Master 1 de Mecanique Physique Annee 2007–2008

— P-MEC-402A —

Dynamique des Fluides

Travaux diriges

(Version du 18 juillet 2007)

Fig. 1 – En vrac et dans le desordre : Daniel Bernoulli, Pierre Simon de Laplace, Osborne Reynolds,Leonhard Euler, Archimede, George Stokes...

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Table des matieres

1 — Introduction a la dynamique des fluides 3

2 — Analyse Dimensionnelle 5

3 — Ressaut hydraulique dans un canal 8

4 — Equations de continuite 10

5 — Statique des fluides 12

6 — Ecoulements potentiels 16

7 — Dynamique de fluides parfaits 18

8 — Ecoulements de Bernoulli 22

9 — Dynamique des gaz 26

10 — Fluides visqueux 28

11 — Couche limite visqueuse 30

12 — Ecoulements avec vorticite 34

A — Vidange d’un reservoir dans un long tube capillaire 40

B — Ecoulement dans un amortisseur visqueux 42

C — Effet Marangoni 44

D — Ecoulement d’un fluide visqueux 45

E — Croissance d’une bulle 48

F — Ecoulement d’un fluide visqueux 50

G — Eolienne 52

H — Effet siphon 55

I — Formulaire 59

J — A propos du theoreme du transport de Reynolds 63

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1 — Introduction a la dynamique des fluides

1.1 Definitions

Definir ce que sont les :

(i) lignes de courant ; (ii) lignes d’emission ; (iii) trajectoires des particules fluides.

Indiquer de quelle maniere il est possible de mettre chacune d’elles en evidence dans un ecoulement. Dansquel cas sont-elle toutes les trois confondues ?

1.2 Manipulation de l’operateur ∇ dans R3

1) Etablir les formules suivantes :

a) ∇∧ ~r = 0 ;b) ∇ · ~r = 3 ;

c) ∇ ·(rr2

)= 0 ;

d) ∇f(r) = f ′(r)r ;e) ∇∧ (f(r)~r) = 0 ;f) ∇ · (f(r)~r) = 3f(r) + rf ′(r) ;g) ∇ · (rn~r) = (n+ 3)rn ;

h) ∇2f(r) = f ′′(r) + 2r f

′(r).

2) Montrer alors que :

a) ∇2 (f(r)~r) = (4f ′(r) + rf ′′(r)) r,b) ∇2 (rm~r) = m(m+ 3)rm−2~r.

3) Etablir les relations suivantes lorsque ~a designe un vecteur de R3 :

a) (~a · ∇)~r = ~a ;b) ∇ (~a · ~r) = ~a ;c) ∇ · (~a ∧ ~r) = 0 ;d) ∇∧ (~a ∧ ~r) = 2~a ;e) ∇ · (f(r)~a ∧ ~r) = 0 ;

4) Etablir les relations suivantes :

a) ∇ ·(a~V

)= a

(∇ · ~V

)+

(~V · ∇

)a ;

b) ∇ ·(~A ∧ ~B

)= ~B

(∇∧ ~A

)− ~V

(∇∧ ~B

);

c) ∇∧(~A ∧ ~B

)=

(~B ∧∇

)~A− ~B

(∇ · ~A

)−

(~A · ∇

)~B + ~A

(∇ · ~B

).

1.3 Proprietes generales d’ecoulements particuliers

1) Demontrer les deux egalites suivantes :

a)−→rot

(−−→grad f

)= ~0 ;

b) div(−→rot ~A

)= 0.

2) En deduire qu’un champ de vitesse derivant d’un potentiel ~v =−−→gradφ, correspond a un ecoulement

de vorticite ~ω =−→rot~v uniformement nulle (ecoulement irrotationnel), et que le champ de vitesse d’un

ecoulement incompressible (a divergence nulle) resulte de la circulation d’un champ vectoriel ~ψ sur uncontour ferme (fonction courant).

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1.4 Champ electromagnetique

Dans le vide, le champ electrique ~E et le champ magnetique ~H satisfont aux equations de Maxwell :

∇ · ~E = 0, ∇ · ~H = 0, ∇∧ ~E = −∂~H

∂t, ∇∧ ~H =

∂ ~E

∂t.

1) Montrer qu’ils satisfont alors aussi a l’equation d’onde :

∇2~u =∂2~u

∂t2.

2) Reciproquement, montrer que si ~u verifie cette equation d’onde, alors :~E = ∇∧ (∇∧ ~u)~H = ∇∧ ∂~u

∂t

et ~E = −∇ ∧ ∂~u

∂t~H = ∇∧ (∇∧ ~u)

sont deux solutions des equations de Maxwell.

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2 — Analyse Dimensionnelle

Rappels sur le theoreme π, ou theoreme de Buckingham : soit une relation homogene en dimension u1 =f(u1, · · · , uk) reliant k grandeurs physiques faisant intervenir r grandeurs dimensionellement independantes (rest la dimension minimum necessaire pour decrire les grandeurs physiques ui). Cette relation peut etre reduite aune relation π1 = Φ(π2, π3, · · · , πk−r) ou les k− r grandeurs sans dimension (adimensionnee) πi sont des termesformes a partir d’une grandeur dimensionnee et de r autres grandeurs dimensionellement independantes. Lestermes π sont de la forme π = uaα

α · uaβ

β · uaγγ · · · ou aα, aβ · · · sont des relatifs entiers ou fractionnaires.

2.1 Chute libre dans un fluide visqueux

On considere la chute lente, a la vitesse V constante, d’une particule spherique de diametre d dans un fluidevisqueux de viscosite dynamique µ. On veut determiner l’expression de la force de frottement F en fonctionde d, V , µ (grandeurs caracteristiques du probleme). Les forces d’inertie sont negligeables devant la force deviscosite.

1) Ecrire les equations aux dimensions de F , d, V , µ en fonction de (M,L, T ) (masse, longueur, temps).

2) Deduire le nombre minimum r de variables necessaires pour exprimer les grandeurs F , d, V , µ, puis lenombre de grandeurs adimensionnees independantes.

3) Chercher le(s) terme(s) π comme un produit des puissances des r grandeurs independantes et de laquatrieme grandeur restante.

4) Comparer la relation trouvee avec la loi de Stokes (F = 3πµdV ). Conclure.

2.2 Debit d’un deversoir

Fig. 1 – Vue de cote et de face du deversoir

On suppose que le debit Q (m3/s) d’un deversoir rectangulaire, en ecoulement permanent, est une fonctionde la hauteur h du fluide en amont du deversoir, de la largeur b du deversoir et de l’acceleration de la gravite g(le fluide ne s’ecoule que sous l’action de son poids).

1) Ecrire les equations aux dimensions de Q, h, b, g.

2) Deduire le nombre minimum r de variables necessaires pour exprimer les grandeurs Q, h, b, g puis lenombre de grandeurs adimensionnees independantes.

3) A partir de la liste des grandeurs h, b, g selectionner r grandeurs independantes.

4) Chercher les termes π comme le produit des puissances de ces r grandeurs independantes et d’une autregrandeur.

5) Deduire la relation adimensionnee Q√gh5

= Φ(hb

).

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2.3 Ecoulement sous gradient de pression dans une conduite cylindrique

On considere l’ecoulement en regime permanent d’un fluide incompressible soumis a un gradient de pressiondans une conduite cylindrique. On suppose que le gradient de pression G = ∆p/δl applique au fluide est unefonction du diametre D de la conduite, de la masse volumique ρ et de la viscosite dynamique µ du fluide, ainsique de la vitesse moyenne V du fluide :

G = f(D, ρ, µ, V ).

1) Ecrire l’equation aux dimensions de G,D, ρ, µ, V en fonction de (M,L, T ).

2) Deduire le nombre minimum r de variables necessaire pour exprimer les grandeurs G,D, ρ, µ, V puis lenombre de grandeurs adimensionnees independantes.

3) A partir de la liste des grandeursD, ρ, µ, V selectionner r grandeurs independantes (prendre les expressionsdimensionnelles les plus simples), puis ecrire les termes π comme produit de ces r grandeurs independanteset d’une autre grandeur.

4) Deduire la relation adimensionnee :GD

ρV 2 = Φ(Re),

ou Re = ρV Dµ est le nombre de Reynolds.

5) On veut obtenir la fonction Φ experimentalement dans un intervalle donne du nombre de Reynolds.Pour cela, on mesure les accroissements de pressions appliques et les vitesses moyennes correspondantessur un tuyau cylindrique de 1, 5 m de longueur et de 1, 25 cm de diametre interieur. Le fluide est de l’eaua 15, 6C ; masse volumique ρ = 999 kg/m3, viscosite dynamique µ = 1, 12 · 10−3 N s/m2. Completer letableau des GD

ρV 2 et des Re.

V (m/s) 0,36 0,59 0,89 1,78 3,39 5,16 7,11 8,76

G(N/m3) 1, 97 · 102 4, 90 · 102 9, 71 · 102 3, 33 · 103 1, 03 · 104 2, 14 · 104 3, 97 · 104 5, 43 · 104

GD/ρV 2

Re

6) Tracer en echelle logarithmique la courbe : GDρV 2 = Φ(Re) (on pourra utiliser la feuille jointe en fin de

fascicule, ou un logiciel de trace de courbe). En deduire la fonction Φ.

7) Comparer avec la formule de Blasius :

D

δlEu = 0.1582 Re−1/4,

ou Eu est le nombre d’Euler (voir par exemple H. Schlichting, “Boundary theory” — 7eme edition,reference a la BU sous les cotes Sm 478 ou Sm 63).

2.4 Modeles et similitudes

Un modele (ou maquette) est une representation d’un systeme physique qu’on peut utiliser pour prevoirle comportement d’un prototype dans certaines conditions. Le prototype verifie une relation entre les valeursadimensionnees π1, π2, · · · , πn qu’on obtient a partir des connaissances sur la nature generale du phenomeneet des variables qui interviennent : π1 = Φ(π2, π3, · · · , πn). Une relation semblable doit etre aussi verifiee pourle modele : π1m = Φ(π2m, π3m, · · · , πnm). Si l’on choisit l’egalite des valeurs des grandeurs adimensionnees dumodele et du prototype : π2m = π2, · · · , πnm = πn, alors π1m = π1 et la mesure de π1m sur le modele permetde predire la valeur de π1, sur le prototype. Tous les termes adimensionnes correspondants entre modele et pro-totype doivent etre egaux : c’est la condition de similitude (similitude geometrique, dynamique, cinematique,etc), que nous allons appliquer ici au cas d’un sillage oscillatoire avec generation de tourbillons.

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Un corps de section transverse de largeur D et de longueur L, place dans l’ecoulement d’un fluide incom-pressible a vitesse uniforme V , peut developper dans son sillage des tourbillons qui se detachent regulierementa la frequence ω (allee de tourbillons de Benard-von Karman). La structure elastique du corps peut alors semettre a vibrer en resonance avec la frequence de forcage ω, et conduire a un endommagement de la structure.

On considere en illustration la structure d’un pont pietonier d’epaisseur D = 0, 1 m et de longueur transverseL = 0, 3m, et l’on veut connaıtre pour une vitesse du vent V = 50 km/h la frequence ω correspondante de l’alleede tourbillons. On prendra pour masse volumique et viscosite dynamique de l’air respectivement ρ = 1, 23 kg/m3

et µ = 1, 8 · 10−5Ns/m2. Les grandeurs caracteristiques du probleme sont les longueurs D et L du corps, lavitesse V , la masse volumique ρ et la viscosite dynamique µ du fluide. La frequence ω doit donc etre une fonctionde ces grandeurs :

ω = f(D,L, V, ρ, µ).

A partir d’une maquette a echelle reduite de dimension Dm = 20mm qui a ete testee dans un tunnel a eau, onmesure une frequence des tourbillons ωm = 50Hz. On prendra pour masse volumique et viscosite dynamiquede l’eau respectivement ρm = 103 kg/m3 et µm = 1, 12 · 10−3Ns/m2.

1) Ecrire les equations aux dimensions de ω,D,L, V, ρ, µ.

2) Deduire le nombre minimum r de variables necessaires pour exprimer les grandeurs ω,D,L, V, ρ, µ ; puisle nombre de grandeurs adimensionnees independantes.

3) A partir de la liste des grandeurs D, L, V , ρ, µ, selectionner r grandeurs independantes. Chercher lestermes π comme produits de ces r grandeurs independantes et d’une autre grandeur.

4) Deduire la relation adimensionnee :

St = Φ(D

L,Re

),

ou St = ωDV est le nombre de Strouhal et Re = ρV D

µ le nombre de Reynolds.

5) Determiner la dimension Lm du modele (similitude geometrique).

6) Determiner la vitesse de l’eau dans le modele (similitude geometrique et similitude du nombre de Rey-nolds). A quelle vitesse faudrait-il souffler si l’experience modele etait faite egalement dans l’air ?

7) Deduire la frequence des tourbillons sur le prototype (similitude du nombre de Strouhal).

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3 — Ressaut hydraulique dans un canal

On considere un ecoulement stationnaire dans un canal ouvert rectangulaire et de pente negligeable. Ons’interesse a la formation d’un ressaut immobile (changement brutal de la profondeur de H1 en amont, a H2

en aval ; ce changement s’effectue sur une distance comparable a la profondeur, avec H1 < H2). Pour simplifierl’analyse, on modelise cet ecoulement en negligeant la viscosite et la compressibilite du fluide et en supposantles vitesses d’ecoulement ~V1 et ~V2 uniformes et horizontales en amont comme en aval du ressaut. La geometriede l’ecoulement est representee sur la figure 1.

Fig. 1 – Ressaut hydraulique

1) Montrer que la repartition de la pression dans le fluide en amont et en aval du ressaut est hydrostatique.Exprimer la pression P (z) en amont et en aval du ressaut en fonction de la masse volumique ρ du fluide,de la hauteur z consideree et de la pression atmospherique P0.

2) Equation de conservation de la masse. Donner l’expression du debit massique Dv en fonction de (V1,H1, L)et (V2,H2, L), L etant la largeur du canal.

3) Equation de transport de la quantite de mouvement.a) Utiliser le theoreme du transport de Reynolds relatif a la densite de quantite de mouvement pour

obtenir la relation entre les grandeurs amont et aval :

12g H2

1 + V 21 H1 =

12g H2

2 + V 22 H2,

ou g est l’acceleration de la pesanteur.b) On definit les nombres de Froude amont et aval :

Fr1 =V1√gH1

, F r2 =V2√gH2

et α =H2

H1.

Calculer V1 et V2, puis Fr1 et Fr2, en fonction de H1, H2 et g, et enfin α en fonction de Fr1.c) Montrer que pour α > 1 on a Fr1 > 1 (regime super-critique ou torrentiel) et Fr2 < 1 (regime sous

critique ou fluvial).d) Application numerique : avec un debit par unite de largeur de 1,5 m2 s−1 et une profondeur d’approche

de 0,2 m, calculer Fr1 puis H2.4) Bilan energetique.

a) On rappelle que pour une particule de fluide de vitesse ~v dans un champ de pesanteur, la densited’energie est e = ρ

(v2/2 + gz

)et que la puissance fournie par les forces de pression P a travers une

surface ~dS est −P~v · ~dS. En appliquant le theoreme du transport de Reynolds a la densite d’energie,montrer que l’on a la relation

−Q= ©

∫∫sc

ρ

(~v 2

2+ gz +

P

ρ

)~v · ~dS,

ouQ est la puissance dissipee sous forme de chaleur dans le volume de controle (VC) par la turbulence

et SC est la surface de controle.

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b) Donner l’expression de la puissance dissipee dans le ressaut en fonction de Dv, des grandeurs V et Hen amont et aval, ainsi que de ρ et g. Calculer la puissance dissipee pour un canal d’un metre de largeurcontenant de l’eau (H1 = 0, 2m, Dv = 1, 5m3/s). En deduire l’echauffement de l’eau entre l’entree etla sortie du ressaut.

5) Vitesse de propagation d’un mascaret. Un mascaret est une surelevation brusque des eaux, qui se produitdans certains estuaires au moment du flux de maree, et qui progresse rapidement (a la celerite c) versl’amont sous la forme d’une vague deferlante (voir Figure 2). En amont du front d’onde, la hauteur d’eauest H2 et la vitesse d’ecoulement est V2 (V2 < c) ; en aval, la hauteur d’eau est H1 (H1 < H2) et le liquideest immobile.

a) Representer sur une figure le volume de controle AA′B′B dans le referentiel se deplacant a la vitesse −cpar rapport au sol ainsi que les vitesses d’ecoulement V ′1 et V ′2 en amont et en aval de la discontinuite.

b) En utilisant un changement de referentiel adequat ainsi que les resultats obtenus pour le ressaut, calculerla vitesse de propagation c en fonction de H1, H2 et g.

c) Dans le cas limite ou H2/H1 = (1 + ε), avec ε → 0, comment sont modifies les resultats lorsque lavitesse d’ecoulement V1 en aval n’est pas nulle ?

Fig. 2 – Mascaret de la Seine au niveau de Quillebef en 1920.

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4 — Equations de continuite

4.1 Jet impactant sur une plaque mobile

Un jet d’eau cylindrique horizontal vient impacter sur un piston circulaire de meme axe que le jet et decentre C (Figure 3). Dans le referentiel galileen R0, la vitesse de l’eau dans le jet est ~v1 = v1y, et la plaquepossede une vitesse uniforme ~u = uy inferieure a v1. On supposera que la vitesse du jet est uniforme sur touteune section droite Σ1 du jet et vaut ~v1, et qu’elle vaut dans une section droite Σ2 du jet sortant ~v2 = uy + v′2r,ou r est le vecteur radial perpendiculaire a l’axe (Cy) du disque. On negligera les effets de la pesanteur.

Fig. 3 – Jet impactant sur un piston circulaire.

1) Exprimer v′2 en fonction de v1 et u.

2) Dans le referentiel R′ se deplacant avec la plaque a la vitesse ~u par rapport a R0, montrer que la plaqueest soumise a une force ~F = ρS1(v1 − u)2y, ou S1 est l’aire de la section Σ1.

