GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Séance de travaux pratiques # 2

Introduction aux systèmes de mesure et au traitement des résultats

Cette séance de travaux pratique se divise en deux parties. Dans un premier temps, un aperçu global des systèmes de mesure ainsi que de leurs principales caractéristiques vous seront présentés. Il est important de bien comprendre ces notions puisque vous aurez au cours de la session à manipuler des instruments de mesure dans le cadre de laboratoires pratiques. Dans la deuxième partie de ce document, il est montré comment présenter et traiter les résultats de mesure que vous aurez acquis lors de ces expérimentations. Quelques notions de statistiques élémentaires vous sont également présentées.

Introduction aux systèmes de mesure

Qu’est-ce qu’un système de mesure?

Selon le grand dictionnaire de la langue française (www.granddictionnaire.com) :

Ensemble complet d’instruments de mesure et autres dispositifs assemblés pour exécuter une tâche de mesurage spécifiée.

Représentation schématique des intrants et des extrants d’un système de mesure :

Les entrées peuvent être modifiées par deux types d’erreur :

- Les erreurs aléatoires (EA)

Ce sont des erreurs qui affectent aléatoirement la vraie valeur de la quantité mesurée mais qui n’ont aucun effet sur la moyenne des mesures pour une série de mesures statiques répétées. Le bruit et le parasitage en sont de bons exemples. L’erreur de mesure aléatoire est l’écart entre la moyenne calculée et la i ème

mesure prise:

1

Système de mesure

Entréesou

Mesurandes

Sortiesou

Mesures

Erreurs

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Où est la moyenne.

Pour des mesures X1, X2, …, XN, la moyenne des mesures est définie comme suit :

Plus N est grand et plus nous avons une chance d’obtenir une moyenne qui est représentative de la vraie valeur que nous voulons mesurer. Par conséquent, l’erreur de mesure aléatoire sera également plus facilement identifiable.

- Les erreurs systématiques (Es)

Ce sont des erreurs qui affectent également la vraie valeur de la quantité mesurée mais qui ont aussi un effet significatif sur la moyenne des mesures pour une série de mesures statiques répétées. Les erreurs de calibration en sont de bons exemples. Pour ce type d’erreur, nous devons connaître la vraie valeur de ce que nous voulons mesurer pour calculer son amplitude. L’erreur systématique est définie comme étant la différence entre la moyenne d’une série de mesures et la vraie valeur de la quantité mesurée :

Pour juger des performances d’un système de mesure, on étudie certaines de ses caractéristiques que nous pouvons diviser en deux catégories soient les caractéristiques statiques et les caractéristiques dynamiques.

Les caractéristiques statiques sont indépendantes du temps, c'est-à-dire qu’elles sont mesurées lorsque tout effet transitoire s’est estompé. Nous allons étudier certaines de ces caractéristiques.

1) Sensibilité

La sensibilité est définie comme étant le quotient de l’accroissement de la grandeur de sortie par l’accroissement correspondant de la grandeur d’entrée. En gros cela veut dire qu’un système est sensible si l’on constate une différence marquée pour la grandeur de sortie (Δy) suite à un changement au niveau de la grandeur d’entrée (Δx).

Pour un système linéaire, la sensibilité est définie par une constante k qui représente le ratio de l’augmentation de la grandeur de sortie sur l’augmentation de la grandeur d’entrée lorsque cette dernière tend vers zéro

Pour un système non linéaire, la sensibilité est également représentée par une constante k, mais la limite doit absolument être linéarisée autour d’un point x0.

2

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Exemple d’un système linéaire :

La figure ci-dessous montre la relation entre les données d’entrée et les données de sortie d’un système de mesure. Cette relation est linéaire et le plus petit accroissement possible des données d’entrée est égal à 1. Pour calculer la sensibilité de ce système nous utilisons la formule montrée ci-haut pour les systèmes linéaire.

