Egalisation aveugle et turbo égalisation dans les canaux sélectifs en ...

ABDELLAH BERDAI

Egalisation aveugle et turbo égalisation dans lescanaux sélectifs en fréquence invariants et variants

dans le temps.

Mémoire présentéà la Faculté des études supérieures de l'Université Laval

dans le cadre du programme demaîtrise en génie électrique

pour l'obtentiondu grade de Maître es science (M.Se)

FACULTE DE SCIENCES ET DE GENIEUNIVERSITÉ LAVAL

QUÉBEC

2006

©Abdellah Berdai, 2006

Résumé

Nous étudions à travers ce travail de recherche les méthodes d'égalisation entraînéeet aveugle dans les canaux de communications sélectifs en fréquence invariants et va-riants dans le temps. Ces méthodes d'égalisation trouvent leur place dans un grandnombre d'applications telles que les télécommunications sans fil, le traitement de laparole, etc. L'objectif de l'égalisation entraînée est d'identifier les données émises à par-tir des observations issues de l'antenne et des séquences d'apprentissage préalablementconnues par le récepteur. Alors que l'égalisation aveugle consiste à identifier les donnéesémises uniquement à partir des observations issues de l'antenne. Les méthodes aveuglesn'ont donc connaissance a priori ni des signaux émis ni du canal de transmission.Dans le cadre de notre recherche, nous proposons trois modèles d'égalisation : deuxmodèles autodidactes (sans séquence d'apprentissage) pour l'égalisation dans les canauxsélectifs en fréquence et invariants, et un modèle entraîné (avec séquence d'apprentis-sage) pour l'égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps.

Abstract

In this research work, we study the blind and trained equalization methods overstationary and time varying frequency sélective channels. Thèse equalization methodsfind their place in a large number of applications such as wireless Systems, speechprocessing, etc. The objective of trained equalization is to identify the transmitted datafrom the received signais and from training séquences known beforehand by the receiver,whereas blind equalization identifies the transmitted data only from the received signais.Blind methods do not hâve a prior information about transmitted signais, nor thechannel.Within the framework of our research, we propose three equalization models : twoblind models (without training séquence) for the equalization over stationary frequencysélective channels, and a trained model (with a training séquence) for the equalizationover time varying frequency sélective channels.

Avant-propos

Je tiens tout d'abord à remercier mon directeur de recherche, le Professeur Huu TuéHuynh et mon codirecteur, le Professeur Jean-Yves Chouinard, pour l'honneur qu'ilsm'ont fait en acceptant de diriger mes travaux de recherche et qui m'ont fait découvriret partager leur vision de recherche.

Mes plus vifs remerciements s'adressent aux membres du jury, Professeur Paul For-tier et Professeur Dominic Grenier de l'Université Laval. Leurs commentaires et leurssuggestions sont très importants pour le développement de mon travail de recherche.J'adresse aussi mes remerciements à tout le personnel du Laboratoire de radiocommu-nications et de traitement du signal (LRTS), professeurs et étudiants et à tous ceux quim'ont aidé de près ou de loin pour l'accomplissement de ce travail de recherche.

Je souhaite exprimer toute ma reconnaissance à l'état algérien de leur soutien finan-cier.

Je remercie chaleureusement mes parents, mon épouse Karima et mes filles Sabrineet Sarah qui ont fait de mes études leur premier souci.

Table des matières

Résumé i

Abstract ii

Avant-propos iii

Table des matières iv

Liste des figures vii

Liste des tableaux xi

Abréviations xii

Notation xiii

1 Introduction générale 1

1.1 Motivation et problématique 31.1.1 Canaux sélectifs en fréquence et invariants 31.1.2 Canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps 3

1.2 Contributions de notre recherche 41.3 Plan du mémoire 5

2 Revue de la littérature 62.1 Introduction 62.2 Modèle en temps discret du canal AWGN avec l'interférence entre symboles 72.3 Caractérisation du canal radio mobile 11

2.3.1 Fonction d'autocorrélation et densité spectrale de puissance ducanal radio mobile 12

2.3.2 Sélectivité fréquentielle 142.3.3 Sélectivité temporelle 142.3.4 Modèle du canal de Rayleigh 15

Table des matières

2.4 Codage de canal 162.4.1 Les codeurs turbo 172.4.2 Décodage itératif des codes turbo ' 18

2.5 Principales structures d'égaliseurs 202.5.1 Égaliseur linéaire (LE) 212.5.2 Égaliseur à retour de décision (DFE) 212.5.3 Egaliseur annuleur d'interférences (AI) 222.5.4 Egaliseur basé sur une structure en treillis 24

2.6 Algorithmes d'égalisation entraînée 252.6.1 Algorithme LMS 252.6.2 Algorithme RLS 26

2.7 Comparaison des principales structures d'égaliseurs 272.7.1 Comparaisons des égaliseurs LE, DFE et AI 272.7.2 Comparaison des égaliseurs DFE et MLSE 28

2.8 Algorithmes d'égalisation autodidacte 302.8.1 Egaliseurs utilisant les algorithmes des moindres carrés LMS et

RLS en mode de décision directe 302.8.2 Algorithme de Sato 312.8.3 Algorithme de Godard 312.8.4 Algorithme BGR 32

2.9 Conclusion 33

3 Egalisation aveugle dans les canaux invariants sélectifs en fréquence 343.1 Introduction 343.2 Principe de fonctionnement de l'égaliseur bidirectionnel autodidacte pro-

posé 363.3 Evaluation des performances de l'égaliseur bidirectionnel autodidacte . 38

3.3.1 Chaîne de transmission 393.3.2 Egaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS 403.3.3 Egaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS 463.3.4 Egaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS 513.3.5 Complexité calculatoire des égaliseurs proposés 56

3.4 Conclusion 57

4 Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et

invariants 58

4.1 Introduction 584.2 État de l'art en turbo égalisation 59

4.2.1 Turbo égaliseur MAP - MAP 614.2.2 Turbo égaliseur AI - MAP 62

Table des matières vi

4.2.3 Turbo égaliseur DFE - MAP 634.3 Turbo égaliseur aveugle proposé 64

4.3.1 Chaîne de transmission pour le turbo égaliseur aveugle proposé 644.3.2 Principe de fonctionnement du turbo égaliseur aveugle 654.3.3 Décodage des données 664.3.4 Egaliseur annuleur d'interférences 684.3.5 Initialisation du turbo égaliseur 73

4.4 Performances du turbo égaliseur proposé . . . 744.4.1 Résultats dans le canal A de Proakis 754.4.2 Résultats dans le canal B de Proakis 764.4.3 Influence de l'égaliseur de la première itération 784.4.4 Influence du filtrage d'erreur 794.4.5 Influence du facteur de fiabilité de canal . . 794.4.6 Complexité calculatoire du turbo égaliseur proposé 81

4.5 Conclusion 82

5 Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variantsdans le temps 845.1 Introduction 845.2 Turbo égalisation dans un canal de Rayleigh sélectif en fréquence . . . 85

5.2.1 Chaîne de transmission du turbo égaliseur pour un canal sélectifen fréquence et non stationnaire 86

5.2.2 Architecture globale du turbo égaliseur 865.2.3 Egaliseur annuleur d'interférences 885.2.4 Estimateur de canal 895.2.5 Décodage des données 905.2.6 Initialisation du turbo égaliseur 92

5.3 Analyse des performances du turbo égaliseur 945.3.1 Performances en terme de taux d'erreur binaire 965.3.2 Estimation de canal 1025.3.3 Erreur quadratique en sortie de l'égaliseur annuleur d'interférences 1035.3.4 Influence de la vitesse du mobile 103

5.4 Conclusion 104

6 Conclusion et perspectives 106

Bibliographie 108

A Factorisation spectrale d'un canal avec interférences entre symboles 113

B Expressions optimales des filtres de l'égaliseur annuleur d'interférencesll5

Liste des figures

2.1 Chaîne de communication pour un canal AWGN avec interférence entresymboles 7

2.2 Modèle discret équivalent de l'interférence entre symboles dans un canalAWGN 8

2.3 Caractéristiques du canal A de Proakis. a) Réponse en amplitude, b)Réponse en phase, c) Les zéros de canal 10

2.4 Caractéristiques du canal B de Proakis. a) Réponse en amplitude, b)Réponse en phase, c) Les zéros de canal 10

2.5 Caractéristiques du canal C de Proakis. a) Réponse en amplitude, b)Réponse en phase, c) Les zéros de canal 11

2.6 Architecture d'un codeur turbo 172.7 Schéma du décodeur turbo 19

2.8 Egaliseur linéaire (LE) 212.9 Egaliseur à retour de décision (DFE) 222.10 Egaliseur annuleur d'interférences (AI) 232.11 a) Modèle d'un canal discret équivalent (L = 2). b) Codeur convolutif

de rendement R = 1/2 242.12 Canal B de Proakis. a) Canal discret équivalent, b) Diagramme d'état. 242.13 TES des égaliseurs MLSE et DFE pour le modèle de canal B de Proakis. 292.14 TES des égaliseurs MLSE et DFE pour le modèle de canal C de Proakis. 29

3.1 Architecture de l'égaliseur bidirectionnel autodidacte proposé 363.2 Egaliseur DD.DFE.LMS. a) Evolution de l'erreur quadratique moyenne.

b) Evolution des erreurs de décision 363.3 Chaine de transmission pour l'évaluation de l'égaliseur autodidacte pro-

posé 393.4 Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS. . . 41

Liste des figures viii

3.5 Résultats dans le canal A de Proakis. a) Constellation des symboles reçus.b) Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS (1).c) Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS (2).d) Constellation des symboles sélectionnés, e) Evolution de l'EQM del'égaliseur DD.DFE.LMS (1). f) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DD.DFE.LMS

(2) 433.6 TES de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS (Canal

A de Proakis) 453.7 TES de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS (Canal

B de Proakis) 453.8 Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS 473.9 Résultats dans le canal A de Proakis. a) Constellation des symboles

reçus, b) Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DFE.CMA.c) Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS. d)Constellation des symboles sélectionnés, e) Evolution de l'EQM de l'égaliseurDFE.CMA. f) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DD.DFE.LMS 48

3.10 TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS (Canal Ade Proakis) 50

3.11 TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS (Canal Bde Proakis) 50

3.12 Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS. . . . 523.13 Résultats dans le canal A de Proakis. a) constellation des symboles

reçus, b) constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DFE.SATO.c) constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS. d)Constellation des symboles sélectionnés, e) Evolution de l'EQM de l'égaliseurDFE.SATO. f) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DD.DFE.LMS. . . . 53

3.14 TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS (Canal Ade Proakis) 55

3.15 TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS (Canal Bde Proakis) 55

4.1 Chaîne de communication avec un turbo égaliseur 604.2 Schéma de principe de la turbo égalisation 604.3 Schéma d'un module de turbo égalisation 614.4 Turbo égaliseur de type MAP-MAP 614.5 Turbo égaliseur de type AI-MAP 624.6 Turbo égaliseur de type DFE-MAP 634.7 Schéma de la chaîne de transmission pour le turbo égaliseur proposé. . 654.8 Schéma du turbo égaliseur aveugle proposé. 664.9 Egaliseur AI conventionnel 694.10 Egaliseur AI utilisant le retour d'erreur (proposé) 69

Liste des ûgures ix

4.11 TEB en sortie de l'égaliseur de la première itération et l'égaliseur AI(canal A de Proakis) 75

4.12 TEB en sortie du décodeur LOG-MAP (canal A de Proakis) 764.13 TEB en sortie de l'égaliseur de la première itération et l'égaliseur AI

(canal B de Proakis) 774.14 TEB en sortie du décodeur LOG-MAP (canal B de Proakis) 774.15 Influence de l'égaliseur de la première itération (canal A de Proakis). . 784.16 Évolution de l'erreur quadratique moyenne en sortie de l'égaliseur AI

pour un canal B de Proakis et un rapport Eb/No = 5 dB en fonction dunombre de symboles (itérations) 79

4.17 Influence du facteur de fiabilité de canal 80

5.1 Schéma de la chaîne de transmission pour le turbo égaliseur proposé. . 865.2 Structure du turbo égaliseur proposé pour les canaux variants dans le

temps, sélectifs en fréquence 875.3 Schéma de l'annuleur d'interférences pour le canal non stationnaire, sélectif

en fréquence 895.4 Estimateur de canal avec l'algorithme des moindres carrés récursifs (RLS). 905.5 Egaliseur à la première itération 935.6 Circuit de commande automatique de gain (CAG) 945.7 a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles en

sortie de l'égaliseur DFE.RLS, itération 1. c) Constellation des symbolesen sortie de l'Ai, itération 2. d) Constellation des symboles en sortie del'Ai, itération 3. Eb/N0 = 4 dB, fm = 0.0005 96

5.8 a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles ensortie de l'égaliseur DFE.RLS, itération 1. c) Constellation des symbolesen sortie de l'Ai, itération 2. d) Constellation des symboles en sortie del'Ai, itération 3. Eb/NQ = 5 dB, fm = 0.001 97

5.9 a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles ensortie de l'égaliseur DFE.RLS, itération 1. c) Constellation des symbolesen sortie de l'Ai, itération 2. d) Constellation des symboles en sortie del'Ai, itération 3. Eb/N0 = 10 dB, fm = 0.002 97

5.10 TEB en sortie de l'égaliseur à la première itération et en sortie de l'Ai,fm = 0.0005, trois trajets 98



5.13 TEB en sortie du décodeur de canal, fm = 0.0005, trois trajets 1005.14 TEB en sortie du décodeur de canal, fm = 0.001, trois trajets 1015.15 TEB en sortie du décodeur de canal, fm = 0.002, trois trajets 101

Liste des figures x

5.16 Enveloppe estimée et réelle du 3 i ème trajet, Eb/N0 =5 dB, fm = 0.001. . 1025.17 Enveloppe estimée et réelle du 3 i ème trajet, Eb/NQ =8 dB, fm = 0.002. . 1025.18 Comparaison de l'erreur quadratique moyenne (EQM) en sortie de l'Ai

(Iter 2) avec et sans filtrage de l'erreur, Eb/N0 =5 dB, fm = 0.002, troistrajets 103

5.19 TEB en sortie du décodeur de canal, (a) fm = 0.0005, (b) fm = 0.001,(c) fm = 0.0015, (d) fm = 0.002, (e) fm = 0.0025, (f) fm = 0.003. . . . 104

A.l Modèle de transmission avec interférence entre symboles 113

B.l Egaliseur annuleur d'interférences (AI) 115B.2 Représentation de l'erreur {efc} pour l'égaliseur annuleur d'interférences. 117

Liste des tableaux

2.1 Coefficients du canal A de Proakis 92.2 Coefficients du canal B de Proakis. . 92.3 Coefficients du canal C de Proakis. . 112.4 Paramètres des égaliseurs DFE.LMS et MLSE (estimateur RLS). . . . 28

3.1 Les paramètres optimaux des égaliseurs DD.DFE.LMS 433.2 Paramètres des égaliseurs DD.DFE.LMS 443.3 Paramètres de l'égaliseur DFE.LMS entraîné 443.4 Paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.CMA pour un SNR = 15 dB,

canal A de Proakis 473.5 Paramètres de l'égaliseur DFE.CMA 493.6 Paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.SATO pour un SNR = 15 dB,

canal A de Proakis 52

3.7 Paramètres de l'égaliseur DFE.SATO 543.8 Complexité calculatoire des égaliseurs autodidactes 57

4.1 Paramètres du turbo égaliseur proposé 744.2 Complexité calculatoire des turbo égaliseurs (TE) 82

5.1 Paramètres de simulation du turbo égaliseur pour les canaux variants,sélectifs en fréquence 95

Abréviations

AI Annuleur d'interférences « Interférences canceller (IC) »CAG Commande automatique de gain « Automatique gain command (AGC) »CMA Algorithme à module constant « Constant modulus algorithm »DFE Egaliseur à retour de décision « Décision feedback equalizer »DD.DFE DFE en mode de décision directe « DFE in direct décision mode »DD.LMS Algorithme LMS en mode de décision directe

« LMS algorithm in direct décision mode »DD.RLS Algorithme RLS en mode de décision directe

« RLS algorithm in direct décision mode »DFE.LMS DFE adapté par algorithme LMS « DFE adapted by LMS algorithm »DFE.CMA DFE adapté par algorithme CMA « DFE adapted by CMA algorithm »DFE.SATO DFE adapté par algorithme SATO « DFE adapted by SATO algorithm »EQM Erreur quadratique moyenne « Mean square error (MSE) »EQMM Erreur quadratique moyenne minimale

« Minimum mean Square Error (MMSE) »ISI Interférence entre symboles « Inter symbol interférence »LE Egaliseur linéaire « Linear equalizer »LMS Moindre carré moyen « Least mean square »MAP a posteriori maximale « Maximum a posteriori »MLSE Estimation de séquence à vraisemblance maximale

« Maximum likelihood séquence estimation »NRNSC Codeur convolutif non récursif non systématique

« Non recursive non systematic convolutional code »RLS Moindre carré récursif « Recursive least square »RSC Codeur convolutif systématique et récursif

« Recursive systematic convolutional code »SNR Rapport signal à bruit « Signal to noise ratio »TC Codeur turbo « Turbo code »TD Décodeur turbo « Turbo décoder »TE Egaliseur Turbo « Turbo equalizer »TEB Taux d'erreur binaire « Binary error rate »TES Taux d'erreur par symbole « Symbol error rate »

Notation

Variables utilisées

Bs largeur de bande du signal émisDs débit des symbolesefc erreur de décisionfc fréquence porteusefd fréquence Dopplerfm fréquence Doppler normaliséehn coefficient du canal discret équivalenth(t, T) réponse impulsionnelle du canal/fc symbole d ' informationI matr ice identitéJ erreur quadra t ique moyenneJmin erreur quadra t ique moyenne minimaleLc facteur de fiabilité du canal de transmissionrik bruit blanc additif gaussien « Additive white gaussian noise »r]k bruit coloréR rendement de codageS (/) densité spectrale de puissanceTs durée d'un symbolev vitesse du mobileVk échantillon du signal reçuXk échantillon du signal transmisXk échantillon du signal égaliséXk échantillon du signal estiméDk échantillon du signal à la sortie du filtre de réceptionA pas d'adaptationa\ variance du bruit additifa2

x variance du signal transmisA facteur d'oubli

Notation xiv

Notation mathématique

E [x] espérance mathématique de la variable aléatoire xQ[x]&[x]ss*V

v'

<g>

partie imaginaire de xpartie réelle de xscalairescalaire conjuguévecteurvecteur transposéproduit de convolution

Chapitre 1

Introduction générale

Le traitement du signal est une discipline récente qui a développé ses propres

méthodes et a montré son applicabilité dans des contextes variés. Parmi ses domaines

d'application privilégiés est la conception de la couche physique des systèmes de com-

munications numériques. Dans ce cadre, les outils du traitement du signal sont couplés

avec ceux issus de la théorie de l'information pour permettre la conception des émetteurs

et mettre en place les algorithmes de réception possédant les meilleurs compromis per-

formances/complexité.

Ces systèmes de communications numériques nécessitent généralement la transmis-

sion de quantités importantes d'information dans des bandes de fréquence les plus

étroites possibles. L'optimisation du rapport débit/largeur de bande nécessite l'utili-

sation de modulations à grand nombre d'états. Ces modulations sont assez sensibles

aux interférences entre symboles introduites par la sélectivité fréquentielle du canal de

transmission multi trajets. Cette contrainte impose aux concepteurs des systèmes de

communication de mettre en oeuvre des méthodes de traitement permettant de com-

battre l'interférence entre symboles générée par ces canaux.

Il existe plusieurs techniques pour réduire les interférences entre symboles, parmi les-

quelles on peut citer : les techniques de transmission multi porteuses, les techniques

d'étalement de spectre, l'égalisation, etc. Ce travail de recherche étant consacré à

l'égalisation et au codage de canal.

La technique d'égalisation apparaît comme une technique de traitement de l'interférence

entre symboles efficace lorsque les canaux de transmission sont sélectifs en fréquence

Chapitre 1. Introduction générale 2

et invariants ou variants dans le temps. Les égaliseurs les plus utilisés en pratique sont

les égaliseurs adaptatifs. Ils sont les plus simples à mettre en oeuvre et peuvent être

construits à partir des filtres transverses dont les coefficients sont optimisés par un al-

gorithme des moindres carrés moyens (LMS) ou des moindres carrés récursifs (RLS).

Pour forcer la convergence de ces algorithmes vers la solution optimale recherchée, on

utilise une séquence d'apprentissage, c'est-à-dire un préambule constitué de données

connues au récepteur. Il est clair que l'efficacité spectrale de ces systèmes entraînés est

notablement affectée à cause de la présence de la séquence d'apprentissage.

Lorsque l'utilisation de la séquence d'apprentissage n'est pas possible, ou quand il est

nécessaire d'augmenter la capacité de transmission des systèmes de communications,

on doit recourir à des égaliseurs autodidactes (aveugles) qui basent leur traitement sur

la connaissance a priori des propriétés statistiques des signaux émis.

Ces égaliseurs autodidactes présentent un intérêt pratique non négligeable. En effet, la

suppression de la séquence d'apprentissage augmente considérablement la capacité de

transmission des systèmes de communications. C'est en ce sens que les égaliseurs autodi-

dactes présentent un intérêt majeur. Dans la littérature, on trouve plusieurs approches

d'égalisation autodidacte. On peut citer quelques algorithmes tels que ceux de Sato [1],

Godard [2], Benveniste et Goursat [3], Picchi [4], etc. La vitesse de convergence de ces

types d'algorithmes dépend de la fonction de coût utilisée. Généralement, les égaliseurs

autodidactes présentent des convergences lentes et des performances en régime établi

nettement inférieures à celles obtenues avec les égaliseurs pilotés par séquences d'ap-

prentissage. La principale raison est la difficulté à tenir compte du phénomène de pro-

pagation d'erreurs durant la phase de convergence des algorithmes. Pour cette raison,

plusieurs auteurs ont cherché à combiner l'égalisation et le décodage dans un système

itératif afin de s'affranchir des interférences entre symboles. Ces systèmes itératifs sont

nommés « turbo égaliseurs ». La première architecture du turbo égaliseur a été proposée

en 1995 par Berrou [5] et dont le principe trouve ses fondements dans les turbo codes

[6]. Elle associe un détecteur à maximum de vraisemblance avec un décodeur de canal.

La deuxième architecture a été introduite en 1997 par Laot [7] : celle-ci est formée d'un

égaliseur annuleur d'interférences et un décodeur MAP. La troisième architecture peu

utilisée, met en oeuvre un égaliseur à retour de décision et un décodeur de canal : elle

ne conduit pas cependant aux performances optimales [8].

Chapitre 1. Introduction générale

1.1 Motivation et problématique

Nous nous intéressons, dans notre recherche à l'égalisation dans les canaux sélectifs

en fréquence invariants et variants dans le temps. Nous traitons le cas de la transmission

des symboles non codés dans un premier temps. Puis, nous étudions le cas des symboles

turbo codés.

1.1.1 Canaux sélectifs en fréquence et invariants

Pour les canaux sélectifs en fréquence et invariants, il est possible de transmettre

des quantités importantes des données sans que le canal de transmission change de

manière significative. C'est pour cette raison que ces canaux sont considérés invariants

(stationnaires) dans le temps. Pour la simulation de ces canaux invariants, on trouve

plusieurs modèles dans [9, 10]. Ces modèles sont utiles pour simuler les environnements

de propagation stationnaires (exemple : les canaux téléphoniques). Pour ces canaux

multi trajets, le signal reçu est affecté par les interférences entre symboles, il est donc

primordial d'égaliser les signaux issus de ces canaux.

