Élasticité

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ELASTICITE

Les corps solides sont considérés comme des milieux continus. La théorie de l'élasticitédécrit les déformations réversibles de ces corps soumis à des contraintes extérieures. Si lesdéformations sont par contre permanentes, on parle alors de déformations plastiques(présentes par exemples dans les opérations de tréfilage, emboutissage, étirage) et au delàd'une certaine limite, on atteint le seuil de rupture.

Le but de ce TP est de vous montrer l'existence de ces deux domaines, élastique etplastique, dans la déformation d'un matériau sous contrainte. C'est également d'introduirel'idée d'essai mécanique pour caractériser un matériau. Il existe en effet différents type d'essaismécaniques, qui peuvent être utilisés soit à des fins d'études physiques d'un matériau, soit àdes fins de contrôle d'une produit en vue de son utilisation industrielle:

- l'essai de dureté consiste à imprimer à la surface du matériau un pénétrateur (pyramide,cône ou bille) sous une certaine charge et à mesurer la taille de l'empreinte.

- l'essai de résilience, caractérisant la fragilité, ou la résistance au choc d'un matériau,consiste à casser un échantillon de matériau avec un lourd pendule et à mesurer l'énergieabsorbée lors de la rupture.

- l'essai de traction, consiste à soumettre un échantillon de matériau à des contrainteslongitudinales qui tendent à l'allonger voire le casser, son comportement étant alors caractérisépar un diagramme effort-déformation.

Si on laisse de côté des corps exceptionnels comme le caoutchouc, pour se borner à descorps tels que les métaux ou les minéraux, les déformations élastiques que l'on peut observersont toujours très faibles : dans les relations qui expriment les forces en fonction desdéformations, on peut négliger les termes du second ordre. C'est ce qu'on appelle la loi deHooke et on parle alors d'élasticié linéaire. Dans le domaine élastique, un matériau isotropepeut se caractériser par son module d'Young et son coefficient de Poisson, que vous allezdéterminer dans deux situations de sollicitations différentes: en traction et en flexion. Dansune autre expérience de traction (d'un fil cette fois) vous allez mettre en évidence lesdomaines élastique puis plastique, jusqu'à la rupture. Dans cette expérience, vouscaractériserez le matériau par sa limite élastique, ainsi que sa contrainte et son allongement àla rupture.

I. EXPÉRIENCE DE TRACTION

1. Dispositif expérimental

Le montage expérimental comporte :

- une machine de traction (figure 1) permettant de fixer une éprouvette entre deux mors. Lemors supérieur est fixe tandis que le mors inférieur est mobile, relié à un bras de levierpermettant d'appliquer une contrainte variable à l'aide de masses marquées.

- une éprouvette métallique de DURAL de 30 cm de long, 25 mm de large et 6 mmd'épaisseur. Sur l'une des faces est collée une jauge de déformation qui mesure la déformationlongitudinale de l'échantillon (son allongement relatif dans le sens de la contrainte), et sur

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l'autre face une deuxième jauge mesure la déformation transversale (son allongement relatifdans le sens perpendiculaire à la la contrainte). Ces deux jauges de déformation sont noyéesdans une résine souple les protégeant. Les jauges sont constituées d'un fil de Constantan(alliage cupro-nickel 55%-45%) sur un film flexible de polyimide. Leur résistance au reposest R = 120 W et le facteur de jauge K est de l'ordre de 2,080 (voir précisément l'indicationportée sur chacune des jauges).

- un pont d'extensométrie VISHAY-MICROMESURES P-3500 permettant de mesurer lesdéformations à partir des variations de résistance des jauges. Les déformations sont mesuréesjusqu'à ±19 999 mm/m avec une résolution de 1 mm/m. La précision est de ±3 mm/m.

marbre

fil rouge

fil gris fil gris

fil rouge

fil gris fil gris

éprouvette

jauge de contrainte A

jauge de contrainte B

masses

contrepoids

A

B

Figure 1: Dispositif de traction à contrainte imposée

2. Manipulation

Mesure de l'éprouvetteMesurer la section S de l'éprouvette avec un pied à coulisse et évaluer les erreurs faites.

Connexion de l'éprouvette au pont d'extensométrieConnecter une des jauges de l'éprouvette au pont d'extensométrie en montage 1/4 de pont :

le fil rouge à la borne rouge P+, un des deux fils gris à la borne blanche S– et l'autre à la borne

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70

jaune D120 si la jauge a une résistance interne de 120 W (ou D350 si sa résistance interne estde 350 W).

