Dérivées et applications mai 2020

Dérivées et applications – mai 2020 1

Chers élèves,

Je me réjouis de vous retrouver après de longs mois même si j’avoue que je n’avais jamais

imaginé un tel retour…. J’espère que vous traversez cette période inédite de la manière la

plus sereine possible et que vous n’avez pas été personnellement impactés par ce virus…

Sachez que je pense bien à vous.

Afin de vous aider à aborder au mieux la rentrée de septembre, je me suis mise au travail

pour vous et ai décidé de vous enseigner de nouvelles matières à distance. Cela reste très

compliqué, j’en conviens mais j’ai vraiment essayé d’être la plus claire possible dans tous

mes développements. J’ai travaillé sur le nouveau thème de la manière suivante : direct à

l’essentiel, introduction du chapitre, exemples concrets et ensuite exercices pour vous

entraîner.

Je fonctionnerai comme suit : la matière que vous recevez aujourd’hui englobe une petite

semaine de cours, je vous ferai donc parvenir les solutions fin de semaine ou début de

semaine prochaine. D’ici là, si vous avez la moindre question, n’hésitez pas à me joindre soit

sur mon adresse mail [email protected] soit via Messenger Anne Bienfait.

Surtout, n’hésitez pas, je suis là pour vous aider !

J’espère vous retrouver bientôt et en pleine forme !

En attendant, prenez bien soin de vous <3

Mme Bienfait

mailto:[email protected]


UAA 4 : Dérivées et applications La notion de dérivée découverte et travaillée dans ce thème permet d’étudier les

caractéristiques de nombreuses fonctions : croissance, extrema, représentation graphique,…

Nous allons aller directement à l’essentiel.

La dérivée d'une fonction f est une fonction qui, à tout nombre pour lequel f admet un

nombre dérivé, associe ce nombre dérivé.

La fonction dérivée de 𝑓 ou, plus simplement, la dérivée de 𝒇 est la fonction qui, à chaque

réel a en lequel 𝑓 est dérivable, fait correspondre le nombre dérivé de 𝑓 en a. Elle se note 𝑓′.

A. Dérivées de fonctions usuelles

𝑎′ = 0 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑖. 𝑒.𝑢𝑛 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

𝑥′ = 1

𝑎𝑥′ = 𝑎

𝑥𝑛 ′ = 𝑛. 𝑥𝑛−1

𝑎. 𝑥𝑛 ′ = 𝑎.𝑛. 𝑥𝑛−1

(sin 𝑥)′ = cos 𝑥

(𝑎. sin 𝑥)′ = 𝑎 cos𝑥

(cos 𝑥)′ = −sin𝑥

(𝑎. cos 𝑥)′ = −𝑎 sin𝑥

𝑡𝑔 𝑥 ′ =1

𝑐𝑜𝑠²𝑥

𝑎. 𝑡𝑔 𝑥 ′ =𝑎

𝑐𝑜𝑠²𝑥


B. Dérivées de somme, produit et quotient de fonctions

𝑓 + 𝑔 ′ = 𝑓 ′ + 𝑔′

𝑓.𝑔 ′ = 𝑓 ′ .𝑔 + 𝑓.𝑔′

𝑓

𝑔 ′

=𝑓 ′ .𝑔 − 𝑓.𝑔′

𝑔²

𝑎.𝑓 ′ = 𝑎.𝑓′

Exemples :

7 ′ = 0

9𝑥 ′ = 9

12𝑥3 ′ = 12.3. 𝑥3−1 = 36𝑥²

(5 sin 𝑥)′ = 5 cos𝑥

−3 cos 𝑥 ′ = − −3 sin 𝑥 = 3 sin 𝑥

4 𝑡𝑔 𝑥 ′ =4

𝑐𝑜𝑠²𝑥

3𝑥2 − 2𝑥 + 5 ′ = 3𝑥2 ′ − 2𝑥 ′ + 5 ′ = 3.2𝑥 − 2 + 0 = 6𝑥 − 2

2𝑥3 + 5𝑥 − 1 . 𝑥 − 3 ′

= 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 ′ . 𝑥 − 3 + 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 . 𝑥 − 3 ′

= 2.3𝑥2 + 5 − 0 . 𝑥 − 3 + 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 . 1 − 0