Dans le cadre de notre recherche, nous traitons l'égalisation dans les canaux invariants

dans le cas de la modulation d'amplitude en quadrature à quatre signaux (4QAM) et

non codés. Ensuite nous traitons le cas de la modulation par déplacement de phase

linéaire (BPSK) et turbo codée. Pour chaque cas, nous cherchons à proposer et évaluer

une architecture aveugle qui permette de réduire les interférences entre symboles de ces

canaux sans l'utilisation de la séquence d'apprentissage.

Nos approches d'égalisation dans les canaux invariants et sélectifs en fréquence sont

inspirées des travaux effectués par : Laot [11, 12], Xiang [13] et Kim [14].

1.1.2 Canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps

Pour les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps, les délais de propa-

gation sont très importants, la vitesse de transmission est affectée et réduite à cause de

l'effet produit par les obstacles des milieux de propagation. Un autre facteur important

Chapitre 1. Introduction générale 4

pour ces canaux est la vitesse de déplacement de l'émetteur ou du récepteur qui cause

les changements rapides du canal de transmission.

Dans le cadre de notre travail de recherche, nous nous intéressons plus particulièrement

aux canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en fréquence et aux symboles turbo codés.

Nous cherchons à proposer une architecture de turbo égaliseur qui permette de te-

nir compte de la sélectivité temporelle et fréquentielle du canal de Rayleigh avec une

réduction de la longueur de la séquence d'apprentissage. Notre approche d'égalisation

est inspirée des travaux effectués par : Huynh et Fortier [15], Ammari [16], Kim [14] et

Laot [11].

1.2 Contributions de notre recherche

En utilisant les principes de l'égalisation entraînée, de l'égalisation autodidactes

et de la turbo égalisation, nous avons proposé quelques modifications pour combattre

l'effet des interférences entre symboles dû à la sélectivité des canaux de transmissions.

Pour l'égalisation des symboles non codés dans les canaux sélectifs en fréquence et

invariants, les contributions originales de notre travail de recherche sont :

- la proposition et l'évaluation des performances d'une architecture autodidacte

(bidirectionnelle) pour trois types de configurations.

Pour l'égalisation des symboles turbo codés dans les canaux invariants et sélectifs en

fréquence, les contributions originales de notre travail de recherche sont :

- la modification de l'architecture de l'égaliseur annuleur d'interférences,

- la proposition d'une procédure aveugle pour l'initialisation du turbo égaliseur, et

- l'évaluation des performances du turbo égaliseur avec l'architecture de l'égaliseur

annuleur d'interférence modifiée dans les modèles de Proakis [10].

Pour la turbo égalisation des symboles turbo codés dans les canaux variants dans le

temps et sélectifs en fréquence, les contributions originales de notre travail de recherche

sont :

- la modification de l'architecture de l'égaliseur annuleur d'interférences,

- la proposition d'une procédure pour initialiser le turbo égaliseur, et

- l'évaluation des performances du turbo égaliseur dans les canaux de Rayleigh

corrélés et sélectifs en fréquence.

Chapitre 1. Introduction générale

1.3 Plan du mémoire

Ce mémoire comporte une introduction générale, quatre chapitres et une conclusion

générale. Le présent chapitre consiste en une introduction décrivant le cadre général de

notre recherche.

Le deuxième chapitre est une revue de littérature qui introduit la définition du ca-

nal de transmission. Nous présentons les techniques statistiques permettant l'étude

et la simulation du canal radio mobile, ainsi que les techniques de codage et décodage

itératif des codes turbo. Nous exposons brièvement, les structures de : l'égaliseur linéaire

(LE), l'égaliseur à retour de décision (DFE), l'égaliseur annuleur d'interférences (AI) et

l'égaliseur basé sur une structure en treillis. Nous donnons aussi un aperçu sur les algo-

rithmes d'égalisation entraînée (avec séquence d'apprentissage) LMS et RLS. Nous ver-

rons aussi qu'il existe des algorithmes autodidactes utilisés pour suspendre la séquence

d'apprentissage afin d'augmenter la capacité de transmission des systèmes de commu-

nication.

Au chapitre 3, nous proposons une nouvelle architecture pour l'égalisation autodidacte.

Nous évaluons les performances de cette architecture pour trois configurations et pour

une modulation 4QAM non codée. Pour générer les interférences entre symboles, nous

utilisons les modèles des canaux présentés par Proakis [10].

Au chapitre 4, nous présentons l'état de l'art en turbo égalisation. Nous exposons les

différentes architectures des turbos égaliseurs utilisés pour combattre l'effet des in-

terférences entre symboles générés par la sélectivité des canaux invariants. Nous propo-

sons et analysons par la suite, une architecture du turbo égaliseur utilisant l'annuleur

d'interférences. Nous proposons certaines modifications dans un souci d'améliorer le

taux d'erreur binaire.

Le cinquième chapitre, concerne l'égalisation des canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs

en fréquence. Nous apportons quelques modifications au modèle de la turbo égalisation

des canaux invariants de point de vue structure et algorithme afin de tenir compte de

la sélectivité temporelle du canal de Rayleigh.

Enfin, le dernier chapitre est une conclusion générale qui présente une synthèse des

travaux de recherche élaborés dans ce mémoire, récapitule les contributions apportées

et propose des suggestions pour des travaux de recherche futurs.

Chapitre 2

Revue de la littérature

2.1 Introduction

L'objectif des systèmes de réception pour les transmissions numériques est de re-

constituer le signal émis qui a été perturbé par le canal de transmission. Donc il est

nécessaire de connaître la nature des perturbations qu'il a subi afin de dimensionner les

fonctions élémentaires de l'émetteur et du récepteur.

Dans la deuxième section de ce chapitre, nous introduisons le modèle du canal discret

équivalent à bruit blanc et nous présentons quelques modèles discrets des canaux inva-

riants et sélectifs en fréquence. A la troisième section, nous présentons les techniques

statistiques et la méthode de simulation du canal radio mobile. Dans la quatrième sec-

tion, nous donnons un aperçu sur les codes turbo et leur décodage itératif.

Dans les sections 2.5, 2.6 et 2.7, nous présentons les principales structures d'égaliseurs

utilisés en pratique pour lutter contre la sélectivité fréquentielle des canaux de trans-

missions et nous donnons un aperçu sur les algorithmes d'égalisation entraînée LMS et

RLS. A la dernière section, nous verrons qu'il existe plusieurs approches d'égalisation

autodidacte (aveugle) qui basent leur traitement sur les statistiques des signaux émis.

Chapitre 2. Revue de la littérature 7

2.2 Modèle en temps discret du canal AWGN avec

l'interférence entre symboles

Filtre deX2 transmission

C(t)

* i

FlG. 2.1 - Chaîne de communication pour un canal AWGN avec interférence entre

symboles.

La chaîne de communication numérique de la figure 2.1 est constituée d'un émetteur,

d'un canal de transmission et d'un récepteur. Le signal reçu v(t) est donné par [10] :

v{t) = - nT) + n(t) (2.1)n = 0

où xn représente l'échantillon du signal à transmettre, n(t) est le bruit blanc additif

gaussien et h(t) la réponse impulsionnelle du canal, contenant c(t) :

f+OO/•+OO

h{t) = c(t) ® f{t) - / c(r)f(t - r)d (2.2)

Le signal reçu passe à travers le filtre de réception, et est ensuite échantillonné à une

cadence de 1/T échantillons/s. Le signal à la sortie du filtre de réception est :

(2.3)n = 0

où q(t) est la réponse impulsionnelle du filtre de réception, contenant h(t), et rj(t) est

bruit coloré. Le signal échantillonné y^ est donné par :

(2.4)n = 0

où Çfc et rjk sont respectivement les versions échantillonnées de q(t) et r](t).

Puisque l'émetteur transmet des symboles discrets dans le temps à une vitesse de 1/T

symboles/s et que les échantillons du signal reçu à la sortie du filtre de réception sont

aussi échantillonnés à 1/T symboles/s, il est donc pratique de représenter la cascade


des filtres : de l'émetteur, du canal, du récepteur et de l'échantillonneur, par un filtre

discret équivalent gk. Dans cette situation, le signal échantillonné yk s'exprime [8] :

yk = Y] xngk-n + nk (2.5)

II est donc possible de trouver les données xn en utilisant un traitement approprié

d'égalisation ou de détection. Toutefois, la séquence de bruit {r]k} est colorée ce qui n'en

facilite pas l'analyse théorique. Il est donc désirable de blanchir la séquence {77/J par

un autre filtrage de la séquence {yk}. Utilisant la transformée en z, le filtre blanchisseur

est réalisé par H*(l/z*) tel que :

= H(z)H*(l/z*) (2.6)

Nous choisissons pour H (z) les L racines de G (z) situées à l'intérieur du cercle unitaire.

H (z) est donc un filtre à phase minimale et H* (1/z*) est un filtre à phase maximale.

La sortie du canal s'exprime alors sous la forme :

nk(2.7)

n=0

Ce modèle est appelé « canal discret équivalent à bruit blanc » . Avec ce modèle, la

mise en oeuvre des égaliseurs est plus facile car l'égaliseur approprié devra reproduire

l'inverse de la réponse du canal H (z). Si la dispersion du canal est finie, on obtient :

Vk = (2.8)n=0

Le modèle du canal discret équivalent à bruit blanc est donné à la figure 2.2.

FlG. 2.2 - Modèle discret équivalent de l'interférence entre symboles dans un canal

AWGN.

Chapitre 2. Revue de la littérature

Exemples illustratifs des canaux discrets de Proakis

Pendant les années 1970 et 1990, la recherche en égalisation vise à égaliser des

canaux téléphoniques dispersifs. Une fois discrétisés, ces canaux admettent un modèle

mathématique semblable aux canaux sans fil. C'est une des raisons pour lesquelles de

nombreux chercheurs dans le domaine de l'égalisation utilisent les modèles de canaux

proposés par Proakis dans la comparaison des performances des égaliseurs, Proakis étant

l'un des précurseurs les plus connus du domaine de communication numérique. Pour

illustrer le comportement des égaliseurs que nous proposons, nous utilisons également

ces modèles de canaux dans le contexte stationnaire.

Canal A de Proakis Les coefficients du canal A de Proakis sont donnés au tableau

2.1 et ses caractéristiques sont illustrées à la figure 2.3. Il possède dix zéros dont cinq sont

à l'intérieur du cercle unité et cinq sont à l'extérieur. La réponse en amplitude de ce canal

présente un évanouissement de profondeur moyenne et sa réponse en phase est presque

linéaire. Ce canal peut être utilisé comme un modèle pour les canaux téléphoniques.

TAB, 2.1 - Coefficients du canal A de Proakis.h0

0.04

hi

-0.05

h20.07

h3-0.21

hA

-0.5

h5

0.72

h6

0.36

h7

0

h80.21

hg

0.03

h io

0.07

Canal B de Proakis Les coefficients du canal B de Proakis sont donnés au tableau

2.2 et ses caractéristiques sont illustrées à la figure 2.4. Il possède deux zéros, dont l'un

est à l'intérieur du cercle unité et l'autre est à l'extérieur. La réponse en amplitude

de ce canal présente un évanouissement très profond et sa réponse en phase est quasi

linéaire. Ce canal résulte des interférences entre symboles sévères.

TAB. 2.2 - Coefficients du canal B de Proakis.h0

0.407

h1

0.815

h20.407


0.4 0.6Fréquence normalisée

(b)

Partie réelle

0.4 0.6Fréquence normalisée

0.8

FlG. 2.3 -- Caractéristiques du canal A de Proakis. a) Réponse en amplitude, b) Réponse

en phase, c) Les zéros de canal.

0.2 0.4 0.6Fréquence normalisée

(b)

0.8 c:BBLUI

Part

ie

2

1

0

-1

o

(c)

-2 0Partie réelle

0.2 0.4 0.6Fréquence normalisée

0.8

FlG. 2.4 - Caractéristiques du canal B de Proakis. a) Réponse en amplitude, b) Réponse



Canal C de Proakis Les coefficients du canal C de Proakis sont donnés au tableau

2.3 et ses caractéristiques sont illustrées à la figure 2.5. Il possède quatre zéros, dont

deux sont à l'intérieur du cercle unité et deux sont à l'extérieur. La réponse en amplitude

de ce canal présente un évanouissement très profond et sa réponse en phase est quasi

linéaire. Ce canal résulte des interférences entre symboles très sévères.

TAB. 2.3 - Coefficients du canal C de Proakis.h0

0.027 0.460 0.688 0.460 0.027

-15

0.2 0.4 0.6 0.8

Fréquence normalisée(b)

0.4 0.6

Fréquence normalisée

0.8

are

c( >)

ima

u>rti

oïn.

2

1

0

-1

_o

(c)

; . * • • " ! • • • • • :

-2 0Partie réelle

FlG. 2.5 - Caractéristiques du canal C de Proakis. a) Réponse en amplitude, b) Réponse


2.3 Caractérisât ion du canal radio mobile

Les milieux de propagation des systèmes radio de communications mobiles en-

gendrent des variations de la puissance du signal émis. Ces variations sont causées par

la présence des obstacles dans les milieux de propagation et du phénomène des trajets

multiples. Il y a trois phénomènes principaux qui influencent la propagation du signal

des systèmes de communications mobiles : la réflexion, la diffraction et la dispersion du


signal. Il y a aussi la vitesse de déplacement des utilisateurs qui cause une dégradation

des signaux émis.

On suppose que l'antenne est en déplacement : il y a donc de multiples trajets et chaque

trajet est associé à une propagation de délai rn{t) et un facteur multiplicateur de puis-

sance an(t). Si on néglige le bruit, le signal reçu en bande passante s'exprime par [17] :

v(t) = ]T an(t)e-^^^x(t - rn(t)) (2.9)n

où x(t) représente le signal transmis et fc est la fréquence porteuse.

Puisque v(t) est la réponse du filtre de canal à un signal x(t) on peut en conclure que :

h(t,r) = £>n(t)e-j2ir/<!r"(t)<ï(* - rn(t)) (2.10)

On peut écrire aussi :

h(t,r) ^ ^ û n ^ e - ^ ' ^ t - rn(t)) (2.11)

où ôn(t) représente la phase du chemin d'indice n. Les fonctions de distribution de

probabilité des variables aléatoires an (t), 6n (t) et rn (t) dépendent des caractéristiques

des milieux de propagation. Généralement, la variable an (t), dite enveloppe du signal

reçu, suit une distribution de Rayleigh, de Rice, de Nakagami, lognormale ou une com-

binaison de ces lois probabilistes. La phase 9n (t) est souvent considérée uniformément

distribuée sur l'intervalle [0, 2n) et le délai rn (t) est approximé par un processus de

Poisson.

2.3.1 Fonction d'autocorrélation et densité spectrale de puis-

sance du canal radio mobile

On suppose que la réponse impulsionnelle du canal radio mobile h(t,r) est station-

naire au sens large (WSS). Cette hypothèse, nous permet de définir certaines statistiques

pour caractériser les variations du canal radio mobile.

La fonction d'autocorrélation temps-retard de propagation est définie par [10] :

^ i ) ] (2.12)


Le canal étant supposé stationnaire au sens large, t\ = t et t<i = t + At, et l'équation

(2.12) s'exprime :

Rh{Tl,r2;At) - ^E[h*{n-t)h{T2;t + At)] (2.13)

Dans la plupart des systèmes radio de transmission, l'atténuation et le déphasage du

canal associé au trajet de délais T\ sont non corrélés avec l'atténuation et le déphasage

du canal associé au trajet de délais ri- Donc l'équation (2.13) est équivalente à :

Rh(n; At)5(T! - r2) = l-E [h*(n; t)h(r2; t + At)} (2.14)

Si At = 0, nous avons .ft/^rjO) = Rhij) est tout simplement la puissance moyenne en

sortie du canal en fonction du délai r et Rh{r) est appelé profil de puissance multivoies.

La gamme des valeurs de r pour lesquelles Rh{,r) ̂ 0 est appelée valeur efficace de la

réponse impulsionnelle du canal et est notée rmax. On définit la largeur de bande de

cohérence du canal par :

(A/)c = J - (2.15)<max

Une autre caractérisation du canal radio mobile multi trajets peut être obtenue dans le

domaine fréquentiel. Si on fait la transformée de Fourier de h(r; t) on obtient la fonction

de transfert H(f;t) :roo

H(f-t)= h(T]t)e~j2*lTdT (2.16)J — oo

Sous l'hypothèse que le canal est stationnaire au sens large, on définit la fonction d'au-

tocorrélation temps-fréquence de propagation par [10] :

Rh(fu j2- A(t)) - i / ^ JZ E [H*{n; t)H{h-1 + At)} e^^-^drxdr2

- r2)e^^-hr,)dTldT2 (2,17)

Posons A / = / 2 — /i l'équation (2.17) s'exprime :

(2.18)

La fonction d'autocorrélation temps-fréquence de propagation peut être mesurée en pra-

tique par la transmission de deux signaux sinusoïdaux espacés de A/, et à la réception

on réalise l'intercorrélation des signaux reçus avec un délai At.

On définit la transformée de Fourier de la fonction d'autocorrélation temps-fréquence

de propagation Rh(Af; At) par :

Sh(Af;\d)= Rh(Af;\d)e-^AtdAt (2.19)J


Si:

A/ = 0 => Sfc(A/; Ad) = Sh(Ad) (2.20)

Sh(Xd) représente la densité spectrale de puissance du spectre Doppler de canal : elle

caractérise l'élargissement Doppler. La gamme des valeurs Xd pour lesquelles Sh{Xd) ^ 0

est appelée spectre Doppler du canal, dénotée Bd- À partir du paramètre Bd, on définit

le temps de cohérence du canal par :

(At) c»i- (2.21)Od

Le temps de cohérence caractérise l'évolution temporelle du canal et représente la durée

pour laquelle le canal est considéré invariant.

2.3.2 Sélectivité fréquentielle

Le canal est modélisé par un filtre de réponse en fréquence H (/) tel que H (/) = 0

pour / > W. Un canal est dit sélectif en fréquence vis-à-vis un signal occupant une

bande Bs « ^ (Ta est la durée d'un symbole) si sa largeur de bande de cohérence (A/)c

est inférieure à la largeur de bande Bs du signal :

(A/)c < Bs (2.22)

Dans le cas contraire où (A/)c >> Ba, le canal est dit non sélectif en fréquence.

Plus le débit des symboles Ds = ^- du signal transmis est élevé, plus le canal est sélectif

en fréquence pour ce signal.

2.3.3 Sélectivité temporelle

L'effet Doppler est quantifié par la largeur de bande Doppler, ou dispersion Doppler

Bd- On considère que le canal est invariant sur une durée T si le temps de cohérence

du canal est supérieur à la durée T :

(At)c » T (2.23)

Dans le cas contraire, le canal est invariant sur la durée T.


2.3.4 Modèle du canal de Rayleigh

A cause de l'effet Doppler, la fréquence du signal transmis subit un décalage qui

dépend de la vitesse v du mobile (en m/s), de la longueur d'onde Ao = c/fc et de

l'angle d'incidence 8n de l'onde par rapport à la direction du déplacement de mobile.

Le décalage Doppler de l'onde d'indice n est donnée par : fn = v/\0cos6n.

Le champ électrique reçu est donné par :

E(t) = E\t) COS(2TTfct) - EQ(t) sin(27r/ct) (2.24)

E1 est la composante en phase et E® est la composante en quadrature.

E\t) = Eo E L i Cn COS{2TT fnt + 4>n)

E® (t) = Eo E L i Cn sm(27rfnt + <f>n)

où Cn est l'amplitude du champ transmis supposée constante, fn et <fin sont respective-

ment, le décalage Doppler et la phase d'onde d'indice n, et L est le nombre de trajets

suivis par l'onde. Selon le théorème de limite centrale, si L est suffisamment grand, les

'composantes Er(t) et E®(t) sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes.

Si les deux amplitudes sont gaussiennes, de moyennes nulles et de même variance. L'en-

veloppe du signal reçu peut être calculée à partir de ces deux amplitudes.

r(t) = \EZ\ = ^(E'(t)Y + (EQ(t)Y. (2.26)

Puisque les deux amplitudes sont gaussiennes, l'enveloppe r (t) suit une loi de Rayleigh

et sa densité de probabilité est donnée par :

fr(r) = ~exp(-~) (2.27)

La fonction de distribution de probabilité des coefficients hk(t) est donnée par [16] :

/ x i (h (hk (t)) = fh, (h{) fhQ (h?) - ^ â exp (2-28)

Clarke a démontré que la densité spectrale de puissance du signal reçu est [18] :

(1/ " /cl < h)S(f)={ 4*fd V i - C f / - / . ) / / , ) 2 VU JCl~Ja/ (2 .29)

0 a i l l e u r s


Simulation du canal de Rayleigh

La méthode la plus utilisée pour générer le canal de Rayleigh est celle proposée en

1968 par Clarke [18]. Elle consiste à générer deux processus gaussiens indépendants et

identiquement distribués (i.i.d) et de les filtrer par deux filtres passe-bas identiques de

réponse fréquentielle H (/) = \JS (/) afin d'obtenir des signaux corrélés. La sortie de

chaque filtre est injectée, ensuite, dans un module de transformée inverse de Fourier

rapide (IFFT). La sortie du canal est alors obtenue en prenant la somme de deux

signaux à la sortie des modules (IFFT). En 1975, Smith [19] a proposé-un programme en

FORTRAN pour simuler le canal de Rayleigh corrélé. En 2000, Beaulieu [20], suggère de

sommer les signaux à la sortie du filtre passe bas avant d'appliquer la IFFT. La méthode

de Beaulieu consiste à générer deux processus gaussiens (i.i.d) de JV composantes et

de les faire passer à travers le filtre Doppler. Une fois les deux composantes filtrées, les

composantes en phase et en quadrature sont additionnées et le résultat est injecté dans

un module IFFT. La sortie du canal est obtenue à la sortie du module IFFT. Dans le

cadre de notre recherche, nous utilisons la méthode de Beaulieu, celle-ci nécessite moins

d'opérations IFFT.

2.4 Codage de canal

Le but des communications numériques est de transmettre des données binaires de

façon fiable sur un canal bruité. Dans une chaîne de communication, le codeur de canal

joue un rôle très important. C'est l'élément principal permettant de combattre les er-

reurs de transmissions résultant des perturbations du canal, ou en d'autres termes, d'as-

surer un TEB (taux d'erreurs binaire) faible sous la contrainte de puissance d'émission.

Le principe de codage de canal consiste à insérer parmi les éléments d'information,

des données supplémentaires suivant une structure connue afin de pouvoir en réception,

détecter ou corriger les éventuelles erreurs. Il existe plusieurs types de codes correcteurs.

Dans [21, 22], on trouve les différentes classes des codes correcteurs en détail.

Dans le cadre de notre recherche, nous nous intéressons plus particulièrement aux codes

turbo et leur décodage itératif.


2.4.1 Les codeurs turbo

Depuis les travaux de C. Shannon, la limite théorique de la capacité de correction

des codes correcteurs d'erreurs est connue. Pendant 50 ans, et jusqu'aux années 1990,

cette limite est restée inaccessible. En effet, l'invention des codes turbo par C. Berrou et

A. Glavieux [6] a enfin permis de disposer de codes de complexité raisonnable ayant des

performances très proches de la limite de Shannon. Le terme turbo vient de la notion de

bouclage semblable à celle utilisée dans les moteurs turbo. L'idée est d'utiliser plusieurs

séquences redondantes d'un même message. L'originalité du codeur turbo est d'effectuer

une opération d'entrelacement (permutation) sur les données avant de les traiter par le

deuxième codeur, si bien que les erreurs qui ne sont pas corrigées par le premier codeur

ne seront en général pas identiques aux erreurs non corrigées par le deuxième codeur.

La séquence d'information {csk = h} est entièrement transmise comme étant la séquence

systématique. Deux autres versions de la séquence d'information sont transmises après

codage, la première version codée sans entrelacement {c^1}, la deuxième version codée

après entrelacement {c^2}. Le rendement R global du codeur turbo vérifiera la relation

suivante :

iï = -k+i-1 ( 2 3 0 »Ri et R2 sont respectivement les rendements des codeurs Cl et C2.

hCodeur Cl

Codeur C2

k2ln2

FlG. 2.6 - Architecture d'un codeur turbo.

