La Cristallographie

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La cristallogra phie Réalisé par : *OUASSARNI ABDERRAHIM Proposé et encadré par le professeur : *BAHRAR Année universitaire : 2007/2008 ROYAUME DU MAROC UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE PHYSIQUE Master Énergie et Technologie des Matériaux 1

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Page 1: La Cristallographie

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La cristallograp

hie

Réalisé par :*OUASSARNI ABDERRAHIM

Proposé et encadré par le professeur :*BAHRAR

Année universitaire : 2007/2008

ROYAUME DU MAROCUNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL

FACULTE DES SCIENCESDEPARTEMENT DE PHYSIQUE

Master Énergie et Technologie des Matériaux

Page 2: La Cristallographie

PLAN:

INTRODUCTION :

I.LES TROIS ÉTATS D’ORDRE DE LA MATIÈRE :

II. LA STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL :

III. MAILLE PRIMITIVE MAILLE MULTIPLE

IV. RÉSEAU DIRECT – RÉSEAU RÉCIPROQUE :

V. CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES :

VI. CONCLUSION :

1.1.Les structures désordonnées :1.2.Structures ordonnées :1.3.Les matériaux dans un état d’ordre

intermédiaire :

2.1. Caractéristiques macroscopiques du cristal :

2.2. Symétrie :2.3. Classification en sept systèmes

cristallins :2.4. Détermination des structures

cristallines :

3.1. Maille primitive3.2. Maille multiple :3.3. Les 14 réseaux de BRAVAIS4.1.Direction, rangé [u,v,w]4.2. Plan réticulaire :4.3. Réseau réciproque :5.1. Calculs géométriques dans l’espace direct :5.2. Calculs géométriques dans l’espace

réciproque :

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INTRODUCTION La cristallographie est une branche

importante des Sciences Physico-chimiques, destinée à pouvoir mener l'étude de la morphologie, de la texture et de la structure des cristaux .

Une discipline abstraite dont l'étude conduit vite à des formulations mathématiques compliquées.

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LES TROIS ÉTATS DE LA MATIÈRE:

Les structures désordonnées :Gaz parfait:assemblage idéal de particules

ponctuelles n’exerçant entre elles aucune force d’attraction ou de répulsion (désordre total).

Gaz réels: Dans les conditions normales (1,013bar/273 K°), un gaz réel est assimilable à un ensemble de particules séparées par des distances grandes par rapport à leurs dimensions propres, c'est-à-dire sans interaction.

Liquides: état où les molécules sont au contact les unes avec les autres.

Amorphes : chercher à figer une structure désordonnée pour obtenir un état amorphe (exceptionnelle pour un solide

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Structures ordonnées : caractéristique :Autour de chaque atome, les proches voisins

sont disposés suivant un arrangement bien défini, et qui se répète rigoureusement à l’identique dans tout le cristal.

Solide poly cristallin :caractérisé par la taille, la forme des cristallites et par leur orientation les uns par rapport aux autres. L’ensemble de ces données constitue la texture du solide.

Solide monocristallin :un solide cristallisé composé d’un cristal unique.

Les matériaux dans un état d’ordre intermédiaire :

caractéristique :un état entre l’ordre parfait du cristal et le désordre du liquide. L’élément de base est une macromolécule, formée par

la répétition en ligne d’un groupe d’atomes (monomère). Cette chaine polymérique peut compter jusqu’à 10000 monomères orientés les uns par rapport aux autres presque au hasard, et donc prendre un nombre de configurations quasi infini. 5

Page 6: La Cristallographie

STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL:

Pour une espèce donnée, on a observé que les angles entre ces faces étaient constants et indépendants de leurs dimensions. C’est ce qui exprime la première loi de la cristallographie (loi de Romé de l’Isle 1783) : « Les angles dièdres que forment entre elles les différentes faces d’un cristal sont constants pour une même espèce cristalline ».

La première approche de la cristallographie est de se limiter au cristal idéal, c'est-à-dire homogène et parfaitement ordonné dans un domaine ayant des dimensions supérieures aux distances interatomiques de plusieurs ordres de grandeur.

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Caractéristiques macroscopiques du cristal : Anisotrope :les propriétés physiques dépendent

de la direction d’observation. Homogénéité :Il existe dans le milieu cristallin

une infinité discrète de points analogues, illimitée dans les trois directions de l’espace.