3) Calculer en fonction de ρ, S1, v1 et u :– La puissance mecanique Pm recue par la plaque (mesuree dans R0) ;– Le debit d’energie cinetique de l’eau PC1 a travers Σ1 dans R0 ;– Le debit d’energie cinetique de l’eau PC2 a travers Σ2 dans R0 ;

4) Etablir l’expression du rendement η = PmPC1

, et le calculer pour ρ = 103 kg.m−3, v1 = 120 m.s−1, u = 40

m.s−1, S1 = π · 10−4 m2.

5) Montrer que Pm peut etre evaluee en effectuant un bilan energetique dans R0 sur un systeme que l’onprecisera.

4.2 Jet impactant sur une ailette tournante

On considere une plaque rectangulaire de largeur 2l, de masse m, mobile sans frottements solides autour d’unaxe horizontal ∆ qui coıncide avec l’un de ses cote (Figure ). Un jet parallele horizontal tres fin de liquide estenvoye sur cette plaque, a une distance h de l’axe ∆. Le fluide est suppose parfait, homogene, et incompressible,de masse volumique ρ. Le debit massique Dm du jet est constant. La vitesse dans le jet est constante et egale ennorme a u. La pression du milieu ambiant est uniforme est egale a P0. Les effets de la pesanteur sont negligeablessur la dynamique du fluide.

1) Montrer que partout ou les trajectoires dans le liquide sont rectilignes et paralleles, la pression dans leliquide en contact avec le milieu ambiant est P0.

2) Apres impact sur la plaque, le liquide s’ecoule dans un film de faible epaisseur le long de la plaque.Determiner, en regime permanent, l’angle α que prend la plaque par rapport a la position verticale —position d’equilibre en l’absence de jet.

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3) Apres impact, le fluide se separe en fait en 2 jets fins longeant la plaque, dans le plan vertical du jetincident, l’un vers le bas, l’autre vers le haut. Determiner les debits en masse D1 et D2 des 2 jets, enfonction du debit Dm incident et de l’angle α.

4.3 Rendement d’une eolienne (d’apres Partiel novembre 2006)

On suppose que l’action du vent sur les pales d’une eolienne est equivalente a celle du vent sur un disquepermeable de surface S. Cette hypothese, dite du « disque actuateur »de Froude, permet de faire des calculs aune dimension selon l’axe Ox.

Fig. 4 – Lignes de courant autour du disque actuateur.

L’allure des lignes de courant est schematisee sur la figure 2. On supposera a partir de maintenant que lefluide est parfait et l’ecoulement stationnaire. On note u(x) la vitesse supposee uniforme dans toute sectiontransverse a l’interieur du volume de controle et continue pour tout x. La pression p(x) est discontinue en x = 0.On suppose de plus que les surfaces amont et aval sont suffisamment loin pour que la pression y soit egale a lapression atmospherique P0.

1) Ecrire les debits volumiques en x0, x1 = 0 et x2 en fonction des surfaces et des vitesses qui interviennentdans le probleme.

2) Tracer l’allure des fonctions u(x) et p(x). Calculer le saut de pression PB − PC au niveau du disque. Endeduire la force F s’appliquant sur le disque. Pourquoi ne peut on pas appliquer la loi de Bernoulli auniveau du disque ?

3) Appliquer le theoreme du transport de Reynolds sur le volume de controle contenu entre S0 et S2. Quellessont les forces appliquees sur ce volume ? Quels sont les flux de quantite de mouvement ? La pressionatmospherique P0 apporte-t-elle de la quantite de mouvement au fluide ? Pourquoi ? En deduire une autreexpression de F .

4) En egalisant les expressions de F trouvees en 3b et 3c, et la conservation du debit en deduire que l’on au1 = (u0 + u2)/2.

5) De la conservation du debit en deduire que S1 = 2S0S2/(S0 + S2).

6) On definit le rendement aerodynamique de l’eolienne comme le rapport η entre la puissance genereeP = ~F · ~u et la puissance entrante Pe. Exprimer η en fonction du rapport a = u2/u0. Montrer que cerapport est maximum pour a = 1/3 (formule de Betz). Calculer alors η et P pour a = 1/3, puis poura = 0 et a = 1. Qu’en concluez-vous ?

4.4 Etude d’un helicoptere leger

On considere un helicoptere leger de masse M = 150 kg (passager compris). Le diametre du rotor est noteD0. La masse volumique de l’air vaut ρ = 1.25 kg.m−3.

1) Etudier, en fonction de D0, la puissance necessaire pour maintenir l’helicoptere immobile en l’air. (Onsupposera que l’air sous l’appareil forme un jet cylindrique vertical.)

2) Quelle puissance doit-on demander au moteur en admettant que D0 = 4 m. Compte-tenu des possibi-lites actuelles des moteurs a explosion (moteur d’automobile, de motocyclette...), la solution paraıt-elleplausible ?

3) Peut-on envisager une solution pratique ou la sustentation serait assuree par la seule puissance musculairede l’homme ?

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5 — Statique des fluides

5.1 Autour de soi

1) Un cube de glace flotte dans un verre d’eau. Quand la glace a fondu, quel est le niveau d’eau dans leverre ?

2) Meme question si le cube de glace contient un morceau de metal suffisamment petit pour que le glaconflotte encore.

3) Meme question si le metal est remplace par un morceau de liege.4) Expliquer pourquoi un ballon a gaz montera a une altitude bien determinee, alors qu’un sous-marin qui

commence a s’enfoncer descendra jusqu’au fond.5) Dans une voiture qui demarre, un enfant tient un ballon gonfle a l’helium. De quel cote se deplace le

ballon ?

5.2 Fluides non miscibles

On considere un recipient contenant deux liquides (huile et eau) non miscibles, soumis a la force de pesanteur.La masse volumique de l’eau est ρeau = 1000 kg.m−3, celle de l’huile ρhuile = 600 kg.m−3.

1) Les deux fluides sont au repos. Comment se disposent-ils dans le recipient ?2) Quelle est la forme de la courbe P (z) de pression en fonction de l’altitude z, z = 0 etant pris au fond du

recipient ?3) On place maintenant une bille de bois (masse volumique ρbois = 900 kg.m−3) dans le dispositif precedent.

Ou se trouve la position d’equilibre de la bille ? Quelle fraction du volume de la bille est immergee dansl’eau ?

4) On remplit maintenant un tube en U avec de l’eau jusqu’a une hauteur de 10 cm par rapport au fond. Lasection du tube est de 1 cm2. On ajoute alors 2 cm3 d’huile dans une des branches du tube.

a) A quelle hauteur se trouve la surface libre de l’huile ?b) A quelle hauteur se trouve l’interface huile-eau ?c) A quelle hauteur se trouve la surface libre de l’eau dans l’autre branche ?

5.3 Pression dans une conduite

Pour connaıtre la pression absolue a l’interieur d’une conduite ou circule un fluide de masse volumique ρ, ondispose cote a cote un barometre et un manometre, tous deux remplis de mercure de masse volumique ρ0 et onlit les cotes H0, H1 et H2 (voir Fig.1).

Fig. 1 – Determination de la pression absolue d’une conduite.

1) Determiner l’expression de la pression sur l’axe de la conduite, en fonction des donnees du probleme.

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2) Calculer en pascals et en bars la pression sur l’axe de la conduite lorsque le fluide est de l’air (ρ ' 0) ou del’eau (ρ = 1000 kg.m3), avec H0 = 75.6 cm, H1 = 32.4 cm, H2 = 19.2 cm. Masse volumique du mercure :ρ0 = 13590 kg.m3 ; constante de pesanteur : g = 9.8 m.s−2.

5.4 Le Principe d’Archimede

L’histoire de la genese du fameux principe d’Archimede remonte au IIIe siecle avant J.C. Hieron, roi deSyracuse (−265 a −215), demanda au meilleur orfevre de la ville de lui confectionner une couronne en or, et luiprocura l’or dont celui-ci avait besoin pour mener a bien son ouvrage. L’orfevre revint quelques semaines plustard avec le flamboyant joyau. Mais le roi fut pris d’un doute ; certes la couronne avait le poids du precieuxmetal initialement mis a disposition de l’orfevre, mais comment s’assurer que ce dernier n’avait pas remplace unecertaine quantite d’or par une quantite equivalente, en masse, d’argent — s’enrichissant ainsi frauduleusementsur le dos de son souverain ? Le roi demanda a son ami et fidele conseiller, Archimede, de resoudre son dilemne.Archimede se mit anxieusement mais passionement a la tache... C’est en prenant son bain que l’idee lui vint dela facon dont il fallait proceder, ce qui lui arracha son fameux “Eureka !” — apres l’avoir arrache de son bainet jete nu dans la rue. Archimede devint l’un des hommes les plus celebre de l’Histoire. L’orfevre quant a luiconnut un tout autre sort. Il fut decapite.

Fig. 2 – Buste d’Archimede.

1) Montrer qu’en effet le Principe d’Archimede permet en theorie de resoudre le probleme.

2) On donne les masses volumiques de l’or et de l’argent respectivement : ρAu = 19.3 kg.dm−3, ρAg = 10.5kg.dm−3. En supposant que l’orfevre ait derobe au plus 40 % du precieux metal, determiner l’effet produitsi l’experience etait faite avec de l’eau, et pour une couronne pesant M = 5 kg.

3) L’effet est-il decelable ?

g

5.5 Barrage-poids

On va chercher a etablir dans cet exercice les conditions d’equilibre d’un barrage poids.

1) On considere d’abord un barrage dont la section transverse est un triangle rectangle (Figure 3 droite). Onnote L la longueur du barrage d’un bord a l’autre de la falaise, h sa hauteur, et l la largeur a sa base. Lebeton constituant le barrage a une densite d = 2.2. On note ρ0 la masse volumique de l’eau. On se placedans une situation dans laquelle le lac de retenue est plein (hauteur d’eau h).

a) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le barrage. A quelle condition le barrage ne glisse-t-il pasvers l’aval sous la pression de l’eau ?

b) Quel est l’effet global de la pression atmospherique ? (on la negligera dans la suite.)

c) Calculer la resultante des forces pressantes sur la face amont du barrage.

d) Repertorier tous les moments de forces susceptibles de faire basculer le barrage autour du point O, ainsique ceux qui le stabilisent.

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Fig. 3 – Barrage-poids dans le Cantal (a gauche) et sa section transverse a droite.

e) En fait il peut apparaıtre des forces de sous-pression sur la base du barrage, notamment si l’eau parvienta s’infiltrer dans une roche permeable. On suppose que la reaction normale du sol par unite de surfacesur la base du barrage varie alors lineairement avec x :

δ ~F = (a+ b x) d~S x = 0 en O; x = l en A

En ecrivant la condition d’equilibre statique du barrage sur les forces et les moments, determiner a etb.

f) Que se passe-t-il lorsque d > (h/l)2 ? Discuter du rapport (h/l) optimal selon la densite d du beton.

Fig. 4 – Section de barrage triangulaire.

2) On desire a present optimiser la forme du barrage, la section triangulaire pouvant ne pas necessairementetre a angle droit (Figure 4).

a) En discutant des moments stabilisants et destabilisants du probleme, determiner qualitativement sil’existence d’un parement vertical est une forme optimale pour un barrage poids.

b) Determiner par le calcul la forme optimale.

c) En admettant, soit que la sous-pression agissant sur la base horizontale du barrage soit nulle, soit qu’ellevarie lineairement le long de cette face depuis la pression maximale jusqu’a zero, calculer les pentes desparements et le poids du barrage par metre courant pour ce trace optimal.

14

5.6 Poussee d’Archimede a deux fluides

On considere un solide S maintenu a la surface de separation entre deux fluides incompressibles, non miscibles,de masses volumiques respectives ρ1 et ρ2.

1) Preliminaire : montrer que si s(M) est une fonction scalaire continue a derivees continues, alors on a,d’apres la formule d’Ostrogradski, l’egalite suivante :

©∫∫

Σ

s(M)~nδS =∫∫∫

V

(−−→grad s(M)

)δτ.

2) Determiner la resultante des forces s’exercant sur S, les seules forces volumiques prises en compte etantcelles de pesanteur.

3) Meme question pour le moment des forces de pression en un point O. On rappelle que :

©∫∫

Σ

~nδS ∧ ~V (M) =∫∫∫

V

−→rot

(~V (M)

)δτ

4) Conclure. Appliquer les resultats precedents a un corps flottant sur l’eau.

5.7 Archimede en referentiel tournant

Dans un referentiel R un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ est en rotation uniforme a lavitesse angulaire ~ω0 autour d’un axe vertical porte par z.

1) Determiner les actions (resultantes, moments resultants) du fluide sur un corps totalement immerge et aurepos par rapport a lui.

2) Ecrire ce que deviennent ces actions dans le cas d’un corps homogene de masse volumique ρ′.

3) Etudier la possibilite d’equilibre relatif d’un corps solide homogene flottant a la surface du fluide tournant.

15

6 — Ecoulements potentiels

6.1 Ecoulements 2D-2C

Dans un fluide incompressible, on considere un ecoulement stationnaire, dont le champ de vitesse ~v estirrotationnel. Le mouvement est suppose bidimensionnel :

~v = vx(x, y)ex + vy(x, y)ey.

1) Montrer que le champ de vitesse derive d’un potentiel φ : ~v =−−→gradφ, mais qu’il derive aussi d’un potentiel-

vecteur ~A : ~v =−→rot ~A. Montrer que dans le cas particulier considere, le potentiel-vecteur ~A peut se mettre

sous la forme :~A = ψ(x, y)~ez.

(La fonction ψ est appelee fonction de courant de l’ecoulement.)2) Etablir les relations de Cauchy-Riemann, qui lient le potentiel de vitesse φ a la fonction courant ψ :

∂ψ

∂y=∂φ

∂x,

∂ψ

∂x= −∂φ

∂y.

3) Montrer que ces relations deviennent, en coordonnees polaires (r, θ) dans le plan (xOy) :

∂ψ

r∂θ=∂φ

∂r,

∂ψ

∂r= − ∂φ

r∂θ.

4) Montrer que φ et ψ satisfont toutes deux a une equation de Laplace. (φ et ψ sont dites fonctionsharmoniques conjuguees.)

5) Rappeler la definition d’une ligne de courant. Etablir que les courbes d’altitude z constante sur lesquellesla fonction de courant ψ est constante s’identifient en fait aux lignes de courant.

6.2 Potentiels complexes d’ecoulements simples

Tracer les lignes de courant ψ=Cste et les equipotentielles φ =Cste des ecoulements bidimensionnels decritspar les potentiels complexes f = φ+ iψ suivants, et conclure sur la nature de ces ecoulements.

1) f(z) = V z.2) f(z) = C ln z, ou C est constante reelle.3) f(z) = iC ln z, ou C est constante reelle.4) f(z) = az2/2.

5) f(z) = V

(z + a2

z

).

6) f(z) = C ln(z − εz + ε

).

7) f(z) = V

(z + a2

z

)− iC ln za .

6.3 Combinaison d’ecoulements simples

On etudie dans le plan complexe z = x+ iy le potentiel complexe :

f(z) = φ+ iψ = V z +qv2π

ln z.

1) On peut considerer l’ecoulement qu’elle represente comme la superposition de deux ecoulements simples.Quels sont-ils ?

2) Que represente la ligne de courant particuliere :

ψ =qv2

?

(On trouvera en particulier une ligne en forme de U s’etendant jusqu’a l’infini.)3) Montrer qu’en remplacant cette ligne par une paroi solide de meme forme, l’ecoulement irrotationnel ne

serait pas modifie.

16

6.4 Lignes de courant au voisinage d’un coin

On veut determiner les caracteristiques de l’ecoulement potentiel d’un fluide autour de l’angle α forme parl’intersection de deux plans (au voisinage du sommet de l’angle). On se placera dans un systeme de coordonneespolaires (r, θ) dans le plan de la section droite orthogonal a l’arete du diedre avec le pole au sommet (voir Figure1). L’angle θ est compte a partir de l’une des droites formant l’angle du diedre.

Fig. 1 – Ecoulement au voisinage d’un coin.

1) Representer sur la Figure 1 l’allure des lignes de courant a laquelle vous vous attendez dans les deux casou l’angle est aigu ou obtu.

2) Montrer que le potentiel de vitesse φ est solution d’une equation de Laplace ∆φ = 0. Verifier que lepotentiel :

φ(r, θ) = Arn cosnθ

est bien solution de cette equation en coordonnees polaires.

3) Montrer qu’il faut imposer la condition ∂φ∂θ

= 0 pour θ = 0 et α. Quelle condition cela implique-t-il surn ?

4) En deduire la fonction de courant ψ(r, θ) de l’ecoulement. Representer les lignes de courant au voisinagedu coin, et comparer a la representation que vous en aviez faite a la question 1.

6.5 Ecoulement au voisinage d’un point d’arret

L’ecoulement au voisinage d’un point d’arret est donne par la fonction complexe :

f(z) =a

2z2.

1) Tracer les lignes de courant et les equipotentielles.

2) Quelles sont les composantes de la vitesse au point M de coordonnees :

x = 3 cm y = 0.2 cm

en admettant pour la constante la valeur 1a = 1

5 seconde ?

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7 — Dynamique de fluides parfaits

7.1 Mouvement irrotationnel instationnaire autour d’un cylindre

1) On considere l’ecoulement bidimensionnel d’un fluide parfait incompressible et homogene, de masse volu-mique ρ, autour d’un cylindre immobile de rayon a et d’axe (Oz) perpendiculaire a l’ecoulement principal(Figure 2). A grande distance du cylindre, la vitesse du fluide est uniforme mais depend du temps :~u = u(t)x. L’ecoulement est irrotationnel de potentiel φ(~r, t). Les effets de la pesanteur sont negligeables.

