Dimensionnement Structure en Treillis

Dimensionnement desstructures

Antoine Legay

Maître de conférence

2012-2013

Cnam-Paris

Table des matières

I Sollicitations simples sur les poutres • • • • • • • • • • • • • • • • 1I.1 Hypothèses de poutre 1

I.2 Poutre dans son environnement 3

I.3 Torseur de cohésion 4

I.3.1 Définition 4

I.3.2 Détermination 4

I.3.3 Classification des sollicitations 5

I.4 Traction 6

I.4.1 Torseur de cohésion 6

I.4.2 Contrainte normale 6

I.4.3 Allongement et déformations 7

I.4.4 Relation contrainte-déformation 7

I.4.5 Déplacement 8

I.4.6 Relation entre effort normal et chargement 8

I.5 Torsion 9


I.5.2 Moment quadratique polaire de la section 10

I.5.3 Contrainte tangentielle 10

I.5.4 Déformation et rotation des sections 11


I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement 12

I.6 Flexion 12


I.6.2 Moment quadratique de section 13

I.6.3 Contrainte normale 14

I.6.4 Déplacement 15


ii

I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement 16

II Calcul de treillis • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 19II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement 19

II.1.1 Hypothèses sur les liaisons 19

II.1.2 Règles de construction d’un treillis 20

II.1.3 Critère de dimensionnement 22

II.2 Méthode des nœuds 22

II.3 Flambage des poutres droites 22

II.3.1 Introduction 22

II.3.2 Charge critique de flambage 23

II.3.3 Critère de dimensionnement 25

II.3.4 Autres conditions aux limites 25

III Contraintes et déformations • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 27III.1 Introduction 27

III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 28

III.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations 30

III.2.2 Théorème de superposition 31

III.3 Problème plan 31

III.3.1 Hypothèses 31

III.3.2 Etat de contraintes planes 32

III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y 33

III.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y 35

III.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné avec x et y 36

III.3.6 Directions principales 36

III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes 37

IV Critères de dimensionnement • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 41IV.1 Objectifs 41

IV.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca 41

IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 43

IV.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises 44

IV.5 Fatigue des matériaux 44

V Initiation au calcul éléments finis • • • • • • • • • • • • • • • • • 47V.1 Etude de l’élément de barre 47

V.1.1 Equilibre de l’élément barre 47

V.1.2 Exemple d’application 49

V.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis 49

V.2 Etude de deux barres 49

V.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires 49

V.2.2 Mise en œuvre pratique 51

V.3 Elément barre pour le calcul des treillis 52

V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques 54

VI Moyens expérimentaux • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 57VI.1 Jauges de déformation 57

VI.1.1 Principe 57

VI.1.2 Pont de Wheatstone 58

iii

VI.1.3 Utilisation du boitier 60

VI.1.4 Différents montages 60

VI.1.5 Capteurs à jauges 62

VI.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o62

VI.2 Photoélasticité 63

VI.2.1 Principes 63

VI.2.2 Mise en équation 66

VI.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques 68

I — Sollicitations simples sur les poutres

I.1 Hypothèses de poutre

Hypothèses géométrique

La figure I.1 montre un assemblage de poutres permettant de construire une charpente

métallique. Une poutre est un solide dont une dimension est plus grande que les 2 autres.

Figure I.1 – Charpente constituée d’un assemblage de poutres

D’un point de vue plus géométrique, une poutre Ω est un solide engendré par une surface

plane Σ appelée section droite constante ou légèrement variable dont le plan reste ortogonal

à une courbe Γ de grand rayon appelée ligne moyenne décrite par le centre de surface OΣ

de la section droite Σ (Fig. I.2). La plus grande dimension transversale est petite devant la

longueur de la fibre moyenne (rapport de 5 à 10 au moins).

Dans le cadre de ce cours, on ne s’intéresse qu’aux poutres droites, c’est à dire celles

dont la ligne moyenne est une droite. De plus, dans la majorité des cas, on ne prend que

des sections constantes.

2 Sollicitations simples sur les poutres

Σ

Σ −→MOΣ

OΣ

−→s

Ω1

Ω1

Ω2

Figure I.2 – Modèle de poutre et coupure fictive en deux parties.

≈

F

σ

F2

F2

σ

Figure I.3 – Principe de Saint-Venant.

Hypothèses sur le matériau

On suppose que le matériau est :

– homogène : les propriétés sont les mêmes en tout point,

– isotrope : les propriétés sont les mêmes dans toutes les directions, ce qui n’est pas le

cas d’un matériau composite,

– continu : le matériau ne contient pas d’aspérités, il y a continuité de la matière.

Hypothèses sur les déformations et les déplacements

On suppose que les déformations sont petites et restent dans le domaine élastique. De plus

le déplacement est aussi considéré petit devant la taille de la poutre, cela permet de faire

tous les calculs sur la configuration initiale et non déformée de la poutre.

Hypothèses sur le chargement

Le chargement est appliqué progressivement, on néglige les effets d’inertie et on ne s’intéresse

qu’à la configuration finale statique.

Principe de Saint-Venant

Les contraintes et les déformations dans une région éloignée du point d’application des

efforts ne dépendent que du torseur des efforts de cohésion au point considéré (Fig. I.3).

I.2 Poutre dans son environnement 3

Figure I.4 – Hypothèse de Bernoulli.

−→y

A1

−→xB1 B2 An Bm

Figure I.5 – Poutre dans son environnement.

Autrement dit, la façon dont on applique le chargement n’a pas d’influence loin de

l’application de la charge.

Hypothèse de Bernoulli

Une section de la poutre initialement plane et perpendiculaire à la ligne moyenne reste plane

et perpendiculaire à la ligne moyenne après déformation (Fig. I.4).

I.2 Poutre dans son environnement

La poutre dans son environnement subit des actions mécaniques extérieures (Fig. I.5). Ces

actions sont partagées en deux groupes : actions des liaisons et actions des efforts extérieurs.

– La poutre est en liaison avec l’extérieur aux points Ai :

– torseurs des actions mécaniques notés

LAi

→ ces actions sont inconnues

– Les efforts extérieurs sont appliqués aux points Bi

– torseurs des actions mécaniques notés

∆Bi

→ ces actions sont connues

Dans le plan (−→x , −→y ), les liaisons classiquement rencontrées sont :

– encastrement : −→x−→y

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 Mz

– articulation : −→x−→y

L

=

Fx Mx

Fy 0

0 0

– appui simple :−→x

−→y

L

=

0 Mx

Fy 0

0 0


Ω1

OΣ

Σ

−→T(M, −→n )

−→nOΣ

Figure I.6 – Vecteur contrainte.

I.3 Torseur de cohésion

I.3.1 Définition

Une poutre Ω est coupée en deux parties par une section fictive Σ de centre de section

OΣ (Fig. I.2). Le torseur de cohésion est le torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1 à

travers la surface Σ exprimé en OΣ.

L’action surfacique de Ω2 sur Ω1 à travers la surface Σ est une force surfacique appelée

"vecteur contrainte" pour la direction normale −→n à Σ ; cette action surfacique est notée−→T(M, −→n ) (Fig. I.6). Le torseur de cohésion est la somme sur la surface Σ de

−→T(M, −→n ) où

−→n est le vecteur tangent à l’axe de la poutre en OΣ.

La résultante vaut :−→s =

∫∫

Σ

−→T (M, −→n )dΣ.

Le moment au point OΣ de Σ vaut :

−→MOΣ=

∫∫

Σ

−−−→OΣM ∧ −→

T(M, −→n )dΣ.

Finalement le torseur de cohésion en OΣ vaut :

KOΣ

=

−→s−→MOΣ

OΣ

I.3.2 Détermination

La détermination du torseur de cohésion se fait en écrivant l’équilibre de Ω1 ou de Ω2. On

utilise les notations suivantes :L

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la poutre Ω provenant des liaisons,

∆

: torseur des actions mécaniques connues sur la poutre Ω,

L → 1

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω1,

∆ → 1

: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω1,

L → 2

: torseur des actions mécaniques inconnues sur la partie Ω2,

∆ → 2

: torseur des actions mécaniques connues sur la partie Ω2,

2 → 1

=

KOΣ

: torseur des actions mécaniques de Ω2 sur Ω1, c’est à dire le torseur

de cohésion.

L’équilibre de la poutre s’écrit

L

+

∆

=

0

.

I.3 Torseur de cohésion 5

−→x −→x −→xN Mt Mfz

TyTorsion FlexionTraction

Figure I.7 – Différentes sollicitations pour les poutres.

Ceci permet de déterminer le torseur inconnu

L

dans le cas ou le problème est isostatique.

L’équilibre de la partie Ω1 s’écrit

L → 1

+

∆ → 1

+

2 → 1

=

0

où

2 → 1

est le torseur de cohésion

KOΣ

. On en déduit que le torseur de cohésion vaut

KOΣ

= −

L → 1

−

∆ → 1

.

L’équilibre de la partie Ω2 s’écrit

L → 2

+

∆ → 2

+

1 → 2

=

0

où

1 → 2

= −

2 → 1

= −

KOΣ

d’après le théorème des actions mutuelles. On en

déduit que le torseur de cohésion vaut

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

.

I.3.3 Classification des sollicitations

Dans le cas d’une poutre droite, on utilise habituellement le repère orthonormé (−→x , −→y , −→z )

où −→x est suivant la ligne moyenne et les vecteurs −→y et −→z sont dans les directions transver-

sales. Dans ce repère, le torseur de cohésion vaut

KOΣ

=

N Mt

Ty Mfy

Tz Mfz

OΣ

où

– N est l’effort normal,

– Ty est l’effort tranchant suivant −→y ,

– Tz est l’effort tranchant suivant −→z ,

– Mt est le moment de torsion,

– Mfyest le moment de flexion autour de −→y (flexion dans le plan (−→x , −→z )),

– Mfzest le moment de flexion autour de −→z (flexion dans le plan (−→x , −→y )).

La figure I.7 présente graphiquement ces différents cas. Les sollicitations simples étudiées

dans la suite du cours sont répertoriées dans le tableau I.1. Un résumé récapitulant les

formules à savoir est présenté dans le tableau I.2.


Traction Torsion Flexion pure Flexion simple

(plan (−→x , −→y )) (plan (−→x , −→y ))

KOΣ

=

N 0

0 0

0 0

OΣ

0 Mt

0 0

0 0

OΣ

0 0

0 0

0 Mfz

OΣ

0 0

Ty 0

0 Mfz

OΣ

Tableau I.1 – Sollicitations simples.

−→x

OΣ

Σ

A

lΣ

−→x

σ−→xOΣ

−→y−→z O O

−→y−→z

−F−→x

F−→x

Figure I.8 – Poutre en traction.

I.4 Traction

I.4.1 Torseur de cohésion

On suppose une poutre d’axe −→x soumise à un chargement de traction : F−→x à l’extremité

droite en A et −F−→x à l’extrémité gauche en O (Fig. I.8). L’aire de la section est notée S.

En appliquant la formule suivante pour calculer le torseur de cohésion,

KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

avec

L → 2

=

0

et

∆ → 2

=

F−→x |−→0

OΣ

on a

KOΣ

=

F−→x |−→0

OΣ

donc l’effort normal N vaut ici F .

I.4.2 Contrainte normale

On suppose que le vecteur contrainte dans une section de la poutre (perpendiculaire à la

ligne moyenne) est porté par −→x et qu’il est uniforme sur toute la surface Σ. On note le

vecteur contrainte σ−→x ou σ est la contrainte normale de traction.

Le torseur de cohésion en OΣ centre de la section Σ vaut :

TOΣ

=

−→s−→MOΣ

OΣ

I.4 Traction 7

avec−→s =

∫∫

Σσ−→x dΣ = σS−→x

et−→MOΣ

=

∫∫

Σ(y−→y + z−→z ) ∧ σ−→x dΣ =

−→0

car y et z sont des fonctions impaires intégrées sur des intervalles symétriques. Finalement :

TOΣ

=

N−→x−→0

OΣ

où N est l’effort normal qui vaut N = σS ou encore

σ =N

S.

On parle de traction lorsque N et σ sont positifs, on parle de compression quand N et

σ sont négatifs.

I.4.3 Allongement et déformations

Lorsque la poutre est soumise à de la traction, le matériau étant déformable, elle s’allonge.

Cet allongement, noté ∆l, a une unité (millimètre ou mètre). La valeur de ∆l, pour un

même matériau et une même section S, dépend de la longueur l. Afin de pouvoir comparer

les résultats entre eux, on préfère utiliser une grandeur adimensionnée que l’on note ǫ et qui

vaut

ǫ =∆l

l.

