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DEVOIRS DE MATHEMATIQUES1S1

Année scolaire 2014-2015

1 Les devoirs non surveillésDNS 1DNS 2DNS 3DNS 4DNS 5DNS 6DNS 7DNS 8

2 Les devoirs surveillésDS 1DS 2DS Commun DécembreDS 4DS 5DS 6DS Commun Avril

Lycée Gustave Eiffel 1èreS 2014/2015

DEVOIR NON SURVEILLE No 1

Exercice 1

Soient f et g les fonctions définies sur R par : f (x) = −x3 + 4x et g(x) = −x2 + 4.

On a tracé sur le graphique ci-contre les courbes re-présentatives de f et de g.

1) Associer chaque courbe à la fonction qu’ellereprésente. Justifier succintement.

2) Déterminer graphiquement le nombre de so-lutions des équations :

a) f (x) = 0 ; b) g(x) = 0 ;c) f (x) = g(x).

3) Résoudre par le calcul : f (x) = 0 et g(x) = 0

4) Résoudre graphiquement : f (x) 6 g(x).

5) Un logiciel de calcul formel affiche les résul-tats suivants :

1 factor(-x^3+x^2+4*x-4);

− (x− 2)(x− 1)(x+ 2)

a. Interpréter ces deux lignes.

b. En déduire une résolution algébrique del’inéquation f (x) 6 g(x).

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3−1−2−3 O ~ı

~

x

y

Exercice 2 La méthode d’Al-Khawarizmi

1) a. Prouver que l’équation x2 + 10x = 96 équivaut à (x+ 5)2 = 121.

b. En déduire les solutions de l’équation x2 + 10x = 96.

2) Pour déterminer une solution positive de l’équation x2 + 10x = 96, voici comment procédait Al-Khawarizmi (mathématicien arabe du IXè a) :

Diviser 10 par 2.Élever ce quotient au carré.Additionner ce carré à 96.Prendre la racine carrée de cette somme.Retrancher à ce résultat le quotient du début.

a. Vérifier que l’algorithme donne bien une solution positive de cette équation.

b. Trouver en utilisant la méthode d’Al-Khawarizmi une solution positive de l’équationx2 + 8x = 2009.

c. En admettant que ce procédé donne la seule solution positive pour des équations du typex2 + bx = c où b et c sont deux nombres positifs, écrire un algorithme qui mette en œuvre cetteméthode.

a. Il est à l’origine du mot « algorithme » (qui n’est autre que son nom latinisé : "algoritmi")



Exercice 1 Une aire minimale

ABCD est un carré de côté 7 cm. À partir d’un point M du segment [AD], on le découpe en quatre rec-tangles comme l’indique la figure ci-contre. On note S l’aire du domaine coloré.

1) On note AM = x. Dans quel intervalle, noté I, varie x ?

2) Démontrer que l’aire S est une fonction de x définie sur I par :

S(x) = 2x2 − 14x+ 49.

3) Mettre S sous forme canonique et en déduire les coordonnéesdu sommet de la parabole représentant S

4) Dresser en justifiant le tableau de variations de S sur I

5) Déterminer la position de M sur [AD] telle que l’aire S soit mi-nimale.

6) Déterminer les différentes positions du point M pour lesquellesl’aire S soit supérieure ou égale à 29 cm2.

A B

CD

M

x

x

Exercice 2 Avec un changement de variable

Dans cet exercice on se propose de résoudre l’équation (E) : 2x4 − 9x3 + 8x2 − 9x + 2 = 0 à l’aide d’unchangement d’inconnue.

1) 0 est-il solution de (E) ?

2) Démontrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation (E’) : 2x2 − 9x+ 8− 9x

+2x2 = 0

3) Pour tout réel x non nul on pose X = x+1x

.

a. Calculer X2 en fonction de x.

b. En déduire que l’équation (E’) équivaut à 2X2 − 9X+4 = 0

c. Résoudre l’équation 2X2 − 9X+4 = 0 puis en déduire les solutions de l’équation (E)

Exercice 3 Problème ouvert

Une parabole P coupe l’axe des abscisses en -1 et 5 et passe par le point C(2;−18).Calculer les coordonnées de son sommet.