Fig. 2 – Ecoulement irrotationnel autour d’un cylindre.

a) Montrer que φ satisfait a l’equation de Laplace ∆φ = 0.

b) Etablir la forme que prend l’equation de Bernoulli dans le cas instationnaire. Montrer qu’on peutl’ecrire sous la forme :

ρ∂φ

∂t+ P + ρ

v2

2= F (t).

c) Une solution de l’equation de Laplace s’ecrit :

A(t)r cos θ +B(t) ln( ra

)+D(t)

cos θr

,

ou (r, θ) sont les coordonnees polaires par rapport a l’axe de reference Ox. Donner les composantes duchamp de vitesse en coordonnees polaires. Quelles doivent etre les valeurs prises par A, B, et D ?

d) Determiner la pression exercee par le fluide sur la surface du cylindre. En deduire la resultante, parunite de longueur, des forces de pression. Que se passe-t-il si du

dt= 0?

2) Un vent de vitesse uniforme a l’infini V souffle horizontalement dans la direction Ox sur une chemineecylindrique verticale de section circulaire, d’axe perpendiculaire a Ox, et de diametre 2a = 4 m (Fig.). Lavitesse du vent etant modifiee dans le voisinage de la cheminee, a quelle distance horizontale de celle-cidoit-on se placer sur Ox en amont du cylindre ou sur la direction perpendiculaire Oy pour que la valeurde cette modification ne depasse pas 1 % ?

7.2 Ecoulement a symetrie de revolution

On considere, dans un fluide parfait, homogene et incompressible, un ecoulement irrotationnel a symetriede revolution, tel que le champ de vitesse soit dans le plan meridien. On utilisera les coordonnees cylindriques(coordonnees (r, θ, z)), dont l’axe Oz est l’axe de revolution de l’ecoulement. Le champ de vitesse derive d’unpotentiel φ.

1) Montrer que le champ de vitesse se met sous la forme :

~v =−→rot

(ψ(r, z)r

~eθ

).

ou ψ(r, z) est la fonction de courant de l’ecoulement de revolution.

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2) Montrer que ψ est constante sur une ligne de courant.

3) Soient deux lignes de courant voisines, dans un meme plan meridien, correspondant a des valeurs ψ etψ+ dψ de la fonction de courant. Soit ~δl un vecteur elementaire dans le plan meridien, allant de l’une deslignes de courant a l’autre. La rotation de ~δl autour de l’axe de revolution engendre une surface annulaired’aire δS, et de normale ~n. Montrer que le debit volumique δDv de fluide traversant la surface d’aireδS vaut 2πdψ. En deduire la valeur du debit volumique circulant dans le tube de courant, limite par lessurfaces ψ = ψ1 et ψ = ψ2.

4) On considere une sphere de centre O et de rayon R, possedant un mouvement de translation rectiligne,de vitesse ~v0 = v0~ez dans le fluide, ce dernier etant immobile a grande distance de la sphere. On admetque le potentiel φ du champ de vitesse est de la forme :

φ =~A · ~rr3

,

ou ~A est un vecteur qui ne depend, eventuellement, que du temps, et ou ~r = ~OM (potentiel dipolaire).

a) Determiner l’expression vectorielle du champ de vitesse du fluide.

b) Quelle sont les conditions aux limites pour le champ de vitesse sur la sphere ?

c) En deduire l’expression du vecteur ~A.

d) Evaluer les composantes vr(r, z) et vz(r, z) du champ de vitesse en coordonnees cylindriques.

e) Determiner la fonction de courant ψ(r, z). Que vaut-elle lorsque r →∞ ?

f) Representer graphiquement les lignes de courant au voisinage de la sphere.

g) Utiliser la fonction ψ pour evaluer le debit volumique du fluide traversant le plan diametral xOy, a uninstant donne. Retrouver ce debit par un calcul direct, a l’aide du champ de vitesse.

7.3 Regime non stationnaire

Un fluide dans l’etat de repos occupe toute la region des z negatifs (z′z est un axe vertical ascendant). Lapropagation d’une onde de gravitation engendre un mouvement du fluide caracterise par le champ de vitessesuivant : vx(x, y, z, t) = aωekz cos(ωt− kx)

vy(x, y, z, t) = 0vz(x, y, z, t) = −aωekz sin(ωt− kx)

On supposera ka 1.

1) Que signifie cette approximation ?

2) Montrer que le fluide se comporte comme un fluide incompressible.

3) Determiner l’equation des lignes de courant. En donner l’allure graphique.

4) Caracteriser les trajectoires des particules fluides.

5) Representer sur un meme schema les positions occupees par des particules dont les coordonnees au reposseraient :

z = z0 et x = x0 = nλ

8avec 0 ≤ n ≤ 4,

ou λ est la longueur d’onde. On effectuera le calcul pour λ = 80 cm et a = 0, 5 m.

7.4 Ecoulement autour d’un tube de Pitot

Dans ce probleme, nous allons determiner le profil d’un tube de Pitot optimal pour la mesure de la pressionstatique dans un fluide. L’ecoulement est suppose stationnaire, irrotationnel, et de revolution autour d’un axelongitudinal Oz (perpendiculaire au champ de pesanteur). Le fluide est suppose parfait et incompressible, demasse volumique ρ. Pour ce type d’ecoulement, le potentiel des vitesses d’un ecoulement uniforme (de vitesseV0) et le potentiel des vitesses d’une source s’ecrivent respectivement, en coordonnees cylindriques `, θ, z :

φ1 = V0 z φ2 = −D

4π(`2 + z2

)−1/2,

19

avec D positif. Si ψ designe la fonction courant de l’ecoulement, les relations liant ψ et φ sont :

∂φ

∂z=

1`

∂ψ

∂`;

∂φ

∂`= −1

`

∂ψ

∂z.

1) Donner les expressions du potentiel des vitesses φ et de la fonction de courant ψ resultant de la super-position de l’ecoulement uniforme et de la source. On exprimera φ et ψ en fonction de ` et z, puis encoordonnees spheriques en fonction de r et ϕ, avec :

z = r cosϕ, ` = r sinϕ.

2) Il existe dans le plan meridien (defini par les vecteurs ~e` et ~ez) une ligne de courant symetrique parrapport a ~ez d’extension infinie vers l’aval et delimitant le plan en deux parties. Cette ligne de courant estobtenue en donnant a ψ la valeur D/(4π). Donner l’equation de cette ligne de courant dans le systeme de

coordonnees r, ϕ. On posera R =√

D4πV0

.

3) Tracer l’allure de cette ligne de courant. La surface de courant engendree par rotation autour de ~ez donnel’allure du fuselage d’un tube de Pitot. Calculer le diametre de ce tube a l’infini aval.

4) On materialise la surface de courant precedente et on calcule la repartition des vitesses sur le fuselageobtenu. Exprimer alors le module U de la vitesse sur le fuselage en fonction de r, ϕ.

5) Determiner le point de vitesse nulle et les points de vitesse V0.

6) Calculer le coefficient de pression :

Cp =p− p0

12ρV 2

0

,

ou p est la pression en un point du fuselage, et p0 et V0 sont respectivement la pression et la vitesse al’infini. Donner l’allure de la variation de Cp en fonction de z.

7) En fonction des resultats precedents, donner des indications sur la position souhaitable de la prise depression statique pour une mesure precise de la vitesse V0 a l’infini.

7.5 Effet Magnus

Un cylindre de rayon R et de longueur infinie est place dans un fluide en mouvement. L’ecoulement bi-dimensionnel est stationnaire ; sa vitesse asymptotique ~U est uniforme et perpendiculaire a l’axe du cylindre.On suppose que le fluide est non visqueux, que le module de ~U est suffisamment petit pour qu’il puisse etreconsidere comme incompressible. On suppose egalement qu’aucune force exterieure n’agit sur le systeme.

1) Que peut-on dire de la circulation du champ de vitesse :

a) Sur un circuit ferme n’entourant pas le cylindre ? (En deduire que le rotationnel du champ de vitesseest partout nul dans le fluide).

b) Sur un circuit ferme entourant le cylindre ?

c) Sur deux circuits fermes entourant le cylindre ?

2) Rappeler les equations differentielles satisfaites par le champ de vitesse et la pression.

3) Quelles sont les conditions aux limites imposees au champ de vitesse ?

a) Montrer qu’on peut definir un “potentiel des vitesses” Φ tel que ~u =−−→gradΦ

b) Quelles sont les equations aux derivees partielles satisfaites par le potentiel de vitesse Φ et la pression ?

4) Soit K le referentiel d’inertie dont l’axe Oz est confondu avec l’axe du cylindre et dont l’axe Ox est orienteselon ~U . On cherche, dans ce referentiel, des solutions pour Φ qui, en coordonnees cylindriques, soient avariables separees.

20

a) Montrer que les fonctions :

Φ0(r, θ) = (a0 ln(r) + b0) (c0 θ + d0) (1)

et

Φn(r, θ) =(an r

n +bnrn

)cos(n θ + ψn) n entier (2)

sont solutions de l’equation de Φ. Existe-t-il d’autres solutions a variables separees ?

b) Quelles sont les restrictions imposees par la valeur asymptotique de ~u(r, θ) a la solution generale obtenuepar combinaison lineaire de ces fonctions ?

c) Quelles sont celles imposees par les conditions aux limites sur la surface du cylindre ?

d) Quelles sont celles imposees par la continuite du champ de vitesse ?

e) Deduire de ces resultats la solution la plus generale (notee Φp dans ce qui suit) que l’on puisse construireavec les fonctions ci–dessus.

5) L’air est en fait faiblement visqueux, mais on suppose que cette viscosite est suffisamment petite pour queses effets ne soient notables que dans le “voisinage immediat” du cylindre. On espere donc pouvoir decrireapproximativement la solution de l’equation de Navier–Stokes avec le champ de vitesse deduit de Φp.

a) Pour un cylindre tournant sur lui meme avec une vitesse angulaire Ω quelle serait la circulation C duchamp de vitesse sur un cercle coaxial au cylindre et tres voisin de celui-ci ?

b) Le champ de vitesse deduit de Φp et ayant cette circulation satisfait-il, sur le cylindre, aux conditionsaux limites imposees par une viscosite non nulle ?

6) Malgre ses imperfections on prend comme solution approchee le champ de vitesse :

ur(r, θ) = U

(1− R2

r2

)cos(θ)

uθ(r, θ) = R2 Ωr − U

(1 + R2

r2

)sin(θ)

(3)

Calculer la pression en chaque points du cylindre et en deduire la force par unite de longueur que le fluideexerce sur celui–ci. Quelle propriete remarquable cette force possede–t–elle ? Est–ce vraisemblable ?

7) Etude grossiere des lignes de courant.

8) Determiner, pour Ω = 0, les points de vitesse nulle a la surface du cylindre et tracer la ligne de courantpassant par ces points. Tracer l’allure des autres lignes de courant.

9) Determiner dans le cas general les points de vitesse nulle, et la valeur Ω0 de Ω pour laquelle ces deuxpoints sont confondus. Que se passe–t–il pour Ω > Ω0.

10) Tracer l’allure des lignes de courant pour : Ω < Ω0, Ω = Ω0 et Ω > Ω0.

21

8 — Ecoulements de Bernoulli

8.1 De la signification physique de l’equation de Bernoulli

1) Montrer que le theoreme de Bernoulli ecrit sous la forme :

p

ρ+ gz +

v2

2= Cte

est une forme particuliere du theoreme de la conservation de l’energie, ou l’on detaillera la nature dechacun des termes.

2) Donner une interpretation en termes de pression du theoreme de Bernoulli ecrit sous la forme :

p+ ρgz + ρv2

2= Cte.

3) Donner une interpretation graphique du theoreme de Bernoulli ecrit dans une forme homogene a unehauteur :

p

ρg+ z +

v2

2g= Cte.

4) Pour des vitesses v du fluide inferieures a environ 0.3 fois la vitesse du son dans le fluide, on peut admettreavec une bonne approximation que le fluide est incompressible. La masse volumique ρ peut alors etre priseconstante, et introduite dans la constante du terme de droite. Dans le cas ou le terme ρgz est petit devantles deux autres, il reste :

p+ ρv2

2= Cte.

Que se passe-t-il lorsque la vitesse v du fluide augmente ? Proposer une experience simple qui permet demettre en evidence ce phenomene.

Fig. 1 – Daniel Bernoulli et Leonhard Euler.

8.2 Etude d’un jet d’eau

On considere le jet d’eau monumental qui orne les bords du lac Leman, a Geneve. Son diametre initial estde 107 mm, et il s’eleve verticalement a une hauteur de 156 m.

1) En negligeant les pertes par frottements dans l’air, calculer la pression, le debit, et la puissance hydrauliquenecessaire pour alimenter le jet.

22

2) Pour le jet reel, la pression, le debit, et la puissance sont bien ceux calcules precedemment, mais la hauteurdu jet n’est que de 130 m. En deduire le rendement energetique du jet, et donner une interpretation a ladifference de hauteur observee.

3) La puissance hydraulique est fournie par des groupes dont la puissance consommee est 1020 kW. Calculerle rendement de la pompe.

8.3 Vidange d’un reservoir

1) On considere un reservoir cylindrique d’eau (fluide suppose parfait et incompressible), de section S, ou leniveau initial de l’eau est h0. On ouvre une vanne de section s (s S) au bas du reservoir.

a) Montrer que l’ecoulement est potentiel.

b) En supposant l’ecoulement quasi-stationnaire, determiner comment varie la vitesse V (t) de l’ecoulementen sortie de vanne en fonction de la hauteur d’eau h(t). En deduire que la vidange ne s’effectue pas avitesse constante.

c) En deduire l’equation differentielle verfiee par h(t). La resoudre, et en deduire le temps que mettra lereservoir pour se vider.

d) Montrer a posteriori que les termes de derivees temporelles sont bien negligeables.

2) On ajoute maintenant au bas du reservoir un conduit horizontal rectiligne de longueur l, et de section trespetite par rapport a celle du reservoir. Celui-ci est rempli a une hauteur h0 dont on negligera les variationsau cours du temps. Le fluide est au repos initialement. A t = 0, la vanne (V) est ouverte.

a) Donner l’equation du mouvement dans le tuyau. En supposant la pression dans le jet de sortie egalea la pression atmospherique, donner puis resoudre l’equation differentielle verifiee par la vitesse a lasortie de la conduite. On posera v∞ =

√2gh0.

b) La distribution d’eau en ville se fait sous une pression de 6 bars. Si la longueur du tuyau de connexionau reseau principal du robinet est de 10 m, quelle est la duree du transitoire lorsque le robinet estouvert ?

8.4 Vase a Mariotte

Un vase a Mariotte permet de vidanger un reservoir avec un debit constant, a la difference des reservoirshabituels. Le vase, contenant de l’eau, est raccorde, comme l’indique la Figure 2, a un tube vertical de longueurL. La pression atmospherique sera prise egale a p0 = 1, 013 bar, et la tension de vapeur d’eau vaut f = 13millibars. La constante de pesanteur sera prise egale a g = 10 m.s−2.

Fig. 2 – Principe d’un vase a Mariotte.

23

1) Exprimer la vitesse de sortie V de l’eau en A en fonction de L. Montrer qu’elle est constante, tant que leniveau de l’eau est au-dessus de l’orifice O (on negligera la perte de charge dans le tube d’alimentation enair).

2) Sachant que dans l’ecoulement, la vitesse maximale est atteinte en un point M de la zone de raccordement,et qu’elle vaut 1.4V , quelle longueur peut-on donner au tube pour qu’il n’y ait pas cavitation (c’est-a-direapparition de bulles ou de poches de vapeur d’eau) ?

3) Quelle est alors la vitesse V d’ecoulement maximale ?

8.5 Reaction d’une lance d’incendie

L’embout d’une lance d’incendie a 3 cm de diametre interieur ; il est visse a un tube cylindrique de 8 cm dediametre interieur. Quand l’embout est ouvert, la lance debite 40 litres d’eau par seconde. Determiner :

1) La pression totale pt1 sous laquelle elle fonctionne ;2) La resultante des forces a laquelle doit resister le pas de vis :

a) quand l’embout est ouvert ;b) quand l’embout est ferme (en supposant que pt1 n’a pas change).

8.6 Coup de Belier

On appelle coup de belier les variations de pression provoquees par la modification brusque du regimed’ecoulement dans une conduite. Supposons d’abord que la conduite soit courte. Il se produit, pendant la dureede manœuvre du vannage, un nombre important d’allers-retours d’ondes, et tout se passe comme si les variationsde debit se transmettaient instantanement. C’est le domaine du coup de belier en masse. On se propose d’etudierce phenomene en utilisant le theoreme de Bernoulli pour un fluide en mouvement non permanent. On supposeque pendant la fermeture de la vanne, la vitesse moyenne de l’ecoulement decroıt lineairement avec le temps :

c = cm

(1− t

T

)1) Etablir la relation de Bernoulli pour un ecoulement non permanent.2) En considerant ce que serait la pression le long du tuyau en regime permanent, montrer que la surpression

creee en A par la fermeture de la vanne s’ecrit :

∆pρg

= h− c2

2g− 1g

dc

dts.

3) En remplacant la vitesse par son expression, montrer que la surpression se reduit a la somme de deuxtermes :

∆pρg

=∆p1

ρg+

∆p2

ρg,

ou le premier terme represente l’action normale due a la diminution de la pression dynamique, et le secondterme l’action des forces d’inertie.

4) Determiner l’expression de la valeur maximale de surpression a l’extremite du tuyau, et montrer qu’ellevaut :

∆p2 =ρlcmT

.

8.7 Ecoulement potentiel d’un fluide incompressible

Nous allons etablir un resultat important sur l’effet d’un corps solide sur l’ecoulement potentiel d’un fluideparfait incompressible, en regime permanent ou pas.

1) Montrer que le theoreme de Bernoulli, pour l’ecoulement potentiel (de potentiel φ) d’un fluide incom-pressible en regime non permanent, peut se mettre sous la forme :

∂φ

∂t+v2

2+p

ρ+ gz = f(t).

2) En deduire que l’etat de l’ecoulement a un instant donne ne depend que de la vitesse du solide, et pas deson acceleration.

24

8.8 Tubes de Pitot et de Venturi

Les tubes de Pitot et de Venturi sont representes sur les Figures 3 et 4 respectivement.

Fig. 3 – Tubes de Pitot (a gauche), et leur principe a droite.