2) Décalage de zéro

C’est la valeur d’entrée à laquelle correspond réellement le zéro de la valeur de sortie. Le décalage de zéro s’applique uniquement aux systèmes délivrant une valeur de sortie théoriquement nulle lorsque la valeur d’entrée est égale à zéro.

Décalage de zéro = x(0) @ y(0) = y0

3) Linéarité

Degré de concordance entre le diagramme d’étalonnage statique et une droite choisie comme référence.

Étalonnage statique

3

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Relevé des performances d’un système de mesure dans les conditions spécifiées suivantes : toutes les valeurs d’entrée (i.e. valeur réelle, erreur aléatoire et erreur systématique) sont maintenues constantes à l’exception de l’une d’entre elles.

Pour obtenir une mesure de la linéarité, nous pouvons calculer le coefficient de détermination R2. Ce coefficient indique que le modèle linéaire va englober un certain pourcentage de la variabilité des observations.

Dans Matlab, nous pouvons obtenir ce coefficient en utilisant la fonction « regress ».

Appel de la fonction :

[b,bint,r,rint,stats] = regress (y, xm);

Où xm = [ones(length(x)),x] (x doit avoir une colonne de 1 pour exécuter d’autres tests statistiques sinon la fonction retournera une erreur);x = données d’entrée;y = données de sortie.

On extrait R2 des résultats en utilisant cette commande :

R2 = stats(1,1)

4) Hystérésis

Plusieurs définitions de l’hystérésis existent dépendamment du domaine d’application. Dans le cas présent, c’est l'aptitude d'un appareil à donner la même indication lorsqu'on atteint une même valeur de la grandeur mesurée par valeurs croissantes ou par valeurs décroissantes.

Hystérésis d’un système de mesure1

1 http://perso.wanadoo.fr/daniel.robert9/Digit/images/Cycle_d_hysteresis_d_une_bascule_de_Schmitt.gif4

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Mis à part les systèmes de mesure, l’hystérésis caractérise également le comportement mécanique de certains matériaux comme les matériaux viscoélastiques. Le graphique ci-dessous montre la relation contrainte/étirement pour ce type de matériau. Dans ce cas, l’hystérésis est due au fait que ces matériaux dissipent de l’énergie lorsqu’ils sont chargés et conséquemment ils en ont moins à délivrer lorsque la pression est relâchée.

5) Répétabilité

La répétabilité c’est la marge de fluctuation de la grandeur de sortie lorsque la même valeur de la grandeur d’entrée est appliquée plusieurs fois successivement. L’exemple ci-dessous montre une mesure répétable et une mesure non répétable pour un signal d’entrée donné.

5

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

6) Résolution

C’est l’accroissement minimum de la grandeur d’entrée provoquant une modification de la grandeur de sortie.

6

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Exemple du pixel en imagerie :

Un pixel en imagerie correspond à la plus petite image possible correspondant à la mesure de la densité des structures comprises dans un carré de l’image entière.

7) Temps d’établissement

Temps nécessaire pour que l’écart entre la valeur instantanée et la valeur finale de la grandeur de sortie soit inférieur à une valeur spécifiée après l’application d’un signal en échelon à l’entrée.

Exemple :

Nous souhaitons que notre temps d’établissement corresponde à 99% de la vraie valeur de la quantité mesurée. Voici le signal obtenu par l’instrument de mesure :

8) Relaxation

Décalage temporel entre l’effet et la cause. La relaxation est caractérisée par une constante de temps (τ) qui correspond au temps requis pour que le terme exponentiel qui est responsable de la convergence du signal soit égal à e-1.

Exemple : Fluage et relaxation de contrainte

7

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

8

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Dans le cas de l’expérience de fluage, l’étirement (ε) correspond à l’expression suivante :

Où a et b sont des constantes.

La constante de temps τ pour ce type d’expérimentation correspond à 1/b.

Dans le cas de l’expérience de relaxation des contraintes, la contrainte (σ) correspond à l’expression suivante :

Où a et b sont des constantes.

La constante de temps τ pour ce type d’expérimentation correspond également à 1/b.

