeurs asymptotiques des variations de lg [R (ω )/R (0)] en fonctionde lg (ω /ω c). La géométrie de la section n’intervient que pour les pulsations voisines de ω c[R (ω c) = 1,085 R (0) pour la plaque et R (ωc) = 1,26 R (0) pour le fil à section circulaire].

3.4.7 Cas des courants périodiques non sinusoïdaux

Ces courants intervenant de plus en plus en électrotechnique, nousconsidérons le problème général où un courant périodique, dontl’intensité, du type :

(556)

correspond, aux bornes d’une impédance, à une différence depotentiel :

(557)

Dans la moyenne de la puissance calculée sur une période T(T = 2π /ω) :

(558)

il ne subsiste que les termes en nn, tous les termes en np (avec p ≠ n)conduisant à une valeur nulle, d’où :

(559)

La décomposition de :

(560)

fait apparaître la composante en phase avec le courant (avec la nota-tion ainsi justifiée de Rn), cette composante étant la seule qui apporteune contribution non nulle :

(561)

puisque Rn = R (n ω) est la résistance qui serait observée si l’intensitédu courant ne comportait qu’un seul terme, celui en cos (n ω t + ϕ n ).

Par ailleurs, si on veut conserver l’expression traditionnelle de lapuissance moyenne dissipée [(445)] :

(562)

avec une résistance unique Rapp(ω) traduisant l’ensemble des phé-nomènes, le calcul préalable de [(556) et (561)] :

(563)

montre que :

(564)

Pour le morceau de plaque [– a < x < a, 0 < y < b, 0 < z < c]considéré au paragraphe 3.4.4.3, parcouru dans la direction Oy parle courant défini par (556), nous trouvons ainsi [(545)] :

(565)

α et δ se référant à la pulsation fondamentale, avec [(539)] :

Sur la figure 59, nous avons porté, en fonction de lg (ω /ωc) [oùωc est toujours défini par l’expression (541)], les asymptotes des

courbes relatives aux variations de lg avec n = 1, 2 et 3 ;

pour , le point de concours des asymptotes, f0n = 2 et

, correspond à la pulsation ωcn telle que :

(566)

ωc2 P 2

S 2µ γ-----------------=

R∞ ω( ) R 0( ) ωωc------=soit

π r 02

I12 ωt( ) In max cos nωt+ϕn( )n 1=

∞

∑=

V1 t( ) V2 t( ) U t( )=– Un max cos nωt+ψn( )n 1=

∞

∑=

Un max cos nωt+ψn( )n 1=

∞

∑ Ip maxcos pωt+ϕp( )p 1=

∞

∑=

Un maxcos nωt+ψn( ) In maxcos nωt+ϕn( )n 1=

∞

∑=

Un max cos nωt+ψn( )

Rn In max cos nωt+ϕn( ) Xn In max cos nωt+ϕnπ2------+

+=

12------ Rn I n max

2

n 1=

∞

∑ 12------ R nω( ) I n max

2

n 1=

∞

∑= =

R app ω( ) I2 t( )=

Figure 59 – Asymptotes des courbes

en fonction de

I 2 12------ I n max

2∑=

Rapp ω( )

R nω( ) I n max2

n 1=

∞

∑

I n max2

n 1=

∞

∑-----------------------------------------------=

Rapp ω( ) b4γ c a-----------------

f α n( ) I n max2

n 1=

∞

∑

I n max2

n 1=

∞

∑--------------------------------------------------=

α 2a/δ( ) a 2ωµγ= =

f α n( )[ ]f α n( )

f∞n α n=

2 a 2ω cn µγ n=

soit ωcn2

a 2µγ n---------------------

ωc

n------= =

lg f n( )[ ]lg /c( )

En n’utilisant que les différentes asymptotes, nous avons [(564)] :

(567)

soit (568)

L’expression de Rapp (0) n’est pratiquement valable que pourω < ωcp = ωc /p où p est le rang du dernier harmonique notable(figure 59) de I (ω t ) tandis que Rapp ∞ (ω ) peut être utilisé dès queω > ωc ; dans la zone intermédiaire ωc, r + 1 < ω < ωcr (par exemple,la pulsation ω* de la figure 59 correspond à r = 2), nous obtenons :

(569)

D’après ce que nous avons établi au paragraphe 3.4.6, lesexpressions (568) et (569), obtenues uniquement à partir des asymp-

totes R (0) et , sont valables, quel que soitle conducteur considéré, à condition de choisir l’expression conve-nable (541), (553) ou (555) de ωc. Les variations ainsi déterminées(figure 60) de lg [Rapp (ω)/R (0)] en fonction de lg (ω /ωc) ne dépen-dent donc plus que de la forme de l’intensité I (ωt) du courant parl’intermédiaire des modules In max des différents harmoniques. Lesrésultats relatifs à trois formes (A, B et C) de I (ω t ) sont portés surla figure 60 ; ils permettent d’obtenir une valeur approchée de la

puissance dissipée au moyen de [(562)] .

Pour la forme A, on a :

IA(ω t ) = IA cos ω t (570)

nous retrouvons les asymptotes de la figure 58.

Pour la forme B, IB(ω t) est défini :

(571)

Les modules des harmoniques correspondants sont tels que :

(572)

Le calcul de :

(573)

est classique et fournit bien le résultat obligatoire [(563)].

Le calcul de est plus délicat ; à partir de la fonction

ζ (s) de Riemann, définie par :

(574)

on peut montrer [avec ζ (3/2) = 2,612] que :

(575)

ce qui conduit, pour ω > ωc , à Rapp ∞ (ω) = 1,368 [(568)].

Rapp ω 0→( ) b4γ c a---------------

2 I nmax2

n 1=

∞

∑

I nmax2

n 1=

∞

∑--------------------------------≈ 1

γ----- b

2ca------------ Rapp 0( ) R 0( )= = =

Rapp ω ∞→( ) Rapp∞ ω( )→ b4γ c a-----------------

a 2ωµγ n I n max2

n 1=

∞

∑

I n max2

n 1=

∞

∑---------------------------------------------------------------=

Rapp∞ ω( ) R 0( ) ωωc--------

n I n max2

n 1=

∞

∑

I n max2

n 1=

∞

∑-------------------------------------=

Rapp ω( ) R 0( )

I n max2

n 1=

r

∑ ωωc-------- n I n max

2

n r

1

+=

∞

∑ +

I

n

max2

n

1

=

∞

∑

---------------------------------------------------------------------------------------------

≈

R∞ nω( ) R 0( ) n ω/ωc=

ω( ) Rapp ω( ) I2 ωt( )≈

— pour π 2 ------ ω t π

2 ------ par I B ω t ( )<< – I B 0 > =

— pour

π

2

------

ω

t

3

π

2

-------

par

I

B

ω

t

( )<< I B –=

I 2q 1–( ), max2 16 I B

2

2q 1–( )2 π2-------------------------------- et I 2q ,max

2 0= =

Figure 60 – Évolution de la résistance apparente d’un conducteuren fonction de la fréquence pour trois formes de courant

I n max2

n 1=

∞

∑16 I B

2

π2-------------- 1

2q 1–( )2------------------------

q 1=

∞

∑=

16 I B2

π2-------------- 1 1

4---–

π2

6------= 2 I B

2=

16 I B2

π2-------------- 1

n 2 ------ 1

2

n

( )

2 ---------------

n 1

=

∞ ∑ –

n

1

=

∞ ∑ =

2 I B2 ωt( )

n I n max2

n 1=

∞

∑

ζ s( ) 1 n

s ---------

n

1

=

∞

∑=

n I n max2

n 1=

∞

∑16 I B

2

π2-------------- 1

2q 1–( )3 2/-----------------------------

q 1=

∞

∑=

16 I B2

π2-------------- 0,646( ) 2,612( )= 2,736 I B

2=

16 I B2

π2-------------- 1 1

23 2/----------– ζ 3

2------=

ω ωc⁄ R 0( )

C’est pour que l’expression (569) avec

r

= 1 a la

meilleure chance d’être une bonne approximation puisquelg(

ω

1

/

ω

c ) = (1/2) [lg (ωc /ωc ) + lg (ωc3 /ωc)], est également éloignédes deux points critiques qui correspondent soit au seul terme en

, soit au premier terme en (avec

n = 3).

Le numérateur de la fraction intervenant dans (569) est alors :

(576)

et montre que ; ce résultat est indiqué

par un point sur la figure 60. Par le même procédé nous avons

calculé des valeurs approchées de

[Rapp = 1,105 R (0)] et pour ; les

points correspondants sont portés sur la figure 60.

Pour la forme C, l’intensité IC (ωt ) est définie :

(577)

Les harmoniques correspondants sont tels que :

(578)

Le calcul de :

(579)

donne bien la valeur de [(563)].

L’expression de :

(580)

montre que, pour ω > ωc :

[figure 60]

Les résultats relatifs à et

, soit respectivement 1,396 R (0), 1,216 R (0), 1,140 R (0) et1,068 R (0), sont indiqués par des croix sur la figure 60.

Nous avons rappelé (figure 60) les formes A, B et C de I (ω t ) en

prenant la précaution, pour assurer l’identité de , de choisir

.

3.5 Pertes par courants de Foucault

3.5.1 Présentation et définition des phénomènes

Dans un morceau de matière placé dans une région où l’induction

magnétique varie au cours du temps, la relation montre qu’il apparaît un champ électrique ce qui, dans un matériauconducteur, entraîne l’existence de courants et donc une dissipationde puissance. Ce phénomène est désigné, lorsqu’il présente unaspect nuisible, par pertes par courants de Foucault et, dans le cascontraire, par chauffage par induction.

Bien que cette puissance dissipée, relative aux pertes par courantsde Foucault ou au chauffage par induction, soit due à l’effet Joule,on utilise les termes :

— pertes par effet Joule quand la cause primaire est le passaged’un courant imposé dans le matériau considéré ;

— pertes par courants de Foucault ou chauffage par inductionquand la cause primaire est liée aux variations temporelles del’induction magnétique, celles-ci étant dues au passage d’un courantimposé dans un autre matériau que celui considéré.

C’est ainsi que, dans un transformateur, on distingue les pertespar effet Joule dans les conducteurs en cuivre et les pertes parcourants de Foucault dans les tôles du circuit magnétique.

Les équations de Maxwell ne peuvent pas distinguer si la grandeur

imposée est : l’aspect formel des phénomènes est toujoursle même, la seule différence étant liée à la détermination desconstantes d’intégration (Jmax ou Bmax par exemple) du mêmesystème d’équations différentielles. Les expressions de la puissancedissipée que nous avons établies lors de l’étude de l’effet depeau (§ 3.4) seront ainsi très facilement adaptées pour la prévisiondes pertes par courants de Foucault.

Il faut néanmoins signaler une différence très importante. Descalculs simples (ceux que l’on peut voir dans au moins 99 % de lalittérature) ne peuvent être effectués qu’en supposant qu’il existe

une relation linéaire (µ étant constant) entre . Il enrésulte que, par exemple, pour une plaque de cuivre parcourue parun courant, l’expression (538) de la puissance dissipée est trèsbonne tandis que son adaptation (facile) aux pertes par courantsde Foucault dans une tôle magnétique fournit une mauvaise prévi-sion de la réalité.

3.5.2 Cadre de l’exposé

Sauf pour le cas des substances magnétiques (§ 3.5.6), nous sup-posons que les conditions détaillées dans le paragraphe 3.4.2 sont

toutes réunies. Les champs satisfont donc aux relations(425) et (426).

ω1 ωc / 3=

I n max2 avec n 1=( ) ω/ωc n I n max

2

16 I B2

π2-------------- 1

ω 1

ω c--------

12

q

1

–

( )

3 2

/ -----------------------------

q

2

=

∞

∑ +

16

I

B2

π

2

--------------

1 3

( )

1 4

/–

0,646

( )

2,612

( )

1

–

⋅

+=

2,468

I

B2

=

Rapp ω ω c/ 3=( ) 1,234R 0( )≈

Rapp ω( ) pour ω ω c / 3( ) 5( )=

ω ωc / 5( ) 7( ) Rapp 1,068 R 0( )=[ ]=

— pour π 4 ------ ω t π

4

------ par I C ω t ( )<< – I C 0 > =

— pour

π

4

------

ω

t

7

π

4

-------

par

I

C

ω

t

( )<< I

C 3 -----–=

I 2q 1–( ), max2 32 I C

2

9 π2 2q 1–( )2------------------------------------=

I 4s 2–( ), max2 16 I C

2

9 π2 2s 1–( )2----------------------------------- ; I 4v, max

2 0= =

I n max2

n 1=

∞

∑16 I C

2

9 π2-------------- 2 1

2q 1–( )2------------------------

q 1=

∞

∑ 1 12s 1–( )2

-----------------------s 1=

∞

∑+=

16 I C2

9 π2-------------- 3 3

4------ π2

6------⋅ ⋅=

23------ I C

2=

2 I C2 ωt( )

n I n max2

n 1=

∞

∑16 I C

2

9 π2-------------- 2 2q 1–

2q 1–( )2------------------------

q 1=

∞

∑ 4s 2–2s 1–( )2

-----------------------s 1=

∞

∑+=

16 I C2

9 π2-------------- 2 2+ 1

2q 1–( )3 2/-----------------------------

q 1=

∞

∑= 1,038 I C2

=

Rapp∞ ω( ) 1,038 3/2( ) ω/ωc R 0( ) 1,557 ω/ωc R 0( )= =

ω/ωc 1/ 1( ) 2( ) ,1/ 2( ) 3( ) ,1/ 3( ) 5( )=

1/ 7( ) 9( )

En résumé, pour chaque forme de I (ω t ), il est possible, aumoyen des expressions (568) et (569), d’établir avec une bonneapproximation les variations de lg [Rapp (ω)/R (0)] en fonction delg (ω /ωc), ces variations étant indépendantes du conducteurconsidéré à condition de bien définir dans chaque cas la pulsationtypique ωc correspondante [(541), (553) et (555)].