Réglage du pont d'extensométrieRéglage du zéro : Enfoncer le bouton ZERO AMP, et régler le zéro en agissant sur la vis ZERO

AMP par simple rotation à l'aide de l'extrémité du doigt.Réglage du facteur de jauge : Appuyer sur le bouton FACTEUR DE JAUGE, et rentrer la valeur

correspondante de la jauge avec les deux potentiomètres grossier et fin.Équilibrage : Appuyer sur le bouton MESURE, et faire le zéro avec les potentiomètres

grossier et fin d'EQUILIBRAGE. Verrouiller le potentiomètre EQUILIBRAGE.Étalonnage : Cet étalonnage a pour but de compenser les résistances de ligne (i.e. des fils).

A cet effet, le pont d'extensométrie contient une résistance d'étalonnage shunt qui est mise enparallèle sur la jauge lorsque le bouton CAL est enfoncé. Cette résistance simule unedéformation de 5000 mm/m avec un facteur de jauge égal à 2,000. Calculer la valeurd'étalonnage :

2, 000Kconstructeur

¥ 5000 mm / m .

Ajuster alors le réglage du potentiomètre FACTEUR DE JAUGE pour afficher cette valeur.Verouiller le potentiomètre FACTEUR DE JAUGE.

Mesures: appuyer sur le bouton mesure. La valeur affichée est la déformation en mm/m.

Montée en tractionAjouter successivement les masses marquées, et mesurer la déformation en fonction en

fonction de la charge imposée (entre 0 et 20 kg). Attention au facteur multiplicaif dû au brasde levier qu'on mesurera.

Attention : il faut faire deux montées en traction pour chaque échantillon: l'une pour prendreles mesures correspondant à la déformation longitudinale et l'autre pour la déformationtransversale. Entre les deux montées, les connexions doivent donc être changées. D'autre part,il faut s'arranger pour que les valeurs de contrainte lors les deux montées successivescoïncident.

3. Calculs et Résultats

Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4colonnes suivantes : la masse m, la contrainte axiale s1 = F/S , la déformation axiale -e1 et ladéformation relative radiale e2 .

Tracer la courbe s1 = f(e1) et en déduire le module d'Young E du matériau. Commenter.Tracer la courbe e2 = f(e1) et en déduire le coefficient de Poisson n diu matériau.

Commenter.

II. EXPÉRIENCE DE FLEXION: LA POUTRE-CONSOLE

Les applications pratiques de la poutre-console sont nombreuses: voilures d'avion,suspensions des automobiles, dents d'engrenages, ressorts, toits en auvent,… Les détails defixation de l'extrêmité fixe peuvent être très différents. Il en est de même de la nature des

Élasticité

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charges appliquées, soit ponctuelles soit réparties. La section peut être constante ou variable.Tous ces exemples ont une caractéristique commune!: une pièce de forme allongée estrigidement fixée, encastrée à l'une de ses extrêmité. Dans le dispositif expérimental étudié, lasection est constante et la charge est ponctuelle.

1. Dispositif expérimental

Figure 2: Dispositif de flexion à contrainte imposée.

Le montage expérimental comporte :

- un dispositif de flexion (figure 2) permettant d'encastrer une éprouvette à l'une de sesextrémité, tandis que l'autre extrémité peut fléchir sous un poids variable.

- une éprouvette métallique de DURAL de 30 cm de long, 25 mm de large et 3 mmd'épaisseur. Sur l'une des faces sont disposées trois jauges de déformation mesurant ladéformation longitunale de l'échantillon (son allongement relatif dans le sens de la contrainte)à trois distances différentes des points d'encastrement et de sollicitation.

- un pont d'extensométrie Vishay-micromesures P-3500 permettant de mesurer lesdéformations à partir des variations de résistance des jauges.

2. Manipulation

Le principe de la manipulation est le même que précédemment. Il s'agit ici de mesurer ladéformation de l'éprouvette en deux positions que vous choisirez (sur les trois possibles) enfonction de la force de la charge imposée par des masses marquées (entre 0 et 2 kg). Onmesurera également les distances x du centre de chaque jauge au point de charge.

Élasticité

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3. Calculs et Résultats

Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4colonnes suivantes : la masse m, la contrainte s = F/S , les deux déformations axiales e auxdeux positions considérées.