Les caractéristiques que nous venons d’aborder dicte le comportement statique (i.e. indépendant du temps) d’un système de mesure c’est pourquoi nous les appelons caractéristiques statiques. D’autre part, les caractéristiques dynamiques ont trait au comportement dynamique (i.e. dépendant du temps) du système. Ces caractéristiques ne seront pas explicitées dans ce document puisqu’ils ne rentrent pas dans les objectifs du cours.

Présentation et traitement des résultats  

Dans cette section, vous apprendrez à présenter et à traiter des résultats de mesure. Ces notions vous seront très utiles dans vos laboratoires pratiques.

La première question que vous devez vous poser lorsque vous mesurer une quantité est qu’est-ce que vous mesurez exactement. Est-ce une pression, une force, une vitesse, une température ou encore un voltage? Le fait de cibler la nature de la quantité mesurée peut parfois éviter bien des problèmes d’analyse.

9

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Deuxièmement, il est important de savoir si la quantité mesurée est statique ou dynamique? Si la mesure est statique, on peut prendre plusieurs mesures de la même quantité mesurée à des intervalles différents de temps en autant que les conditions d’expérimentation soient les mêmes. On reviendra un peu plus loin sur l’importance de prendre plusieurs mesures d’une même quantité statique ou dynamique. Si la quantité est dynamique, il faut tout d’abord savoir ce qui nous intéresse au niveau de la quantité mesurée. Sommes-nous intéressés à connaître le comportement général de la quantité mesurée en fonction du temps? Sommes-nous intéressés par la valeur maximale atteinte durant une série de mesures? Se poser ces questions nous aide à choisir les conditions d’acquisition des données. Puisqu’une mesure correspond à une valeur mesurée à un instant donné, il nous faut prendre une série de mesures à une certaine fréquence d’échantillonnage (correspond à l’inverse de la période d’échantillonnage ou l’inverse de l’intervalle de temps entre chaque mesure) pour pouvoir décrire le comportement dynamique de la quantité mesurée. Le choix de la fréquence et du temps d’échantillonnage requis dépend de la quantité mesurée. Une série de mesure dynamique peut être reprise plusieurs fois pour fins d’analyse, mais il est important que pour chacune de ces séries les conditions d’expérimentations et d’acquisition soient les mêmes.

Il y a trois façons de présenter un résultat.2 Utilisons un exemple pour présenter ces trois façons.

La résistivité d’un fil électrique se calcule à l’aide de la formule suivante :

Où R est la résistance du filA est l’aire de la section du fill est la longueur du fil

Pour calculer la valeur de ρ, nous pouvons :

1) Mesurer 1 fois R, l, A et calculer ρ.

Cette façon de présenter un résultat manque de crédibilité.2) Mesurer plusieurs fois R, l, A et obtenir une valeur moyenne de ρ.

Cette façon de présenter un résultat est nettement mieux que la précédente, mais le résultat est tout de même peu crédible.

3) À partir d’une série de mesures de R, l, A, calculer la valeur la plus probable de ρ ainsi qu’une marge Δρ dans laquelle la valeur réelle de la résistivité a une probabilité de se trouver.

Cette façon de présenter un résultat est tout à fait crédible.

2 Paratte, P.-A., Robert, P. (1986). Systèmes de mesure. Paris, France : Dunod. 10

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Un résultat de mesure devrait comporter les trois éléments suivants :

- La valeur la plus probable.- Une zone d’incertitude entourant la valeur la plus probable (i.e. la déviation

standard)- L’unité de mesure

Pour l’exemple de la résistivité, un résultat acceptable serait le suivant :

Principales représentations graphiques

Il est souvent plus commode de représenter graphiquement des résultats de mesure plutôt que de donner simplement une valeur numérique notamment pour les résultats de mesure dynamique. Un graphique peut nous donner beaucoup plus d’informations, et ce, de façon plus claire et plus concise. Nous allons voir maintenant les principales représentations graphiques utilisées pour présenter des résultats de mesure.