On appelle ǫ l’allongement axial unitaire.

La déformation axiale entraine pour la plus part des matériaux des déformations dans

les directions transversales −→y et −→z notées ǫy et ǫz. Elles valent

ǫy = ǫz = −νǫ.

Le coefficient ν est appellé coefficient de Poisson, il caractérise le rétrécissement transversal

d’une poutre sollicitée en traction. Ce coefficient a été caractérisé par Siméon Denis Poisson

(français, 1781-1840).

I.4.4 Relation contrainte-déformation

Les essais montrent que ǫ et σ sont proportionnels et obéissent à la loi

σ = Eǫ

dans le domaine élastique du matériau (voir aussi la figure IV.1 dans la partie sur le critère

de Tresca). Cette constante E ne dépend que du matériau, c’est le module de Young ou

module d’élasticité longitudinal. Ce module a été caractérisé par Thomas Young (anglais,

1773-1829).

Son unité est le Pascal.


u(x)

x

u(x + δx)

x + δx

δx

u(x + δx) − u(x) + δx

Figure I.9 – Déformation d’un tronçon de poutre en traction

I.4.5 Déplacement

La section fictive Σ située à l’abscisse x (−−→OOΣ = x−→x ) se déplace dans la direction axiale −→x

d’un vecteur u(x)−→x . Autrement dit, le vecteur u(x)−→x est le vecteur déplacement du point

OΣ.

On montre qu’il existe une relation entre ǫ et u(x) donnée par

ǫ =du(x)

dx.

Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x+δx (Fig. I.9).

L’extrémité de gauche se déplace d’une valeur u(x), la section de droite se déplace d’une valeur u(x + δx).

La longueur finale du tronçon est u(x+δx)−u(x)+δx, son allongement est u(x+δx)−u(x). La déformation

du tronçon est alors

ǫ =u(x + δx) − u(x)

δx

En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :

limδx→0

u(x + δx) − u(x)

δx=

du(x)

dx

On a bien

ǫ =du(x)

dx

La déformation est la dérivée du déplacement par rapport à x.

En remplaçant ǫ par son expression en fonction de σ, puis de N , on a

ǫ =σ

E=

N

ES,

soit la relation entre le déplacement et l’effort normal

du(x)

dx=

N(x)

ES(x).

I.4.6 Relation entre effort normal et chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort axial linéique p−→x . Par

exemple, pour une poutre verticale où l’axe −→x est vers le bas, cette force linéique vaut

p = ρgS

I.5 Torsion 9

x x + δx

δx

N(x + δx)−N(x) p

Figure I.10 – Equilibre d’un tronçon de poutre en traction

où ρ est la densité du matériau conposant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la

section de la poutre.

Dans ce tronçon, on montre que l’on a la relation suivante entre l’effort normal et la

charge linéique :dN

dx+ p = 0.

Preuve On isole un petit tronçon de poutre de longueur δx compris entre les abscisses x et x + δx (Fig.

I.10). L’extrémité de gauche subit la force −N(x) car la matière est à droite et, par convention, l’effort

normal est l’action de la partie de droite sur la partie de gauche (en supposant que l’axe positif soit vers la

droite). L’extrémité de droite subit la force N(x+δx). Le tronçon subit la force linéique p, soit la résultante

pδx. L’équilibre du tronçon s’écrit

−N(x) + N(x + δx) + pδx = 0

soit en divisant par δx

N(x + δx) − N(x)

δx+ p = 0

En faisant tendre δx vers 0, on obtient exactement la définition de la dérivée :

limδx→0

N(x + δx) − N(x)

δx=

dN(x)

dx

On a biendN(x)

dx+ p = 0

I.5 Torsion


On suppose une poutre de section circulaire d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O

et soumise à un moment C−→x à son extrémité droite A (figure I.11).


KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

avec

L → 2

=

0

et

∆ → 2

=−→

0 | C−→x

OΣ

on a

KOΣ

=−→

0 | C−→x

OΣ

donc le moment de torsion Mt vaut ici C.


O−→x

−→z

−→eθ

M

θ−→er

−→y

Σ

C−→xr

M ′γ

−→y

Σ

−→er

τ

−→z

−→eθ

α

Figure I.11 – Poutre sollicitée en torsion.

I.5.2 Moment quadratique polaire de la section

Le moment quadratique polaire de la section d’abscisse x est noté I0(x). Il peut dépendre

de x si la section de la poutre varie, son expression est :

I0(x) =

∫ ∫

S(x)r2dS

Pour une section circulaire de rayon R (diamètre D = 2R), le calcul est le suivant :

I0 =

∫ r=R

r=0

∫ θ=2π

θ=0r2(r dθ dr) = 2π

R4

4= π

D4

32

Pour une section circulaire creuse de diamètre extérieur De et de diamètre intérieur Di,

le moment quadratique polaire vaut

I0 =π

32

(D4

e − D4i

).

I.5.3 Contrainte tangentielle

On utilise le repère cylindrique (−→er , −→eθ , −→x ) pour repérer un point M de la poutre, ainsi−−→OM = x−→x + r−→e r. Le vecteur contrainte au point M appartenant à une section de la

poutre et pour la direction axiale −→x est porté par −→eθ et qu’il est proportionel à r :

−→T (M, −→x ) = τ−→eθ

On peut montrer que la contrainte tangentielle en un point M de la poutre vaut :

τ(x, r) =Mt(x)

I0(x)r

où I0(x) est le moment quadratique polaire en OΣ de la section.

Preuve On suppose que la répartition de contrainte tangentielle τ est proportionnelle à r :

τ (x, r) = τmaxr

R

où τmax est la valeur de la contrainte sur la peau de la poutre et R est la rayon de la poutre. Le moment

du torseur de cohésion−→MOΣ

vaut

−→MOΣ

=

∫ ∫

Σ

−−−→OΣM ∧

−→T(M, −→n ) dΣ

I.5 Torsion 11

−→z

−→y

x x + δx

δx

r

α(x + δx) − α(x)

δx

γ(x)

a

α(x)

γ(x)

α(x + δx)

a

r

Figure I.12 – Déformation et rotation des sections

soit ici−→MOΣ

=

∫∫

Σ

r−→er ∧ τmaxr

R−→eθ dΣ =

τmax

R

∫ ∫

Σ

r2dΣ−→x =

τmax

RI0Σ−→x

Donc on a

Mt =I0

Rτmax

soit aussi

τmax =R

I0

Mt

En remplaçant dans l’expression de τ , on a bien le résultat attendu. •

I.5.4 Déformation et rotation des sections

Une section d’abscisse x tourne d’un angle α(x) sans se déformer. La déformation est une

distorsion angulaire entre deux sections trés proches caractérisée par γ(x). Elle est propor-

tionnelle à r et à la variation de α(x), soit

γ = rdα

dx.

Preuve Deux sections distantes de δx tournent respectivement des angles α(x) et α(x + δx). La rotation

relative entre les deux sections est de α(x + δx) − α(x) (Fig. I.12). Cette rotation relative provoque la

distorsion angulaire γ(x) qui caractérise la déformation en torsion. La relation entre γ(x) et α(x) est

établie géométriquement en dessinant deux triangles rectangles :

– un triangle dans le plan tangent au cylindre, qui fait apparaitre l’angle γ(x) (à gauche sur la figure

I.12),

– un triangle dans le plan de la section, qui fait apparaitre l’angle α(x + δx) − α(x) (à droite sur la

figure I.12). •

Ces deux triangles partagent un coté de longueur a. On peut écrire dans le triangle faisant intervenir γ(x)

que

tan γ(x) =a

δx

et dans le triangle faisant intervenir α(x) que

tan(α(x + δx) − α(x)) =a

r

Les angles étant petits, on a

tan γ(x) ≈ γ(x)


et

tan(α(x + δx) − α(x)) ≈ α(x + δx) − α(x)

En écrivant l’égalité de a, on a

γ(x) δx = r(α(x + δx) − α(x))

En divisant par δx et en faisant tendre δx vers 0, on a la définition de la dérivée

γ(x) = r limδx→0

α(x + δx) − α(x)

δx

On a bien

γ(x) = rdα

dx.


La contrainte tangentielle τ est proportionnelle à la déformation γ et au module d’élasticité

transversal G :

τ = Gγ.

En remplaçant γ par son expression en fonction de α, on a

τ = rGdα

dx.

En utilisant l’expression de τ en fonction du moment de torsion, on a donc

dα(x)

dx=

Mt(x)

GI0(x).

I.5.6 Relation entre moment de torsion et chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à une répartition linéique de moment

c−→x .

Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de

torsion et la répartition linéique de moment :

dMt

dx+ c = 0.

I.6 Flexion


On suppose une poutre d’axe −→x , encastrée à son extrémité gauche O et soumise à un

chargement transversal −F−→y à son extrémité droite A (Fig. I.13).


KOΣ

=

L → 2

+

∆ → 2

avec

L → 2

=

0

et

∆ → 2

=

−F−→y | −→0

A=

−F−→y | −−→OΣA∧(−F−→y )

OΣ

=

−F−→y | (l−x)−→x ∧(−F−→y )

OΣ

I.6 Flexion 13

v(x)

−F −→y

−→x

−→y

O OΣ A

Σ

x

y

M(x, y)

−→x

−→y

σ<0

σ>0 Variation de la contrainte normale σà travers l’épaisseur

−→x

−→yallongement des fibres, traction

rétrécissement des fibres, compression

L

−→y

−→z

Déformée de la section(coefficient de Poisson)

Figure I.13 – Poutre sollicitée en flexion.

∆ → 2

=

− F−→y |(x − l)F−→z

OΣ

on a

KOΣ

=

− F−→y |(x − l)F−→z

OΣ

donc l’effort tranchant Ty et le moment de flexion Mfzvalent ici :

Ty = −F ; Mfz= (x − l)F.

I.6.2 Moment quadratique de section

Le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→z ) de la section d’abscisse x est noté I(OΣ,−→z )(x).

Il peut dépendre de x si la section de la poutre varie, son expression est :

I(OΣ,−→z )(x) =

∫ ∫

S(x)y2dS

On définit le moment quadratique autour de l’axe (OΣ, −→y ) comme :

I(OΣ,−→y )(x) =

∫ ∫

S(x)z2dS.

Pour une section rectangulaire d’épaisseur h suivant −→y et de largeur b suivant −→z , le

calcul est le suivant :

I(OΣ,−→z )(x) =

∫ h2

−h2

∫ b2

−b2

y2dzdy = b

∫ h2

−h2

y2dy = b[y3

3

] h2

−h2

=bh3

12.

De même, on a :

I(OΣ,−→y )(x) =hb3

12.


−→y

−→z

I =π(D4 − d4)

64

d

D

−→y

−→za

a

I =a4

12

−→y

−→z

I =πD4

64

D

−→y

−→z

I =bh3

12

b

h

−→y

−→za

b

h

section en I

Figure I.14 – Moments quadratiques des sections courantes.

Le théorème de transport de Huygens permet de calculer le moment quadratique d’une

section plus complexe :

I∆′ = I∆ + Sd2

où I∆ est le moment quadratique autour d’un axe passant par le barycentre de la section, S

est l’aire de la section et d est la distance entre les deux axes ∆′ et ∆. Le calcul de I pour

la section en “i” s’écrit :

I =b(a − h)3

12+ 2

(bh3

12+ bh

(a

2

)2)

Pour les sections les plus courantes, les moments quadratiques sont donnés sur la figure

I.14.

I.6.3 Contrainte normale

Une poutre en flexion subit des contraintes σ normales à la section et des contraintes tan-

gentielles τ . Dans le cas étudié, les fibres supérieures sont étirées et les fibres inférieures

sont comprimées. La fibre moyenne ne subit pas de contraintes normales.

On peut montrer que la contrainte normale en un point M (x, y) de la poutre vaut :

σ(x, y) = −Mfz(x)

I(x)y

I.6 Flexion 15

où I(x) est le moment quadratique de la section.

De plus, même si la contrainte tangentielle τ n’est pas uniforme dans une section, une

bonne approximation de sa valeur est

τ(x) =T (x)

S(x).

La contrainte tangentielle est généralement trés petite devant la contrainte normale, elle est

donc souvent négligée.

Ces relations sont démontrées en exercices dirigés.

I.6.4 Déplacement

La poutre se déforme sous l’action du chargement. Les points de la ligne moyenne se dépla-

cent suivant −→y de la valeur v(x). Autrement dit, le vecteur v(x)−→y est le vecteur déplacement

du point OΣ.

Ce déplacement est relié au moment de flexion par la formule

EI(x)d2v(x)

dx2= Mf(x)

ou encored2v(x)

dx2=

Mf (x)

EI(x)

où E est le module d’Young du matériau et d2v(x)dx2 est la dérivée seconde de v(x) par rapport

à x.

