Économie pour les ingénieurs Chapitre 3 Lapplication des formules d'équivalence à des...

Économie pour les ingénieurs

Chapitre 3L’application des formules d'équivalence à des transactions commerciales concrètes

Objectifs d’apprentissage

1) Le taux d’intérêt nominal et le taux d’intérêt effectif2) Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement

et les périodes de capitalisation coïncident3) Les calculs d’équivalence : quand les périodes de versement

et les périodes de capitalisation diffèrent4) Les calculs d’équivalence : quand les versements sont

continus X5) Les taux d’intérêt variables6) Les prêts commerciaux7) Les prêts hypothécaires8) Les investissements obligataires9) Les calculs par ordinateur

Économie pour les ingénieursECO1592 2

1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif

• Le taux d’intérêt nominal (r) est la méthode traditionnelle pour exprimer le taux d’intérêt.

• C’est le produit du taux d’intérêt par période avec le nombre de périodes dans l’année.

• 1 % par mois x 12 mois = 12 % /an… • Le 12 % est le taux d’intérêt nominal et la capitalisation est

mensuelle. • (r) ne considère pas les effets de la capitalisation.



• Le taux d’intérêt effectif (i) est le taux d’intérêt qui est réellement chargé ou reçu pendant l’année (ou autre période).

• Dans l’exemple précédent, 1% représente le taux d’intérêt effectif par mois. Le taux d’intérêt effectif par année (ia, est le taux d’intérêt annuel qui tient compte des effets de la) capitalisation pendant l’année.

• Connaître la distinction entre r et i nous permet de répondre à la question: Lequel des investissements suivant est le plus avantageux ? – i = 12 % / an ou– i = 1%/mois capitalisé (ou composé) par mois pendant 12 mois.


• Les compagnies de carte de crédit expriment le taux d’intérêt comme suit :

« 18 % composé par mois »

– 18 % est le taux d’intérêt nominal– Fréquence de capitalisation est par mois (M = 12)– Le taux d’intérêt par période de capitalisation est 18 % / 12 = 1,5 %

par mois.– Chaque mois l’institution te charge 1,5 % d’intérêt sur le solde

impayé.




Cependant le 18 % par année ne traduit pas fidèlement la réalité. On doit se tourner vers le taux d’intérêt effectifd’intérêt effectif pour évaluer l’effet de la capitalisation plus fréquente.


Exemple

Vous obtenez un prêt de la banque avec un taux d’intérêt annuel de 12% capitalisé par mois. r = 12%Le taux d’intérêt par mois est : r/M = 12% /12 = 1 % (taux effectif

mensuel)

Si vous empruntez 1$, alors F = P(1 + i)M = 1$ (1 + 0,01)12 = 1,1268$

I = F - P = 1,1268$ - 1$ = 12,68 cents

(1 + ia) = (1 + i)M = > ia = (1 + i)M - 1



Exemple (suite)

On peut exprimer le taux d’intérêt effectif annuel (ia) en terme du pourcentage du principal :

ia = (1 + 0,01)12 - 1 = 0,1268 ou 12,68 %

Si le même prêt est capitalisé trimestriellement, alors …

ia = (1 + 0,03)4 - 1 = 0,1255 ou 12,55 %




Taux d'intérêt nominal

4%

5%

6%

7%

8%

9%

10%

11%

12%

Annuelle

4.00%

5.00%

6.00%

7.00%

8.00%

9.00%

10.00%

11.00%

12.00%

Semestrielle

4.04%

5.06%

6.09%

7.12%

8.16%

9.20%

10.25%

11.30%

12.36%

Trimestrielle

4.06%

5.09%

6.14%

7.19%

8.24%

9.31%

10.38%

11.46%

12.55%

Mensuelle

4.07%

5.12%

6.17%

7.23%

8.30%

9.38%

10.47%

11.57%

12.68%

Quotidienne

4.08%

5.13%

6.18%

7.25%

8.33%

9.42%

10.52%

11.63%

12.75%

Taux d'intérêt effectif

Capitalisation :

De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus De ce tableau on observe que plus la capitalisation est fréquente, plus les intérêts payés ou (reçus) pendant l’année sont élevés et ce pour un les intérêts payés ou (reçus) pendant l’année sont élevés et ce pour un même taux d’intérêt nominal. même taux d’intérêt nominal.


Économie pour les ingénieurs 10

Généralisation pour toutes les périodes

i = (1 + r/M)C - 1

i = (1 + r/CK)C - 1

M = Périodicité de la capitalisation par année = CK

C = Périodicité de la capitalisation par période de versements

K = Le nombre de périodes de versements par année.


