Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes But du cours Familiarisation avec les...

Ecole de cristallographie 3/11/2008

Symétries et Groupes

But du cours

Familiarisation avec les termes employés dans ce domainePermettre de reconnaître rapidement les propriétés de symétrie des cristaux

Lire les tables internationales de cristallographieEn tirer les conclusions qui vous intéressent.

Pouvoir déduire la possibilité d’existence de propriétés physiques particulières pour un cristal

Simplifier des calculs

….


Pourquoi et quel intérêt

Principe de Neumann

Ce qui donne son importance à la cristallographie et à l’étude des symétries est contenu dans le principe de Neumann ou de Friedel qui stipule que

les effets sont au moins aussi symétriques que la cause qui les a engendrés,

ou si vous préférez que

toutes les propriétés d’un cristal doivent respecter les propriétés de symétrie du cristal.


Pourquoi et quel intérêt

Exemple

Pour fixer les idées prenons l’exemple des propriétés d’élasticité.Elles lient contraintes et déformations

T = C SDans une direction donnée

Contrainte peut être de compression ou de cisaillement d’où Tij

De même 2 indices pour décrire Skl

Cijkl est un tenseur de rang 4, en dimension 3 il a donc 34 = 81 composantes.

Invariance par symétrie => 3 composantes non nulles indépendantes (cas cubique)

Puissance de ces considérations qui ne sont que qualitatives.


Présentation du problème

Prenons une collection de points régulièrement espacés dans l’espace.

Si nous la dotons d’une origine O, tout point de l’espace est décrit par 3 vecteurs non colinéaires a b c.

Ce réseau possède une périodicité de translation et est appelé réseau cristallin.Par définition il est centrosymétrique.

Tout point M est décrit par ces trois composantes (u,v,w) avec Q = u a + v b + w c

O

M


Présentation du problème

OM=Q = u a + v b + w c

Toute translation Q laisse le réseau invariant.

Les points qui forment le réseau sont appelés nœuds.

Le parallélépipède construit sur les trois vecteurs a b c s’appelle maille cristalline

Son volume est égal au produit mixte des trois vecteurs V = (a,b,c)= a.(b ^ c)(déterminant de la matrice formée sur les 3 vecteurs de base a,b,c ) Le choix des vecteurs de base n’est pas unique.Par convention on choisit la représentation la plus simple et surtout celle qui met le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau.

O

M

O

M


Résultat à 2 dimensions

Il n’y a donc que 5 systèmes différents dans un espace à 2 dimensions.

Paramètres maille systèmea # b qq parallélogramme obliquea # b = /2 rectangle rectangulairea = b qq losange rectangulaire centréa = b = /2 carrée Carréa = b = 2/3 losange 120° hexagonal

a , b sont les longueurs des côtés de la maille, l’angle entre a et b


Espace à 3 dimensions

à 3 dimensions

il existe 7 systèmes de base en fonction des différentes possibilités a b c =(b , c), =(a , c), =(a , b)


Espace à 3 dimensionsLes 7 systèmes cristallins dans l’espace à trois dimensions

Paramètres polyèdre système cristallina # b # c

# # qq

parallélépipède qq Triclinique

a # b # c

= = /2 qq

prisme droit

base parallélogramme

Monoclinique

a # b # c

= = =/2

prisme droit

base rectangle

Orthorhombique

a = b = c

= = qq

rhomboèdre Rhomboédrique

a = b # c

= = =/2

prisme droit

base carrée

Quadratique

a = b # c

= = /2, = 2/3

prisme droit

base losange

Hexagonal

a = b = c

= = =/2

cube Cubique

a, b, c, sont les longueurs des côtés de la maille; , , les angles entre (b,c) (c,a) et (a,b)



Paramètres polyèdre système cristallina = b = c

= = qq

rhomboèdre Rhomboédrique

Pour certaines valeurs des angles , , , ces mailles peuvent décrire des systèmes beaucoup plus symétriques que le laisse supposer leur nom.

Le cas le plus frappant est le rhomboèdre d’angle 2/6.

Il correspond à une structure de symétrie cubiquepour laquelle il y a un nœud supplémentaire au centre de chaque face.



