Électromagnétisme dans le videUNIVERSITÉ ANSULT MOULAY SLIMANE Faculté Polydisciplinaire Béni...

UNIVERSITÉ SULTAN MOULAY SLIMANEFaculté Polydisciplinaire

Béni Mellal

Notes de CoursÉlectromagnétisme dans le vide

Les équations de Maxwell dans le vide

Filières : SMP, SMC, SMA, SMI (S3)

Élaboré par:Pr Elmostafa ATIFY

Département de PhysiqueFP Béni Mellal

Les équations locales de Maxwell

Outline

1 Les équations locales de MaxwellLes équations en régime variableLes équations en régime statique

2 Les formes intégrales des équations de MaxwellLes équations en régime variable

3 Etude du potentiel

4 Les équations de propagation des potentielsÉquation de propagation du potentiel vecteurÉquation de propagation du potentiel scalaire

5 L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ou quasi-permanent(A.R.Q.P)Potentiels retardésA.R.Q.P

6 Équation de propagation des champs électrique et magnétiqueCas du champ électriqueCas du champ magnétique

7 Etude énergétiquePuissance électromagnétique reçu algébriquement par un conducteurCas d'un conducteur ohmiquePuissance électromagnétique totale reçu par un conducteurThéorème de Poynting

E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 2 / 39

Les équations locales de Maxwell Les équations en régime variable

Les équations locales de Maxwell

Soit une distribution de charges dé�nie par ρ(M , t) et de courant par la densité−→j (M , t) qui

crée un champ électromagnétique, en un point M à l'instant t,(−→

E (M , t),−→B (M , t)

).

Les équations de Maxwell relient, dans des référentiels galiléen, le champ électromagnétiqueaux sources qui le créent.

Les équations de Maxwell locales dans le vide sont :

(1) • div−→E (M , t) = ρ(M , t)

ε0Maxwell-Gauss

(2) • div−→B (M , t) = 0 Maxwell-Flux ou Maxwell-Thomson

(3) • −→rot

−→E (M , t) = −∂

−→B (M , t)

∂tMaxwell- Faraday

(4) • −→rot

−→B (M , t) = µ0

−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→E (M , t)

∂tMaxwell- Ampère

Le vecteur densité de courant de déplacement−→j d(M , t) est dé�ni par :

−→j d(M , t) = ε0

∂−→E (M , t)

∂t(1)



Contenu des équations de Maxwell

Équation de Maxwell-Faraday :

(3) • −→rot

−→E (M , t) = −∂

−→B (M , t)

∂t(2)

Là où il y a un champ magnétique non statique (dépend du temps ) il y aura un champélectrique, c'est le phénomène d'induction électromagnétique.

Équation de Maxwell- Ampère :

(4) • −→rot

−→B (M , t) = µ0

−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→E (M , t)

∂t(3)

Il y a deux cause de production du champ magnétique :

le courant−→j (M , t);

un champ électrique variable dans le temps.

En régime variable−→B (M , t) et

−→E (M , t) sont inséparables



Contenu des équations de Maxwell

Équation de conservation de la charge :

div(−→rot

−→B (M , t)

)=−→∇ .

(−→∇ ∧−→B (M , t)

)= µ0div

(−→j (M , t)

)+µ0ε0div

(∂−→E (M , t)

∂t

)= 0 (4)

Soit aussi :

div−→j (M , t)+ε0

∂div−→E (M , t)

∂t= 0

div−→j (M , t)+ ∂ρ(M , t)

∂t= 0 : équation de conservation de la charge

(5)

Expression de la célérité c de la lumière dans le vide :

µ0ε0 = 1

c2(6)

Autrement

c = 1pµ0ε0

= 3.108m/s (7)


Les équations locales de Maxwell Les équations en régime statique

Les équations locales de Maxwell en régime statique

Les équations locales de Maxwell en régime statique dans le vide sont :

(1) • div−→E (M) = ρ(M)

ε0(2) • div

−→B (M) = 0

(3) • −→rot

−→E (M) = −→

0

(4) • −→rot

−→B (M) = µ0

−→j (M)

En régime statique,−→E et

−→B sont séparés : un champ électrostatique ne peut pas créer un

champ magnétostatique et inversement.