= 6𝑥2 + 5 . 𝑥 − 3 + 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 . 1

= 6𝑥3 − 18𝑥2 + 5𝑥 − 15 + 2𝑥3 + 5𝑥 − 1 = 8𝑥³ − 18𝑥² + 10𝑥 − 16

4𝑥2 − 5𝑥 + 1

2𝑥 + 3

′

= 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 ′ . 2𝑥 + 3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 . (2𝑥 + 3)′

(2𝑥 + 3)²

= 8𝑥 − 5 . 2𝑥 + 3 − 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 . 2

(2𝑥 + 3)²

= 16𝑥2 + 24𝑥 − 10𝑥 − 15 − (8𝑥2 − 10𝑥 + 2)

(2𝑥 + 3)²

= 16𝑥² + 14𝑥 − 15 − 8𝑥² + 10𝑥 − 2

(2𝑥 + 3)²=

8𝑥² + 24𝑥 − 17

(2𝑥 + 3)²


À toi de jouer…

Calcule la dérivée des fonctions suivantes :

a) 4x

b) 2x²-5x+7

c) −𝑥

3

d) 𝑥 + 4𝑥 − 1

e) 1−2𝑥

3𝑥−1

f) x + cos x

g) 3sin x – 2cos x

h) (2+x)(1-5x)

i) 𝑥4 − 1 (2𝑥 + 3)

j) (𝑥−x²)(3x)

k) 𝑥²𝑐𝑜𝑠𝑥

l) sin x .cos x

m) 2𝑥³

𝑥²−1

n) 4𝑥²+3𝑥−1

2𝑥+1

o) (x³-5x)(2x²-4)

p) 𝑥 +𝑥²−1

𝑥²+1


C. Dérivée d’une fonction composée

(𝑓𝑚)′ = 𝑚. 𝑓𝑚−1.𝑓′

(sin𝑓(𝑥))′ = 𝑓 ′(𝑥). cos 𝑓(𝑥)

(cos 𝑓(𝑥))′ = −𝑓 ′ 𝑥 . sin𝑓(𝑥)

𝑡𝑔 𝑓 𝑥 ′

=𝑓 ′(𝑥)

𝑐𝑜𝑠²𝑓(𝑥)

Rappels : 𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚

𝑛 et 1

𝑎𝑛= 𝑎−𝑛

Exemples :

5𝑥 − 4 3 ′ = 3. 5𝑥 − 4 2. 5𝑥 − 4 ′ = 3. 5𝑥 − 4 2. 5 = 15. (5𝑥 − 4)²

3𝑥2 + 5𝑥 − 14

′

= 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 14

′

=1

4. 3𝑥2 + 5𝑥 − 1

14−1. 3𝑥2 + 5𝑥 − 1 ′

= 1

4. 3𝑥2 + 5𝑥 − 1

−34 . 6𝑥 + 5 =

1. (6𝑥 + 5)

4. (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)34

= 6𝑥 + 5

4. (3𝑥2 + 5𝑥 − 1)³4

4

3𝑥2 + 7𝑥 − 1 3 ′

= 4. 3𝑥2 + 7𝑥 − 1 −3 ′

= 4. −3 . 3𝑥2 + 7𝑥 − 1 −3−1. 3𝑥2 + 7𝑥 − 1 ′

= −12. 3𝑥2 + 7𝑥 − 1 −4. 6𝑥 + 7 = −12.1

3𝑥2 + 7𝑥 − 1 4. 6𝑥 + 7

= −12. (6𝑥 + 7)

(3𝑥2 + 7𝑥 − 1)4

(cos(−3𝑥 + 4))′ = −(−3𝑥 + 4)′. sin(−3𝑥 + 4) = −(−3). sin(−3𝑥 + 4) = 3. sin(−3𝑥 + 4)

𝑠𝑖𝑛6 2𝑥2 − 3 ′

= ( sin(2𝑥2 − 3))6 ′ = 6. (sin(2𝑥2 − 3))5. sin 2𝑥2 − 3 ′

= 6. sin 2𝑥2 − 3 5. 2𝑥2 − 3 ′ . cos 2𝑥2 − 3

= 6. sin 2𝑥2 − 3 5. 4𝑥. cos 2𝑥2 − 3

= 24𝑥. 𝑠𝑖𝑛5 2𝑥2 − 3 . cos(2𝑥2 − 3)