I2 ωt( )

IB 1/ 2( ) IA et IC 3/2 IA= =

B

rot E ∂ B/ ∂t–=

J ou B

B µ H=

B et H

E et H

Nous allons étudier les pertes par courants de Foucault dans lecas de plusieurs dispositions géométriques comportant encore dif-férents conducteurs, seuls, placés dans l’air que nous assimileronsau vide.

3.5.3 Pertes par courants de Foucaultau voisinage d’une surface planed’un conducteur de grande épaisseur


Nous reprenons les conditions géométriques du problème idéalisédécrit dans le paragraphe 3.4.3.1. Nous supposons, ici, que, par rap-port au conducteur, le champ magnétique extérieur n’a qu’une

composante tangentielle et nous choisissons l’axe dans la direc-tion correspondante ; nous posons donc (en axes à droite) :

Hz (x = – 0, t ) = Hz max cos ω t (581)

L’axe vient compléter le trièdre trirectangle .


En s’inspirant de la relation (516), nous avons :

(582)

qui satisfait bien la continuité de la composante tangentielle Hz entre

x = – 0 et x = + 0 et, ensuite à partir de :

(583)

Nous voyons ainsi que (§ 3.4.3.2) les courants ne peuvent circulerqu’au voisinage de la surface du conducteur, dans une écorce dontl’épaisseur est de l’ordre de quelques δ .


Le flux du vecteur de Poynting sur la surface extérieure x = 0[(521)] permet d’atteindre la moyenne de la densité superficielle depuissance dissipée par [(522)] :

(584)

3.5.4 Pertes par courants de Foucaultdans une plaque d’épaisseur finie


Nous supposons que, comme au paragraphe 3.4.4.1, par rapportà la plaque définie par – a < x < a, le champ magnétique extérieur

n’a qu’une composante tangentielle et nous choisissons l’axe

dans la direction correspondante, l’axe venant compléter le

trièdre trirectangle . Nous idéalisons le problème ensupposant que la plaque est infinie dans les directions Oy et Oz .Nous supposons également que les conditions extérieuresn’imposent aucun courant global dans la plaque ; la relation (219)

soit, ici, Jy = – ∂ Hz /∂ x entraîne :

(585)

et montre alors que Hz (x, t ) doit avoir la même valeur en x = a eten x = – a. Nous pouvons donc poser :

(586)


Dans la solution générale (530) déjà obtenue pour la plaque con-sidérée, il faut donc que le paramètre soit nul ; en posant :

(587)

nous obtenons, à partir de (529) et (530) :

(588)


(figure 55).

Pour comprendre l’évolution des phénomènes en fonction de lafréquence, il est intéressant de considérer les deux cas limites :

1er cas : pour :

(589)

2e cas : pour :

(590)

(591)

La figure 62 donne une représentation symbolique de la variationdes phénomènes en fonction de la fréquence, la situation généraleétant assez analogue à celle de la figure 56, après avoir permutéle rôle de Ey et Hz .

Oz

O y Ox , Oy , Oz

Hz x,t( ) Hz maxexp x δ -----– Re exp j ω t x δ ----- –=

rot H J γ E= =

Ey

1γ-----

∂ H z ∂

x ---------– 1 j +

γ δ ----------- H

z = =

E

y

x

,

t

( )

1

γ δ

----------

H

z

max

exp

x

δ

-----–

Re

1 j

+

( )

exp

j

ω

t x

δ

-----

–=

soit

ddSyz--------------

12------ Re Ey H*z 1

2γ δ------------ H z max

2 12 2------------ ωµ

γ--------- H z max

2= = =

Oz

Oy

Ox , Oy , Oz

J rot H=

0 x a–=

x +a=

Jy x, t( ) dx Hz a – , t ( ) H z a , t ( ) –= =

Figure 61 – Orientations symboliques de dans une lame (–

a

<

x

<

a

) soumise à un champ extérieur et parcourue par un courant

global

nul

Hz a, t( ) Hz – a , t ( ) H z max cos ω t ( ) Re H z a ( ) exp j ω t ( ) = = =

A1

Hz a( ) 1 j–ωµ δ--------------– A2 ch 1 j+( ) a

δ-----=

Ey x( ) – 1 j + ( ) ωµ δ

2 ------------ H z a ( )

sh 1 j

+

( )

x

δ

-----

ch 1 j

+

( )

a

δ

-----

-----------------------------------=

H

z

x

( )

H

z

a

( )

ch 1 j

+

( )

x

δ

-----

ch 1 j

+

( )

a

δ

-----

-----------------------------------=

E , J et H

a2/δ 2 ω µ γ a2/21=

Ey x( ) j – ω µ x H

z a ( ) 1 j x

2

3 a

2 –

3

δ

2 ----------------------- +... +=

et

H

z

x

( )

H

z

a

( )

1 j

x

2

a

2

–

δ

2

-------------------

+...

+=

a2/δ 2 ω µ γ a 2/21=

Ey x( ) 1 j+( )– ωµ δ

2--------------H

z a( )exp – 1 j+( )a x–δ------------- –exp – 1 j+( )a x+

δ------------- ≈

Hz x( ) H

z a( )exp – 1 j + ( ) a x – δ

------------ + exp – 1 j + ( ) a x + δ

------------- ≈

J , E et H

H



En considérant le flux du vecteur de Poynting sur les deux facesde la plaque [(537)], par rapport aux normales entrantes :

(592)

nous obtenons, pour la moyenne (par rapport au temps) de la

densité superficielle

de la puissance dissipée [avec (588)] :

(593)

En posant, avec (539) :

(594)

on obtient :

(595)

La moyenne (par rapport au temps et à l’espace) de la

densitévolumique

de la puissance dissipée est alors :

(596)

La fonction

g

(

α

) présente deux formes asymptotiques :• pour

(597)

• pour

(598)

qui ont un point commun en

α

g

= (6)

1/3

= 1,817.

Sur la figure

63

, relative aux variations de lg [

g

(

α

)] en fonctionde lg

α

, les deux asymptotes correspondantes sont représentées,les points indiquant les valeurs exactes.

La fonction

g

(

α

), dont l’étendue des variations est très grande,peut donc pratiquement se confondre avec ses asymptotes[

g

(

α

g

) = 1,263 avec g0(αg) = g∞(αg) = 1,817].

Le point commun [αg = (6)1/3] correspond à la pulsation [(541)] :

(599)

ce qui indique le domaine de validité des formes asymptotiques dela puissance dissipée [(596)] :

— pour :

(600)

— pour :

(601)

Figure 62 – Variations symboliques de Hz et Eydans la lame de la figure 61 pour trois pulsations

ddSyz------------- Ey a , t( )Hz a , t( )[ ] 1 – ( ) E y a – , t ( ) H z a – , t ( )[ ] + 1 ( ) + =

2 E – y a , t ( ) H z a , t ( ) =

ddSyz---------------- Re– E y a ( ) H * z a ( ) =

ωµ δ

2

---------------

|

H

z

a

( )

|

2

Re

1 j

+

( )

th 1 j

+

( )

a

δ

-----

=

α 2a/δ a 2ω µγ= =

g α( ) α sh α sin α–ch α cos α+------------------------------------=

ddSyz--------------

ωµ δ2

------------ H z max2 δ

2a---------- g α( ) 1

2γa------------- H z max

2 g α( )= =

dd---------

x

12a---------- d

dSyz-------------- 1

4γ a 2--------------H z max

2 g α( )= =

Figure 63 – Fonction

α1, g α( ) g0 α( ) α4/6=→

α 1, g α( ) g∞ α( )→ α=

ωg6( )2 3/

2a 2µγ--------------------

2a 2µγ----------------- 6( )2 3/

4--------------- 0,825 ωc= = =

g

dd---------

x d0

d------------

x≈

H z max2

4γ a2------------------- α

4

6------

H z max2

6------------------- a2γ ω µ( )2= =

23------

H z max2

a2γ------------------- ω

ωc---------

2=

g

dd---------

x d∞

d-------------

x≈

H z max2

4γ a 2------------------- α

H z max2

2 2------------------- a 2γ( ) 1 2/– ω µ( )1 2/= =

12------

H z max2

a 2γ------------------- ω

ωc--------

1 2/=

g ( )



Sur la figure 64, nous avons représenté les asymptotes de :

(602)

en fonction de lg (ω /ω c 0) pour des plaques, soit d’épaisseur

, soit d’épaisseur a0 (ωc = 4 ωc0), les valeurs

correspondantes de étant alors respectivement déterminées

en prenant soit a = a0 , soit a = a0 /2, dans les expressions (600)

et (601). Le facteur dans (602) a été

choisi pour que le point de concours des asymptotes relatives à uneplaque d’épaisseur 2 a0 corresponde à un logarithme nul. Les deuxcroix indiquent des valeurs exactes de (602) obtenues à partirde (595).

3.5.5 Pertes par courants de Foucaultdans un ensemble de plaques


La principale application de ce paragraphe est la prévision de lapuissance (cf., cependant, § 3.5.6) dissipée par les courants deFoucault, dans un circuit magnétique soumis à un flux d’inductionvariable au cours du temps ; nous remplaçons donc maintenantplaque par tôle.

Un paquet de N tôles (identiques et parallèles) est rapporté à des

axes orthogonaux à droite ; les axes repèrent les grandes

dimensions Y et Z des tôles, tandis que, suivant l’axe , l’épaisseurde chaque tôle est 2a (figure 65). Ces tôles sont quasi jointives,isolées les unes des autres par une couche isolante dont l’épaisseurest négligeable devant 2a.

Le paquet de tôles fait partie d’un circuit magnétique dont lebobinage est soumis à une tension variant sinusoïdalement (cf.,cependant § 3.5.5.5) en fonction du temps ; la tension par spire estnotée :

(603)

étant complexe a priori. Le flux d’induction auquel est soumis

le paquet de tôles n’est qu’une fraction κ du flux total, d’où :

(604)

sans se soucier du signe, seuls les modules intervenantpar la suite.

Pour simplifier, nous idéalisons le problème en supposant que lechamp magnétique n’a qu’une composante Hz de la forme Hz (x, t ),négligeant ainsi les effets de bords, ce qui est une bonne approxi-mation quand . Le champ électrique n’aura doncqu’une composante Ey de la forme Ey (x, t ).

La puissance dissipée peut être rapportée à diverses grandeurs(tension, flux, induction, champ). Nous avons choisi, dans l’exposéprincipal, de rapporter les pertes à la tension par spire u (t ) parceque cette grandeur se déduit directement des mesures. Nousdonnerons, au paragraphe 3.5.5.4, d’autres indications pour montrerque l’expression de la puissance dissipée paraît varier de façon dif-férente selon la grandeur de base utilisée [cf. en particulier (623)].


Sans réflexion préalable, on pourrait prétendre que la continuitédes composantes tangentielles de Ey et Hz montre que tout se passecomme si on avait une seule tôle d’épaisseur 2Na (figures 66a etb) que les tôles soient, sur leurs faces latérales, isolées électrique-ment les unes des autres ou pas. Le schéma 66b montre qu’il exis-terait alors une intensité globale (Iy )i du courant pour chaque tôle

et ce n’est que la somme qui serait nulle. Le schéma 66b

ne peut donc exister que si les tôles sont court-circuitées à leursextrémités (schéma 66c ) . Dans le cas opposé (celui du

lg dd---------

x

a 02γ

H z max2

-----------------25 3/

31 3/----------

2a0 avec ω c0 2/a02 µγ=( )

dd---------

x

25 3/ a02γ( )/ 31 3/ H z max

2( )de dd---------

x

Oy et Oz

Ox

u t( ) Re U exp jωt( ) =

U Φp

Φp κ Ujω---------=

|Φp| et |U|

Y 2a et Z 2a

Figure 64 – Variations de la densité volumique de la moyenne (spatiale et temporelle) de la puissance dissipée,à champ magnétique extérieur imposé,dans des lames dont l’épaisseur est soit 2a0 soit a0

Figure 65 – Définitions relatives à un paquet de tôles (X ≈ 2 Na )

Iy( )ii

∑


schéma 66d ), qui doit être celui réalisé pour diminuer les pertes,l’intensité globale du courant relative à chaque tôle est nulle et toutse passe comme si chaque tôle était seule dans l’espace (§ 3.5.4) ;la continuité de Hz entre A et B est satisfaite (cf. détail sur leschéma 66e ), tandis que la différence entre EyA et Ey B ne peut exis-ter que s’il y a une couche isolante entre les deux tôles concernées.