Les formes intégrales des équations de Maxwell

Outline









Les formes intégrales des équations de Maxwell Les équations en régime variable


Équation de Maxwell-Gauss :Équation locale :

div−→E (M , t) = ρ

ε0(8)

En intégrant sur le volume (V ) :Ñ(V )

div−→E (M , t)dτ(M) =

Ñ(V )

ρ(M , t)

ε0dτ(M) (9)

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss ((S) surface fermé qui engendre (V )) :Ó(S)

−→E (M , t)

−→dS(M) = 1

ε0

Ñ(V )

ρ(M , t)dτ(M) = qintε0

(10)

Le théorème de Gauss reste valable en régime variable.

Équation de Maxwell-Flux :Équation locale :

div−→B (M , t) = 0 (11)

En intégrant sur le volume (V ) :Ñ(V )

div−→B (M , t)dτ(M) =

Ó(S)

−→B (M , t)

−→dS(M) = 0 (12)

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Flux :Ó(S)

−→B (M , t)

−→dS(M) = 0 (13)

Conservation du �ux du champ magnétique en régime variable.


Les formes intégrales des équations de Maxwell Les équations en régime variable


Équation de Maxwell-Faraday :Équation locale :

−→rot

−→E (M , t) =− ∂

−→B (M , t)

∂t(14)

En intégrant sur une surface (S) :Ï(S)

−→rot

−→E (M , t)

−→dS(M) =

∮(C)

−→E (M , t)

−→dl(M) =

Ï(S)

− ∂−→B (M , t)

∂t

−→dS(M) (15)

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Fraday sur une surface ((S) une surface quelconqueouverte qui s'appuie sur le contour (C)) :∮

(C)

−→E (M , t)

−→dl(M) =

Ï(S)

− ∂−→B (M , t)

∂t

−→dS(M) (16)

La circulation du champ électrostatique−→E (M , t) n'est pas conservative dans un régime non

statique càd la circulation du champ électrostatique dépend du chemin suivi.Équation de Maxwell-Ampère :

Équation locale :−→rot

−→B (M , t) = µ0

[−→j (M , t)+ε0

∂−→E (M , t)

∂t

]−→rot

−→B (M , t) = µ0

[−→j (M , t)+−→

j d(M , t)] (17)

En intégrant sur une surface ((S) une surface quelconque ouverte qui s'appuie sur le contour (C)) :Ï(S)

−→rot

−→B (M , t)

−→dS(M) =

∮(C)

−→B (M , t)

−→dl(M) =µ0

[Ï(S)

−→j (M , t)

−→dS(M)+

Ï(S)

−→j d(M , t)

−→dS(M)

](18)

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère :∮(C)

−→B (M , t)

−→dl(M) =µ0

[I(t)+ Id(t)

](19)

C'est le théorème d'Ampère généralisé.E.ATIFY (F.P, Béni Mellal) Électromagnétisme dans le vide November 30, 2019 9 / 39

Etude du potentiel

Outline









Etude du potentiel

Le potentiel scalaire

Rappel

Équation locale de Maxwell-Thomson

div−→B (M , t) = 0 (20)

−→B (M , t) dérive d'un potentiel vecteur

−→A (M , t)

−→B (M , t) =−→

rot−→A (M , t) (21)

−→A (M , t) n'est pas unique : −→

A′(M , t) =−→A (M , t)+−−−→

grad f (M , t) (22)

D'après Maxwell-Faraday :

−→rot

−→E (M , t) = −∂

−→B (M , t)

∂t

= −∂−→rot

−→A (M , t)

∂t

= −−→rot∂−→A (M , t)

∂t

(23)

On en déduit que :

−→rot

(−→E (M , t)+ ∂

−→A (M , t)

∂t

)=−→

0 (24)


Etude du potentiel

Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire

Potentiel scalaire

−→rot

(−→E (M , t)+ ∂

−→A (M , t)

∂t

)=−→

0 donc−→E (M , t)+ ∂

−→A (M , t)

∂tdérive d'un potentiel scalaire V (M , t).