Le codeur En pratique, on prend souvent les deux codeurs identiques. De plus

les codes constituant le code turbo sont toujours des codes convolutifs récursifs et

systématiques (RSC). Les codes turbo parallèles utilisant les codes convolutifs non


systématiques et non récursifs (NRNSC) ne présentent pas de gain d'entrelacement.

Le choix des codes convolutifs récursifs nécessite certaines précautions car il existe des

codeurs RSCs qui ne présentent pas de bonnes performances pour être utilisés dans les

structures des codes turbo.

Poinçonnage II est possible de réduire la quantité des données transmises par poinç-

onnage de manière à optimiser la redondance et à l'adapter à la probabilité d'erreur

caractérisant la ligne de transmission. Au décodage, les bits perforés sont remplacés par

des zéros.

L'entrelacement L'entrelacement est nécessaire lors du transfert des bits d'un co-

deur (ou décodeur) vers le suivant. Tout le principe des codes turbo est basé sur cette

notion. L'entrelacement consiste à permuter les données émises. Plusieurs méthodes de

permutation sont possibles. Le choix de la structure de l'entrelaceur est un facteur clé

qui détermine les performances d'un code turbo.

2.4.2 Décodage itératif des codes turbo

II existe deux types d'algorithmes principaux qui peuvent être appliqués au décodage

itératif des codes turbo. Le premier algorithme est celui de Viterbi, il a été introduit en

1967 pour le décodage des codes convolutifs [23], il détermine la séquence codée {c^} la

plus vraisemblable transmise à partir de la séquence reçue {vk}-

Le deuxième est l'algorithme MAP : il permet de maximiser la probabilité de décodage

correct du bit émis par la source d'information. L'algorithme MAP proposé en 1974

par Bahl, Cocke, Jelinek et Raviv [24] a été conçu pour le décodage des codes linéaires.

Il est connu sous le nom MAP-BCJR ou algorithme aller-retour. La complexité est

légèrement supérieure à l'algorithme de Viterbi, mais donne des meilleurs résultats.

L'opération de décodage des codes turbo est itérative : on utilise l'entrée estimée par le

deuxième décodeur pour améliorer le résultat de l'estimation du premier codeur (au sens

de maximum de vraisemblance a posteriori), puis le résultat de ce nouveau décodage

est utilisé pour améliorer le décodage par le deuxième décodeur et ainsi de suite. Cette


combinaison donne des résultats remarquablement efficaces. Toutefois la quantité de

calculs à effectuer est importante. La figure 2.7 donne le schéma du décodeur turbo.

FlG. 2.7 - Schéma du décodeur turbo.

Le décodeur turbo se décompose en deux modules identiques, DEC1 et DEC2 associés

respectivement aux codeurs Cl et C2. A la réception, la séquence reçue est démultiplexée

et chaque élément v\ est envoyé au décodeur correspondant. Disposant des symboles

systématiques vsk et de ceux de parité vp

kl et vp

k , chaque décodeur tente de calculer

les valeurs de vraisemblance de bit Ik. Pour ce faire, les deux décodeurs s'échangent

de l'information souple par un processus itératif qui prend fin quand on obtient les

performances requises. La valeur de vraisemblance à la sortie du décodeur peut s'écrire

comme la somme de trois termes :

A (Ik) = Lcvsk + Aa (/fe) + Ae (2.31)

A" (Jfc) représente le rapport de vraisemblance de l'information a priori, Lc est le fac-

teur de fiabilité du canal de transmission et le terme Ae (/&) est appelé information

extrinsèque du décodeur. Cette information extrinsèque induite sera fournie à l'autre

décodeur et lui servira comme information a priori. Lors de la première itération, le

décodeur DEC1 ne dispose pas d'information sur le bit émis. Il considère a priori que

les symboles 1 et 0 sont équiprobables et prend le rapport de vraisemblance Aa (Ik) = 0.

On peut constater sur le schéma de la figure 2.7 que l'information extrinsèque d'un

décodeur à entrée et sortie souples (SISO) est obtenue par la différence entre la valeur

à sa sortie et celle à son entrée.

Ae(Ik) = h(h)-Lcvsk-A

a(Ik) (2.32)

En tenant compte de la permutation engendrée par l'entrelaceur entre les deux décodeurs

(2.33)


La valeur de vraisemblance à la sortie de chaque décodeur s'exprime comme suit :

A1 (Ik) = Lcvi + A| (Ik) + Af (Ik)

A2(h) = Lcvsk + Ai(Ik) + Ae

2(Ik)

Ces deux équations résument le principe du décodage itératif des codes turbo. Après un

nombre prédéfini d'itérations (en général), le décodeur turbo estime le bit Ik en prenant

le signe du rapport de vraisemblance à la sortie du décodeur DEC2.

2.5 Principales structures d'égaliseurs

La fonction principale des égaliseurs est d'inverser la réponse impulsionnelle estimée

du canal de transmission sélectif en fréquence. Les architectures des égaliseurs employées

en pratique sont nombreuses, on peut citer :

- une première technique appelée détection suivant la séquence la plus vraisem-

blable « Maximum likelihood séquence estimation (MLSE) » qui donne d'excel-

lents résultats sous réserve que le canal soit connu ou bien estimé,

- les égaliseurs linéaires « Linear Equalizer (LE) » : les performances de ces égaliseurs

dégradent remarquablement lorsque les conditions de propagation se dégradent,

et

- les égaliseurs à retour de décision « Décision feedback equalizer (DFE) » : em-

ployés pour les canaux sévèrement dégradés.

Pour l'optimisation des coefficients d'égaliseurs, il existe essentiellement deux critères :

- le premier critère consiste à forcer la réponse impulsionnelle du couple canal/

égaliseur à zéro sauf à t = 0 : cette approche d'égalisation est appelée forçage à

zéro « Zéro forcing (ZF) » . Elle est extrêmement sensible au bruit.

- Le deuxième critère consiste à adapter les coefficients de l'égaliseur par la rninimi-

sation de l'erreur quadratique moyenne entre la séquence égalisée et la séquence es-

timée. Cette approche est appelée erreur quadratique moyenne minimale (EQMM)

« Minimum mean Square Error (MMSE) » .

Dans cette section, nous présentons brièvement les structures d'égaliseurs : l'égaliseur

linéaire (LE), l'égaliseur à retour de décision (DFE), l'égaliseur annuleur d'interférence

(AI) et l'égaliseur basé sur une structure en treillis.


2.5.1 Égaliseur linéaire (LE)

L'égaliseurs linéaire est le plus simple à mettre en oeuvre. En effet, il s'agit tout

simplement d'utiliser un filtre numérique à réponse impulsionnelle finie, pour lequel

les méthodes de calcul et d'implantation sont bien connues. La figure 2.8, illustre le

principe de l'égaliseur linéaire. Pour l'optimisation des coefficients de l'égaliseur, nous

adoptons le critère de minimisation de l'erreur quadratique moyenne entre la séquence

d'entrée et la séquence estimée à la sortie de l'égaliseur. Cette erreur est donnée par :

L'erreur quadratique moyenne (EQM) s'exprime par :

J = E [\ek\2] (2.36)

Le signal à la sortie de l'égaliseur LE est donné par :

xk= Y^ CjVk-j (2.37)J— — OQ

H(z)

Canal Égaliseur

FlG. 2.8 - Egaliseur linéaire (LE).

L'erreur quadratique moyenne minimale de l'égaliseur linéaire est donnée par [12] :

/

1/2T 2 2ô (II I Z.oo

iT2 I H ( f) I A- rfî

où a\ et o\ sont respectivement les variances des données {xk} et du bruit {nk}-

2.5.2 Égaliseur à retour de décision (DFE)

L'égaliseur à retour de décision (DFE) est constitué de deux filtres transverses :

un filtre direct C (z) et un filtre de retour Q (z) (récursif). L'entrée du filtre direct


est la séquence reçue {vk} et l'entrée du filtre de retour est la séquence de symboles

estimés {xk}- Le filtre direct est tout simplement un filtre linéaire tel que mentionné

précédemment et le filtre de retour est utilisé pour éliminer l'interférence entre symboles

de l'estimation courante causée par l'estimation précédente. On note ici que le filtre de

retour est strictement causal. Le schéma de principe de l'égaliseur à retour de décision

est donné à la figure 2.9.

rj / _ \

Canal

*(ï

\n

MVkly—* C(z) - ^

+Filtre direct

J O(2)

Donnée desortie

Filtre de retour

FlG. 2.9 - Egaliseur à retour de décision (DFE).

A partir de la définition de l'égaliseur DFE, sa sortie s'exprime comme suit :

0 oo

(2.39)j=-oo

L'erreur quadratique moyenne minimale de l'égaliseur DFE s'exprime par [12] :

>min,DFE —

9 9 9 9(2.40)

où a est le gain du canal donné par la relation (A.8) :

' -V2T k=0

Rgg (0) et S\ sont donnés respectivement par les relations (A.9) et (A. 11) :

(2.41)

Rga{0) = T$_[J2T\GxU)\df

Sx = exp (T f!{%T In {al \H (/)|2 + a*) df(2.42)

2.5.3 Egaliseur annuleur d'interférences (AI)

L'égaliseur annuleur d'interférences (AI) est relativement très peu utilisé [16, 12]

jusqu'à maintenant en égalisation. La structure de l'annuleur d'interférences est donnée


à la figure 2.10, il est formé d'un filtre C (z) adapté à la réponse en fréquence du canal et

d'un filtre W (z) permettant la reconstitution de l'interférence entre symboles présente

à la sortie du filtre adapté (on note ici que le coefficient central du filtre W (z) est nul,

Canal

FlG. 2.10 - Egaliseur annuleur d'interférences (AI).

A partir de la définition de l'égaliseur AI, la sortie îk s'exprime :

(2.43)

où {xk} est la séquence des symboles estimés. Les expressions optimales des filtres de

l'égaliseur annuleur d'interférences sont données par (voir annexe B) :

COpt (/) = -H* (/) (2.44)

Wopt(f) =~H(f)H*(f) 1

« Iavec

(3=+

L'erreur quadratique moyenne minimale de l'Ai est donnée par (voir annexe B) :

2 2

"min,AI ô ! ô"

aai + ai,

(2.45)

(2.46)

(2.47)

On suppose que Xk = Xk, ce qui nous conduit à la solution optimale sans contrainte.

Dans ce cas, l'expression de la sortie égalisée est donnée par :

1 V- 1k + a h> lnUk+n\D'après l'équation (2.48), les interférences entre symboles sont totalement supprimées

sans amplification du bruit.


2.5.4 Egaliseur basé sur une structure en treillis

Si nous regardons les figures 2.11(a) et 2.11(b) de près, nous constatons facilement

que le modèle discret équivalent du canal peut être vu comme un codeur convolutif

de rendement R = 1/1. Pour un alphabet bipolaire {+1,-1}, un canal de longueur

L +1 peut être représenté par un diagramme d'états composé de 2L états et l'évolution

de transmission des symboles à travers le canal, peut être représentée sur un treillis.

Donc, si le canal est parfaitement estimé (ou connu), on peut appliquer l'algorithme

d'estimation de séquence à vraisemblance maximale (MLSE) ou l'algorithme a posteriori

maximale (MAP) pour estimer les symboles transmis.

(a)

FlG. 2.11 - a) Modèle d'un canal discret équivalent (L = 2). b) Codeur convolutif de

rendement R= 1/2.

Exemple : La figure 2.12(a) montre le modèle discret équivalent du canal B de Proakis

et la figure 2.12(b) représente son diagramme d'états.

FlG. 2.12 - Canal B de Proakis. a) Canal discret équivalent, b) Diagramme d'état.


2.6 Algorithmes d'égalisation entraînée

A la section précédente, nous avons défini plusieurs structures d'égalisation linéaires

et non linéaires sans présenter les méthodes de calcul des coefficients d'égaliseurs. Dans

cette section, nous présentons les algorithmes adaptatifs qui assurent l'ajustement auto-

matique des coefficients d'égaliseurs par minimisation de l'erreur quadratique moyenne.

Il existe deux grandes familles d'algorithmes d'adaptation : l'algorithme des moindres

carrés moyens (LMS) et l'algorithme des moindres carrés récursifs (RLS). Le premier

algorithme est largement utilisé pour sa simplicité de mise en oeuvre et pour sa stabilité

numérique. Le deuxième algorithme est connu par sa rapidité de convergence. Ces deux

algorithmes d'adaptation sont commandés par une prédiction d'erreur. Cette erreur est

déterminée par la comparaison de la sortie de l'égaliseur xk avec la valeur désirée xk à

chaque itération de l'algorithme. Cette erreur est donnée par :

ek = xk - xk (2.49)

Le symbole désiré, xk doit être connu au récepteur. Malheureusement, dans les si-

tuations pratiques, la séquence émise {xk} est inconnue (c'est ce qu'on cherche à ob-

tenir). Pour cette raison, ces algorithmes d'adaptation utilisent une séquence d'ap-

prentissage (séquence de données de durée limitée connue au récepteur) pour favori-

ser la convergence. La période durant laquelle l'algorithme utilise les symboles de la

séquence d'apprentissage s'appelle période d'apprentissage. Après cette période d'ap-

prentissage, l'égaliseur passe à la période adaptation, et est supposé correctement adapté

précédemment. Durant la période d'adaptation, les données décidées présentent un taux

d'erreurs faible si la période d'apprentissage était suffisante pour la convergence des co-

efficients vers la solution optimale recherchée.

2.6.1 Algorithme LMS

L'algorithme LMS est une procédure itérative d'ajustement du vecteur des coeffi-

cients d'égaliseur. La mise à jour des coefficients est basée sur une fonction de coût :

cette fonction de coût dépend de la sortie de l'égaliseur. Chaque vecteur de coefficients

d'égaliseur est associé à une valeur d'erreur entre la sortie estimée et la sortie égalisée.


En utilisant cette erreur, l'algorithme LMS tente de trouver le vecteur désiré.

L'équation récursive utilisée par l'algorithme LMS est donnée par [10] :

cfc+1 = cfc + A (xk - xk) Vfc (2.50)

où [.]* désigne le conjugué de [.]. c^ est le vecteur des coefficients d'égaliseur de longueur

K, Vfc est le vecteur des échantillons du signal reçu de longueur K et le paramètre A

est le pas d'adaptation de l'algorithme LMS : il contrôle la stabilité et la convergence

de l'algorithme. L'algorithme LMS est très simple : il nécessite 2K + 1 opérations par

itération (K étant le nombre de coefficients d'égaliseur).

2.6.2 Algorithme RLS

L'algorithme RLS converge plus rapidement mais est plus complexe que l'algorithme

LMS. Il commence par une initialisation des coefficients du vecteur d'égaliseur à zéro :

c_! = 0 . (2.51)

et

P_i = pi (2.52)

où P est la matrice d'adaptation de dimension K x K, I est la matrice identité et fi

est un entier positif généralement élevé. L'algorithme commence au temps k = 0. Il

fonctionne de la manière suivante [25] :

Le signal est filtré par les coefficients de l'itération en cours par la relation suivante :

xk = Cfc_ivfc (2.53)

Une fois l'erreur calculée, on calcule la constante de Kalman Kk et la matrice d'adap-

tation Pfc pour ajuster les coefficients d'égaliseur :

K — pk ~ -ivfc (2.54)

Pk = { (Pfe-i - KkvkPk^)

La mise à jour des coefficients de l'égaliseur est donnée par la relation suivante :

CA; = cfc_i + Pfcv^ (xk - xk) = êfc_i + Kk (xfc - xk) (2.55)

où [.]* désigne le transposé de [.]. A est un facteur d'oubli : il contrôle les variations

des propriétés de l'algorithme RLS. Chaque itération de l'algorithme RLS nécessite

2.hK2 + 4.5K opérations de calcul.


2.7 Comparaison des principales structures d'égal-

iseurs

Pour illustrer les sections 2.5 et 2.6, nous comparons les structures de : l'égaliseur

linéaire (LE), l'égaliseur à retour de décision (DFE), l'égaliseur annuleur d'interférence

(AI) et l'égaliseur utilisant l'algorithme d'estimation de séquence à vraisemblance maxi-

male (MLSE).

2.7.1 Comparaisons des égaliseurs LE, DFE et AI

D'après les relations : (2.40) (2.47) et (A.5), l'erreur quadratique moyenne minimale

pour les égaliseurs AI et DFE est caractérisée par :

Jmin,AI < Jmin,DFE (2.56)

Pour comparer les égaliseurs DFE et LE, on utilise l'inégalité suivante [12] :

exp / / / (:r) dx j < f exp (/ (x)) dx (2.57)

Nous avons (A. 11) :

Sx = exp (T jl_[J2T In (a» \H (/)|2 + <£) df)

t (2-58)

kOn applique l'inégalité (2.57) à l'expression (2.58) :

t°**< df

(2-59)

Jmin,LE

Donc :

Jmin,Al < Jmin,DFE < Jmin,LE (2.60)


L'égaliseur annuleur d'interférences (AI) permet d'obtenir la plus petite erreur quadra-

tique moyenne minimale. Sa structure est très proche de celle de l'égaliseur à retour

de décision (DFE). Ainsi l'Ai possède un filtre de retour qui permet de corriger l'in-

terférence entre symboles (ISI) comme le DFE. Toutefois, l'égaliseur DFE réalise un

compromis entre la minimisation du bruit et l'annulation des ISI alors que l'Ai sup-

prime entièrement les ISI si les données de références sont bien estimées.

2.7.2 Comparaison des égaliseurs DFE et MLSE

Pour comparer ces deux algorithmes, nous utilisons l'outil de simulation Matlab.

Nous comparons les courbes de taux d'erreur par symbole (TES) de ces deux égaliseurs

pour une modulation 4QAM non codée. Les performances en terme de TES sont évaluées

par une méthode de type Monte-Carlo, et chaque valeur du TES a été obtenue par la

transmission de 106 symboles d'information. La longueur de la séquence des données est

fixée à 4000 symboles. Les coefficients de l'égaliseur DFE sont adaptés par l'algorithme

LMS. Pour l'égaliseur MLSE, nous utilisons l'algorithme RLS pour estimer le canal de

transmission. Les interférences entre symboles (ISI) sont générées selon les modèles1 B

et C de Proakis. Les paramètres de simulation sont donnés au tableau 2.4.

TAB. 2.4 - Paramètres des égaliseurs DFE.LMS et MLSE (estimateur RLS).

Canal B Canal C

Paramètres de l'égaliseur DFE.LMS :

Nombre de symboles d'apprentissage :

Nombre de coefficients du filtre direct, C (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Q (z) :

Pas d'adaptation des coefficients, A :

1500

4

4

0.015

4

4

0.0125

Paramètres de l'égaliseur MLSE (estimateur RLS) :


Facteur d'oubli de l'algorithme RLS, A :

1500

0.9999

Les figures 2.13 et 2.14, indiquent que les deux structures donnent de bonnes perfor-

mances même sur des canaux sévèrement affectés par de la propagation par trajets mul-

1Les modèles des canaux B et C de Proakis sont détaillés à la section 2.2.


tiples. L'égaliseur le plus performant est l'égaliseur MLSE : il donne d'excellentes per-

formances (supérieures aux performances de l'égaliseur DFE.LMS). L'inconvénient de

l'égaliseur MLSE est sa complexité pour des modulations à plusieurs niveaux (16QAM,

64QAM, etc) et il devient aussi plus complexe pour les canaux à trajets multiples et

variants dans le temps. Alors que l'égaliseur DFE.LMS donne des performances proches

de celles obtenues avec l'égaliseur MLSE avec une complexité raisonnable.

10• DFE.LMS

•MLSE

• Canal sans ISI

10

10 12 14SNR (dB)

16 18

FlG. 2.13 - TES des égaliseurs MLSE et DFE pour le modèle de canal B de Proakis.

i

s 10"2

10-3

10-4

•

- .

-

s.N

S,

— O — DFE.LMS

\ : : : : i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : itîi: : : : : :

:

-

10 15SNR (dB)

20

FlG. 2.14 - TES des égaliseurs MLSE et DFE pour le modèle de canal C de Proakis.


2.8 Algorithmes d'égalisation autodidacte

Dans cette section, nous présentons les algorithmes autodidactes. Pour ces algo-

rithmes, l'approche est différente au sens où il n'existe pas de séquences d'apprentis-

sage. La seule connaissance à priori disponible au niveau du récepteur est les statis-

tiques du signal émis. Il existe plusieurs approches d'égalisation autodidacte, on peut

citer quelques algorithmes autodidactes tels que ceux de Sato [1], CMA de Godard [2],

MCMA de Lin He [26], BCGR de Benveniste et Goursat [3], Stop-and-Go de G. Picchi

[4], Shalvi et Wienstein [27], etc. La plupart de ces algorithmes ne convergent pas vers

les solutions optimales recherchées. Les performances de ces algorithmes sont inférieures

à celles entraînés. Ces algorithmes autodidactes sont bien détaillés dans [28, 29].

2.8.1 Egaliseurs utilisant les algorithmes des moindres carrés

LMS et RLS en mode de décision directe

Pour ce mode, le mode décision directe d'égalisation, les algorithmes DD.LMS2 et

DD.RLS3 convergent vers une solution unique qui coïncide avec la solution optimale au

sens de la minimisation de l'erreur quadratique moyenne. Toutefois, les performances de

ces algorithmes ne sont pas optimales du fait du bruit dû à l'adaptation des coefficients.

Les algorithmes DD.LMS et DD.RLS sont généralement plus bruités que les algorithmes

LMS te RLS entraînés du fait de la présence possible d'erreurs de décision.

Pour la modulation BPSK, les algorithmes LMS et RLS classiques en mode de décision

directe [10, 30] utilisent la fonction de l'erreur entre le symbole égalisé et le symbole

estimé pour adapter les coefficients du filtre. Cette erreur est donnée par :

ek = crxsign (xk) - xk (2.61)

En 1993, Nowlan propose dans [31], une nouvelle forme de l'erreur ek- Cette erreur est

calculée à partir des informations souples (rapport des valeurs de vraisemblance) :

\Xk (2.62)

2Algorithme des moindres carrés moyens en mode de décision directe.3 Algorithme des moindres carrés récursifs en mode de décision directe.


avec une valeur de variance convenablement choisie (TQ. Etant donnée l'erreur ek calculée,

l'adaptation des coefficients du filtre d'égaliseur peut se faire par l'algorithme LMS. La

mise à jour des coefficients d'égaliseur est donnée par :

ck+1 = ck + Aefcv* (2.63)

2.8.2 Algorithme de Sato

Le premier égaliseur aveugle pour les signaux PAM multi niveaux a été introduit

par Sato [1]. Il est identique à l'égaliseur à décision directe quand le signal est bipolaire

{+1, —1} (modulation d'amplitude PAM). Pour une modulation BPSK, la fonction de

coût de l'algorithme de Sato est donnée par :

Jsato = E [\RSatosign (xk) - xk\2] (2.64)

Pour une modulation BPSK, l'équation récursive utilisée par l'algorithme de Sato est

donnée par :

éfc+i = ck + Av*k (Rsatosign {xk) - xk) (2.65)

où A est le pas d'adaptation et Rsato est un coefficient d'ajustement d'amplitude : il

ajuste l'amplitude du signal égalisé pour qu'elle soit identique à l'amplitude du signal

émis. Ce coefficient est défini par :

RSato = ^ ^ (2.66)

Pour la modulation 4QAM, la mise à jour des coefficients est donnée par :

êfc+i = cfc + Av^ (Rsato (sign (K [£fc]) + jsign (S [xk])) - xk) (2.67)

où 5R[.] et Q [.] indiquent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de [.].