Réseaux de Bravaistriclinique Pmonoclinique P, A (ou C)orthorhombique P, C (ou A ou B), I, F rhomboédrique P (R)quadratique P, Ihexagonal P cubique P, I, F

Chercher des valeurs angulaires particulières Ajouter des nœuds supplémentaires7 systèmes + compatibilité avec les règles de symétrie et l’invariance par translation du réseau

Alternative

P : primitif A (B, C) : il y a un nœud au centre des faces A (B,C) (faces contenant l’axe de rotation)I : il y a un nœud au centre de la mailleF : il y a un nœud au centre de toutes les facesR : Cellules hexagonales qui peuvent être ramenées à une cellule rhomboédrique de tiers de volume.

Bravais a ainsi dénombré 14 réseaux différents



Ces mailles ne sont plus forcément simples (certaines contiennent plus d’un nœud).

Leur volume est donc un multiple (2 pour A, B, C, I , 4 pour F, 3 pour R) de la maille simple qui serait suffisante pour décrire tous les points du réseau.

Ces mailles multiples sont choisies car elles mettent le mieux en évidence les propriétés de symétrie du réseau.

Il est beaucoup plus facile de trouver les axes quaternaires du réseau rhomboédrique d’angle 2/6 dans la maille cubique que dans la maille élémentaire.


Représentation 2D de l’espace 3DLa projection stéréographique

Pour représenter l’espace à trois dimensions, on utilise un système de projection sur le plan qui s’appelle projection stéréographique.

On choisit une sphère de centre O et de rayon R.On l’oriente par un axe Nord-Sud. Le plan équatorial sera le plan de projection.

Tout point de l’hémisphère nord sera représenté par l’intersection avec le plan équatorial de la droite issue du pole sud et joignant le point à projeter et réciproquement pour les points de l’hémisphère sud avec la droite issue du pole nord.


Représentation 2D de l’espace 3DLa projection stéréographique

Deux propriétés importantes :Tout cercle sur la sphère - hormis ceux passant par le pôle sud - sera transformé en un autre cercle dans le plan équatorial, Les angles sont conservés pendant la transformation.

Remarques :L’équateur reste lui-même durant cette transformation. Un point de l’hémisphère nord sera projeté à l’intérieur de l’équateur (par exemple dans notre figure, H2 devient H2’ ), un point de l’hémisphère sud à l’extérieur (H1 devient H1’ ).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Cercle

http://fr.wikipedia.org/wiki/Angle

http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89quateur


Symétries et GroupesDescription mathématique des systèmes cristallographiques

Opérations de symétrie

C’est une opération qui transforme un objet en un objet superposable (isométrie directe) ou superposable à son image dans un miroir (isométrie inverse)

Les rotations autour d’un axe, les translations, les combinaisons de ces opérations conservent le sens du trièdre des axes de références. Ce sont des isométries directes.

Les symétries par rapport à un plan ou par rapport à un point sont des isométries inverses. Elles changent le sens du trièdre de référence.

Les combinaisons d’un nombre quelconque d’isométries directes avec un nombre impair d’isométries inverses sont des isométries inverses.



Invariance par rotation du réseau => les angles ne peuvent être quelconques

Les coordonnées de tout vecteur du plan sont entières.

Elles restent entières par l’effet des opérations de symétrie qui sont des isométries par exemple une rotation d’un angle = 2 /n.

1αcosαsinαsinαcos

R

La trace de cette matrice est Tr(R) = ∑i Rii = Rii = 1 + 2 cos()

C’est un invariant. Elle doit être entière. => 2 cos() = k



Conclusion Invariance par rotation du réseau => Seuls les angles = 2 /n avec n prenant les valeurs 1, 2, 3, 4 ou 6 sont acceptables

mT = 2 cos(2/n) T

= 2/n peut donc prendre comme seules valeurs acceptables (2/1 (=0), 2 /2, 2/3, 2/4, 2/6 )

Les axes de rotations associés à ces angles sont dits axes d’ordre n.

On remarque qu’il n’existe pas de possibilité de paver régulièrement le plan avec des pentagones puisque la valeur n=5 est interdite.