- Histogrammes et diagrammes à barres

Ces deux types de représentation graphique conviennent lorsque les données peuvent être répertoriées sous forme de classes ou d’ensembles. Un histogramme renferme des classes, représentées sur l’axe des ordonnées, pour lesquelles le nombre d’individus ou d’éléments qu’elles contiennent est affiché sur l’axe des abscisses. D’autre part, un diagramme à barre contient des classes pour lesquelles une certaine valeur d’une quantité mesurée est affichée sur l’axe des abscisses.

Exemple : Histogramme – Pyramides des âges3

3 Institut de la statistique du Québec. (25 octobre 2005). Population par année d'âge et par sexe, Québec, 1er juillet 2005. Consulté le 6 juin 2006 à http://www.stat.gouv.qc.ca/donstat/societe/demographie/struc_poplt/201_05.htm

11

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Exemple : Diagramme à barres – Module de cisaillement dynamique du ménisque4

- Nuages de points (Appelé aussi diagramme de dispersion)

4 Mow, VC et Huiskes, RL. (2005). Basic Orthopaedic Biomechanics And Mechano-Biology (3ème édition). Philadelphia, PA: Lippincott Williams & Wilkins.

12

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Les graphiques de type nuage de points sont utilisés pour identifier des dépendances entre des variables distinctes représentées sur chacun des axes du graphique. Chaque point représente une mesure et constitue une partie du nuage. Pour identifier la nature des relations entre les variables nous pouvons utiliser des méthodes de régression accessibles dans Matlab. Pour afficher des courbes de régression sur un graphique, appuyez sur tools  dans la barre d’outils de votre fenêtre graphique et ensuite sur basic fitting. Vous aurez le choix entre divers type de courbes de régression et également entre diverses options d’affichage. Entre autres, vous pourrez afficher sur votre graphique l’équation de la courbe de régression que vous aurez sélectionnée. Pour vérifier si le type de courbe de régression choisie correspond adéquatement à votre nuage de points, vous pouvez afficher graphiquement les résidus de la régression (i.e. l’écart entre la mesure et la régression). Si les résidus semblent osciller autour de zéro à tout moment, vous avez probablement sélectionné une courbe de régression appropriée pour votre nuage de points. Si au contraire vous avez un endroit sur votre courbe de résidus dont la moyenne ne s’approche pas de zéro vous n’avez pas sélectionné une courbe de régression appropriée pour votre nuage de point.

Le graphique ci-dessous montre un exemple de graphique de type nuage de points. Des courbes de régression linéaire et quadratique ont été ajoutées pour déterminer la nature de la corrélation entre les deux variables. Les équations de la courbe de régression sont également affichées sur le graphique en dessous de la légende.

Les résidus des deux courbes de régression affichées ci-haut sont montrés dans le graphique ci-dessous. On constate de ce graphique que la courbe de régression linéaire n’est pas appropriée pour décrire la dépendance entre les variables 1 et 2

13

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

puisque les résidus de cette courbe de régression n’oscillent pas autour de zéro entre les points 1 et 6 de la variable 1. La courbe de régression quadratique donne de bien meilleurs résultats puisque les résidus semblent bel et bien oscillés autour de zéro tout au long de la courbe.

- Courbes

Les courbes sont en fait des ensembles de points reliés par des segments de droite. Nous utilisons les courbes pour bien des raisons comme par exemple lorsque nous voulons illustrer des comportements dynamiques, caractériser des tendances ou bien comparer des résultats provenant d’un même ensemble ou d’ensembles différents. Si nous revenons à l’exemple précédent où nous avons affiché les résidus des courbes de régression, ces résidus étaient représentés par des courbes. Il était utile dans ce cas de représenter les résidus par des courbes puisque nous voulions savoir s’ils oscillaient autour de zéro pour déterminer si la courbe de régression était appropriée ou non. Un autre exemple où cette fois nous voulons illustrer à la fois des comportements dynamiques et observer des tendances caractéristiques entre différents éléments [sujets] est montré graphiquement ci-dessous.