−→E (M , t)+ ∂

−→A (M , t)

∂t=−−−−→grad V (M , t)

Soit aussi :−→E (M , t) =−∂

−→A (M , t)

∂t−−−−→

grad V (M , t) (25)

Soient (−→A (M , t),V (M , t)) et (

−→A′(M , t),V ′(M , t)) deux couples de potentiels pour le même champ

électromagnétique (−→E (M , t),

−→B (M , t)) avec :−→A′(M , t) = −→

A (M , t)+−−−→grad f (M , t)

−→E (M , t) = −∂

−→A (M , t)

∂t−−−−→

grad V (M , t)

−→E (M , t) = −∂

−→A′(M , t)

∂t−−−−→

grad V ′(M , t)

(26)

On en déduit que :

−∂−→A (M , t)

∂t−−−−→

grad V (M , t) =−∂−→A′(M , t)

∂t−−−−→

grad V ′(M , t)


Etude du potentiel

Le potentiel vecteur et le potentiel scalaire

∂−→A (M , t)

∂t+−−−→

grad V (M , t) = ∂−→A′(M , t)

∂t+−−−→

grad V ′(M , t)

=∂[−→

A (M , t)+−−−→grad f (M , t)

]∂t

+−−−→grad V ′(M , t)

= ∂−→A (M , t)

∂t+ ∂

−−−→grad f (M , t)

∂t+−−−→

grad V ′(M , t)

= ∂−→A (M , t)

∂t+−−−→

grad∂f (M , t)

∂t+−−−→

grad V ′(M , t)

= ∂−→A (M , t)

∂t+−−−→

grad

[∂f (M , t)

∂t+V ′(M , t)

](27)

En en déduit :

V (M , t) = ∂f (M , t)

∂t+V ′(M , t)

Soit aussi

V ′(M , t) = V ′(M , t)− ∂f (M , t)

∂tf (M , t) est une fonction scalaire quelconque. Il exista une in�nité de potentiels scalaires associéesau même champ électromagnétique.

Conclusion

Pour le même champ électromagnétique (−→E (M , t),

−→B (M , t)) on lui associé une in�nité de couples de

potentiels (−→A (M , t),V (M , t)).


Etude du potentiel

Jauge de Lorentz

Jauge de Lorentz

Un choix du couple (−→A (M , t),V (M , t)) est tel que :

div−→A (M , t)+µ0ε0

∂V (M , t)

∂t= 0 (28)

Soit aussi

div−→A (M , t)+ 1

c2

∂V (M , t)

∂t= 0 (29)

Cette condition est la jauge de Lorentz

Remarque : Cas statique

En statique∂V (M , t)

∂t= 0 on retrouve donc la jauge de Coulomb. À savoir, div

−→A (M , t) = 0


Les équations de propagation des potentiels

Outline









Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel vecteur

Équation de propagation du potentiel vecteur

−→rot

−→rot

−→A (M , t) = −−−→

grad(div

−→A (M , t)

)−∆−→A (M , t)

−→rot

−→B (M , t) = −−−→

grad(div

−→A (M , t)

)−∆−→A (M , t)

µ0−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→E (M , t)

∂t= −−−→

grad(div

−→A (M , t)

)−∆−→A (M , t)

(30)

Sachant que :−→E (M , t) =−∂

−→A (M , t)

∂t−−−−→

grad V (M , t). Donc :

µ0−→j (M , t)+µ0ε0

∂

[−∂

−→A (M , t)

∂t−−−−→

grad V (M , t)

]∂t

= −−−→grad

(div

−→A (M , t)

)−∆−→A (M , t)

µ0−→j (M , t)−µ0ε0

∂2−→A (M , t)

∂t2−µ0ε0

−−−→grad

(∂V (M , t)

∂t

)= −−−→

grad(div

−→A (M , t)

)−∆−→A (M , t)

(31)

Donc :

∆−→A (M , t)−µ0ε0

∂2−→A (M , t)

∂t2= −µ0

−→j (M , t)+−−−→

grad

(µ0ε0

∂V (M , t)

∂t+div

−→A (M , t)

)(32)

D'après la jauge de Lorentz :

µ0ε0∂V (M , t)

∂t+div

−→A (M , t) = 0 (33)


Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel vecteur

Équation de propagation du potentiel vecteur

Équation de propagation de−→A (M , t)

∆−→A (M , t)− 1

c2

∂2−→A (M , t)

∂t2= −µ0

−→j (M , t) (34)

Remarque

L'équation de propagation de−→A (M , t) (34) est l'équation de poisson généralisé.