Exercice 1

Le plan est muni d’un repère (O; #»ı , #» ).P est la parabole d’équation y = x2 − 4x + 3 et Dm est la droite d’équation y = mx + 2 où m est un réelquelconque.L’objectif de cet exercice est de déterminer quel est le nombre de points d’intersection de la paraboleP et de la droite Dm selon les valeurs dem.

Partie A. Étude d’un cas particulier :m = 1

1) Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de D1 si et seulement si x est solutionde x2 − 4x+ 3 = x+ 2.

2) Résoudre cette équation.

3) En déduire le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite D1.

Partie B. Cas général :m quelconque

1) Une conjectureÀ l’aide du logiciel Ge Gebra et d’un curseur m, représenter P et Dm et conjecturer, selon les valeursde m, le nombre de points d’intersection de la parabole P et de la droite Dm.On indiquera clairement les arguments en faveur de cette conjecture et on joindra une copie d’écran de sonfichier Geogebra à sa copie.

2) Résolution algébrique du problème

a. Montrer que le point M (x ; y) appartient à l’intersection de P et de Dm si et seulement si x estsolution de l’équation

Em : x2 − (4 +m)x+ 1 = 0

b. Déterminer, en fonction de m, l’expression du discrimant ∆m de l’équation Em.

c. Déterminer le signe de ∆m selon les valeurs de m.

d. En déduire le nombre de solutions de l’équation Em selon les valeurs de m.

e. Conclure.

Exercice 2

On considère un triangle ABC non aplati.

1) Construire les points D et E défini par# »

AD = 2# »

AB +# »

AC et# »BE = 1

3# »

BC.

2) Montrer que# »

AE = 23

# »

AB + 13

# »

AC.

3) En déduire que A, E et D sont alignés.



Exercice 1

On considère l’algorithme ci-contre.

1) Que renvoie l’algorithme pour x = 4 ?

2) Cet algorithme calcule l’image d’une certainefonction. Laquelle ?

3) Quelle fonction obtiendrait-on en permutantles lignes 4 et 5 ?

1 ENTREE2 LIRE X3 INSTRUCTIONS4 X PREND LA VALEUR X+35 X PREND LA VALEUR X^26 X PREND LA VALEUR 5X7 SORTIE8 AFFICHER X

Exercice 2

Une catapulte, située sur un sol parfaitement ho-rizontal, envoie un projectile dont la trajectoire estune parabole.Si la catapulte est placée en O, origine du repère, onadmet que la trajectoire est d’équation

y = − x2

80+ x

où x, réel positif, en abscisse, est la position horizon-tale du projectile par rapport à la catapulte et y, enordonnée, est l’altitude du projectile par rapport au

sol, ces deux valeurs étant exprimées en mètres.Le repère ci-dessous schématise la situation.

x

y

Tous les résultats devront être justifiés par le calcul.

1) À quelle distance de la catapulte le projectile retouchera-t-il le sol ?

2) Quelle sera l’altitude maximale du projectile ?

3) Le tir doit franchir un mur de 7,2 mètres de haut (qu’on considèrera d’épaisseur négligeable). Où doitse situer le pied du mur pour que ce franchissement soit possible ?

Exercice 3

ABCD est un parallélogramme.I est le milieu de [AD], E est le point tel que

# »

AE = 3# »

AB et F est le symétrique de I par rapport à D.

1) Construire les points I, E et F sur la figure ci-desous.

2) a. Exprimer# »DF en fonction de

# »

AD. En déduire que# »EF = −3

# »

AB + 1,5# »

AD.

b. Exprimer# »

EC en fonction de# »

AB et# »

AD.

c. Que peut-on en déduire pour les points E, C et F ? Justifier.3) Montrer que les droites (BI) et (EF) sont parallèles.

b

b

b

b

A

B

C

D

1S DEVOIR NON SURVEILLE à rendre le 21/11/2014

Soit f la fonction définie sur 0 ; par 1

( )f x xx

1) à l’aide d’un logiciel ou d’une calculette émettre une conjecture sur le sens de variation de f

2) démontrer que pour tous réels ,a b strictement positifs :

( )( 1)( ) ( )

b a abf b f a

ab

3) on suppose 1 a b ; déterminer dans ce cas le signe de ( ) ( )f b f a ; qu’en déduit-on sur les

variations de f ?