T-T

T'T"

m T

- 2π / n2π / n

O BA

QP



Opérations de symétrie

Ai axe de rotation d’ordre i A-i axe de roto-inversion d’ordre i

Isométries directes Isométries inversesA1 (ou identité E) 1 A-1(ou centre d’inversion I) -1A2 2 A-2 mA3 3 A-3 contient 3 et I -3A4 4 A-4 contient 2 -4A6 6 A-6 idem 3/m -6

4_4



Les associations d’opérations de symétrie engendrent des groupes dits groupes de symétrie.

Rappels de quelques propriétés des groupes.Un groupe est une collection G d’objets ai G = {ai} munie d’une loi de composition interne. ai aj = ak , ak Gcette loi est associative (ai aj) ak = ai (aj ak)Il existe un seul élément appelé l’élément neutre tel que e ai = ai e = ai

pour tout élément ai , il existe un élément symétrique aj de G noté ai-1 tel que ai ai

-1 = ai-1 ai = e

exemple : N doté de l’addition n’est pas un groupe, Z oui.

Si l’opération est commutative, c’est à dire si nous avons pour tout élément du groupe ai aj = aj ai, le groupe est dit abélien.

Z est un groupe infini abélien avec l’addition.Mn l’ensemble des matrices (n x n) non singulières doté de la multiplication est un groupe infini non abélien.

On appelle ordre du groupe le nombre d’éléments qu’il contient.Il peut être fini ou infini. Nous nous limiterons aux groupes finis.



Description mathématique des systèmes cristallographiques

On dit que 2 éléments aj et ak appartiennent à la même classe d’équivalence si il existe un élément ai tel que ai

-1 aj ai = ak

On appelle éléments générateurs, les éléments du groupe qui permettent de construire tous les autres éléments par la loi interne. Un groupe est dit cyclique si les éléments peuvent être obtenus à partir d’un élément générateur a. Les éléments du groupe sont tels que ai = ai.l’ordre du groupe est n avec an = e. Si n n’est pas premier on ne peut pas prendre n’importe quoi comme élément générateur.Le groupe engendré par la rotation d’angle = 2 /n a pour éléments { 2 (1/n), 2 (2/n),......, 2 (p/n),...., 2 ((n-1)/n), 2 (n/n) }si p’ est un diviseur de n et de p en choisissant l’élément 2 (p/n) l’ordre du groupe engendré par cet élément sera divisé par p’.




Table de multiplication pour un groupe d’ordre 4

Sur chaque ligne et chaque colonne de la table de multiplication apparaît tous les éléments du groupe une et une seule fois. (théorème du réarrangement)Si a b = c b alors a b b-1 = c b b-1 donc a = c impossible par définition

E A1 A2 A3E E A1 A2 A3A1 A1 A2 A3 EA2 A2 A3 E A1A3 A3 E A1 A2

2 groupes G et G’ sont dits isomorphes s’il existe une correspondance biunivoque entre eux , s’ils ont même table de multiplication. Toutes les réalisations d’un groupe abstrait sont isomorphes. Tous les groupes abstraits d’ordre 2 sont isomorphes puisqu’il n’existe qu’une seule possibilité de construire la table de multiplication.




On appelle sous groupe H du groupe G tout sous-ensemble stable de G. H est un sous groupe invariant de G si pour tout élément ai de G et hj de H ai

-1 hj ai H On peut partitionner un groupe G modulo un sous groupe H, en retirant tous les éléments de H contenu dans G, puis si il reste au moins un élément g i tous les éléments giH ..... On a alors décomposé G sous la formeG = a1H + a2H + ... L’ordre h d’un sous groupe H est donc un diviseur de l’ordre g du groupe G. Le produit direct K de 2 groupes G x H est le groupe formé par tous les éléments kij = gihj =hjgi. Il contient k = gh éléments.



Les 32 groupes ponctuels

Il s’agit maintenant de dénombrer les combinaisons d’opération de symétrie pouvant décrire la symétrie d’orientation ponctuelle d’un cristal.Les opérations permises sont les rotations (axes d’ordre n), les symétries par rapport à un point (inversion I) ou par rapport à un plan (miroirs) et toutes les combinaisons de ces opérations.