Équation de propagation

L'équation de propagation est toute équation mathématique qui relie les dérivées partiellesd'espace d'une fonction scalaire ou vectorielle et ces dérivées partielles temporelles.

Remarque

En statique, on touve l'équation de poisson :

∆−→A (M)+µ0

−→j (M) = −→

0 (35)

n'est pas une équation de propagation.


Les équations de propagation des potentiels Équation de propagation du potentiel scalaire

Équation de propagation du potentiel scalaire

div−→E (M , t) = ρ(M , t)

ε0

div

(−−−−→grad V (M , t)− ∂

−→A (M , t)

∂t

)= ρ(M , t)

ε0

−∆V (M , t)− ∂div−→A (M , t)

∂t= ρ(M , t)

ε0

(36)

D'après la jauge de Lorentz :

div−→A (M , t) = −µ0ε0

∂V (M , t)

∂t=− 1

c2

∂V (M , t)

∂t

D'où :

−∆V (M , t)+ 1

c2

∂2V (M , t)

∂t2= ρ(M , t)

ε0(37)



Équation de propagation du potentiel scalaire

Équation de propagation de V (M , t)

∆V (M , t)− 1

c2

∂2V (M , t)

∂t2= −ρ(M , t)

ε0(38)

Remarque

L'équation de propagation de V (M , t) (38) est son équation de poisson généralisé.

Remarque

En statique, on touve l'équation de poisson :

∆V (M)+ ρ(M)

ε0= 0 (39)

n'est pas une équation de propagation.



Équations de propagation hors charge et hors courant

En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel queρ(M , t) = 0 et

−→j (M , t) =−→

0 . Les équation de propagations des potentiels devient :

Équation de propagation de−→A (M , t) hors courant

∆−→A (M , t)− 1

c2

∂2−→A (M , t)

∂t2= −→

0 (40)

Équation de propagation de V (M , t) hors charge

∆V (M , t)− 1

c2

∂2V (M , t)

∂t2= 0 (41)

De�nition (Opérateur Alembertien)

On dé�nit l'opérateur D'alembrtein, noté ä (.) tel que:

ä (.) =∆ (.)− 1

c2

∂2(.)

∂t2(42)



Équations de propagation D'Alembert

En dehors de la distribution de charge et de courant càd on se retrouve en un point M tel queρ(M , t) = 0 et

−→j (M , t) =−→

0 . Les équation de propagations des potentiels sont données par leséquations D'Alembert :

Équation de D'Alembert pour−→A (M , t)

∆−→A (M , t)− 1

c2

∂2−→A (M , t)

∂t2= ä

(−→A (M , t)

)=−→

0 (43)

Équation de D'Alembert pour V (M , t)

∆V (M , t)− 1

c2

∂2V (M , t)

∂t2= ä (V (M , t)) = 0 (44)


L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ouquasi-permanent(A.R.Q.P)

Outline









L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ouquasi-permanent(A.R.Q.P) Potentiels retardés

Potentiels retardés

Les solutions mathématiques des équations (44) et (43) pour une distribution (D) �nie sont :

Les potentiels retardés

V (M , t) = 1

4πε0

Ð(D)

ρ

(P, t − PM

c

)PM

dτ(P)

−→A (M , t) = µ0

4π

Ð(D)

−→j

(P, t − PM

c

)PM

dτ(P)

(45)

Commentaire

Pas de simultanéité entre causes (ρ,−→j ) et les e�ets crées (

−→A ,V ).

Les valeurs des e�ets à l'instant t sont reliées aux valeurs de causes à l'instant t − PM

c.

Les e�ets au point M sont ressentis après un retard de τp = PM

cCes solutions sont appelées solutions retardées et le retard est due à la vitesse �nie depropagation qui est c.