4) on suppose 0 1a b ; déterminer dans ce cas le signe de ( ) ( )f b f a ; qu’en déduit-on sur les

variations de f ?

5) donner le tableau de variation de f

6) démontrer que pour tout réel m strictement supérieur à 2 , l’équation ( )f x m possède deux

solutions dont on donnera les expressions en fonction de m

7) soit a un réel tel que 13a

a ; démontrer que

2

2

17a

a (d’après Concours Général)

8) soit g la fonction définie sur 0 ; par 22 3 2

g( )x x

xx

a) à l’aide d’un logiciel ou d’une calculette émettre une conjecture sur le sens de variation de g

b) démontrer que pour tout x , 0x , on a : ( ) 2 ( ) 3g x f x

c) en déduire le sens de variation de g



Exercice 1

Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 4x2 + 4x − 3.

1) Déterminer, en justifiant, le tableau de variation de f .

2) Soit g la fonction définie par g(x) =1

2x − 1− 1

2x+ 3.

a. Déterminer l’ensemble de définition de g, noté Dg .

b. Montrer que, pour tout x appartenant à Dg , g(x) =4

f (x).

c. En déduire, en justifiant, le tableau de variation de g.

Exercice 2

1) Sur le cercle trigonométrique, pourquoi les nombres 5π8 et 117π

8 repèrent-ils le même point ?

2) Trouver la mesure principale d’un angle orienté de mesure :

a) −5π3 b) −117π

7

3) Une mesure de ( #»u ; #»v ) est π6 .

Dans chacun des cas suivant, donner une mesure de l’angle orienté indiqué :

a) ( #»u ;2 #»v ) b) ( #»v ;−2 #»u ) c) (− #»v ;− #»u )

Exercice 3

Soit m un nombre réel. On considère la droite ∆m d’équation cartésienne, (1 +m)x+ (1−m)y − 6 = 0.

1) Montrer qu’il existe un point A commun à toutes les droites ∆m, quelque soit la valeur de m.

2) Pour chacun des cas suivants, déterminer la valeur de m, puis donner l’équation cartésienne de ∆m.

a. La droite ∆m passe par le point B(1;−1).

b. La droite ∆m est parallèle à l’axe des ordonnées.

c. Le vecteur #»u

(1−1

)est un vecteur directeur de ∆m.

d. La droite ∆m a pour coefficient directeur 3.



Exercice 1

La courbe C est la représentation graphique d’une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repèreorthogonal (O; #»ı , #» ).

1) Déterminer graphiquement :

a. f (0) et f ′(0) ;b. f (−1) et f ′(−1) ;c. f (2) et f ′(2) ;d. L’équation de la tangente (TA) au point d’abs-

cisse −1 ;e. L’équation de la tangente (TB) au point d’abs-

cisse 0.

2) La droite (T) tangente à la courbe C au pointd’abscisse −2 et d’ordonnée −1 passe par lepoint C de coordonnées (1 ; 26)

a. Déterminer par le calcul une équation de (T).

b. En déduire f ′(−2).c. Représenter (T) sur le graphique ci-contre

5

10

-5

1 2 3 4-1-2-3 0

A

B

C

b

b

b

b~ı

~

Exercice 2 Position d’une courbe par rapport à l’une de ses tangentes

O ~ı

~

O

(C f )

A

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Dans un repère (O; #»ı , #» ) on a tracé la courbe représentative Cf de lafonction f définie sur R par f (x) = x3 et (T) la tangente à Cf au pointA d’abscisse 1.

1) Déterminer par le calcul f (1) et f ′(1). En déduire l’équation dela droite (T).

2) Démontrer que étudier la position relative de Cf par rapport à(T) revient à étudier le signe de x3 − 3x +2.

3) Vérifier que pour tout nombre x,

x3 − 3x+2 = (x − 1)(x2 + x − 2).

4) En déduire alors la position relative de Cf par rapport à (T).