Les éléments de symétrie associés à des isométries directes sont appelés éléments propres, ceux associés à des isométries inverses sont appelés éléments impropres. Il y a autant d’éléments propres que d’éléments impropres. On appelle groupes propres tous les groupes qui ne contiennent que des éléments propres (des axes d’ordre n). Un groupe contient toujours des éléments propressi sk est impropre ai = sk sk est propre.Un groupe s’écrit donc comme G = {ai} + {si}Les éléments propres forment un sous groupe invariant de G.

En conclusion, un groupe impropre contient toujours un sous groupe propre d’ordre moitié.



Procédure de création des groupes ponctuels

On va chercher les groupes propres par combinaison d’éléments propres

On établira tous les groupes obtenus par produit direct avec le groupe S I contenant {E, I}.

On cherchera ensuite tous les groupes propres admettant un sous groupe d’ordre moitié Gp/2 On prendra G’ le complément de G par rapport à Gp/2, le nouveau groupe sera Gf = Gp/2 + I*G’.Il aura même ordre que le groupe de départ.



Les groupes propres

Groupes ne contenant qu’un seul axe.Ils sont de la forme n ou Cn et contiennent n éléments1 C1 1 élément(s)2 C2 23 C3 34 C4 46 C6 6

1 2 3 4 6



Les groupes propres

Groupes obtenus par combinaison d’un axe A2 et d’un axe An orthogonal.Par raison de symétrie cela engendre n axes A2 dans le même plan.222 D2 4 éléments32 D3 6 éléments422 D4 8 éléments622 D6 12 élémentsCes groupes sont dits dièdraux, ils sont définis par 2 éléments générateurs a et b tels que an = E b2 = E et b a b-1 = a -1

222 32 422 622



Les groupes propres (suite)

Groupes obtenus par combinaison d’axes d’ordre 3.

On peut montrer que les seules combinaisons acceptables sont obtenues avec des axes d’ordre 2 et 4, l’axe d’ordre 3 faisant un angle avec les axes 2 et 4 tel que cos2()=1/3.Le principe est le suivant on se place sur l’axe 3 et on écrit la matrice de rotation de l’axe p dans ce référentiel.Le résultat du produit des rotations est une rotation qui doit être compatible avec le réseau, donc de la forme = 2/n. sa trace doit donc être entière et comprise entre -1 et 3 ce qui conduit aux relations recherchées.

Les groupes obtenus sont notés 23 - T et 432 - O car ils correspondent exactement à la symétrie du tétraèdre et de l’octaèdre. L’angle étant exactement égal à l’angle entre l’arête et la diagonale du cube.23 - T 12 éléments432 - O 24 éléments

2 3 432



Les groupes impropres centrosymétriques

En faisant le produit direct de SI avec les 11 premiers groupes, on obtient immédiatement

A partir des groupes cycliques1 => -1 Ci 2 éléments2 => 2/m C2h 4 éléments3 => -3 C3i 6 éléments4 => 4/m C4h 8 éléments6 => 6/m C6h 12 éléments

-1 2/m -3 4/m 6/m 1 2 3 4 6





A partir des groupes dièdraux222 => mmm D2h 8 éléments32 => -3m D3d 12 éléments422 => 4/mmm D4h 16 éléments622 => 6/mmm D6h 24 éléments

mmm -3m 4/mmm 6/mmm





A partir des groupes cubiques23 => m-3 Th (anciennement m3) 12 éléments432 => m-3m Oh (anciennement m3) 48 éléments

m-3 m-3m



Les groupes impropres non centrosymétriques

A partir des groupes propres contenant un sous groupe stable d’ordre moitié Gp/2 et ajoutant le produit direct de SI avec le complément de G par rapport à Gp/2 , on obtient immédiatement

A partir des groupes cycliques d’ordre pair2 => 1 => m Cs 2 éléments4 => 2 => -4 S4 4 éléments6 => 3 => -6 (ou 3/m) C3h 6 éléments

ExempleA partir du groupe 4

_4

m -4 -6





A partir des groupes dièdraux222 => 2 => mm2 C2v 4 éléments32 => 3 => 3m C3v 6 éléments422 => 4 => 4mm C4v 8 éléments