Exemple• Vous effectuez des dépôts trimestriels

dans un compte d’épargne qui paye 9 % capitalisé par mois. Quel est le taux d’intérêt effectif par trimestre ? – r = 9 %– C = 3 périodes de capitalisation par trimestre– K = 4 paiements trimestriels par année– M = 12 périodes de capitalisation par année



Exemple (suite)i = (1 + 0,09/12)3 - 1 = 2,27 % par trimestre


0,75% 0,75% 0,75%

2,27%

0,75% 0,75% 0,75%

2,27%

1er trim. 4ème trim.

iiaa = (1 + 0,0075)= (1 + 0,0075)1212 - 1 = 9,38 % par année - 1 = 9,38 % par année

9 % / 12 = 0,75 % par mois


Capitalisation continue


i = limCK ⏐ →⏐ ∞

(1+r

CK)C -1

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

i = limCK ⏐ →⏐ ∞

(1+r

CK)CK⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1K

-1

i =(er)1K -1

– Pour obtenir le taux d’intérêt effectif annuel… K = 1


ia=er −1

Exemple : 12 % capitalisé continuellement est

ia = e0,12 - 1 = 12,7497 %

1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif 1. Le taux d’intérêt nominal et taux d’intérêt effectif

Versements et la capitalisation diffèrent

• Dans bon nombre de situations, les intervalles auxquels ont lieu les flux monétaires diffèrent des périodes de capitalisation.

• Règle : Quand les périodes de versements et la période de capitalisation ne coïncident pas, on doit modifier l’une ou l’autre de façon à ce que les deux partagent la même unité de temps.– EX : Paiements trimestriels avec de la capitalisation

mensuelle… trouvez le taux d’intérêt effectif par trimestre.

– EX : Paiements mensuels avec de la capitalisation trimestriel… trouvez le taux d’intérêt équivalent par mois.


Démarche :1) Identifiez la périodicité de la capitalisation

par année (M), le nombre de périodes de paiements par année (K), et le nombre de périodes de capitalisation par année (C).

2) Calculez le taux d’intérêt effectif par période3) Trouvez le nombre total de périodes de

paiements N = K x (nombre d’années)4) Utilisez i et N dans la bonne formule


Capitalisation plus fréquente que les paiementsCapitalisation plus fréquente que les paiements


Exemple

Vous déposez à chaque trimestre 1 000 $ dans un fonds qui paye des intérêts à un taux de 12 % / an capitalisé par mois. Quel est le solde du compte à la fin de l’année 2 ?

• A = 1 000 $ par trimestre, r = 12 % par an, M = 12 périodes de capitalisation par année et N = 8 trimestres.



Exemple (suite) Exemple (suite)

1) Identifiez les paramètres M = 12 périodes de cap. par année K = 4 périodes de paiements par année C = 3 périodes de cap. par période de paiements.

2) i = (1 + 0,12/12)3 - 1 = 3,030 % par tr.

3) Trouvez N… le nombre total de périodes de paiement … N = 4 x 2 = 8

4) La bonne formule… F = 1000$(F/A, 3,030%, 8) = 8 901,81 $



Exemple (suite) Exemple (suite)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12

21 22 23 2421 22 23 24

1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$ 1 000$1 000$

FF

i i = (1 + 0,12/12)= (1 + 0,12/12)33 = 3,030 % / = 3,030 % / tr. tr.

12 % se composant mensuellement 12 % se composant mensuellement

FF = 1 000 $(F/A, 3,03 %, = 1 000 $(F/A, 3,03 %, 8) = 8 901,81$8) = 8 901,81$

Capitalisation moins fréquente que les paiements

– Il y a deux hypothèses sous-jacentes aux deux exemples suivants.

• Exemple 1… le dépôt commence à payer des intérêt dès que le dépôt est effectué (au début de la période).

• Exemple 2… les dépôts qui sont effectués à l’intérieur du trimestre commencent à payer des intérêts seulement à la fin de ce trimestre.



Exemple 1

Vous effectuez des dépôts mensuels de 500$ dans un compte qui paye des intérêts à un taux de 10 % capitalisé trimestriellement. Calculez le solde de ce compte à la fin de 10 ans.