La figure 67 montre, à constant, l’évolution symbolique de

Hz (x ), soit dans les cas (a ), (b ), (c ), de la figure 66, soit dans lecas (d ).

L’analyse précédente (§ 3.5.4.2) montre que, pour une tôle quel-conque du paquet (comprise dans l’intervalle – a < x < a, en choi-sissant convenablement l’origine O des coordonnées), il ne peutsubsister dans la solution générale, décrite par les expressions (529)et (530), que des termes en .

La valeur universelle (quelle que soit la tôle considérée) de

– différent de du paragraphe 3.5.4 – peut être obtenue quandon suppose que N est grand ; les effets d’extrémités (dans la direction

) sont alors négligeables et on peut admettre que chaque tôleest soumise au même flux, d’où [(604) ; (480) et (530)] :

(605)

ce qui conduit à :

(606)


L’utilisation du flux du vecteur de Poynting permet d’obtenir lamoyenne temporelle de la densité superficielle de la puissancedissipée dans une tôle sous la forme [(592) et (606)] :

(607)

En posant toujours (539) et en introduisantla fonction :

(608)

la densité volumique moyenne (par rapport au temps et à l’espace)de la puissance dissipée est alors [(427)] :

(609)

La fonction F (α ) présente deux formes asymptotiques :— pour α → 0, F (α) → F0 (α) = 1/3 (610)

— pour α → ∞, F (α) → F∞ (α) = 1/α (611)

qui ont un point commun en αF = 3.

Sur la figure 68, relative aux variations de lg [F (α)] en fonctionde lg α, les deux asymptotes correspondantes sont représentées, lespoints indiquant les valeurs exactes. La fonction F (α) peut doncpratiquement se confondre avec ses asymptotes [F (αF) = 0,298 avecF0 (αF) = F∞ (αF) = 0,333].

Le point de concours (αF = 3) des asymptotes de lg [F (α)] corres-pond à la pulsation ω F définie par [(541)] :

(612)

Figure 66 – Ensemble de plaques : pertes par courants de Foucault

Figure 67 – A flux total constant, évolution symbolique de Hz (x )soit dans les cas [(a ), (b ), (c )] de la figure 66 soit dans le cas (d )

Φp

A2

A ′2A2

Ox

Φp

N--------

κU

jωN--------------

a–

+a

µ 1 j–ωµδ--------------– A ′2 ch 1 j+( ) x

δ-----Y dx= =

Ey x( )κU

2NY----------------

sh 1 j+( ) xδ-----

sh 1 j+( ) aδ-----

-------------------------------------–=

et Hz x( )1 j–( )κU

2NYωµδ---------------------------

ch 1 j+( ) xδ-----

sh 1 j+( ) aδ-----

-------------------------------------=

ddSyz---------------- Re E y a ( ) – H * z a ( ) =

κ

2

|

U

|

2

4

N

2

Y

2

ωµδ

-----------------------------------

Re

1 j

+

( )

coth 1 j

–

( )

a

δ

-----

=

= Re

κ

U

2

NY

---------------

1 j

+

( )

κ

U

*

2

NY

ωµδ

-----------------------------

coth 1 j

–

( )

a

δ

-----

α 2a/δ a 2ωµγ= =

F α( ) 1α------ shα sinα–

chα cosα–---------------------------------=

dd---------

x

12a----------

κ 2|U| 2

4N 2Y 2 ωµδ----------------------------------- F α( )2a

δ-------

κ 2|U| 2γ8N 2Y 2---------------------- F α( )= =

ω F9

2a2µγ--------------------

2a2µγ---------------- 9

4------ 9

4------ ω c= = =


Quand le volume X Y Z (avec X = 2 Na) de la partie examinéed’un circuit magnétique est imposé, la puissance moyenne totaledissipée par les courants de Foucault [(609)] :

(613)

se présente sous deux formes asymptotiques :

— pour , (614)

— pour :

(615)

Sur la figure 69, nous avons représenté les asymptotes de :

(616)

en fonction de lg (ω /ωc0) pour des tôles, soit d’épaisseur 2 a0 (avec

), soit d’épaisseur a0 (ωc = 4 ωc0), les valeurs corres-

pondantes de étant alors respectivement déterminées enprenant soit a = a0 , soit a = a0 /2, dans les expressions (614) et (615).Le facteur :

de dans (616) a été choisi pour que le point de concours desasymptotes relatives à une tôle d’épaisseur 2a0 corresponde à unlogarithme nul. Les deux croix indiquent des valeurs exactes de (616)obtenues à partir de (609).

3.5.5.4 Influence des critères de comparaison

La puissance dissipée par les courants de Foucault, dans unpaquet de tôles, se présente de façon différente, suivant la grandeurde référence qui a été choisie. Nous allons successivement examinerles cas où cette grandeur est :

— la moyenne spatiale de l’induction ;— le champ magnétique à la surface des tôles ;— la tension par spire.

La moyenne spatiale de la représentation complexe de l’inductiondéfinie, à partir de [(604)] :

(617)

et introduite dans la puissance totale (613) :

(618)

correspond aux formes asymptotiques suivantes :— pour :

(619)

— pour :

(620)

Sur la figure 70 nous avons représenté les asymptotes de :

(621)

en fonction de lg(ω /ωc0) pour des tôles, soit d’épaisseur 2 a0 (avec

), soit d’épaisseur a0 (ωc = 4 ωc0 ), les valeurs corres-

pondantes de étant alors respectivement déterminées enprenant soit a = a 0 , soit a = a 0 / 2, dans les expressions [(619)et (620)].

Figure 68 – Fonction F ( )

⟨ ⟩ x XYZ d

d---------

x

12------ Z

XY----------- κ 2 |U | 2a 2γ F α( )= =

F ⟨ ⟩ x16------ Z

XY----------- κ 2|U| 2a 2γ=

F

⟨ ⟩ x1

2 2------------ Z

XY----------- κ 2|U| 2 a2γ( )1 2/ ωµ( ) 1 2/–=

14------ Z

XY------------ κ 2|U| 2a 2γ ω

ωc--------

1 2/–=

lg 6⟨ ⟩ x

κ 2|U| 2a 02γ

------------------------------- XYZ

--------

ωc0 2/a02 µγ=

⟨ ⟩ x

6XY/ κ 2|U |2a 02γ Z( )

⟨ ⟩ x

Figure 69 – Variations de la moyenne (spatiale et temporelle)de la puissance totale dissipée par les courants de Foucault,à tension par spire imposée, dans un paquet de tôles (figure 65) dont les épaisseurs sont soit 2 a0, soit a0

|U |

B⟨ ⟩ x

κUjωXY-------------------=

⟨ ⟩ x12------ Z

XY------------- ωXY( )2| B⟨ ⟩ x|2 a2 γ F α( )=

18------ XYZ

a 2γ µ2------------------- | B⟨ ⟩ x|2α4F α( )=

F

⟨ ⟩ x18------ XYZ

a2 γ µ2------------------- | B⟨ ⟩x |2 α4

3------ 2

3------ XYZ

a 2γ µ2------------------- | B⟨ ⟩x |2 ω

ωc--------

2= =

F

⟨ ⟩ x18------ XYZ

a 2γ µ2------------------- | B⟨ ⟩ x|2 α3 XYZ

a 2γ µ2------------------- | B⟨ ⟩ x|2 ω

ωc--------

3 2/= =

lg 827------

⟨ ⟩ x a02 γ µ2

| B⟨ ⟩ x|2 XYZ-----------------------------------

ωc0 2/a02 µγ=

⟨ ⟩ x



Le facteur :

de dans (621) a été choisi pour que le point de concours desasymptotes relatives à 2 a0 corresponde à un logarithme nul. Lesdeux croix indiquent des valeurs exactes de (621) obtenues à partirde (618).

L’étude effectuée au paragraphe 3.5.4, où le champ magnétique à

la surface d’une tôle correspond à , montre [(596)]que, pour le paquet de tôles considéré :

(622)

Il suffit de remplacer dans (602) pourvoir que la figure 64 fournit tous les renseignements utiles sur lesvariations de (622).

Le cas où la tension par spire est prise comme référence a été déjàétudié. La puissance dissipée est alors donnée par l’expression (613),les principaux résultats étant portés sur la figure 69.

3.5.5.5 Cas des phénomènes périodiques non sinusoïdaux

Nous avons montré dans le paragraphe 3.4.7 comment ces phéno-mènes pouvaient être abordés. (0)

Quand la moyenne spatiale de l’induction est de la forme :

(624)

nous obtenons (d’une façon analogue aux résul tats duparagraphe 3.4.7) à partir de (618), avec toujours α défini par (539) :

(625)

dont les formes extrêmes sont :

— pour ω → 0, (626)

Exemple : dans le domaine où les pertes sont faibles, et cequelle que soit la grandeur de référence [la valeur moyenne del’induction (figure 70), le champ magnétique extérieur

(figure 64), la tension par spire (figure 69)], il y a toujours intérêt (en

négligeant les contraintes technologiques et économiques !) à diminuerl’épaisseur des tôles. Dans le domaine des basses fréquences, lespertes varient de la façon suivante :

(623)

Une grande prudence s’impose donc dans l’analyse des pertes, lagrandeur de référence devant être soigneusement précisée. Suivant lavaleur de µ adoptée (il ne peut y avoir de critère sûr puisque, dans la

plupart des cas, les relations entre non seulement ne sont paslinéaires mais encore dépendent de l’histoire du matériau !), les fré-quences typiques (tableau 1) fc , fg et fF peuvent être dépassées et lesrelations (623) doivent alors être abandonnées.

Ces nouvelles considérations deviennent très importantes quand lesphénomènes ne varient pas sinusoïdalement en fonction dutemps (§ 3.5.5.5).

8a02γ µ2/ 27| B⟨ ⟩ x|2 XYZ( )

⟨ ⟩ x

|Hz a( )| Hz max=

⟨ ⟩ x14------ XYZ

a2γ------------ H z max

2 g α( ) 14------XYZ

a2γ------------ Hext

2g α( )= =

d/d⟨ ⟩ x par ⟨ ⟩ x /XYZ

| B⟨ ⟩ | Hext

|U |

⟨ ⟩ C1| B⟨ ⟩ |2a 2γ ω 2 C2|Φ |2a2γ ω 2= =

C3|Hext|2a 2γ ω 2 C4|U |2a 2γ==

B et H

B⟨ ⟩ x t( ) Bncos nωt ϕn+( )n 1=

∞

∑=

⟨ ⟩ x18------ XYZ

a 2γ µ2------------------- α4 B n

2n 2F α n( )n 1=

∞

∑=

⟨ ⟩ x16------ XYZ a 2γ ω 2 B n

2n 2

n 1=

∞

∑→

Figure 70 – Variations de la densité volumique de la moyenne (spatiale et temporelle) de la puissance dissipée par les courants de Foucault,à moyenne spatiale de l’induction imposée, dans un paquet de tôles (figure 65) dont les épaisseurs sont soit 2 a0, soit a0

Tableau 1 – Valeurs numériques des fréquences

correspondant aux pulsations typiques (541), (599)

et (612) pour des plaques de différentes épaisseurs

dans plusieurs cas caractéristiques

Cuivre avec

FréquenceÉpaisseur 2a

1 cm 1 mm

fc ............... (Hz) 1,69 · 102 1,69 · 104

fg............... (Hz) 1,39 · 102 1,39 · 104

fF............... (Hz) 3,80 · 102 3,80 · 104

Fer avec


1 cm 1 mm 0,35 mm

fc ............... (Hz) 10,1 · 102 – p 10,1 · 104 – p 82,7 · 105 – p

fg............... (Hz) 8,36 · 102 – p 8,36 · 104 – p 68,3 · 105 – p

fF............... (Hz) 22,8 · 102 – p 22,8 · 104 – p 186 · 105 – p

Tôle fer-silicium avec


1 mm 0,35 mm

fc ............... (Hz) .......................... 50,7 · 104 – p 414 · 105 – p

fg............... (Hz) .......................... 41,8 · 105 – p 341 · 105 – p

fF............... (Hz) .......................... 114 · 105 – p 930 · 105 – p

p est un nombre quelconque.

B⟨ ⟩

c g

F

0,6 108⋅

1–m

1–⋅ et 0==

0,1 108⋅

1–m

1–⋅ et 10p

0==

0,02 108⋅

1–m

1–⋅ et 10p

0==



— pour ω → ∞ :

(627)

Quand le champ magnétique à la surface des tôles est de la forme :

(628)

nous obtenons [(622)] pour la puissance dissipée et ses formesasymptotiques :

(629)

— pour ω → 0, (630)

— pour ω → ∞ :

(631)

Quand la tension par spire est de la forme :

(632)

nous obtenons pour la puissance dissipée [(613)] et ses formesasymptotiques :

(633)

— pour ω → 0 :

(634)

— pour ω → ∞ :

(635)

il faut noter que, pour les basses fréquences, la puissance dissipéeest liée au carré de la valeur efficace de u (t ) [(603)].

Nota : des études analogues à celles détaillées au § 3.4.7 peuvent être effectuées,entraînant la constitution de diagrammes analogues à ceux de la figure 60. Nous laissonsau lecteur intéressé le soin d’effectuer ce travail qui nous paraît néanmoins peu attractif

puisque basé sur une relation linéaire entre .

