•02•07 – DS5 / BB1 - CORRECTION 3è

ACTIVITÉS NUMÉRIQUESACTIVITÉS NUMÉRIQUESACTIVITÉS NUMÉRIQUESACTIVITÉS NUMÉRIQUES EXERCICE 1

1)1)1)1) a)a)a)a) ( ) ( )( )[ ]

73

2396

2296

213

22

22

2

+−=−+−+−=

+−−−+−=−−−−=

x

xxxx

xxxxx

xxxE

b)b)b)b) Pour effectuer ce calcul, on peut utiliser le développement précédent en remplaçant x par 100000 :

( ) ( )( )

299993

7300000

71000003210000011000003100000999989999999997 22

−=+−=

+×−=−−−−=×−

2)2)2)2) a)a)a)a) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]( )( )7314

671414

671414

67141414

671414 2

+−+=+−++=

−−++=−+−++=

−+−+=

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxF

b)b)b)b) ( )( ) 03714 =−+ xx Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul,

4

114

014

−=

−==+

x

x

x quefaut il Donc

7

3

7

373

037

=−−=

−=−=−

x

x

x ou

L'équation a 2 solutions : 7

3

4

1et − .

EXERCICE 2

1)1)1)1)

10

4710

33

10

14325

113

5

76

11

5

3

5

7

=

+=

×××+=

×+=A

2)2)2)2)

59

595252

5935452

5935452

4532052

−=

−−=

××−×−=

×−×−=

−−=B

3)3)3)3)

4

3

1114

11

14

11

14

106,1

1016

103

34410

10

3

124

103

12104

×=×=

×××=

××=

×××=

−

C

EXERCICE 3

1)1)1)1) ( ) 892100115328100 =−=++− Les minéraux secondaires représentent 8% du volume du bloc de granit.

Pourcentage 8 100

Volume (dm3) 19,2 x Il faut que : 240

8

1002,19 =×=x

Le volume du bloc de granit est 240 dm3.

2)2)2)2) 1 m3 = 1000 dm3, donc 240 dm3 = 0,240 m3.

Volume (m3) 1 0,240 Masse (t) 2,6 y

Il faut que : 624,01

240,06,2 =×=y

Ne pas oublier les crochets avant de développer la 2è partie de l'expres-sion. Surtout, ne pas re-développer l'expression, mais utiliser le résultat du 1)a)1)a)1)a)1)a). Bien mettre les parenthèses dans les crochets (attention au signe – qui va entraîner un changement de signe). Ne pas oublier la propriété qui permet de passer de l'équation –produit à 2 équations du 1er degré. Ne pas oublier de conclure. Pour A, il faut respecter la priorité de la multiplication, puis réduire au même dénominateur avant d'addi-tionner.

Pour B, il faut faire comme dans le cours !!!

Pour C, il faut toujours procéder de cette façon : on sépare en 2 frac-tions, et on utilise les règles de simplification pour la 1ère et les règles de calculs sur les puissances dans la 2ème. On a dans les 2 questions des ta-bleaux de proportionnalité. Ne pas oublier de convertir le volume du bloc de granit en m3.

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUESACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUESACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUESACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES EXERCICE 1

1)1)1)1) • A, F et G sont alignés • A, C et B aussi • (GB) // (FC)

donc, d'après le Théorème de Thalès, on a : FC

GB

AC

AB

AF

AG == , d'où FC

AB 5,1

45

2 == .

On en déduit que 6,15

42 =×=AB cm

et 75,32

55,1 =×=FC cm.

2)2)2)2)

AD

AC

AE

AF

AD

ACAE

AF

=

==

== donc

5,08

4

5,010

5

De plus, les points A, F et E sont alignés dans le même ordre que les points A, C et D. D'après la réciproque du Théorème de Thalès, les droites (FC) et (ED) sont parallèles.

