ELC-STA Diap-Chp.3 Théorème de Gauss

ELC-1111 ÉLECTROSTATIQUE

THÉORÈME

DE GAUSS

Chapitre

3

Prof. Mourad ZEGRARI

UNIVERSITÉ HASSAN II DE CASABLANCAÉcole Nationale Supérieure d’Arts et MétiersDépartement de Génie Électrique

Théorèmede GaussÉlectrostatique © M. ZEGRARI 2

Plan

Flux électrostatique

Théorème de Gauss

Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss

Équations de Poisson et de Laplace

Champ aux voisinages d’une surface chargée

Électrostatique


Flux du champ électrostatique

Une surface (S) placée dans un champ électrostatique E.

Flux élémentaire d à travers la surface dS :

: vecteur unitaire normal à dS.

Flux total à travers S :

Si 0 : Flux sortant de S.

Si 0 : Flux entrant à S.

Flux Électrostatique

n

n

dS

E

d E.dS E.n dS

n

(S)

E.dS

(S)


Charge à l’intérieur

Une charge ponctuelle q placée en un point O.

Flux électrostatique à travers une sphère (O,r) :

S : surface de la sphère.

Le flux électrostatique est indépendant de la taille de la sphère ; il

est égal au quotient par 0 de la charge q.


dS

r

q

E

n

(S) (S) (S)

E.dS E.dS E dS

22

0

q 1ES 4 r

4 r

0

q


Exemple 3.1

Flux du champ produit par des charges ponctuelles :

Si q 0 0 : les lignes de champ sont divergentes.

Si q < 0 0 : les lignes de champ sont convergentes.


0

q

q

E

< 0 : Flux Entrant.

q

E

0 : Flux Sortant.


Charge à l’extérieur

Surface (S) renfermant une charge ponctuelle q :

Or :

Soit :

Le flux électrostatique à travers une surface fermée est nul si la

charge est à l’extérieur de la surface considérée.

Flux Éélectrostatique

S2 0

q

(S2)(S1)

(S)S1 S2

q

S1

q


Calcul par l’angle solide

Une charge ponctuelle q placée en un point O.

Flux élémentaire d à travers dS :


dS

(S)

E

dSM

O

q

ru dΩ

(M)2

0

u.dSqd E .dS

4 r

u.dSd

r²

0

qd d

4

0

q

4

Angle solide élémentaire


Charge à l’intérieur

Flux électrostatique à travers S :

: angle solide duquel on voit l’espace.

Le flux électrostatique est indépendant de la taille de la surface S ; il

est égal au quotient par 0 de la charge interne q.


4

0

q

q

(S)

dS

udΩ

O

0

q

4


Charge à l’extérieur

Flux électrostatique à travers S :

1 0 : flux entrant à travers S1.

2 0 : flux entrant à travers S2.

Flux engendrés à travers le même angle solide :


0

1 2

q

(S)

dS1

u

u

dS2

O 1

2

1 2


Énoncé du Théorème de Gauss

Le flux du champ électrostatique à travers une surface

fermée (S) est égal au quotient par 0 de la somme

algébrique des charges situées à l'intérieur de (S).

Flux indépendant de la présence des charges externes.

Flux indépendant de la disposition des charges internes.

Théorème de Gauss

Karl Friedrich Gauss (1777-1855)

n

inti 1

S (S)0

q

E.dS


Exemple 3.2

Flux à travers une surface fermée contenant des charges ponctuelles :

Théorème de Gauss

int

0

q

qint = 0 = 0 :

Flux conservatif

+q

-q

qint = +q 0 :

Flux divergeant


Calcul du champ électrostatique

Moyen de calcul efficace du champ électrostatique lorsque celui-ci

possède des propriétés de symétrie particulières.

Les propriétés de symétrie du champ électrostatique doivent

permettre de calculer facilement le flux .

Le théorème de Gauss est valable pour une surface quelconque, il

faut trouver pour chaque distribution de charges une surface S

adaptée, respectant les propriétés de symétrie du champ.

La surface ainsi choisie est appelée "surface de Gauss".

Théorème de Gauss


Une ligne rectiligne indéfinie uniformément

chargée en longueur ().

La ligne présente une invariance par

translation suivant z et par rotation autour du

même axe.

Le champ électrostatique E possède une

symétrie cylindrique et ne dépend que de la

distance par rapport à la ligne.

La surface de Gauss la plus adaptée est un

cylindre de longueur L et de rayon d.

Théorème de Gauss

0

E e2 d

Cas d’une ligne indéfinie

M

()

dSL

d

EL

dSB2

dSB1

SB1

SB2

SL

dS

Surface de

GaussSL

0

LE 2 dL

L B1 B2S S

0

S


Un plan indéfini uniformément chargé en

surface ().