Fig. 4 – Un tube de Venturi (image de gauche), et son principe a droite.

1) Un tube de Pitot est forme d’un corps cylindrique allonge de faible section, dont la partie avant estspherique. Grace a sa forme, le tube perturbe peu la distribution des vitesses dans le courant, et l’on peutdonc considerer le fluide parfait (non visqueux).Pour mesurer la vitesse, on introduit le tube dans le fluide parallelement aux lignes de courant. Le pointde stagnation (1) est un point critique ou la vitesse est nulle et la pression vaut P1 (pression d’arret).Au point statique (2), la vitesse v2 et la pression P2 sont approximativement egales a la vitesse v et lapression P dans le courant en l’absence du tube.Calculer la vitesse v en fonction de la denivellation ∆h entre les deux niveau d’eau.

2) Un tube de Venturi, schematise sur la Figure , est utilise pour mesurer le debit de fluide dans un conduit.Ecrire la relation entre la pression P et la vitesse v aux points 1 et 2 — en negligeant la viscosite. Endeduire le debit massique comme une fonction de P1 − P2.

25

9 — Dynamique des gaz

9.1 Ecoulement barotrope d’un gaz compressible

1) Lorsque l’ecoulement considere est barotrope, la masse volumique ρ en un point ~r ne depend que de lapression P en ce point. Les surfaces isobares et iso-densite (isosteres) sont alors confondues. Montrer quedans ce cas, le terme de pression (−

−−→gradP )/ρ derive d’un potentiel (on peut par exemple montrer la

nullite de son rotationnel). Expliciter le potentiel en question.2) Rappeler l’equation d’Euler pour un fluide parfait. En deduire la generalisation du theoreme de Ber-

noulli stationnaire au cas d’ecoulements compressibles barotropes.3) En ecrivant le premier principe de la thermodynamique pour l’enthalpie massique h, et en considerant

le gaz parfait subissant une transformation isentropique (a entropie constante et uniforme), montrer quel’on a :

h =γ

γ − 1P

ρ+ Cste.

Dans l’expression precedente, γ est l’indice d’adiabaticite defini par le rapport cp/cv des chaleurs specifiquesa pression constante et a volume constant. Quelle est la valeur de γ pour l’air (considere ici comme ungaz parfait diatomique) ?

4) En deduire que le long d’une ligne de courant (ou de vorticite, notion a definir), l’enthalpie massique totale

htot =γ

γ − 1P

ρ+v2

2+ gz

est une constante pour les ecoulements barotropes.5) Un reservoir rempli d’air dans lequel regne une pression P1 = 1.5 ·105 Pa est initialement a l’equilibre ther-

modynamique a la temperature T1 = 300 oK. On perfore le recipient d’une mince ouverture. A l’exterieur,la pression atmospherique est P2 = 105 Pa. En supposant l’ecoulement suffisamment rapide pour etreadiabatique et en negligeant la viscosite de l’air, calculer la vitesse moyenne d’expulsion du jet. Pourquoiest-il legitime de negliger la force de pesanteur dans le cas present ?

9.2 Mouvement d’un liquide autour d’une bulle d’air

L’air a l’interieur de la bulle est considere comme un gaz parfait. On suppose le mouvement du liquide radial :~v = v(r, t)er.

1) Un gaz parfait est-il automatiquement un liquide parfait ?2) Montrer que l’ecoulement du liquide est potentiel.3) Donner l’expression de v(r, t) en fonction du rayon de la bulle R(t).4) L’air contenu dans la bulle subit une transformation isentropique lorsque le rayon de la bulle varie. Donner

l’expression de la pression a l’interieur de la bulle en fonction du rayon. (On rappelle que l’equation d’etatd’un gaz parfait subissant une telle transformation se reduit a PV γ =Cste.)

5) Donner l’equation d’evolution de R(t) (on appellera P0 la valeur de la pression a l’infini et R0 le rayon dela bulle lorsque p = P0).

6) On suppose que le rayon de la bulle oscille legerement autour de la valeur d’equilibre R0. Donner l’expres-sion de R(t). Quelle est la frequence f de ces (petites) oscillations ?

7) Application numerique : on calculera f pour R0 = 1 mm et R0 = 5 mm, γair = 1.4, ρeau = 1000 kg.m−3,P0 = 105 Pa.

9.3 Pression atmospherique

1) Quelques ordres de grandeur.

a) De quoi resulte la pression atmospherique P0 au niveau de la mer ?b) Que vaut-elle dans les conditions normales ?c) Estimer la force de pression qu’exerce sur un homme l’air environnant. Quelle masse equivalente cette

force representerait-il sur nos epaules ?

26

d) Comment expliquer que notre corps n’implose pas sous l’effet de cette pression ?

2) On s’interesse a present a l’equilibre d’un fluide au repos dans un champ de gravitation. On note φ lepotentiel gravitationnel duquel derive la pesanteur ~g :

~g = −−−→gradφ.

a) Etablir l’equation de la statique du fluide.

b) En deduire que−−→grad ρ×

−−→gradP = ~0.

Quelles sont les consequences en ce qui concerne les surfaces isochores (definies par ρ =Cste) et isobares ?

c) En integrant l’equation de la statique du fluide (dans le cas general ou ρ peut dependre de l’altitude),determiner la relation (integrale) entre les isobares et les equipotetielles.

d) En deduire que la pression ne depend que de l’altitude z si la masse volumique ρ du fluide et la pesanteurg sont uniformes. Ces conditions sont-elles plausibles pour l’atmosphere d’une planete ?

3) Dans le cas d’une atmosphere isotherme (consideree comme un gaz parfait), montrer que la courbe depression P (z) en fonction de l’altitude z s’ecrit :

P (z) = P0e−z/z0 .

Comment varie l’etendue d’une telle atmosphere avec la temperature ?

4) On considere maintenant le cas d’une atmosphere isenthropique (a entropie uniforme).

a) Montrer que le premier principe de la thermodynamique exprime avec l’enthalpie h s’ecrit dans ce cas :

dh = dP/ρ.

b) En deduire que le gradient d’enthalpie−−→gradh est constant. Que vaut cette constante ?

c) Ecrire la relation entre l’enthalpie h et la temperature T pour un gaz parfait, et en deduire que legradient de temperature est lui aussi constant.

d) En deduire qu’une atmosphere isentropique est en fait aussi une atmosphere adiabatique.

e) Montrer alors que dans un champ de pesanteur uniforme (~g = −gz), le champ de temperature varielineairement avec l’altitude z.

f) En considerant l’equation d’etat pour un gaz parfait adiabatique P 1−γT γ =Cste, etablir la loi devariation de la pression avec l’altitude :

P (z) = P0

(1− z

z0

) γγ − 1

,

ou z0 est une echelle caracteristique de hauteur que l’on determinera.

g) En deduire la loi de variation de la masse volumique ρ avec l’altitude z.

27

10 — Fluides visqueux

10.1 Ecoulement de Poiseuille

On s’interesse ici a l’ecoulement le plus simple (cas academique) : l’ecoulement permanent d’un fluide vis-queux dans une conduite cylindrique de tres grande longueur. La vitesse n’a alors qu’une seule composante (lelong de l’axe de la conduite, qu’on identifiera avec l’axe Oz). On suppose aussi que l’ecoulement est a symetrieaxiale (pas de dependance vis-a-vis de la variable angulaire θ) :

~v = v(r, z)ez.

1) Montrer que dans les conditions evoquees, si le fluide est incompressible, alors (~v · ∇)~v = 0.2) En deduire que la vitesse ne depend en fait que de la variable radiale r, et que l’equation de Navier-

Stokes se reduit a l’equation de Stokes (en negligeant les effets de la pesanteur dans la conduite) :

−∇p+ µ∆~v = ~0.

3) En projetant cette equation sur er, montrer que la pression est independante de r.4) Par projection sur ez, deduire que le gradient de pression Gp est necessairement une constante.5) En integrant l’equation differientielle de la vitesse, et en choisissant des conditions aux limites adequates,

montrer que le profil de vitesse est parabolique. C’est l’ecoulement de Poiseuille.6) Comment le profil de vitesse depend-il du gradient de pression Gp ? En deduire si l’ecoulement s’effectue

des hautes vers les basses pressions.

10.2 Oscillations dans un fluide visqueux

On considere un fluide visqueux incompressible en contact avec une plaque plane illimitee animee, dans sonplan, d’un mouvement oscillatoire. On demande d’etudier le mouvement induit dans le fluide en presence d’unchamp de gravite vertical, perpendiculaire a la plaque.

1) Milieu semi-infini. Le fluide occupe le demi-espace z > 0. Le plan solide horizontal xOy est anime d’unmouvement parallele a l’axe Ox, avec une vitesse algebrique U0 cosωt. On cherchera une solution de laforme ~u = (u(z, t), 0, 0) (et P = P (z)), avec u(z, t) = Re

(u0(z)e−iωt

); u0(z) est une amplitude complexe.

a) Verifier que l’equation de conservation de la masse est satisfaite.b) Determiner a une constante additive pres, la fonction P (z).c) Ecrire l’equation differentielle satisfaite par u0(z). La resoudre avec les conditions aux limites u0(0) = U0

et u0(∞) = 0. On pourra poser k2 = iω/ν et δ =√

2ν/ω. Quelle est la signification physique duparametre δ ? Estimer sa valeur numerique pour une frequence de 100 Hz, dans une huile de viscositecinematique ν = 10−1 m2/s. Voyez-vous une analogie entre le probleme considere ici et un phenomeneconcernant un courant electrique de haute frequence dans un milieu conducteur ?

d) Determiner la force visqueuse ~f(t) par unite d’aire que la plaque mobile exerce sur le fluide. Determineregalement la puissance moyenne par unite d’aire fournie par la plaque au fluide.

e) Montrer que la puissance dissipee par les forces de viscosite dans un element de volume V s’ecrit, dansle cas present :

P = ρν

∫V

(∂u

∂z

)2

dv.

En deduire la puissance moyenne par unite d’aire dissipee dans le fluide par les forces de viscosite.Conclusion ?

2) Epaisseur finie. On suppose maintenant que le fluide occupe seulement une hauteur h au-dessus du planxOy. La surface libre, sur laquelle ne s’exerce aucune force, demeure plane et constitue le plan z = h. Lavitesse de la plaque xOy est encore U0 cosωt, selon l’axe Ox.

a) Quelles sont les conditions aux limites en z = 0 et z = h ? Determiner l’amplitude complexe u0(z).Determiner l’amplitude complexe f0 de la force par unite d’aire que la plaque exerce sur le fluide.

b) Dans le cas limite h → ∞ donner l’expression de la force reelle f(t) correspondante et verifier quel’on retrouve le resultat de la partie precedente. Lorsque h δ, donner l’expression explicite de laforce reelle f(t) et expliquer la signification physique du resultat. Quelle peut-etre l’application d’un telmontage ?

28

10.3 Ecoulement de Poiseuille et gradient de pression oscillant

Soit un fluide visqueux, illimite dans les directions Ox et Oz, incompressible et de densite ρ. On notera µsa viscosite dynamique, ν = µ/ρ sa viscosite cinematique, P la pression et (u, v, w) les composantes du champde vitesse sur les axes Ox, Oy et Oz. On supposera que l’action de la pesanteur est negligeable. On se proposed’etudier des ecoulements dans le plan xOy, invariants par translation selon Oz et dont les lignes de courantsont paralleles a Ox.

1) Donner la forme du champ des vitesses qui decoule des hypotheses de travail dans lesquelles on se place.(On utilisera avec profit la conservation de la masse.)

2) Montrer que l’equation de Navier-Stokes permet alors d’etablir que la pression P ne depend que de xet t et qu’ainsi l’equation du mouvement se decouple et peut se mettre sous la forme :

∂P

∂x= G(t) et µ

∂2u

∂y2 − ρ∂u

∂t= G(t) . (1)

3) On considere desormais une configuration ou le fluide est compris entre deux parois planes immobilessituees en y = ±a et on impose un gradient de pression de la forme G(t) = Re −G0 e

−iωt (attention ausigne). Cette forme de G(t) et les resultats de la question (1) permettent de chercher une solution pourle champ de vitesse sous la forme u(y, t) = Re u0(y) e−iωt ; u0(y) etant une amplitude complexe. Ecrireet resoudre l’equation dont u0 est solution. On pourra poser k = (1− i)/δ avec δ =

√2ν/ω.

4) On se place tout d’abord dans la limite “basse frequence” ou |ka| 1 (c’est a dire a δ). Montrer quel’on retrouve un profil de Poiseuille oscillant en phase avec le gradient de pression.

5) Dans la limite |ka| 1 (c’est a dire a δ), montrer que le profil u0(y) est presque constant, sauf auvoisinage des parois dans une bande (une couche limite) dont on indiquera l’epaisseur. Tracer grossierementl’allure de |u0(y)|. Montrer que le fluide se comporte dans presque tout l’espace comme un fluide parfaitsoumis a la densite volumique de force −G(t). Expliquer ce phenomene par un raisonnement simple portantsur le temps d’etablissement de la couche limite. Retrouver l’ordre de grandeur de l’epaisseur de la couchelimite par un calcul elementaire (on rappelle que la vorticite diffuse en un temps t sur une distance del’ordre de

√νt).

6) Lorsque |ka| 1 on cherche a retrouver le profil de vitesse de maniere approchee. On ecrit d’apres laquestion precedente et dans l’esprit de la couche limite :

u0(y) =iG0

ρω+ v+(y) + v−(y) , (2)

v± n’ayant de valeur notable qu’au voisinage de y = ±a. On impose les conditions limites de maniereapprochee en ecrivant

v±(y = ±a) = − iG0

ρωet v±(y) → 0 lorsque (a− (±)y) δ . (3)

Montrer qu’on obtient

v±(y) = − iG0

ρωexpk(−a± y).

Donner alors la forme de la solution approchee u0(y) ainsi obtenue. Montrer que cette solution peut etreobtenue directement en faisant une approximation simple dans l’expression exacte de u0(y).

29

11 — Couche limite visqueuse

11.1 Ecoulement sur une plaque plane

Soit un fluide newtonien incompressible, de masse volumique ρ et de viscosite dynamique µ, s’ecoulant au-dessus de, et parallelement a, une plaque plane peu epaisse. En amont de la plaque, la vitesse du fluide estuniforme et egale a U . On suppose qu’une couche limite s’etablit au-dessus de la plaque. On souhaıte etudierl’ecoulement stationnaire associe. On se place dans un referentiel cartesien attache a la plaque (0, x, y, z), telque x est dans la direction de l’ecoulement, et y est normal a la plaque.

1) On souhaite ici etablir les equations qui regissent la dynamique du fluide dans la couche limite. Onintroduira la viscosite cinematique ν = µ/ρ.

a) On suppose la plaque de longueur caracteristique L. Determiner le nombre et l’expression des parametressans dimension du probleme. Que faire pour une plaque semi-infinie ?

b) Ecrire les equations de conservation (2D) de la masse et de la quantite de mouvement pour le cas etudie.

c) Evaluer par une analyse dimensionnelle l’epaisseur δ de la couche limite a partir des donnees duprobleme :– En supposant que les termes de l’equation de Navier-Stokes sont du meme ordre de grandeur ;– En remarquant qu’a cette echelle, le temps de diffusion visqueuse d’une particule fluide est comparable

au temps de convection.Montrer ainsi que l’on a :

δ ∼√νL/U.

En deduire comment varie le rapport des longueurs caracteristiques δ/L avec le nombre de ReynoldsRe.

d) Determiner l’echelle de vitesse en y.

e) On note Π l’echelle de pression. Rendre les equations adimensionnelles et montrer que pour Re 1, onpeut negliger le gradient de pression normal a la plaque. Ecrire le jeu d’equations a l’ordre 0 en 1/Re.

f) Ecrire l’equation differentielle sur la pression en dehors de la couche limite.

g) Simplifier les equations pour le cas d’une vitesse uniforme en dehors de la couche limite.

2) On recherche a present la solution auto-similaire de l’ecoulement de couche limite pour une plaque supposeesemi-infinie, avec un ecoulement uniforme en dehors de la couche limite. On s’interesse plus precisementa la fonction courant ψ solution du probleme.

a) Quelles sont les conditions aux limites verifiees par−−→gradψ ?

b) En supposant que la vitesse longitudinale adimensionnee u/U ne soit fonction que de la variable η =y/δ(x) :

u

U= g(η),

montrer que la fonction de courant ψ se met sous la forme ψ = Uδf(η), ou f est une fonction adeterminer a partir de g.

c) A partir de l’equation de conservation de la quantite de mouvement suivant x, etablir l’equation dimen-sionnelle satisfaite par ψ ainsi que les conditions aux limites associees. En deduire une relation entre f ,f ′′ et f ′′′. Definir les conditions aux limites pour f et montrer qu’elles sont en nombre suffisant.

d) Cette equation doit etre integree numeriquement pour donner le profil de Blasius. Que devient le profilde f pour η 1 ? Quelle doit etre la valeur de sa derivee pour η 1 ? Tracer un profil qualitatif def(η).

e) Donner une expression de la contrainte exercee par le fluide sur la plaque.

f) Donner une expression de la composante transverse de la vitesse pour η →∞.

30

11.2 Mesure de la traınee sur une plaque (methode de von Karman)

Une mince plaque plane immobile est placee sous incidence nulle dans un ecoulement de champ de vitesseuniforme ~ve = Uex de nombre de Reynolds Re = UeL/ν 1. L est la dimension longitudinale de la plaqueet ν la viscosite cinematique du fluide incompressible. Il se forme une region de transition d’epaisseur δ(x) presde la plaque, ou le champ de vitesse bidimensionnel se met sous la forme

~V (x, y) = u(x, y)x+ v(x, y)y.

On desire calculer la force de traınee subie par la plaque en utilisant l’equation integrale de von Karman.