3.5.6 Cas des tôles magnétiques

Pour évaluer la puissance dissipée dans un circuit magnétiquesoumis à des phénomènes variables en fonction du temps, on effec-tue souvent la somme :

— des pertes (F) par courants de Foucault ;— des pertes (H) par hystérésis.

Il faut remarquer que ce procédé est complètement illogiquepuisque :

— le calcul traditionnel des pertes par courants de Foucault est

effectué en admettant qu’il existe une relation linéaire entre :

( , µ étant constant) ;

— les pertes par hystérésis ne peuvent exister que si les relations

entre non seulement ne sont pas linéaires mais encoredépendent de l’histoire du matériau.

Comme l’expérience montre que la somme des pertes considéréesest inférieure aux pertes mesurées, on introduit quelquefois despertes supplémentaires.

En réalité, la puissance dissipée est liée de façon fondamentaleà l’existence des domaines de Weiss ; nous rappelons que, dans le

domaine i (de volume ), l’aimantation est Ms (T ) est

l’aimantation à saturation à la température T considérée et levecteur unitaire caractérisant ce domaine i . L’enchaînement desphénomènes est le suivant.

Quand les conditions magnétiques extérieures varient, la géo-

métrie des domaines se modifie. Si le champ augmente, le volumedes domaines bien orientés (§ 2.2.4.3) augmente également ; aupoint de vue macroscopique la moyenne spatiale :

(qui est l’aimantation des cours élémentaires) croît tandis qu’aupoint de vue microscopique les parois séparant les domaines sedéplacent.

Au voisinage de ces parois, l’induction est modifiée : au pointP, par exemple, pendant l’intervalle ∆t (figure 71), la variation totale

de est à peu près de µ0 Ms (T ) . La considération de lalargeur (≈ 0,1 µm) des parois et de la variation spatiale des grandeursmagnétiques au sein de ces parois montre que, pendant un certain

temps, l’induction de certains points subit des variationstemporelles ; il apparaît donc (théoriquement en tout point) un

champ électrique tant que les parois se déplacent.

Les courants ainsi créés donnent lieu à une dissipation de puis-sance par effet Joule qu’une analyse tronquée et macroscopiquedécompose en pertes par hystérésis, pertes par courants de Foucaultet pertes supplémentaires.

Pour prévoir néanmoins l’ensemble des pertes, on peut, sur desmontages simples (où en principe tous les paramètres sont connus)mesurer les puissances dissipées dans différentes conditions etessayer de les justifier en modifiant au mieux les coefficients et lesexposants des expressions théoriques de première génération. Onobtient ainsi des expressions hybrides (expérimentalo-théoriques !)que l’on utilise ensuite pour prévoir la puissance qui sera dissipéedans un système complexe. Cette technique n’est évidemmentacceptable que si les conditions de fonctionnement du système sonttrès proches de celles qui ont été réalisées lors de l’étude du montagede base ; dans le cas contraire, de graves mécomptes sont à redouter.

3.6 Lignes de transport ou de transmission

Une ligne de transport ou de transmission est un ensemble dedeux (éventuellement trois) conducteurs reliant, en suivant le mêmetrajet, un générateur à un récepteur (ou à un ensemble de récep-teurs).

⟨ ⟩ x1

2 2------------→ XYZ a 2γ( )1 2/ ω 3 2/ µ 1 2/– B n

2 n3 2/

n 1=

∞

∑

Hext t( ) Hz a, t( ) Hn cos nωt ψn+( )n 1=

∞

∑= =

⟨ ⟩ x14------ XYZ

a2γ------------ H n

2 g α n( )n 1=

∞

∑=

⟨ ⟩ x16------ XYZ a 2γ ωµ( )2 H n

2n 2

n 1=

∞

∑→

⟨ ⟩ x1

2 2------------→ XYZ a 2γ( ) 1 2/– ω µ( )1 2/ H n

2 n1 2/

n 1=

∞

∑

u t( ) Un cos nωt βn+( )n 1=

∞

∑=

⟨ ⟩ x12------ Z

XY------------ κ 2a 2γ U n

2F α n( )n 1=

∞

∑=

⟨ ⟩ x16------→ Z

XY------------ κ 2a 2γ U n

2 = 13------ Z

XY------------ κ 2a 2γ u 2 t( )

n 1=

∞

∑

⟨ ⟩ x1

2 2------------→ Z

XY------------ κ 2 a 2γ( )1 2/ ωµ( ) 1 2/– U n

2 n 1 2/–

n 1=

∞

∑

B et H

B et H

B = µ H

B et H

i ki où Ms T( )

ki

H

M⟨ ⟩r Ms T( ) kii i

i∑

i∑=

B

B ki kj–( )

B

E



3.6.1 Généralités

En schématisant, on peut présenter de la façon suivante lesopinions répandues dans deux professions voisines.

— Les électrotechniciens supposent toujours que, à l’instant t,l’intensité du courant I (t ) entre deux nœuds d’un circuit est la mêmeen tout point ; cela correspond à une propagation instantanée et sansaffaiblissement ; la notion d’impédance en découle.

— Les radioélectriciens, habitués aux équations de Maxwell,déduisent de celles-ci qu’il y a toujours propagation, c’est-à-dire quele temps et l’espace interviennent à la fois par l’intermédiaire de

facteurs du type , par exemple.

C’est le second point de vue qui est exact, le premier ne pouvantse défendre qu’en invoquant l’approximation des états quasi station-

naires où et à la notion de tubes decourant. On peut néanmoins prétendre que le premier point de vueest une bonne approximation (le problème étant en réalité beaucoupplus délicat) quand les plus grandes dimensions du circuit sont trèspetites devant la longueur d’onde λ liée à la fréquence f utilisée età la vitesse de propagation c du champ électromagnétique par λ = c /f[λ = 6 000 km pour f = 50 Hz].

Les deux points de vue peuvent se rapprocher sous l’égide del’étude des lignes de transmission où l’analyse locale, par des tech-niques genre circuit (c’est-à-dire utilisant la notion d’impédance),permet de prévoir des phénomènes de propagation à l’échelle del’ensemble du circuit.

3.6.2 Étude des lignes par la méthodedes impédances locales

3.6.2.1 Relations de base en régime établi

Les équations de base régissant, en régime établi, une ligne detransport (formée de deux conducteurs 1 et 2) s’obtiennent en consi-dérant un tronçon élémentaire (de longueur dy ) de cette ligne. Autravers de la section repérée par y, il ne peut y avoir de transfertglobal de charge (entre y – 0 et y + 0) et par conséquent, avec lessens repères indiqués (figure 72a) :

(636)

La différence (la figure 72a mettant en évidence la

loi des nœuds) entre I (y + dy ) et I (y ) provient, d’une part, d’uneconductance g dy entre les conducteurs 1 et 2 et, d’autre part, d’uneffet de capacité γC dy entre ces deux conducteurs, en notant γC lerapport dC /dy pour éviter toute confusion avec la conductivité γ . Endéfinissant la différence de potentiel U (y) par [(455)] :

U (y ) = V1 (y ) – V2 (y ) (637)

nous voyons, d’après nos définitions (§ 3.2.2), que la flèche quirepère U (figure 72b) est de même sens que celle relative à dI et,par conséquent, nous devons utiliser le signe moins dans :

(638)

Avec les conventions adoptées, nous avons dU = dU1 + dU2 ; surchaque conducteur, dUk (k = 1 ou 2) est repéré avec le même sensque Ik , ce qui montre que l’introduction d’une résistance r dy et d’une

inductance propre dy relatives à l’ensemble des deux tronçons dela ligne conduit à :

(639)

L’analyse locale d’une ligne de transport d’énergie en régime établiconduit donc à deux équations couplées :

(640)

3.6.2.2 Régime sinusoïdal

En régime sinusoïdal, les équations de base (640) deviennent :

(641)

dont les combinaisons fournissent :

(642)

avec (643)

Figure 71 – Variation schématique de l’étendue des deux domaines i

et j d’une tôle magnétique quand (dans le sens indiqué) augmenteH

ωt k r⋅–( )cos

rot H J conduit à div J 0==

I1,α β y( ) I2, β α y( ) I y( )==

de même pour la section repérée par y dy :+

I1,α β y dy+( ) I2, β α y dy+( ) I y( ) ∂I∂y--------- dy+= =

Figure 72 – Définition des notationsrelatives à l’étude d’une ligne de transport

dI ∂I∂y--------- dy=

dI ∂I∂y--------- dy gdyU γC dy ∂U

∂t-----------+–= =

dU ∂U∂y--------- dy r dy I dy ∂I

∂t--------+–= =

et : ∂

U

∂

y

---------

r

I

∂

I

∂

t

--------

+–=

∂

I

∂

y

---------

gU

γ

C

∂

U

∂

t

--------

+–=

d Idy---------- g jω+ γC( )U–=

dUdy---------- r jω+ ( ) I–=

d 2U

dy 2------------ K 2 U=

d2 Idy2----------- K 2 I=

K 2 r + j ω ( ) g j ωγ C + ( ) rg ω 2 γ C – ( ) j ω g ωγ C r + ( ) += =


Le coefficient du terme en j de est positif et, par conséquent :

(644)

où

α

et

β

sont positifs.

En définissant l’impédance caractéristique par :

(645)

la

solution générale

de (642) est de la forme :

(646)

En posant :

on peut expliciter cette solution et aboutir à :

(647)

(648)

Les termes en correspondent à une propagation dans la direc-tion « –

y

» (avec une vitesse

v

y

A

= –

ω

/

α

), leur module décroissantdans cette même direction, tandis qu’au contraire, pour les termesen , la direction « + y » concerne la propagation (vy B = + ω /α) etle sens de la décroissance des modules.

Dans le cas idéal où il n’existerait aucune dissipation d’énergie(ce qui correspondrait à r = 0 et g = 0), le paramètre serait pure-ment imaginaire :

(649)

ce qui conduirait à :

(650)

(651)

avec une vitesse de propagation

Pour le cas idéal considéré la condition r = 0 montre que la conduc-tivité γ des conducteurs doit tendre vers l’infini. L’épaisseur de peauδ tend alors vers zéro (δ 2 = 2/ω µ γ ) et les courants sont donc uni-

quement superficiels ; pour un fil de section circulaire [(552)],la résistance linéique :

tend bien ainsi vers zéro. Cette répartition particulière des courants(liée à r = 0) permet d’atteindre assez facilement les expressions cor-respondantes de l’inductance propre linéique et de la vitesse depropagation v.

Pour les guides d’ondes (dont le câble coaxial étudié constitue uncas particulier) idéaux (c’est-à-dire sans dissipation d’énergie) etpour le type de solutions qui correspond aux relations (650) et (651)[solution TEM (transverse électrique magnétique ) dans la termi-nologie des guides d’ondes], la vitesse de propagation est toujourségale à celle qui correspond au milieu ambiant considéréséparément.

Quel que soit le cas considéré, les constantes de la solutiongénérale (646) sont toujours déterminées par les grandeurs impo-sées aux extrémités de la ligne.

Pour une ligne infinie , la constante doit être nulle et,si U (y = 0, t ) = U0 cos ω t est imposé, on obtient [(647) et (648)] :

U (y, t ) = U0 exp (– β y) cos (ω t – α y) (653)

(654)

Pour une ligne finie fermée sur une impédance ,d’où :

(655)

il est préférable de considérer la solution générale (646) sous laforme :

(656)

pour obtenir, après avoir posé :

(657)

l’impédance vue à l’entrée de la ligne est ainsi :

(658)

K 2

K β jα+( )=

Zc

Zcr jω+

K------------------ r jω+

g jω γC+-------------------------= =

U y( ) exp Ky( ) exp Ky – ( ) +=

I

y

( )

1

Z

c

------

exp Ky ( ) exp Ky – ( ) +– =

||exp jϕA( ), ||exp jϕB( )= =

tan 2ψ1( ) ωγC /g, tan 2ψ2( ) ω/r= =

U y, t( ) exp βy( ) ωt αy ϕA++( )cos=

+ exp β – y ( ) ω t α y ϕ B +– ( ) cos

g2 ω 2γ C2

+

r 2 ω 22+----------------------------

1 4/

| – |exp β y ( ) cos ω t α y ϕ A ψ 1 ψ 2 –+ ++ ( ) =

I

y

,

t

( )

+ | |exp β – y ( ) cos ω t – α y ϕ B ψ 1 ψ 2 –+ + ( )

||

||

K

K 2 ω 2γC–=

α ω γC=

β 0=

etd

,où

U y, t( ) ||cosω t+y γC ϕA+=

+||cosω t – y γ C ϕ B +

I y, t( ) γC

------

1 2/

– | | cos ω t + y γ C ϕ A +=

+ | | cos ω t – y γ C ϕ B +

v vyB v y A – 1/ γ C = = =

πr 02

r 1γ 2πr0δ-----------------------

12 2 πr0

--------------------- ωµγ

---------= =

À titre d’

exemple

de ligne de transport, considérons un câble coaxialconstitué d’un cylindre, d’axe

Oy

, de rayon

R

1

et d’un tube de mêmeaxe, de rayon intérieur

R

2

(

R

2

>

R

1

). Si le milieu intérieur (

R

1

<

R

<

R

2

)est l’air, assimilable au vide (

ε

0

,

µ

0

), on obtient :

et, dans le cas idéal où on admet que

r

= 0 :

la vitesse de propagation :

(652)

est alors celle [

(372)

] qui correspond au milieu considéré, soit ici, lavitesse de la lumière dans le vide.