Dans cet exemple, les courbes de trois sujets représentant la force articulaire à la hanche sont montrées. Cette représentation graphique nous permet facilement de constater une différence marquée au niveau du premier pic atteint entre les forces articulaires du sujet arthrosique comparativement aux deux autres sujets. Une

14

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

représentation graphique du type nuage de points ne nous permettrait pas aussi facilement de visualiser cette différence.

Toutes les représentations graphiques devraient comporter un titre, des titres pour les axes avec l’unité de mesure utilisée, des échelles appropriées (graduation des axes) et une légende s’il y a plus d’un ensemble qui y est représenté.

Statistiques

Pour bien présenter des résultats, il faut généralement compiler des statistiques qui ajoutent à la crédibilité du résultat et qui permettent d’en analyser la validité. Il est présenté dans cette section du document les principales notions de statistiques utilisées dans le traitement de résultats de mesure.

- Moyenne

La moyenne ( ) correspond à la somme des éléments (xi) d’un ensemble divisée par le nombre total d’éléments (N) :

Dans Matlab, la commande mean(x) calcule la moyenne des éléments d’un vecteur x.

15

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

- Médiane

La médiane correspond à la valeur de l’élément se trouvant au milieu d’un ensemble. Si la taille de l’ensemble est impaire, la médiane (xm) se calcule en utilisant cette formule :

D’autre part, si la taille de l’ensemble est paire, la médiane se calcule de cette façon :

Dans Matlab, la commande median(x) calcule la médiane des éléments d’un vecteur x.

Il est parfois plus important de connaître la médiane que la moyenne, notamment lorsque des valeurs erronées viennent corrompre l’échantillon. Dans ces cas là, la moyenne sera faussée par les valeurs erronées tandis que la médiane sera plus représentative de l’échantillon. Le graphique ci-dessous illustre une de ces situations.

Dans ce cas, les valeurs erronées étaient dues à des erreurs de manipulations (i.e. mauvais positionnement de la masse sur le capteur).

- Variance

16

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

La variance est une mesure de la dispersion des données par rapport à la moyenne d’un échantillon donné. La variance (σ2) est calculée comme suit :

Dans Matlab, la commande var(x) calcule la variance des éléments d’un vecteur x.

- Écart-type

Tout comme la variance, l’écart-type est une mesure de la dispersion des données. En fait, par définition, l’écart-type (σ) est la racine carrée de la variance (σ2) et est donc exprimée mathématiquement par l’expression suivante :

Dans Matlab, la commande std(x) calcule l’écart-type des éléments d’un vecteur x.

L’écart-type est grandement utilisée comme mesure de la dispersion. Toutefois, puisque l’écart-type est calculé à partir de la moyenne, lorsque la moyenne est affectée par des valeurs erronées, l’écart-type s’en trouve également affecté.

Présentation des statistiques

Nous avons vu précédemment comment inclure les statistiques dans la présentation des résultats de mesures scalaires. Nous allons maintenant nous concentrer sur la présentation des statistiques dans les représentations graphiques. Pour toutes les représentations graphiques mentionnées ci-haut (histogrammes, diagrammes à barres, nuages de points et courbes), vous devez généralement présenter la moyenne des résultats si vous avez effectué plusieurs mesures dans des conditions d’expérimentation similaires. Si ce n’est pas le cas, vous pouvez afficher tous vos résultats ou seulement en afficher une partie sur un ou plusieurs graphiques. L’écart-type doit y être présenté si sa signification est importante. Dépendamment du type de représentation graphique, il est suggéré de présenter l’écart-type de façon différente. Pour les histogrammes et les diagrammes à barres, les barres d’erreur sont généralement utilisées comme le démontre le graphique ci-dessous.

Dans Matlab, vous pouvez afficher directement ces barres d’erreur à l’aide de la fonction suivante :

holderrorbar(x,sd)

Où x et sd sont respectivement le vecteur contenant les résultats de mesure et la déviation standard associée avec chaque mesure.