1) Equation integrale approchee de von Karman. On donne la forme des equations de Prandtl dans lacouche limite pour x > 0 et 0 ≤ y ≤ δ(x), etablie pour l’ecoulement laminaire permanent d’un fluideincompressible :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= ν

∂2u

∂y2equation du mouvement longitudinale

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 equation de continuite

et les conditions aux limites :

~v(x, y = δ(x)) ' Ue x

~v(x, y = 0) = 0

a) En deduire par continuite la condition aux limites portant sur ∂yu en y = δ(x), puis la condition auxlimites sur ∂2

yu(x, y) en y = 0. (On note ∂y ≡ ∂/∂y.)b) Montrer que le terme convectif de l’equation du mouvement est egal a ∂x(u2) + ∂y(uv).c) Montrer que ∫ δ(x)

0

∂(uv)∂y

dy = −Ue

∫ δ(x)

0

∂u

∂xdy.

d) Etablir la relation ∫ δ(x)

0

∂2u

∂y2dy = −∂u

∂y

∣∣∣∣∣y=0

e) On donne la relation de Leibnitz

d

dx

∫ g(x)

0

f(x, y) dy =[dg(x)dx

]f(x, g(x)) +

∫ g(x)

0

∂f

∂xdy,

(on peut la considerer comme une version unidimensionnelle du theoreme du transport de Reynolds).En deduire la forme integrale des equations de Ludwig Prandtl (1905) :

d

dx

∫ δ(x)

0

[u− Ue]u dy

= −ν ∂u

∂y

∣∣∣∣∣y=0

31

f) Quel peut-etre l’interet de cette equation d’un point de vue experimental ?

2) Epaisseur de la couche limite et force de traınee subie par la plaque. On suppose que dans la couche limite(0 ≤ y ≤ δ(x)), la composante longitudinale de la vitesse prend la forme simple

u(x, y) = Ue sin(

πy

2δ(x)

).

a) Cette expression de la composante u(x, y) ainsi que ∂yu(x, y) et ∂2yu(x, y) verifient-elles les conditions

aux limites en y = 0 et y = δ(x) ?b) Etablir l’equation differentielle verifiee par δ(x) en utilisant la forme integrale des equations de Prandtl

de la couche limite. On rappelle que sin2 θ = (1− cos 2θ)/2. Calculer δ(x) puis δ(x)/x et comparer avecle calcul numerique exact de Blasius en 1908 (δ(x)/x ≈ 4, 9Re(x)−1/2).

c) Calculer la contrainte de cisaillement τ0(x) exercee par le fluide sur la plaque puis sa valeur moyenne〈τ0〉 sur une plaque d’extension L le long de l’ecoulement. On exprimera τ0(x) et 〈τ0〉 en fonction de ladensite d’energie cinetique ρU2

e /2 et du nombre de Reynolds.d) De l’eau s’ecoule le long d’une plaque plane avec une vitesse en amont de 0.02 m/s. Determiner la vitesse

a une distance de 10 mm de la plaque, aux abscisses 1,5 m et 15 m en aval du bord.On donne la viscosite cinematique de l’eau a 15 C : ν = 1, 12 ·10−6 m2s−1 et on rappelle que le regimede l’ecoulement est laminaire pour Re < 3 ·105. Calculer la force de traınee sur une plaque de 15×15m2

se deplacant a cette vitesse.

11.3 Couche laminaire d’une paroi quelconque

Considerons l’ecoulement laminaire permanent, bidimensionnel, d’un fluide incompressible le long d’uneparoi quelconque dont le rayon de courbure est tres superieur a l’epaisseur δ de la couche limite, de sorte queles equations de Prandtl sont valables :

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

dp

dx+ ν

∂2u

∂y2

∂u

∂x+∂v

∂y= 0,

avec p + ρU2

2 =Cste pour y = δ, x designant l’abscisse curviligne comptee le long de la paroi, y designant ladistance a celle-ci (Fig. 1). u et U sont respectivement les vitesses a l’interieur de la couche limite et sur safrontiere exterieure. On appellera δ1 l’epaisseur de deplacement, δ2 l’epaisseur de quantite de mouvement decette couche limite, τ0 la contrainte tangentielle par unite de surface a la paroi, ν = µ/ρ la viscocite cinematiquedu fluide.

Fig. 1 – Couche limite sur une paroi quelconque.

1) Calculer le debit en masse a travers la couche limite :

q =∫ δ

0

u dy

en fonction de δ et δ1.

32

2) Calculer le debit de quantite de mouvement :

M =∫ δ

0

ρu2 dy

en fonction de δ, δ1, et δ2.

3) Utiliser ces relations et le theoreme des quantites de mouvement applique a un element de volume ABCD,d’epaisseur dx, pour etablir l’equation de Karman :

U

2νdδ22dx

= −δ22

ν

dU

dx

(2 +

δ1δ2

)+τ0µ

δ2U.

4) On suppose que le profil des vitesses dans la couche limite peut etre represente par la forme parabolique :

u

U= l

y

δ2+m

2

(y

δ2

)2

0 ≤ y ≤ δ

u

U= 1 y > δ

l et m etant des parametres ne dependant que de x.

a) En calculant δ2, montrer que l et m sont necessairement lies par une relation de la forme :

l = φ(m)

qu’on n’explicitera pas.

b) Calculer le rapport δ1/δ2, et montrer qu’on doit avoir une relation de la forme :

δ1δ2

= ψ(m)

qu’on n’explicitera pas.

c) En utilisant les equations de Prandtl et les conditions a la paroi, montrer que :

m = −δ22

ν

dU

dx.

5) Verifier que le deuxieme membre de l’equation de Karman ne depend que de m.

6) On peut montrer que ce second membre peut etre represente approximativement par la fonction lineaire(0.45 + 6m)/2. Donner dans ces conditions une formule permettant de calculer δ2 en fonction de U . Fairele calcul de δ2 et de m lorsque U = U0 sin kx, ou U0 est une constante et 0 ≤ kx ≤ π.

33

12 — Ecoulements avec vorticite

12.1 Vortex libre

En superposant, sur le meme axe origine, une source lineaire de debit qv par unite de longueur et unfilet tourbillon (vortex libre) de circulation Γ, on obtient un ecoulement bidimensionnel rencontre dans lesturbomachines.

1) Determiner les equations du potentiel complexe, du potentiel des vitesses, et de la fonction courant de cetecoulement.

2) Calculer les composantes radiale et tangentielle de la vitesse.

3) Montrer que la vitesse V satisfait a une relation de la forme V r =Cste, ou r est la distance a l’origine.

4) Montrer que les lignes de courant de cet ecoulement sont des spirales logarithmiques.

5) Dans le cas ou qv = 0.4 m3.s−1 par metre, et Γ = 0.2 m2.s−1, calculer la vitesse au point M de coordonneesx = 3 m et y = 4 m, ainsi que l’angle qu’elle fait avec le rayon vecteur OM .

12.2 Dynamique d’une tornade

Une tornade resulte de l’ascendance tourbillonnaire des couches basses et chaudes de l’atmosphere, qui entrenten contact avec des masses d’air froid en altitude, provoquant un mouvement tourbillonnaire extremementviolent. On propose ici un modele simplifie pour decrire la dynamique de ces objets fluides. On considere l’aircomme un fluide incompressible, de masse volumique ρ constante, et de viscosite cinematique ν. Soit ~u(r, θ, z, t)le champ de vitesse de ce fluide en tout point M repere dans un referentiel cylindrique fixe (O, r, θ, z), par~u = ur + vθ + wz.

Fig. 1 – Tornade.

1) En prenant le rotationnel de l’equation de Navier-Stokes, etablir l’equation pour la vorticite ~ω =−→rot ~u :

∂~ω

∂t+

(~u ·−−→grad

)~ω =

(~ω ·−−→grad

)~u+ ν∆~ω.

2) Modele simplifie de transport de vorticite. Dans le modele simplifie de la tornade, on suppose d’une partl’ecoulement axisymetrique ∂

∂θ= 0, et d’autre part la vorticite purement axiale a tout instant t (~ω = ωz).

Dans ce qui suit on se propose d’examiner l’evolution de la vorticite ω en fonction du temps.

a) Montrer que les conditions d’axisymetrie et de vorticite axiale impliquent :– que ω ne depend que d’une coordonnee a preciser.– qu’il existe une relation differentielle simple entre u et w.

b) Quelles conditions supplementaires faut-il imposer au champ de vitesse pour que ω reste axiale a toutinstant t ? En deduire de quelles coordonnees dependent les composantes de ~u.

c) Determiner, a partir de l’equation de continuite, les expressions de u et w telles que :– w = 0 en z = 0 ;– w = W en z = H ;

34

– u reste fini en r = 0.

d) En deduire que ω satisfait une equation du type :

∂ω

∂t− αr

∂ω

∂r= βω +

ν

r

∂

∂r

(r∂ω

∂r

)ou α et β sont des constantes a determiner.

3) Dynamique de la tornade. On considere a present un champ de tourbillon unidirectionnel ~ω = ω(r, t)z.L’evolution de ω est supposee regie par l’equation :

∂ω

∂t− αr

∂ω

∂r= 2αω +

ν

r

∂

∂r

(r∂ω

∂r

)ou α est une constante positive et ν la viscosite cinematique du fluide. On se propose ici de “deviner” leprofil de la solution stationnaire.

a) soit l’equation :∂ω

∂t− c

∂ω

∂r= 0

Montrer que ω ne depend que d’une seule variable h, combinaison des variables r et t que l’ondeterminera. En deduire la forme de la solution a un temps t quelconque.

b) Meme question avec ∂ω∂t− αr∂ω

∂r= 0.

c) Quel est le comportement decrit par le terme 2αω ? Representer graphiquement ω(r, t = 1 s), en prenantpour condition initiale, a t = 0 :

ω0(r) =(1− r

R

)Ω pour r < R,

ω0(r) = 0 pour r > R,(1)

ou Ω est une constante, et R = 5 cm. (On prendra α = 1 Hz et c = 1 cm.s−1.)

d) En deduire, qualitativement, l’evolution de ω qui satisfait a l’equation de transport purement convectif :

∂ω

∂t= αr

∂ω

∂r+ 2αω

e) Quel est le role du terme νr∂∂r

(r ∂ω∂r

) ?

f) Determiner les deux temps caracteristiques du probleme. En deduire le parametre adimensionnel quiintervient dans la description du profil stationnaire de ω.

g) Etablir la solution stationnaire ω(r) telle que ω et ∂ω∂r

soient bornes en r = 0.

12.3 Fluides en rotation

On considere un fluide incompressible de densite ρ. On rappelle :– l’equation de Navier-Stokes :

∂~u

∂t+

(~u ·−−→grad

)~u = −1

ρ

−−→grad p+ ~g + ν∆~u

– l’equation d’evolution de la vorticite :

∂~ω

∂t+

(~u ·−−→grad

)~ω =

(~ω ·−−→grad

)~u+ ν∆~ω.

– Dans le cas d’un ecoulement circulaire dont la vitesse est de la forme ~u = u(r)θ, en un point de coordonneescylindriques (r, θ, z) muni de vecteurs unitaires (r, θ, z), on a

−→rot ~u = 1

rddr

(ru(r)) z.

35

1) Le fluide, soumis a la pesanteur ~g, est contenu dans un cylindre de rayon R qui tourne autour de son axevertical Oz avec une vitesse angulaire constante Ω. On suppose que l’ecoulement est stationnaire et quela vitesse est de la forme :

~u = ~Ω× ~r = Ωrθ.

a) Verifier la conservation de la masse, et que les conditions aux limites sur la paroi du cylindre, pour unfluide visqueux, sont satisfaites.

b) Verifier que le terme d’advection s’ecrit :(~u ·−−→grad

)~u = −u

2

rr

et montrer que le terme ν∆~u de l’equation de Navier-Stokes est nul.

c) Utiliser l’equation de Navier-Stokes pour calculer la pression en fonction de r et z, a une constanteadditive pres.

d) La surface libre du fluide est soumise a la pression atmospherique, constante. Determiner la forme Z(r)de cette surface. Quel est son nom ? Dessiner son profil.

2) On considere maintenant, en l’absence de parois, un autre ecoulement : un tourbillon rectiligne vertical.La vorticite ~ω =

−→rot ~u est concentree sur l’axe des z :

~ω = ~Γδ(2)(~r),

ou ~Γ = Γ~ez (la distribution δ(2)(~r) est telle que δ(2)(~r) = 0 si ~r 6= 0 et∫δ(2)(~r)dS = 1). La vitesse est de

la forme ~u = u(r) θ.

a) Determiner la fonction u(r) en utilisant le theoreme de Stokes.

36

b) On suppose la viscosite negligeable. Montrer que l’equation de Navier-Stokes — qui se reduit al’equation d’Euler — permet a l’ecoulement d’etre stationnaire, avec un gradient de pression approprie(on tiendra compte de la pesanteur ~g). Calculer la pression correspondante, a une constante additivepres.

c) Montrer qu’on peut obtenir le meme resultat a partir du theoreme de Bernoulli.d) Determiner la forme Z(r) de la surface libre du fluide. Dessiner son profil.

3) On tient compte maintenant des effets de viscosite. Par contre, on considere une region suffisammenteloignee de la surface libre pour qu’on puisse considerer le systeme comme invariant par translation dansla direction de l’axe des z. Au temps t = 0, l’ecoulement est celui de la question 2 : ~ω = ~Γδ(2)(~r), et~u = u(r) θ. A cause des effets de viscosite, cet ecoulement n’est pas stationnaire. On se propose d’etudierson evolution au cours du temps.

a) En admettant que l’ecoulement garde ses symetries initiales, montrer que l’equation d’evolution de lavorticite ~ω prend une forme simple. Citer d’autres problemes de physique ou apparaıt cette equation.

b) On rappelle la forme de la solution :

~ω(r, t) =~Ω

4πνte− r2

4νt .

Utiliser le theoreme de Stokes pour determiner ~u(r, t).c) A t donne, indiquer les comportements de u en fonction de r pour r petit et pour r grand. Comparer ces

comportements a ceux consideres dans les questions 1 et 2. Faire un croquis de la courbe representantu en fonction de r.

4) Vortex de Burgers. Montrer qu’en superposant dans l’exercice (3) au champ orthoradial un champ devitesse axiale uz = a z et radial ur = −b r on peut obtenir une solution stationnaire, l’etirement de lavorticite compensant la dissipation visqueuse.

12.4 Allee de tourbillons de Benard-von Karman

Un cylindre d’axe Oz est place dans un ecoulement suivant la directionOx, perpendiculaire a son axe. Lorsquele nombre de Reynolds est d’environ 100, des tourbillons sont emis periodiquement en aval de l’ecoulement,formant une double rangee appelee allee de Benard–von Karman. On se propose d’etudier le mouvement decette allee de tourbillons.

Fig. 2 – Allee de von Karman creee dans le sillage d’un cylindre.

1) Un tourbillon. Decrire le champ des vitesses pour un seul tourbillon rectiligne d’axe Oz, avec unevorticite concentree dans un cœur de rayon negligeable porte par cet axe. On appellera Γ le flux de lavorticite ~ω a travers une section du cœur. Exprimer en fonction de Γ la circulation de la vitesse sur uncontour entourant le cœur.

2) Allee de tourbillons. On considere maintenant deux lignes paralleles infinies de tourbillons disposes enalternance comme sur la figure. La circulation est Γ pour les tourbillons dont les cœurs sont sur l’axe Oxaux points x = na, n = 0,±1,±2 . . . ; la circulation est −Γ pour les tourbillons dont les cœurs sont surla droite y = b aux points de coordonnees [(n+ 1/2)a, b]. La vitesse de chaque cœur est la resultante desvitesses dues a tous les autres tourbillons. On raisonnera par exemple, sur le tourbillon qui est en O.

37

a) Montrer, par symetrie, que les tourbillons de l’axe Ox ne donnent pas de contribution a la vitesse deO.

b) Calculer les composantes ux et uy de la vitesse de O dues au tourbillon dont le cœur est en [(n+1/2)a, b].Montrer, par symetrie, que la resultante des uy est nulle.

c) Calculer la vitesse de O due a tous les autres tourbillons. On donne la serie :

+∞∑n=−∞

1α2 + (2n+ 1)2

=π

2αthπα

2. (2)

Decrire le mouvement des tourbillons.

d) En plus du mouvement du aux tourbillons, le fluide a l’infini est anime d’une vitesse uniforme U dansla direction Ox. Quel est l’effet sur le mouvement de l’allee de tourbillons ?

12.5 Tourbillon de Rankine

Soit le champ de vitesse ~v d’un fluide de masse volumique constante ρ :~v = rΩeθ r < a

~v = Ωa2

r eθ r ≥ a

(r, θ, z) sont les coordonnees cylindriques.

1) Montrer que l’ecoulement est potentiel a l’exterieur du cylindre de rayon a.

2) Donner l’expression de la pression dans chacun des domaines. A l’infini, P = P∞.

3) Que peut-on dire de la quantite v2/2 + P/ρ dans chacun des domaines ? Qu’en conclue-t-on ?

4) En supposant qu’un cyclone peut etre represente par un tel champ de vitesse, calculer la depressioncentrale d’un cyclone dont les vents ont une vitesse maximum de 50 m.s−1.

5) Si le tourbillon se trouve dans l’ocean, deduire des resultats precedents la forme de la surface de l’eau.

38

Annales

39

A — Vidange d’un reservoir dans un long tube capillaire

D’apres l’examen de septembre 2004

A.1 Equations de l’ecoulement

On desire etudier l’ecoulement laminaire d’un liquide remplissant un reservoir de diametre D et de hauteurh0. Le liquide s’ecoule a travers un long tube capillaire vertical de diametre d et de longueur l (d/l 1 etd/D 1).

Ce liquide incompressible a une masse volumique ρ , une viscosite dynamique η et une viscosite cinematiqueν = η/ρ . Durant la vidange du reservoir, la hauteur du liquide h = h(t) au dessus du tube varie a chaqueinstant t. Il en resulte un ecoulement laminaire dans le tube de champ de vitesse ~u(r, t) = u(r, t) z , z est unvecteur unitaire dirige vers le haut sur l’axe longitudinal z et r est la distance a l’axe du tube (r 6 d/2).