γC2πε0

ln R 2/R1( )--------------------------=

µ0

2π---------- ln R2/R1( )=

v 1γ

-----------2π

µ0ln R2/R1( )----------------------------------

ln R2/R1( )2πε0

--------------------------1 2/

1µ0ε0-------------1 2/

c= = = =

et

y 0( )

I y, t( ) U0g 2 ω 2γ C

2+

r 2 ω 22+----------------------------

1 4/

exp β – y ( ) cos ω t – α y ψ 1 ψ 2 –+ ( ) =

0 y < <( ) Z

U ( ) Z

I ( )=

I y( ) 1 Z c ------ ′ sh Ky ( ) ′ ch Ky ( ) + –=

U y

( )

′

ch

Ky

( )

′

sh

Ky

( )

+=

Z

Zcthϕ=

I y( )U 0( )

Zc

-------------ch K y–( ) ϕ+[ ]

sh K ϕ+( )---------------------------------------------=

U y( ) U 0( )sh K y–( ) ϕ+[ ]

sh K ϕ+( )---------------------------------------------=

Z 0( )U 0( )I 0( )------------- Zcth K ϕ+( )= =

3.6.2.3 Comparaison entre les solutions « genre circuit »et « genre ligne »

L’électrotechnicien classique, qui admet que

bien évidemment, àl’instant t et en tout point d’un circuit électrique sans ramification,l’intensité I (t ) du courant est toujours la même (§ 3.6.1), déduiraitpour le cas qui vient d’être examiné que :

(659)

la deuxième impédance du second membre étant uniquement dueà la présence de la ligne. Le calcul [(658)] :

(660)

montre qu’il n’en est rien puisque cette impédance dépend de .

Un tel résultat était à attendre puisque les relations (647) et (648)mettent en évidence des phénomènes de propagation [I (y, t ) ≠ I (t )].

En considérant le cas de la ligne infinie dont le compor-tement est décrit par les expressions (653) et (654), nous voyons queles phénomènes de propagation peuvent, en étant réaliste, être négli-gés si deux conditions sont satisfaites à la fois :

a) (661)

où est la longueur qui correspond à un affaiblissementde 1/e (e étant la base des logarithmes népériens) de l’amplitudeU0 exp (– β y ) de la différence de potentiel et de l’amplitude :

de l’intensité du courant :

b) (662)

en faisant intervenir la vitesse v = ω /α, T étant la période des phéno-mènes sinusoïdaux considérés.

Sans faire une étude complète de α et β [(643) et (644)],l’expression :

(663)

montre que β augmente avec r et que, par conséquent, la condition(661) correspond à des distances limites y lim de plus en plus faiblesquand on considère des lignes de plus en plus résistantes.

Par ailleurs, dans le cas d’une ligne idéale (c’est-à-dire sansdissipation de puissance), la condition (661) est toujours satisfaitepuisque β = 0 (649) montre que est infini. Nous avons égalementvu [(652)] que v = c et la condition (662) fournit alors où λ cor-respond à la longueur d’onde relative à l’air. Il convient de remarquerque cette condition , souvent annoncée intuitivement, n’estvalable qu’en absence de phénomènes de dissipation de puissanceet que les conditions générales (661) et (662) sont plus restrictives.

Notre exposé sur les lignes ne doit pas faire croire que des consi-dérations « genre circuit » à l’échelle locale, permettent d’obtenirl’ensemble des phénomènes qui peuvent être prévus à partir deséquations générales de Maxwell. Dans le cas, par exemple, desguides d’ondes, ces équations mettent en évidence la possibilité detrois types de phénomènes de propagation tandis que l’analyse quenous avons effectuée n’en prévoit qu’un seul (la solution TEMcitée § 3.6.2.2).

3.6.3 Validité et critique de l’utilisation strictede l’approximation des états quasi stationnaires

3.6.3.1 Présentation du problème

Au paragraphe 2.3.2 nous avons indiqué que dans les conduc-teurs, même mauvais, l’approximation des états quasi stationnairesétait valable. Dans ces conditions, en cas de phénomènes variantsinusoïdalement en fonction du temps, l’étude (§ 3.4.4) d’une plaquedéfinie par – a < x < a, où la direction imposée au courant est Oy,conduit à [(533)] :

(664)

ce qui montre, d’une part, une répartition transversale du champ (sta-tionnaire, sans phénomène de propagation) en f (x /δ) et, d’autre part,

dans le sens longitudinal , une transmission sans affaiblisse-

ment [aucun facteur du type exp (– β y ) n’est présent] et instantanée:le facteur exp j (ω t – α y ) conduirait à une vitesse de propagationégale à ω/α et la présence de seulement exp (j ω t ), avec α = 0,correspond donc à une vitesse infinie.

Cette absence d’affaiblissement et cette vitesse infinie sont inti-mement liées à l’utilisation stricte de l’approximation des états quasistationnaires où la considération de l’équation de Maxwell tronquée

(219) conduit [cf. cas général (32)] à la relation

div . En effet, l’application de cette relation à une expression

générale du type (avec ) :

(665)

entraîne :

(666)

et, par conséquent :

(667)

et (668)

La relation (668) montre alors que ne peut avoir aucune compo-

sante (réelle ou imaginaire) dans la direction de ; dans notreexemple (664), correspond bien à une propaga-

tion sans affaiblissement et à une vitesse infinie.

Dans le cas où est unidirectionnel, la relation (667) indique que

ne peut varier qu’en fonction des variables transversales soit x

et z si, par exemple, se réduit à Jy . Dans ce dernier cas, la formegénérale de Jy ne peut être que la suivante [(664)] :

(669)

Dans le problème des lignes, que nous venons de traiter auparagraphe 3.6.2.2, il apparaît une vitesse de propagation dans lesens longitudinal y : l’expression (654) de l’intensité du courantcomporte en effet un cosinus où intervient le groupement (ω t – α y ) ;le champ électrique dans les conducteurs [Jy (x, t ) = γ · Ey (x, t )]devrait donc présenter un facteur analogue, ce qui semble

Z 0( ) Z Z ligne+=

Z ligne Zcth K ϕ+( ) Z–Z c

2 Z2

–

Z Zccoth K( )+-----------------------------------------------= =

Z

y 0( )

βyy

e-------1=

e 1/β=

U0g 2 ω 2γ C

2+

r 2 ω 22+----------------------------

1 4/

exp β y – ( )

αy 2π soit y 2πv

ω---------- Tv=

2β2 rg ω 2γC + r 2 ω 22+( ) g 2 ω 2γ C2+( )–=

ey λ

y λ

Jy x, t( ) Re 1 j+( )Js max

2δ sh 1 j+( ) aδ-----

---------------------------------------------- ch 1 j+( ) xδ----- expj ωt( )=

Oy

rot H J rien+=( )

J 0=

k α j β–=

J x

,

y

,

z

,

t

( )

Re

J

0

x

,

y

,

z

( )

exp

j

ω

t k r

⋅

–

( )

=

divJ 0 exp j ωt k r⋅–( ) j J 0 k ⋅( ) exp j ω t k r ⋅ – ( ) – 0 =

divJ 0 0=

J 0 k⋅ 0=

k

Jky α y j β y – 0 = =

J

J 0

J

Jy x, z, t( ) Re J0y x, z( ) expj ωt k xx k zz––( )=

Re x, z( ) exp jωt( )=


impossible à obtenir avec l’utilisation stricte (invariance des phé-nomènes en fonction de la variable longitudinale) de l’approximationdes états quasi stationnaires.

Cette contradiction est liée au fait que, toujours, nous n’avonsraisonné que sur un seul milieu :

— dans le problème de la plaque, le milieu extérieur n’est pasconsidéré ;

— dans le problème des lignes, ce milieu est pris en compte [cf.les expressions (652) de et γC qui contiennent ε0 et µ0], tandis queles conducteurs n’interviennent que par leurs caractéristiques géo-métriques extérieures R1 et R2) sans trop se soucier, en général, dela répartition de leurs densités de courant.

La seule façon d’obtenir des résultats satisfaisants est de résoudreun problème conforme à la réalité, c’est-à-dire un problème completoù il est tenu compte, dès le début, des conditions de passage entreles deux milieux.

3.6.3.2 Considération d’un exemple

La résolution du problème « on considère, dans le vide, un fil cylin-

drique (d’axe Oz et de section circulaire ), l’intensité I = I0 cos ω tdu courant étant imposée en z = 0 », présente de très nombreusesdifficultés mathématiques. C’est pour cela que nous ne donnons quela forme (attendue) de la solution :

(670)

et quelques résultats sur la longueur (qui correspond à un facteurde transmission de 1/e) et la vitesse v, la détermination des grandeurstypiques et v, ne pouvant s’effectuer qu’en résolvant numéri-quement des équations comportant des fonctions de Bessel. Lesvariations (en fonction de lg ω) de lg , lg [(c – v )/c] et v /c sont res-pectivement portées sur les figures 73, 74 et 75 pour des fils dontle rayon r 0 est 1 cm (courbes I ), 1 mm (courbes II) ou 0,1 mm(courbes III ).

Pour ces trois figures :— les courbes en trait plein concernent des développements que

nous avons pu établir quand r0/δ est très petit (repère P1), pas tropgrand (P2 sur la figure 73, P sur les figures 74 et 75), assez grand(G) ; pour indiquer le domaine attribué à chaque type de dévelop-pement nous avons joint, par des traits mixtes, les points de cescourbes relatifs à r0/δ égal à (0,3), (1) et (3) ;

— les points donnent les valeurs exactes pour r0 = 1 cm (I).

Ces figures montrent que et v s’écartent d’autant plus desrésultats relatifs, soit à l’utilisation stricte de l’approximation desétats quasi stationnaires , soit à la considération deslignes idéales , que r0 et ω sont plus petits. À la fré-quence de 50 Hz, par exemple, des fils de cuivre [avec r0 = 0,1 mm

(courbes III)] dont les longueurs sont 10 km, λ/100, λ/10 et λ (lalongueur d’onde λ est indiquée en double trait sur la figure 73avec ici λ = 6 000 km) correspondent respectivement à des facteursde transmission exp de (0,852), (0,384), 7 · 10–5 et 3 · 10–42

tandis que v = 6 · 10–2 c (figure 75). La proposition (souvent évo-quée) « l’approximation des états quasi stationnaires fournit desrésultats satisfaisants quand l’étendue générale du système étudiéest très petite devant la longueur d’onde λ » n’est donc pas valable.

3.6.3.3 Cas général

Dans nos différents développements (fournissant des évaluationstrès voisines des valeurs exactes), les grandeurs r0 et γ n’inter-

viennent pratiquement que par le groupement . Cela met enévidence le rôle essentiel de la résistance linéique du conducteur

cylindrique , le facteur de transmission et la vitesse

étant d’autant plus petits que dR /dz est plus grand. On peut admettrequ’il en est de même pour les conducteurs de section quelconqueet que dR/dz reste le paramètre essentiel.

πr 02

I z, t( ) I0 exp z

e -------– ω cos t z

v ------ – =

e

e

e

e

e ∞,v ∞= =( )e ∞,v c= =( )

/ e – ( )

r 02γ

dR/dz 1/πr 02γ=

Figure 73 – Variations, en régime sinusoïdal,

en fonction de la pulsation , de la longueur ,

pour des fils de cuivre à section circulaire

Figure 74 – Variations, en régime sinusoïdal,en fonction de la pulsation , de la vitesse

v

par l’intermédiaire

de [(

c

–

v

)/

c

] pour des fils de cuivre à section circulaire

e

r 0

2

r0

2



3.6.3.4 Conclusions

Les résultats de nos calculs montrent que, dans le domaine del’électrotechnique (sauf cas particuliers), on peut négliger les phéno-mènes de propagation tels que nous venons de les décrire.

La

longueur d’affaiblissement

(

≈

1 000 km pour

r

0

= 1 mm et50 Hz) n’a pas de sens physique, les supports, les isolants non idéauxlimitant les phénomènes bien avant cette valeur théorique.

Le

temps de propagation

sur une distance de 1 km [3,3

µ

s dansl’air et 0

µ

s (!) dans le conducteur (pour le lecteur non averti)] passe,à une fréquence de 50 Hz et pour un fil dont le rayon est de 0,1 mm,à 55

µ

s, pour le lecteur qui a remarqué que le rapport

v

/

c

est alorsde 6 · 10

–2

(figure

75

).

Le présent paragraphe 3.6.3 sert donc principalement à rassurerl’électrotechnicien, qui se demandait s’il est possible d’utiliser dessolutions illogiques (qui violent la continuité des composantes

tangentielles des champs ) en obtenant néanmoins desvaleurs numériques convenables dans la plupart des cas.