L'approximation des régimes quasi-stationnaires (A.R.Q.S) ouquasi-permanent(A.R.Q.P) A.R.Q.P

A.R.Q.P

M

dv(P)

tp=PM/c

De�nition (A.R.Q.P)

Dans l'A.R.Q.S on néglige le temps de propagation τp = PM

cdevant tout temps caractéristique de

variation de la distribution.

conséquence

Si la distribution varie périodiquement au cours du temps d'une période T , dans l'A.R.Q.P :

τp << T (46)



Domaine de validité de A.R.Q.P

τp = tp

Example

τp << T càd τp << 1

favec f la fréquence du signal.

f << 1

τp. (47)

L'ARQS c'est le domaine basse fréquence;En TP dans l'ARQP, sur une longueur du circuit de l = PM on néglige le temps depropagation du point P au point M.

τp = PM

c<< T = 1

f

Soit doncPM << cT =λ0 (48)

Autrement

f = 1

T<< c

PM(49)

λ0 = Tc : la longueur d'onde dans le vide du signal.Si PM = 1m

f << 3.108m/s

1m= 3.108Hz = 300Mhz =⇒ 100f ≤ 300MHz =⇒ f ≤ 3MHz (50)



Conséquence de A.R.Q.P

Dans l'ARQS :PM

c−→ 0 (c −→+∞)

Pour une distribution �ni :

V (M , t) = 1

4πε0

Ð(D)

ρ (P, t)

PMdτ(P)

−→A (M , t) = µ0

4π

Ð(D)

−→j (P, t)

PMdτ(P)

(51)

Commentaire

Dans l'ARQS on a simultanéité entre causes (ρ,−→j ) et les e�ets crées (

−→A ,V ).

Les solutions instantanées−→A (M , t) et de V (M , t) sont comme dans la statique.

La loi de Biot et Savart reste valable uniquement dans l'ARQS si le régime variable.

En revanche, la loi de Coulomb n'est plus valable que dans le cas statique.



Les équations de Maxwell dans l'A.R.Q.P

Dans l'ARQP (basse fréquence) on néglige le courant de déplacement devant le courant deconduction.

Les équations de Maxwell dans ARQP

(1) • div−→E (M , t) = ρ(M , t)

ε0Maxwell-Gauss

(2) • div−→B (M , t) = 0 Maxwell-Flux ou Maxwell-Thomson

(3) • −→rot

−→E (M , t) = −∂

−→B (M , t)

∂tMaxwell- Faraday

(4) • −→rot

−→B (M , t) = µ0

−→j (M , t) Maxwell- Ampère

(52)

Théorème d'Ampère integral dans ARQP

Le théorème d'Ampère integral dans ARQP prend la même forme que dans le cas statique∮(C)

−→B (M , t).

−→dl =µ0Ienlacé (53)

Pas d'accumulation de charge. En e�et,

div−→rot

−→B (M , t) =−→∇ .

(−→∇ ∧−→B

)= 0 = µ0div

−→j (M , t)

div−→j (M , t) = 0 : Lois d'électrocinétique valables en ARQP

(54)


Équation de propagation des champs électrique et magnétique

Outline









Équation de propagation des champs électrique et magnétique Cas du champ électrique

Cas de−→E (M , t)

−→rot

−→rot

−→E (M , t) = −−−→

grad(div

−→E (M , t)

)−∆−→E (M , t)

−→rot

(−−→B (M , t)

∂t

)= −−−→

grad

(ρ(M , t)

ε0

)−∆−→E (M , t)

−−→rot

(−→B (M , t)

)∂t

= −−−→grad

(ρ(M , t)

ε0

)−∆−→E (M , t)

−∂

(µ0

−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→E (M , t)

∂t

)∂t

= −−−→grad

(ρ(M , t)

ε0

)−∆−→E (M , t)

−µ0∂−→j (M , t)

∂t−µ0ε0

∂2−→E (M , t)

∂t2= −−−→

grad

(ρ(M , t)

ε0

)−∆−→E (M , t)

(55)

Soit aussi :

∆−→E (M , t)−µ0ε0

∂2−→E (M , t)

∂t2= µ0

∂−→j (M , t)

∂t+ 1

ε0

−−−→grad

(ρ(M , t)

)(56)

En dehors de toutes charges :

Équation de propagation du champ électrique hors charges

∆−→E (M , t)−µ0ε0

∂2−→E (M , t)

∂t2= −→

0

∆−→E (M , t)− 1

c2

∂2−→E (M , t)