=> 222 => -42m D2d 8 éléments622 => 6 => 6mm C6v 12 éléments

=> 32 => -62m D3h 12 éléments

mm2 3m 4mm -42m 6mm -62m





A partir des groupes cubiquesBien que d’ordre pair, le groupe 23 n’a pas de sous groupe d’ordre moitié.432 => 23 => -43m Td 24 éléments

-43m



Bilan

32 Groupes Ponctuels(ou groupes de symétrie d’orientation)

11 sont des groupes propres1, 2, 3, 4, 6, 222, 32, 422, 622, 23, 432

11 sont des groupes impropres contenant l’inversion-1, 2/m, -3, 4/m, 6/m, mmm, -3m, 4/mmm, 6/mmm, m-3, m-3m

10 sont des groupes impropres ne contenant pas l’inversionm, -4, -6, mm2, 3m, 4mm, -42m, 6mm, -62m, -43m

Les groupes centrosymétriques (contenant l’inversion) sont appelés groupes ou classes de Laue.


Symétries et GroupesBilan

Crystalsystem

Groupes PonctuelsHoloédrie Systèmes

cristallinsClasses

de LaueNon Centro-symmétrique

Centro-symétrique

Triclinic 1 -1 -1 Triclinique -1 Monoclinic 2 m 2/m 2/m Monoclinique 2/m Othorhombic 222 mm2 mmm mmm Orthorhombique mmm

Tetragonal4 -4 4/m

Quadratique4/m

422 4mm -42m 4/mmm 4/mmm 4/mmm

Trigonal3 -3

Rhomboédrique-3

32 3m -3m -3m -3m

Hexagonal6 -6 6/m

Hexagonal6/m

622 6mm -62m 6/mmm 6/mmm 6/mmm

Cubic23 m-3

Cubiquem-3

432 -43m m-3m m-3m m-3m

Dans chaque système cristallin, la classe de Laue de plus haute symétrie est appelée holoédrie. L’holoédrie cubique est donc m-3m, l’holoédrie hexagonale 6/mmm, …Par définition, le réseau est centrosymétrique.Toute mesure qui ne sollicitera que les propriétés du réseau ne permettra pas de déterminer le groupe de symétrie mais seulement la classe de Laue du système.



Les 230 groupes d’espace

En procédant de la même façon qu’avec le groupe des symétries ponctuelles, on peut construire des groupes d’espaces qui tiennent compte de l’invariance par translation du réseau.

Le nombre de groupes générés dépend pour chaque système du nombre de groupes ponctuels dans ce système et du nombre d’éléments du groupe de translations permises dans ce système.


Symétries et GroupesLes groupes symorphiques

Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels


Symétries et GroupesLes groupes symorphiques

Combinaison Réseaux de Bravais groupes ponctuels

Ex : Système quadratique 2 possibilités P ou I pour le groupe associé aux translations et 7 groupes ponctuels, il y aura donc par produit direct des 2 groupes que 14 groupes d’espace quadratiques.

Groupes symorphiquessystème Réseaux Groupes ponctuels Groupes symorphiques

triclinique 1 2 2

monoclinique 2 3 6orthorhombique 4 3 12

rhomboédrique 2 5 10quadratique 2 7 14

hexagonal 1 7 7cubique 3 5 15

On obtient 66 groupes symorphiques, auxquels il faut ajouter les 7 groupes obtenus par les différentes façons de centrer les faces par rapport aux axes de symétrie. (Il n’est pas équivalent de centrer les bases parallèles ou perpendiculaires à l’axe 2 dans le groupe mm2).Il y a en tout 73 groupes groupes symorphiques.




En combinant les opérations de symétrie avec les translations du réseau, on obtient de nouveaux objets dans les systèmes cristallins.

Ce sont des rotations vis et des miroirs avec glissement.

T

T/2M

21 41 42 61 64




Les 157 groupes restants sont obtenus avec ces nouveaux objets

Pour le groupe Pmm2 on obtient ainsi en plus les groupes Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21 et Pnn2.