Exercice 3

1) Résoudre dans R les équations suivantes :

a. cos(x) = 12 .

b. cos(x) = −1.2) Déterminer les racines du trinôme 2t2 + t − 1 = 0.

3) On se propose de résoudre dans l’intervalle [0;2π[ l’équation : 2cos2(x) + cos(x)− 1 = 0.

a. Quelles sont les valeurs possibles de cos(x) ?

b. En déduire les solutions de l’équation 2cos2(x) + cos(x)− 1 = 0 sur [0;2π[



Exercice 1

Un fermier décide de réaliser un poulailler (de forme rectangulaire) le long du mur de sa maison. Cepoulailler devra avoir une aire de 392 m2. Où doit-on placer les piquets A et B pour que la longueur de laclôture soit minimale ?La figure ci-dessous représente le poulailler accolé à la ferme en vue de dessus. On appelle x la distanceséparant chaque piquet au mur et y la distance entre les deux piquets A et B. (On a donc x > 0 et y > 0).

1) Sachant que l’aire du poulailler est de 392 m2, exprimer y en fonction de x.

2) Démontrer que la longueur l(x) du grillage est : l(x) = 2x2+392x

3) Calculer la dérivée l′ de l. En déduire le tableau des variations de l.

4) En déduire les dimensions x et y pour lesquelles la clôture a une longueur minimale. Préciser cettelongueur.

A By

x x

Mur de la ferme

Exercice 2

Une entreprise veut réaliser les deux montants laté-raux d’un toboggan.La courbe qui modélise le toboggan est définiecomme une partie de la représentation graphiqueC d’une fonction f dans un repère orthonormé(O; #»ı , #» ) d’unité graphique 2 cm.La partie utile de la courbeC qui modélise le tobog-gan est délimitée par les points B et C de coordon-nées B(0,5;2) et C(2;0,2) comme le suggère le dessinci-contre.La fonction f est définie, pour tout nombre réel xstrictement positif, par :

f (x) = a+bx.

où a et b sont deux nombres réels.

1

2

1 2−1 0,5

0,2

0-0,5

bA

bB

b Cb

D

1) Déterminer a et b.

2) On admet que la fonction f est définie sur l’intervalle [0,5;2] par :

f (x) = −0,4 +1,2x

.

a. On note f ′ la fonction dérivée de f .Calculer f ′(x) pour tout nombre réel x de l’intervalle [0,5;2].

b. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0,5;2] et dresser le tableau devariation de f .

c. Déterminer une équation de la tangente T à C au point J d’abscisse 1.En déduire les coordonnées du point E intersection de T avec l’axe des abscisses.Tracer sur le graphique précédent la droite T et placer les points J et E.

d. A l’aide du triangle OAE et du polygone OABJCD, donner un encadrement de l’aire grisée.


DEVOIR SURVEILLE No 1On ne détaillera qu’une seule fois la résolution des équations du second degré dans le devoir.

Exercice 1

On a représenté ci-contre 3 paraboles représentanttrois polynomes du second degré f , g et h.

1) Compléter le tableau suivant avec les signesdes coefficients.(∆ désigne le discriminant du trinôme, a lecoefficient de x2, c le terme constant, α etβ les coefficients de la forme canonique).

∆ a c α βf (x)g(x)h(x)

2) Etablir, en justifiant, les expressions de f (x) etg(x).

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6

Cf

Cg

Ch

Exercice 2

On considère l’algorithme ci-dessous :

Algorithme: Qui suis-je ?Variables : a, b, c, d et eEntrées : a, b et c trois réels tels que a , 0Traitement

d reçoit −b/(2a)e reçoit a ∗ d2 + b ∗ d + c

FinSorties : Afficher d et e

1) Appliquer cet algorithme avec les valeurs : a = 2, b = 5 et c = −3 lues en entrée.

2) Quel est le rôle de cet algorithme ?

Exercice 3

Soit f et g les fonctions définies sur R par f (x) = −2x2 + x+ 2 et g(x) = −x − 10.

1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de Cf avec les axes du repère.

2) Etablir la forme canonique de f (x) puis construire le tableau de variation de f .

3) Etudier la position relative de Cf par rapport Cg .