Tracer les deux courbes s = f(e). Quel est le rapport des pentes ? Déterminer le moduled'Young E. Commenter.

II. EXPÉRIENCE DE TRACTION D'UN FIL

1. Dispositif expérimental.

masse

Balance

Bati

fixation du fil de cuivre sur la glissiére

Cavalier de positionnement du fil

fil de cuivre

vis de blocage

fixation du fil de cuivre

Butée micro métrique

potence

Figure 3: Dispositif de traction d'un fil à déformation imposée

Le montage expérimental comporte :

- un dispositif de traction (figure 2) d'un fil à déformation imposée. Une extrémité d'un filest fixée à une masse posée sur une balance à plateau "fixe" permettant la mesure de la forcede traction. L'autre extrémité est fixée à une glissière coulissant dans un rail, son déplacementlongitudinal étant imposé par une vis micrométrique disposant d'un vernier de lecture.

- un fil de cuivre de diamètre d = 0,1 mm.

2. Manipulation

Couper environ 40 cm de fil de cuivre. Fixer une extrémité à la masse posée sur la balance,puis l'autre extrémité à la glissière. Tendre très légèrement le fil passé dans la gorge de lapoulie en jouant sur les deux emplacements réglables du porte glissière, du porte-vernier(vernier au voisinage de son minimum). Mesurer la longueur initiale l0 du fil. Tarer labalance, puis commencer l'essai de traction en imposant et en mesurant simultanémentl'allongement à l'aide du vernier et la force à l'aide de la balance.

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3. Calculs et Résultats

Avec l'ensemble des résultats de mesures obtenus, dresser un tableau faisant apparaître les 4colonnes suivantes : le masse m , la contrainte s = F /S , l'allongement l, la déformatione = (l - l0 ) / l0 .

Tracer la courbe s = f(e). En déduire le module d'Young E et son incertitude, la limiteélastique se, la contrainte à la rupture sr et l'allongement à la rupture exprimée en pourcentA(%)= 100emax.

Remerciements!: les deux dispositifs expérimentaux de flexion et de traction d'un fil ontété conçus et réalisés par Patrice Jenffer et Gilles Marteau.

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ANNEXE THÉORIQUE

On ne traite ici que le cas des corps homogènes isotropes!: dans ce cas là, la relation entrecontrainte et déformation est la même dans toutes les directions et on peut se contenter d'uneseule relation scalaire ; dans le cas plus général des corps anisotropes, la relation contrainte-déformation dépend de la direction et devient alors une relation tensorielle.

1. Déformation axiale sous contrainte et module d'Young.

Considérons un corps cylindrique de longueur l0 et de section S et appliquons lui une forceF parallèle aux génératrices du cylindre (figure 4); soit l la nouvelle longueur prise par lecylindre. La loi de Hooke traduit le fait que la déformation axiale du cylindre e1 = (l-l0)/l0 =Dl/l est proportionnel à la contrainte appliquée s = F/S :

Dll

=1E

s ou s = E Dll

où le coefficient de proportionnalité E s'appelle le module d'Young. Le paramètre e1 = Dl/létant sans dimension, la dimension de E est celle d'une contrainte (exprimée en Pa, kPa, MPaou GPa). La relation est une relation algébrique : e et s sont positifs pour une traction etnégatifs pour une compression.

Figure 4

2. Déformation transverse sous contrainte et coefficient de Poisson

En même temps qu'un cylindre soumis à une traction s'allonge dans la directionlongitudinale, il se rétrécit dans sa direction transversale. Si nous désignons par d0 le diamètreinitial du cylindre qui est la dimension transversale du corps, cette dimension diminue etprend la valeur d0+Dd lorsqu'on applique la force de traction sur le corps, de telle sorte que ladéformation transverse e2 = (d-d0)/d0 = Dd/d est proportionnelle à déformation axiale e1=Dl/l :

Ddd

= -nDll

où n s'appelle le coefficient de Poisson.

Élasticité

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3. Variation de volume et coefficient de compressibilité.

Le volume du cylindre étant V=lS, la variation relative de volume DV/V est alors (pardifférentiation logarithmique) :

DVV

=Dll

+DSS

Mais S=(p/4)d2 entraîne :DSS

= 2 Ddd

= -2nDll

= -2nsE

La variation relative de volume est alors :

DVV

= 1- 2n( )Dll

= 1 - 2n( )sE

L'expérience montre que le volume V du cylindre augmente généralement lors d'unetraction. La valeur du coefficient de Poisson, dépendant du matériau considéré, est doncgénéralement comprise entre 0 et 0,5.