La dérivée première de v(x) représente la rotation de section d’abscisse x autour de −→z .

En notant θ(x) l’angle de rotation de section autour de −→z , on a

θ(x) =dv(x)

dx

soit la relationdθ(x)

dx=

Mf(x)

EI(x).


L’état de contrainte étant équivalent à de la traction-compression, la déformation est un

allongement unitaire ǫ dans la direction axiale. Son expression en fonction du déplacement

est :

ǫ(x, y) = −dθ(x)

dxy = −d2v(x)

dx2y.

La relation entre la contrainte normale σ et l’allongement unitaire ǫ suivant −→x est

σ = Eǫ

où E est le module d’Young.


I.6.6 Relations moment de flexion - effort tranchant - chargement

On étudie un tronçon de poutre qui n’est soumis qu’à un effort transversal linéique p−→y .

Par exemple, pour une poutre horizontale où l’axe −→y est vers le haut (gravité vers le bas),

cette force linéique vaut

p = −ρgS

où ρ est la densité du matériau composant la poutre, g est la gravité et S est l’aire de la

section de la poutre.

Dans ce tronçon, on peut montrer que l’on a la relation suivante entre l’effort tranchant

et la charge linéique :dTy

dx+ p = 0.

On peut aussi montrer que l’on a la relation suivante entre le moment de flexion et l’effort

tranchant :dMfz

dx+ Ty = 0.

I.6 Flexion 17

Traction Torsion Flexion

KOΣ

=

N 0

0 0

0 0

OΣ

0 Mt

0 0

0 0

OΣ

0 0

Ty 0

0 Mfz

OΣ

déplacement translation u−→x rotation α−→x translation v−→y

déformation allongement ǫ distorsion γ allongement ǫ

relation ǫ =du

dxγ = r

dα

dxǫ = − d2v

dx2y

déplacement-déformation

relation σ = Eǫ τ = Gγ σ = Eǫ

contrainte-déformation

relation σ =N

Sτ =

Mt

I0

r σ = −Mfz

Iy

contrainte-efforts

relationdu

dx=

N

ES

dα

dx=

Mt

GI0

d2v

dx2=

Mf

EIdéplacement-efforts

équations reliantdN

dx+ p = 0

dMt

dx+ c = 0

dTy

dx+ p = 0

les efforts

généralisésdMfz

dx+ Ty = 0

Tableau I.2 – Résumé des formules pour les sollicitations simples

II — Calcul de treillis

II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement

II.1.1 Hypothèses sur les liaisons

Un treillis est une structure composée de barres rotulées entre elles (Fig. II.1). Les barres

sont connectées entre elles par des nœuds, centres des liaisons rotules. Les articulations sont

supposées parfaites. Cette simplification permet de résoudre relativement facilement le prob-

lème. Même si les liaisons ne sont pas réellement des rotules mais des liaisons boulonnées,

on peut considérer dans une première approche la structure comme un treillis de barres

rotulées. Cela permet de trouver une bonne approximation des efforts normaux dans les

barres et donc de dimensionner.

La barre AB est connectée aux nœuds A et B. Le torseur des actions mécaniques de A

sur la barre vaut en A

TA

A=

−→FA|−→0

B

A

barre AB

−→FA

−→FB

Figure II.1 – Structure de type treillis de barres

20 Calcul de treillis

De même, le torseur des actions mécanique de B sur la barre vaut en B

TB

B=

−→FB|−→0

L’équilibre de la barre s’écrit en A

−→FA | −→

0

A+

−→FB | −→

AB ∧ −→FB

A=

−→0 | −→

0

Soient−→FA = −−→

FB

et−→AB ∧ −→

FB =−→0

L’effort extérieur−→FB est donc porté par l’axe de la barre. En notant

−→i le vecteur unitaire

allant de A vers B, on a

−→i =

−→AB

‖ −→AB ‖

et−→FB = −−→

FA = NAB

−→i

où NAB est l’effort normal dans la barre AB.

Une barre rotulée à ses deux extrémités ne subit que de la traction-compression. Chaque

barre reste un segment de droite après déformation, la figure II.1 montre la déformée globale

d’un treillis (barres en tirets).

Si l’on veut considérer les liaisons comme des encastrements, des moments sont alors

transmis et de la flexion apparaît dans les barres ainsi que de la torsion dans le cas d’une

structure tridimensionnelle : c’est un portique. La modélisation d’une structure comme un

treillis rotulé a longtemps était utilisée dans les bureaux d’études avant l’arrivée des moyens

de calculs informatiques.

II.1.2 Règles de construction d’un treillis

Treillis plan isostatique

Le système le plus simple est constitué par un triangle, soient 3 barres et 3 nœuds (Fig.

II.2a). En notant n le nombre de nœuds et b le nombre de barres, à partir d’un triangle

(n = 3, b = 4), chaque ajout de x nœuds impose l’ajout de 2x barres, soit

n = 3 + x ; b = 3 + 2x ; 2n = 3 + b

Le nombre de barres b est lié au nombre de nœuds n pour que le système soit isostatique. Il

faut de plus que les encastrements du treillis n’imposent pas d’hyperstatisme à la structure.

II.1 Hypothèses et critères de dimensionnement 21

a) n=3 ; b=3 b) n=4 ; b=5Treillis hyperstatiquesTreillis isostatiques

Figure II.2 – Construction d’un treillis

Figure II.3 – Treillis avec mobilité interne

Treillis plan hyperstatique

Si 2n < 3+b alors le treillis est hyperstatique, la méthode de résolution des efforts normaux

présentée ensuite ne suffit pas à déterminer à elle seule les efforts dans les barres (Fig.

II.2b)). Il faut résoudre le problème en écrivant que les allongements des barres ne sont pas

indépendants pour que les barres restent articulées entre elles.

Treillis plan avec mobilité interne

Si 2n > 3 + b alors il y a Indétermination des efforts normaux et des mouvements sont

possibles sans efforts extérieurs (Fig. II.4).

Treillis tridimensionnel

Le treillis tridimensionnel le plus simple est composé de 4 nœuds et de 6 barres. A chaque

nouveau nœud, il faut ajouter 3 nouvelles barres pour garder l’isostatisme. La règle d’un

treillis isostatique tridimentionnel est alors :

n = 4 + x ; b = 6 + 3x ; b = 3n − 6

n = 4b = 6

n = 4 + 1b = 6 + 3

Figure II.4 – Treillis tridimensionnel


α −→x

−→y

−→u (α) (1)

(2)(n)

αn

α1

α2

−→F

Figure II.5 – Méthode des nœuds, équilibre d’un nœud.

II.1.3 Critère de dimensionnement

Les barres étant en état de traction (NAB>0) sont dimensionnées à la traction (Section I.4),

les barres étant en état de compression (NAB<0) sont dimensionnées au flambage (Section

II.3)

II.2 Méthode des nœuds

La méthode permet de déterminer les efforts normaux dans les barres du treillis. On note

Ni l’effort normal dans la barre i.

La méthode de résolution consiste à écrire successivement l’équilibre de chaque nœud.

Soit le nœud N connecté à n barres et soumis à l’effort extérieur−→F (Fig. II.5). On note

−→u (α) le vecteur faisant un angle α avec l’axe −→x (sens trigonométrique positif). On note αi

l’angle entre −→x et le vecteur porté par la barre (i) s’éloignant du nœud N .

En notant Ni l’effort normal dans la barre (i), l’équilibre du nœud s’écrit :

n∑

i=1

Ni−→u (αi) +

−→F =

−→0

En écrivant ainsi l’équilibre de chaque nœud successivement, on aboutit à un système

d’équations vectorielles dont le nombre est le nombre de nœuds du treillis. En deux dimen-

sions le nombre d’équations scalaires est donc 2 fois le nombre de nœuds du treillis (3 fois en

tridimensionnel). Ces équations permettent de calculer les efforts normaux dans les barres

du treillis ainsi que les réactions aux appuis si le problème est isostatique.

II.3 Flambage des poutres droites

II.3.1 Introduction

Le flambage est un phénomène d’instabilité de l’équilibre. Cela peut être représenté simple-

ment par une bille en équilibre (fig. II.6) : la bille est en équilibre stable au fond d’une vallée,


équilibre instable

équilibre stable

Figure II.6 – Equilibre stable, équilibre instable

F < Fcr

F = Fcr

N = −F

Mf = 0

N = −F

Mf 6= 0

après flambageavant flambage

Figure II.7 – Poutre en compression

en équilibre instable au sommet d’une montagne. Par analogie, l’équilibre est dit stable si

la structure revient à sa position d’équilibre après une petite perturbation de sa position.

II.3.2 Charge critique de flambage

Une poutre droite en compression garde sa forme droite tant que l’effort normal N est

inférieur à la charge critique de flambage Fcr (Fig. II.7).

L’étude se fait sur la configuration déformée (Fig. II.8). Un point OΣ de la ligne moyenne

avant déformation devient le point O′

Σ après déformation.

On note le déplacement de ce point v(x) :

−−−→OΣO

′

Σ = v(x)−→y

Le torseur de cohésion en O′

Σ est l’action de (2) sur (1), en isolant (1), on a :

K = −Text→(1) = −F−→x |−→0 0

K = −F−→x |−−→O

′

ΣO ∧ (−F−→x )0′

Σ

F−→x −→xO

′

Σ: (x, v(x))

v(x)

−→y

(1) (2)OΣ : (x, 0)

Figure II.8 – Etude sur la configuration déformée.


n = 2

n = 1

n = 3

n = 4

Figure II.9 – Flambage d’une poutre droite articulée pour différentes valeurs de n.

−−→O

′

ΣO ∧ (−F−→x ) = (−x−→x − v(x)−→y ) ∧ (−F−→x ) = −v(x)F−→z

Finalement

K = −F−→x | − v(x)F−→z O

′

Σ

donc le moment de flexion vaut Mf = −v(x)F , or le moment de flexion vaut aussi Mf =

EIv′′(x) donc

EIv′′(x) + v(x)F = 0.

Cette équation différentielle a pour solution

v(x) = α sin ωx + β cos ωx avec v(0) = 0 et v(L) = 0.

Cela entraine que β = 0 et que sin ωL = 0 donc ω =nπ

Loù n est un entier. Finalement,

l’expression de v(x) est

v(x) = α sinnπ

Lx, donc v′(x) = α

nπ

Lcos

nπ

Lx, et v′′(x) = −α

n2π2

L2sin

nπ

Lx.

En remplaçant dans l’équation différentielle de départ, il vient

−EIαn2π2

L2sin

nπ

Lx + Fα sin

nπ

Lx = 0.

En simplifiant par α sin nπL

x, on trouve l’expression de F qui assure une solution à l’équation

différentielle :

F = EIn2π2

L2.

Si F est tel qu’il existe un n entier qui satifasse cette dernière équation alors la configuration

d’équilibre peut être de la forme v(x) = α sin nπL

x.

Dans la pratique, la charge augmente en commençant par 0. Dès que la charge est égale

à EI π2

L2 , c’est à dire la première valeur de n entier (ici n = 1), alors la poutre prend la

configuration "courbe". La valeur de α n’étant pas donnée, cette valeur peut devenir très

grande et conduire à la ruine de la poutre.

La figure II.9 montre les déformées pour différentes valeurs de n.


Poutre élancée, λ grand

Poutre courte, λ petit

Figure II.10 – Elancement d’une poutre droite.

II.3.3 Critère de dimensionnement

La contrainte critique de flambage pour n = 1 vaut

σcr =Fcr

S=

EIπ2

L2S.

En posant r =√

IS

, rayon de giration et λ = Lr, l’élancement, on a

σcr =Eπ2

λ2.

L’élancement λ caractérise la fléxibilité de la poutre : plus λ est grand plus la poutre est

élancée, plus λ est petit plus la poutre est courte (Fig. II.10).

En notant Re la limite élastique du matériau, il y a risque de ruine par flambage si

σcr < Re, soit encore :

– Si σcr < Re, ruine par flambage : la charge critique de flambage est atteinte avant la

limite élastique, dimensionnement au flambage,

– Si Re < σcr, ruine par compression : la limite élastique est atteinte avant la charge

critique de flambage, dimensionnement en compression.