Exercice 4

Résoudre l’inéquation suivante :2x2 − 2x+ 9

x+ 4> 3


DEVOIR SURVEILLE No 2

Exercice 1 6 points

Cet exercice est un QCM.Pour chaque affirmation une seule réponse est exacte.Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la lettre de la proposition exacte.Vous justifierez vos réponses.

1) La droite d’équation cartésienne, −4x+ 3y + 1 = 0 a pour vecteur directeur :

a. #»u 1

(43

)b. #»u 2

(−3−4

)c. #»u 3

(−34

)

2) La droite d’équation cartésienne, 2x+ 3y − 8 = 0 passe par le point :

a. A(1;2) b. B(3;2) c. C(0;4)

3) La droite d’équation cartésienne, −4x+ 2y + 3 = 0 est parallèle à la droite d’équation :

a. −6x − 3y − 1 = 0 b. x+ 12y + 1 = 0 c. y = 2x+ 3

4) La droite passant par le point A(1;2) et de vecteur directeur #»u

(−12

)a pour équation cartésienne :

a. 2x+ y − 1 = 0 b. −x+ 2y − 3 = 0 c. −2x − y + 4 = 0

5) Soit les quatre points du plan : M(x;5), A(2;4), R(3,x − 1) et E(2;1).Les droites (MA) et (ER) sont :

a. sécantes pour tout réel x de R b. parallèles pour deux valeurs de x distinctes

Exercice 2 8 points

ABCD et AIKJ sont deux parallélogrammes disposés comme l’indique la figure ci-dessous.

b

Ab

I

bK

bJ

b

Ab

B

bC

bD

bM

# »

AI =23

# »

AB et# »

AJ =12

# »

AD.

Le point M est l’intersection des droites (DI) et (BJ).On se propose de démontrer que les points M,K et C sont alignés. On choisit le repère (A;

# »

AI,# »

AJ).

1) Quelles sont les coordonnées de B,C,D K ? (Justifier)

2) Démontrer que 2x+ y − 2 = 0 est une équation cartésienne de (DI)

3) Déterminer une équation cartésienne de la droite (BJ) et en déduire les coordonnées du point M .

4) Répondre alors au problème posé.

Tournez s.v.pN

Exercice 3 6 points

On a mesuré la quantité en µg/L (microgramme par litre), d’une certaine molécule M dans le sang d’ungroupe 50 personnes :

Quantité (µg/L) 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190Effectifs 2 3 3 5 3 4 5 5 5 6 3 2 4

1) a. Calculer la moyenne x et de l’écart-type σ de cette série. On pourra utiliser la calculatrice.Arrondir les résultats à 0,1 près.

b. Les personnes dont la quantité de molécule M dans le sang n’appartient pas à l’intervalle[x − σ;x+ σ] seront convoquées pour réaliser une deuxième prise de sang.Quelle est la part, en pourcentage, de personnes à convoquer ?

2) a. Déterminer, en justifiant, la médiane et les quartiles de cette série statistique.

b. Tracer ci-dessous le diagramme en boîte de cette série.

Diagramme en boîte :

-1012345

1S_devoir commun_décembre 2014 Page 1/2

1S DS commun : 2h Dé cémbré 2014

La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

L'usage de la calculatrice est autorisé. Ce sujet comporte trois exercices.

Le barème est donné à titre indicatif pour vous permettre de gérer au mieux les deux heures.

EXERCICE 1 (5 points)

Vrai/Faux Pour chaque affirmation, vous indiquerez si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse (toute mauvaise

réponse ou réponse non justifiée ne rapportera aucun point).

Pour lés quéstions 1 ét 2, lé plan ést muni d’un répèré (𝑂; 𝑖, 𝑗).

1. Soit 𝑑1 d’équation : 5𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0, et 𝑑2 d’équation : 𝑦 = −5

2𝑥 + 3.

Les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont sécantes.

2. On considère le triangle de sommet les trois point : 𝐴(−2; 2), 𝐵(2;−1) et 𝐶(−1; 2).

Une équation de la médiane issue de 𝐶 dans le triangle 𝐴𝐵𝐶 est : 4𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0.