∂t2= −→

0

ä−→E = −→

0 :C'est l'équation d'Alembert de−→E (M , t)

(57)


Équation de propagation des champs électrique et magnétique Cas du champ magnétique

Cas de−→B (M , t)

−→rot

−→rot

−→B (M , t) = −−−→

grad(div

−→B (M , t)

)−∆−→B (M , t)

−→rot

[µ0

−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→E (M , t)

∂t

]= −∆−→B (M , t) : (div

−→B (M , t) = 0)

µ0−→rot

−→j (M , t)+µ0ε0

∂−→rot

−→E (M , t)

∂t= −∆−→B (M , t) :

(−→rot

−→E (M , t) =−∂

−→B (M , t)

∂t

) (58)

Soit aussi :

∆−→B (M , t)−µ0ε0

∂2−→B (M , t)

∂t2= −µ0

−→rot

−→j (M , t) (59)

En dehors de distribution de courant :

Équation de propagation du champ magnétique hors courant

∆−→B (M , t)−µ0ε0

∂2−→B (M , t)

∂t2= −→

0

∆−→B (M , t)− 1

c2

∂2−→B (M , t)

∂t2= −→

0

ä−→B = −→

0 :C'est l'équation d'Alembert de−→B (M , t)

(60)


Etude énergétique

Outline









Etude énergétiquePuissance électromagnétique reçu algébriquement par un

conducteur

Puissance électromagnétique reçu algébriquement par un conducteur

Soit un conducteur siège d'un courant volumique−→j (M , t) placé dans une région d'espace ou règne

un champ électromagnétique (−→E (M , t) et

−→B (M , t))

M

d�(M)v(M,t)

On note par dP (M , t) : la puissance électromagnétique (E.M) reçue algébriquement par lesporteurs de charges mobiles (p.c.m) contenu dans l'élément de volume dτ :

dP = d−→F .−→v (M , t)

= dqm

[−→E (M , t)+−→v (M , t)∧−→

B (M , t)]

.−→v (M , t)

= dqm−→E (M , t).−→v (M , t) (dqm charge élementaire mobile)

= ρ(M , t)dτ−→v (M , t).−→E (M , t)

:

0︷︸︸︷−→v (M , t)∧−→

B (M , t).−→v (M , t)

= −→

j (M , t).−→E (M , t)dτ

(61)


Etude énergétiquePuissance électromagnétique reçu algébriquement par un

conducteur

Puissance électromagnétique reçu algébriquement par un conducteur

Densité volumique de puissance

La densité volumique de la puissance reçue algébriquement par les porteurs de chargesmobiles est :

dP

dτ=−→

j (M , t).−→E (M , t) (62)

SidP

dτ> 0 les porteurs de charges mobiles ont reçue e�ectivement de la puissance

électromagnétique.

SidP

dτ< 0 les porteurs de charges mobiles cèdent de la puissance électromagnétique.


Etude énergétique Cas d'un conducteur ohmique

Densité volumique de puissance électromagnétique reçu un conducteurohmique

Conducteur ohmique

La densité volumique du courant d'un conducteur ohmique en un point M à l'instant t est lié auchamp électrique au point M au même instant selon la relation suivante :

−→j (M , t) = γ−→E (M , t) avec γ> 0 (63)

Densité volumique de puissance électromagnétique

La densité volumique de puissance électromagnétique reçu par un conducteur ohmique est :

dP

dτ= γ−→E 2(M , t) > 0 (64)

Dans un conducteur ohmique les porteurs de charges mobiles reçoivent e�ectivement lapuissance E.M.

La puissance électromagnétique reçue par un conducteur ohmique est transformé enpuissance thermique par e�et joule. Un conducteur ohmique se comporte comme unerésistance.


Etude énergétique Puissance électromagnétique totale reçu par un conducteur

Puissance électromagnétique totale reçu par un conducteur

Puissance électromagnétique reçu par un conducteur

La puissance électromagnétique totale reçue par les porteurs de charges mobiles d'un conducteurquelconque dans un champ électromagnétique (

−→E ,

−→B ) est :

P (t) =Ñ

(conducteur)

−→j (M , t).