1) On pose P (r, z, t) = p(r, z, t) + ρgz , ou p(r, z, t) est la pression dans le tube et g l’acceleration de lapesanteur.Ecrire l’equation de continuite et les equations du mouvement en P (z, t) et u(r, t). Deduire que P = P (z, t)

et que −∂P (z, t)∂z

= C(t) , ou C(t) est une fonction de t.

2) On prend comme origine des pressions la pression atmospherique et on applique l’hypothese quasi-statiquepour le calcul de la pression dans le reservoir (loi de l’hydrostatique).Ecrire les conditions aux limites sur P (z, t) a l’entree du tube en z = 0 en fonction de h(t) et a l’extremiteinferieure du tube en z = −l(1).

Deduire l’expression de −∂P (z, t)∂z

en fonction de h(t) et recrire l’equation differentielle du mouvementlongitudinal en u(r, t) et h(t).

3) Pour obtenir une seconde equation en u(r, t) et h(t) on va utiliser la conservation de la masse. Ecrire larelation, a l’instant t, entre le volume de liquide V (t) (en m3) dans le reservoir qu’on exprimera en fonctionde h(t) et le debit Q(t) (en m3s−1) qu’on exprimera en fonction de u(r, t).

1comme d/D 1, on considerera que les vitesses d’ecoulement sont faibles pour z > 0 et que l’on peut alors utiliser les lois del’hydrostatique.

40

4) Pour resoudre ce systeme d’equations integro-differentielles couplees entre h(t) et u(r, t), on remarqueraque lorsque la hauteur de liquide h(t) varie tres lentement, le regime est quasi-statique et tend vers unregime permanent a chaque instant.

Q(t) verifie donc la loi de Poiseuille du debit dans le tube :

Q(t) = − π

128η∂P (z, t)∂z

d4, (1)

et −∂P (z, t)∂z

est une fonction de h(t).

Etablir l’equation differentielle verifiee par h(t) puis calculer h(t) en fonction de la hauteur initiale de

liquide h0. On pourra introduire la duree caracteristique τ = 32νD2lgd4 .

5) Applications numeriques :Le liquide est une l’huile visqueuse : Masse volumique ρ = 912 kg/m3, viscosite dynamique η = 0, 38 Pa.s,viscosite cinematique ν = 4, 2 10−4 m2/s, hauteur de liquide initialement dans le reservoir h0 = 1 m,diametre du reservoir D = 1 m, diametre du tube capillaire d = 1 cm, longueur du tube capillaire l = 10cm et acceleration de la pesanteur g = 9, 81 m/s2.

6) L’ecoulement dans le tube est laminaire lorsque le nombre de Reynolds Re = umaxd/ν est inferieur a2000 (umax est la vitesse maximum dans l’ecoulement). Cette relation pour un ecoulement de Poiseuilledevient Q < 250πνd.

a) L’ecoulement etudie est-il laminaire ? Justifier votre reponse.

b) Calculer la duree pour que 95% du liquide soit vide du reservoir.

c) Comparer l’ordre de grandeur du terme instationnaire au terme de viscosite dans l’equation du mou-vement local. L’hypothese quasi-statique etait-elle justifiee ?

7) Pour calculer la duree de vidange par une autre methode on desire utiliser l’equation de Bernoulli.Dans quel cas s’applique t-elle ? On modelise l’ecoulement en supposant que la distribution des vitessesest uniforme a la surface du liquide dans la citerne et a l’extremite inferieure du tuyau et on appliquel’hypothese quasi-statique sur une ligne de courant.

a) On pose H(t) = h(t) + l. Obtenir la relation reliant H(t) aux vitesses V1 et V2 a la surface du liquidedans la citerne et a l’extremite inferieure du tuyau.

b) Ecrire l’equation de conservation de la masse entre V1 et V2.

c) En exprimant la vitesse V1 en fonction de H(t) deduire l’equation differentielle verifiee par H(t) puisl’expression de H(t) en fonction de la hauteur initiale de liquide initiale h0 dans la citerne. On pourraposer :

α =

√√√√√ 2g(D

d

)4

− 1

. (2)

d) Calculer la duree de la vidange complete. Comparer les deux methodes.

41

B — Ecoulement dans un amortisseur visqueux

D’apres l’examen de novembre 2004

Deux disques circulaires plans de rayon R sont disposes parallelement l’un au dessus de l’autre. L’espaceentre les deux disques est rempli par un liquide incompressible de masse volumique ρ et de viscosite dynamiqueη et l’exterieur est a la pression atmospherique p0. La distance initiale H0 entre les disques est negligeabledevant le rayon R (H0/R 1) et le disque superieur se rapproche du disque inferieur sous l’action d’une force

exterieure F . Leur vitesse relative est h′ = dh(t)dt

, ou h(t) est la distance entre les disques a l’instant t. Onnegligera dans la suite l’effet de la gravite.

B.1 Analyse dimensionnelle

On applique une force F0 constante. On a alors la relation h′ = f(F0,H0, R, η) entre n grandeurs, h′ est unefonction des grandeurs F0, H0, R, η.

1) Ecrire les equations aux dimensions des grandeurs h′, F0, H0, R, η.

2) Deduire le nombre minimum r de variables necessaires pour exprimer les grandeurs h′, F0, H0, R, η.

3) Selectionner parmi les grandeurs F0, H0, R, et η, un nombre r de grandeurs independantes.

4) Deduire la relations entre les n− r grandeurs sans dimension.

On choisit un systeme de coordonnees cylindriques dont l’origine est au centre du disque inferieur supposeimmobile et l’on designe par r, z les coordonnees radiale et axiale et r, z, les vecteurs unitaires radial et axial.L’ecoulement du fluide a symetrie axiale a un champ de vitesse ~u = ur(r, z, t)r + uz(r, z, t)z et un champ depression p = p(r, z, t).

B.2 Simplification des equations locales de l’ecoulement

1) Ecrire l’equation du mouvement en ~u et p et l’equation de continuite en ur et uz.

2) Les grandeurs caracteristiques de l’ecoulement sont Ur (ordre de grandeur de ur), R (ordre de grandeurde la coordonnee r) et H0 (ordre de grandeur de la coordonnee z avec H0

R 1).

a) Calculer le rapport UzUr

, ou Uz est une vitesse caracteristique axiale. Quel est le terme dominant ?

b) Montrer que le terme de viscosite ηρ~∇2~u ∼ η

ρ∂2~u∂z2 .

c) Montrer que le terme d’inertie est negligeable devant le terme de viscosite si Re(H0R

)2

, ou Re = ρUr Rη

est le nombre de Reynolds radial.

42

d) Montrer que le terme instationnaire ∂~u∂t

est alors negligeable devant le terme de viscosite. Quel tempscaracteristique choisir ? Peux-t-on comparer ce temps a un temps de diffusion visqueux ?

e) En utilisant les equations simplifiees en ur, uz et p calculer l’ordre de grandeur de ∂p∂z

et ∂p∂r

en fonctionde Uz, Ur, H0 et R et deduire que p = p(r, t).

B.3 Calcul de la force de freinage agissant sur la plaque superieure

1) Ecrire l’equation du mouvement radiale simplifiee et l’equation de continuite en ur(r, z, t), uz(r, z, t) etp(r, t) ainsi que les conditions aux limites en z = 0 et z = h(t) sur les vitesses ur et uz et en r = R sur lapression p (on neglige les effets de tension de surface en r = R).

2) On desire calculer la pression p(r, t) en z = h(t) et en r.

a) Calculer ur en fonction de ∂p∂r

, z et h en tenant compte des conditions aux limites. Quel est le nom etla forme d’un tel profil ? Tracer l’allure de ce profil de vitesse.

b) Calculer uz en fonction de ∂p∂r

, r, z et h en tenant compte de la condition aux limites en z = 0. Tracerl’allure de ce profil de vitesse.

c) Deduire la relation reliant ∂p∂r

aux grandeurs r et h(t) en utilisant la condition aux limites sur uz enz = h(t).

d) Integrer l’equation en p(r, t) en tenant compte des conditions aux limites sur la surface du fluide encontact avec l’air. Tracer l’allure de la pression en fonction de r.

3) Calculer la contrainte normale Tzz (voir l’annexe) appliquee par la paroi sur le fluide. En deduire la forceF exercee par le fluide sur le disque superieur. Comparer au resultat de l’analyse lineaire.

4) On applique sur le disque superieur une force constante F0. Deduire l’evolution temporelle h = h(t) enfonction de F0, H0, R, η et t.

5) Application numerique : Deux disques de 10 cm de rayon sont initialement separes de 2 mm. Le liquidequi remplit le volume compris entre les disques a une viscosite dynamique de 0,1 Pa.s. Le disque superieurest soumis a une charge de 100 kg. De quelle duree cette charge peut-elle etre supportee si les disques nedoivent pas s’approcher de moins de 0,02 mm ?

6) Compte tenue des valeurs de l’application numerique, verifier que la modelisation de cet ecoulement estvalable. Justifier votre reponse (on donne η = 1 kg/m3).

Formulaire :

Tzz = −p + 2η ∂uz∂z

est la contrainte locale en un point d’un plan perpendiculaire a l’axe axial et dans ladirection axial.

43

C — Effet Marangoni

D’apres l’examen de septembre 2005

La tension de surface, par exemple entre un liquide et sa vapeur est generalement une fonction decroissantede la temperature. Nous allons etudier un systeme qui permet en principe de mesurer cette dependance. Onsuppose qu’un mince couche de liquide d’epaisseur de l’ordre de h est disposee dans un recipient rectangulairehorizontal (voir figure 1). On notera σ la tension de surface et σ′ = ∂σ

∂Tsa dependance en temperature que l’on

supposera constante et negative dans la gamme d’etude (σ′ < 0). On notera η et ρ la viscosite dynamique etla masse volumique du liquide. On impose un gradient de temperature G = ∂T

∂xuniforme et constant (G < 0)

entre la gauche et la droite du recipient. On negligera pour l’instant la variation de la masse volumique duliquide avec la temperature (qui conduit a la convection thermique classique).

Fig. 1 – Fine couche de liquide placee dans un gradient horizontal de temperature.

1) Montrer qualitativement que la dependance en temperature de la tension de surface conduit a un mou-vement du liquide en surface. Dans quel direction se fait ce mouvement de surface ? Tracer l’allure del’ecoulement en regime permanent.

Dans la suite nous allons quantifier ce phenomene et montrer qu’il conduit en regime permanent a uneinclinaison de la surface libre d’un angle θ que l’on va calculer. Nous supposerons que cet angle restetoujours faible et que le recipient est long afin de pouvoir negliger les effets de bords.

2) En considerant une portion de surface comprise entre x et x+dx, ecrire toutes les forces agissant sur cettesurface (on negligera la viscosite de l’air). A-t-on une surface libre stricto sensu ? En deduire une relationentre σ′ et

(∂u∂z

)h, ou u est la composante horizontale de la vitesse selon Ox.

3) Ecrire l’equation de Navier-Stokes en regime permanent. En utilisant les approximations de la lubrification(ecoulement faiblement non-parallele), a quelle condition les termes inertiels sont-il negligeables devant

les termes visqueux. Dans ce cas, trouver une relation entre ∂p∂x

et ∂2u∂z2 .

4) Par integration et en appliquant la condition au limite a la surface trouvee en 2, calculer la fonction u(z).

5) Calculer le debit Q =∫ h

0udz. En deduire une relation entre σ′ et ∂p

∂x.

6) Tracer l’allure de la vitesse horizontale u(z).

7) On s’interesse maintenant au lien entre le gradient de pression horizontal et la pente de l’interface. Montrer

qu’en regime permanent ∂p∂x

est relie a ∂h∂x

= θ. En deduire la relation : σ′ = 23ρghG θ.

8) A.N. : On donne G = 10K/m, ρ = 860 kg/m3, h = 3mm et θ = 1. Calculer σ′. Si le liquide est del’huile, η = 0, 1Pa.s, calculer la vitesse du liquide en surface. L’approximation d’ecoulement de lubrificationetait-elle justifiee ?

44

D — Ecoulement d’un fluide visqueux

D’apres l’examen d’octobre 2005

D.1 Analyse dimensionnelle et similitudes

On s’interesse dans ce probleme au bon dimensionnement des blocs de beton necessaires au renforcementdes berges d’une riviere. On va dans un premier temps determiner par l’analyse dimensionnelle la relation entrela vitesse du courant et la force de traınee sur le bloc. Dans un second temps, on etudiera les conditions demise en mouvement d’un modele de laboratoire, pour extrapoler ensuite aux capacites de resistance maximaledu bloc en situation reelle.

1) Les grandeurs caracteristiques du probleme sont la masse volumique ρ0 de l’eau, la vitesse relative v dufluide par rapport au bloc, la surface S du bloc soumise a l’action de l’eau, et la force de traınee F del’eau sur le bloc.

a) Ecrire les equations aux dimensions de F , S, v, ρ0 en fonction de (M,L, T ).b) En deduire le nombre minimum r de variables necessaires pour exprimer ces quatre grandeurs. (On

choisira les grandeurs dimensionnellement les plus simples.)c) En deduire le nombre de grandeurs sans dimension independantes (grandeurs Π).d) Chercher le(s) terme(s) Π comme un produit des r grandeurs independantes, et d’une des grandeurs

restantes.e) Pouvez-vous donner une interpretation physique aux grandeurs Π du probleme ?

2) On realise une experience en laboratoire avec un bloc de beton cubique d’arete L2 = 10 cm, de densited2 = 2.5 (masse volumique de l’eau ρ0 = 103 kg.m−3). On place le bloc dans une veine d’essai en eau,dont on peut controler la vitesse d’ecoulement.

a) Quel est le poids effectif Peff du bloc de beton dans l’eau ?b) On suppose que la force de frottement au sol est proportionnelle a la force de reaction normale RN du

sol sur le bloc (et qui s’oppose au mouvement) :

Rf = f RN

ou f est un coefficient constant. En deduire l’intensite de Rf en fonction de ρ0, L2, g, d2, et f .c) Lorsque le bloc se met en mouvement, c’est avec une vitesse de glissement constante en direction et en

intensite. En deduire l’expression de la force de traınee F de l’eau en fonction du poids effectif Peff dubloc, et montrer qu’elle vaut :

F = fρ0g(d2 − 1)L32

(On supposera que f conserve la meme valeur lors du glissement.)d) Dans l’experience faite en laboratoire, le bloc est mis en mouvement pour un courant v2 = 3 m.s−1. En

deduire, par des arguments de similitude, a quelle vitesse maximale v1 du cours d’eau un bloc cubiqued’arete L1 = 1 m et de densite d1 = 3.5 peut resister en situation reelle.

e) Quelle devrait etre la taille L3 du bloc pour resister a une vitesse de v3 = 20 km.h−1 ? Cela vous paraıt-ilraisonnable ? Proposez differentes options pour renforcer la stabilite des blocs.

45

D.2 Theoreme de Bernoulli en referentiel tournant

On considere l’ecoulement permanent d’un fluide parfait newtonien, incompressible, dans un referentielR′ quipeut etre mis en rotation uniforme a la vitesse angulaire ~Ω par rapport au referentiel galileen R du laboratoire(voir Figure). L’altitude du fluide est reperee par la cote z, et la seule force agissant sur la particule fluide estson poids (l’acceleration de pesanteur ~g derive d’un potentiel φg : ~g =

−−→gradφg). On va chercher a etablir la

forme prise par la surface libre du fluide a l’equilibre hydrostatique. On note ~v la vitesse d’une particule fluideet P0 la pression atmospherique. (Attention : l’ecoulement n’est pas suppose irrotationnel ici :

−→rot~v 6= ~0.)

1) Le referentiel R′ est initialement au repos (Ω = 0).

a) Que vaut le potentiel φg ?

b) Rappeler l’equation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien. Quels termes peuvent se simplifier dansles conditions de l’enonce ? En deduire la forme simplifiee que prend l’equation dans ce cas.

c) Montrer que l’equation obtenue equivaut a considerer la charge C constante le long d’une ligne decourant (theoreme de Bernoulli dans un referentiel galileen)2, avec :

C =12ρv2 + p+ ρgz.

d) En deduire la condition d’equilibre hydrostatique du fluide, puis la distribution de pression dans lefluide lorsque R′ est immobile par rapport a R.

e) Montrer alors qu’a l’equilibre hydrostatique la surface libre est plane et horizontale.

2) Le systeme est maintenant en mouvement (Ω 6= 0), avec une vitesse de rotation constante.

a) Faire le bilan des forces de volume qui agissent sur une particule fluide. (On rappelle que la forcecentrifuge massique s’ecrit ~fe = ρΩ2 ~r, ou ~r est le vecteur distance a l’axe de rotation, et la force deCoriolis massique ~fc = −2ρ ~Ω ∧ ~v.)

b) En deduire l’equation d’Euler a laquelle doit satisfaire ~v.

c) On considere la solution hydrostatique, ou la particule fluide est au repos dansR′. En deduire la nouvelleexpression de la charge C dans cette situation.

d) En ecrivant l’equation precedente pour la surface libre, montrer que la forme de cette surface est uneparaboloıde de revolution. (On negligera la tension interfaciale entre l’air et l’eau.)

D.3 Ecoulement cree par un dipole source/puits

On considere l’ecoulement permanent, bi-dimensionnel a deux composantes dans le plan (x, y), d’un fluideparfait incompressible.

1) Rappeler sous quelle condition l’ecoulement est potentiel (~v =−−→gradφ), et sous quelle condition la vitesse

derive d’un potentiel vecteur (~v =−→rot (ψ~ez)).

2On rappelle que−−→grad ( ~A · ~B) = ~A ∧ −→rot ~B + ~B ∧ −→rot ~A + ( ~B ·

−−→grad ) ~A + ( ~A ·

−−→grad ) ~B.

46

2) Dans ce type de situation, on repere un point M du plan par la variable complexe z = x + iy, et ondefinit le potentiel complexe f(z) = φ+ iψ. Le potentiel complexe associe a une source ou un puits situeen z = z0 dans le plan complexe est donne par :

f(z) = C log(z − z0).