À toi de jouer… Calcule la dérivée des fonctions composées suivantes :

a) (3𝑥 + 4)²

b) (𝑥 − 𝑥2)³

c) (2 − 4𝑥)³

d) 3

(2𝑥+1)²

e) 𝑐𝑜𝑠³2𝑥

f) cos(2𝑥 − 4)

g) (1+𝑥

1−𝑥)²

h) (1 +1

𝑥)³

i) 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 + 2

j) 3𝑥

k) 𝑡𝑔 4𝑥

l) 𝑥² − 4𝑥

m) 𝑓 𝑥 = 3𝑥2 − 1 3

n) 𝑓 𝑥 =1

3𝑥4−2𝑥

o) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛6(3𝑥 − 5)


Juste de l’entraînement cette semaine… Tous les types de dérivées sont mélangés…

Calcule la dérivée des fonctions suivantes :

a) −6𝑥5 − 3𝑥4 + 2𝑥 − 1

b) −5𝑥2 − 3𝑥 + 1 3

c) 3𝑥2−4𝑥

2−3𝑥

d) cos 2𝑥 − 4

e) 𝑥². 𝑠𝑖𝑛3𝑥

f) 5𝑥2 . 2𝑥 + 1

g) 𝑥. 𝑥

h) 𝑥3+1

𝑥3−1

i) 2 − 3𝑥

j) 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2

k) 𝑡𝑔23𝑥

l) 𝑥2+𝑥+1

1−𝑥

m) 4𝑥2 − 5𝑥 + 1 . 2𝑥 − 3 3

n) 2𝑥−1

3𝑥+2 2

o) (3𝑥2+2𝑥)²

2𝑥−3


D. Interprétation graphique de la dérivée

Graphiquement, le nombre dérivé de f en a est la pente de la

tangente (non verticale) au graphique de f en son point

d’abscisse a.

Lorsque B s’approche de A, le sécante BA pivote autour du point

A jusqu’à devenir la tangente en (a ; f(a)).

Cette tangente au graphique de f au point (a ; f(a)) est une

droite dont on connaît un point et la pente m=f’(a). Son

équation est :

𝑻 ≡ 𝒚 − 𝒇 𝒂 = 𝒇′ 𝒂 . (𝒙 − 𝒂)

Procédure :

1) Remplacer a par sa valeur dans la formule

2) Calculer la valeur de 𝑓(𝑎) en remplaçant chaque 𝑥 par sa valeur 𝑎

3) Dériver la fonction, on obtient alors l’expression de 𝑓 ′(𝑥)

4) Remplacer 𝑥 par sa valeur 𝑎 dans l’expression de la dérivée, on obtient alors 𝑓 ′ 𝑎

5) Replacer les 2 valeurs calculées dans la formule et simplifier l’expression

Exemple : écris l’équation de la tangente au graphique de la fonction 𝑓 𝑥 = 2𝑥² + 4𝑥 − 5

au point d’abscisse 𝑎 = −2

1) 𝑇 ≡ 𝑦 − 𝑓 −2 = 𝑓 ′ −2 . (𝑥 − −2 )

2) 𝑓 −2 = 2. −2 2 + 4. −2 − 5 = 8 − 8 − 5 = −5

3) 𝑓 ′ 𝑥 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 5 ′ = 2.2𝑥 + 4 = 4𝑥 + 4

4) 𝑓 ′ −2 = 4. −2 + 4 = −8 + 4 = −4

5) 𝑇 ≡ 𝑦 − −5 = −4. (𝑥 − −2 )

𝑇 ≡ 𝑦 + 5 = −4. 𝑥 + 2

𝑇 ≡ 𝑦 + 5 = −4𝑥 − 8

𝑇 ≡ 𝑦 = −4𝑥 − 13


À toi de jouer…

Ecris l’équation de la tangente au graphique de la fonction f au point d’abscisse a.

a) 𝑓 𝑥 = 𝑥² + 5𝑥 − 2 𝑎 = 1

b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑥 + 2 𝑎 = −1

c) 𝑓 𝑥 = 𝑥³ − 3𝑥² 𝑎 = 2

d) 𝑓 𝑥 =4𝑥+1

𝑥−3 𝑎 = 0

e) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 + 3 𝑎 = 3

f) 𝑓 𝑥 = 9𝑥3 − 4𝑥2 + 5𝑥 − 1 𝑎 = −3


E. Quel est le lien entre le sens de variation d’une fonction et

le signe de sa dérivée ?