−→E (M , t)dτ (65)

Cas d'un conducteur ohmique

La puissance électromagnétique totale reçue par les porteurs de charges mobiles d'un conducteurohmique dans un champ électromagnétique (

−→E ,

−→B ) est :

P (t) =Ñ

(conducteur)γ−→E 2(M , t)dτ (66)


Etude énergétique Théorème de Poynting

Théorème de Poynting

L'équation de maxwell-Ampère permet d'exprimer−→j (M , t) en fonction de

−→E et

−→B :

−→j (M , t) = −→

rot−→B (M , t)

µ0− ∂ε0

−→E (M , t)

∂td'où

−→E (M , t).

−→j (M , t) = −→

E (M , t).−→rot

−→B (M , t)

µ0−−→

E (M , t).∂ε0

−→E (M , t)

∂t

= −→E (M , t).

−→rot

−→B (M , t)

µ0−∂

(ε0

−→E 2(M , t)

2

)∂t

(67)

en plus :

div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)=

−→B (M , t)

µ0.−→rot

−→E (M , t)−−→

E (M , t).−→rot

−→B (M , t)

µ0(68)

Puisque−→rot

−→E (M , t) =−∂

−→B (M , t)

∂talors :

div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)= −

−→B (M , t)

µ0.∂−→B (M , t)

∂t−−→

E (M , t).−→rot

−→B (M , t)

µ0

= −∂

(−→B 2(M , t)

2µ0

)∂t

−−→E (M , t).

−→rot

−→B (M , t)

µ0

(69)



Théorème de Poynting suite

On en déduit:

−→E (M , t).

−→rot

−→B (M , t)

µ0= −div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)−∂

(−→B 2(M , t)

2µ0

)∂t

(70)

(70) dans (67) donne :

−→E (M , t).

−→j (M , t) = −div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)−∂

(−→B 2(M , t)

2µ0

)∂t

−∂

(ε0

−→E 2(M , t)

2

)∂t

−→E (M , t).

−→j (M , t) = −div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)−∂

(−→B 2(M , t)

2µ0+ ε0

−→E 2(M , t)

2

)∂t

soit aussi

∂

(−→B 2(M , t)

2µ0+ ε0

−→E 2(M , t)

2

)∂t

= −div

(−→E (M , t)∧

−→B (M , t)

µ0

)−−→

E (M , t).−→j (M , t)

(71)



Forme locale du Théorème de Poynting

De�nition (Vecteur de Poynting)

On dé�nit le vecteur de Poynting−→Π par :

−→Π =−→

E (M , t)∧−→B (M , t)

µ0(72)

L'équation (73) devient :

Forme locale du théorème de Poynting

∂

(−→B 2(M , t)

2µ0+ ε0

−→E 2(M , t)

2

)∂t

= −div(−→Π (M , t)

)−−→

E (M , t).−→j (M , t)

(73)

La forme locale du théorème de Poynting exprime la conservation de la puissanceélectromagnétique en un point M à l'instant t .

ue,m =(−→

B 2(M , t)

2µ0+ ε0

−→E 2(M , t)

2

)représente la densité volumique de l'énergie E.M. On écrit :

∂ue,m

∂t= −div

(−→Π (M , t)

)−−→

E (M , t).−→j (M , t) (74)



Forme intégrale du Théorème de Poynting

Par intégration sur le volume (V ) de l'équation (74) on obtient :

Ð(V )

∂ue,m

∂tdτ = −Ð

(V ) div(−→Π (M , t)

)dτ−Ð

(V )−→E (M , t).

−→j (M , t)dτ

∂Ð

(V ) ue,mdτ

∂t= −Ò

(S)

(−→Π (M , t)

)−→dS−Ð

(V )−→E (M , t).

−→j (M , t)dτ

∂Ue,m

∂t= −Ò

(S)

(−→Π (M , t)

)−→dS−Ð

(V )−→E (M , t).

−→j (M , t)dτ

équation de conservation de la puissance

(75)

Ue,m est l'énergie E.M contenu dans le volume (V ).−→B 2(M , t)

2µ0densité de l'énergie magnétique.

ε0−→E 2(M , t)

2densité de l'énergie électrique.


Électromagnétisme dans le videUNIVERSITÉ ANSULT MOULAY SLIMANE Faculté Polydisciplinaire Béni...

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