4. Annexe A : nature tensorielle des grandeurs et applications

4.1 Nature et classementdes grandeurs physiques

4.1.1 Nature dimensionnelle et nature tensorielle

Deux systèmes indépendants permettent de classer les bonnesgrandeurs physiques en se référant soit à leur nature dimensionnelle,soit à leur nature tensorielle. Ce n’est pas parce que cette dernièrenature est (à tort) moins enseignée que la première qu’il faut la négli-ger et la croire très compliquée.

La

nature dimensionnelle

d’une grandeur est bien connue. Pourla mettre en évidence, on considère les grandeurs choisies commefondamentales (exemple : longueur, masse et temps), o

n modifie lesunités

correspondantes (exemple : m

→

cm) et on observe les modi-fications qu’elles entraînent sur la mesure de la grandeur étudiée.C’est ainsi, par exemple, que la dimension d’une accélération estLT

–2

et celle d’une force LMT

–2

.

Pour définir la

nature tensorielle

d’une grandeur,

on modifie lesvecteurs de base de l’espace

et on observe les modificationsentraînées sur les composantes de la grandeur étudiée. La modifica-tion des vecteurs de base doit être la plus générale possible : lesdirections, les modules peuvent changer, les axes (rectilignes oucurvilignes) peuvent être orthogonaux ou non. La forme et lacomplexité des modifications observées des composantes d’unegrandeur permettent de définir sa nature tensorielle au moyen detrois critères (variance, «

tenseur

» et grandeurs tensorielles, ordre).Avant de décrire brièvement ces critères, il faut définir le nombre devecteurs de base de l’

espace

et en examiner les conséquences.

Si on admet que l’espace n’est rapporté qu’à

trois vecteurs de base

(les coordonnées géométriques), le temps étant considéré à part, lesrelations tensorielles sont aveugles par rapport au temps : une gran-deur et, par exemple, sa dérivée par rapport au temps, apparaissenten effet comme ayant la même nature tensorielle puisqu’une modi-fication des trois vecteurs de base entraîne les

mêmes

modificationsdes composantes de la grandeur et des dérivées par rapport autemps des composantes de cette grandeur. Si on se tient au courantde l’activité scientifique (la Relativité date de 1905), on sait qu’il fautrapporter l’

espace

à un

groupe de quatre coordonnées

(

x

,

y

,

z

,

t

pourfixer les idées)

absolument liées

; les relations tensorielles entregrandeurs fournissent alors des résultats sans ambiguïté par rapportau temps.

Pour simplifier l’exposé, nous n’avons introduit des relations

franchement

relativistes que dans le paragraphe 4.2.5.

4.1.2 Variance tensorielle d’une grandeur

Considérons, à titre d’exemple, le vecteur joignant l’origineO au point M. En utilisant un type A de vecteurs de base

, le vecteur s’exprime au moyen des

x

i

A

par :

(671)

tandis que, pour un type B de vecteurs de base, définis à partir dutype A au moyen de :

(672)

il faut faire intervenir des

x

j

B

pour obtenir le même vecteur :

(673)

Si les sont modifiés d’une certaine façon , les

x

i

A

doivent être modifiés (

x

i

A

→

x

j

B

) d’une autre façon pour que le

vecteur reste invariant quels que soient les vecteurs de basechoisis. On peut montrer qu’il est alors nécessaire que :

(674)

où il faut remarquer que les relations (672) et (674) se correspondentpar la permutation des indices

i

A et

j

B.

Les coordonnées

x

i

varient ainsi d’une façon

contraire

à celle des

et sont dites

contravariantes

. En revanche, une grandeur dont

les composantes varient comme les est dite

covariante

.

Figure 75 – Variations, en régime sinusoïdal,en fonction de la pulsation , du rapport

v

/

c

e

E et H

OM

uxA , uyA , uzA( ) OM

OM uxAxA uyAyA uzAzA+ + uiAxiAi 1=

3

∑= =

uj B αji u iAi 1=

3

∑=

OM

OM uj Bxj Bj 1=

3

∑=

uiA uiA ujB→( )

OM

xiA αjixjB

j 1=

3

∑=

ui

u i


À titre d’exemple, l’évaluation du travail d’une force constante

dont le point d’application se déplace de :

(675)

montre que est covariant puisque est invariant comme

quand on modifie les vecteurs de base de l’espace [type

A → type B] :

4.1.3 Tenseurs et grandeurs tensorielles

Nous venons de voir que les coordonnées xi sont contravariantes.

La vitesse du point M est donc contravariante, les composantesvi = dxi /dt variant comme les xi , puisque nous n’utilisons que troisvecteurs de base [§ 4.1.1 et (671)].

Une densité de courant, du type (où l’indice

k repère les différentes espèces de particules) a également un carac-

tère contravariant (dû aux ), mais la présence des densités volu-

miques ρk montre que varie également comme l’inverse duvolume de base défini à partir des vecteurs de base (on peut montrerque le volume de base est lié à l’inverse |α|–1 du déterminant |α |

formé par les αji ). Les grandeurs sont donc contravariantes,mais de type différent.

Pour pouvoir effectuer les distinctions nécessaires, le vocabu-laire suivant est utilisé : les grandeurs tensorielles variant soitcomme l’inverse du volume de base, soit comme ce volume de baseou bien insensibles à cette action sont respectivement désignées par

densité tensorielle (exemple ), capacité tensorielle (exemple un

volume) et « tenseur » au sens strict du terme (une vitesse parexemple). Dans la suite de l’exposé, nous distinguerons les tenseursau sens large du terme (qui regroupent les trois catégories précé-dentes) des « tenseurs » au sens strict du terme.

4.1.4 Ordre d’un tenseur

Une définition très extérieure (elle ne concerne que le cadre obli-gatoire) de l’ordre d’un tenseur consiste à indiquer le nombre decomposantes qu’il comprend :

— dans l’espace à trois dimensions, un tenseur du 1er ordre a troiscomposantes du type ti , un tenseur du 2e ordre, 9 composante dutype tij ;

— pour l’espace à quatre dimensions, les tenseurs du 1er ordreet du 2e ordre ont respectivement 41 = 4 et 42 = 16 composantes.

4.1.5 Définition d’un tenseur et vocabulaire

Après avoir défini de nouveaux vecteurs de base (type B) à partirdes anciens (type A) au moyen d’une pondération élémentaire (672),une grandeur peut être considérée comme un tenseur si ses nou-velles composantes sont des pondérations linéaires des anciennescomposantes, chacune de ces nouvelles composantes étant régiepar le même type de pondération ; c’est le type de ces pondérations(qui doivent ne faire intervenir que des facteurs αji et le déterminantcorrespondant |α|) qui définit alors l’ordre, la variance et le caractèredensité, capacité ou « tenseur » de la grandeur étudiée ; par exemple,pour une densité scalaire (comme la densité volumique de charge) :

ρB = |α | ρA (676)

et pour un « tenseur » du 2e ordre deux fois covariant (commel’induction magnétique) :

(677)

Toutes les bonnes grandeurs physiques sont des tenseurs (§ 4.1.6)et le plus important est la détermination de leur nature tensorielle.Remarquons que la valeur numérique zéro permet de constituer destenseurs de n’importe quelle nature : une densité scalaire parce que0 = | α | 0 [(676)], un tenseur deux fois covariant parce que

[(677)], etc.

Une très grande partie de la physique peut être traitée en utilisant

des quantités scalaires, des tenseurs du 1er ordre et des

tenseurs du 2e ordre .

À l’intérieur des scalaires (qu’un désir forcené de classementpermet de considérer comme des tenseurs d’ordre zéro à unecomposante), on peut distinguer les densités scalaires (comme unedensité volumique de charge ρ ou une densité volumique de puis-sance ), les capacités scalaires (exemple un volume) et les« scalaires » au sens strict (exemple une charge électrique Q, unepuissance P, une énergie , un potentiel électrique V ).

Les tenseurs du 1er ordre sont des vecteurs et c’est toujours

cette appellation qui est utilisée ; à titre d’exemple, est un

« vecteur » covariant de même que (puisque , Q étant

un « scalaire » strict), est une densité vectorielle contravariante.

Dans une très grande partie de la physique, tenseur signifie doncpratiquement tenseur du 2e ordre. Pour l’espace à trois dimen-sions et si les coordonnées x, y, z sont utilisées, les composantes tijd’un tel tenseur peuvent se grouper dans le tableau :

(678)

(qu’il ne faut évidemment confondre ni avec une matrice ni avec undéterminant !).

Deux cas particuliers importants sont à distinguer :

1) Les tenseurs symétriques sont définis par les relationstij = + tji ; le tableau des composantes (678) prend alors la forme :

(679)

où les tij d’indices i et j différents sont exprimés en n’utilisant quetxy , tyz et tzx dont les indices sont les deux premiers des permuta-tions paires de xyz ; pour la première forme de (680), nous utilise-rons la même règle.

Le lecteur qui consultera un exposé complet sur les tenseursobservera une distinction entre les indices de contravariance(placés en haut) et ceux de covariance (en bas) ; c’est poursimplifier que nous ne respectons pas ces normes et notons, par

exemple, par αji .

F OM

F OM⋅ Fi xii

∑= =

F Fixi∑ui xi∑

FiAxiA∑ FjBxjB∑ = comme uiAxiA∑ ujBxjB∑ =

α ji

v

J ρk < v k >k∑=

v k

J

v et J

J

v

tjp( )B αji αpq tiq( )Aiq∑=

0 αji αpq0iq∑=

T( )

T( )&&

d/d

F

E F Q E=

J

t

txx

tyx

tzx

txy

tyy

tzy

txz

tyz

tzz

=&&

t

txx

txy

tzx

txy

tyy

tyz

tzx

tyz

tzz

=&&


Un bon exemple de tenseur symétrique du 2e ordre est fournipar le tenseur de Maxwell [(152) et (283)].

2) Les tenseurs antisymétriques sont définis par tij = – tji , ce quientraîne tii = 0 ; le tableau (678) devient alors (la deuxième formesera explicitée ci-après à propos du champ magnétique) :

(680)

Le champ magnétique est un tenseur antisymétrique du2e ordre (plus exactement, une densité tensorielle antisymétriquedu 2e ordre deux fois contravariante) dont les composantes sontnotées Hjk au moyen de 2 indices. Si on utilise des axes à droite,

les composantes du vecteur correspondant sont définies par(Hd)i = Hjk où i jk est une permutation paire de x y z, tandis que,

dans le cas d’axes à gauche, pour , on considère(Hg)i = Hkj = – Hjk où ikj est une permutation paire de x z y [cf. ledernier membre de (680)].

Un autre exemple de « tenseur » antisymétrique du 2e ordre estfourni par le rotationnel du champ électrique qui comprend sixcomposantes :

(681)

non nulles a priori ; les composantes en axes à droite du vecteur

sont toujours déterminées par :

(682)

i jk étant une permutation paire de xyz.

4.1.6 Qu’est-ce qu’un tenseur ?

La nature dimensionnelle et la nature tensorielle d’une grandeursont ses paramètres essentiels puisqu’ils sont les seuls qui per-mettent de savoir dans quel type de relations (§ 4.2.1) cette grandeurpeut être impliquée. Néanmoins, certaines personnes posent laquestion « qu’est-ce qu’un tenseur ? » bien qu’elles ne pensent pasà la question quasi analogue « qu’est-ce qu’une dimension ? ». Pourleur répondre et donner des précisions supplémentaires, il suffit derépéter qu’une grandeur T est un tenseur si, lors d’un changementquelconque des vecteurs de base de l’espace [(672)] toutes les nou-velles composantes de T s’obtiennent, en chaque point, à partir d’unepondération linéaire (d’un type unique pour la grandeur considérée)des anciennes composantes en ne faisant intervenir que les αji etleur déterminant |α| ; les relations (676) et (677) fournissent deuxexemples à ce sujet.

Pour qu’une grandeur puisse constituer un tenseur, il faut doncqu’elle ne fasse intervenir que les coordonnées d’un seul point expri-mées au moyen d’un seul système à la fois (ce système pouvantêtre quelconque). Reprenons ces deux critères en donnant descontre-exemples.

Les αji peuvent dépendre du point considéré (passage d’axesrectilignes à des coordonnées sphériques par exemple) ; si une gran-deur dépend de deux points, on ne peut donc définir les αji à utiliseret une relation du type (677), par exemple, ne peut être envisagée.Les dérivées des composantes d’un tenseur (qui font intervenir for-mellement deux points) ne peuvent donc a priori former un tenseur ;la seule exception est le gradient d’un scalaire puisque :

(683)

montre [(675)] que ce gradient est un « vecteur » covariant.

Pour définir [(677)] les nouvelles composantes (tjp )B et lesanciennes (tiq )A , on ne considère à chaque fois qu’un seul repère (Aou B). En revanche, les αji sont liés aux deux systèmes : il n’y a nid’anciens αji , ni de nouveaux αji . Les αji ne sont donc pas lescomposantes d’un tenseur.

4.2 Nature tensorielle des grandeurset lois physiques

Pour les tenseurs et les grandeurs tensorielles, le lecteur pourrautilement se reporter aux articles du traité Sciences fondamentales :

— Calcul tensoriel [A 125] ;— Les tenseurs et leurs applications [A 1 210] ;— Problèmes en élasticité semi-classique. Modélisation et réso-

lution [A 1 212].