Ce choix de dimensionnement peut se faire en comparant λ à l’élancement critique λcr

pour le lequel σcr = Re :

σcr = Re ⇔ Eπ2

λ2cr

= Re ⇔ λcr =

√

Eπ2

Re

Cette valeur ne dépend que du matériau, par exemple pour un acier d’usage général :

E = 200GPa ; Re = 240MPa → λcr = 90

– Si λ < λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne en compression : la critère s’écrit

σ = |NS

| < Re

soù s est le coefficient de sécurité

– Si λ > λcr (≈ 100 pour l’acier) alors on dimensionne au flambage : le critère s’écrit

|N | < Fcr

soù s est le coefficient de sécurité

Si λ est proche de λcr des méthodes d’analyse plus fines existent mais ne sont pas

détaillées ici.

II.3.4 Autres conditions aux limites

Pour d’autres appuis aux extrémités, les formules restent valables en remplaçant la longueur

L par une longueur équivalente Le. Le tableau II.1 donne Le suivant les cas, L désigne la

longueur réelle de la poutre. La charge critique de flambage vaut alors :

Fcr = EIπ2

L2e


extrémité 1 extrémité 2 Le

rotulé rotulé L

libre encastré 2L

encastré encastré 0, 5 L

encastré rotulé 0, 7 L

n = 2

rotulé rotulé 0, 5 L

Tableau II.1 – Longueurs équivalentes suivant les conditions aux extrémités.

III — Contraintes et déformations

III.1 Introduction

Le solide Ω est en équilibre sous l’action de forces extérieures (Fig. III.1).

Pour connaitre l’état de contrainte à l’intérieur du solide, on isole un petit cube dΩ. Les

objectifs sont de :

– Caractériser les forces agissant sur le petit cube : ce sont des forces internes à la matière

qui sont vues par le cube comme des forces surfaciques (Pa ou MPa) agissant sur les

6 faces ; ces forces surfaciques sont appellées contraintes,

– Caractériser les déformations du petit cube : le cube s’allonge (ou se rétréci) dans

chaque direction et les angles initialement de 90o entre les arrètes du cube changent,

– Etablir les relations entre les contraintes et les déformations,

– Proposer un critère de dimensionnement.

dΩ

Figure III.1 – Solide en équilibre sous l’action de forces extérieures.

28 Contraintes et déformations

dΩ

σx

−σx

−→x

ǫx

ǫz

ǫy

Figure III.2 – Traction suivant x du petit cube.

III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimen-

sionnelles

On isole le petit cube dΩ en étudiant plusieurs états simples :

– 3 états de traction dans les 3 directions −→x , −→y et −→z ,

– 3 états de cisaillement dans les 3 plans.

Le repère (−→x , −→y , −→z ) est aligné avec les arrètes du cube. La superposition de ces 6 états

donne l’état de contrainte général dans lequel peut se trouver un petit élément de matière.

Etat de traction suivant −→xL’état de traction suivant −→x (Fig. III.2) est caractérisé par des forces surfaciques σx

−→x et

−σx−→x appliquées sur les 2 faces ayant pour normales −→x et −−→x . Il est facile de vérifier que

le cube est bien en équilibre. On a les relations suivantes :

σx = Eǫx ; ǫy = −νǫx ; ǫz = −νǫx

où E est le module d’Young, ν le coefficient de Poisson, σx est la contrainte normale ap-

pliquée suivant −→x et ǫx, ǫy et ǫz sont les allongements unitaires suivant −→x , −→y et −→z . Ces

relations sont celles issues de la traction d’une poutre. Le coefficient de Poisson entraine

des déformations dans les directions transversales. La contrainte σx a pour unité le Pa, les

déformations sont sans dimension.

On peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx =1

Eσx ; ǫy = − ν

Eσx ; ǫz = − ν

Eσx

Etat de traction suivant −→yDe la même façon, l’état de traction suivant −→y donne les relations suivantes :

σy = Eǫy ; ǫx = −νǫy ; ǫz = −νǫy

et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx = − ν

Eσy ; ǫy =

1

Eσy ; ǫz = − ν

Eσy

III.2 Caractérisation des contraintes et des déformations tridimensionnelles 29

−→x

−→yτ

τ

−τ

−τ

π

2− γ

Figure III.3 – Cisaillement dans le plan (x, y) du petit cube.

Etat de traction suivant −→zEnfin, l’état de traction suivant −→z donne les relations suivantes :

σz = Eǫz ; ǫx = −νǫz ; ǫy = −νǫz

et on peut alors écrire les déformations en fonction des contraintes :

ǫx = − ν

Eσz ; ǫy = − ν

Eσz ; ǫz =

1

Eσz

Cisaillement dans le plan (−→x , −→y )

On applique sur le cube les forces surfaciques suivantes (Fig. III.3) :

• τ−→y sur la face de normale −→x• τ−→x sur la face de normale −→y• −τ−→y sur la face de normale −−→x• −τ−→x sur la face de normale −−→y

L’équilibre en résultante est facile à vérifier. L’équilibre en moment est vérifié en écrivant

la somme des moments au centre du cube.

La contrainte tangentielle τ engendre une distorsion angulaire γ du cube : l’angle de π2

avant déformation devient un angle de π2 − γ. La relation entre τ et γ s’écrit :

τ = Gγ

où G est le module d’élasticité transversale exprimé en Pa. La contrainte de cisaillement

(ou tangentielle) τ a pour unité le Pa, γ est sans dimension. L’expression de G en fonction

de E et ν est :

G =E

2(1 + ν)

Etant donné que cet essai est effectué dans le plan (−→x , −→y ), on utilise alors les notations

suivantes :

τxy = Gγxy

ou encore

γxy =1

Gτxy


Cisaillement dans le plan (−→x , −→z )

En faisant simplement une permutation des indicea xy en xz, on a

τxz = Gγxz

ou encore

γxz =1

Gτxz

Cisaillement dans le plan (−→y , −→z )

En faisant simplement une permutation des indicea xy en yz, on a

τyz = Gγyz

ou encore

γyz =1

Gτyz

Superposition des 6 états

En supposant que l’on applique en même temps les 6 sollicitations simples au petit cube,

on a alors en ajoutant les contributions de chaque chargement aux déformations :

ǫx =1

Eσx − ν

Eσy − ν

Eσz

ǫy = − ν

Eσx +

1

Eσy − ν

Eσz

ǫz = − ν

Eσx − ν

Eσy +

1

Eσz

γxy =1

Gτxy ; γxz =

1

Gτxz ; γyz =

1

Gτyz

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

III.2.1 Opérateur des contraintes et des déformations

Afin de simplifier les notations et de regrouper dans un même objet les 6 contraintes d’une

part et les 6 déformations d’autres part, on pose les deux matrices suivantes :

– On appelle opérateur des contraintes, la matrice S définie par

S =

σx τxy τxz

τxy σy τyz

τxz τyz σz

(−→x ,−→y ,−→z )

Les quantités σ sont appelées les contraintes normales, les quantités τ sont appelées

les contraintes de cisaillement.


−→y

−→x

h−→z

S : plan moyen

dΩ

Figure III.4 – Plaque sollicitée dans son plan.

– On appelle opérateur des déformations, la matrice E définie par

E =

ǫx

γxy

2

γxz

2

γxy

2ǫy

γyz

2

γxz

2

γyz

2ǫz

(−→x ,−→y ,−→z )

Les quantités ǫ sont appelées les allongements unitaires, les quantités γ sont appelées

les distorsions angulaires.

III.2.2 Théorème de superposition

Soit le chargement 1© donnant l’état de contrainte S 1©. Soit le chargement 2© donnant l’état

de contrainte S2©.

L’état de contrainte S associé à la somme des deux chargements et la somme des deux

opérateurs des contraintes :

S1© =

[

σ 1©x τ 1©

τ 1© σ 1©y

]

(−→x ,−→y )

S2© =

[

σ 2©x τ 2©

τ 2© σ 2©y

]

(−→x ,−→y )

S = S1© + S

2© =

[

σ 1©x + σ 2©

x τ 1© + τ 2©

τ 1© + τ 2© σ 1©y + σ 2©

y

]

(−→x ,−→y )

Il existe exactement le même théorème pour l’opérateur des déformations.

III.3 Problème plan

III.3.1 Hypothèses

On s’intéresse aux contraintes et déformations d’une plaque mince chargée dans son plan

(Fig. III.5). On attache à la plaque un repère (−→x , −→y , −→z ) où −→z est perdendiculaire à la

plaque et −→x et −→y sont dans le plan Dans cette configuration, rien ne dépend de z.


−→x

dΩ −→y

dΩ

−→y

−→x-σx σx

τ

-τ

-τ

τσy

-σy

Figure III.5 – Petit carré isolé.

III.3.2 Etat de contraintes planes

On isole un petit cube dΩ de la plaque, d’épaisseur h, aligné avec les axes −→x et −→y . Ce cube

ne subit aucune contraintes sur la faces de normales −→z et −−→z , par conséquent : σz = 0,

τxz = 0, τyz = 0.

Afin de simplifier les notations :

– on note τ = τxy,

– on représente le cube de dessus comme un carré dans le plan (−→x , −→y ),

– on représente les contraintes sur les cotés du carré par une seule flêche au centre de

l’arrète.

Le dessin de la figure III.5 représente un carré isolé de la plaque.

Le carré subit les contraintes suivantes :

– contrainte normale σx dans la direction −→x ,

– contrainte normale σy dans la direction −→y ,

– contrainte de cisaillement τ dans les directions −→x et −→y .

L’opérateur des contraintes dans le plan (−→x , −→y ) est noté

S =

σx τ

τ σy

(−→x ,−→y )

La figure III.6 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4 cotés.

L’allongement du carré dans la direction −→x est caractérisé par l’allongement unitaire ǫx.

L’allongement du carré dans la direction −→y est caractérisé par l’allongement unitaire ǫy. La

distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ.

A partir des relations tridimensionnelles entre les contraintes et les déformations, et en

utilisant le fait que σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, on obtient :

ǫx =1

Eσx − ν

Eσy

ǫy = − ν

Eσx +

1

Eσy


ǫy

ǫx

π

2− γ

−→y

−→x

Figure III.6 – Déformations du petit carré.

−→x

−→y−→y′

-τ-τ ′

-σ′

y

σ′

y −→x′

τ ′

dΩ′-σ′

x

τ ′

σ′

xα

dΩ

−→y

−→x-σx σx

τ

-τ

-τ

τσy

-σy

Figure III.7 – Contraintes sur un petit carré non aligné à x et y.

γ =1

Gτ

Soit en inversant les équations (résolution d’un système de 2 équations à 2 inconnues) :

σx =E

1 − ν2

(ǫx + νǫy

)

σy =E

1 − ν2

(νǫx + ǫy

)

τ = Gγ

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

Ces relations sont valables dans le cas présent des contraintes planes.

III.3.3 Expressions des contraintes subies par un carré non aligné avec x et y

Tous les développements précédents sont faits sur un carré aligné avec les axes −→x et −→y .

Pourtant rien n’empèche d’isoler un carré non aligné avec ces axes. On isole par exemple sur

la figure III.7 un carré dΩ′ aligné avec les axes−→x′ et

−→y′ inclinés d’un angle α par rapport à

−→x et −→y .

Ce carré subit les contraintes suivantes :

– contrainte normale σ′

x dans la direction−→x′ ,


-τ-σy

−→y

α −→xM-σx

-τ

τ ′ σ′

x

ly

lx

lα

−→x′

Figure III.8 – Petit triangle en équilibre autour de M .

– contrainte normale σ′

y dans la direction−→y′ ,

– contrainte de cisaillement τ ′ dans les directions−→x′ et

−→y′ .

On note S′ l’opérateur des contraintes dans la base (

−→x′ ,

−→y′ ) comme

S′ =

σ′

x τ ′

τ ′ σ′

y

(−→

x′ ,−→

y′ )

Il existe des relations S et S′. Afin de trouver ces relations, on isole autour du point M un

petit triangle d’épaisseur h (Fig. III.8). On suppose que l’état de contrainte est le même en

tout point du triangle.

Le bilan des actions mécaniques agissante sur les 3 faces du triangle est

sur la face de normale − −→x :−→F 1 = −σxhly

−→x − τhly−→y

sur la face de normale − −→y :−→F 2 = −σyhlx

−→y − τhlx−→x

sur la face de normale−→x′ :

−→F 3 = σ′

xhlα−→x′ + τ ′hlα

−→y′

Les relations entre les longueurs des cotés sont

ly = cos α lα,

lx = sin α lα.