On peut montrer que le coefficient de compressibilité k défini park = -

1V

DVDP

s’écrit aussi :k =

3(1 - 2n)E

le coefficient 3 venant du fait qu'il faut considérer une pression (ou contrainte) uniforme surtoute la surface du corps et donc dans 3 directions perpendiculaires.

4. La poutre-console

Considérons une poutre chargée ponctuellement, d'épaisseur e, de largeur b, et dont ladistance du point de charge P au point d'encastrement est L (figure 5).

Figure 5

Le moment fléchissant pour une section d'abscisse x est le produit de la force P par sadistance à cette section: M = Px. Dans le cas présent, il varie donc linéairement de 0 au pointde charge jusqu'à la valeur PL à l'extrémité encastrée.

L'effort tranchant est la dérivée du moment fléchissant par rapport à la distance: T =dMdx

.

Dans le cas présent, il est constant et vaut P.

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Une autre caractéristique de la poutre considérée est que la contrainte est partout uniaxialesauf au voisinage de l'encastrement et du point d'application de la force. La théorie de larésistance des matériaux donne comme valeur de la contrainte:

s(x) =M(x)C

I,

où C est la distance de la ligne neutre1 (C = e/2) et I le moment d'inertie de la section de la

poutre ( I =be3

12). L'expresion de la contrainte est alors :

s(x) =6Pxbe2

Pour une contrainte uniaxiale, la loi de Hooke étant e = s/E, la déformation longitudinale àla surface est

e (x) =6PxEbe 2

La déformation est donc linéaire par rapport au point de charge.

5. Mesures des déformations par jauges de contraintes.

Les résultats rappelés ci-dessus ont été utilisé dans la conception d'un dispositif, appelé"jauge de contrainte", étalonné pour la mesure des déformations. Cette jauge est collée sur lasurface du corps que l'on veut étudié et la déformation solidaire de la jauge renseigne alors surla déformation du corps soumis à une contrainte extérieure. La jauge est constituéeprincipalement d'un fil dont on mesure la variation de résistance électrique en fonction de ladéformation.

Soit un fil de longueur l et de diamètre d. Une force de traction appliquée aux extrémités dufil provoque un allongement Dl. L'allongement relatif Dl/l et la variation relative du diamètreDd/d sont alors relié par le coefficient de Poisson n :

Ddd

= -nDll

La résistance R du fil de section s et de résistivité r étant : R = rls

,

la variation relative de résistance est alors (par différentiation logarithmique) :

dRR

=drr

+dll

-dss

Le premier terme est faible pour les métaux mais prépondérant pour les semi-conducteurs.Il est sensiblement proportionnel à la variation de volume à T constant, c'est-à-dire :

1Dans le cas d'une poutre en flexion, une partie de la poutre est en étirement tandis que l'autre partie est encompression; la ligne qui sépare ces deux parties et qui est ni étirée ni comprimée, c'est-à-dire le siège d'aucunedéformation, est appelée ligne neutre. Cette ligne se trouve dans le cas présent à la moitié de l'épaisseur.

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drr

= C(1 - 2n) dll

d'autre part :dss

= -2ndll

On a en définitive :dRR

= C(1 - 2n) +1 + 2n[ ]dll

= K dll

où K est le facteur de jauge. K est de l'ordre de 2 à 4 pour un fil métallique ; il peut atteindre100 à 150 pour des dépôts semi-conducteurs. Ceux-ci sont intéressants lorsque le matériauétudié est très rigide et les déformations faibles. Malheureusement dans ce cas, la variation derésistance n'est plus vraiment linéaire ; un étalonnage est alors nécessaire.

Une jauge de contrainte est en général constituée par un dépôt d'alliage résistant, en généraldu constantan, dont le coefficient de température est très faible, sur une feuille de polyamide,le motif semblable à la figure 6(a) étant obtenu par photogravure. L'élément ainsi obtenu estcollé sur l'échantillon à tester avec une colle cyanacrylate avec catalyseur assurant une bonnecohésion sans risque de cassures. C'est en fait l'opération la plus délicate. Lorsqu'on désiremesurer les variations de dimensions d'une structure de grande dimension, par exemple unbarrage, on utilise des fils résistants tendus.