4.2.1 Relations entre grandeurs

Pour qu’une relation d’égalité entre deux grandeurs soit unerelation physique intrinsèque, c’est-à-dire indépendante de touteconvention, il faut que non seulement ces grandeurs soient de mêmedimension (ce qui est bien connu), mais aussi qu’elles aient le mêmenature tensorielle ; sans cela, un changement des vecteurs de basemodifierait de façon différente les composantes des deux grandeurs,la relation de soi-disant égalité cesserait d’être valable en montrantainsi son caractère fortuit.

Les relations entre tenseurs n’utilisent que deux procédés :— la multiplication tensorielle (ordinaire, scalaire...), la nature

tensorielle du produit étant déterminée par des règles simples : le

produit de la charge Q (« scalaire » strict) par le champ

(« vecteur » covariant) fournit la force (« vecteur » covariant) ; le

produit scalaire (de « vecteurs » de composantes respec-tivement covariantes et contravariantes) exprime un travail(« scalaire » strict) ; une multiplication tensorielle plus évoluée serafournie par la relation (686) ;

— l’application d’un opérateur différentiel aux composantes d’untenseur T1 fournit un nouveau tenseur T2 si la configuration de l’opé-rateur et la nature N1 du tenseur T1 sont bien choisies.

Comme plusieurs grandeurs physiques sont notoirement destenseurs (exemple la force), on en déduit que toutes les bonnes gran-deurs physiques sont obligatoirement des tenseurs : sans cela lesrelations dans lesquelles elles sont impliquées ne pourraient être quefortuites.

t

0 t xy –

t

zx

t

xy

0 t yz –

t zx –

t

yz

0

0 t

g

( )

z

t

d

( )

y

t d ( ) z

0

t

g

( )

x

t g ( ) y

t

g

( )

x

0

= =

&&

H&&

Hd

H g

tij∂

∂xi----------- Ej

∂∂xj----------- Ei–=

rot E( )[ ]d

rot E( )[ ]di tjk=

grad V( ) dM⋅ V M dM+( ) V M( )–=

En

conclusion

, il faut prendre garde à ne pas confondre :

— la matrice (

α

) des

α

ji

qui définit les à partir des

(672) ;— le déterminant |

α

|, formé par les mêmes

α

ji

,

dont l’inverse

fournit le rapport des

volumes de base

des deux systèmes ;— un tenseur du 2

e

ordre, par exemple le tenseur de

Maxwell relatif à l’électrostatique [(152)] :

(684)

ces trois entités se présentant extérieurement de la même façon,au moyen d’un tableau carré 3

×

3 pour un espace à troisdimensions.

ujB

uiA

T&&

Tjp ε0EjEp12------ δjp E 2–=

Q E E

F

F OM⋅



À titre d’

exemple

, nous allons montrer que l’expression de ladensité volumique de puissance fournie sous forme électro-magnétique [(78)] :

(685)

permet d’obtenir plusieurs résultats intéressants après avoir

remarqué que est une densité scalaire :

— le terme est un « vecteur » covariant et une den-sité vectorielle contravariante donne bien une densité scalaire [cf.

qui fournit un scalaire strict] ;

— il faut donc [cf. terme (§ 4.1.2)soient des densités vectorielles contravariantes ;

— on peut montrer, connaissant la nature de , que est un« tenseur » du 2

e

ordre antisymétrique deux fois covariant.

4.2.2 Relation entre

Nous venons de voir que ont des natures tensoriellesdifférentes. Il en résulte que

même dans le vide

, et

pour un choix

quelconque de vecteurs de base

, ne peut être proportionnel à

puisque leurs composantes respectives se modifient de façondifférente quand on modifie les vecteurs de base. Même si, aveccertaines conventions (différentes de celles du système MKSA), on

peut arriver à mesurer les composantes de avec la même

unité,

on ne peut pas confondre sur le plan des principes

.Plus précisément, si on cherche la nature de la grandeur

ε

qui relie

, on peut faire les remarques suivantes :

— si

ε

était un scalaire,

ε

serait covariant ;— si

ε

correspondait à un vecteur contravariant, il ne permettrait

de former avec qu’une grandeur scalaire [du type ] ;— on conçoit donc (ce n’est pas une démonstration !) que si

ε

estune densité tensorielle deux fois contravariante

(de composante

ε

ij

)on puisse obtenir les composantes de la

densité vectorielle contra-

variante

au moyen de relations du type :

(686)

mettant en jeu les composantes du « vecteur » covariant .

Avant de rassurer les personnes qui ont déjà utilisé (et utiliseront

encore) dans le cas du vide, considérons d’abord, à titred’exemple, la relation bien connue [l’âge du capitaine = la longueurdu navire (exemple 50 ans et 50 mètres)] et osons prétendre quecette relation est bonne parce qu’elle subsiste quand on modifiel’unité de masse. Nous voyons ainsi que pour condamner cette pro-position fallacieuse, il faut mettre la relation incriminée à l’épreuved’une modification de toutes les unités de base (longueur, masse,temps) ; sans cette précaution, une relation dimensionnellementfausse pourrait paraître correcte. Pour les natures tensorielles, il enest de même ; il faut modifier les vecteurs de base de la façon laplus générale possible pour éprouver une relation.

À titre d’exemple, pour un système d’axes rectilignes

étant perpendiculaire au plan Oxy dans

lequel l’axe est amené sur l’axe par une rotation d’un angle

θ autour de dans le sens positif, on peut démontrer que les

composantes εij de (avec i et j = x, y, z ) forment le tableau :

(687)

Les relations (686) deviennent alors :

(688)

et condamnent ainsi, dans le cas où θ est quelconque, toute relation

de proportionnalité entre .

En revanche, dans le cas d’axes orthogonaux (θ = π /2), le tableau

(687) de devient :

(689)

les seules composantes non nulles (toutes égales entre elles) étantcelles de la diagonale principale. Les relations (686) donnent alors

Di = ε0 Ei , ce qui se traduit par . On peut montrer que cette

relation subsiste tant que les axes restent orthogonaux(l’utilisation de coordonnées cylindriques ou sphériques estpossible), de la même façon que « l’âge du capitaine = la longueurdu navire » peut subsister tant que les unités de temps et de longueurrestent respectivement les mêmes.

En conclusion, les grandeurs , fondamentalementdifférentes puisqu’elles n’ont pas la même nature tensorielle, nepeuvent, même dans le vide, être proportionnelles ; le choix d’axesorthogonaux cache cependant cette différence et permet d’utiliser,

dans le vide, la relation .

En résumé, nous avons démontré ou indiqué que :• ρ est une densité scalaire ;

• est un « vecteur » covariant ;

• sont des densités vectorielles contravariantes ;

• est une densité tensorielle deux fois contravarianteantisymétrique ;

• est un « tenseur » deux fois covariant antisymétrique.

pemdem

d--------------- E ∂ D

∂t--------- H ∂B

∂t------- E J⋅+⋅+⋅= =

&&&&

dem

d---------------

E J⋅ où E J

F OM⋅( )

E ∂D / ∂t⋅( )] et ∂ D /∂t et D

H&&

B&&

E

J et D

H&&

B&&

D et E

E et D

D

E

D et E

E et D

D et E

E

E F OM⋅=

D

Di εijEjj

∑=

E

D ε0 E=

Ox ,Oy ,Oz , l ′axe Oz

Ox Oy

Oz

ε0&&

&&ε0 θ( )

ε0

sinθ--------------

ε

0 θ

cos

sin θ ----------------------– 0

ε

0 θ

cos

θ sin ----------------------–

ε

0 θ sin

---------------- 0

0 0

ε

0

θ

sin

=

Dz ε0 θsin Ez=

Dxε0

θsin--------------- Ex

ε0 θcosθsin

---------------------- Ey–=

Dy ε

0 θ

cos

θ

sin

---------------------- E x – ε

0 θ

sin

-------------- E y +=

D et E

ε0&&

&&ε0 θ π2------=

ε0 0 0

0 ε0 0

0 0 ε0

=

D =ε0 E

D =ε0 E

D et E

D ε0 E=



4.2.3 Relation entre

Nous avons déjà indiqué que (« tenseur » deux fois covariant

antisymétrique) et (densité tensorielle deux fois contravarianteantisymétrique) sont de nature différente. Avec un choix de vecteurs

de base quelconque, et même dans le vide, ne peut donc être

proportionnel à . Si on se restreint à l’utilisation d’axes ortho-gonaux, la différence de nature est cachée et on peut alors écrire

pour le vide .

4.2.4 Les opérateurs différentiels de la physique

Nous avons déjà indiqué que la dérivée (qui fait formellementintervenir deux points de l’espace) de la composante d’un tenseurne peut pas

a priori

former une composante d’un tenseur, la seuleexception étant relative au gradient d’un scalaire [(683)]. Si pourdéfinir

une

composante d’une grandeur

G

2

on considère, non pasla dérivée d’

une

composante d’un tenseur

T

1

, mais une combinaisonde ces dérivées [(690)], on peut montrer qu’il existe quelques asso-ciations entre des

tenseurs

T

1

de nature

N

1

bien déterminée, d’unepart, et des combinaisons particulières des dérivées des compo-santes de ces tenseurs, d’autre part, qui permettent de définir des

tenseurs T

2

(de nature N

2

)

.

Avant de donner quatre exemples concernant les tenseurs

T

1

dontl’ordre est inférieur ou égal au deuxième, il faut remarquer que l’exis-tence des

bonnes

associations est très importante parce quecertaines relations entre tenseurs de nature différente sont ainsiautorisées.

À titre de premier exemple, on peut montrer que les :

(690)

sont les composantes d’un « tenseur »

T

2

deux fois covariant et anti-symétrique

(nature N2) si les aj sont les composantes d’un vecteur

covariant (nature N1). À partir des relations (672) et des transforma-

tions qui indiquent que les aj forment les compo-

santes d’un « vecteur » covariant, on démontre en effet que [(677)]

.

Nous voyons ainsi que le rotationnel [(682)] du champ électrique

(vecteur covariant) est un « tenseur » deux foix covariant et anti-symétrique et ne peut donc être rapproché que d’un « tenseur » de

même nature tensorielle c’est-à-dire de . Un physicien qui ignoreles doctrines relativistes considère, d’une part, l’espace à troisdimensions et, d’autre part, le temps ; en conséquence, les αji [(672)]

qu’il utilise forment une matrice à 32 = 9 éléments montrant ainsique les relations tensorielles correspondantes ne peuvent apporteraucun renseignement sur le rôle du temps (§ 4.1.1). Ce physicien nepeut donc, en considérant la seule nature tensorielle des grandeurs,

décider entre et certaines de ses combinaisons avec le temps :

(691)

κ1, κ2 ... étant des constantes pures (1, – 1, 4π, , etc.).

On peut également montrer que la combinaison :

(692)

relative aux composantes d’une densité vectorielle contravariante

(de même nature N1 que ) est une densité scalaire (de mêmenature N2 que ρ) ; le physicien prérelativiste peut donc hésiter entre :

(693)

Les composantes de l’opérateur désigné par « Divergence avecun grand D » définies par :

(694)

forment une densité vectorielle contravariante (comme )

quand est une densité tensorielle antisymétrique deux fois

contravariante (comme ). Dans le cas particulier de l’espace à troisdimensions, nous obtenons :

(695)

soit en axes à droite :

(696)

comme ne peut correspondre qu’à des densités vectorielles

contravariantes, seuls peuvent jouer un rôle ; le physicienprérelativiste aboutit ainsi à :

(697)

On peut encore montrer que certaines combinaisons (nous nedonnons pas de détail) de dérivées de composantes d’un « tenseur »antisymétrique deux fois covariant permettent de former un tenseurtrois fois covariant. Pour un espace à trois dimensions cet opérateur

(que l’on ne peut appliquer qu’à ) se transforme [cf. le passage

de (694) à (696)] et correspond à . On peut alors soit intro-

duire un bon tenseur du 3e ordre (mais dans quelle relation l’impli-querait-on par la suite ?), soit, par désir de simplicité (puisque nousn’avons pas un tel tenseur sous la main), couper la chaîne des rela-

tions et écrire que puisque la valeur numérique« zéro » permet de constituer des tenseurs de n’importe quellenature [cf. la remarque du § 4.1.5 qui suit la relation (677)].

B et H&&& &

B&&

H&&

B&&

H&&

B =µ0 H&&& &

tij∂

∂xi----------- aj

∂∂xj----------- ai–=

aj( )B αji ai( )Ai

∑=

tij( )B αip αjq tp,q( )Ap,q∑=

E

B&&

B&&

rot E( ) κ1B= rot E( ) κ2∂B∂t-------- etc.=

& &&&&

&&

&& & ??

2π

∂ai

∂xi-----------

i∑ div a=

D

div D κ1ρ= div D κ2∂ρ∂t--------= etc.

??