2.8.3 Algorithme de Godard

L'algorithme de Godard proposé en 1980 par Dominique Godard [2] a été conçu

pour l'égalisation aveugle des signaux multi niveaux. Il est connu sous le nom CMA


« Constant modulus algorithm » . L'approche de Godard consiste à sélectionner une

fonction de coût générale appelée fonction dispersive d'ordre l définie comme suit :

(2.68)J

où Ri est une constante réelle positive définie par :

Ri = — T TT (2-69)

E [\xk\l\

^Godard es* indépendant de la phase. La minimisation de Joodard es^ effectuée en ajustant

les coefficients d'égaliseur. Celle-ci est réalisée récursivement par la relation suivante :

cfc+1 = ck + Av*kxk \xk\l~2 (jlt - |xfc|') (2.70)

Pour une modulation 4QAM et l = 2, les deux équations de l'algorithme deviennent :

{R2 ~ | f f c | 2 ) (2.71)

où A et A^ sont respectivement les pas d'adaptation des coefficients et de la phase. xk

étant le symbole estimé.

2.8.4 Algorithme BGR

L'algorithme BGR a été introduit par Benveniste et Goursat [3] en 1984, il permet

d'étendre l'algorithme de Sato à d'autres types de fonctions d'erreur. Pour ce type

d'algorithme, la fonction de coût est donnée par :

JBGR = E [\RBGRsign (xk) - g {xk)\2} (2.72)

avec E[\g{xk)xk\E[\xk\] . ( 2 - ? 3 )

où g (x) est une fonction impaire dont la dérivée seconde vérifie la relation suivante :

§{x)>Q Vx > 0 (2.74)


On remarque, que si g (x) = x on trouve que JBGR = Jsato ce qui indique que l'algo-

rithme BGR est une extension de l'algorithme de Sato.

Les algorithmes qui utilisent les relations (2.72), (2.73) et (2.74) sont appelés algo-

rithmes BGR. Si le signal est modulé en 4QAM, l'erreur est donnée par :

ek = RBGR (sign (£ [xk]) + jsign (9 [xk])) -g(fH [xk]) + j {g (G [xk])} (2.75)

et l'équation de mise à jour des coefficients de l'égaliseur est donnée par :

cfc+1 = cfc + ekw*k (2.76)

2.9 Conclusion

Le canal de transmission est un élément important dans la chaîne de communica-

tion. Aux deuxième et troisième sections, nous avons distingué deux classes principales

de canaux : - les canaux invariants, - les canaux variants dans le temps. Pour les canaux

invariants, nous nous intéressons dans notre recherche aux modèles de Proakis [10], ces

derniers sont invariants et sélectifs en fréquence. En ce qui concerne les canaux variants,

nous nous intéressons aux canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en fréquence.

Nous avons donné aussi dans ce chapitre, un aperçu sur le décodage itératif des codes

turbo proposés par Berrou et Glavieux [6]. Ces derniers donnent un TEB très proche de

la limite de Shannori. Une étude de la NASA montre que ce système de codage/décodage

permet de réduire le taux d'erreur à 10~5 lorsque le rapport signal à bruit est de l'ordre

de 0 dB ou même lorsque celui-ci est négatif.

Les sections 2.5, 2.6 et 2.7 étaient un bref aperçu sur les principales architectures

d'égaliseurs utilisées en communications numériques. Nous avons présenté : l'égaliseur

linéaire (LE), l'égaliseur à retour de décision (DFE), l'égaliseur annuleur d'interférences

(AI) et l'égaliseur MLSE. D'après les comparaisons que nous avons effectué, il s'avère

que l'égaliseur annuleur d'interférences et l'égaliseur à retour de décision sont les meilleurs

en terme de performances/complexité.

A la dernière section, nous avons présenté les algorithmes d'égalisation autodidacte, ces

derniers présentent généralement des convergences lentes et des performances inférieures

à celles pilotés par séquence d'apprentissage.

Chapitre 3

Egalisation aveugle dans les canaux

invariants sélectifs en fréquence

3.1 Introduction

Nous avons cité quelques algorithmes aveugles [1, 2, 3, 31] au chapitre précèdent. La

plupart de ces algorithmes ne convergent pas vers les solutions optimales recherchées.

La principale raison en est la difficulté à tenir compte du phénomène de propagation

d'erreurs durant la phase de convergence de ces algorithmes aveugles.

Plusieurs auteurs ont modifié la structure de l'égaliseur à retour de décision (DFE)

autodidacte pour améliorer les performances en terme de l'erreur quadratique moyenne

et ainsi que de la probabilité d'erreur. On peut citer à titre d'exemple : l'égaliseur au-

todidacte proposé par Laot [32] en 2001. Ce dernier est doté d'une structure variable et

donne des résultats similaires à ceux obtenus avec l'égaliseur entraîné dans les canaux

invariants de Macchi [33], Porat et Friedlander [34].

Plusieurs autres auteurs ont essayé d'améliorer les performances de l'égaliseur à retour

de décision par l'utilisation des modèles parallèles d'égaliseurs entraînés et faire des

algorithmes d'arbitrage par l'utilisation : des propriétés de distance euclidienne, des

erreurs quadratiques moyennes, des sorties souples d'égaliseurs, etc. Parmi les architec-

tures parallèles, on trouve :

- L'architecture parallèle proposée par Tamburelli [35] en 1983. Elle associe un égaliseur

Chapitre 3. Egalisation aveugle dans les canaux invariants sélectifs en fréquence 35

à retour de décision « Décision feedback equalizer » et un égaliseur à décision en avant

« décision feedforward equalizer » . Les sorties souples des deux égaliseurs sont addi-

tionnées pour faciliter l'estimation au circuit de décision. Cette architecture permet de

réduire considérablement les erreurs de décision.

- L'architecture de Shimamura [35] en 1998, qui associe un égaliseur à retour de décision

(DFE) et un égaliseur linéaire (LE). L'algorithme d'arbitrage est réalisé par la compa-

raison des deux erreurs quadratiques moyennes des égaliseurs DFE et LE.

- L'architecture de Ding [36] en 2002, met en parallèle deux égaliseurs à retour de

décision entraînés [37]. Le premier exploite la séquence reçue issue du canal de trans-

mission et le deuxième exploite une version contradictoire de la séquence reçue. L'algo-

rithme d'arbitrage est réalisé par l'utilisation des propriétés de la distance euclidienne

et les sorties souples d'égaliseurs.

Les performances de la plupart de ces égaliseurs ont été testées pour une modulation

BPSK1 et pour des modèles entraînés. Les performances pour les modulations multi

niveaux et pour des modèles aveugles ne sont pas assurées en tout temps.

En nous appuyant sur les architectures des égaliseurs aveugles proposés dans [1,

2, 10] et l'architecture proposée dans [36], nous proposons un égaliseur bidirectionnel

aveugle constitué de deux égaliseurs à retour de décision montés en parallèle. Le premier

égaliseur égalise d'une manière habituelle : on commence l'égalisation à partir du pre-

mier symbole reçu. Le deuxième égaliseur traite la version contradictoire de la séquence

reçue. Nous signalons ici que notre égaliseur n'utilise aucune séquence d'apprentissage

et aucun algorithme d'arbitrage.

L'égaliseur que nous proposons conduit à des performances similaires à celles de l'égalis-

eur à retour de décision (DFE.LMS) piloté par séquences d'apprentissage et des perfor-

mances largement supérieures à celles des égaliseurs aveugles conventionnels dans les

canaux A et B de Proakis [10].

Dans les sections qui suivent, nous présentons en détail l'architecture de l'égaliseur

proposé puis nous évaluons ses performances.

Modulation par déplacement de phase linéaire.


3.2 Principe de fonctionnement de l'égaliseur bidi-

rectionnel autodidacte proposé

Le schéma de principe de l'égaliseur que nous proposons est donné à la figure 3.1.

Il consiste en : deux égaliseurs aveugles montés en parallèle, un bloc de permutation et

un bloc de sélection et arrangement des symboles.

v=v

v-WSéquences

reçues

Egaliseur autodidacte (1)

Algorithme d'adaptation x' = {*;}

Permutation Sélection et arrangementdes symboles

Algorithme d'adaptation

V2 Egaliseur autodidacte (2)

FlG. 3.1 — Architecture de l'égaliseur bidirectionnel autodidacte proposé.

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000Nombre de symboles (itérations)


FlG. 3.2 - Egaliseur DD.DFE.LMS. a) Evolution de l'erreur quadratique moyenne, b)

Evolution des erreurs de décision.


Les figures2 3.2(a) et 3.2(b), montrent respectivement, l'évolution de l'erreur qua-

dratique moyenne et l'évolution des erreurs de décision (symboles erronés) en fonction

de nombre des symboles (itérations) pour un égaliseur autodidacte à retour de décision

en mode de décision directe (DD.DFE.LMS) dans le canal A de Proakis.

Nous constatons que la plupart des symboles erronés de la séquence égalisée sont causés

par le phénomène de propagation d'erreur durant la phase convergence de l'algorithme

d'adaptation des coefficients des filtres de l'égaliseur. Durant cette phase, les coefficients

des filtres sont en cours d'adaptation d'où les erreurs entre les symboles égalisés et es-

timés, ce qui ne conduit pas vers la solution optimale.

En nous appuyant sur ce phénomène et sur l'architecture des égaliseurs autodidactes,

nous proposons un nouveau concept qui permet de corriger partiellement ou même tota-

lement les symboles erronés durant la phase de convergence de l'algorithme autodidacte

sans l'utilisation d'algorithme d'arbitrage. Son principe de fonctionnement est simple,

il consiste en trois étapes de traitement de la séquence reçue :

Soit V dénote la séquence reçue issue du canal de transmission sélectif en fréquence,

donnée par :

V = vk fc=l,2,-.. ,N. (3.1)

Etape 1 : consiste à égaliser la séquence :

V x = v l = vk k = l,2,--- ,N. (3.2)

par le premier égaliseur (égaliseur autodidacte (1)).

Etape 2 : consiste à égaliser la version contradictoire de la séquence V par le deuxième

égaliseur (égaliseur autodidacte (2)). Cette version contradictoire est donnée par :

V 2 = vl = vN+l^k fc = l ,2 , . - . , iV. (3.3)

Etape 3 : Consiste à construire la séquence estimée à partir des deux séquences

égalisées comme suit :

Soit :

X 1 - x\ fc = l ,2 ,--- ,N. (3.4)

dénote la séquence égalisée issue du premier égaliseur, et :

X 2 = xl fc = l ,2 , . . . , iV . (3.5)

2Ces résultats sont obtenus à partir des paramètres optimisés à l'aide de simulations pour un rapport

signal à bruit (SNR) égale à 15 dB dans le canal A de Proakis.


dénote la séquence égalisée issue du deuxième égaliseur. La séquence égalisée sélectionnée

est donnée par :

£ ( 4 pomk = N,N-!,•••,N/2.

[xi pour k = N/2 + 1, N/2 + 2, • • • , N.

Avec ces trois étapes, nous sommes assurés qu'il n'y aura pas de symboles erronés si

le rapport signal à bruit est suffisamment élevé pour que les algorithmes d'adaptation

convergent correctement.

3.3 Evaluation des performances de l'égaliseur bi-

directionnel autodidacte

Comme nous l'avons mentionné dans la section précédente, l'égaliseur bidirectionnel

autodidacte que nous proposons nécessite la mise en parallèle de deux égaliseurs autodi-

dactes. Dans cette section, nous évaluons les performances de l'égaliseur bidirectionnel

autodidacte en terme d'erreur quadratique moyenne et de taux d'erreur par symbole

(TES) pour une modulation d'amplitude en quadratique à quatre signaux (4QAM),

non codée, dans les canaux A et B de Proakis3 et ce, pour trois configurations :

Egaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS : l'égaliseur est

formé par la mise en parallèle de deux égaliseurs à retour de décision autodidactes

dont les coefficients sont adaptés par l'algorithme LMS en mode de décision directe

(DD.DFE.LMS).

Egaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS : l'égaliseur est formé

par la mise en parallèle de deux égaliseurs à retour de décision autodidactes. Les coeffi-

cients du premier égaliseur sont adaptés par l'algorithme à module constant « Constant

modulus algorithm (CMA) » (DFE.CMA) et les coefficients du deuxième sont adaptés

par l'algorithme LMS en mode de décision directe (DD.DFE.LMS).

3Les modèles des canaux A et B sont détaillés à la section 2.2.


Egaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS : l'égaliseur est formé

par la mise en parallèle de deux égaliseurs à retour de décision autodidactes. Les coeffi-

cients du premier égaliseur sont adaptés par l'algorithme de SATO (DFE.SATO) alors

que les coefficients du deuxième sont adaptés par l'algorithme LMS en mode de décision

directe (DD.DFE.LMS).

Afin de situer notre égaliseur par rapport aux égaliseurs existants, nous comparons ses

performances en terme de taux d'erreur par symbole pour les trois configurations citées

ci-dessus avec celles de l'égaliseur à retour de décision piloté par séquence d'apprentis-

sage (entraîné) DFE.LMS et celles d'égaliseurs à retour de décision aveugles.

3.3.1 Chaîne de transmission

On considère la chaîne de transmission donnée par la figure 3.3 où les symboles

transmis ne sont pas codés. La séquence d'information {/fc} est modulée en 4QAM,

envoyée ensuite via un canal sélectif en fréquence et stationnaire avec du bruit AWGN.

FlG. 3.3 - Chaine de transmission pour l'évaluation de l'égaliseur autodidacte proposé.

Le signal reçu est affecté par les interférences entre symboles et est donné par

(3.7)n=0

L + l étant la taille de la mémoire du canal (nombre des trajets du canal). Pour générer

le canal discret équivalent, nous utilisons les modèles de Proakis A et B.

A la réception, la séquence reçue {vk} est égalisée par un égaliseur bidirectionnel auto-

didactes. Nous signalons ici que le récepteur ne dispose d'aucune information, ni sur la

séquence émise, ni sur l'état du canal de transmission.


3.3.2 Egaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS

Pour former l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS, nous utilisons

l'architecture proposée dans [14]. Dans cet article, Kim propose l'utilisation d'un filtre

transverse M (z) pour adapter les erreurs issues du circuit de décision dans un but

de les utiliser pour alléger la corrélation du bruit en sortie de l'égaliseur à retour de

décision (DFE). Il démontre analytiquement que l'erreur quadratique moyenne mini-

male (EQMM) de l'égaliseur DFE classique est supérieure à l'EQMM du DFE utilisant

les erreurs de décision. L'ajout d'un filtre d'erreur, ne nécessite qu'une simple mise à jour

des coefficients d'un filtre transverse par l'algorithme LMS. Dans [14], ils démontrent

par simulation que les performances de l'égaliseur DFE.LMS utilisant le retour d'erreur

sont largement supérieures à celles de l'égaliseur DFE.LMS classique pour une modula-

tion par déplacement de phase linéaire (BPSK) et pour une égalisation entraînée dans

le contexte du canal stationnaire. Dans notre cas, nous utilisons la même architecture

proposé dans [14], mais pour un égaliseur à retour de décision en mode de décision di-

recte DD.DFE.LMS et une modulation 4QAM. Le schéma de l'égaliseur bidirectionnel

DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS que nous proposons est illustré à la figure 3.4. Soient

Ki, K-2 et K?, respectivement le nombre de coefficients des filtres directs C1'2(z), le

nombre de coefficients des filtres de retour Q1'2 (z) et le nombre de coefficients des

filtres d'erreurs M1'2 (z). Les exposants .l et ? désignent respectivement les égaliseurs

DD.DFE.LMS (1) et DD.DFE.LMS (2). La mise à jour des filtres est donnée par :

où v\ et w\ sont des vecteurs de longueur K\ qui contiennent les échantillons du signal

reçu ; xj. et x^ sont des vecteurs de longueur K^ qui contiennent les symboles estimés

pour chaque égaliseur ; e\ et e2 sont des vecteurs de longueur Ka qui contiennent les

échantillons des signaux d'erreurs pour chaque égaliseur ; A est le pas d'adaptation de

l'algorithme LMS. Les erreurs e]f" sont données par :

el'2 = 4'2 " *? (3-9)

où x\, x\, x\ et x\ sont respectivement, les symboles égalisés et les symboles estimés

par le premier et deuxième égaliseur.


v=K}Séquences

reçues

v' = v

j—J Algorithme LMS

C\z)

Algorithme LMS

DD.DFE.LMS (1) i

-*\ Circuit de décision

fi'00

V2

Algorithme LMS

M\z) Adaptationde phase K

C\z)

Algorithme LMS

+ iMj5L

K2}Algorithme LMS

Ô2W

{*.'}

Sélection et arrangement __des symboles

Circuit de décision

DD.DFE.LMS (2)

FlG. 3.4 - Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS.


En pratique, les horloges des oscillateurs locaux des émetteur et récepteur sont décalées

en fréquence et en phase : il est donc nécessaire d'égaliser la phase du signal égalisé.

Cette fonction peut être assurée par un algorithme de gradient stochastique [32]. La

mise à jour des phases des signaux égalisés en amplitude est donnée par [32] :

0(1,2) n \T^ 0(1,2)

+ A, 2 e

avec :

9 [.] désigne la partie imaginaire de [.], (.)* désigne le conjugué de (.), 6\ et Q\ sont

respectivement les phases égalisées par le premier et deuxième égaliseur, A# le pas

d'adaptation, Pg une constante positive et 9Q' — 0. Les signaux égalisés et corrigés en

phase sont donnés par :

x\2 = 4'2 exp [-jêft] (3.12)

où x\ et x\ sont respectivement les signaux égalisés en amplitude.

Evaluation de l'erreur quadratique moyenne pour l'égaliseur bidirectionnel

DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS

Nous présentons à la figure 3.5(a), la constellation de la séquence des symboles reçus

et aux figures 3.5(b) et 3.5(c), les constellations des séquences des symboles en sortie

de l'égaliseur DD.DFE.LMS (1) et DD.DFE.LMS (2). Nous présentons également, à

la figure 3.5(d), la constellation de la séquence des symboles sélectionnés en sortie de

l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS. Cette dernière montre qu'il

n'y a pas d'erreur en sortie de l'égaliseur bidirectionnel. Ces résultats ont été obte-

nus à partir de la transmission d'une séquence de 4000 symboles modulés en 4QAM

dans le canal A de Proakis. Les figures 3.5(e) et 3.5(f) représentent respectivement,

l'évolution de l'erreur quadratique moyenne en sorties des égaliseurs DD.DFE.LMS (1)

et DD.DFE.LMS (2). Ces courbes montrent que les deux égaliseurs convergent après

500 itérations. Ces résultats ont été obtenus à partir de la moyenne de 100 tirages

aléatoires. Les paramètres optimaux4 de simulation sont donnés au tableau 3.1.

4Ces paramètres sont optimisés à l'aide de simulations pour un rapport signal à bruit (SNR) égal

à 15 dB dans le canal A de Proakis.


TAB. 3.1 - Les paramètres optimaux des égaliseurs DD.DFE.LMS.

Nombre de coefficients des filtres directs, C1'2 (z) :

Nombre de coefficients des filtres de retour, Q1'2 (z) :

Nombre de coefficients des filtres d'erreur, m1'2 (z) :


Pas d'adaptation de la phase, Ag :

Paramètre de contrôle de la phase, 0e :

6

5

4

0.1

io-7

io-7

500 1000 1500 2000 2500 3000Nombre de symboles (itérations)

(f)

3500 4000

m

aLU


FlG. 3.5 - Résultats dans le canal A de Proakis. a) Constellation des symboles reçus, b)

Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS (1). c) Constellation

des symboles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS (2). d) Constellation des symboles

sélectionnés, e) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DD.DFE.LMS (1). f) Evolution de

l'EQM de l'égaliseur DD.DFE.LMS (2).


Evaluation de taux d'erreur par symbole pour l'égaliseur bidirectionnelDD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS

Afin de situer les performances de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE-

.LMS, nous allons comparer ses courbes de taux d'erreur par symbole (TES) à celles

de l'égaliseur DFE.LMS entraîné et à celles de l'égaliseur DD.DFE.LMS pour les deux

canaux A et B de Proakis. Les paramètres de simulation sont données aux tableaux 3.2

et 3.3.

Les courbes de taux d'erreur par symbole données aux figures 3.6 et 3.7, montrent

que les performances de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS auto-

didacte sont similaires à celles de l'égaliseur DFE.LMS entraîné et largement supérieures

à celles de l'égaliseur DD.DFE.LMS sur toute la plage du rapport signal à bruit pour

les deux canaux A et B de Proakis.

Ces résultats, démontrent que l'utilisation des égaliseurs D.DFE.LMS dans l'architec-

ture bidirectionnelle permet de réduire considérablement les interférences entre sym-

boles.

TAB. 3.2 - Paramètres des égaliseurs DD.DFE.LMS.

Nombre de coefficients des filtres directes, C1'2 (z) :

Nombre de coefficients des filtres de retour, Q1'2 (z) :

Nombre de coefficients des filtres d'erreurs, M1'2 (z) :


Pas d'adaptation de la phase, A# :

Paramètre de contrôle de phase, (5e :

Canal A

11

11

10

• o . i

io-7

ÎO"7

Canal B

4

4

4

0.0125

10"4

10"4

TAB. 3.3 - Paramètres de l'égaliseur DFE.LMS entraîné.


Nombre de coefficients du filtre direct, C (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Q (z) :


Canal A

2000

16

15

0.0125

Canal B

2000

4

4

0.015


10"1,

ïl u" 2

a 10~3

10-4

10"5

i ; ! • r i 1 ! • : :

•! : i i l ••'•>. • i T > V

•j

: . . . i . .

i ! ! ! ! •.'-. • ! ; i i ri • : i : i : i i ! ! i ! 1 ! ! 1 ! ! i

: : : : : : : : : : : : :

* DD.DFE.LMS— • & — DD.DFE.LMS-DD.DFE.LMS— O — DFE.LMS (entrainé)

Canal sans ISI

! ! ! ! ! ! ! i ! ! ! !

• i !.: 3 i

! ! ! : ! !

: : : : : :

: : : : :

!

! i i

1 • ! i i ! 1

'•>. : ! i i 1 "

: • • • : ! ! "

\ i i • i

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15SNR (dB)

FlG. 3.6 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS (Canal A

de Proakis).

DD.DFE.LMS

DD.DFE.LMS-DD.DFE.LMS

DFE.LMS (entrainé)

Canal sans ISI10

SNR (dB)

FlG. 3.7 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS (Canal B

de Proakis).


3.3.3 Egaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS

Le schéma de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS est donné à la

figure 3.8. Nous avons déjà donné les équations de mise à jour des filtres de l'égaliseur

DD.DFE.LMS. Pour exposer les équations de mise à jour des paramètres de l'égaliseur

DFE.CMA, soient K\ et K% respectivement : le nombre de coefficients des filtres directs

C1'2 (z) et les filtres de retour Q1'2 (z). Les exposants -1 et ? désignent respectivement

l'égaliseur DFE.CMA et l'égaliseur DD.DFE.LMS. Les équations de mise à jour des

coefficients des filtres de l'égaliseur DFE.CMA sont données par :

A (x|)*(D (K | | !2)

R2 = 2 pour la modulation 4QAM.

La mise à jour de la phase est donnée par :

Ôk+1 = èk + Afl9f [(xi) (x£) V**] (3.14)

où A<p est le pas d'adaptation de la phase.

Evaluation de l'erreur quadratique moyenne pour l'égaliseur bidirectionnel

DFE.CMA - DD.DFE.LMS

Nous présentons respectivement aux figures 3.9(b) et 3.9(c), les constellations des

séquences de symboles égalisés en sorties de l'égaliseur DFE.CMA et de l'égaliseur

DD.DFE.LMS. Nous présentons aussi la constellation de la séquence des symboles

sélectionnés à la figure 3.5(d). Cette dernière, montre qu'il y a peu ou pas d'erreur

en sortie de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS.