L’étude du signe de la dérivée d’une fonction permet de connaître le sens de variation de

cette fonction :

a) si 𝑓 ′ 𝑥 > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle.

b) si 𝑓 ′ 𝑥 < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle.

c) si 𝑓 ′(𝑥) s’annule en a et change de signe en a, la fonction présente un maximum ou

un minimum en a.

Rappel : règles de signes :

fonction du 1er degré (𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝) : signe de m à droite de la racine

fonction du second degré (𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) : signe de a partout SAUF entre les

éventuelles racines

Ce qu’il faut retenir :

𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑓 ′(𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) ↘ MINIMUM ↗

𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑓 ′(𝑥) + 0 − 𝑓(𝑥) ↗ MAXIMUM ↘


Exemple : Détermine le sens de variation de la fonction suivante.

De manière générale, on effectue le calcul sur base de l’expression analytique de la fonction.

Dans le cas qui nous occupe, je vous ai représenté la fonction et sa dérivée pour vous

permettre de visualiser les extrema recherchés.

On donne, dans un même repère, les graphiques de la fonction 𝑓 𝑥 =𝑥³

3− 2𝑥² + 3𝑥 + 1

et de sa dérivée 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 3

Lorsque l’on observe bien le dessin, on constate que les racines de la fonction dérivée

(points C et D) correspondent aux extrema locaux de la fonction initiale (A et B).

1) Calculer la dérivée 1ère

𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥3

3− 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

′

=1

3. 3𝑥² − 2.2𝑥 + 3 = 𝑥² − 4𝑥 + 3

2) Déterminer les racines de cette fonction dérivée :

Pour cela, il suffit de résoudre : 𝑓 ′ 𝑥 = 0 ⟺ 𝑥² − 4𝑥 + 3 = 0

∆= 16 − 12 = 4 𝑥1 =4 + 2

2= 3 𝑥2 =

4 − 2

2= 1

3) Réaliser le tableau de signes de la fonction dérivée

𝑥 1 3 𝑓 ′(𝑥) + 0 − 0 + 𝑓(𝑥) ↗ MAXIMUM ↘ MINIMUM ↗


4) Déterminer les coordonnées des extrema locaux (s’il y en a):

Maximum : 𝑥 = 1

On remplace alors 𝑥 par sa valeur dans l’expression initiale :

𝑓 1 =13

3− 2. 12 + 3.1 + 1 =

7

3

Max en 1;7

3 Il s’agit du point A sur le dessin.

Minimum : 𝑥 = 3

𝑓 3 =33

3− 2. 32 + 3.3 + 1 = 1

Min en (3; 1) Il s’agit du point B sur le dessin.

À toi de jouer…

Détermine le sens de variation des fonctions suivantes :

𝑓1 𝑥 = 𝑥³ + 3𝑥² − 4

𝑓2 𝑥 = −3𝑥² + 4𝑥 + 5

𝑓3 𝑥 = −𝑥³ + 3𝑥² + 1

𝑓4 𝑥 = 𝑥 + 1 . (𝑥 − 1)³

𝑓5 𝑥 =𝑥² − 5𝑥 + 10

𝑥 − 2

𝑓6 𝑥 = 4𝑥4 − 6𝑥²


F. Quel est le lien entre le sens de concavité du graphique d’une

fonction et le signe de sa dérivée seconde ?

La dérivée seconde d’une fonction est la dérivée de sa dérivée. Elle permet de

déterminer le sens de concavité du graphique de la fonction :

a) Si 𝑓 ′′ 𝑥 > 0 sur un intervalle, alors f tourne sa concavité vers le haut.

b) Si 𝑓 ′′ 𝑥 < 0 sur un intervalle, alors f tourne sa concavité vers le bas.

c) Si 𝑓 ′′ s’annule en a et change de signe en a, la fonction présente un point d’inflexion

en a. Un point d’inflexion est un point où la concavité change de sens.