Demontrer la relation qui existe entre C et le debit Q. Quel est le signe de C pour une source ? pour unpuits ?

3) On considere a present le cas d’un puits d’intensite −C place sur l’axe reel en x = −ε (point P ), et d’unesource +C placee en x = +ε (point S). On notera les vecteurs

−−→PM et

−−→SM (ou M est un point quelconque

du plan ; cf Figure), respectivement sous la forme :

−−→PM ≡ r1 e

iθ1−−→SM ≡ r2 e

iθ2 .

a) Ecrire le potentiel complexe de l’ecoulement resultant.b) En deduire l’expression du potentiel reel φ, et de la fonction courant ψ, en fonction de r1, r2, θ1, θ2.c) Montrer que la condition ψ = cste impose une relation entre θ1 et θ2, que l’on explicitera.d) Sur un schema, placer 3 points M1, M2, M3 verifiant la condition ψ = π/2. En deduire la ligne de

courant definie par ψ = π/2.e) Representer dans une autre couleur la ligne ψ = 0 (on precisera le code de couleur utilise pour ψ = 0

et ψ = π/2).f) Montrer d’une maniere generale que les lignes de courant sont des cercles. Par quels points du plan

complexe les lignes de courant passent-elles toutes ?

4) On reduit la distance entre S et P , en augmentant le debit de telle sorte que le produit −2Cε tende versune limite finie m.

a) En developpant le logarithme a l’ordre 1 en ε, montrer que le potentiel complexe devient, dans la limiteou P et S se confondent en O :

f(z) =m

z.

b) Que deviennent les lignes de courant et les lignes equipotentielles ?c) En deduire les composantes de la vitesse en coordonnees polaires.d) Quelle est la dimension de m ?

5) On superpose a cet ecoulement dipolaire un ecoulement uniforme de potentiel complexe f(z) = V z, ou Vest la vitesse du fluide a l’infini. On reecrira m sous la forme m = V R2.

a) Ecrire le potentiel complexe resultant.b) Quelle est la dimension de R ?c) Representer qualitativement sur un schema les lignes de courant de cet ecoulement. Representer dans

une autre couleur la ligne ψ = 0.d) Chercher les points de stagnation (definis par ~v = ~0). Que se passe-t-il pour la vitesse sur la ligne

parametree par |z| = R ?e) A quel type d’ecoulement ce potentiel complexe peut-il etre associe ?

47

E — Croissance d’une bulle

D’apres l’examen de janvier 2006

On considere l’expansion d’une sphere dans un fluide incompressible (Figure 1). Les effets de la pesanteursont negligeables. En coordonnees spheriques (r, θ, ϕ), la surface de la sphere est parametree par la fonctionF (r, t) = r −R(t). Le champ de vitesse derive du potentiel φ :

~u =−−→gradφ.

Fig. 1 – Sphere en expansion.

1) Montrer que ∆φ = 0.2) La symetrie spherique du probleme suggere de considerer un potentiel φ(r, θ, ϕ, t) ≡ φ(r, t) fonction des

seules variables r et t. En deduire l’expression du potentiel φ en fonction de r.3) En considerant que φ→ 0 lorsque r →∞, montrer que φ s’ecrit necessairement sous la forme :

φ =C

r.

La “constante” C peut-elle dependre d’une variable du probleme ? Si oui laquelle ?4) La surface de la sphere etant une frontiere materielle, aucun ecoulement de fluide ne peut se produire a

travers elle, et :DF

Dt= 0,

ou D/Dt est la derivee particulaire. En reecrivant cette condition pour le potentiel φ, montrer que :

φ(r, t) = − RR(t)r

.

5) Montrer que l’equation de Bernoulli pour le probleme considere s’ecrit :

∂φ

∂t+

12−−→gradφ ·

−−→gradφ+

p

ρ= cste

6) En deduire l’equation differentielle verifiee par R(t). On fera apparaıtre p∞ la pression (supposee spatia-lement uniforme) loin de la sphere.

7) On suppose que :

R(t) = R0

(1 +

t

t0

).

Montrer que la distribution de pression au point r s’ecrit :

1− p(r, t)p∞

=A

r

(1 +

t

t0

)+B

r4

(1 +

t

t0

)4

.

Que valent les constantes A et B ?

48

8) On pose : (R0

t0

)2ρ

p∞= 1.

Montrer que la pression a la surface de la sphere est independante du temps. Quel commentaire cela vousinspire-t-il ?

9) En deduire le profil radial ur(r, t) de vitesse.

49

F — Ecoulement d’un fluide visqueux

D’apres l’examen de septembre 2006

On considere dans ce probleme l’ecoulement d’un fluide newtonien, de masse volumique ρ et de viscositedynamique µ, a travers un tube rectangulaire mince de longueur L0 (direction x), de hauteur 2H (direction y),et de largeur ` (direction z), telle que H

` 1. Avec une telle geometrie, on peut negliger les effets de bords sur

les plans paralleles verticaux distants de `, et supposer que l’ecoulement ne varie pas dans la direction z. Onnotera P0 la pression atmospherique.

1) L’ecoulement est cause par une difference de pression ∆P , entre l’entree et la sortie du fluide :

p = P0 + ∆P en x = 0,p = P0 en x = L0.

(1)

On cherche une solution du champ de vitesse en regime permanent de la forme :

~u = u(y)~ex, (2)

ou ~ex est le vecteur unitaire sur l’axe x. La dynamique du fluide est suppose decrite par l’equation deNavier-Stokes :

ρ

(∂

∂t+ (~u · ~∇)

)~u = −~∇p+ µ~∇2 ~u. (3)

a) Faire un schema du systeme, respectant approximativement les proportions de l’enonce.b) Rappeler la signification physique de chacun des termes de l’equation (3).c) Quel terme se simplifie sous l’hypothese de regime permanent ?d) Quel terme se simplifie sous l’hypothese correspondant a l’equation (2) ?e) Ecrire les conditions aux limites sur ~u en y = ±H.f) Ecrire l’equation (3) projetee sur les vecteurs unitaires ~ex, ~ey, ~ez.g) En deduire que la pression est une fonction de la seule variable x.

h) Montrer que dpdx

est une constante que l’on exprimera en fonction de ∆P et L0.

i) En deduire l’equation differentielle verifiee par u(y).j) Montrer que u(y) = k(H2 − y2), et donner l’expression de k en fonction de `, H, L0, ∆P , ρ, et µ.k) En deduire l’expression du debit Q (volume transporte par unite de temps) en fonction de ces pa-

rametres. Verifier la dimension de Q.

2) La canal precedent est place horizontalement. Il est mis en contact en x = 0 avec un grand volume d’eaua la pression atmospherique P0. Sous l’action des forces de capillarite, la longueur L(t) de liquide rentredans le canal augmente en fonction du temps t. Le regime n’est donc pas permanent, mais on supposequ’on peut encore appliquer les resultats etablis aux questions 10-11 de la partie (??), pour l’ecoulementde Poiseuille. Nous devons donc relier la surpression ∆P aux forces de capillarite :

Fσ = 2σ` cos θ (4)

sur les deux plans horizontaux, ou σ est la tension de surface (en N.m−1), et θ l’angle de contact dumenisque avec les surfaces horizontales.

a) Faire un schema du dispositif.b) Exprimer ∆P en fonction de σ, θ et H.

c) Le debit est donne par Q(t) = ddt

(S L(t)), ou S est la section du canal. Deduire, du resultat de laquestion 11 de la partie (??), l’equation differentielle verifiee par L(t).

d) Exprimer L(t) en fonction de H, σ, θ, µ. On partira de la condition initiale L(0) = 0.e) Montrer que le temps τ , mis par la colonne de liquide pour parcourir la distance L0, peut s’ecrire :

τ = αµL2

0

Hσ cos θ.

Que vaut le facteur numerique α ?

50

f) Calculer l’ordre de grandeur de τ pour les valeurs suivantes des parametres :

µ ρ σ cos θ H L0

(Pa.s) (kg.m−3) (N.m−1) (m) (m)3× 10−3 103 5× 10−2 0.0872 5× 10−4 3× 10−2

g) L’hypothese de regime permanent est-elle pertinente ? Justifier soigneusement la reponse.

51

G — Eolienne

D’apres l’examen de novembre 2006

On s’interesse ici a l’aerodynamique d’une eolienne. Dans toute la suite l’air sera considere comme un fluideincompressible de masse volumique ρ et de viscosite dynamique η. On notera u0 la vitesse du vent supposeuniforme et constant a l’infini amont et P0 la pression atmospherique. Le rayon des pales sera note R et lavitesse angulaire de rotation de l’eolienne Ω.

Pour les applications numeriques on pourra prendre : ρ ≈ 1, 225kg/m3, η ≈ 15 10−6kg.m−1.s−1, R = 15 m,Ω = 2 rd/s et u0 = 10 m/s.

Fig. 1 – Photo d’une eolienne tripale pour la production d’electricite en Bretagne sud.

G.1 Ordres de grandeur

1) Ecrire l’energie cinetique par unite de volume dans l’air incident. En deduire une estimation du fluxd’energie cinetique par seconde a travers la surface balayee par les pales. On notera Pe cette puissanceentrante. Faire les applications numeriques (A.N.).

2) L’emission sonore d’une eolienne augmente avec la vitesse des pales. En particulier elle augmente tres for-tement lorsque cette vitesse s’approche de la vitesse du son c ≈ 330 m/s. Calculer la vitesse de deplacementupale(r) dans l’air suppose immobile. Calculer la valeur maximum du rapport upale/c. Conclusion ?

G.2 Analyse dimensionnelle

On cherche tout d’abord a determiner par analyse dimensionnelle l’expression de la force F exercee par levent sur l’eolienne.

1) En supposant que cette force depend uniquement de u0, ρ, η, R et Ω, montrer que F peut se mettre sousune forme simple en introduisant deux nombres sans dimensions : le nombre de Reynolds Re = ρΩR2/ηet le nombre de Strouhal St = u0/(ΩR). Pouvait-on definir un autre nombre de Reynolds ? Montrer quel’on peut definir un coefficient de traınee sans dimension CF = F/(1

2ρu02πR2) = f(Re, St), ou f est unefonction inconnue.

2) Montrer de meme que la puissance entrante Pe peut s’ecrire sous forme adimensionnee CP = Pe/(12ρu03πR2) =

f(Re, St).

52

3) On desire fabriquer une maquette fonctionnant dans l’eau de rayon r = 15 cm. Quelles sont les conditionspour la vitesse de l’eau et la vitesse de rotation pour que le nombre de Strouhal et de Reynolds soientrespectes ? On donne ηeau = 10−3 Pa.s et ρeau ≈ 103kg/m3. Ces conditions sont-elles realistes ?

G.3 Modele du disque actuateur

On suppose que l’action du vent sur les pales est equivalente a celle du vent sur un disque permeable desurface S. Cette hypothese, dite du « disque actuateur »de Froude, permet de faire des calculs a une dimensionselon l’axe Ox.

Fig. 2 – Lignes de courant autour du disque actuateur.

L’allure des lignes de courant est schematisee sur la figure 2. On supposera a partir de maintenant que lefluide est parfait et l’ecoulement stationnaire. On note u(x) la vitesse supposee uniforme dans toute sectiontransverse a l’interieur du volume de controle et continue pour tout x. La pression p(x) est discontinue en x = 0.On suppose de plus que les surfaces amont et aval sont suffisamment loin pour que la pression y soit egale a lapression atmospherique P0.

1) Ecrire les debits volumiques en x0, x1 = 0 et x2 en fonction des surfaces et des vitesses qui interviennentdans le probleme.

2) Tracer l’allure des fonctions u(x) et p(x). Calculer le saut de pression PB − PC au niveau du disque. Endeduire la force F s’appliquant sur le disque. Pourquoi ne peut on pas appliquer la loi de Bernoulli auniveau du disque ?

3) Appliquer le theoreme du transport de Reynolds sur le volume de controle contenu entre S0 et S2. Quellessont les forces appliquees sur ce volume ? Quels sont les flux de quantite de mouvement ? La pressionatmospherique P0 apporte-t-elle de la quantite de mouvement au fluide ? Pourquoi ? En deduire une autreexpression de F .

4) En egalisant les expressions de F trouvees en 3b et 3c, et la conservation du debit en deduire que l’on au1 = (u0 + u2)/2.

5) De la conservation du debit en deduire que S1 = 2S0S2/(S0 + S2).6) On definit le rendement aerodynamique de l’eolienne comme le rapport η entre la puissance generee

P = ~F · ~u et la puissance entrante Pe. Exprimer η en fonction du rapport a = u2/u0. Montrer que cerapport est maximum pour a = 1/3 (formule de Betz). Calculer alors η et P pour a = 1/3, puis poura = 0 et a = 1. Qu’en concluez- vous ?

G.4 Ecoulement sur une pale

Du fait de la rotation des pales a la vitesse angulaire Ω, l’ecoulement dans le referentiel de la pale a unedirection differente de celle que subirait une pale immobile. Nous allons etudier le necessaire vrillage des pales.

On considere ici une section d’une pale dans un plan parallele a l’axe de rotation. Cette section coupe lapale a une distance r de l’axe de rotation (figure 3). On note α(r) l’angle d’incidence qu’aurait la pale si elleetait immobile, angle mesure par rapport a la direction d’ou vient le vent ~u0.

1) Calculer la vitesse ~upale d’un point de la pale lorsque celle-ci tourne a la vitesse angulaire Ω. En deduirela vitesse uθ de l’air par rapport a la pale par un jour sans vent. Ecrire la composition vectorielle desvitesses u0 et uθ et en deduire le vent relatif ~ur dans le referentiel de la pale.

2) En deduire que l’angle d’incidence de la pale est modifie par rapport au cas sans rotation. On appelle β(r)le nouvel angle d’incidence. Compte-tenu du sens de rotation de la pale lorsqu’elle est poussee par le vent,β(r) est-il superieur ou inferieur a α(r) ?

53

Fig. 3 – Ecoulement au voisinage d’une pale. Vue de face et section dans un plan parallele a l’axe de rotation.

3) Comment doit varier α avec r pour que l’angle effectif d’incidence β(r) reste constant tout le long de lapale pour un vent u0 donne : β(r) = β0. Tracer l’allure de l’evolution de α avec r. Cette evolution est- elleen accord avec le vrillage visible sur la figure 1 ? En prenant β0 = 10˚en deduire que α(R) > 90˚si R estsuperieur a une valeur que l’on calculera.

4) On considere que l’air est ejecte par la pale dans son plan (dans la direction de son bord de fuite, c’estla condition du Kutta). En deduire qu’en plus de la composante axiale u, la vitesse de l’air en sortie depale a une composante orthoradiale uθ qui conduit a une helicite de l’ecoulement en aval de l’eolienne.Montrer que uθ(r) = −u tan[β0 + arctan(Ωr/u)]. En deduire l’existence d’une circulation non nulle de lavitesse Γ(r) sur un cercle de rayon r. En supposant β0 tres petit, tracer l’allure de Γ(r) avec r.

54

H — Effet siphon

D’apres l’examen de janvier 2007

H.1 Hydrostatique

On aspire a l’aide d’un tube mince de hauteur h, de section circulaire de diametre φ, de l’eau contenue dansun recipient. Lorsque le tube est plein, on bouche son extremite haute avec un doigt, et on retire le tube durecipient (Figure 1). On note P0 la pression atmospherique, supposee constante et uniforme.

Fig. 1 – Le tube est rempli d’eau par aspiration (a), bouche sur son extremite superieure, et retire du recipient(b).

1) Hydrostatique dans un tube d’une hauteur h moderee.

a) En faisant un bilan des forces, expliquer qualitativement pourquoi l’eau ne coule pas sur la Figure 1b.

b) Calculer la pression exercee par l’eau sur le doigt. Application numerique.

2) On suppose maintenant que la longueur du tube peut etre tres grande.

a) Pour quelle hauteur critique hc du tube, tenu verticalement, la pression s’annulerait-elle sur le doigt,de telle sorte que de l’eau commencerait a s’ecouler par le bas ? Application numerique.

b) Pour h > hc, lorsque l’equilibre est retrouve, quelle hauteur heq d’eau reste-t-il dans le tube ? Qu’ya-t-il alors dans le haut du tube ?

c) Quelle serait la longueur critique du tube, au-dela de laquelle du fluide s’ecoulerait du tube, s’il etaitincline d’un angle θ par rapport a la verticale ? Application numerique : θ = 60. Que se passerait-il sile tube etait de diametre plus gros ?

d) Dans la pratique, lorsque la pression de l’eau descend en-dessous d’une valeur ps P0 de pression devapeur saturante, l’eau passe de l’etat liquide a l’etat gazeux. En deduire la hauteur hs d’eau restanteffectivement dans le tube, celui-ci etant maintenu vertical. Estimer la correction (heq − hs)/heq, etconclure. Application numerique : ps = 1300 Pa a 10˚C.

3) On bouche maintenant l’extremite basse du tube, et on recourbe l’extremite haute, formant un U renverseplein d’eau (figure 2a). La hauteur du bras droit vaut hD, celle du bras gauche hG.Le fluide ne coule pas, l’equilibre est hydrostatique.

a) Quelle sont les pressions aux points E, H, B ?

b) En deduire la hauteur hGmaxmaximale du bras gauche qui garantit que le fluide reste dans le tube.

Est-elle atteinte avec le tube de longueur totale h = 20 cm ?

c) On plonge l’extremite gauche du tube en U dans un recipient contenant de l’eau sur une longueur him

(Figure 2b). Exprimer la pression exercee sur le doigt en fonction de ∆h. Application numerique.

d) On retire le doigt. Decrire qualitativement ce qui se passe. Cet effet est appele « effet siphon » . Qu’est-cequi peut limiter le debit de vidange ?

55

Fig. 2 – a) La partie gauche du tube est recourbee. Le tube est rempli d’eau, et le point B est bouche. b) Lebras gauche du tube vient plonger dans un recipient d’eau, et le tube au point B est ouvert : l’effet siphon estamorce. Une ligne de courant grisee est representee.