L’équilibre en résultante donne

−→F 1 +

−→F 2 +

−→F 3 =

−→0 ,

soit aussi en simplifiant par h

−σxly−→x − τ ly

−→y − σylx−→y − τ lx

−→x + σ′

xlα−→x′ + τ ′lα

−→y′ =

−→0 ,

soit en remplaçant lx et ly par leurs expressions en fonction de lα puis en simplifiant par lα :

−σx cos α−→x − τ cos α−→y − σy sin α−→y − τ sin α−→x + σ′

x

−→x′ + τ ′

−→y′ =

−→0 ,


De plus, les directions−→x′ et

−→y′ s’écrivent dans la base (−→x , −→y ) sous la forme

−→x′ = cos α−→x + sin α−→y

−→y′ = − sin α−→x + cos α−→y

On a finalement

−σx cos α−→x −τ cos α−→y −σy sin α−→y −τ sin α−→x +σ′

x cos α−→x +σ′

x sin α−→y −τ ′ sin α−→x +τ ′ cos α−→y =−→0

qui s’écrit aussi

σ′

x cos α − τ ′ sin α = σx cos α + τ sin α

et

σ′

x sin α + τ ′ cos α = τ cos α + σy sin α

Ce système de 2 équations à 2 inconnues donne les contraintes subies par le carré incliné de

α en fonction des contraintes subies par le carré non incliné :

σ′

x = σx cos α2 + σy sin α2 + 2τ sin α cos α

τ ′ = (σy − σx) sin α cos α

En utilisant les formules trigonométriques suivantes

cos2 α =1 + cos 2α

2; sin2 α =

1 − cos 2α

2; 2 cos α sin α = sin 2α

on a alors :

σ′

x =σx − σy

2cos 2α + τ sin 2α +

σx + σy

2

τ ′ = −σx − σy

2sin 2α + τ cos 2α

En isolant un triangle tourné d’un angle de π2 par rapport à celui utilisé, on en déduit que

σ′

y = −σx − σy

2cos 2α − τ sin 2α +

σx + σy

2

III.3.4 Expressions des déformations d’un carré non aligné avec x et y

Le carré non aligné avec x et y se déforme suite aux contraintes σ′

x, σ′

y et τ ′ qui lui sont

appliquées. La figure III.9 montre le carré déformé suite au chargement appliqué sur ses 4

cotés. L’allongement du carré dans la direction−→x′ est caractérisé par l’allongement unitaire

ǫ′

x. L’allongement du carré dans la direction−→y′ est caractérisé par l’allongement unitaire ǫ′

y.

La distorsion angulaire du carré est caractérisé par γ′.

Les relations entre les déformations (ǫ′

x, ǫ′

y, γ′) et (ǫx, ǫy, γ) sont similaires à celle obtenues

pour les contraintes :

ǫ′

x =ǫx − ǫy

2cos 2α +

γ

2sin 2α +

ǫx + ǫy

2

ǫ′

y = −ǫx − ǫy

2cos 2α − γ

2sin 2α +

ǫx + ǫy

2

γ′

2= −ǫx − ǫy

2sin 2α +

γ

2cos 2α


−→x

−→y−→y′

−→x′

αǫy

ǫx

π

2− γ

−→y

−→x

ǫ′

y

π

2− γ′

ǫ′

x

Figure III.9 – Déformations du carré non aligné à x et y.

III.3.5 Relation entre les contraintes et les déformations d’un carré non aligné

avec x et y

Les relations entre les contraintes et les déformations d’un carré incliné d’un angle α sont

les mêmes que celles pour le carré non incliné :

ǫ′

x =1

Eσ′

x − ν

Eσ′

y

ǫ′

y = − ν

Eσ′

x +1

Eσ′

y

γ′ =1

Gτ ′

ou encore

σ′

x =E

1 − ν2

(

ǫ′

x + νǫ′

y

)

σ′

y =E

1 − ν2

(

νǫ′

x + ǫ′

y

)

τ ′ = Gγ′

On rappelle que

G =E

2(1 + ν)

III.3.6 Directions principales

On dit que les directions−→x′ et

−→y′ sont directions principales si le carré incliné ne subit pas

de cisaillement, autrement dit, si τ ′ = 0 (Fig. III.10). Les directions principales sont notées

dans la suite −→n1 et −→n2, elles sont orthogonales.

L’angle α0 tel que τ ′ = 0 soit nul vérifie l’équation

−σx − σy

2sin 2α0 + τ cos 2α0 = 0

soit

α0 =1

2arctan

( τσx−σy

2

)

Les directions principales −→n1 et −→n2 sont alors

−→n1 = cos α0−→x + sin α0

−→y


−→x

−→y−→y′

-τ-τ ′

-σ′

y

σ′

y −→x′

τ ′

dΩ′-σ′

x

τ ′

σ′

xα −→x

−→y

dΩ′

σ2

-σ2

σ1

-σ1

−→x′ = −→n1

−→y′ = −→n2

α0

Figure III.10 – Directions principales.

−→n2 = − sin α0−→x + cos α0

−→y

Les contraintes principales σ1 et σ2 valent

σ1 = σ′

x(α0) et σ2 = σ′

y(α0)

soient

σ1 =σx − σy

2cos 2α0 + τ sin 2α0 +

σx + σy

2

σ2 = −σx − σy

2cos 2α0 − τ sin 2α0 +

σx + σy

2

III.3.7 Cercle de Mohr des contraintes

Lorsque α varie, c’est à dire lorsque l’on fait varié l’inclinaison du petit carré isolé, σ′

x et τ ′

évoluent. Le but est de représenter les contraintes normale et tangentielle sur un graphique

quand α varie en portant σ′

x en abscisse et τ ′ en ordonnée dans un repère orthonormé.

Pour α donné, on a

σ′

x − σx + σy

2=

σx − σy

2cos 2α + τ sin 2α

τ ′ = −σx − σy

2sin 2α + τ cos 2α

soit aussi en ajoutant les carrés des deux expressions précédentes

(

σ′

x − σx + σy

2

)2+ τ ′2 = R2

avec

R =

√(σx − σy

2

)2

+ τ 2

Ceci est l’équation d’un cercle dans le repère (σ′

x, τ ′), de centre (σx+σy

2 , 0) et de rayon R.

Le cercle peut être tracé à la règle et au compas (Fig. III.11) :

– le centre C est le milieu du segment [σx σy] sur l’axe des abscisses

– un point du cercle a pour coordonnées (σx, τ)


2α0

σx

τ

R

C

σx+σy

2

σx−σy

2

dΩ′

−→x

α

τ ′

σ2

σyσ′

x

σ1

−→x′

−→y′

Figure III.11 – Cercle de Mohr des contraintes

Ce cercle représente l’ensemble des points (σ′

x, τ ′) possibles dans le repère (−→x′ ,

−→y′ ) quand α

varie.

Les contraintes normales principales σ1 et σ2 sont les points d’intersections du cercle avec

l’axe des abscisses car la contrainte tangentielle est nulle en ces deux points. On appelle

α1 l’angle caractérisant la direction principale −→n1 et α2 l’angle caractérisant la direction

principale −→n2. On sait que l’angle α0 tel que τ ′ soit nul vérifie

tan 2α0 =τ

σx − σy

2

=coté opposé

coté adjacent

Graphiquement, on mesure l’angle 2α0 comme l’angle reliant dans cet ordre les trois points

(σx, 0), C puis (σx, τ). Le sens positif est le sens trigonométrique.

Dans tous les cas, par convention, on prend σ1 à droite et σ2 à gauche.

– Si σy < σx (Fig. III.12) alors α1 = α0 et α2 = α0 + π2,

– Si σx < σy (Fig. III.13) alors α1 = α0 + π2

et α2 = α0.


C

τ ′

σ′

x

2α0C

τ ′

σ′

x

σy σx

2α0

σ2 σ1 σ2 σ1

α0 > 0 α0 < 0

τ

τ

σy σx

Figure III.12 – Cas où σy < σx : α1 = α0 et α2 = α0 + π2

C

τ ′

σ′

x

C

σ′

x

σxx σyy

σ2 σ1 σ2 σ1σx

α0 > 0 α0 < 0

2α0

2α0

τ

τ

σy

τ ′

Figure III.13 – Cas où σx < σy : α1 = α0 + π2

et α2 = α0

IV — Critères de dimensionnement

IV.1 Objectifs

Le but est de vérifier que les contraintes dans la structure restent acceptables pour ne pas

engendrer de rupture en fonctionnement. Pour les matériaux ductiles, les critères utilisés

couramment imposent que le matériau reste dans le domaine élastique en tout point de

la structure, c’est le cas des critères de Tresca et de Von Mises. De plus, le phénomène

de fatigue est le critère de dimensionnement à prendre pour les pièces subissant un grand

nombre de cycles de chargement.

IV.2 Matériaux ductiles : critère de Tresca

Ce critère est dû à Henri Edouard Tresca (1814-1885) qui fut professeur titulaire de la chaire

de mécanique du Cnam. Il a observé que le faciès de rupture d’une éprouvette cassée suite

à un chargement de traction était incliné à 45o par rapport à l’axe de traction pour les

matériaux ductiles. Or le cisaillement étant maximal pour cet angle, il en a déduit que la

rupture se fait par glissement engendré par les contraintes de cisaillement. Le critère est

donc basé sur le cisaillement maximal.

L’état de contrainte à la limite élastique d’une éprouvette de traction d’axe −→x est

S =

Re 0 0

0 0 0

0 0 0

(−→x ,−→y ,−→z )

Le cercle de Mohr associé à cet état de contrainte (Fig. IV.2) donne le cisaillement maximal

τmax =Re

2. Le critère de Tresca est

42 Critères de dimensionnement

zonezoneplastique

ǫxx

45o

σxx

zone

élast

ique

−σxx

zone utile de l’éprouvetteσxx

d’écrouissage

faciès de rupture à 45o

zone

de

stri

ctio

n

Figure IV.1 – Essai de traction à rupture.

Re

2

τmax = Re

2

Re

σ′

x

τ ′

Figure IV.2 – Cercle de Mohr à la limite élastique pour un essai de traction.

τmax <Re

2.

Pour écrire le critère correctement il faut raisonner en tridimensionnel. En tridimensionnel,

on peut trouver 3 directions principales associées à 3 contraintes principales σ1, σ2 et σ3

(Fig. IV.3). Dans la base principale (−→n1, −→n2, −→n3), l’opérateur des contraintes s’écrit

S =

σ1 0 0

0 σ2 0

0 0 σ3

(−→n1,−→n2,−→n3)

Pour les 3 couples de valeurs (σ1, σ2), (σ1, σ3) et (σ2, σ3) on peut tracer 3 cercles de Mohr

(Fig. IV.4). C’est ce que l’on appelle le tri-cercle de Mohr. La zone possible pour les couples

plan σ2-σ3

plan σ1-σ

2

plan σ1-σ

3

σ1σ3

σ2

Figure IV.3 – Trois plans des contraintes principales en tridimensionnel.

IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises 43

τ ′

τmax

Cercle (σ1, σ2)

σ3 σ2 σ1

Cercle (σ1, σ3)

Cercle (σ1, σ3)

Zone possibled’état de contrainte

σ′

x

Figure IV.4 – Tri cercle de Mohr.

(σ′

x, τ ′) est la zone grisée comprise entre les trois cercles. Le cisaillement maximal dans ce

cas est

τmax =σ1 − σ3

2.

Suivant les valeurs et les signes des σ1, σ2 et σ3, le critère s’écrit en tridimensionnel

τmax = Max( |σ1 − σ2|

2,|σ1 − σ3|

2,|σ2 − σ3|

2

)

<Re

2.

En notant σT resca = 2τmax la contrainte équivalente de Tresca, le critère s’écrit

σT resca = Max(

|σ1 − σ2|, |σ1 − σ3|, |σ2 − σ3|)

< Re .

Dans le cas des contraintes planes, étant donné que σ3 = 0, le critère devient

σT resca = Max(

|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)

< Re .

IV.3 Matériaux ductiles : critère de Von Mises

Le critère de Von Mises (1883-1953), plus récent, est basé sur l’énergie de déformation que

le matériau peut stocker avant plastification. On note σV.M. la contrainte équivalente de Von

Mises. Elle vaut dans le cas tridimensionnel

σV.M. =1√2

√

(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2,

soit dans le cas des contraintes planes avec σ3 = 0

σV.M. =1√2

√

(σ1 − σ2)2 + σ21 + σ2

2.

Le critère de Von Mises s’écrit

σV.M. < Re .

44 Critères de dimensionnement

Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

Re−Re

−Re

Re

σ2

σ1

a) zone de Tresca c) comparaisonb) zone de Von Mises

Figure IV.5 – Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises.

IV.4 Comparaison des critères de Tresca et de Von Mises

On compare les critères de Tresca et de Von Mises dans le cas des contraintes planes. Dans

le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σT resca < Re est

|σ1| < Re → −Re < σ1 < Re,

|σ2| < Re → −Re < σ2 < Re,

|σ1 − σ2| < Re → σ1 − σ2 < Re et σ2 − σ1 < Re.