D’une manière générale, les points sont appelés nœuds, on peut retrouver les mêmes propriétés dans un certain nombre de direction, dites équivalentes : on dit que le cristal possède des propriétés de symétrie.

STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL:

cwbvauruvw

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Symétrie : Existence une ou plusieurs opérations de symétrie qui le laisse

invariant.

Quelques définitions : une opération de symétrie est une opération qui transforme

une figure  « F » en une figure « F’ ». Le centre de symétrie divise en deux les segments qui

unissent les éléments équivalents. un cristal possède un axe d’ordre n s’il existe une droite tel

qu’une rotation de 2π /n autour de cet axe amène le cristal en coïncidence avec lui-même.

un plan de symétrie divise le cristal en deux parties égales. Limitations de l’ordre des opérations de

symétrie:  Pour les cristaux, les opérations de symétrie sont de

l’ordre de :

l’axe 5 est interdit : il est impossible de paver un plan avec seulement des tuiles pentagonales.

STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL:

6432164321 et

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Classification en sept systèmes cristallins :

STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL:

triclinique

Monoclinique

= = =90°a b g

OrthorhombiqueRhomboédrique ou trigonal

Hexagonal

α = β = 90°, γ = 120°

Quadratique ou tétragonal

= = =90°a b g

Cubique

= = =90°a b g

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Détermination des structures cristallines : Le système cristallin : les paramètres a b c et les angles

α β γ de la maille. Le réseau de Bravais : l’organisation des nœuds dans la

maille. Le groupe d’espace : il concerne les opérations de

symétrie du cristal. Le nombre et la position des atomes dans la maille.

Pour bien faire cette étude il faut distinguer clairement les termes suivants :

Réseau : c’est l’ensemble des vecteurs de translation. Motif : il est composé d’un atome ou d’un groupe

d’atomes. Structure cristalline : c’est l’arrangement triplement

périodique des atomes constituant le cristal.

STRUCTURE ATOMIQUE DU CRISTAL:

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MAILLE PRIMITIVE MAILLE MULTIPLE: maille élémentaire: le parallélépipède élémentaire qui, par

juxtaposition dans les trois directions de l'espace, reconstitue le réseau. Il peut s’agir d’atome d’ion, ou de molécules complexes.

Maille primitive Quand la description du réseau ne fait intervenir que

des u v w appartenant aux nombre entiers relatif, la maille ne contient qu’un seul nœud : on dit alors que le réseau est primitif. Son symbole est « P ». Le tenseur métrique (G): appelé aussi matrice

métrique, est symétrique. Il faut savoir qu’à chaque système cristallin on associe un tenseur métrique : son allure permet de reconnaitre le système auquel il est associé.

Considérons deux vecteurs position:

Leur produit scalaire:

2

2

2

2

1

1

1

1 ,,,,

w

v

u

cbar

w

v

u

cbar

Ou

2

2

2

11121 ))(,,()(

w

v

u

Gwvurr cba

c

b

a

G

,,

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système cristallin nombre de données nécessaires pour décrire la maille

tenseur métrique (G)

système triclinique 6

Système monoclinique 4

Système trigonal

(maille rhomboédrique) 

2

Système hexagonal  2

Système orthorhombique  3

Système quadratique  2

Système cubique  1

MAILLE PRIMITIVE MAILLE MULTIPLE:

2

2

2

coscos

coscos

coscos

)|()|()|(

)|()|()|(

)|()|()|(

)(

ccbca

bcbba

acaba

ccbcac

cbbbab

cabaaa

G

2

2

2

coscos

coscos

coscos

ccbac

bcbab

acaba

2

2

2

0cos

00

cos0

cac

b

aca

222

222

222

coscos

coscos

coscos

aaa

aaa

aaa

2

22

22

00

02

1

02

1

c

aa

aa

2

2

2

00

00

00

c

b

a

2

2

2

00

00

00

c

a

a

2

2

2

00

00

00

a

a

a

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Page 13: La Cristallographie

Changement de base de réseau : Pour diverses raisons : symétrie, simplification des

calculs, simplification de la représentation, etc., la description primitive n’est pas la plus appropriée. On est alors amené à choisir une autre base.