Les figures 3.9(e) et 3.9(f) représentent respectivement, l'évolution de l'erreur quadra-

tique moyenne en sortie de l'égaliseur DFE.CMA et de l'égaliseur DD.DFE.LMS. La

courbe de l'erreur quadratique moyenne de l'égaliseur DFE.CMA (figure 3.9(e)), in-

dique que ce dernier converge après 2000 itérations.

Les courbes de l'erreur quadratique moyenne ont été obtenues à partir de la moyenne de

100 tirages aléatoires. Les paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.CMA sont donnés

au tableau 3.4 et les paramètres de l'égaliseur DD.DFE.LMS sont similaires aux pa-

ramètres optimaux donnés au tableau 3.1.

Chapitre 3. Egalisation aveugle dans Jes canaux invariants sélectifs en fréquence 47

Séquencesreçues

I DFE.CMA Adaptationde phase

• = v !v'=v {*;} «->*.Circuit de décision

Algorithme CMA

S'W

PermutationSélection et arrangement !

des symboles

Algorithme LMS

* ' - { * . '

M ' W

C2(

Adaptationde phase

Algorithme LMS

DD.DFE.LMS

-J Circuit de décision

{5>

iel)j Algoritr

G2W

FlG. 3.8 - Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS.

TAB. 3.4 - Paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.CMA pour un SNR = 15 dB, canal

A de Proakis.Nombre de coefficients du filtre direct, C1 (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Q1 (z) :


Pas d'adaptation de la phase, A ,̂ :

6

5

0.00125

10"4


(a)


(f)


FlG. 3.9 - Résultats dans le canal A de Proakis. a) Constellation des symboles reçus, b)

Constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DFE.CMA. c) Constellation des sym-

boles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS. d) Constellation des symboles sélectionnés,

e) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DFE.CMA. f) Evolution de l'EQM de l'égaliseur

DD.DFE.LMS.


Evaluation de taux d'erreur par symbole pour l'égaliseur bidirectionnelDFE.CMA - DD.DFE.LMS

Nous évaluons les performances de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.-

LMS en terme de taux d'erreur par symbole par rapport aux performances de l'égaliseur

DFE.LMS entraîné dont les paramètres sont données au tableau 3.3. Nous comparons

également ses performances à celles de l'égaliseur DFE.CMA.

Pour l'égaliseur DD.DFE.LMS, les paramètres de simulation sont similaires aux pa-

ramètres proposés au tableau 3.2. Concernant l'égaliseur DFE.CMA les paramètres

sont donnés au tableau 3.5.

T A B . 3.5 - Paramètres de l'égaliseur DFE.CMA.

Nombre de coefficients du filtre direct, C1 (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Ql (z) :


Pas d'adaptation de phase, A# :

Canal A

11

11

0.00125

10~4

Canal B

3

3

0.00125

10"5

Les courbes de taux d'erreur par symbole sont données aux figures 3.10 et 3.11. Elles

montrent que les performances de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS

sont largement supérieures à celles de l'égaliseur DFE.CMA sur toute la plage du rap-

port signal à bruit pour les deux canaux A et B de Proakis.

Nous constatons aussi sur ces deux figures (3.10 et 3.11) que les performances de

l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS sont inférieures à celles de l'égaliseur

DFE.LMS entraîné.

La différence en terme du rapport signal à bruit est de 2 dB pour un TES de 10~4 dans

le cas du canal A de Proakis et de 3 dB pour un TES de 10~4 dans le cas du canal B

de Proakis.

Ceci est dû à la longueur de la phase de convergence de l'égaliseur à retour de décision

adapté par l'algorithme CMA (DFE.CMA). Ce dernier converge après 2000 itérations

(voir figure 3.9(e)), ce qui augmente le nombre des symboles erronés du fait de la

présence possible d'erreurs de décision durant cette phase.


Ul

DFE.CMADFE.CMA-DD.DFE.LMSDFE.LMS (entrainé)Canal sans ISI

10 11 12 13 14 15

10

10

10

FIG. 3.10 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS (Canal A de

Proakis).

DFE.CMADFE.CMA-DD.DFE.LMSDFE.LMS (entrainé)Canal sans ISI

10

10

10

SNR (dB)

FlG. 3.11 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.CMA - DD.DFE.LMS (Canal B de

Proakis).


3.3.4 Egaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS

Pour cette configuration, l'égaliseur bidirectionnel est formé par la mise en parallèle

d'un égaliseur à retour de décision DFE.SATO et d'un égaliseur DD.DFE.LMS similaire

à celui présenté dans les sous-sections précédentes.

Pour exposer les équations de mise à jour des paramètres de l'égaliseur DFE.SATO,

Soient K\ et K<i respectivement : le nombre de coefficients des filtres directs C1'2 (z) et

les filtres de retour Q1'2 (z). Les exposants -1 et ? désignent respectivement l'égaliseur

DFE.SATO et l'égaliseur DD.DFE.LMS. Les équations de mise à jour des coefficients

des filtres de l'égaliseur DFE.SATO sont données par :

Cfc+1 = 4+1 + A (Vfc)* (RsatoXl - Xi)

= q + A (*l)* {Rsatoxl - xi)

Rsato — 2 pour la modulation 4QAM.

Concernant l'égalisation de la phase, nous proposons d'utiliser l'algorithme de gra-

dient stochastique [32] (voir sous-section 3.3.2). Le schéma de l'égaliseur bidirectionnel

DFE.SATO - DD.DFE.LMS est donné à la figure 3.12.

Evaluation de l'erreur quadratique moyenne pour l'égaliseur bidirectionnelDFE.SATO - DD.DFE.LMS

Nous présentons respectivement aux figures 3.13(b) et 3.13(c), les constellations des

séquences de symboles en sorties de l'égaliseur DFE.SATO et en sortie de l'égaliseur

DD.DFE.LMS. Nous présentons également la constellation de la séquence des symboles

sélectionnés à la figure 3.13(d). Cette dernière, montre qu'il y a peu ou pas d'erreur en

sortie de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS.

Les figures 3.13(e) et 3.13(f) représentent respectivement, les courbe de l'évolution

de l'erreur quadratique moyenne en sortie de l'égaliseur DFE.SATO et de l'égaliseur

DD.DFE.LMS. Ces courbes sont obtenues à partir de la moyenne de 100 tirages aléatoires.

Nous constatons (voir figure 3.13(e)) que l'égaliseur DFE.SATO converge après 1000

itérations.

Les paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.SATO sont donnés au tableau 3.6 et les pa-

ramètres de l'égaliseur DD.DFE.LMS sont similaires aux paramètres donnés au tableau

3.1.


V={vJ

Séquencesreçues

v'=v

DFE.SATO

C'M

Algorithme de Sato

Adaptation dephase

{«;} s

Circuit de décision |—

Algorithme de Sato

î ie'oo

Sélection et arrangementdes symboles


FlG. 3.12 - Schéma de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS.

TAB. 3.6 - Paramètres optimaux de l'égaliseur DFE.SATO pour un SNR = 15 dB,

canal A de Proakis.Nombre de coefficients du filtre direct, C1 (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Q1 (z) :


Pas d'adaptation de phase, A# :

Paramétre de contrôle de phase, /3e :

6

5

0.00125

io-2

io-2


(a)

-20

m-a

< 5I I I

-20

1000 1500 2000 2500 3000Nombre de symboles (itérations)

(f)

3500


FlG. 3.13 - Résultats dans le canal A de Proakis. a) constellation des symboles reçus, b)

constellation des symboles égalisés par l'égaliseur DFE.SATO. c) constellation des sym-

boles égalisés par l'égaliseur DD.DFE.LMS. d) Constellation des symboles sélectionnés,

e) Evolution de l'EQM de l'égaliseur DFE.SATO. f) Evolution de l'EQM de l'égaliseur

DD.DFE.LMS.


Evaluation de taux d'erreur par symbole pour l'égaliseur bidirectionnel

DFE.SATO - DD.DFE.LMS

Nous évaluons les performances en terme de probabilité d'erreur par rapport aux per-

formances de l'égaliseur DFE.LMS entraîné dont les paramètres sont donnés au tableau

3.3. Nous comparons également ses performances à celles de l'égaliseur DFE.SATO.

Les paramètres de l'égaliseur DD.DFE.LMS sont similaires aux performances proposées

dans le tableau 3.2 et les paramètres de l'égaliseur DFE.SATO sont donnés au tableau

3.7.

TAB. 3.7 - Paramètres de l'égaliseur DFE.SATO.

Nombre de coefficients du filtre direct, C1 (z) :

Nombre de coefficients du filtre de retour, Ql (z) :


Pas d'adaptation de phase, Ag :

Paramétre de contrôle de phase, fig :

Canal A

15

15

0.00125

io-2

10~2

Canal B

3

3

0.00125

10"4

10"4

Les courbes de taux d'erreur par symbole (TES) sont données aux figures 3.14 et

3.15. Elles montrent que les performances de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO -

DD.DFE.LMS sont largement supérieures à celles de l'égaliseur DFE.SATO sur toute

la plage du rapport signal à bruit pour les deux canaux A et B de Proakis.

Nous remarquons aussi, sur ces deux figures (3.10 et 3.11), que les performances de

l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS sont proches de celles de l'égaliseur

DFE.LMS entraîné.

La différence en terme du rapport signal à bruit est de 1 dB pour un TES de 10~4 pour

le canal A de Proakis et de 1.5 dB pour un TES de 10~4 pour le canal B de Proakis.

Cette différence est due à la longueur de la phase de convergence de l'égaliseur à retour

de décision adapté par l'algorithme SATO (DFE.SATO). Ce dernier converge après

1000 itérations (voir figure 3.13(e)), ce qui donne lieu à des symboles erronés en sortie

du circuit de décision durant cette phase.


10"%

l10"2

[S 10'3

-

10

10-5

h-

s •. ^

W i | ^

— * —

-o—

1

^SvL::::

DFE.SATODFE.SATO-DD.DFE.LMSDFE.LMS (entrainé)Canal sans ISI

• ' •

X

:;

-4-

. \

\

"M. . . ': : : :

i i

10 11 12 13 14 15SNR (dBl

FlG. 3.14 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS (Canal A de

Proakis).

DFE.SATODFE.SATO-DD.DFE.LMSDFE.LMS (entrainé)Canal sans ISI

10

SNR (dB)

FIG. 3.15 - TES de l'égaliseur bidirectionnel DFE.SATO - DD.DFE.LMS (Canal B de

Proakis).


3.3.5 Complexité calculatoire des égaliseurs proposés

Qu'un égaliseur conduise au bon résultat est une chose, encore faut-il qu'il le fasse

dans un temps raisonnable. Un égaliseur peut ainsi demander beaucoup de ressources

(mémoires, temps, etc.) pour parvenir à un résultat, tandis qu'un autre mieux conçu

pour le faire de manière plus efficace.

Etant donné les prix en chute des mémoires, la complexité la plus pertinente reste celle

en temps d'exécution. Cette dernière est liée au nombre d'opérations de calcul à faire

pour obtenir les résultats voulus.

Il est donc important que nous évaluions le nombre d'opérations de calcul nécessaires

à l'égaliseur bidirectionnel autodidacte pour les trois configurations proposées et de les

comparer avec celui des égaliseurs aveugles conventionnels.

Pour effectuer cette comparaison, nous considérons :

- un égaliseur à retour de décision DD.DFE.LMS consiste en : un filtre direct ayant

K coefficients, un filtre de retour ayant K coefficients, un filtre d'erreur ayant

K — 1 coefficients et un égaliseur de phase [32],

- un égaliseur à retour de décision DFE.CMA consiste en un filtre direct ayant K

coefficients, un filtre de retour ayant K coefficients et un égaliseur de phase,

- un égaliseur à retour de décision DFE.SATO consiste en un filtre direct ayant K

coefficients, un filtre de retour ayant K coefficients et un égaliseur de phase [32],

- un égaliseur bidirectionnel autodidacte DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS consiste

en deux égaliseurs DD.DFE.LMS,

- un égaliseur bidirectionnel autodidacte DFE.CMA - DD.DFE.LMS consiste en un

égaliseur DFE.CMA et un égaliseur DD.DFE.LMS, et

- un égaliseur bidirectionnel autodidacte DFE.SATO - DD.DFE.LMS consiste en

un égaliseur DFE.SATO et un égaliseur DD.DFE.LMS.

Dans ce cas, les nombres d'opérations de ces égaliseurs sont donnés au tableau 3.8.

En égard aux chiffres illustrés au tableau 3.8, il s'avère que la complexité calculatoire

des égaliseurs bidirectionnels autodidactes que nous avons étudié est deux fois supérieure

à celle des égaliseurs autodidactes conventionnels. Toutefois l'architecture bidirectionnel

autodidacte conduit à des résultats largement supérieurs à ceux des égaliseurs aveugles

conventionnels.


TAB. 3.8 - Complexité calculatoire des égaliseurs autodidactes.

Egaliseur DD.DFE.LMS (conventionnel)

Egaliseur DFE.CMA (conventionnel)

Egaliseur DFE.SATO (conventionnel)

Egaliseur DD.DFE.LMS-DD.DFE.LMS

Egaliseur DFE.CMA - DD.DFE.LMS

Egaliseur DD.DFE.LMS - DFE.SATO

Opérations / itération

X

6K + 5

AK + 5

5K + 6

12K + 10

10X +10

lltf + 11

+6K

4K

5K + 1

12K

VQK

11K+1

—

1

1

1

2

2

2

Total

12K + 6

8K + 6

10K + 8

2AK + 12

2QK + 12

22K + 14

3.4 Conclusion

Les résultats présentés dans ce chapitre démontrent d'abord la grande capacité de

l'égaliseur bidirectionnel autodidacte à réduire l'effet des interférences entre symboles

des canaux invariants et sélectifs en fréquence.

Pour les deux canaux testés, les performances de l'égaliseur autodidacte bidirection-

nel sont largement supérieures à celles des égaliseurs autodidactes conventionnels. Il

conduit à des performances en tous points comparables à celles d'un égaliseur à retour

de décision (DFE) entraîné pour la configuration DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS et des

performances proches à celles d'un égaliseur à retour de décision (DFE) entraîné pour

les deux configurations DFE.CMA - DD.DFE.LMS et DFE.SATO - DD.DFE.LMS.

Toutefois les performances en terme de complexité calculatoire et de délai d'exécution

de ces égaliseurs bidirectionnels autodidactes sont inférieures à celles des égaliseurs au-

todidactes conventionnels.

Il demeure aussi vraisemblable que l'on puisse encore améliorer les performances de

cette architecture bidirectionnelle par l'utilisation d'autres types d'algorithmes.

Chapitre 4

Turbo égalisation aveugle dans les

canaux sélectifs en fréquence et

invariants

4.1 Introduction

Les récepteurs de communication numérique sont composés de plusieurs fonctions

disjointes, où chaque fonction réalise un traitement spécifique et se termine par une

prise de décision. Ce concept présente une perte d'information et ne conduit pas aux

performances optimales du récepteur. Il est possible de remédier à cet inconvénient en

s'arrangeant pour que certaines fonctions élémentaires puissent bénéficier des traite-

ments réalisés par d'autres fonctions.

Dans ce chapitre, qui concerne la turbo égalisation des canaux invariants sélectifs en

fréquence en présence du codage de canal, nous allons voir qu'un égaliseur utilise

conjointement les données estimées par le décodeur et les signaux issus du canal de

transmission pour essayer de s'affranchir de l'interférence entre symboles.

Plusieurs auteurs ont proposé des solutions à base d'égaliseur annuleur d'interférences

(AI), de détecteur à maximum de vraisemblance et de codage de canal pour traiter

ce problème. La première architecture du turbo égaliseur a été proposée en 1995 dans

[5] dont le principe trouve ses fondements dans les codes turbos [6]. Elle associe un

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariants^

détecteur selon le maximum de vraisemblance avec un décodeur de canal, à l'aide d'un

processus itératif de traitement. Une seconde architecture a été introduite par Laot [7].

Elle est formée d'un égaliseur annuleur d'interférences et d'un décodeur MAP, celle-ci

tient compte à la fois des caractéristiques du canal de transmission et de la redondance

introduite par la fonction de codage pour réaliser son traitement. Sous certaines condi-

tions [7], il est même possible de s'affranchir totalement de l'interférence entre symboles

sans accroître la puissance du bruit de la liaison. Une troisième architecture, peu uti-

lisée, met en oeuvre un égaliseur à retour de décision et un décodeur de canal : elle ne

conduit pas cependant aux caractéristiques optimales à cause de la présence du bruit

en sortie de l'égaliseur à retour de décision [8].

Notre approche d'égalisation des canaux invariants et sélectifs en fréquence est simi-

laire à celle proposée par Laot [7] : la différence réside dans le fait que notre égaliseur

annuleur d'interférences exploite les erreurs de décision pour alléger la corrélation du

bruit en sortie de l'annuleur d'interférences. Ceci permet d'obtenir de meilleures per-

formances en terme d'erreur quadratique moyenne. Cette approche est inspirée de celle

préconisée par Kim [14] : nous allons démontrer par la suite que l'erreur quadratique

moyenne de l'Ai proposé est inférieure à celle de FAI conventionnel.

4.2 Etat de l'art en turbo égalisation

La figure 4.1, montre une chaîne de communication avec un turbo égaliseur. Le

schéma de principe de la turbo égalisation est représenté à la figure 4.2.

Le traitement itératif est réalisé à l'aide de plusieurs modules identiques qui se trans-

mettent une estimation des symboles émis. Cette estimation est améliorée au fil des

itérations. La figure 4.3 détaille le contenu d'un des modules. Pour une modulation

BPSK, ce module comporte un égaliseur suivi d'un désentrelaceur, d'un décodeur de

canal et d'un entrelaceur.

L'égaliseur : L'égaliseur est chargé de réduire ou de supprimer l'interférence entre

symboles générée par le canal sélectif en fréquence. Nous avons présenté au chapitre

2 plusieurs types des structures d'égaliseurs. A la première itération aucune informa-

tion a priori n'est disponible. Une structure d'égaliseur à retour de décision (DFE) ou

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariants60

linéaire (LE) autodidacte est utilisée. En sortie de la première itération, une première

estimation des symboles émis est disponible. Nous voulons utiliser cette information afin

d'améliorer l'égalisation de l'itération suivante. L'égaliseur à maximum de probabilité

a posteriori (MAP), l'annuleur d'interférences (AI), ou l'égaliseur à retour de décision

(DFE) sont des structures appropriées à un tel traitement puisque elles permettent de

supprimer les ISI en utilisant les symboles estimés du passé et du futur.

Entrelaceur/Désentrelaceur : La fonction d'entrelacement/désentrelacement est

très importante en turbo égalisation. En effet, le décodeur de canal est construit sur la

base que les données à son entrée sont blanches et décorrélées de distribution gaussienne.

Malheureusement, les données en entrée du décodeur sont toujours corrélées avec le

bruit, cette corrélation est due à plusieurs facteurs ; parmi ces facteurs on note les

paquets d'erreurs en sortie de l'égaliseur causés par l'atténuation du SNR. Il est donc

nécessaire de distribuer les paquets d'erreurs par l'entrelacement afin que le décodeur

du canal traite des données blanches.

Décodeur : La fonction du décodage peut être réalisée par les algorithmes à maximun

de probabilité a posteriori (MAP) ou SOVA « Soft Output Viterbi Algorithm » , son

rôle étant de supprimer les erreurs causées par le bruit AWGN.

CodeurModulation

BPSKEntrelacement

nCanaldiscret

Turbo égaliseur fct

M

FlG. 4.1 - Chaîne de communication avec un turbo égaliseur.

FlG. 4.2 - Schéma de principe de la turbo égalisation.

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariantsQl

Décodeur decanal

FlG. 4.3 - Schéma d'un module de turbo égalisation.

4.2.1 Turbo égaliseur MAP - MAP

La structure du turbo égaliseur maximisant la probabilité a posteriori a été proposée

par Berrou [5]. La structure de ce turbo égaliseur est représentée sur la figure 4.4.

Plusieurs auteurs ont essayé d'améliorer les performances de cette architecture par la

modification de l'algorithme MAP du décodeur ou de l'égaliseur [38], ou par l'utilisation

d'un turbo codeur à la place du codeur RSC [13]. D'autres ont utilisé un code non

systématique pour remplacer le codeur RSC [39], etc.

Principe de fonctionnement du turbo égaliseur MAP - MAP

FIG. 4.4 - Turbo égaliseur de type MAP-MAP.

L'entrée de l'égaliseur MAP est la séquence reçue {v^}. L'égaliseur calcule le rap-

port de vraisemblable logarithmique des bits codés, dénotés par AE (x^), ces valeurs

représentent la valeur a posteriori des bits codés. Le décodeur MAP reçoit comme

entrée la partie extrinsèque de la sortie égalisée AE (Êk) '• cette valeur extrinsèque est

donnée par :

A? (xk) = \E (xk) - A? (xk) (4.1)

où Af3 (xfc) est la partie extrinsèque entrelacée de la sortie décodée. La sortie AE (îk)

est désentrelacée avant d'être décodée.

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariantsQ2

Le décodeur MAP calcule le rapport de vraisemblance des bits codés dénotés AD (êfc)

/fc). La partie extrinsèque de AD (êfc),

dénotée Af (êfc), représente l'information supplémentaire du bit en cours obtenue par

le décodeur. Cette information extrinsèque est obtenue par la relation :

(ck) = AD (ck) (4) (4.2)

où Ag (êfc) est entrelacée et ensuite injectée dans l'égaliseur MAP : elle lui sert d'infor-

mation a priori. Nous notons ici que pour la première itération aucune information a

priori n'est disponible : l'égaliseur suppose que les événements {xk = 1} et {xk = — 1}

sont équiprobables, c'est-à-dire que la valeur a priori est nulle pour la première itération.

4.2.2 Turbo égaliseur AI - MAP

L'architecture du turbo égaliseur utilisant l'armuleur d'interférences a été proposée

en 1997 par Glavieux et al. [12] et [11] en 2001. Cette même architecture a été étudiée

dans un contexte stationnaire par Fijalkow [40] en 1999, par Vogelbruch [41] en 2003

et par Vandendorpe [42] en 2005. Il s'agit d'un processus itératif, joignant égalisation

et décodage comme montré à la figure 4.5. L'égaliseur à la ieme itération utilise les

résultats produits par le décodeur à l'itération i — 1. Cette approche permet d'exploiter

pleinement l'information de redondance introduite par le codeur.

Égaliseur annuleurd'interférences

FIG. 4.5 - Turbo égaliseur de type AI-MAP.


4.2.3 Turbo égaliseur DFE - MAP

L'architecture de ce turbo égaliseur a été proposée et analysée dans plusieurs articles,

on peut citer notament les travaux de Xiao [43], de Naresh [44], de Singer [45], etc.

Pour cette architecture, le turbo égaliseur est composé de deux modules, d'un égaliseur

à retour de décision (DFE) dont les coefficients sont adaptés par un algorithme LMS ou

RLS et d'un décodeur MAP. L'inconvénient de cette méthode est la présence de bruit

corrélé à la sortie de l'égaliseur à retour de décision ce qui ne permet pas d'obtenir des

performances optimales.

FlG. 4.6 - Turbo égaliseur de type DFE-MAP.

Principe de fonctionnement du turbo égaliseur DFE - MAP

L'entrée du filtre direct est la séquence reçue {t^}. Durant le premier passage du

signal reçu, l'égaliseur DFE fonctionne en mode de décision directe : le filtre de retour

utilise la sortie du circuit de décision (décision ferme). Une fois que le signal reçu tra-

verse complètement l'égaliseur DFE, la sortie de ce dernier est désentrelacée et ensuite

injectée à l'entrée du décodeur MAP. Ce dernier calcule le rapport de vraisemblable

logarithmique des bits codés et les bits d'information estimés, AD [h)- Les-décisions

fermes du rapport de vraisemblance logarithmique des bits codés représentent l'entrée

du filtre de retour pour l'itération suivante (après entrelacement). L'égaliseur DFE

ajuste ses coefficients afin de minimiser l'erreur quadratique entre la séquence reçue

et la séquence produite par le décodeur MAP. On répète ce processus itératif pendant

plusieurs itérations afin d'obtenir une meilleure estimation des bits d'information.