Ce qu’il faut retenir :

𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒

𝑓 ′′ (𝑥) − 0 +

𝑓(𝑥) ∩ 𝑃𝐼 ∪

𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒

𝑓 ′′ (𝑥) + 0 −

𝑓(𝑥) ∪ 𝑃𝐼 ∩


Exemple : Détermine le sens de concavité de la fonction suivante.

Reprenons l’exemple précédent.

On donne, dans un même repère, les graphiques de la fonction 𝑓 𝑥 =𝑥³

3− 2𝑥² + 3𝑥 + 1

et de sa dérivée seconde : 𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ′ = 2𝑥 − 4

Lorsque l’on observe bien le dessin, on constate que la racine de la fonction dérivée seconde

(point B) correspond au changement de concavité de la fonction initiale (A).

1) Calculer la dérivée seconde : il s’agit de la dérivée de la dérivée

𝑓 ′′ 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ′ = 2𝑥 − 4

2) Déterminer la (les) racine(s) de cette fonction dérivée :

Pour cela, il suffit de résoudre : 𝑓 ′′ (𝑥) = 0 ⟺ 2𝑥 − 4 = 0

𝑥 = 2

3) Réaliser le tableau de signes de la fonction dérivée

𝑥 2 𝑓 ′′ (𝑥) − 0 + 𝑓(𝑥) ∩ 𝑃𝐼 ∪

4) Déterminer les coordonnées des extrema locaux (s’il y en a):

On remplace alors 𝑥 par sa valeur dans l’expression initiale : 𝑥 = 2

𝑓 2 =2³

3− 2.2² + 3.2 + 1 =

8

3− 8 + 6 + 1 =

5

3

𝑃𝐼 𝑒𝑛 2;5

3 . Il s’agit du point A sur le graphique.


À toi de jouer…

Détermine le sens de concavité des fonctions suivantes :

𝑓1 𝑥 = 𝑥³ + 3𝑥² − 4

𝑓2 𝑥 = −3𝑥² + 4𝑥 + 5

𝑓3 𝑥 = −𝑥³ + 3𝑥² + 1

𝑓4 𝑥 = 𝑥 + 1 . (𝑥 − 1)³

𝑓5 𝑥 =𝑥² − 5𝑥 + 10

𝑥 − 2

𝑓6 𝑥 = 4𝑥4 − 6𝑥²


G. Étude complète d’une fonction On procède étape par étape :

1) Domaine de définition

Pour cela, on détermine les CE

2) Déterminer les intersections avec les axes :

Intersection avec l’axe x : 𝑓 𝑥 = 0

Intersection avec l’axe y : 𝑥 = 0

3) Équations des éventuelles asymptotes

AV ? lim𝑎 𝑓(𝑥) où 𝑎 ∉ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 mais lui est adhérent

Dans le cas de fonctions rationnelles, 2 cas possibles :

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

0 => Tableau de signes du dénominateur, limite à gauche

et à droite + conclusion : 𝐴𝑉 ≡ 𝑥 = 𝑎

0

0 => factorisation du numérateur et du dénominateur +

simplification + recalcul + conclusion : retour cas 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

0 ou

point creux 𝑎; 𝑓 𝑎

AH ou AO ? lim±∞ 𝑓(𝑥)

Règle : on ne considère que les termes de plus haut degré

Dans le cas de fonctions rationnelles :

𝑑°𝑁 < 𝑑°𝐷 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 0

𝑑°𝑁 = 𝑑°𝐷 => 𝐴𝐻 ≡ 𝑦 = 𝑏

𝑑°𝑁 = 𝑑°𝐷 + 1 => 𝐴𝑂 ≡ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏

Autres cas : /


4) Min/Max

On utilise la dérivée première et son tableau de signes.

5) Concavité

On utilise la dérivée seconde et son tableau de signes.

6) Graphique

On utilise le tableau récapitulatif :

Sur base des données calculées dans les étapes précédentes, on réalise le tracé.


Exemple : étudie la fonction 𝑓 𝑥 =𝑥³

(𝑥−1)²

1) CE : 𝑥 − 1 2 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 1

𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∶ 𝐼𝑅\ 1

2) Intersection avec les axes

Avec l’axe x : 𝑓 𝑥 = 0 𝑥3

𝑥−1 2 = 0 ↔ 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥 = 0

(0; 0)

Avec l’axe y : 𝑥 = 0 𝑓 0 =0³

(0−1)²= 0

(0; 0)

3) Asymptotes ?