1.1. MM = 4 périodes de capitalisation par année = 4 périodes de capitalisation par année KK = 12 paiements par année = 12 paiements par année CC = 1/3 période de capitalisation = 1/3 période de capitalisation

par période de paiementpar période de paiement

2.2. ii = (1 + 0,10/4) = (1 + 0,10/4)1/31/3 - 1 = 0,826 % par mois - 1 = 0,826 % par mois

3.3. NN = (12)(10) = 120 périodes de paiements = (12)(10) = 120 périodes de paiements

4.4. F F = 500$ (= 500$ (F/AF/A, 0,826%,120) = 101 907,89$ , 0,826%,120) = 101 907,89$


Exemple (diagramme) Exemple (diagramme)


0 1 2 3 0 1 2 3 4 4

12 mois12 mois

Intérêt mensuel équivalentIntérêt mensuel équivalent

i i = (1 + 0,025)= (1 + 0,025)1/31/3 - 1 = 0,826 % par - 1 = 0,826 % par moismois

i i = 10 % / 4 = 2,5 % par = 10 % / 4 = 2,5 % par trimestretrimestre

Versements mensuels Versements mensuels = 500 $= 500 $

Période de capitalisation réelle (trimestrielle)

F F = 500 $(= 500 $(F/AF/A, 0,826%, , 0,826%, 120) = 101 907,89 $120) = 101 907,89 $

Exemple 2Exemple 2

Même chose que l’exemple 1 mais cette fois les dépôts qui sont effectués dans le trimestre ne payent pas d’intérêt avant la fin du trimestre.

1) i = 10 %/4 = 2,5% par trimestre

2) A = 3 x 500$ = 1 500$ par trimestre

3) N = 4 (10) = 40 périodes de paiements

4) F = 1 500$(F/A, 2,5%, 40) = 101 103,83$



Exemple (diagramme) Exemple (diagramme)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12

111 120111 120

A = 500 $ / moisA = 500 $ / mois

FF

A = 1 500 $ / tr.A = 1 500 $ / tr.

0 1 2 3 0 1 2 3 4 4

4040

FF

Taux d’intérêt variables

• Jusqu’à maintenant…les taux d’intérêt dans les calculs d’équivalence étaient constants.

• Pas toujours réaliste… puisque les taux peuvent varier avec le temps. – Marge de crédit– Prêts à taux variables– Hypothèques


Exemple 1– Vous déposez 2 000 $ dans un RÉER qui rapporte des intérêts de 12 %

se composant trimestriellement durant les deux premières années, et des intérêts de 9 % se composant trimestriellement durant les trois années suivantes. Déterminez le solde à la fin de 5 ans.


2211 4433 55

9 % cap. trim9 % cap. trim

12 % cap. trim12 % cap. trim

F = ?F = ?


Exemple 1 (suite)

• On calcule la valeur de F en 2 étapes:

• Étape 1 : Calcul du solde à la fin de 2 ans

• B2 = 2 000 $(F/P, 12 %/4, 8) = 2 000 $(1,2668) = 2 533,60$

• Étape 2 : Calcul du solde final

• F = B2 (F/P, 9 %/4,12) = 2533,60$(1,3060) = 3 309$



Exemple 2Exemple 2

A = ?


0 1

i1 = 5 %100$

2

i2 = 7 %

200$

3

i3 = 9 %

250$


Exemple 2 (suite)


A

0 1

i1 = 5 %

A

2

i2 = 7 %

A

3

i3 = 9 %


Exemple 2 (suite)

P = 100$(P/F, 5%,1) + 200$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + 250$(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 477,41 $


On trouve la valeur présente…

477,41$ = A(P/F, 5%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1) + A(P/F, 5%,1)(P/F, 7%,1)(P/F, 9%,1) = 2,6591A

AA = 179,54$ = 179,54$

Ensuite on trouve A


Prêts commerciaux

• Les plus populaires : Prêts amortis– Prêts qui sont remboursés avec des versements

périodiques égaux• Prêts autos, hypothèques, prêts étudiants, etc...

• Aspect important – Composante intérêt– Composante principal


Supposez qu’on emprunte un montant P, au taux d’intérêt i, et qu’on décide de rembourser ce montant P, avec intérêt, sur N périodes.

• La valeur des remboursements est • A = P(A/P, i, N)• Les remboursements sont divisés en 2

composantes– Paiement d’intérêt – Remboursement du principal


Prêts commerciaux

Laissons…

Bn = Solde du prêt à la fin de la période n, avec B0 = P

In = Paiement d’intérêt à la période n, avec

In = Bn-1 i

PPn = Paiement du principal à la période n

Alors le paiement est A = PPn + In


Prêts commerciaux

Pour calculer PP et I…

L’intérêt de la première période est I1 = B0i = Pi

Le paiement du principal à ce moment sera PP1 = A - Pi

Le solde du prêt après le premier versement sera

B1 = B0 - PP1 = P - PP1

L’intérêt de la deuxième période est I2 = B1i = (P - PP1)i

Le paiement du principal à ce moment est

PP2 = A - (P - PP1)i = (A - Pi) + PP1i = PP1(1 + i)

Le solde du prêt après le deuxième versement est

B2 = B1 - PP2 = P - (PP1 + PP2)