Div h( )i ∂hij

∂xj----------

j∑=

&&

J et D

h&&

H&&

Div H( )x∂Hxx

∂x-------------

∂Hxy

∂y-------------

∂Hxz

∂z------------+ +=

&&

Div H d( )x 0 ∂ H d( )z∂y

------------------- ∂ H d – ( ) y ∂

z

-------------------------

rot

d

H

d

( )

x

=+ +=

Div H( )&&

J et D

rot H( ) κ1 J ou κ2∂ J∂t

----------… κ3 D ou κ4∂ D∂t

-----------…+=

B&&

div Bd( )

div Bd( ) 0=



4.2.5 Conséquences relativistes

Nous venons de voir les liens entre les relations (691), (693), (697)et certaines équations de Maxwell, sans pouvoir néanmoins déter-miner l’influence du temps. Les doctrines relativistes exigent l’uti-lisation de 4 coordonnées groupées (x, y, z, jct ) ; [pour des raisonsd’homogénéité, il est nécessaire de multiplier le temps t par unevitesse universelle (donc c ) ; la justification du facteur j sort du cadrede notre exposé].

Ces doctrines montrent alors que, pour obtenir les lois universellesrégissant l’électromagnétisme ; il suffit de considérer une densitétensorielle antisymétrique deux fois contravariante :

(698)

un « tenseur » antisymétrique deux foix covariant :

(699)

les sources étant réunies dans les composantes (Jx , Jy , Jz , jcρ ) de

la densité vectorielle contravariante . Comme une des bases dela Relativité est l’impossibilité de distinguer deux systèmes enmouvement rectiligne l’un par rapport à l’autre, il est obligatoire de

grouper, dans la même grandeur , les composantes de (liéesaux charges en mouvement par rapport au système particulierconsidéré) et ρ (lié à l’ensemble des charges). Des remarques ana-

logues peuvent être effectuées au sujet du groupement de

dans et celui de .

On peut alors montrer que la relation autorisée [(694) et (697)] :

(700)

fournit :

tandis qu’en écrivant que le tenseur du troisième ordre lié à (leseul que l’on puisse former) est nul (ce qui est le plus simple etdonc la première chose à essayer), on aboutit à :

Par ailleurs [(692)] :

exprime la relation de continuité.

Nous venons ainsi de voir comment la combinaison des doctrinesrelativistes et des relations autorisées entre grandeurs de naturetensorielle différente permet de quasi démontrer les équations deMaxwell ou plutôt de montrer qu’elles sont les premières àessayer [1]. Signalons que, dans notre exposé, nous avons toujoursintroduit les constantes qui permettent de trouver les équations deMaxwell sous leur forme légale. Nous avons ainsi respecté deuxidées :

— la simplicité ;— le désir de ne pas montrer, en posant par exemple :

au lieu de (700), (698) et (699), que l’on peut inventer un très grandnombre de systèmes, il y en a déjà trop dans la littérature !

5. Annexe B : opérateurs différentiels

Les différentes sections de ce paragraphe sont consacrées à :— la définition des opérateurs différentiels ;— l’application des opérateurs différentiels à des produits ou à

des fonctions ;— les combinaisons d’opérateurs différentiels ;— l’intégration d’opérateurs différentiels.

Pour simplifier, nous avons surtout cherché à donner des résultats(en mettant en évidence les points délicats) plutôt qu’à en apporterles démonstrations ; de même, nous n’avons considéré que le casoù l’espace est rapporté à un trièdre trirectangle d’axes à droite

de vecteurs unitaires .

5.1 Définition des opérateurs différentiels

Gradient

Le gradient d’un scalaire est un vecteur. Au point M (xM , yM , zM)les composantes du gradient V sont du type :

(701)

Nous venons d’indiquer toutes les combinaisons de dérivéesqui ne font intervenir que des tenseurs T1 (de nature N1) dontl’ordre est inférieur ou égal au deuxième. Ces combinaisons, trèspeu nombreuses, font intervenir les opérateurs différentiels(gradient, divergence et rotationnel) qui enjolivent tous les traitésde physique, ces opérateurs permettant des relations entre desgrandeurs physiques dont les natures tensorielles différentesdoivent être bien appariées. C’est pour cela que les relations :

sont à rejeter, quels que soient les coefficients ai et les unités demesure ; dans le cas particulier de matériaux idéaux et d’axesorthogonaux, ces relations peuvent fournir néanmoins des résul-tats corrects [les expressions (688) montrent qu’il n’existe une

relation entre div et div que dans le cas où θ = π /2].

div E a1ρ, rot E a 2 ∂ H ∂

t -------–= =

rot B a3 J a4∂ E∂t

---------- , div a5H( )+ 0= =

D E

&&

0 Hxy Hxz j cD x –

H

yx

0

H

yz

j cD y –

H

zx

H

zy

0 j cD z –

j

cD

x

j

cD

y

j

cD

z 0

=

&&

0 Bxy Bxz – j E

x c ------

B

yx

0

B

yz

– j E

y c ------

B

zx

B

zy

0 – j E

z c -----

j

E

x

c

------

jEy

c------ j

Ez

c----- 0

=

J

H et D

&&

B et E dans &&

Div =&&

rot H∂D∂t

---------– J et div D ρ= =

&&

∂B∂t------- rot E+ 0 et divB 0= =

div ∂Jx

∂x---------

∂Jy

∂y---------

∂Jz

∂z-------- ∂ jc ρ( )

∂ jct( )------------------+ + + div J ∂ρ

∂t------+ 0= = =

Div α , jct,i jcγ ′Di , jct,i jγ ″Ei

c-----= = =

&&

Ox , Oy , Oz i , j , k

gradMV( )x∂V∂xM------------ xM,yM,zM( )=



(où il faut remarquer la dérivation par rapport à

x

M

), ce qui montreque :

(702)

À titre d’exemple, en introduisant la distance :

(703)

on obtient :

(704)

(705)

La généralisation de ce calcul montre que lorsque la quantitéscalaire

f

(dont on considère le gradient) ne dépend que de la distance

:

(706)

Quand aucune ambiguïté n’existe sur le point où est évalué legradient, on peut se contenter d’une notation abrégée (exemple :

« ») en restant toutefois attentif à toute utilisation ultérieurede cet opérateur.

Divergence

La divergence d’un vecteur est un scalaire. Au point M, la diver-

gence de (de composantes

D

i

) est définie par :

(707)

Rotationnel

Au point M, le rotationnel d’un vecteur polaire (de composantes

E

i

) est un vecteur axial dont la représentation en axes à droite (cf.le tire-bouchon de Maxwell) a pour composantes :

(708)

et deux permutations circulaires en

x

,

y

,

z

, tandis que la représen-tation en axes à gauche correspond, par exemple, à :

(709)

Le rotationnel d’un vecteur axial est un vecteur polaire car :— soit en axes à droite :

(710)

— soit en axes à gauche :

(711)

on aboutit au même résultat puisque :

(

H

g

)

i

= – (

H

d

)

i

(712)

Laplacien

Le laplacien d’un scalaire

V est le scalaire défini par :

(713)

Le laplacien d’un vecteur est le vecteur défini par :

(714)

5.2 Application des opérateurs différentiels à des produits ou à des fonctions

(715)

(716)

(717)

avec (718)

(719)

(720)

(721)

(722)

5.3 Combinaisons d’opérateurs différentiels

(723)

(724)

(725)

(726)

(727)

gradMV( ) dM⋅ ∂V∂xM------------ dM( )x⋅

x,y,z∑=

V M dM+( ) V M( )–=

MP xM xP–( )2 yM yP–( )2 zM zP–( )2+ +=

xM xP–

MP --------------------=

PM( )x

MP -------------------=

gradM MP x12------

2 xM xP–( )

MP ----------------------------

∂ xM xP–( )∂xM

----------------------------=

x

M x

P

–

MP

--------------------–=

MP

( )

x

MP

-------------------=

grad

P

MP

x

12

------

2

x

M

x

P

–

( )

MP

----------------------------

∂

x

M

x

P

–

( )∂

x

P

----------------------------=

MP

gradM f MP ( ) grad P f MP ( ) –=

grad V

D

divM D∂Dx

∂xM----------- xM,yM,zM( )

∂Dy

∂yM----------- xM,yM,zM( )

∂Dz

∂zM---------- xM,yM,zM( )+ +=

E

rotM E dx∂Ez

∂yM------------ xM,yM,zM( )

∂Ey

∂zM------------ xM,yM,zM( )–=

rotM E gx∂Ey

∂zM---------- xM,yM,zM( )

Ez

∂yM----------- xM,yM,zM( )–=

H

a

ax∂ Hd( )z

∂y-----------------

∂ Hd( )y

∂z------------------–=

ax

∂ Hg( )y

∂z------------------

∂ Hg( )z

∂y-----------------–=

∆V ∂2V∂x2---------- ∂2V

∂y2---------- ∂2V

∂z2----------+ +=

a

∆ a i ∆ a( )ii , j , k

∑=

grad M f MP ( ) df MP ( )

d MP --------------------------- grad M MP =

grad M 1

MP --------------

1

MP 2----------------- PM

MP -------------- MP

MP 3-----------------=⋅–=

grad a b⋅( ) a rot b b rot a∧+∧=

+ bi∂ a∂xi--------- ai

∂ b∂xi---------

x,y,z∑+

x,y,z∑

bi∂ a∂xi---------

yx,y,z∑ bx

∂ay

∂xx------------ by

∂ay

∂y--------- bz

∂ay

∂z---------+ +=

div a b( ) a div b b grad a⋅+=

div a b∧( ) b rot a a rot b⋅–⋅=

rot a b( ) grad a( ) b a rot b+∧=

rot a b∧( )

a div b b div a bi∂ a∂xi--------- ai

∂ b∂xi---------

x,y,z∑–

x,y,z∑+–=

div grad a( ) ∆a=

div rot a( ) 0=

rot grad a( ) 0=

rot rot a( ) grad div a( ) ∆ a–=

rot grad c( ) b ∧

grad c( )div b b ∆c– bi∂

∂xi----------- grad c ∂c

∂xi----------- ∂ b

∂xi-----------

x,y,z∑–

x,y,z∑+=



5.4 Intégrations d’opérateurs différentiels

(728)

où est la normale unitaire sortante du volume .

(729)

où est un élément de surface dont le caractère axial est

déterminé par le sens de parcours choisi sur le contour Γ.

(730)

(731)

en notant que par permutations circulaires :

(732)

Avec , (729) donne :

(733)

d’où (734)

À partir de (731) avec :

(735)

d’où(736)

À partir de (731) avec :

(737)

d’où (738)

div a d S ( )a ns dS⋅=

n s

S Γ( )

rot a( ) nΓdS⋅ Γ( )

a d⋅=

S Γ( )

rot b( ) nΓ dS⋅ Γ( )

b d⋅=et

nΓdS dS=

Γ( )

div a b( )d

=

a div b d

b grad a d⋅+

= S˙ ( )

ab n s dS⋅

b rot a d

a rot b d⋅–⋅=

div a b∧( )d

S ( )

a b∧( ) n sdS⋅=

a b∧( ) n s⋅ b ns∧( ) a⋅ ns a∧( ) b⋅= =

a f c0 où c 0 Cte= =

Γ( )

f c0 d⋅ S Γ( )

rot fc0( ) nΓ dS⋅=

S Γ( ) grad f c 0∧( ) nΓdS⋅= S Γ( ) nΓ gradf∧( ) c 0 dS⋅=

Γ( )

f d S Γ( ) nΓ gradf∧( ) dS=

a a0 Cte= et b f c= =

–

a0 grad f c∧ + f rot c d⋅

S ( )a0 f c∧( ) ns dS⋅= S ( ) f c n s∧( ) a0 dS⋅=

c grad f∧( )d

f rot c d S ( )

f c ns dS∧+=

a a0 Cte= =

–

a0 rot b d⋅ S ( )

a0 b∧( ) ns dS⋅=

S ( ) b ns∧( ) a0 dS⋅=

–

rot b d S ( )b ns∧ dS=

Références bibliographiques

[1] FOURNET (G.). – Électromagnétisme à partirdes équations locales. Masson (1985).

[2] DURAND (E.). – Électrostatique. Tome I(1964) ; Tomes II et III, Masson (1966).

[3] DURAND (E.). – Magnétostatique. Masson,p 213 (1981).

[4] PAUTHENET (R.). – Théorie du magnétisme.D 175, traité Génie électrique, Techniques del’Ingénieur (1983).

[5] NOZIÈRES (J.-P.). – Ferromagnétisme.E 1 730, traité Électronique, Techniques del’Ingénieur (1998).

[6] BAVAY (J.-C.) et VERDUN (J.). – Alliagesfer-silicium. D 2 110, traité Génie électrique,Techniques de l’Ingénieur (1992).

[7] COUDERCHON (G.). – Alliages fer-nickel etfer-cobalt. Propriétés magnétiques. D 2 130,traité Génie électrique, Techniques de l’Ingé-nieur (1994).

[8] BRISSONNEAU (P.). – Aimants permanents.Principes et circuits magnétiques. D 2 090,traité Génie électrique, Techniques de l’Ingé-nieur (1990).

[9] JUFFER (M.). – Transducteurs électro-mécaniques, p. 4, l’expression 1.2.6 et lafigure 1.2. Traité d’électricité de l’école Poly-technique de Lausanne, Éd. Georgi (St-Sapho-rin), vol. 9.

[10] TIMSIT (R.S.). – Proceedings of the 14th Inter-national Conference on Electric Contact. Paris,p. 21 (1988).


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