4.3 Turbo égaliseur aveugle proposé

Un turbo égaliseur associe une fonction d'égalisation et de décodage de canal. Dans

un traitement classique, l'égaliseur est alimenté par la sortie bruitée du canal discret

équivalent mais n'exploite pas l'information de redondance introduite par le code pour

égaliser le canal.

En turbo égalisation, le traitement réalisé par l'égaliseur et le décodeur de canal est fait

de manière itérative selon le principe présenté à la figure 4.2.

Notre approche de turbo égalisation aveugle des canaux invariants et sélectifs en fréquence

est similaire à celle proposée par Glavieux [11]. La différence réside dans la structure de

l'égaliseur AI et du codeur/décodeur de canal. Dans les sous-sections suivantes, nous

expliquons en détail le principe du turbo égaliseur proposé.

4.3.1 Chaîne de transmission pour le turbo égaliseur aveugle

proposé

Pour évaluer les performances du turbo égaliseur que nous proposons, nous considérons

une transmission où les données sont codées puis transmises dans un milieu sélectif en

fréquence à l'aide d'une modulation BPSK. La chaîne de transmission est représentée à

la figure 4.7. Le codeur de canal est alimenté par des données binaires Ik prenant leur

valeur dans l'ensemble {0,1}. Elles sont émises par la source d'information à raison

d'une donnée toutes les Ts secondes (Ts : durée de symbole) et codées par un turbo

codeur de rendement 1/2.

Comme nous l'avons expliqué au chapitre 2, l'ensemble : filtre d'émission, milieu de

transmission et filtre de réception est représenté par un canal discret équivalent, per-

turbé par un bruit additif n^. La sortie du canal est donnée par :

vk = ̂ 2 Kxk-n + nk (4.3)n=0

où les hn sont les L + 1 coefficients du canal. Le rapport E^/NQ à l'entrée du turbo

égaliseur peut s'exprimer en fonction du rapport signal sur bruit SNR — ES/NQ et du


taux de codage R par la relation :

±No RN0

où NQ est la densité spectrale de puissance du bruit à l'entrée du démodulateur.

(4.4)

ModulationBPSK

Entrelacement

nCanaldiscret

Turbo égaliseur

FlG. 4.7 - Schéma de la chaîne de transmission pour le turbo égaliseur proposé.

4.3.2 Pr inc ipe de fonctionnement du t u r b o égaliseur aveugle

Le turbo égaliseur que nous proposons pour combattre l'interférence entre symboles

générée par les canaux invariants et sélectifs en fréquence est formé d'un égaliseur an-

nuleur d'interférences (AI), d'un décodeur et d'un estimateur de canal.

L'égaliseur annuleur d'interférences supprime totalement l'ISI si les données sont bien

estimées, et ce, pour une iinplémentation moins complexe. C'est pour cette raison nous

allons utiliser la structure de cet égaliseur avec certaines modifications que nous propo-

sons afin de tenir compte de la corrélation du bruit en sortie de l'Ai. Dans la sous-section

4.3.4, nous démontrons analytiquement que l'égaliseur AI proposé est plus performant

que l'égaliseur AI conventionnel en terme d'erreur quadratique moyenne minimale.

Pour le codeur/décodeur de canal, nous proposons d'utiliser un turbo codeur et d'adop-

ter l'algorithme LOG-MAP pour le décodage des données, ce dernier est moins complexe-

et numériquement plus stable que l'algorithme MAP.

L'architecture globale du turbo égaliseur proposé est donnée à la figure 4.8. Le principe

consiste en un traitement itératif où, à chaque itération i, le turbo égaliseur utilise les

données issues du canal et l'information qu'il a produit pour procéder à l'itération i +1.

Pour chaque itération i > 1, le turbo égaliseur commence par égaliser les données issues

du canal en utilisant les données estimées par le décodeur de canal à l'itération i — 1.

Ces décisions souples sont données par :

Xi. = (4.5)


où A (êfc) est l'estimation du bit c^ fournie par le décodeur.

Une fois, la séquence reçue égalisée par l'annuleur d'interférence, le décodeur de canal

passe à l'estimation de la séquence égalisée {£&}, après désentrelacement. Pour ce faire,

il utilise ses informations extrinsèques calculées à l'itération i — 1. Ce traitement itératif

se poursuit de la même manière et, après un certain nombre d'itérations, le décodeur

prend une décision sur les symboles émis.

FlG. 4.8 - Schéma du turbo égaliseur aveugle proposé.

4.3.3 Décodage des données

Le décodeur que nous utilisons pour le décodage des symboles turbo codés est l'algo-

rithme LOG-MAP. Ce dernier permet de calculer les probabilités avec une complexité

raisonnable. Nous adaptons cet algorithme au décodage des données issues à la sortie

de l'égaliseur AI.

Le principe de décodage est similaire à celui proposé par Glavieux [6]. La différence

réside dans le calcul des valeurs de vraisemblance logarithmique des bits de parité,

A (c^1) et A (c£2), ainsi que le facteur de fiabilité de canal qui nécessite une redéfinition.

Sous l'hypothèse d'avoir Xk = Xk, la sortie de l'égaliseur AI pour un canal stationnaire

est donnée par (2.48) :

1_a n=0

(4.6)


avec

et

1/2T

n=0

aazr -A- (7

La sortie de l'égaliseur s'exprime par :

pn=0

bruit

Nous avons :

et

=E

= E

! E h>k+nn=0

En=0

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Le décodeur est un algorithme de décodage LOG-MAP qui donne à sa sortie le rapport

de vraisemblance logarithmique :

Pr (cfe = +l|observation)lA (cfc) = In (4.12)

Pr (êfc = —1|observation)]

L'entrée du décodeur LOG-MAP est la séquence égalisée {ck}. Donc l'équation (4.12)

s'exprime par :

A (cfc) = In (4.13)[Pr{ck = -l\ck)_

où {êfc} est une version entrelacée de {xk}. Donc la probabilité conditionnelle du signal

égalisé, étant donné la séquence {xk}, est donnée par [16] :

Pr{ck\xk) = -—-exp (4.14)


A partir de (4.14) et (4.13), on peut conclure que :

A(cfc) = — 5î[cfc] (4-15)v

où 9? [cfc] représente la partie réelle de ck. Nous signalons ici que le décodeur LOG-MAP

n'exploite que la partie réelle de ck- A partir de (4.15), on peut en déduire l'expression

du facteur de fiabilité du canal Lc :

(4.16)

Nous remplaçons a^ et (3 par leurs expressions respectives i.e (4.11) et (4.8 ) :

Donc l'expression finale du facteur de fiabilité pour un canal stationnaire et sélectif en

fréquence est donnée par :

Le = 2 (^ + 1 ^ (4.18)

La variance du bruit a\ = NQ/2 peut être calculée par :

L

Si le canal est normalisé, c'est à dire a — ^2 \hn\2 — 1) le facteur de fiabilité est donné

n=0par :

(i i) (4.20)

4.3.4 Egaliseur annuleur d'interférences

Afin de réaliser notre égaliseur annuleur d'interférences (AI), nous allons utiliser le

concept proposé par Kim [14] que nous avons déjà utilisé dans la section 3.3.2. Dans

cet article, Kirn propose une nouvelle architecture de l'égaliseur à retour de décision

(DFE). Son architecture permet d'améliorer les performances de l'égaliseur DFE par

l'ajout d'un filtre d'erreur dans l'architecture de l'égaliseur DFE classique dans un souci

de réduire la corrélation du bruit en sortie de l'égaliseur DFE.


Séquencereçue

k\c(2) H s


Séquenceestimée

W(z)

Algorithme d'adaptation k)

F I G . 4.9 - Egaliseur AI conventionnel.

Dans le cadre de notre recherche, nous utilisons le même concept, mais cette fois-ci

pour l'égaliseur AI. La nouvelle architecture de l'Ai ne nécessite que l'ajout d'un filtre

transverse M(z) pour adapter le signal d'erreur (voir figure 4.10) afin de réduire la

corrélation du bruit causée par les symboles erronés par le décodeur de canal.

Afin de démontrer que les performances en terme d'erreur quadratique moyenne de cet

égaliseur sont meilleures à celles de l'égaliseur AI conventionnel, nous procédons comme

[14], nous comparons l'erreur quadratique moyenne minimale (EQMM) de égaliseur AI

conventionnel de la figure 4.9 avec l'EQMM de l'égaliseur AI proposé. Le schéma de

principe de l'Ai que nous proposons est montré à la figure 4.10.

Séquencereçue

M

fe}Séquenceestimée

cM


t

Alt 4-

»orithme d'adaptation

t


!M(z)

1+

FlG. 4.10 - Egaliseur AI utilisant le retour d'erreur (proposé).

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugJe dans Jes canaux sélectifs en fréquence et invariantsîO

Détermination de l'erreur quadratique moyenne minimale de l'Ai conven-

tionnel

Pour déterminer l'erreur quadratique moyenne minimale, nous considérons un égaliseur

AI constitué d'un filtre C (z) ayant K + 1 coefficients et d'un filtre W (z) ayant K + 1

coefficients. La sortie de l'égaliseur AI est donnée par :

K KWnXk-n (4-21)

n=0 n=0

La sortie égalisée s'exprimer (sous forme vectorielle) comme suit :

xk = cfczfc (4.22)

aveczk = Vk Vk-\ • • • Vk-K Xk Xk-l • • • Xk-K (4.23)

et

Ck — c 0 c i • • • CK —W0 —WI • • • —WK (4.24)

L'erreur entre le signal désiré Xk et le signal égalisé xk est donnée par :

ek = xk - xk (4.25)

L'erreur quadratique moyenne EQM est donnée par :

J = E[\el\] =E[\xk-Xk\2} (4.26)

Cette erreur quadratique moyenne peut s'exprimer [14] :

J = E [\xk\2] - 2tck + &lrck (4.27)

où f = E[|a;feZfc|] est un vecteur de longueur 2K + 2 contenant les échantillons de

corrélation croisée entre le signal désiré et le signal d'entrée et F = E [|zfc| ] est une

matrice de dimension 2K + 2 par 2K + 2 contenant les échantillons d'autocorrélation

du signal d'entrée.

Les coefficients optimaux d'égaliseur peuvent être déterminés par le forçage du gradient

à zéro. Le gradient Gk de l'erreur quadratique peut être obtenu par la dérivation de

(4.27) par rapport au vecteur des coefficients d'égaliseur comme suit :

2 «(**) (4.28)

(rc* - 0

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariantsll

d'où

En remplacent (4.29 ) dans (4.27 ), on obtient :

(4.29)

(4.30)

Détermination de l'erreur quadratique moyenne minimale de l'Ai utilisant

le retour d'erreur (proposition)

L'égaliseur annuleur d'interférences (AI) conventionnel ne permet pas d'éliminer

complètement les interférences entre symboles si les données estimées ne sont pas toutes

correctes. Dans [14], en propose un filtre d'adaptation d'erreur dont les coefficients sont

ajustés par l'algorithme LMS.

Dans notre cas, nous proposons d'ajouter l'erreur adaptée en sortie de l'Ai : ceci permet

de réduire l'effet du bruit si les données estimées par le décodeur de canal ne sont pas

toutes correctes. Nous allons examiner l'erreur quadratique moyenne de ce nouveau

annuleur d'interférences. Nous proposons toujours d'étudier le cas d'un égaliseur AI

constitué d'un filtre C (z), ayant K + 1 coefficients et d'un filtre W (z) ayant K + 1

coefficients, et d'un filtre d'adaptation d'erreur M (z) ayant un seul coefficient ce. Le

schéma de cet AI est représenté sur la figure 4.10.

La sortie de l'égaliseur AI est donnée par :

K K

n = 0

On peut écrire aussi

avecvk vk-K ek~ï

(4.31)

(4.32)

(4.33)

etC0 CK -W0 WK Ce

(4.34)


A partir de (4.27), on peut conclure que

J = E[\xk\2} (4.35)

avec

T-l _F E[\ek^zk\)

-T f | j ] 771 [ l |2"1

/ []efc—iZfc|j £J L|ejfc—11 J

Puisque l'erreur ek est orthogonale à zk, E [|efc_!Zfc|] = 0. F s'exprime donc par :

(4.36)

r =f

_ 0 E [|efc_!|2] _

L'erreur quadratique minimale est donnée par :

Jmin = E [\Xk\2] - ë T -

(4.37)

(4.38)

Pour comparer cette erreur quadratique avec l'erreur quadratique de (4.30), nous devons

déterminer F"1 . Posons

E [|efc_x|2] = E [ H 2 ] = al

On peut démontrer que

" F"1 0

0 1/al

Si on remplace l'équation (4.40) dans l'équation (4.38), on obtient

n 2 r H [ F"1 0Jmin = E [\xk\ \ - ? E[\xkek-i\]

L J [ 0 1/al

Finalement, Jmin est donnée par :

Jmin = E [\xk\2] - ^ F - 1 ^ - (E [\xkek_x\])2 /al

(4.39)

(4.40)

(4.41)

(4.42)

Puisque le terme (E [\xkek-i\])2 1/a2. est toujours positif, on peut dire que l'erreur qua-

dratique moyenne minimale de l'égaliseur annuleur d'interférences (AI) utilisant le re-

tour d'erreur est inférieure à celle obtenue avec l'égaliseur AI conventionnel.

Dans le cas de notre turbo égaliseur, nous allons utiliser l'algorithme LMS pour l'adap-

tation des coefficients des filtres de l'Ai.


Choix du modèle d'adaptation des coefficients des filtres de l'égaliseur an-

nuleur d'interférences

Pour adapter les coefficients des filtres C (z) et W (z) de l'égaliseur annuleur d'in-

terférences, deux méthodes sont possibles. La première méthode consiste à adapter

directement les coefficients des filtres à l'aide d'un algorithme LMS ou RLS. La seconde

méthode nécessite l'estimation de canal associée à l'un des algorithmes d'adaptation

LMS ou RLS. Le choix de l'une ou de l'autre de ces deux méthodes dépend de leur

capacité de poursuite de la variation du canal de transmission.

Dans le cadre de notre travail de recherche, nous choisissons le modèle d'adaptation

directe des coefficients des filtres à partir des échantillons de la séquence reçue {vk}

et la séquence estimée {xk}- Ce choix est lié à la présence du filtre d'erreur M (z) qui

nécessite une mise à jour de l'erreur entre le symbole égalisé et le symbole estimé à

chaque itération. Pour l'optimisation des coefficients nous adoptons l'algorithme LMS.

Les équations de mise à jour des coefficients des filtres W(z), C (z) et M (z) pour

l'algorithme LMS sont données par :

cfc+i = cfe + Av*efc

= wfc - Ax£efe (4.43)

= mfc + Aefc (efc)*

où Vfc est le vecteur des échantillons du signal reçu, xfc est le vecteur des symboles estimés

par le décodeur de canal, e^ est le vecteur des échantillons des erreurs de décision et A

est le pas d'adaptation de l'algorithme LMS.

L'erreur ek est donnée par :

ek = xk - xk (4.44)

4.3.5 Initialisation du turbo égaliseur

Le turbo égaliseur ne peut pas être utilisé lors de la première itération car nous ne

disposons pas des données estimées. Pour initialiser le turbo égaliseur, nous employons

un égaliseur autodidacte. L'égaliseur autodidacte que nous proposons consiste en un

égaliseur bidirectionnel autodidacte DD.DFE.LMS - DD.DFE.LMS. Nous adoptons la

même architecture d'égaliseur que nous avons présenté à la sous-section 3.3.2.


4.4 Performances du turbo égaliseur proposé

Dans cette section, nous analysons les performances du turbo égaliseur en terme de

taux d'erreurs binaires (TEB) dans les canaux1 de Proakis A et B. Les performances en

terme de TEB sont évaluées par une méthode de type Monte-Carlo, et chaque valeur

du TEB a été obtenue par la transmission de 106 bits d'information. Afin de situer les

performances de notre turbo égaliseur, nous comparons ses courbes de TEB pour un

canal invariant et sélectif en fréquence à celles d'un canal AWGN sans ISI2 et aussi à

celles d'un égaliseur à retour de décision piloté par les vraies données transmises. Le

codeur turbo simulé est constitué de deux codeurs RSCs3 de longueur de contrainte K =

5 et de polynôme générateur (1,21/37)O, (i.e en octal). Les paramètres de simulation

sont donnés au tableau 4.1.

TAB. 4.1 - Paramètres du turbo égaliseur proposé.

Rendement du TC4 après poinçonnage, R

Entrelaceur du TC4

Entrelaceur de canal

Nombre d'itérations5

Canal A Canal B

1/2

Aléatoire

Ligne/Colonne (100 x 100)

2/1

Paramètres de l'égaliseur annuleur d'interférences

Coefficients du filtre adapté

Coefficients du filtre annuleur

Coefficients du filtre d'erreur

Pas d'adaptation, A

15

15

1

0.001

5

5

1

0.001

Paramètres de l'égaliseur de la première itération

Coefficients des filtres directs

Coefficients des filtres de retour

Coefficients des filtres d'erreur

Pas d'adaptation, A

Pas d'adaptation de phase, A#

Paramètre de contrôle de phase, (3g

6

5

5

0.1

io-7

io-7

4

3

3

0.1

io-7

io-7

1Les modèles des canaux A et B sont détaillés à la section 2.2.interférences entre symboles.3Codeurs convolutifs récursifs et systématiques.

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans Jes canaux sélectifs en fréquence et invaria,nts75

4.4.1 Résultats dans le canal A de Proakis

A la figure 4.11, nous avons tracé le taux d'erreurs binaires (TEB) en fonction du

rapport Eb/N0 en sorties de l'égaliseur de la première itération et de l'annuleur d'in-

terférences (AI) à la deuxième itération. La courbe en trait hachuré correspond au TEB

d'une modulation BPSK sans interférences entre symboles et sans codage.

Pour ce canal a priori assez facile à égaliser, dès que le rapport Eb/N0 = 2.5 dB, le

TEB en sortie de l'Ai à la deuxième itération dépasse le TEB d'un canal à bruit additif

blanc gaussien sans ISI. Ceci affirme que l'égaliseur annuleur d'interférences ne peut

pas fournir des données blanches au décodeur de canal tant que le rapport E^/NQ <

2.5 dB. Nous constatons également, que dès que le TEB en sortie de l'égaliseur de la

première itération s'approche de 10"1, l'égaliseur annuleur d'interférences donne une

meilleure estimation en sortie.

10°

10

10

10

. . . . . . . . . . . , . • . . • - - . - . . . . . . . . . . . . . T . . . . . . . . . . . • • ; ; • , . . . , . . , , . . . . . . , , . . r r T T | . . . . . : . . , . , T . . . . . . . . . . . .

:~ :-: U.:__ :: : : : : : i^Hsjfc: : : : : : : : : : : : : : : : : : ::: : : : : :

• : ': : : ^ s i . " """• " -

— O — Egaliseur de la première itération (Iter 1)— * — Egaliseur Al (Iter 2)— — — Canal sans ISI

• • i

: - . : : : : ; : : : : : : -

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Eb/No (dB)

4.5

FIG. 4.11 - TEB en sortie de l'égaliseur de la première itération et l'égaliseur AI (canal

A de Proakis).

A la figure 4.12, nous avons tracé le TEB en fonction du rapport Eb/No à la sor-

tie du décodeur de canal pour les deux itérations du turbo égaliseur. Pour ce canal,

deux itérations du turbo égaliseur sont suffisantes pour que les performances du turbo

égaliseur se rapprochent avec celles d'un canal sans interférence entre symboles et avec4Codeur turbo.5Deux itérations du codeur turbo pour chaque itération du turbo égaliseur.


codage. Dès lors le rapport Eb/No m 2.2 dB, le turbo égaliseur (TE) conduit à de

meilleures performances que l'égaliseur à retour de décision piloté par les vraies données.

TE Iter 1TE Iter 2DFE (piloté par les vraies données)TC Iter 15 (sans ISI)

10 -

FlG. 4.12 - TEB en sortie du décodeur LOG-MAP (canal A de Proakis).

4.4.2 Résultats dans le canal B de Proakis

A la figure 4.13, nous avons tracé le taux d'erreurs binaires (TEB) en fonction

du rapport E^/NQ en sorties de l'égaliseur de la première itération et de l'annuleur

d'interférences (AI) à la deuxième itération. La courbe en trait hachuré correspond au

TEB d'une modulation BPSK sans interférences entre symboles et sans codage.

Pour ce canal a priori difficile à égaliser, dès que le rapport Eb/No = 4 dB, le taux

d'erreur binaire en sortie de l'égaliseur AI à la deuxième itération dépasse le TEB d'un

canal sans ISI. Ceci indique que l'égaliseur AI ne peut pas fournir des données blanches

au décodeur de canal tant que le rapport Eb/NQ < 4 dB. Nous constatons également,

que dès que le TEB en sortie de l'égaliseur de la première itération approche 10"1,

l'égaliseur AI donne une meilleure estimation en sortie.

A la figure 4.14, nous avons tracé le TEB en fonction du rapport E^/NQ à la sortie du

décodeur de canal pour les deux itérations du turbo égaliseur. Pour ce canal (canal B

de Proakis), deux itérations du turbo égaliseur (TE) sont suffisantes pour débuter le

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invariants!!

Egaliseur de la première itération (Iter 1 )

• Egaliseur Al (Iter 2)

• Canal sans ISI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Eb/No(dB)

FlG. 4.13 - TEB en sortie de l'égaliseur de la première itération et l'égaliseur AI (canal

B de Proakis).

TE Iter 1

TE Iter 2

DFE (piloté par les vraies données)

TC Iter 15 (sans ISI)

niW

10

10

10

FlG. 4.14 - TEB en sortie du décodeur LOG-MAP (canal B de Proakis).


phénomène turbo à un rapport Eb/No = 4.5 dB. Dès lors, le rapport Eb/No > 3.5 dB, le

TE conduit à de meilleures performances que l'égaliseur à retour de décision piloté par

les vraies données. Nous signalons ici que l'utilisation de la boucle interne du TE permet

d'améliorer les performances globales du turbo égaliseur en terme d'itérations. Le TEB

est amélioré à partir de la deuxième itération du turbo égaliseur, contrairement aux

turbo égaliseurs utilisant les codeurs convolutifs [40], qui nécessitent au moins quatre

itérations pour améliorer les performances en termes de TEB.

4.4.3 Influence de l'égaliseur de la première itération

A la figure 4.15, nous comparons les performances en terme de taux d'erreur binaire

d'un turbo égaliseur qui emploie l'égaliseur bidirectionnel autodidacte proposé pour

l'initialisation de la première itération, et un turbo égaliseur qui utilise un égaliseur à

retour de décision classique [40, 11]. Les interférences entre symboles sont générées selon

le modèle A de Proakis. Nous remarquons qu'après la convergence du processus itératif

(deuxième itération) du turbo égaliseur, les performances obtenues par l'utilisation de

l'égaliseur bidirectionnel autodidacte sont largement supérieures. Pour un TEB de 10~3,

l'égaliseur bidirectionnel permet d'obtenir un gain de 2 dB pour le canal A de Proakis.

TE (DFE classique)TE (égaliseur bidirectionnel)TC lter15(sanslSI)10

FIG. 4.15 - Influence de l'égaliseur de la première itération (canal A de Proakis).


4AA Influence du filtrage d'erreur

A la figure 4.16, nous avons tracé, d'une part, l'erreur quadratique moyenne (EQM)

en sortie de l'égaliseur annuleur d'interférence (AI) conventionnel (sans filtrage d'er-

reur) et d'autre part, l'erreur quadratique moyenne en sortie de l'égaliseur AI utilisant

le filtrage d'erreur (proposé), et ce, pour un rapport Et,/No = 5 dB, dans le canal B

de Proakis et pour deux itérations du turbo égaliseur. Cette EQM a été déterminée en

prenant la moyenne des erreurs quadratiques obtenues à partir de 100 tirages aléatoires

de la séquence d'information. Nous constatons que l'erreur quadratique moyenne de

l'égaliseur AI proposé est inférieure à celle de l'égaliseur AI conventionnel pour la

plupart des itérations. Le résultat donné à la figure 4.16 est en concordance avec la

comparaison théorique effectuée à la section 4.3.4.