Le passage d’une base à une autre base est décrit par la transformation linéaire :

Maille multiple : Une maille contenant plusieurs nœuds est multiple. Soit

(P) la matrice de passage de la base (1)à la base(1’) le volume V’ de la maille (1’) :

MAILLE PRIMITIVE MAILLE MULTIPLE:

))(,,(),,()',','(

321

321

321

Pcba

www

vvv

uuu

cbacba

VPV )det('13

Page 14: La Cristallographie

Les 14 réseaux de BRAVAIS:

MAILLE PRIMITIVE MAILLE MULTIPLE:

14

Page 15: La Cristallographie

RÉSEAU DIRECT- RÉSEAU RÉCIPROQUE:

le réseau réciproque n’a pas de signification physique réelle, mais il est commode pour représenter les familles de plans réticulaires et il simplifie certains calculs géométriques.

A partir du réel on construit l’imaginaire reliés par une relation de réciprocité.

réseau direct caractérisé par trois translations élémentaires(réel)

un réseau

sur trois

vecteurs de base

(imaginaire)

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Page 16: La Cristallographie

Direction, rangé [u,v,w] Si on relie deux nœuds par une droite. Une telle

droite est une rangée. Le symbole [u v w] représente non seulement la

rangée passant par l’origine et le nœud de coordonnées u, v, w mais aussi toutes les rangées parallèles passant par tous les nœuds du réseau.

Plan réticulaire : La rangée est un exemple de groupement

de nœuds en sous ensembles à une dimension. Un plan réticulaire est un regroupement à deux dimensions de nœuds appartenant à une famille.

RÉSEAU DIRECT- RÉSEAU RÉCIPROQUE:

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Page 17: La Cristallographie

Réseau réciproque : Le réseau réciproque est rapporté à trois vecteurs

de base dénommés par convention :

Pour les trois vecteurs réciproques :

RÉSEAU DIRECT- RÉSEAU RÉCIPROQUE:

**,*, cba

ijji aa )( *

0)(0)(1)(

0)(0)(1)(

0)(0)(1)(

***

***

***

bcaccc

cbabbb

cabaaa

V

bac

V

acb

V

cba

)()()( ***

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Indices de Miller h k l : Les indices de Miller servent à désigner les plans dans

un cristal. Les Indices h k l désignent le plan formé par les points

1/h, 1/k, 1/l (selon a b et c respectivement) Si parallèle au plan indice est 1/∞=0

face intersections sur les

axes (WEISS)

notation deMILLER

Z 1 1 1 (111)

y 2 1 1 (122)

r 2 2 1 (112)

d 2 ∞ 1 (102)

m 1 1 ∞ (110)

RÉSEAU DIRECT- RÉSEAU RÉCIPROQUE:

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Page 19: La Cristallographie

Calculs géométriques dans l’espace direct :

Le tenseur métrique G associé à chacun des sept systèmes cristallins a été introduit, il faut retenir qu’il est symétrique. Transformation du tenseur métrique:

Volume de la maille :

Distances entre deux atomes :

Angles entre deux vecteurs:

CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES:

))(()()'( PGPG t))(,,()',','( Pcbacba

)det(2 GV

z

y

x

Gzyxrrd ))(,,()(2

21

21 )(cos

rr

rr

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Page 20: La Cristallographie

Calculs géométriques dans l’espace réciproque : Tenseur métrique réciproque:

Volume de la maille réciproque :

Distances Dhkl entre plans réticulaires (h k l) :

CALCULS CRISTALLOGRAPHIQUES:

*)|*(*)|*(*)|*(

*)|*(*)|*(*)|*(

*)|*(*)|*(*)|*(

*)(

ccbcac

cbbbab

cabaaa

G

11 *)()()(*)( GGGG

2*

22

2* 11

VV

VV

l

k

h

GlkhD

rrrhkl

hklhklhkl *))((1

)(2

**2*

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Page 21: La Cristallographie

Aujourd’hui, la cristallisation des macromolécules biologiques reste encore l’étape limitant la résolution structurale par cristallographie. L’objectif est de permettre aux biologistes, chimistes et physiciens de faire le point sur les méthodes de cristallisation des protéines membranaires : caractérisation des solutions de détergents et de protéines avant cristallisation, les principes de la croissance cristalline, diagramme de phase, techniques de cristallisation, nouvelles approches…

CONCLUSION:

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MER

CI

POUR

VOTR

E

ATTE

NTI

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