EXERCICE 2

2)2)2)2)

2222222

22

25,156

10025,56

105,7

25,1565,12

RCREECRCRE

EC

+=

=+=

+=+==

donc

D'après la Réciproque du Théorème de Pythagore, le triangle REC est donc rectangle en R.

3)3)3)3) Le triangle REC est rectangle en R,

8,05,12

10ˆcos ===EC

RCC donc °≈ 37C .

6,05,12

5,7ˆcos ===EC

ERE donc °≈ 53

ˆCE .

PROBLÈMEPROBLÈMEPROBLÈMEPROBLÈME

A B

C

M

P

O

PARTIE A

1)1)1)1) a)a)a)a) Le triangle ABC est rectangle en B, donc d'après le Théorème de Pythagore, 100643686 22222 =+=+=+= BCABAC

Donc 10=AC cm.

Attention aux hypothèses. Citer le théorème. Essayer de rédiger ! (ne pas hésiter à mettre des mots de liaison...) Il faut bien calculer les rapports séparémentséparémentséparémentséparément avant de conclure qu'il y a égalité, et ne pas oublier la condition d'alignement. La aussi, il faut calculer séparémentséparémentséparémentséparément le carré de la plus grande longueur et la somme des carrés des 2 autres longueurs, puis constater l'égalité. Il y a de nombreuses façons de répondre à cette question puisqu'on connaît les 3 côtés (on peut donc utiliser sin, cos, ou tan)

Un fois que l'on a trouvé un des 2 angles, on peut aussi trouver le 2è par déduction, puisque la somme des angles d'un triangle des égale à 180°. Le dessin ici n'est pas à l'échelle ! Le Théorème de Pythagore n'est valable que dans les triangles rec-tangles, donc ne pas oublier pas l'hypothèse !

b)b)b)b) Le triangle ABC est rectangle en B,

Donc6

8ˆtan ==AB

BCCAB , d'où °≈ 13,53ˆCAB .

Le triangle ABM est rectangle en B,

Donc 6

3ˆtan ==AB

BMMAB , d'où °≈ 57,26ˆMAB .

57,26565,262

13,53 ≠= . Les valeurs obtenues pour CAB ˆ et MAB ˆ sont des valeurs

approchées, donc ne permettent pas de conclure précisément que CABMAB ˆ2

1ˆ = ,

donc que (AM) serait la bissectrice de CAB ˆ .

2)2)2)2) • M, A et P sont alignés • M, B et C aussi • (AB) // (CP)

Donc, d'après le Théorème de Thalès : CP

AB

MC

MB

MP

MA == , d'où CPMP

MA 6

5

3 == .

On en déduit que : 653 ×=×CP , donc 103

65 =×=CP cm.

3)3)3)3) Le triangle ACP est donc isocèle en C. On peut donc en déduire que : CAM ˆ = MPC ˆ .

4)4)4)4) MPC ˆ et MAB ˆ sont alternes-internes et (AB) // (CP), Or si 2 droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont égaux.

Donc MPC ˆ = MAB ˆ .

On en déduit que CAM ˆ = MAB ˆ , donc (AM) est bien la bissectrice de CAB ˆ .

PARTIE B

1)1)1)1) b)b)b)b) O représente le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. (puisque (d) et (AM) sont des bissectrices du triangle).

2)2)2)2)

a)a)a)a) L'aire du triangle ABM est : 92

36 =×(cm2).

b)b)b)b) L'aire du triangle AOB est : rr

32

6 =× (cm2).

L'aire du triangle BOM est : rr

5,12

3 =×(cm2).

c)c)c)c) L'aire du triangle ABM est égale à la somme des aires des triangles AOB et BOM. Donc :

cm.

25,4

9

95,4935,1

=

=

==+

r

r

r

rr

Puisque CP = AC ! Propriété vue en 5è !.. Il y a une propriété du même type pour les angles correspondants.

Aire d'un triangle = 2

hauteurbase×

E

O

F

B

A

GÉOMÉTRIE - EXERCICE 3