5

0

-5

-10CD

S -15

s -20-25

-30

-351 1 1 1 1

EQM de l'Ai conventionnel

EQM de l'Ai proposé

i

||V " ' 'ÂÀ«•»-• •A i i - . i : . ••

-

r


8000 9000 10000

FlG. 4.16 - Évolution de l'erreur quadratique moyenne en sortie de l'égaliseur AI pour

un canal B de Proakis et un rapport Eb/N0 = 5 dB en fonction du nombre de symboles

(itérations).

4.4.5 Influence du facteur de fiabilité de canal

La figure 4.17 compare les performances d'un turbo égaliseur pour un canal invariant

dans le temps sélectif en fréquence et non normalisé pour deux cas :


- premier cas : le turbo égaliseur utilise le facteur de fiabilité donné par :

a 1(4.45)

où a est le gain du canal donné par a —fc=o

- deuxième cas : le turbo égaliseur utilise le facteur de fiabilité donné par :

1 1(4.46)

Le canal invariants, non normalisé et sélectif en fréquence est généré par [9] :

K =0

si n = 1, 2,3

ailleurs(4.47)

Nous fixons la valeur de U à 4. Dans cette situation a = 1.5.

Nous remarquons (figure 4.17) qu'après la deuxième itération du turbo égaliseur, les

performances obtenues par l'utilisation du facteur de fiabilité donné par (4.45) sont

meilleures que celles obtenues par l'utilisation du facteur de fiabilité donné par (4.46).

Ceci confirme la nécessité de tenir compte du facteur a dans le calcul du facteur de

fiabilité du canal de transmission sélectif en fréquence.

O — TE Iter 1 (premier cas, Iter 1)

TE Iter 1 (deuxième cas, Iter 1)

TE Iter 2 (deuxième cas, Iter 2)

— TE Iter 2 (premier cas, Iter 2)

0.5 1.5 2 2.5Eb/No(dB)

FlG. 4.17 - Influence du facteur de fiabilité de canal.


4.4.6 Complexité calculatoire du turbo égaliseur proposé

Pour situer la complexité calculatoire du turbo égaliseur proposé par rapport aux

égaliseur existants, nous comparons le nombre d'opérations de calcul par itération de

ce dernier avec celui de l'égaliseur proposé par Laot [11] et Fijalkow [40]. En effet les

différences entre notre turbo égaliseur et les turbo égaliseurs [11, 40] résident dans : le

choix de l'égaliseur de la première itération, le choix du codeur de canal et la modifica-

tion de l'architecture de Pannuleur d'interférences.

Afin de simplifier cette comparaison nous considérons que :

- N désigne la longueur du bloc d'information,

- J désigne la longueur de contrainte des codeurs convolutifs utilisés,

- le turbo égaliseur proposé est composé d' :

- un égaliseur bidirectionnel de la première itération constitué de deux égaliseurs

DD.DFE.LMS, chaque égaliseur DD.DFE.LMS consiste en un filtre direct ayant

K coefficients, un filtre de retour ayant K coefficients, un filtre d'erreur ayant

K — \ coefficients et un égaliseur de phase [32],

- un égaliseur annuleur d'interférences (AI) adapté par algorithme LMS qui

consiste en un filtre adapté ayant K coefficients, un filtre annuleur ayant K

coefficients et un filtre d'erreur ayant K — 1 coefficients, et

- un décodeur LOG-MAP.

- le turbo égaliseur [11, 40] est constitué d' :

- un égaliseur à retour de décision DFE.LMS pour la première itération qui

consiste en un filtre direct ayant K coefficients, un filtre de retour ayant K

coefficients et un égaliseur de phase [32],

- un égaliseur AI adapté par algorithme LMS qui consiste en un filtre adapté

ayant K coefficients et un filtre annuleur ayant K coefficients, et

- un décodeur MAP.

Le tableau 4.2, résume le nombre d'opérations de calcul nécessaires à chaque itération

du turbo égaliseur.

En égard aux chiffres donnés au tableau 4.2, nous constatons que le turbo égaliseur

proposé nécessite plus de calculs que le turbo égaliseur retrouvé dans [40, 11]. Toutefois6Nous signalons ici que nous avons approximé le nombre des opérations/itération nécessaires au

décodage (MAP ou LOG-MAP) par 3iV x 2Jopérations de calcul.

Chapitre 4. Turbo égalisation aveugle dans les canaux sélectifs en fréquence et invaria,nts82

TAB. 4.2 - Complexité calculatoire des turbo égaliseurs (TE).

TE

TE

[40,11]

proposé

Egaliseur

liere itération

12N(2K + 1)

24N(2K + 1)

Opérations / itération

Egaliseur

AI

20NK

24NK - 2N

Décodeur

de canal

3N x 2J (6)

12JV x 2J (6)

Total

2N(22K + 3 x 2J~1 -

2N(36K + 12 x 2J~1 -

h 6)

M l )

le turbo égaliseur que nous proposons donne des performances en termes de taux d'er-

reur binaire meilleurs que celles de turbo égaliseur retrouvé dans [40, 11], et ce, pour

un nombre réduit d'itérations du turbo égaliseur (voir figure 4.15). Ceci justifie notre

choix de turbo décodeur ainsi que de l'égaliseur bidirectionnel proposé.

4.5 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons étudié une structure de turbo égaliseur avec certaines

modifications que nous proposons et nous avons évalué ses performances en termes

de taux d'erreur binaire dans deux types de canaux invariants sélectifs en fréquence

et pour une modulation BPSK. Nous avons montré, à partir des simulations, que le

turbo égaliseur utilisant l'égaliseur annuleur d'interférences (AI) que nous proposons et

l'égaliseur bidirectionnel permet de réduire l'interférence entre symboles induite par la

sélectivité fréquentielle des canaux invariants sans l'utilisation de séquences d'appren-

tissage.

Pour les canaux que nous avons testés, la turbo égalisation conduit à des perfor-

mances proches d'un canal gaussien sans interférence entre symboles et meilleures qu'un

égaliseur à retour de décision (DFE) piloté par les vraies données transmises.

Il y a quatre points à souligner :

- Le premier point est que, quelle que soit la sélectivité du canal stationnaire, l'effet

itératif du turbo égaliseur agit et permet, au fil des itérations d'améliorer les

performances de l'ensemble égaliseur/décodeur.

- Le deuxième point est que le déclenchement et le gain potentiel du turbo égaliseur

repose essentiellement sur une égalisation correcte (égalisation de la premièreitération) : celle-ci est réalisée avant tout autre traitement. Le seuil de taux d'er-


reur binaire nécessaire au déclenchement du phénomène turbo pour l'égalisation

des canaux stationnaire est de l'ordre de 10"1.

- Le troisième point est que l'ajout du filtre d'erreur dans l'architecture de l'égaliseur

annuleur d'interférence améliore les performances du turbo égaliseur en terme

d'erreur quadratique moyenne pour le contexte de canaux invariants. Nous démont-

rerons par simulation, au prochain chapitre, que l'ajout du filtre d'erreur dans l'ar-

chitecture de l'Ai permet d'obtenir des performances en terme d'erreur quadra-

tique moyenne meilleures que celles de l'Ai conventionnel même pour le contexte

de canaux variants.

- Le quatrième point à souligner est qu'il est important de tenir compte du gain

de canal sélectif en fréquence et stationnaire dans le calcul du facteur de fiabilité

afin d'améliorer les performances globales du turbo égaliseur.

Chapitre 5

Turbo égalisation dans les canaux

sélectifs en fréquence et variants

dans le temps

5.1 Introduction

Tous les modèles des canaux de transmission sélectifs en fréquences que nous avons

utilisé dans les simulations des chapitres précédents sont des modèles stationnaires

(invariants dans le temps). Ces modèles sont utiles quand l'émetteur et le récepteur

sont stationnaires. Pour ce type de canaux, il est possible de transmettre des quantités

importantes des données sans que le canal change : c'est pour cette raison que nous

avons considéré un canal invariant dans le temps. Nous avons alors utilisé les modèles

de Proakis pour simuler le canal de transmission multi trajets stationnaire.

Pour les environnements extérieurs où le délai de propagation est très important, le débit

de transmission est ralenti à cause de l'effet des obstacles. Un autre facteur important

pour ces environnements est la vitesse de déplacement de l'émetteur ou du récepteur,

ce qui cause des changements rapides du canal de transmission.

Ce chapitre est consacré à la turbo égalisation dans les canaux de Rayleigh corrélés

sélectifs en fréquences. Nous proposons et analysons un turbo égaliseur qui permet de

joindre l'égalisation, l'estimation et le codage du canal de transmission pour essayer de

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps85

s'affranchir de l'interférence entre symboles causée par ces canaux.

5.2 Turbo égalisation dans un canal de Rayleigh

sélectif en fréquence

Plusieurs travaux ont été effectués sur l'égalisation des canaux variants. En 1997,

Laot [11, 12] a proposé un turbo égaliseur pour les canaux de Rayleigh sélectifs en

fréquence incluant un annuleur d'interférences, permettant ainsi de profiter pleinement

des données souples issues du décodeur de canal. Le turbo égaliseur proposé par Laot

utilise une séquence d'apprentissage périodique représentant 20% du flux de données.

De cette première approche découlent les articles de Ammari, Huynh et Fortier [15] en

2001 et de Langlais et Hélard [46] en 2002. Le turbo égaliseur proposé dans [15] utilise

une nouvelle forme du facteur de fiabilité des canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs

en fréquence afin d'améliorer les performances du décodeur MAP. Alors que le turbo

égaliseur proposé dans [46] utilise l'approche proposée par Laot mais cette fois pour des

canaux HF avec une séquence d'apprentissage représentant 50% du flux de données.

Plusieurs auteurs ont essayé d'égaliser les canaux variants sans l'utilisation d'un égaliseur

AI. Parmi ceux-ci, on peut citer :

- L'approche de Berthet [47] en 2001 qui consiste en un décodeur et un égaliseur LOG-

MAP et en un estimateur de canal qui utilise l'algorithme EM.

- L'approche de Song [48] en 2004 basée sur l'estimation du canal.

- L'approche de Laot [49] en 2005 qui met en oeuvre un égaliseur AI modifié dont les

coefficients sont adaptés par l'utilisation de la transformée de Fourier.

Le turbo égaliseur que nous proposons dans ce chapitre, pour contrer les effets des

sélectivités fréquentielle et temporelle des canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en

fréquences, est inspiré des approches proposées par Laot [11] et par Ammari [15]. Il

consiste en un annuleur d'interférence modifié en mode d'adaptation directe, un esti-

mateur de canal, un turbo décodeur, et un égaliseur de la première itération. Dans ce

qui suit, nous expliquons en détail son principe de fonctionnement, puis nous évaluons

ses performances.


5.2.1 Chaîne de transmission du turbo égaliseur pour un canal

sélectif en fréquence et non stationnaire

Pour évaluer les performances de notre turbo égaliseur, nous allons procéder de la

même manière que pour les canaux invariants : nous considérons une transmission où les

données sont turbo codées, ensuite modulées en BPSK puis transmises dans un milieu

sélectif en fréquence. Le schéma de la chaîne de transmission est donné à la figure 5.1.

Le codeur du canal est alimenté par des données binaires {1^} équiprobables. Elles sont

émises par la source d'information à raison d'un bit à tous les Ts secondes et codées

par un codeur turbo. Le rapport E^/NQ à l'entrée du turbo égaliseur peut s'exprimer

en fonction du rapport signal sur bruit SNR = Es/N0 et du taux de codage R par :

La sortie du canal est donnée par :

L

Vk = Yl hn,kXk-n + nk (5.2)n=0

où L -f 1 est le nombre de trajets suivi par le signal à travers le canal. Chaque trajet

{hk,n} est une séquence de variables aléatoires gaussiennes complexes indépendantes

des autres trajets, de moyenne nulle et de variance o\.

J Modulation | Vtl | Entrelacemen*| BPSK L__n

{nfo» Insertion de laséquence apprentissage

]M Canal -,}Turbo égaliseur

t.)

M

FlG. 5.1 - Schéma de la chaîne de transmission pour le turbo égaliseur proposé.

5.2.2 Architecture globale du turbo égaliseur

L'architecture du turbo égaliseur que nous proposons pour les canaux variants dans

le temps et sélectifs en fréquence, est presque similaire à celle que nous avons proposé

pour les canaux invariants et sélectifs en fréquence. La différence réside dans le choix de

la structure et l'algorithme de l'égaliseur de la première itération et de l'égaliseur annu-

leur d'interférences (AI). Il y a aussi le facteur de fiabilité qui nécessite une redéfinition


en raison des variations du canal. L'architecture globale du turbo égaliseur est donnée

à la figure 5.2. Le principe consiste en un traitement itératif : à chaque itération i le

turbo égaliseur utilise les données issues du canal et l'information qu'il a produit pour

procéder à l'itération i -f 1. Le récepteur commence par estimer la réponse impulsion-

nelle du canal à l'aide de l'algorithme RLS. Ce dernier est alimenté par la séquence

reçue {v^ et l'information douce \ x£~ > donnée par :

Tl(A(cfc))-= tanh (5.3)

Parallèlement à l'estimation du canal, on fait l'adaptation des coefficients de l'Ai. Ce

dernier est alimenté par la séquence reçue {vk} et les données estimées par le décodeur

1 f̂c f a m s i clue 1& suite des séquences d'apprentissage pour produire à sa sortie la

suite des valeurs égalisées l x£ f • Une fois les coefficients du canal estimés, et la séquence

{vk} filtrée par l'Ai, il deviendrait possible de décoder les données par l'algorithme LOG-

MAP. Le décodeur utilise ses informations extrinsèques calculées à l'itération (i — 1).

Ce traitement itératif se poursuit de la même manière et, après un certain nombre

d'itérations, le décodeur prend une décision sur les symboles émis.

FlG. 5.2 - Structure du turbo égaliseur proposé pour les canaux variants dans le temps,

sélectifs en fréquence.

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps8S

5.2.3 Egaliseur annuleur d'interférences

Pour l'égalisation des canaux invariants et sélectifs en fréquence (voir chapitre 4),

nous avons utilisé un modèle d'adaptation directe et ajouté un filtre pour alléger la

corrélation du bruit en sortie de l'Ai.

Pour les canaux variants dans le temps, nous utilisons le même modèle de l'Ai utilisé

pour les canaux invariants malgré que l'on dispose de l'estimation du canal. Ce choix

est lié à la présence du filtre d'erreur qui nécessite une mise à jour de l'erreur entre la

séquence égalisée et estimée à chaque itération de l'égaliseur AI.

Pour l'adaptation des filtres de l'égaliseur AI, nous adoptons l'algorithme RLS : ce

dernier s'adapte bien aux variations temporelles du canal de transmission. Le schéma

de l'Ai est donné à la figure 5.3. La mise à jour des coefficients des filtres de l'annuleur

d'interférences est donnée par :

L'erreur ek est donnée par :

= cfc + Kckek

= wfc - K%e

= xk- xk (5.5)

où xk et Xk représentent respectivement, le symbole issu en sortie de l'égaliseur AI et

le symbole estimé par le décodeur de canal. La mise à jour des constantes de Kalman

K% et K™ et les matrices d'adaptation Pk et Pk est donnée par :

= ïpour le filtre adapté C(z).

fc "_ 1 ( pw _~ À Vk-l

(5.7)

pour le filtre W(z).

La mise à jour des coefficients du filtre d'erreur M(z) est assurée par l'algorithme LMS

et est donnée par :

mfc+i = mfc + Aeke*k (5.8)


Séquencereçue

Séquenceestimée

C(z)

Algorithme RLS

W(z)

3Algorithme RLS j {e t}

Algorithme LMS

M(z)

-xz

FIG. 5.3 - Schéma de l'annuleur d'interférences pour le canal non stationnaire, sélectif

en fréquence.

5.2.4 Estimateur de canal

L'estimateur de canal que nous adoptons utilise l'algorithme RLS pour l'adaptation

de ses coefficients. Le schéma de cet estimateur est donné à la figure 5.4. La mise à jour

des coefficients du canal estimé se fait comme suit.

Le signal v^ en sortie du filtre H (z) est donné par :

vk =

La mise à jour des coefficients du canal estimé se fait par la relation suivante

avec

et

= vk- vk

-Pfc-lXfc

A +

(5.9)

(5.10)

(5.11)

(5.12)

(5.13)


Séquenceestimée

/ - \

kl

WSéquence

Estimïdeçà

deur

H{z)

Algorithme RLS

*

reçue

FlG. 5.4 - Estimateur de canal avec l'algorithme des moindres carrés récursifs (RLS).

5.2.5 Décodage des données

Le décodeur retenu utilise l'algorithme LOG-MAP. Il est similaire à celui proposé

par Glavieux [6]. La différence réside dans les calculs des valeurs de vraisemblance

logarithmique des bits de parité A(c^x) et A(c^2).

Afin de redéfinir le facteur de fiabilité pour le canal de Rayleigh corrélé et sélectif en

fréquence, nous allons suivre les mêmes étapes que celles effectuées par Ammari [16].

Sous l'hypothèse d'avoir xk = xk, la sortie de l'égaliseur AI est donnée par (2.48)

Xk = Pk1

n=0

avec

etn=0

(5.14)

(5.15)

(5.16)

Ici les paramètres ak et Pk sont variables puisque le canal est variant dans le temps.

(5.14) s'exprime par :

xk = Pkxk H Y ] h* knk+

bruit

Nous avons

+ r\k

E [r,k] = 0

(5.17)

(5.18)

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le temps9l

et

= E

L

n=0

n=0K,knk+n

E

2 L

I 2—i " n knk+n\n=0

(5.19)

L'entrée du décodeur LOG-MAP est la séquence égalisée {èk\- Le rapport de vraisem-

blance logarithmique s'exprime selon (4.12)

" Pr (cfc = +l|cfc)"A (cfc) = In (5.20)

Pr(cfc = -l|cfc)_

La probabilité conditionnelle du signal égalisé étant donnée la séquence {xk} est [16] :

|2"

(5.21)1

Pr(cfc|a;fc) = - — r exp2TTCT^

A partir de (5.20) et (5.21), on peut conclure que

|c f c -

ar)

(5.22)

A partir de (5.22), on obtient l'expression du facteur de fiabilité du canal Lkc

Nous remplaçons a2n et fik par leurs expressions respectives i.e (5.19) et (5.16) :

- î

Lkc=2 = 2 (5.24)

Donc l'expression finale du facteur de fiabilité du canal de Rayleigh corrélé et sélectif

en fréquence est donnée par :

' 1 ^ (5.25)

Durant la première itération du turbo égaliseur, l'estimation du canal est non disponible.

Le facteur de fiabilité du canal est approximé par :

1 n (5.26)


5.2.6 Initialisation du turbo égaliseur

Le turbo égaliseur ne peut être utilisé lors de la première itération puisque nous ne

disposons pas des données estimées {xk}- Un choix réfléchi de l'égaliseur de la première

itération du point de vue structure et algorithme est nécessaire afin d'obtenir des per-

formances suffisamment bonnes pour que le processus itératif puisse démarrer aussi tôt.

Quant au choix de l'algorithme, il existe deux grandes familles d'algorithmes d'adapta-

tion, soit LMS et RLS : le premier est largement utilisé pour sa simplicité de mise en

oeuvre et sa stabilité numérique, le deuxième est connu par sa rapidité de convergence

et sa poursuite de non stationnarité.

Plusieurs auteurs ont comparés ces deux algorithmes. On peut citer les travaux de Hay-

kin [25], Charlote [8], Felip [50], etc. Dans la plupart des cas, l'algorithme RLS conduit

à des performances supérieures à l'algorithme LMS dans le contexte non stationnaire.

Plusieurs travaux de recherche ont été menés afin d'augmenter la stabilité et de diminuer

la complexité de l'algorithme RLS pour les canaux variants. Nous citons les travaux de

Ling [51], Chen [52], Zeidler [53], etc. Il y a aussi des travaux qui ont été menés par

Laot [12, 32] qui permettent une diminution sensible de la séquence d'apprentissage

grâce à l'utilisation d'un égaliseur aveugle à structure adaptative appelé « Self Adaptive

Décision Feedback Equalizer » (SADFE).

En nous appuyant sur ces travaux, nous avons choisi l'algorithme RLS et la structure

à retour de décision pour construire notre égaliseur de la première itération. Nous pro-

posons quelques modifications à la structure de l'égaliseur DFE par l'ajout d'un filtre

d'erreur afin de diminuer la corrélation du bruit à la sortie de l'égaliseur. Ce principe

est inspiré des travaux de Kim [14]. En effet, dans [14], Kim propose ce principe pour un

égaliseur DFE.LMS. Dans le cadre de notre recherche, nous utilisons le même principe

mais pour un égaliseur DFE.RLS. Le schéma de l'égaliseur proposé pour initialiser le

turbo égaliseur lors de la première itération est donné à la figure 5.5. Il consiste en

un circuit de commande automatique du gain (GAG), un filtre direct C(z), un filtre

de retour Q(z), un filtre d'erreur M(z) et un égaliseur de phase. La mise à jour des

coefficients des filtres de l'égaliseur DFE.RLS avec adaptation d'erreur donnée par :

cfc+1 = cfc + K%ek ( 5 2 ? )

q/c+i = q/b + Klek

L'erreur ek donnée par :

ek = xk- xk (5.28)


La mise à jour des constantes de Kalman Kk et K\ et les matrices d'adaptation Pk et

P? est donnée par :Kc _

k (5.29)

pour le filtre direct C(z), et

PI = 1(5.30)

pour le filtre de retour Q(z). La mise à jour des coefficients du filtre d'erreur M(z) est

assurée par l'algorithme LMS et est donnée par :

m f c + 1 = Aeke*k (5.31)

MSéquences

reçues

Filtre avant c(z

î ïAlgorithme RLS

Algorithme LMS

Filtre erreur M(z)


Filtre arrière g(z)

FlG. 5.5 - Egaliseur à la première itération.

Générateur desséquences

d'apprentissage

Commande automatique de gain (CAG)

La commande automatique de gain (CAG) a pour fonction de présenter en entrée

de l'égaliseur DFE.RLS une séquence aléatoire blanche. La CAG est un filtre ayant un

seul coefficient noté gk. Son rôle est de commander la puissance du signal reçu vk pour

l'égaliser à celle du signal émis. La mise à jour du coefficient gk est donnée par [54] :

(5.32)


et

= yJ\G (5.33)

Séquencereçue

l9*v*. Entrée del'égaliseur

FIG. 5.6 - Circuit de commande automatique de gain (CAG).

5.3 Analyse des performances du turbo égaliseur

Dans cette section, nous analysons les performances du turbo égaliseur pour différentes

vitesses du mobile. La vitesse de transmission est fixée à 148 kbits/s et la fréquence

porteuse est de 2 GHz. Le canal de Rayleigh corrélé et sélectif en fréquence que nous

utilisons est un canal à trois trajets et est généré selon le modèle de Beaulieu [20]. Les

performances en terme de TEB sont évaluées par une méthode de type Monte-Carlo,

et chaque valeur du TEB a été obtenue par la transmission de 106 bits d'informa-

tion. Le codeur turbo simulé est constitué de deux codeurs convolutifs de longueur de

contrainte K = 5 et de polynôme générateur (1,21/37)O (i.e. en octal). Les paramètres

de simulation du turbo égaliseur (TE) simulé pour les différentes fréquences normalisées

sont donnés au tableau 5.1. Pour favoriser la convergence de l'égaliseur de la première

itération DFE.RLS appartenant au turbo égaliseur, on utilise une séquence d'apprentis-

sage périodique qui représente 20% du flux de données, soit 25 symboles d'apprentissage

pour 125 symboles émis. Les symboles d'apprentissage émis sont supposés connus du

turbo égaliseur à la réception.