Exemple de construction d’un groupe d’espace


Symétries et GroupesLes 230 Groupes d’espace

Crystalsystem

PointGroup

SpaceGroup

Triclinic1 P1

-1 P-1

Monoclinic2 P2, P21 , C2

m Pm, Pc, Cm, Cc2/m P2/m, P21/m , C2/m, P2/c, P21/c , C2/c

Orthorhombic

222P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121

mm2Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma21, Pca21, Pnc21, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2, Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Abm2, Ama2, Aba2, Fmm2, Fdd2, Imm2, Iba2, Ima2

mmm

Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, Pnma,Cmcm, Cmca, Cmmm, Cccm, Cmma, Ccca, Fmmm, Fddd, Immm, Ibam, Ibca, Imma

Tetragonal

4 P4, P41, P42, P43, I4, I41

-4 P-4, I-44/m P4/m, P42/m, P4/n, P42/n, I4/m, I41/a

422P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212, I422, I4122

4mmP4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bc,I4mm, I4cm, I41md, I41cd

-4mP-42m, P-42c, P-421m, P-421c, P-4m2, P-4c2, P-4b2, P-4n2, I-4m2, I-4c2, I-42m, I-42d

4/mmm

P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncm, I4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd

Crystalsystem

PointGroup

SpaceGroup

TrigonalHexagonal

3 P3, P31, P32, R3-3 P-3, R-332 P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221, R32

3m P3m1, P31m, P3c1, P31c, R3m, R3c-3m P-31m, P-31c, P-3m1, P-3c1, R-3m, R-3c

6 P6,P61, P65, P63, P62, P64

-6 P-66/m P6/m, P63/m

622 P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322

6mm P6mm, P6cc, P63cm, P63mc-6m P-6m2, P-6c2, P-62m, P-62c

6/mmm

P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc

Cubic

23 P23, F23, I23, P213, I213m-3 Pm-3, Pn-3, Fm-3, Fd-3, Im-3, Pa-3, Ia-3

432P432, P4232, F432, F4132, I432, P4332, P4132, I4132

-43m P-43m, F-43m, I-43m, P-43n, F-43c, I-43d

m-3m Pm-3m, Pn-3n, Pm-3n, Pn-3m, Fm-3m, Fm-3c, Fd-3m, Fd-3c, Im-3m, Ia-3d


Symétries et GroupesLes 230 Groupes d’espace


Applications

Transition de phase et Brisure de symétrie

D’après la théorie de Landau

S’il n’existe pas de relation de groupe entre les 2 phases la transition est de 1er ordre(la réciproque n’est pas vraie)

S’il y a une relation de groupe à sous groupe entre les deux phases la transition est de deuxième ordre


Applications

Propriétés physiques des cristaux

Cause EffetSymétrie Grandeur Physique

<=> Symétrie Grandeur physique

Symétrie Cristal

Principe de Curie :L’effet est plus symétrique que la causeEn clair :Si G est le groupe de symétrie de l’effet et K celui de la cause on doit avoir

K est inclus dans G

On doit donc connaître le groupe de symétrie de la grandeur physique appliquée et la symétrie ponctuelle du cristal pour savoir si un effet peut ou ne peut pas avoir lieu dans un matériau donné.


Applications


Il y a 7 groupes d’isotropie dans lesquels on place les grandeurs physiques.

On note :les axes de rotation continue, c’est à dire lorsqu’on peut tourner d’un angle quelconque autour de l’axe.

les miroirs contenant ces axes de rotation sont notés : puisque, générés par l’axe, ils existent en nombre infini.

A

M


Applications


Ces groupes d’isotropie correspondent aux symétries :

de la sphère

du cône

et du cylindre

A

AC

M

A

M

A

MA A

2A

A

M

AM

M

A


Applications


Exemple : Ferroélectricité

Existence d’un moment dipolaire permanentSymétrie du vecteur orienté

Groupe limite le cône non orienté

Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferroélectriques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6mm et 4mm

Soit 6mm, 4mm, 6, 3m, 3, 4, mm2, m, 2, 1Ces groupes sont dits polaires

MA


Applications


Exemple : Ferromagnétisme

Le magnétisme est décrit par un vecteur axial

(le produit vectoriel (dl^r) est en fait un tenseur de rang 2)

