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연속확률분포

Continuous Distribution

학습 내용

기본 개념

일양분포

정규분포

지수분포

류문찬([email protected])

연속확률분포

연속확률변수(continuous random variable )

실수(셀 수 없는; uncountable) 값들을 가질 수 있는 확률변수

특정한 값이 발생할 확률은 0이다.

연속확률변수가 가질 수 있는 값은 무한개

가질 수 있는 값을 나열할 수도 없다.

따라서 연속확률변수의 확률분포는 이산확률변수와 같은 방법으로 확률분포를 나타낼 수 없다.

확률은 구간(interval)에 대해서만 정의될 수 있다.

예

주사위 1개를 던지는 실험에서 P(X=5)=1/6

P(X=특정 학생이 정확히 10분 늦게 입실)은 무한히 작기 때문에 의미가 없고 P(9분 ≤ X ≤ 10분) 와 같이 어떤 구간에 있을 확률만이 의미를 가진다.


0.01

0.05

0.08

0.12

0.20

0.27

0.15

0.07

0.04 0.01

106 108 110 122 120 112 118 116 114 124

확률밀도함수


Probability is area

under curve! dxXfdXcP

d

c )()(

f(x)

x c d

확률밀도함수 …

probability density function(pdf)

모든 x에 대하여 f(x) ≥ 0

f(x) 아래의 총면적은 1이다.


일양분포(uniform distribution)


확률밀도함수와 모양

f(x)

x b a

area = width x height = (b – a) x = 1


𝑓 𝑥 =1

𝑏 − 𝑎, where 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

정규분포(normal distribution)

통계적 추론에서 핵심적인 분포- 중심극한정리

종 모양이며 좌우대칭

mean = median = mode

- < 확률변수 < +

Mean

Median

Mode


확률밀도함수(probability density function)

E(X) =

V(X) = 2

xxf

x

,e2

1)(

2

2

1

X~N(,2)

= 3.14159; e = 2.71828


정규분포의 모양

”평균이 커지면 곡선이 오른쪽으로 이동한다…”


정규분포의 모양 …

” 표준편차가 커지면 곡선이 더 낮고 넓어진다…”


정규분포 확률

c dX

f(X)

?)()( dxxfdXcPd

c

Probability is

area under

curve!


X

f(X)

Normal distributions differ by mean & standard deviation.

That is an infinite number!

Each distribution would require its own table.

Infinite Number of Tables


표준정규분포

2

2

1

2

1)(

z

ez

0 z

2

2

1

e2

1)(

x

xf

μ x

σ

Z~N(0,1) X~N(,2) μ=0, σ=1


표준정규분포표

)(

)()(

tZP

dzzt

t

누적분포함수

0 z

t

Z~N(0,1)

z .00 .01 .02 .03 ...

-3.0 .0013 .0013 .0013 .0012

-2.9 .0019 .0018 .0018 .0017

-2.8 .0026 .0025 .0024 .0023

...


표준정규분포표

0 z

P(Z>t)

t 0

P(0<Z<t)

t 0

P(Z<t)

t 0


표준정규분포표 이용

z ... .00 .01 .02 .03 ...

.0 ... .5000 .5040 .5080 .5120

.1 ... .5398 .5438 .5478 .5517

.2 ... .5793 .5832 .5871 .5910

... ...

Z~N(0,1) (a) P(Z<0.12)

(b) P(-0.12<Z<0.12)

(c) P(Z>0.12)


ZX

X~N(,2)

표준화(Standardize)

X

One table!

= 0

= 1

Z

2

2

2

1)(

z

ez

Z~N(0,1)

2)(2

1

2

1)(

x

exf


μ b

x

a 0 a-

b-

z

X~N(,2)

ZX

Z~N(0,1)

확률 계산


X~N(5,102) P(5<X<6.2)=?

표준화 - 예


예 : P(3.8 X 5)


예 : P(2.9 X 7.1)


예 : P(X 8)


예 : P(7.1 X 8)


Z 값 구하기

z .00 .01 .02 .03

.0 .5000 .5040 .5080 .5120

.1 .5398 .5438 .5478 .5517

.2 .5793 .5832 .5871 .5910

.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .31 Z 0

1 .1217 표준정규분포표(일부)

P(Z<a) = .6217 인 a?


Z값 구하기

P(Z<a) = 0.90

P(-a<Z<a) = 0.99

P(Z>a)=0.05

Z


Excel 함수

누적 확률

P(Z<a) = norm.s.dist(a) / normsdist(a)

Ex : norm.s.dist(1.0)=0.8413

z값

P(Z<a)=p인 a=norm.s.inv(p) / normsinv(p)

Ex : norm.s.inv(0.8413)=1.0

a z


지수분포(Exponential Distribution)


지수분포 함수

확률밀도함수

평균과 표준편차

0,)( xexf x

1,

1

확률

x

f(x)

a

aeaXP 1)(

aeaXP )(


Excel 함수

P(X<a) = expon.dist(a, , true)


포아송분포와 지수분포

일정 기간중 도착회수 :

Poisson분포

도착간 시간:

지수분포

권오진 피부과에는 환자가 시간당 6명꼴로 포아송분포를 따르며 찾아 온다.

권오진 피부과에는 환자가 평균 10분에 한명 꼴로 지수분포를 따르며 찾아온다


예제

최용철 치과의원에서는 환자 1명당 진료시간이 평균 10분인 지수분포를 따른다고 한다.

1) 진료시간이 20분 이상 소요되는 환자의 비율은?

2) 한시간 동안 1명을 진료하게 될 확률은?


무기억성(memoryless property)

P(X>a+b|X>b)=P(X>a)

0 b a+b


응용

queueing theory(대기행렬 이론)

See p.304

reliability(신뢰도)


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