Les deux premières lignes donnent un carré centré en (0, 0) de coté 2Re. Les deux condi-

tions suivantes donnent une zone comprise entre 2 droites de pente 1 et ayant pour ordonnées

à l’origine Re et −Re (). La zone de Tresca est représentée sur la figure IV.5a).

Dans le plan (σ1, σ2), le lieu des points tels que σV.M. < Re est

σ21 + σ2

2 − σ1σ2 < R2e .

Ces points sont à l’intérieur d’une ellipse centrée en (0, 0) dont quelques points sont donnés

pour faciliter le tracé :

(±Re, 0) (0, ±Re) (Re, Re) (−Re, −Re)

La zone de Von Mises est représentée sur la figure IV.5b).

On remarque que la zone de Von Mises est plus grande que celle de Tresca, la différence

est représentée sur la figure IV.5c). Le choix du critère (Von Mises ou Tresca) se fait à partir

de résultats d’essais.

IV.5 Fatigue des matériaux

La fatigue est un phénomène de détérioration d’une pièce consécutive à un grand nombre de

cycles de chargements (> 1000) alors que les contraintes sont dans le domaine élastique (les

critères de Tresca et de Von Mises sont vérifiés). Schématiquement, à chaque cycle de charge-

ment, des micro fissures apparaissent et grandissent dans les zones à fortes concentrations

de contraintes. Ces fissures se propagent et peuvent engendrer la ruine de la structure.

IV.5 Fatigue des matériaux 45

F−F F

temps

∆σ

0

50

100

150

200

250

∆σ

nb. cycles

10%

50%

90%MPa

Rr

100 101 102 103 104 105 106 107 108

Re

Rendu.

Figure IV.6 – Courbes de Wöhler : différentes probabilités de défaillance.

La courbe de Wöhler, obtenue de façon expérimentale sur une éprouvette sollicitée en

traction, donne la contrainte appliquée en fonction du nombre de cycle de chargements à

rupture (Fig. IV.6). Le chargement est cyclique et varie de 0 à ∆σ. En réalité une étude

statistique doit être menée sur un ensemble d’éprouvettes. On peut alors tracer plusieurs

courbes pour différentes probabilités de défaillance.

On utilise le plus souvent une seule courbe, celle ayant 10% de probabilité de défaillance

par exemple. On peut caractériser plusieurs valeurs sur cette courbe :

– limite à la rupture Rr : rupture après 1 cycle de chargement,

– limite élastique Re : le nombre de cycles à rupture se situe aux alentours de 103 à 104,

– limite d’endurance Rendu. : valeur pour laquelle le nombre de cycles devient infini,

elle est comprise entre 0, 3 × Rr et 0, 6 × Rr suivant les matériaux. Pour les al-

liages non ferreux, l’asymptote horizontale n’existe pas, on prend alors par convention

Rendu. = 0, 5 × Rr.

Les courbes de Wöhler dépendent cependant d’autres facteurs plus ou moins difficiles à

prendre en compte sans faire d’essais supplémentaires : taille de la pièce, état de surface,

corrosion, traitement de surface, température.

V — Initiation au calcul éléments finis

V.1 Etude de l’élément de barre

V.1.1 Equilibre de l’élément barre

On désigne par barre une poutre travaillant seulement en traction-compression. Typique-

ment, les treillis de poutres sont souvent approximés dans un premier temps comme un

ensemble de barres rotulées entre elles (Fig. V.1). Les 2 extrémités sont les nœuds de l’élé-

ment.

Un élément de barre et représenté par un segment de droite reliant les deux extrémités

de la barre (Fig. V.2). La barre est caractérisée par sa longueur l, par l’aire de sa section

S et par son module d’Young E. Les extrémités sont appelés les nœuds de la barre, ils ont

pour abscisses x1 = 0 et x2 = l.

La barre est en équilibre sous les actions des forces F1−→x et F2

−→x aux nœuds 1 et 2. On

note les déplacements des nœuds 1 et 2 respectivement u1−→x , u2

−→x .

– L’équilibre de la barre impose

F1−→x + F2

−→x =−→0 ⇒ F1 = −F2

de plus

– Si u2 > u1 alors la barre est en traction,

– Si u2 < u1 alors la barre est en compression,

– Le torseur de cohésion en OΣ peut s’écrire de deux façons :

KOΣ

=

ext. → 2

⇒ N = F2

48 Initiation au calcul éléments finis

Figure V.1 – Exemple de calcul par éléments finis d’un pylône électrique (éléments barres).

−→x

−→y

1

u1 u2

2Avant déformation :

Aprés déformation :

F1−→x F2

−→x

OΣ

Figure V.2 – Elément barre à 2 noeuds.

ou

KOΣ

= −

ext. → 1

⇒ N = −F1

– La relation entre N , u1 et u2 pour une poutre en traction est

N =ES

lδl ⇒ N =

ES

l(u2 − u1)

– En remplaçant N par F2 puis par F1, on a alors

F1 = −ES

l(u2 − u1) ⇒ F1 =

ES

l(u1 − u2)

F2 = −ES

l(u2 − u1) ⇒ F1 =

ES

l(−u1 + u2)

– Ces deux dernières relations s’écrivent sous la forme matricielle suivante :

[

F1

F2

]

=ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

La matrice

k =ES

l

[

1 −1

−1 1

]

est appellée la matrice de rigidité de l’élément barre.


V.1.2 Exemple d’application

On prend une poutre encastrée à gauche (u1 = 0), et on applique un effort F à l’extrémité

droite (F2 = F ). Le système matriciel à résoudre est le suivant :

ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

=

[

F1

F2

]

qui devient ici

ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

0

u2

]

=

[

F1

F

]

où les inconnues sont le déplacement de l’extrémité droite u2 et la force de réaction de

l’extrémité gauche F1. Ce système de 2 équations à 2 inconnues donne la solution

u2 =Fl

ES

et

F1 = −F

L’effort normal est déterminé par

N =ES

l(u2 − u1) =

ES

l(

Fl

ES− 0) = F

V.1.3 Remarques sur la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est basée sur l’écriture de l’équilibre des éléments. La résolu-

tion d’un problème par éléments finis permet de déterminer les inconnues d’efforts de liaisons

(résolution du problème de statique) et les inconnues de déplacements et d’efforts normaux

(résolution du problème de r.d.m.) ; que le problème soit isostatique ou hyperstatique.

V.2 Etude de deux barres

V.2.1 Assemblage des matrices de rigidité élémentaires

On suppose deux barres de longueurs, de modules d’Young et de sections différentes collées

bout à bout et soumises à de la traction (Fig. V.3). Les barres sont numérotées I et II, elles

sont reliées à trois nœuds 1, 2 et 3. Ces trois nœuds subissent les forces extérieures F1−→x ,

F2−→x et F3

−→x . L’équilibre global s’écrit

F1 + F2 + F3 = 0.

A l’équilibre, l’ensemble des deux barres s’est déformé, les nœuds 1, 2 et 3 se sont déplacés

respectivement de u1−→x , u2

−→x et u3−→x (u1 < u2 < u3 si les deux barres sont en traction).

Les différentes équations s’écrivent :

– équilibre du nœud 1 (méthode des nœuds)

F1 + N1 = 0 ⇒ −N1 = F1


II−N2−→x N2

−→x

F3−→x−N2

−→x 3

1 2 3I II

F1−→x N1

−→x1

I N1−→x

N2−→x2

−N1−→x

−N1−→x

F2−→x

u1−→x u2

−→x u3−→x

état déformé

E2, S2E1, S1

Figure V.3 – Deux barres en traction.

– équilibre de la barre I (section précédente)

[

k1 −k1

−k1 k1

] [

u1

u2

]

=

[

−N1

N1

]

avec k1 = E1S1

l1. Ce système s’écrit aussi

k1 −k1 0

−k1 k1 0

0 0 0

u1

u2

u3

=

−N1

N1

0

– équilibre du nœud 2

F2 − N1 + N2 = 0 ⇒ N1 − N2 = F2

– équilibre de la barre II

[

k2 −k2

−k2 k2

] [

u2

u3

]

=

[

−N2

N2

]

avec k2 = E2S2

l2. Ce système s’écrit aussi

0 0 0

0 k2 −k2

0 −k2 k2

u1

u2

u3

=

0

−N2

N2


– équilibre du nœud 3

F3 − N2 = 0 ⇒ N2 = F3

En ajoutant les deux systèmes d’équations précédents décrivant les équilibres des deux

barres, on a :

k1 −k1 0

−k1 k2 + k1 −k2

0 −k2 k2

u1

u2

u3

=

−N1

N1 − N2

N2

En utilisant enfin les résultats provenant des équilibres des nœuds : −N1 = F1, N1−N2 = F2

et N2 = F3, il vient :

k1 −k1 0

−k1 k2 + k1 −k2

0 −k2 k2

︸︷︷︸

K

u1

u2

u3

︸︷︷︸

Q

=

F1

F2

F3

︸︷︷︸

F

Cette opération est l’opération d’assemblage des matrices de rigidité élémentaires, la matrice

K est appelée matrice de rigidité de la structure, le vecteur Q est le vecteur des inconnues

de déplacements et le vecteur F est le vecteur des forces extérieures :

KQ = F

V.2.2 Mise en œuvre pratique

La première étape consiste à écrire les deux matrices de rigidité des deux éléments

k1 =

u1 u2[ ]

k1 −k1 u1

−k1 k1 u2

et k2 =

u2 u3[ ]

k2 −k2 u2

−k2 k2 u3

en repérant les lignes et les colonnes de chaque matrice par les inconnues de déplacements

associées. On range ensuite dans la matrice de rigidité K de la structure chaque terme des

deux matrices à la ligne et la colonne correspondante :

K =

u1 u2 u3

k1 −k1 0 u1

−k1 k1 + k2 −k2 u2

0 −k2 k2 u3

Le système à résoudre est alors KQ = F .

La deuxième étape consiste à faire le bilan des déplacements et des forces connus et

inconnus. En prenant un encastrement à l’extrémité gauche et en appliquant une force F à

l’extrémité droite, on a :

Q =

u1

u2

u3

= 0, connu

inconnu

inconnu

F =

u1

u2

u3

inconnu, réaction à l’encastrement

= 0, connu

= F, connu


u1

Y

u1

X

u2

X

θ

1

u2

Y −→x

−→X

−→Y

2

Figure V.4 – Elément barre dans une base globale.

Si le déplacement est connu en un nœud alors la force est inconnue, si la force est connue

alors le déplacement est inconnu.

La troisième étape est la résolution du système d’équations complet afin de déterminer

toutes les inconnues

k1 −k1 0

−k1 k2 + k1 −k2

0 −k2 k2

0

u2

u3

=

F1

0

F

Une toutes les inconnus trouvées, on peut calculer les efforts normaux dans chaque barre :

N1 =E1S1

l1(u2 − u1

︸︷︷︸

=0

)

et

N2 =E2S2

l2(u3 − u2).

V.3 Elément barre pour le calcul des treillis

Dans leur environnement, les barres composant un treillis sont positionnées arbitrairement

dans l’espace et font des angles différents avec le repère global de la structure (−→X,

−→Y ) (Fig.

V.4).

On note θ l’angle entre l’axe−→X du repère global et l’axe −→x du repère local à la barre.

Le vecteur déplacement d’un point de la barre s’écrit dans le repère local

−→u = u−→x .

Il s’écrit dans le repère global−→u = uX

−→X + uY

−→Y .

En projetant les deux équations précédentes sur −→x il vient

u = uX cos θ + uY sin θ.

En notant u1X et u1

Y les déplacements suivant−→X et

−→Y du nœud 1 de la barre dans le repère

global, et en appliquant la formule précédente au nœud 1, on a

u1 = u1X cos θ + u1

Y sin θ.

V.3 Elément barre pour le calcul des treillis 53

En utilisant les mêmes notations pour le nœud 2, on a

u2 = u2X cos θ + u2

Y sin θ.

Ceci peut s’écrire sous la forme matricielle suivante

[

u1

u2

]

=

[

cos θ sin θ 0 0

0 0 cos θ sin θ

]

︸︷︷︸

=T

u1X

u1Y

u2X

u2Y

︸︷︷︸

=Q

soit

q = TQ

où Q est le vecteur des inconnus de déplacements aux nœuds de l’élément dans le repère

global et T est la matrice de transformation passant du repère global au repère local.