Le plan (ex,ez) est un plan de symétrie et

présente une invariance par translation

suivant x et z : E plan

La surface de Gauss la plus adaptée est un

cylindre symétrique de base S.

Théorème de Gauss

y

0

E e2

Cas d’un plan indéfini

L 1 2

0

S S S

y yE Ee et E' Ee

dS

S2

()

dS2

E’ ES

q=S

dS1

dSL

S1

Surface de Gauss

ez

ex

ey

1S

0

S2 2ES


Une sphère (O,R) uniformément chargée en

volume ().

La distribution présente une symétrie

sphérique.

Le champ est radial et ne dépend que de la

distance du point OM = r

Application du théorème de Gauss :

qint : dépend de la position du point M.

Théorème de Gauss

Cas d’une sphère chargée

R

Surface de

Gauss

r

M

dS

SG

E

dS

r

E

G

G

2

S

S

E.dS ES E4 r

G

2 intS

0

qE4 r


Point M situé à l’extérieur : r R

Point M situé à l’intérieur : r R

Théorème de Gauss

Cas d’une sphère chargée

R2 3

int

( ) 0

4q d 4 r dr R

3

33

intext 2 2 2

0 0 0

4R Rq 3E (r)

4 r 4 r 3 r

r2 3

int

( ) 0

4q d 4 r dr r

3

3

intint 2 2

0 0 0

4r rq 3E (r)

4 r 4 r 3

0

R

3

r0

R

E(r)

R


Conservation du flux électrostatique

Tube de champ dans une région dépourvue de charges.

Théorème de Gauss :

Flux conservatif dans une région dépourvue de charges.

Équations Fondamentales

E2

S1

E1

dS2

dS1

2

dSL

S2

1

S1 S2 Tube

0

int

0

q0

S1 S2 Région dépourvue

de charge


Équation de Gauss

Un volume () chargé avec une densité et limité par une surface (S).

Flux à travers la surface (S) :

Théorème d’Osthogradski :

Équation de Gauss :


E

()

(S)

Densité

int

(S) ( )0 0

q 1E.ds d

(S) ( )

E.ds divEd

0

divE

Conservation du flux : 0 divE 0


Équations de Poisson-Laplace

Le champ électrostatique E dérive d’un potentiel scalaire V :

Or :

Dans une région dépourvue de charges : = 0


Équation de Poisson

divE div gradV V Laplacien de V

0

divE

0

V 0

V 0 Équation de Laplace

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

Pierre-Simon de Laplace (1749-1827)


Exemple 3.3

Un éclateur électrostatique formé par deux électrodes conductrices de section circulaire

de diamètre D. Les électrodes sont séparées dans l’air d’une distance d << D.

Équation de Poisson dans le domaine () :

Électrodes proches Plans indéfinis : Champ E uniforme dans la direction OX

Formulation du potentiel :

Théorème de Gauss

0

V 0

Dx

x = dx = 0

V = V0Domaine ()

chargé avec

V = 0O

0

0 0

d²VV(x) x² x

2 d 2 d


Voisinage d’une surface chargée

Une surface (S) charge avec une densité surfacique .

On considère deux points M1 et M2 voisins de part et d'autre de (S).

Étude du voisinage :

Analyser la variation du champ E.

Analyser la traversée de la surface S.

Décomposition du champ : Normale et Tangentielle.

Champ à proximité d’une surface

E(M1)

E(M2)

()

Surface (S)

M1

M2


Composante Normale

On considère un cylindre infiniment plat, de bases dS1 et dS2.

Appliquons le théorème de Gauss :

Soit :


n1

n2

E(M1)

E(M2)

()

EN2

ET2

ET1

EN1

Surface (S) dS1

dS2

M1

M2

G 1 2

intS dS dS latéral

0 0

q

11

(M ) N1dS 1 1E .dS E .n dS

22

(M ) N2dS 2 2E .dS E .n dS

intq dS

GN1 N2S 1 2

0

dSE .n dS E .n dS

N N1 N2

0

E E E

Discontinuité de la composante normale du champ électrique.


Exemple 3.4

Champ aux voisinages d’un plan uniformément chargé :


E

n

Champ uniforme

(+)

EM1EM2 M1M2

(M1)

0

E n2

(M2)

0

E n2

M1 M2

0

E E E


Composante Tangentielle

On considère un parcours fermé M1N1N2M2.

Circulation du vecteur champ électrostatique :

Soit :


Continuité de la composante tangentielle du champ électrique.

E(M1)

E(M2)

Surface (S)M1

M2

N1

N2

1 2 2 1

1 1 2 2

N N M M

M N N M

E.d E.d E.d E.d E.d 0

0N1 et N2 très voisins

0M1 et M2 très voisins

1 2T T1 1 2 2E .M N E .N M 0

1 2T T 1 1E E .M N 0

1 2T TE E

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