2Codeur turbo.3Une itération du codeur turbo pour chaque itération du turbo égaliseur.


TAB. 5.1 - Paramètres de simulation du turbo égaliseur pour les canaux variants,

sélectifs en fréquence.

Vitesse du mobile, v (km/h)

Fréquence Doppler, fd (Hz)

Fréquence Doppler normalisée

Rendement après perforation

Entrelaceur du TC2

Entrelaceur de canal

Nombre d'itérations3

Pas d'adaptation, A

Facteur d'oubli, À

Pas d'adaptation de phase, Ag

Paramètre, f3g

40

74.07

0.0005

80

148.14

0.001

120

222.22

0.0015

160

296.29

0.002

200

370.37

0.0025

240

444.44

0.003

1/2

Aléatoire

Ligne/Colonne (100 x 100)

1/1

0.0125

0.9999

ÏO-7

lO-7

0.00725

0.9715

ÏO-7

lO-7

0.00725

0.9715

lu" 7

lO-7

0.001

0.94

lO-7

lO-7

10~4

0.92

ÏO-7

lO-7

10"5

0.88

lO-7

lu" 7

Paramètres de l'égaliseur annuleur d'interférences (AI)

Coefficients du filtre direct

Coefficients du filtre annuleur

Coefficients du filtre d'erreur

5

5

1

5

5

1

5

5

1

5

5

i—i

5

5

1

5

5

1

Paramètres de l'égaliseur de la première itération (DFE.RLS)

Coefficients du filtre direct

Coefficients du filtre de retour

Coefficients du filtre erreur

5

1

1

5

1

i—i

5

1

1

5

1

i—i

5

1

1

5

1

1


5.3.1 Performances en ternie de taux d'erreur binaire

Constellation en sorties des égaliseurs AI et DFE.RLS

Sur les figures 5.7, 5.8 et 5.9, nous avons tracé d'une part, la constellation des

symboles reçus, et d'autre part, les constellations des symboles en sortie de l'égaliseur à

retour de décision (DFE.RLS) à la première itération et en sortie de l'égaliseur annuleur

d'interférence (AI) aux deuxième et troisième itérations, et ce, pour les fréquences

Doppler normalisées fm = {0.0005,0.001,0.002} et pour les rapports signal sur bruit

Eb/N0 = {4 dB, 5 dB, 10 dB}. Nous constatons que, dès la troisième itération, les

signaux en sortie de l'égaliseur AI possèdent une constellation très voisine à celle d'une

modulation BPSK pour les trois cas.

FlG. 5.7 - a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles en sortie

de l'égaliseur DFE.RLS, itération 1. c) Constellation des symboles en sortie de l'Ai,

itération 2. d) Constellation des symboles en sortie de l'Ai, itération 3. Eb/N0 = 4 dB,

fm = 0.0005.


FIG. 5.8 - a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles en sortie


itération 2. d) Constellation des symboles en sortie de l'Ai, itération 3. Eb/N0 — 5 dB,

fm = 0.001.

FlG. 5.9 - a) Constellation des symboles reçus, b) Constellation des symboles en sortie


itération 2. d) Constellation des symboles en sortie de l'Ai, itération 3. E^/NQ = 10 dB,

fm = 0.002.


Taux d'erreur binaire en sorties des égaliseurs AI et DFE.RLS

Les figures 5.10, 5.11 et 5.12, représentent les taux d'erreurs binaires (TEB) en sortie

de l'égaliseur de la première itération DFE.RLS et en sortie de l'égaliseur annuleur d'in-

terférences aux deuxième et troisième itérations. La courbe en trait hachuré correspond

au TEB d'une modulation BPSK sans interférence entre symboles et sans codage.

On voit sur les figures 5.10 et 5.11 que le principe de la turbo égalisation fonctionne

bien pour les deux fréquences Doppler normalisées fm = 0.0005 et fm = 0.001, le

TEB en sortie de l'égaliseur annuleur d'interférences est inférieur à celui d'un canal

sans interférence entre symboles (ISI). Ceci démontre que l'annuleur d'interférences

supprime les ISI et fournit des données blanches au décodeur de canal.

Nous constatons sur la figure 5.12 que le TEB en sortie de l'égaliseur annuleur

d'interférences est supérieur à celui d'un canal sans ISI. Ceci est dû au degré de la

sélectivité temporelle qui correspond à fm = 0.002. Cette dernière cause des varia-

tions rapides du canal de transmission et par conséquent, les algorithmes d'adaptation

d'égaliseurs DFE.RLS et AI ne peuvent pas suivre les variations du canal.

10

• Egaliseur de la première itération (DFE.RLS)



• Canal sans ISI

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5Eb/No (dB)

FlG. 5.10 - TEB en sortie de l'égaliseur à la première itération et en sortie de l'Ai,

fm = 0.0005, trois trajets.


10

intu

-310

10

Egaliseur de la première itération (DFE.RLS)

Egaliseur Al (Iter 2)

Egaliseur Al (Iter 3)

Canal sans ISI

3 4 5Eb/No (dB)


/m = 0.001, trois trajets.

mMiCL

10

-310

10

• Egaliseur de la première itération (DFE.RLS)

• Egaliseur Al (Iter2)


Canal sans ISI

8 10Eb/No (dB)


/m = 0.002, trois trajets.

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le tempslOO

Taux d'erreur binaire en sortie du décodeur de canal

Les figures 5.13, 5.14 et 5.15, représentent respectivement, les TEB en fonction du

rapport Eb/NQ en sortie du décodeur de canal de l'itération 1 à l'itération 3 pour les

fréquence Doppler normalisées fm = 0.0005, fm = 0.001 et /m = 0.002.

Pour les deux fréquences Doppler normalisées fm = 0.005 et fm = 0.001, les per-

formances en terme de taux d'erreur binaire sont relativement proches de celles d'un

canal sans interférence entre symboles et avec codage. La différence en terme du rapport

Eb/N0 à un TEB égal à 10~3 est de l'ordre de 1 dB pour fm = 0.005 et de l'ordre de

2.5 dB pour fm = 0.001.

Pour la fréquence Doppler normalisée fm = 0.002, les performances sont largement

inférieures à celles d'un canal sans ISI et avec codage. En effet, lorsque le processus

d'évanouissement est rapide, l'égaliseur de la première itération, l'estimateur de canal

et l'égaliseur annuleur d'interférences n'arrivent pas à suivre les fortes variations du

canal.

10

TE Iter 1TE Iter 2TE Iter 3TC Iter 15 (sans ISI)

0.5 1.5 2 2.5 3Eb/No (dB)

3.5 4.5

FlG. 5.13 - TEB en sortie du décodeur de canal, / m = 0.0005, trois trajets.

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le tempslOl

10

TE Iter 1TE [ter 2TE Iter 3TC Iter 15 (sans ISI)

3 4 5Eb/No (dB)

FlG. 5.14 - TEB en sortie du décodeur de canal, fm = 0.001, trois trajets.

mmn.

TE Iter 1TE Iter 2TE Iter 3TC Iter 15 (sans ISI)

10

10

4 6Eb/No (dB)

FlG. 5.15 - TEB en sortie du décodeur de canal, fm = 0.002, trois trajets.

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le tempslO2

5.3.2 Estimation de canal

Sur les figures 5.16 et 5.17, nous avons tracé d'une part, l'enveloppe réelle du

troisième trajet du canal de Rayleigh corrélé et sélectif en fréquence et d'autre part, l'en-

veloppe estimée par notre estimateur de canal (algorithme RLS) à la deuxième itération

du turbo égaliseur pour les fréquence Doppler normalisées fm = 0.001 et fm = 0.002.

Nous constatons que l'estimateur RLS permet d'estimer adéquatement le canal de Ray-

leigh. Toutefois ce dernier poursuit difficilement les variations du canal pour fm = 0.002.

•10

-15

-20

Enveloppe réelle

Enveloppe estimée

2000 4000 6000 8000Nombre de symboles

10000 12000

FIG. 5.16 - Enveloppe estimée et réelle du 3ième trajet, Eb/N0 =5 dB, fm = 0.001.

o

-5

-10

-15

-20

Enveloppe réelleEnveloppe estimée

2000 4000 6000 8000Nombre de symboles

10000 12000

FiG. 5.17 - Enveloppe estimée et réelle du 3ième trajet, Eb/NQ =8 dB, fm = 0.002.


5.3.3 Erreur quadratique en sortie de l'égaliseur annuleur d'in-

terférences

A la figure 5.18, nous avons tracé d'une part l'erreur quadratique moyenne (EQM)

en sortie de l'égaliseur annuleur d'interférences (AI) proposé et d'autre part, l'EQM

pour un AI conventionnel à la deuxième itération du turbo égaliseur. Les deux courbes

de l'EQM sont obtenues à partir de la moyenne de 100 tirages aléatoires de la séquence

d'information.

Nous constatons que l'erreur quadratique moyenne de l'Ai utilisant le filtre d'erreur est

inférieure à l'erreur quadratique de l'Ai conventionnel pour la plupart des itérations.

Ce résultat affirme la comparaison analytique que nous avons effectué à la sous-section

4.3.4 pour le contexte non stationnaire.

o

-10

-20

O-30 -

-40

-50

-600

1 .

— — — EQM sans filtrage d'erreur

EQM avec filtrage d'erreur

•s

2000 4000 6000 8000Nombre de symboles (itérations)

10000 12000

FIG. 5.18 - Comparaison de l'erreur quadratique moyenne (EQM) en sortie de l'Ai (Iter

2) avec et sans filtrage de l'erreur, Eb/N0 =5 dB, fm = 0.002, trois trajets.

5.3.4 Influence de la vitesse du mobile

A la figure 5.19, nous avons tracé les courbes de TEB en fonction du rapport Eb/N0

en sortie du décodeur à la troisième itérations du turbo égaliseur pour les différentes

fréquences Doppler normalisées. Nous constatons que plus le canal sélectif en fréquence

est variant dans le temps plus les performances du turbo égaliseur se dégradent.

La dégradation des performances du turbo égaliseur est plus marquée à partir de la

Chapitre 5. Turbo égalisation dans les canaux sélectifs en fréquence et variants dans le tempslOA

fréquence Doppler normalisée fm = 0.0025. En effet, cette fréquence Doppler correspond

à une vitesse de mobile 200 km/h. Cette dernière est élevée et cause des changements

rapides du canal de transmission ce qui dégrade les signaux émis. Cette dégradation

influence les performances de l'égaliseur à la première itération, et puisque notre système

est itératif, toutes les performances du turbo égaliseur en sont affectées.

10-«

10"2

S m-3

10-4

10"5

! ! !'! i ! ! il! ! ! ! ! ! ! 1

Y . . ' ' i ; i ii i , o

^ • T Q / T S JQ cj ci :

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. - .

km,

! • * 1 '• :

mol

e ) • •:

: :

i i vj i i i i i

-

8 10Eb/No (dB)

14 16 18

FlG. 5.19 - TEB en sortie du décodeur de canal, (a) fm = 0.0005, (b) fm = 0.001, (c)

/m - 0.0015, (d) fm = 0.002, (e) fm = 0.0025, (f) fm = 0.003.

5.4 Conclusion

Dans ce chapitre nous avons étudié une structure de turbo égalisation adaptée aux

canaux de Rayleigh corrélés et sélectifs en fréquence. Nous avons proposé des modifi-

cations au modèle utilisé pour la turbo égalisation des canaux invariants afin de tenir

compte de la sélectivité temporelle de ces canaux. Nous avons évalué les performances

de ce turbo égaliseur en termes de taux d'erreur binaire pour différentes fréquences de

Doppler normalisées.

Nous avons montré, à partir de simulations que la turbo égalisation permettait de

réduire les effets de la sélectivités fréquentielle et temporelle des canaux de Rayleigh.

Il y a deux points à souligner pour la turbo égalisation des canaux de Rayleigh corrélés

et sélectifs en fréquence :


- Pour que le turbo égaliseur converge au fil des itérations, il est nécessaire d'uti-

liser périodiquement une séquence d'apprentissage ainsi qu'un algorithme RLS

pour estimer les coefficients du canal. Malgré cela, on assiste à des compor-

tements du turbo égaliseur sur ces canaux variants dans le temps tout à fait

différents de ceux obtenus avec des canaux invariants. En effet, au delà d'une cer-

taine fréquence Doppler normalisée, il devient difficile au turbo égaliseur de lutter

contre les sélectivités temporelle et fréquentielle du canal de Rayleigh corrélé et

sélectif en fréquence.

- Le deuxième point est que l'ajout du filtre d'erreur dans la structure de l'annuleur

d'interférence permet d'améliorer les performances globales du turbo égaliseur

pour le contexte non stationnaire.

Chapitre 6

Conclusion et perspectives

L'objectif de ce travail de recherche était d'étudier l'égalisation autodidacte et la

turbo égalisation dans des contextes sélectifs en fréquence invariants et variants dans

le temps et d'apporter des améliorations aux techniques utilisées.

Le deuxième chapitre présente des notions de communications numériques de point de

vue canal de transmission et codage ainsi que les bases théoriques relatives aux archi-

tectures et algorithmes d'égalisation entraînés et aveugles.

Le troisième chapitre est dédié à l'étude et l'évaluation des performances d'un nouvel

égaliseur autodidacte nommé « égaliseur bidirectionnel ». L'égaliseur proposé est ob-

tenu en associant deux égaliseurs autodidactes dans une configuration parallèle selon

le principe de l'égalisation autodidacte. Cet égaliseur bidirectionnel égalise la séquence

reçue dans les deux sens, d'où son nom d'égaliseur « bidirectionnel ». Ce nouveau prin-

cipe d'égalisation bidirectionnelle supprime entièrement les symboles erronés durant la

phase de convergence si le rapport signal sur bruit est suffisant pour que les algorithmes

d'adaptation convergent correctement. Les perspectives offertes par ce nouvel égaliseur

sont nombreuses. En effet, il semble aujourd'hui possible de développer des systèmes

de transmission sur des canaux sélectifs en fréquence et invariants dans le temps ne

nécessitant pas de séquences d'apprentissage et offrant des performances supérieures à

celles des égaliseurs transverses généralement utilisés. Les améliorations possibles sont

nombreuses. En effet, on peut obtenir des performances meilleures par l'association

d'autres types d'égaliseurs autodidactes dans l'architecture bidirectionnel.

Le quatrième chapitre est dédié à l'étude et l'évaluation des performances de la turbo

Chapitre 6. Conclusion et perspectives 107

égalisation aveugle dans des canaux invariants et sélectifs en fréquence. Le turbo égaliseur

proposé permet de réduire les interférences entre symboles générées par ces canaux in-

variants, et est inspiré des travaux effectués dans [12, 13, 14]. Nous avons proposé

quelques modifications à l'architecture de l'Ai dans le but de réduire la corrélation du

bruit en sortie de l'Ai. Nous avons démontré analytiquement que l'Ai proposé permet

de donner une erreur quadratique moyenne inférieure à celle d'un AI conventionnel.

Nous avons démontré aussi par simulation que l'utilisation de l'égaliseur bidirectionnel

autodidacte pour l'initialisation du turbo égaliseur au cours de la première itération

permet de donner des meilleures performances en terme de probabilité d'erreur : celles-

ci se rapprochent des performances obtenues dans un canal gaussien sans interférence

avec codage dans des canaux sélectifs en fréquences et invariants et cela même sans

apprentissage.

Le dernier chapitre est consacré à la turbo égalisation des canaux variants. Nous pro-

posons des modifications à l'architecture du turbo égaliseur proposé pour les canaux

invariants de point de vue structure et algorithme afin de tenir compte de la sélectivité

temporelle des canaux variants. Notre approche d'égalisation est inspirée des travaux ef-

fectués dans [12, 15, 11, 16]. Nous avons démontré par simulation que le turbo égaliseur

proposé présente un très bon comportement sur des canaux de Rayleigh corrélé variants

dans le temps et sélectifs en fréquence,' si l'on dispose de séquences d'apprentissage

périodiques. Les performances obtenues avec ce turbo égaliseur permettent d'envisager

des transmissions avec des taux d'erreur relativement faibles et cela pour une modula-

tion BPSK.

Les perspectives offertes par ce travail de recherche sont nombreuses. Tout d'abord, il

serait pertinent d'adapter le turbo égaliseur étudié aux modulations bidimensionnelles

(QPSK, 16QAM, 64QAM) et à d'autres types de décodeurs itératifs (e.g. codes LDPC,

etc.).

Enfin, des recherches futures peuvent envisager l'utilisation de notre turbo égaliseur

pour les canaux sélectifs en fréquence dans les systèmes de transmission multi por-

teuses OFDM.

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Annexe A

Factorisation spectrale d'un canal

avec interférences entre symboles

Canal fcî

AWGN

FlG. A.l - Modèle de transmission avec interférence entre symboles.

La factorisation spectrale consiste à écrire la densité spectrale de puissance du signal

reçu sous forme d'un produit de deux fonctions, l'une à phase minimale et l'autre à

phase maximale. Sous l'hypothèse que les séquences {xk} et {n^} sont des variables

indépendantes, la densité spectrale de puissance du signal reçu s'exprime :

Svv(z) = alShh(z)+<r2n (A.l)

où Shh (z) représente le spectre replié du canal discret équivalent, a\ la variance du

signal transmis et a\ est la variance du bruit.

Shh(z) = H(z)H*{l/z*) (A.2)

Comme nous l'avons signalé à la sous section 2.2, H(z) est un polynôme de degré

L. Ses racines sont pi, P2, ---PL, H*(1/Z*) est un polynôme de degré L, de racines

Annexe A. Factorisation spectrale d'un canal avec interférences entre symboles 114

1/pl, 1/P2> •••> V / ° L - O n P e u * donc factoriser Shh {z) comme suit [12, 55] :

Svv(z) = SxGx(z)G*x(l/z*) (A.3)

où G\ (z) est un filtre à phase minimale, causal et stable et G\ (1/z*) est un filtre à

phase maximale. Puisque G\ (z) est causal il s'ensuit que :

(A.4)fc=i

ce qui démontre que :

A partir des équation (A.l) et (A.3), on peut écrire :

2 2 2 2 (A.6)

S'A est un nombre réel positif. Pour déterminer S\, on intègre (A.l) et (A.3) sur une

durée T•1/2T /'1/2T

\H(f)\2df + a2n = SxT \Gx(f)\

2df (A.l)1/2T J-1/2T

Nous avonsl/2T L

2 J2H (A.8)et

/•1/2T

1/2T

Donc

/•1/2T

Rga(0) = T \Gx(f)\2df (A.9)

J-1/2T

Dans [12], Laot démontre que Sx peut s'exprimer :

Sx = ex.p[T In (a2x \H (f)\l + < ) df (A.11)

V J-1/2T I

Annexe B

Expressions optimales des filtres de

l'égaliseur annuleur d'interférences

Canal

H(z) C{z)

W{z)

FlG. B.l - Egaliseur annuleur d'interférences (AI).

Dans cette annexe, nous déterminons les expressions optimales des filtres C (z)

et W (z) de l'égaliseur AI qui utilise le critère minimisation de l'erreur quadratique

moyenne.

A partir de la définition de l'égaliseur AI, la sortie £k s'exprime :

oo oo

CjVk-j - Y^ WjXk-j (B.l)

j=—oo; U)Q=O

Annexe B. Expressions optimales des filtres de l'égaliseur annuleur d'interférences 116

L'erreur ek s'exprime :

oo

e/c = xk - xk = xk - ^2 CjVk-j + ] P WjXk^j (B.2)j =—oo j = - o o ; •U)o=0

Notre objectif étant toujours de minimiser l'erreur quadratique entre la séquence d'entrée

et la séquence estimée à la sortie de l'égaliseur, en utilisant le critère d'orthogonalité

[10] on obtient :

E [ekv*k_t] = 0 pour (-oo < l < oo) (B.3)

On remplace (B.2) dans (B.3) :

OO OO

xk- ^ CjVk_j + Y^ wjïk-j ) v*k_E..

j=—oo j=—oo; iuo—0

Ceci est équivalent à :

= 0 (B.4)

E [xkv*k_i\ = E CjE [vk-jvl_i\ - E WjE [xk-jvl^] (B.5)j=—oo; i^o^O

Pour calculer l'expression optimale du filtre C(z) on suppose que xk-j = xk-j. On peut

démonter que :

] = \ (B.6)I U ailleurs

E [v^vU] = { °lh-^ + °1^ P°U r {l1 J^L) (B.7)0 ailleurs

^ u ailleurs

On remplace E [xkvl_t], E [vk-jV*k_t] et E [xfc_ju£_;] par leurs expressions dans (B.5)

et on fait la transformée en z de chaque partie.

alH* (z-1) = C (z) [o*H (z) H* (z~) +a2n]-W (z) a"xH* (z"1) (B.9)

D'où la fonction de transfert du filtre C (z) donnée par :

On peut écrire aussi :


{*»}• \-H{z)C(z)

Kl-

FlG. B.2 - Représentation de l'erreur {efc} pour l'égaliseur annuleur d'interférences.

La séquence d'erreur {e^} peut être vue comme le résultat de filtrage des séquences

}- et {rik} comme le montre la figure B.2.

L'erreur quadratique moyenne s'exprime [12] :

-1/2T -1/2T

*l\C(f)\2df= T See(f)df = TJ-1/2T J-

(B.12)

Pour déterminer Wopt (/), nous allons procéder de la même manière que Laot [12], on

utilise les multiplicateurs de Lagrange. Dans ce cas l'erreur quadratique moyenne est :

J=

-T '[W(f)] + \2Z[W(f)})df(B.13)

où Ai et A2 sont des multiplicateurs de Lagrange. On remplace Copt (/) par son ex-

pression optimale (B.ll) dans (B.13), l'erreur quadratique moyenne s'exprime [12] :

J = Trl/2T

I-1/2Tolal df

Posons

(B.14)

(B.15)

où Wopt (/) représente la fonction de poids qui minimise l'EQM et etfi (/) est un terme

de variation. On remplace W (/) par son expression dans (B.14). On trouve

J[Wopt(f)}

+?7-rp çl/2T 2 2

+1 J-l/2Taxarn -df(B.16)

Annexe B. Expressions optimales des ûltres de l'égaliseur annuleur d'interférences 118

Pour que l'erreur quadratique moyenne soit minimale, le terme J [Wopt (/) + eij) (/)] —

J [Wopt (/)] doit être minimal ou nul. Ce terme devient minimal si :

-1/2T

T xn cl\H (/)|2 + al '

On peut démontrer que ceci est réalisé si :

et

= 0

(B.18)

Pour déterminer Ai et W p̂t (/) o n utilise (B.19) et la contrainte WQ = 0. A partir de

(B.19), on peut conclure que :

(/) - -

Nous avonsl/2T

W-1/2T opt

= 0

(B.20)

(B.21)

Dans [12], Laot suppose que le canal est normalisé; i.e ^ |/i^| = T jJl/2T \H(f)\2df —

1. Dans notre cas, nous étudions le cas du canal non normalisé. On remplace (B.20)

dans (B.21) :

T1/2T

-1/2TA, r d/ =

Nous avons

-1/2T

L'équation (B.22) est donc vérifiée si :

On remplace Ai par son expression dans (B.20) :

(B.22)

(B.23)

(B.24)

(B.25)

On peut démontrer que :

(B.26)


On remplace Wopt (/) par son expression dans (B.ll), et on trouve que :

CoPt (/) = - f+

(B.27)

2

Si on pose f3 — aa2^ai, (B.26) et (B.27) peuvent s'exprimer comme suit :

(B.28)

aOn remplace Wopt (f) et Copt (f) par leurs expressions dans (B.12) :

(B.29)

(B.30)

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