Groupe limite le cône orienté

Les groupes ponctuels des cristaux présentant des propriétés ferromagnétiques doivent donc appartenir aux sous groupes de 6/m et 4/m

Soit 6/m, 4/m, -6, 6, -3, 3, -4, 4, 2/m, 2, m, -1, 1Ces groupes sont dits axiaux

M

A

AA Rot B


Applications


Exemple : Ferroélectricité et Ferromagnétisme

Les résultats précédents montrent que seuls les cristaux de symétrie

6, 4, 2, 1

peuvent être à la fois ferroélectriques et ferromagnétiques


Applications


Applications

Rappels sur les tenseurs

On peut toujours exprimer Yi = Yoi + j T1j Xj + ½ jk T2jk Xk Xj +....

Chaque partie du second membre de l’équation peut se mettre sous la formeYi = Tip Xp

Yij = Tijpq XpXq

Yijkl = Tijklpqrs XpXqXrXs, ...

Chaque tableau Tijklpqrs à n indices contient 3n valeurs qui dépendent du repère dans lequel elles sont exprimées.


Applications


Lors d’un changement de base,les quantités Yi et Xp se transforment en Y’i et X’p Si M est la matrice de passage de l’ancienne base E à la nouvelle base E’

Nous avons Y’ = M Y et X’ = M X avec E’ = M E

Et donc

T’ij = aik ajl Tkl

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

M


Applications


Tout tableau qui vérifie T’ij = aik ajl Tkl est appelé tenseur de rang 2Le rang d’un tenseur correspond au nombre d’indices qui le décrit

Un scalaire est un tenseur de rang 0Un vecteur 1

Le produit vectoriel V= A^B avec vij= -aibj+ajbi est un tenseur de rang 2


Applications

Quelques exemples de tenseurs

La masse, le volume, la température, la chaleur spécifique,... Sont des tenseurs de rang 0.

La pyroélectricité qui relie les variations de polarisation avec la variation de température est un tenseur de rang 1. Il relie un vecteur et un scalaire.

La constante diélectrique , la permittivité, la conductivité thermique ..., toutes les propriétés qui relient 2 vecteurs sont des tenseurs de rang 2.

La piézoélectricité est décrite par un tenseur de rang 3. Il relie un tenseur de rang 2, la déformation, avec un vecteur, la polarisabilité.

Les constantes élastiques forment un tenseur de rang 4 qui relie les contraintes et les déformations.


Applications

Rappels sur les tenseurs : Applications

Lorsqu’on applique les opérations du groupe ponctuel à un cristal celui ci demeure invariant par définition.

Par conséquent si on mesure ses propriétés avant ou après l’application des opérations de symétrie le résultat doit être inchangé.

Ceci est vrai pour les tenseurs qui expriment ces propriétés.On doit donc avoir

Tijkl...= aip ajq akr als.... Tpqrs...


Applications


Dans le système monoclinique

Si on applique le raisonnement au tenseur diélectrique ij qui relie le vecteur induction électrique D au champ électrique E on obtient:

Axe A2 (monoclinique)

11

1A

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 13

22

31 33

0

0 0

0


Applications


Si on ajoute un axe d’ordre 3 dans la direction [111]

Axe A3

11

1A

11

3313

3122

3331

22

1311

0000

000

0

11

11

11

000000

On retrouve bien l’isotropie optique des systèmes cubiques


Applications


Ces considérations sont très puissantes

Influence d’un centre de symétrieLa matrice de l’opération est diagonale et ses éléments s’écrivent a ij=-ij

L’équation régissant la transformation d’un tenseur quelconque devientTijkl.... = aip ajq akr als ...... Tpqrs......

soit en remplaçant les composantes aip par leur valeurTijkl...... = (-1)n ip iq ir is ...... Tpqrs.... = (-1)n Tijkl..... avec n le rang du tenseur

En conclusion, tout tenseur antisymétrique de rang impair est nul dans les 11 groupes ponctuels centrosymétriques (exemple pas de piézoélectricité)

Ecole de cristallographie 3/11/2008 Symétries et Groupes But du cours Familiarisation avec les...

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