AV ?

lim1 𝑓 𝑥 =1³

(1−1)²=

1

0 → 𝑐𝑎𝑠

𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒

0 → 𝑇𝑆 𝑑𝑢 𝑑é𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟

𝑥 1

(𝑥 − 1)² + 0 +

lim1−

𝑓 𝑥 =1³

(1 − 1)²=

1

0+= +∞

lim1+

𝑓 𝑥 =1³

(1 − 1)²=

1

0+= +∞

lim1 𝑓 𝑥 = +∞ 𝐴𝑉 ≡ 𝑥 = 1

AH ou AO ?

𝑑°𝑁 = 3

𝑑°𝐷 = 2 => 𝑑°𝑁 = 𝐷°𝐷 + 1 => 𝐴𝑂 => 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑛𝑒

x³ +0x² +0x +0 x²-2x+1

-x³ +2x² -x x+2

2x² -x

-2x² +4x -2

3x -2

𝐴𝑂 ≡ 𝑦 = 𝑥 + 2


4) 𝑓′ 𝑥 = 𝑥3

′. 𝑥−1 2−𝑥3 . 𝑥−1 2

′

𝑥−1 2 2=

3𝑥2 . 𝑥−1 2−𝑥3 .2. 𝑥−1 .1

𝑥−1 4=

𝑥2 . 𝑥−1 . 3. 𝑥−1 −2𝑥

𝑥−1 4=

𝑥2 . 𝑥−1 .(𝑥−3)

(𝑥−1)4=

𝑥2 .(𝑥−3)

(𝑥−1)3

Racines :

𝑥² = 0 ↔ 𝑥 = 0 𝑥 − 3 = 0 ↔ 𝑥 = 3 𝑥 − 1 2 = 0 ↔ 𝑥 = 1

TS :

𝑥 0 1 3

𝑥² + 0 + + + + + 𝑥 − 3 − − − − − 0 +

(𝑥 − 1)³ − − − 0 + + + 𝑓 ′(𝑥) + 0 + / − 0 + 𝑓(𝑥) 𝐴𝑉 𝑀𝐼𝑁

𝑥 = 3 𝑦 =3³

(3−1)²=

27

4

𝑀𝐼𝑁 (3;27

4)

5) 𝑓′′ 𝑥 = 𝑥2 . 𝑥−3

𝑥−1 3 ′

= 𝑥3−3𝑥2

𝑥−1 3 ′

= 𝑥3−3𝑥2

′. 𝑥−1 3− 𝑥3−3𝑥2 . 𝑥−1 3 ′

𝑥−1 3 ² =

3𝑥2−6𝑥 . 𝑥−1 3− 𝑥3−3𝑥2 .3. 𝑥−1 2 .1

(𝑥−1)6=

3𝑥 . 𝑥−1 2 . 𝑥−2 . 𝑥−1 − 𝑥2−3𝑥

(𝑥−1)6=

3𝑥 .(𝑥2−𝑥−2𝑥+2−𝑥2+3𝑥)

(𝑥−1)4=

6𝑥

(𝑥−1)4

Racines :

6𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 0 (𝑥 − 1)4 = 0 ↔ 𝑥 = 1

TS :

𝑥 0 1

6𝑥 − 0 + + + (𝑥 − 1)4 + + + 0 + 𝑓 ′′ (𝑥) − 0 + / + 𝑓(𝑥) 𝑃𝐼 𝐴𝑉

𝑥 = 0 𝑦 =0³

(0−1)²= 0

𝑃𝐼 (0; 0)


6) Graphique Tableau récapitulatif :

𝑥 0 1 3 𝑓 ′(𝑥) + 0 + / − 0 + 𝑓 ′′ (𝑥) − 0 + / + + + 𝑓(𝑥) ∩

↗

𝑃𝐼 ∪

↗

𝐴𝑉 ∪

↘

𝑀𝐼𝑁 ∪

↗

À toi de jouer…. Etudie les fonctions suivantes :

a. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2

b. 𝑓 𝑥 =2𝑥+4

3−𝑥

c. 𝑓 𝑥 =(𝑥+1)³

𝑥−1 ²

d. 𝑓 𝑥 =𝑥²−3𝑥+2

𝑥²

Dérivées et applications mai 2020

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