Prêts commerciaux

Au nième versement…

Bn = P - (PP1 + PP2 + … + PPn )

Bn = P - [PP1 + PP1 (1 + i) + … + PP1 (1 + i)n-1]

Bn = P - PP1 (F/A, i, n)

Bn = P - (A - Pi) (F/A, i, n)

… In = (Bn-1) i

et… PPn = A - In


Prêts commerciaux

Exemple

– Tu as emprunté 5 000$ de la banque pour effectuer des réparations à la maison. La banque te propose la modalité de remboursement suivante :

• Valeur du contrat : 5 000 $• Période du contrat : 24 mois• Taux d’intérêt annuel : 12 %• Paiement mensuel : 235,37$


Prêts commerciaux

Exemple (suite)


6 mois6 mois 24 mois24 mois

1 % par mois1 % par mois

5 000 $5 000 $

Prêts commerciaux

Hypothèques– Prêts amortis à long terme– Typiquement sur des propriétés– Association canadienne des banquiers

• WWW.CBA.CA– Société canadienne d’hypothèques et de logement

• www.cmhc-schl.gc.ca/hf-fl/fr/acheter_maison/index.html– Montant du prêt = principal– Différence prix de la propriété et le solde = équité


Prêts hypothécairesPrêts hypothécaires

http://WWW.CBA.CA/fr/Tools/Brochures/tools_mortgage.cfm

http://www.cmhc-schl.gc.ca/hf-fl/fr/acheter_maison/index.html

Exemple– Maison = 125 000$ avec mise de fonds de 25 000$– Hypothèque conventionnelle de 100 000$ avec un terme de 3 ans et

un taux d’intérêt de 8 % par année de la Banque TD.

• Question 1 : Quels sont les versements si la personne rembourse l’hypothèque selon la modalité suivante ?

– Paiements mensuelles

• Question 2 : Quel est le solde à la fin du terme ?



Question 1

P = 100 000$, r = 8 %, M = 2 périodes de capitalisation par année, amortissement de 25 ans, et le terme est de 3 ans.

Calcul pour paiement mensueli = (1 + 0,08/2)1/6 -1 = 0,6558 % A = 100 000$ (A/P, 0,6558 %, 300) = 763,20$



Question 2

Calcul pour paiement mensuel… n = 3 x 12 = 36i = 0,6558 %

B = 100 000$(F/P, 0,6558 % , 36) - 763,20$ (F/A, 0,6558% , 36) = 95 655.54$



Les investissements obligataires

Promesses de remboursement selon un échéancier précis, et dont les intérêts sont d’ordinaire capitalisés semestriellement. Elles sont émises par l’emprunteur sur le marché primaire des capitaux. Elles peuvent s’échanger après coup, entre détenteurs, sur le marché secondaire, tout en demeurent en circulation.


Terminologie– Débentures - obligations hypothécaires– Valeur nominale – Date à échéance– Taux d’intérêt du coupon– Taux d’intérêt du marché – Cours de l’obligation– Obligation vendue avec escompte d’émission– http://www.finance-net.com/placements/obligations/obligations.pht

ml



http://www.finance-net.com/placements/obligations/obligations.phtml

http://www.finance-net.com/placements/obligations/obligations.phtml

Exemple 1… le cours– Une obligation de 10 ans est caractérisée par une valeur nominale de

5 000$ et un taux annuel d’intérêt du coupon de 8 % payable trimestriellement. L’acheteur potentiel exige un rendement de 12 % sur ses investissements. Quel est le cours de cette obligation ?

– P = 5 000$ (P/F, 3, 40) + 100$ (P/A, 3, 40) =


5000$ (0,08/4) = 100$

3 844$3 844$


Exemple 2… Taux exigé du marché– L’intérêt qui assure l’équivalence entre les recettes futures

découlant de l’obligation et le prix du marché de l’obligation. – VN = 1 000$, P = 1 088$, Intérêt du coupon par semestre = 4,625%

x 20 périodes.

– 1 088$ = 46,25$(P/A, i%, 20) + 1 000$(P/F, i%, 20)



Exemple 2 … suite


i =3% +1%

1241,76$−1088$1241.76$−1084,94$

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥=3,98%

3%1241,76$

?1088,00$

4%1084,94$

i par semestreVP des recettes


Exemple 3… rendement courant

Est l’intérêt annuel reçu exprimé en % du cours actuel du marché de l’obligation.

Des données de l’exemple précédent…46,25$/1088$ = 4,25% semestriellement

2 x 4,25% = 8,5% annuellementRendement courant effectif :

ia= (1 + 0,0425)2 - 1 = 8,68 %



Exemple d’une hypothèque


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