!!!!Vs(mesure)

R

R Rx

Ro!!!!!!!!!!!Vo(excitation)

c) Montage en pont!!!!! de Wheatstone

a) Jauge de contrainte b) Rosette de jaugesperpendiculaires F

igure 6

La détection de la variation de résistance d'un élément est meilleure lorsque l'élément àmesurer est insérée dans un pont. Dans le montage en pont de Wheatstone (figure 6(c)), onutilise un potentiomètre constitué par deux résistances égales R (en fait une résistance réglableet une résistance fixe de valeurs voisines), une résistance de valeur R0 égale à la résistance dela jauge au repos et la jauge de valeur Rx. Si une tension d'excitation V0 est appliquée au pont(figure 6(c)), la tension de sortie Vs est donnée par :

Vs = V0Rx

Rx + R0-

12

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

avec Rx = R0+DRx :

Vs =V0

22Rx - Rx - R0

Rx + R0

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ =

V0

2DRx

Rx + R0

ce qui donne à l'ordre 1 :

Élasticité

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Vs ªV0

4DRx

R0

et en faisant apparaître le facteur de jauge : Vs ªV0

4Dll

La variation DR/R0 étant petite, la tension V s est sensiblement proportionnelle àl'allongement de la jauge.

Le facteur de jauge variant avec la température, il est préférable de régler le courantd'excitation du pont de mesure à une valeur raisonnable, pour limiter cet effet. Pour s'enaffranchir totalement, on peut monter deux jauges (l'une sollicitée l'autre pas) dans un mêmepont pour compenser l'effet thermique, ou encore prendre des résistances constituée du mêmematériau que la jauge.

5. Le diagramme effort-déformation

Si l'on représente en ordonnée la force appliquée F et en abscisse l'allongement del'échantilon Dl = l - l0 , on obtient le diagramme force-allongement.

En rapportant la force à la section initiale S0, s = F / S0 et l'allongement à la longueurinitiale e = Dl / l0 , on obtient le diagramme contrainte-déformation.

Au début de l'essai, on obtient une augmentation rapide de la force appliquée etproportionnelle à la contrainte. Dans ce domaine, si l'on diminue à nouveau la charge, onconstate que la déformation diminue et peut disparaître pour une charge nulle. La déformationétait élastique.

Lorsque la contrainte dépasse une certaine valeur se appelée limite élastique, laproportionnalité entre contrainte et déformation n'est plus respectée et il reste unedéformation permanente pour une charge nulle: la déformation est dite plastique. Il estimportant de noter que si on réaugmente la contrainte, le domaine élastique est augmentée etla limite élastique également (figure 7b)!: cette limite élastique dépend donc en partie del'histoire du matériau.

Pour des matériaux fragiles, la rupture se produit rapidement avant que l'échantillon ne soitsoumis à une grande déformation plastique (figure 7a). Pour des matériaux moins fragiles, ditsductiles, l'augmentation de contrainte pour un même allongement devient de plus en plusfaible. Lorsque la capacité de déformation du matériau est dépassée, l'échantillon casse. Larupture peut se produire sur la branche montante contrainte-déformation (figure 7b), la forceaugmente alors jusqu'à la rupture. Mais la force peut aussi atteindre un maximum puitdiminuer (figure 7c). Dans ce cas au moment d'atteindre le maximum de contrainte, il seproduit un rétrécissement local de la section de l'échantillon, appelé striction, et seule cettepartie participe ensuite à l'essai, ce qui explique la diminution de la force appliquée.

Figure 7: Différents types de diagrammes contrainte-déformation. (a) pour un matériaufragile; (c) pour un matériau ductile.

Élasticité

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6. Propriétés mécaniques de quelques matériaux.

Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques mécaniques de quelques matériaux.

E (109 Pa) n se (106 Pa) sr *(106 Pa) A (%)Aluminium 71 0,33 35-150 100-450 5-35

Cuivre 130 0,36 35-50 300-500 60-80Fer 211 0,3 150 400-600 50-70

Plomb 17 10-15Argent 76 300-350Zinc 109 100-150

Laiton 100 0,35 60-600 300-900 3-60Acier (moyen) 212 0,3 800-1000 1000-1200 20-25Verre (crown) 70 0,25 30-100

* Les contraintes à la rupture citées sont celles de spécimens sous forme de barreau ou fil.