Il est possible d’écrire les mêmes relations pour les forces extérieures agissant aux nœuds

de l’élément :

−→F 1 = F1

−→x = F 1X

−→X + F 1

Y

−→Y et

−→F 2 = F2

−→x = F 2X

−→X + F 2

Y

−→Y

donc

F 1X = F1

−→x · −→X = F1 cos θ et F 1

Y = F1−→x · −→

Y = F1 sin θ

de même,

F 2X = F2 cos θ et F 2

Y = F2 sin θ

ce qui s’écrit sous forme matricielle

F 1X

F 1Y

F 2X

F 2Y

=

cos θ 0

sin θ 0

0 cos θ

0 sin θ

︸︷︷︸

=TT

[

F1

F2

]

La matrice qui apparait pour les forces est la transposée de celle présente dans les relations

des déplacements. Finalement, l’équilibre de la barre écrit en fonction des déplacements et

des forces dans le repère local à la barre

[

F1

F2

]

=ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

u1

u2

]

devient en fonction des déplacements et des forces dans le repère global

F 1X

F 1Y

F 2X

F 2Y

=

cos θ 0

sin θ 0

0 cos θ

0 sin θ

ES

l

[

1 −1

−1 1

] [

cos θ sin θ 0 0

0 0 cos θ sin θ

]

u1X

u1Y

u2X

u2Y


I

II

III

IV

V

Figure V.5 – Exemple de portique discrétisé par des éléments poutres

−→y

−→x

0 l

θ(x)

w(x)

θ2

θ1w2w1

x

Figure V.6 – Elément de poutre en flexion

Tous calculs faits, l’équilibre de la barre en deux dimensions s’écrit

ES

l

cos2 θ cos θ sin θ − cos2 θ − cos θ sin θ

cos θ sin θ sin2 θ − cos θ sin θ − sin2 θ

− cos2 θ − cos θ sin θ cos2 θ cos θ sin θ

− cos θ sin θ − sin2 θ cos θ sin θ sin2 θ

︸︷︷︸

=kg

u1X

u1Y

u2X

u2Y

=

F 1X

F 1Y

F 2X

F 2Y

où la matrice kg est la matrice de rigidité de l’élément barre en deux dimensions.

L’effort normal est déterminé par

N =ES

l(u2 − u1) =

ES

l

(

(u2X − u1

X) cos θ + (u2Y − u1

Y ) sin θ)

V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques

Un portique est constitué d’un ensemble de poutre assemblées entre elles par des liaisons

encastrements (Fig. V.5).

Soit un élément de poutre de longueur l, de section S, de module d’Young E et de

moment d’inertie de section I (Fig. V.6). Les deux extremités de la poutre sont les nœuds

1 et 2 d’abscisses respectives 0 et l.

On utilise les notations suivantes :

– w(x) : déplacement suivant −→y de la section d’abscisse x,

– θ(x) : rotation de la section d’abscisse x,

– w1 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 1,

– w2 : déplacement suivant −→y de la section au nœud 2,

– θ1 : rotation de la section au nœud 1,

– θ2 : rotation de la section au nœud 2,

– F1 : force extérieure suivant −→y au nœud 1,

V.4 Elément de poutre pour le calcul des portiques 55

– F2 : force extérieure suivant −→y au nœud 2,

– M1 : moment extérieur suivant −→z au nœud 1,

– M2 : moment extérieur suivant −→z au nœud 2.

En suivant la même démarche que pour l’élément barre, on peut montrer que l’équilibre

d’un élément s’écrit

2EI

l3

6 3l −6 3l

3l 2l2 −3l l2

−6 −3l 6 −3l

3l l2 −3l 2l2

︸︷︷︸

k

w1

θ1

w2

θ2

︸︷︷︸

q

=

F1

M1

F2

M2

︸︷︷︸

q

VI — Moyens expérimentaux

VI.1 Jauges de déformation

VI.1.1 Principe

Le principe utilisé par les jauges de déformation est que la résistance électrique de certains

fils varie lorsqu’ils sont étirés (fig. VI.1). La jauge est collée à la surface de la pièce, la

déformation de la pièce est alors reliée directement à la variation de résistance électrique de

la jauge. En notant R et L la résistance électrique nominale et la longueur initiale, et ∆R

et ∆L leurs variations, on a la relation suivante :

∆R

R= k

∆L

L= kǫ

où k est le facteur de jauge et ǫ est la l’allongement unitaire dans la direction de la jauge.

allongement du fil

avant déformation

aprés déformation ∆L

Figure VI.1 – Jauge de déformation.

58 Moyens expérimentaux

V

Ra

Rb

Rc

RdS

i1

i1i2

i2

Va

Vd

Vc

Vb

i

i

Figure VI.2 – Pont de Wheatstone.

VI.1.2 Pont de Wheatstone

Le pont de Wheatstone est un montage de quatre résistances pour lequel on impose la

tension d’entrée V et on mesure la tension de sortie S (Fig. VI.2) :

Va = Rai1 ; Vb = Rbi2 ; Vc = Rci2 ; Vd = Rdi1V = Reqi

avec1

Req

=1

Ra + Rd

+1

Rb + Rc

.

i = i1 + i2

S = Va − Vb

S = Vc − Vd

⇔

VReq

= i1 + i2 (1)

S = Rai1 − Rbi2 (2)

S = Rci2 − Rdi1 (3)

(1) ⇔ i1 =V

Req

− i2

En remplaçant dans (2) :

S = Ra

( V

Req

− i2

)

− Rbi2 =Ra

Req

V − (Ra + Rb)i2

⇒ i2 =( Ra

Req

V − S) 1

Ra + Rb

En remplaçant dans (3) :

S =Rc

Ra + Rb

( Ra

Req

V − S)

− Rd

V

Req

+Rd

Ra + Rb

( Ra

Req

V − S)

S(

1 +Rc

Ra + Rb

+Rd

Ra + Rb

)

=V

Req

( RaRc

Ra + Rb

− Rd +RaRd

Ra + Rb

)

SRa + Rb + Rc + Rd

Ra + Rb

= VRa + Rb + Rc + Rd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

(RaRc + RaRd − RaRd − RbRd

Ra + Rb

)

Finalement

S = VRaRc − RbRd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

VI.1 Jauges de déformation 59

Le pont est dit équilibré si S = 0, c’est à dire si RaRc = RbRd ou encore si

Ra

Rd

=Rb

Rc

.

On suppose le pont équilibré et on cherche quelle est la variation de tension de sortie

∆S quand les résistances varient respectivement de ∆Ra, ∆Rb, ∆Rc et ∆Rd. On sait que

au premier ordre on a

∆S =∂S

∂Ra

∆Ra +∂S

∂Rb

∆Rb +∂S

∂Rc

∆Rc +∂S

∂Rd

∆Rd.

Le calcul des dérivés donne

∂S

∂Rd

= V( −Rb

(Ra + Rd)(Rb + Rc)+ (RaRc − RbRd)

−Rb − Rc

(Ra + Rd)2(Rb + Rc)2

)

mais comme le pont est équilibré, on a RaRc − RbRd = 0 ce qui donne

∂S

∂Rd

= V( −Rb

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

.

De même∂S

∂Ra

= V( Rc

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

,

∂S

∂Rb

= V( −Rd

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

,

∂S

∂Rc

= V( Ra

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

)

.

Finalement

∆S =V

(Ra + Rd)(Rb + Rc)

(

− Rb∆Rd + Rc∆Ra − Rd∆Rb + Ra∆Rc

)

.

Pour simplifier les calculs dans la suite, on prend les mêmes résistances nominales pour

les quatres résistances :

R = Ra = Rb = Rc = Rd.

Ceci se justifie car les jauges branchées sur le pont de wheatstone sont généralement les

mêmes. La valeur de ∆S se simplifie

∆S =V

4

(

− ∆Rd

R+

∆Ra

R− ∆Rb

R+

∆Rc

R

)

.

En remarquant que

∆Ra

R= kǫa ;

∆Rb

R= kǫb ;

∆Rc

R= kǫc ;

∆Rd

R= kǫd ;

où k est le facteur de jauge, il vient

∆S =V

4k

(

− ǫd + ǫa − ǫb + ǫc

)

,

ou encore4∆S

kV= ǫa − ǫb + ǫc − ǫd.


réglage du facteur de jauge

équilibrage du pont

Figure VI.3 – Boitier contenant le montage en pont de Wheatstone.

a

cd

b

Figure VI.4 – Exemple de montage en pont complet : essai de traction.

VI.1.3 Utilisation du boitier

Le boitier utilisé permet de faire le montage du pont de Wheatstone et d’afficher sur l’écran

la grandeur caractéristique de la variation de tension (Fig. VI.3). Dans le cas où moins de

4 jauges sont utilisées, il est possible de les remplacer par des résistances présentes dans

le boitier et ayant des valeurs de résistance nominales équivalentes aux jauges branchées.

Après branchement des jauges, il faut indiquer le facteur de jauge k et équilibrer le pont.

Le boitier impose une tension V de 2 Volts.

La mesure affiche sur l’écran la valeur A

A =4∆S

kV.106

soit aussi

A = (ǫa − ǫb + ǫc − ǫd).106 .

Le facteur d’affiche 106 est due au fait que les déformations sont souvent comprises entre

10−6 et 10−3.

VI.1.4 Différents montages

Exemple d’un pont complet

Les 4 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de traction de 4 jauges

montées en pont complet (Fig. VI.4), on peut corriger les effets suivants :

– dilatation due à la température,

– flexion parasite.

VI.1 Jauges de déformation 61

b

a

Figure VI.5 – Exemple de montage en demi-pont : essai de flexion.

On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face

supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.

La disposition des jauges est la suivante :

– a : face supérieure, direction de traction → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd

– b : face supérieure, direction transversale → ǫb = −νǫt + ǫd

– c : face inférieure, direction de traction → ǫc = ǫt − ǫf + ǫd

– d : face inférieure, direction transversale → ǫd = −νǫt + ǫd

l’affichage indique alors

A =4∆S

kV.106 = ǫa − ǫb + ǫc − ǫd = 2(1 + ν)ǫt

si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫt, il suffit de multiplier k

par k′ de façon à avoir :

A =4∆S

kk′V.106 =

2(1 + ν)

k′ǫt = ǫt

c’est à dire k′ = 2(1 + ν). Le réglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k(1 + ν).

Exemple d’un demi-pont

Seulement 2 jauges sont actives. En équipant judicieusement une éprouvette de flexion de

2 jauges montées en demi-pont (fig. VI.5), on peut corriger les effets suivants :

– dilatation due à la température,

– traction parasite.

On note ǫt la déformation due à la traction, ǫf la déformation due à la flexion sur la face

supérieure et −ǫf sur la face inférieure, enfin ǫd est la déformation due à la dilatation.

La disposition des jauges est la suivante :

– a : face supérieure, direction axiale → ǫa = ǫt + ǫf + ǫd

– b : face inférieure, direction axiale → ǫb = ǫt − ǫf + ǫd

l’affichage indique alors

A =4∆S

kV.106 = ǫa − ǫb = 2ǫf

si k est le facteur de jauge. Si l’on souhaite que l’affichage donne ǫf , il suffit de multiplier k

par k′ de façon à avoir :

A =4∆S

kk′V.106 =

2

k′ǫf = ǫf

c’est à dire k′ = 2. Le réglage du facteur de jauge sur le boitier est alors 2k.


Figure VI.6 – Capteur de force d’une balance de cuisine.

Quart de pont

Une seule jauge est active. Les 3 autres résistance doivent avoir les mêmes valeurs nominales

de résistance que la jauge. Si seule la jauge a est active, l’affichage indique

A =4∆S

kV.106 = ǫa.106

L’affichage donne directement l’allongement unitaire de la jauge a en µm/m si k est le facteur

de jauge. L’utilisation d’une seule jauge ne permet pas de corriger les effets parasites comme

l’influence des variations de température.

VI.1.5 Capteurs à jauges

En vue de mesurer des grandeurs physiques (forces, accélérations, pressions ...), il est possible

de les faire agir sur un corps d’épreuve dont les déformations sont proportionnelles à la

grandeur mesurée. La figure VI.6 montre un capteur de force utilisé dans une balance de

cuisine.

Ce type de capteur est précis, fidèle et permet une certaine souplesse d’emploi. On

trouve ces capteurs dans des applications comme la pesée, la mesure de pression, la mesure

de force, la mesure de couple. Les domaines d’applications sont vastes : automobile, médical,

instruments de mesures...

Suivant les applications, les montages en quart de pont, demi-pont ou pont complet

peuvent être utilisés.

VI.1.6 Exploitation d’une rosette de 3 jauges à 45o

Une rosette à 45o est constituée de 3 jauges collées en un même point et mesurant les

allongements unitaires dans 3 directions distinctes à 45o l’une de l’autre (Fig. VI.7).