17

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Les barres d’erreur sont également utilisées pour les représentations graphiques de type nuage de points.

Pour les courbes, il est préférable d’utiliser d’autres courbes en trait pointillé pour représenter l’écart-type. Cela a pour avantage d’alléger l’affichage graphique. Dans Matlab, vous devez dans ce cas tracer deux autres courbes en additionnant et en

18

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

soustrayant du vecteur de mesure les déviations standards et en spécifiant les options d’affichage appropriées.

Filtrage

Pourquoi filtrer des signaux? Les signaux acquis lors d’acquisitions expérimentales sont souvent accompagnés de bruit et de parasites. Le filtrage est une opération qui consiste à enrayer ce bruit ou ces parasites. Il existe plusieurs techniques de filtrage, mais nous allons nous concentrer ici sur une d’entre elles soit la technique du filtre Butterworth.

Le filtre de Butterworth est un filtre de type linéaire. Sa fonction de transfert exprimée dans le domaine fréquentiel est construite de façon à laisser passer les basses fréquences et à éliminer les hautes fréquences. La fréquence de transition entre les fréquences enlevées et les fréquences gardées intactes s’appelle fréquence de coupure. La détermination de cette fréquence dépend de l’utilisateur. Nous allons suggérer ici une façon de procéder pour déterminer la valeur de la fréquence de coupure en nous basant sur la racine carrée moyenne de l’erreur (root mean square error en anglais). Cette dernière est définie comme suit :

Où Sfiltré et Snon-filtré sont respectivement les signaux filtrés et non-filtrés et N est la taille du signal. Dans Matlab, le signal filtré par la méthode de Butterworth s’obtient en utilisant la fonction suivante :

[b,a] = butter(n,wn);

19

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

[Sfiltré] = filtfilt(b,a,Snon-filtré);

La première function, butter, retourne les paramètres b et a qui caractérise la fonction de transfert du filtre de Butterworth. Pour les obtenir, il faut entrer l’ordre du filtre de Butterworth désiré (n = 3 est généralement suffisant) et la fréquence de coupure normalisée (wn = fcoupure/(1/2*féchantillonnage)). La deuxième fonction, filtfilt, filtre le signal dans les deux directions en utilisant les paramètres b et a de la fonction de transfert du filtre de Butterworth. Le fait de filtrer dans les deux directions a pour avantage d’annuler le décalage produit par le déphasage de la méthode de filtrage.

Lorsque l’on ne connaît pas la fréquence de coupure, on remplace la valeur de la fréquence de coupure dans le terme wn par des basses fréquences allant de ~1 Hz à ~1/4* fréquence d’échantillonnage. On calcule alors le RMSE pour chacune des fréquences testées et on illustre les résultats graphiquement comme montré ci-dessous.

Pour trouver la fréquence de coupure, on trace deux lignes correspondant à peu près aux asymptotes que décrivent les basses et les hautes fréquences. Ensuite, au point d’intersection de ces deux lignes on trace une ligne parallèle à l’axe des x jusqu’à la courbe. La fréquence correspondant à l’intersection entre cette droite et la courbe est définie comme étant la fréquence de coupure du filtre. On doit alors refiltrer le signal en utilisant cette fois la valeur obtenue pour la fréquence de coupure en l’insérant dans le terme wn. La figure ci-dessous montre la comparaison entre le signal filtré et celui non-filtré.

20

GTS 504 Introduction à l’ingénierie de la réadaptation Automne 2006

Références :

Paratte, P.-A. et Robert, P. (1986). Systèmes de mesure. Paris, France : Dunod.

Domholdt E. (2005). Rehabilitation Research : Principles and Applications. (3ème edition). St-Louis, MO: Elsevier Saunders.

Woolson, R.F. et Clarke W.R. (2002). Statistical Methods for the Analysis of Biomedical Data. (2ème edition). New York, NY: John Wiley & Sons.

21