H.2 Ecoulement du fluide dans le tube

On a amorce l’effet siphon dans le tube de la Figure 2b, et on s’interesse a la dynamique du fluide dans letube. Le recipient est considere comme un reservoir illimite d’eau, tel que son niveau reste quasi-constant aucours du temps, meme lorsque de l’eau s’ecoule par le bas du tube. On notera z l’altitude (axe Oz dirige versle haut) avec une origine z = 0 au niveau de la surface libre (zE et zB sont donc negatifs).

1) On considere dans un premier temps que le fluide est parfait, et l’ecoulement est irrotationnel et station-naire.

a) L’equation de Bernoulli s’applique-t-elle ?b) D’apres l’enonce, que vaut la vitesse en A ? En suivant la ligne de courant dessinee sur la Figure 2b,

calculer la vitesse du fluide a la sortie du tube (point B). On notera VB cette vitesse.c) Justifier pourquoi la vitesse doit etre la meme partout dans le tube.d) Indiquer comment varie la pression P (z) dans le tube. Tracer l’evolution de P (z) et placez y les points

E et H. Comparer au cas hydrostatique.

2) En fait la viscosite dynamique η de l’eau n’est pas nulle.On veut determiner le profil de vitesse dans lapartie verticale du tube, en amont du point B. Dans la section transverse du tube considere, d’altitudez constante, un point de la section est repere par ses coordonnees polaires (r, θ), l’axe du tube etant enr = 0. On suppose que l’ecoulement est axisymetrique, de sorte que :

~v = −v(r) ~ez. (1)

et que le regime est stationnaire.

a) Que vaut la vitesse sur les bords du tube (en r = φ/2 = R) ?

b) Montrer que la derivee lagrangienne de la vitesse D~vDt est nulle dans les conditions du probleme.

c) Montrer que l’equation de Navier-Stokes se reduit, dans la partie verticale du tube, a l’equation deStokes :

−−−→gradPg + η~∆~v = 0, (2)

ou l’on explicitera la pression motrice Pg.d) Montrer que la pression P est uniforme dans la section transverse consideree dans le tube.

e) Montrer que K = ∂Pg

∂zne depend pas de z. En d eduire que Pg est une fonction simple de z.

56

f) En projetant l’equation (2) sur ~ez, deduire de la question 4) que :

η∆v(r) = K, (3)

ou K est une constante que l’on n’explicitera pas.

g) En deduire comment varie le profil de vitesse v(r) dans la section consideree (on tirera profit de l’ecrituredu Laplacien en coordonnees cylindriques donnee dans l’Annexe).

h) Dessiner l’allure du profil de vitesse v(r).

i) En deduire la vitesse moyenne (ou debitante) du tube :

Vd =1S

∫∫S

~v(r) · ~dS, (4)

ou S est la section du tube. Comparer Vd a V0 = v(0).

3) Puissance dissipee en regime permanent.

a) Determiner la force de frottement parietal, par unite de surface :

τ = ηdv

dr

∣∣∣∣r=φ/2

. (5)

b) En integrant sur la surface du tube avec laquelle l’eau est en contact, deduire la force de frottement ftotale resultante.

c) En deduire la puissance des forces de frottement :

Pf = f · Vd. (6)

et l’exprimer en fonction du debit Q.

d) En considerant que toute l’energie produite par les frottements est transferee sous forme de chaleurdans le fluide, determiner l’elevation de temperature du fluide par unite de volume et de temps (on notecv la capacite calorifique par unite de masse a volume constant de l’eau).

H.3 Annexe

Caracteristiques de l’eau :ρ = 103 kg ·m−3

η = 10−3 kg ·m−2 · s−1

g = 9.8 m · s−2

cv = 4.2× 103 J · kg−1 ·K−1

ps = 1300 Pa a 10˚CCaracteristiques du tube :φ = 1 cmh = 20 cmhG = 5 cmhD = 13 cmhim = 2 cmPression atmospherique :P0 = 105 Pa

57

Annexes

58

I — Formulaire

I.1 Operateurs differentiels

• Relations usuelles :

div (−−→gradU) = ∆U

div (−→rot ~A) = 0

−→rot (

−−→gradU) = 0

−→rot (

−→rot ~A) =

−−→grad div ~A− ~∆ ~A

−−→grad (UW ) = U

−−→gradW +W

−−→gradU

div (U ~A) = U div ~A+ ~A ·−−→gradU

−→rot (U ~A) =

−−→gradU ∧ ~A+ U

−→rot ~A

−−→grad ( ~A · ~B) = ~A ∧ −→rot ~B + ~B ∧ −→rot ~A+ ( ~B ·

−−→grad ) ~A+ ( ~A ·

−−→grad ) ~B

div ( ~A ∧ ~B) = ~B · −→rot ~A− ~A · −→rot ~B−→rot ( ~A ∧ ~B) = ~Adiv ~B − ~B div ~A+ ( ~B ·

−−→grad ) ~A− ( ~A ·

−−→grad ) ~B

• Relations integrales :∮C

~A ·−→dl =

∫∫S(C)

−→rot ~A ·

−→dS (theoreme de Stokes)∮

C

U−→dl = −

∫∫S(C)

−−→gradU ∧

−→dS

©∫∫

S

~A ·−→dS =

∫∫∫V (S)

div ~AdV (theoreme de Green–Ostrogradsky)

©∫∫

S

U−→dS =

∫∫∫V (S)

−−→gradU dV

©∫∫

S

~A ∧−→dS = −

∫∫∫V (S)

−→rot ~AdV

©∫∫

S

(U−−→gradW −W

−−→gradU) ·

−→dS =

∫∫∫V (S)

(U∆W −W∆U) dV

• Theoreme de Leibnitz :

d

dt

∫ h(t)

0

f(x, t) dx =∫ h(t)

0

∂f

∂tdx+ f [h(t), t]

dh(t)dt

• Theoreme du transport de Reynolds :

d

dt

∫∫∫V (t)

f(~r, t) dV =∫∫∫

V (t)

[∂f

∂t+ div

(fd~r

dt

)]dV

• Coordonnees cartesiennes :

−−→grad (U) = ~∇(U) =

∂U

∂x~ex +

∂U

∂y~ey +

∂U

∂z~ez

div ( ~A) = ~∇ · ~A =∂Ax

∂x+∂Ay

∂y+∂Az

∂z

−→rot ( ~A) = ~∇∧ ~A =

(∂Az

∂y− ∂Ay

∂z

)~ex +

(∂Ax

∂z− ∂Az

∂x

)~ey +

(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)~ez

59

Fig. 1 – Notations utilisees dans le systeme des coordonnees cylindriques (r, θ, z)

∆U = ~∇2(U) =∂2U

∂x2+∂2U

∂y2+∂2U

∂z2

~∆( ~A) = ~∇2( ~A) = (∆Ax)~ex + (∆Ay)~ey + (∆Az)~ez

• Coordonnees cylindriques :

−−→gradU = ~∇U =

∂U

∂r~er +

1r

∂U

∂θ~eθ +

∂U

∂z~ez

div ( ~A) = ~∇ · ~A =1r

∂(rAr)∂r

+1r

∂Aθ

∂θ+∂Az

∂z

−→rot ( ~A) = ~∇∧ ~A =

(1r

∂Az

∂θ− ∂Aθ

∂z

)~er +

(∂Ar

∂z− ∂Az

∂r

)~eθ +

(1r

∂(rAθ)∂r

− 1r

∂Ar

∂θ

)~ez

∆U = ~∇2U =1r

∂

∂r(r∂U

∂r) +

1r2∂2U

∂θ2+∂2U

∂z2

~∆( ~A) = ~∇2 ~A = (∆Ar −Ar

r2− 2r2∂Aθ

∂θ)~er + (∆Aθ −

Aθ

r2+

2r2∂Ar

∂θ)~eθ + (∆Az)~ez

• Coordonnees spheriques :

Fig. 2 – Notations utilisees dans le systeme des coordonnees spheriques (r, θ, ϕ)

−−→grad (U) = ~∇U =

∂U

∂r~er +

1r

∂U

∂θ~eθ +

1r sin θ

∂U

∂ϕ~eϕ

60

div ( ~A) = ~∇ · ~A =1r2∂(r2Ar)∂r

+1

r sin θ∂(sin θAθ)

∂θ+

1r sin θ

∂Aϕ

∂ϕ

−→rot ( ~A) = ~∇∧ ~A =

1r sin θ

(∂(sin θAϕ)

∂θ− ∂Aθ

∂ϕ)~er +

1r(

1sin θ

∂Ar

∂ϕ− ∂(rAϕ)

∂r)~eθ +

1r(∂(rAθ)∂r

− ∂Ar

∂θ)~ez

∆U = ~∇2U =1r

∂2

∂r2(rU) +

1r2 sin θ

∂

∂θ(sin θ

∂U

∂θ) +

1r2 sin2 θ

∂2U

∂ϕ2

~∆( ~A) = ~∇2 ~A = (∆Ar −2r2Ar −

2r2 sin θ

∂

∂θ(sin θAθ)−

2r2 sin θ

∂Aϕ

∂ϕ)~er

+(∆Aθ −Aθ

r2 sin2 θ+

2r2∂Ar

∂θ− 2 cos θr2 sin2 θ

∂Aϕ

∂ϕ)~eθ + (∆Aϕ −

Aϕ

r2 sin2 θ+

2r2 sin θ

∂Ar

∂ϕ+

2 cos θr2 sin2 θ

∂Aθ

∂ϕ)~eϕ

I.2 Conservation de la masse et equation de Navier–Stokes

Pour un fluide Newtonien et incompressible on a :

div (~u) = ~∇ · ~u = 0

∂~u

∂t+ (~u · ~∇)~u = −1

ρ~∇p+ ~fm + ν ~∇2u

• En coordonnees cartesiennes avec ~u = (u, v, w) :

∂u

∂x+∂v

∂y+∂w

∂z= 0

sur l’axe x

ρ

[∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y+ w

∂u

∂z

]= −∂p

∂x+ fx + η

[∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

]sur l’axe y

ρ

[∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y+ w

∂v

∂z

]= −∂p

∂y+ fy + η

[∂2v

∂x2+∂2v

∂y2+∂2v

∂z2

]sur l’axe z

ρ

[∂w

∂t+ u

∂w

∂x+ v

∂w

∂y+ w

∂w

∂z

]= −∂p

∂z+ fz + η

[∂2w

∂x2+∂2w

∂y2+∂2w

∂z2

]

• En coordonnees cylindriques avec ~u = (ur, uθ, uz) :

1r

∂(rur)∂r

+1r

∂uθ

∂θ+∂uz

∂z= 0

sur l’axe r

ρ[∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+uθ

r

∂ur

∂θ+ uz

∂ur

∂z− u2

θ

r] = −∂p

∂r+ fr + η[

1r

∂

∂r

(r∂ur

∂r

)− ur

r2+

1r2∂2ur

∂θ2+∂2ur

∂z2− 2r2∂uθ

∂θ]

sur l’axe θ

ρ[∂uθ

∂t+ur

∂uθ

∂r+uruθ

r+uθ

r

∂uθ

∂θ+ uz

∂uθ

∂z]=−1

r

∂p

∂θ+ fθ + η[

1r

∂

∂r

(r∂uθ

∂r

)− uθ

r2+

1r2∂2uθ

∂θ2+∂2uθ

∂z2+

2r2∂ur

∂θ]

sur l’axe z

ρ

[∂uz

∂t+ ur

∂uz

∂r+uθ

r

∂uz

∂θ+ uz

∂uz

∂z

]= −∂p

∂z+ fz + η

[1r

∂

∂r

(r∂uz

∂r

)+

1r2∂2uz

∂θ2+∂2uz

∂z2

]

61

• En coordonnees spheriques avec ~u = (ur, uθ, uϕ) :

∂ur

∂r+

2ur

r+

1r

∂uθ

∂θ+uθ cot θ

r+

1r sin θ

∂uϕ

∂ϕ= 0

sur l’axe r

ρ

[∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+uθ

r

∂ur

∂θ+

uϕ

r sin θ∂ur

∂ϕ− u2

θ

r−u2

ϕ

r

]= −∂p

∂r+ fr

+η[1r

∂2

∂r2(r ur)−

2ur

r2+

1r2∂2ur

∂θ2+

cot θr2

∂ur

∂θ+

1r2 sin2 θ

∂2ur

∂ϕ2− 2r2∂uθ

∂θ− 2uθ cot θ

r2− 2r2 sin θ

∂uϕ

∂ϕ

]sur l’axe θ

ρ[∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+uruθ

r+uθ

r

∂uθ

∂θ+

uϕ

r sin θ∂uθ

∂ϕ−u2

ϕ cot θr

] = −1r

∂p

∂θ+ fθ

+η[1r

∂2

∂r2(r uθ)−

uθ

r2 sin2 θ+

1r2∂2uθ

∂θ2+

cot θr2

∂uθ

∂θ+

1r2 sin2 θ

∂2uθ

∂ϕ2+

2r2∂ur

∂θ− 2 cos θr2 sin2 θ

∂uϕ

∂ϕ]

l’axe ϕ

ρ[∂uϕ

∂t+ ur

∂uϕ

∂r+uruϕ

r+uθ

r

∂uϕ

∂θ+uθuϕ cot θ

r+

uϕ

r sin θ∂uϕ

∂ϕ] = − 1

r sin θ∂p

∂ϕ+ fϕ

+η[1r

∂2

∂r2(r uϕ)− uϕ

r2 sin2 θ+

1r2∂2uϕ

∂θ2+

cot θr2

∂uϕ

∂θ+

1r2 sin2 θ

∂2uϕ

∂ϕ2+

2r2 sin θ

∂ur

∂ϕ+

2 cos θr2 sin2 θ

∂uθ

∂ϕ]

62

J — A propos du theoreme du transport de Reynolds

Soit une fonction f(~r, t) dependant des coordonnees d’espace ~r et du temps t. On s’interesse aux variationstemporelles de la grandeur

M(t) =∫D(t)

f(~r, t) d3~r,

ou le domaine D(t) considere peut se deplacer et se deformer au cours du temps (on parle de volume de controle).On note

−→V (~r, t) la vitesse de deplacement d’un point ~r se situant sur la surface S(t) du domaine mobile D(t).

On peut montrer que

d

dt

[∫D(t)

f(~r, t) d3~r

]=

∫D(t)

∂f

∂td3~r + ©

∫∫S(t)

f(~r, t)−→V (~r, t) · d

−→S (1)

=∫D(t)

∂f

∂t+ div

[f(~r, t)

−→V (~r, t)

]d3~r (2)

Ce resultat constitue le theoreme du transport de Reynolds, qui peut se generaliser a une grandeur−→F (~r, t)

vectorielle. En effet, en ecrivant (1) pour chacune des composantes du champ−→F , il vient :

d

dt

[∫D(t)

−→F (~r, t) d3~r

]=

∫D(t)

∂−→F

∂td3~r + ©

∫∫S(t)

−→F (~r, t)

(−→V · d

−→S

). (3)

Pour un volume de controle fixe, on retrouve :

d

dt

∫D

−→F (~r, t) d3~r =

∫D

∂−→F

∂td3~r. (4)

J.1 Conservation de la masse

Dans le cas particulier ou f designe la masse volumique ρ(~r, t) d’un fluide (eventuellement compressible) dechamp de vitesse ~v(~r, t), le taux de variation de la masse M(t) contenue dans le domaine D(t) est ainsi donnepar

dM

dt=

∫D(t)

∂ρ

∂td3~r + ©

∫∫S(t)

ρ(~r, t)−→V · d

−→S =

∫D(t)

[∂ρ

∂t+ div

(ρ−→V

)]d3~r.

Le deplacement de D(t) est pour le moment arbitraire (en consequence de quoi−→V 6= ~v en general). On peut

neanmoins choisir de suivre dans leur mouvement les particules fluides contenues a l’instant initial dans ledomaine D(0) (le volume de controle est alors un volume “materiel”). Dans ces conditions,

−→V = ~v. De plus,

en l’absence de sources de creation ou d’annihilation de matiere (cas generique), la masse M(t) se conserve aucours du temps, independamment des deformations de D(t). On a alors

dM

dt= 0 ⇐⇒

∫D(t)

[∂ρ

∂t+ div (ρ~v)

]d3~r = 0,

et l’on retrouve la relation de continuite.Exemple d’application : obtention des equations du mouvement en “eau peu profonde”

J.2 Transport de la quantite de mouvement

Soit a l’instant t = 0 un volume D(0), que l’on suit avec le mouvement des particules fluides qu’il contient(volume materiel). Comme precedemment, on a ici

−→V (M, t) = ~v(M, t) pour tous les points M de la surface S(t)

du volume D(t). On note−→F (t) la resultante des forces exterieures s’exercant sur D(t). La relation fondamentale

de la dynamique s’ecrit−→F (t) =

d

dt

[∫D(t)

ρ(~r, t)~v(~r, t) d3~r

],

que l’on peut reexprimer a l’aide du theoreme du transport :

−→F (t) =

∫D(t)

∂

∂t(ρ~v) d3~r + ©

∫∫S(t)

ρ~v(~v · d

−→S

). (5)

63

Exemple d’application : voir le TD sur le ressaut hydraulique (page 8). Obtention de la vitesse de propagationd’un mascaret en fonction des caracteristiques du ressaut.

Exercice 1 A l’aide du theoreme du transport, retrouver la regle de Leibnitz

d

dt

∫ h(t)

0

f(x, t) dx =∫ h(t)

0

∂f

∂tdx+ f [h(t), t]

dh(t)dt

.

Exercice 2 Interpretation de l’operateur divergence.Soit un volume materiel elementaire δv. Etablir que le taux de variation de δv est donne par la divergence duchamp de vitesse ~v :

1δv

d(δv)dt

= div~v.

Exercice 3 Considerons un volume materiel D(t). Montrer que pour toute fonction Φ(~r, t), on a

d

dt

∫D(t)

ρΦ d~r =∫D(t)

ρDΦDt

d~r,

ou D/Dt designe la derivee particulaire. Ce resultat est parfois designe sous le nom de theoreme de Reynolds.

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