On place le repère (−→x , −→y ) de telle manière à aligner −→x et −→y avec les jauges perpendic-

ulaires. On note ǫ0, ǫ45 et ǫ90 les allongements unitaires mesurés par les 3 jauges. Donc on

a les relations suivantes :

ǫ0 = ǫx

ǫ90 = ǫy

ainsi que

ǫ45 = λ(α = 45o)

ǫ45 =ǫx − ǫy

2cos (2 × 45o) + ǫxy sin (2 × 45o) +

ǫx + ǫy

2


ǫ0 = ǫx

ǫ45 −→x

−→y

3 jauges à 0o, 45o et 90o

45o90o

0o

ǫ90 = ǫy

Figure VI.7 – Rosette de 3 jauges à 45o.

Figure VI.8 – Dispositif de photoélasticité

ǫ45 = ǫxy +ǫx + ǫy

2

On peut finalement en déduire les déformations au point de mesure dans la base (−→x , −→y ) en

fonction des allongements mesurés :

ǫx = ǫ0

ǫy = ǫ90

ǫxy = ǫ45 − ǫ0 + ǫ90

2

On peut ensuite en déduire l’opérateur des contraintes au point de mesure.

VI.2 Photoélasticité

VI.2.1 Principes

La photoélasticité permet d’étudier les contraintes dans des pièces planes en polymère trans-

parent par un système optique. La photo VI.8 présente le dispositif disponible au Cnam.


lumière quelconque

polariseur 1 polariseur 2lumièrepolariséedirection

−→d 1

lumière polariséeSortie :

car−→d 1 ‖ −→

d 2−→d 1

−→d 2

lumière quelconque

polariseur 1 polariseur 2lumièrepolariséedirection

−→d 1

extinctionSortie :

car−→d 1⊥−→

d 2−→d 1

−→d 2

Figure VI.9 – Filtres polarisants.

Définition électromagnétique de la lumière

Les phénomènes lumineux peuvent, selon la théorie électromagnétique, être considérés comme

liés à la propagation simultanée d’un champ électrique E et d’un champ magnétique H,

constamment perpendiculaires entre eux ainsi qu’à la direction de propagation, et dont les

valeurs sont des fonctions sinusoïdales du temps.

Lumière polarisée

Un filtre polarisant possède la propriété de ne laisser passer qu’une composante du champ

parallèle à une direction fixe dite axe de polarisation. Deux filtres polarisants successifs à

axes parallèles laissent passer la lumière ; s’ils ont croisés, c’est à dire à axes perpendiculaires,

ils ne laissent pas passer la lumière, le faisceau polarisé par le premier ayant une composante

nulle suivant l’axe du second (Fig. VI.9).

Biréfringence accidentelle

Une lumière plane se présentant suivant une direction de polarisation quelconque par rapport

aux axes d’un corps biréfringent se décompose en deux composantes parallèles−→b 1 et

−→b 2 à

ces axes (Fig. VI.10), chacune d’entre elles se comportant comme une onde plane autonome

progressant à une vitesse propre à sa direction.

La plupart des corps transparents isotropes deviennent biréfringents lorsqu’ils sont soumis

à des contraintes ; cette biréfringence accidentelle est telle que les axes de biréfringence co-

incident avec les directions principales des contraintes.

En plaçant le milieu biréfringent entre deux polariseurs croisés (Fig. VI.10), on observe

alors une extinction de lumière lorsque les axes de biréfringence sont parallèles aux axes des

polariseurs : ce sont les isoclines.

De plus, chaque onde se propageant dans le milieu biréfringent suivant chacune des

directions de biréfrince−→b 1 et

−→b 2 se propage avec une vitesse différente (Fig. VI.11). L’onde


lumière quelconque

polariseur 1 milieu biréfringent

−→d 1

−→b 2

polariseur 2

−→d 2

Sortie :extinction

lumière quelconque

polariseur 1 milieu biréfringent

−→d 1

−→b 1

−→b 2

polariseur 2

−→d 2

Sortie :lumière polarisée

−→b 1

−→b 1 est

direction principale

β −→z

−→y −→x

Figure VI.10 – Phénomène de biréfringence accidentelle.

effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 1

lumière dans le vide

effet de la traversée de la lame dans la direction−→b 2

retard

Milieubiréfringent

Figure VI.11 – Différence de phase entre les deux ondes qui sortent du milieu biréfringent.


suivant−→b 1 se propage à la vitesse c1 et celle suivant

−→b 2 se propage à la vitesse c2. Les

longueurs d’onde λ1 et λ2 des deux ondes sont différentes dans le milieu biréfringent, mais

sont identiques dans l’air après la traversée du milieu. Ce retard induit une extinction de la

lumière telle que (loi de Maxwell) :

σ1 − σ2 = Nλ

ce

où σ1 et σ2 sont les contraintes principales, N est l’ordre de frange, λ est la longueur d’onde,

c est la vitesse de la lumière et e est l’épaisseur du milieu biréfringent.

Le lieu des points où la lumière est éteinte due au retard sont les isochromatiques. L’ordre

de frange N est la composante de la lumière éteinte en lumière blanche. Il y a extinction

totale en lumière monochromatique. L’observation des couleurs permet de déterminer N .

Ordre N couleur visible

1 passage rouge-bleu

2 passage rouge-vert

n passage rouge-vert

Dans la pratique, l’effet des isoclines perturbe l’observation des isochromatiques. On

ajoute alors dans le montage deux lames quart-d’onde pour faire disparaitre les isoclines

(l’explication du fonctionnement des lames quart-d’onde n’est pas donnée ici).

VI.2.2 Mise en équation

En sortie du polariseur 1 le vecteur lumineux est parallèle à−→d 1 = −→x :

−→L = a −→x sin

2π

T

(

t − z

c

)

.

Le vecteur −→x se décompose suivant−→b1 et

−→b2 comme :

−→x = cos β−→b1 − sin β

−→b2 .

Donc le vecteur lumière se présentant à l’entrée du milieu biréfringent vaut :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z

c

)

− a sin β−→b2 sin

2π

T

(

t − z

c

)

.

Pendant la traversée du milieu biréfringent d’épaisseur e, la lumière se propage à la vitesse

c1 suivant−→b1 et c2 suivant

−→b2 . Les temps de traversée suivant chaque direction valent :

t1 =e

c1et t2 =

e

c2.

Le retard par rapport au temps qu’aurait mis chaque onde pour traverser le mileu est :

δ1 = c(t1 − tvide) = c( e

c1− e

c

)

= e( c

c1− 1

)

et

δ2 = c(t2 − tvide) = e( c

c2− 1

)

.

On appelle n1 et n2 les indices du milieu biréfringent tels que :

n1 =c

c1et n2 =

c

c2.


Les retards δ1 et δ2 deviennent alors :

δ1 = e (n1 − 1) et δ2 = e (n2 − 1).

A la sortie du milieu biréfringent, le vecteur lumière a pour expression :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z

c− δ1

c

)


2π

T

(

t − z

c− δ2

c

)

,

soit :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z + (n1 − 1)e

c

)


2π

T

(

t − z + (n2 − 1)e

c

)

.

En effectuant le changement de variable :

z′ = z + (n1 − 1)e

on peut écrire :

z + (n2 − 1)e = z + (n1 − 1)e + (n2 − 1)e − (n1 − 1)e = z′ + (n2 − n1)e = z′ − δ

avec δ = e(n1 − n2) qui est le retard entre les deux composantes du vecteur lumière à

la sortie du milieu biréfringent. En remplacant dans l’expression du vecteur lumière, son

expression devient :

−→L = a cos β

−→b1 sin

2π

T

(

t − z′

c

)


2π

T

(

t − z′ − δ

c

)

L’analyseur (ou polariseur 2) a pour direction de polarisation −→y . Le vecteur lumière à la

sortie de l’analyseur vaut :

−→L = a cos β sin β −→y sin

2π

T

(

t − z′

c

)

− a sin β cos β −→y sin2π

T

(

t − z′ − δ

c

)

car−→b1 .−→y = sin β et

−→b2 .−→y = cos β

En simplifiant, on a :

−→L = −→y a cos β sin β

[

sin2π

T

(

t − z′

c

)

− sin2π

T

(

t − z′ − δ

c

)]

avec :

sin p − sin q = 2 cosp + q

2sin

p − q

2

on a :−→L = −−→y a sin 2β cos

2π

T

(

t − z′

c+

δ

2c

)

sin2π

T

( δ

2c

)

L’amplitude de sortie du vecteur lumière vaut :

A = a sin 2β sinπ δ

T c

En introduisant la longueur d’onde λ = c T , on a :

A = a sin 2β sinπδ

λ


Cette amplitude vaut zéro dans deux cas différents :

sin 2β = 0 ou sinπδ

λ= 0.

Le premier cas sin 2β = 0 correspond aux isoclines, en effet ceci est équivalent à β = 0

ou β = π2 .

Le deuxième cas correspond aux isochromatiques :

sinπδ

λ= 0 ⇔ πδ

λ= Nπ ⇔ δ = λN

or la loi de Maxwell étant :

n1 − n2 = c(σ1 − σ2)

et δ = (n1 − n2)e, on a :

σ1 − σ2 =λ N

c e

Dans le cas d’une lumière monchromatique, on observe une extinction de lumière (bande

noire). Dans le cas d’une lumière blanche, seule la radiation correspondante à

c e (σ1 − σ2)

λ= N

est éteinte.

VI.2.3 Réseaux de courbes caractéristiques

Isoclines

Lieu des points du plan ou les contraintes principales ont une direction constante, chaque

isocline est accompagnée d’une cote donnant cette orientation.

Exemple d’application :

Sur l’isocline dessinée pour l’angle 30o, les directions principales des contraintes pour

tous les points de cette isocline sont 30o et 30 + 90 = 120o.

Isochromatiques

Lieu des points du plan pour lesquels la différence des contraintes principales est constante,

proportionnelle à N : σ1 − σ2 = kN .

Exemple d’application :

On étudie une pièce rectangulaire trouée en son milieu, sur laquelle on applique un effort

de traction (fig. VI.12). On peut considérer que loin du trou, l’état de contrainte est celui

d’une pièce en traction. Cela entraine que σ2 = 0 et donc par conséquent σ1 = kN . Si de

plus, on place le premier passage rouge-bleu (N = 1) dans cette partie de la pièce, alors

σ1 = k, ou encore k = σ∞ où σ∞ est la contrainte de traction appliquée loin du trou.

Le long du trou, au point A, les directions principales des contraintes sont −→x et −→y . La

contrainte principale σyy est nulle car aucun effort extérieur n’est appliqué en ce point. On

a donc en ce point :

σxx = kN = Nσ∞


σ∞

−→y

−→x

loin du trou, la pièce est en état de traction

Isochromatique N=1

A

Figure VI.12 – Plaque trouée en "traction".

En connaissant le numéro de l’isochromatique passant par ce point, on connait N , et par

conséquent la valeur de σxx. Si le point A est situé entre les isochromatiques 4 et 5, on en

déduit que

4σ∞ < σxx < 5σ∞

ou encore

4 <σxx

σ∞< 5.

Le coefficient de concentration de contraintes à cause de la présence du trou est compris

entre 4 et 5.

Isostatiques

Les isostatiques sont les courbes donnant en chaque point du plan, par leur tangente et leur

normale en ce point, la direction des contraintes principales. Ce réseau peut se construire

graphiquement à partir du réseau des isoclines. La méthodologie est la suivante (Fig. VI.13) :

– fixer le tracé des isoclines sous une feuille de papier calque,

– tracer le contour de la pièce étudiée,

– placer une feuille de papier avec un quadrillage sous l’ensemble précédent,

– orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 0o (tous les points de

l’isocline 0o ont donc pour directions principales les axes du quadrillage),

– tracer le long de l’isocline 0o des petites croix parallèles et perpendiculaires au quadrillage

(par exemple avec un intervalle de 1 cm entre deux croix),

– orienter le quadrillage pour qu’il soit parallèle à la direction 15o,

– tracer le long de l’isocline 15o des petites croix parallèles et perpendiculaires au

quadrillage,

– recommencer ces opérations pour les directions 30o, 45o, 60o et 75o,

– enlever le tracé des isoclines de façon à avoir seulement les croix et le contour de la

pièce,

– placer une nouvelle feuille de papier calque sur les croix pour pouvoir effacer les iso-

statiques sans effacer les croix,

– tracer les isostatiques en suivant les trois règles :


– les isostatiques sont tangentes aux croix,

– les isostatiques sont parallèles et perpendiculaires entre elles,

– le bord de la pièce est une isostatique,

– garder seulement le tracé des isostatiques et vérifier que les trois règles sont respectées.


isoclines

croix

tracé des isostatiques

isostatiques

Figure VI.13 – Etapes de construction des isostatiques.

Dimensionnement Structure en Treillis

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