3. Lé plan ést muni d’un répèré orthonormé (𝑂; 𝑖, 𝑗). On considère les points 𝐴(−3; 2), 𝐵(−2; 4), 𝐶(4; 1), et 𝐼

le milieu du segment [𝐴𝐵].

La norme (longueur) du vecteur 𝐴𝐼 est : √47

2.

4. Soit 𝐴𝐵𝐶 un triangle non aplati.

Une équation de la droite (𝐵𝐶) dans le repère (𝐴; 𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 ) est : 𝑥 + 𝑦 − 1 = 0.

5. L’anglé oriénté de vecteur (, ) a pour mesure 273𝜋

12.

La mésuré principalé dé l’anglé oriénté dé véctéur (, ) est : −𝜋

4.

TSVP

1S_devoir commun_décembre 2014 Page 2/2


Fonctions associées

Partie 1 On considère la fonction 𝑢 définie sur ℝ par 𝑢(𝑥) = 2𝑥2 − 6𝑥 + 9.

1. Déterminer le tableau de variation de la fonction u, en justifiant soigneusement le résultat.

2. Expliquer pourquoi la fonction √𝑢 est définie sur ℝ. On justifiera soigneusement le résultat.

3. Déterminer le tableau de variation de la fonction √𝑢 sur ℝ, en citant un théorème du cours.

Partie 2 On considère un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷, tel que 𝐴𝐵 = 3 et 𝐴𝐷 = 2. On place un point 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵], et un point 𝑁 sur le segment [𝐵𝐶] tels que 𝐴𝑀 = 𝐵𝑁. On note 𝑥 la longueur 𝐴𝑀.

1. À quel intervalle 𝐼 appartient le réel 𝑥? 2. Calculer la longueur 𝑀𝑁 en fonction de 𝑥. 3. On désigne par 𝑓 la fonction qui à un réel 𝑥 dé l’intérvallé 𝐼 associe la longueur 𝑀𝑁. En vous servant de la partie 1, donner le tableau de variation de la fonction 𝑓. 4. Où doit-on placer le point 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵] pour que la distance 𝑀𝑁 soit minimale?

5. Si le point 𝑀 est à une distance supérieure à 1 et inférieure à 7

4 du point 𝐴, dans quel intervalle varie la

distance 𝑀𝑁?


Deux alignements, deux méthodes.

Alignement 1 Le triangle 𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral direct.

Les triangles 𝐷𝐵𝐴 et 𝐴𝐶𝐸 sont rectangles isocèles directs.

(On a donc 𝐵𝐷 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐶𝐸).

1. Donner la mesure principale des angles orientés suivants :

a. (𝐴𝐵 , 𝐴𝐶 )

b. (𝐴𝐶 , 𝐴𝐸 )

2. Montrer qu’une mesure de l’angle orienté (𝐴𝐷 , 𝐴𝐵 ) est 5𝜋

12 (on pourra travailler dans le triangle 𝐴𝐵𝐷).

3. En déduire l’alignement des points 𝐷, 𝐴 et 𝐸.

Alignement 2 On considère un triangle 𝐴𝐵𝐶.

Les points 𝐸 et 𝐹 sont définis par les relations vectorielles suivantes :

𝐴𝐸 = 𝐴𝐵 + 2𝐴𝐶

𝐵𝐹 =2

3𝐵𝐶

1. Faire une figure

2. Montrer que 𝐴𝐹 =1

3𝐴𝐵 +

2

3𝐴𝐶 .

3. En déduire que les points 𝐴, 𝐸 et 𝐹 sont alignés.


DEVOIR SURVEILLE No 4Exercice 1

À l’aide de la représentation graphique ci-contre dela fonction f , donner les valeurs de :

• f (−2), f (1), f (3) et f (5).

• f ′(−2), f ′(1), f ′(3) et f ′(5). 1

2

3

4

5

6

7

−1−2−3

1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5b

b

b

b

b

b

b

Exercice 2

Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée.

1) f (x) = −5x3 +4x2 − 9x− 5

2) f (x) =1

3x − 5

3) f (x) = (7x − 2)2

4) f (x) =25x− 3x

4

5) f (x) = (x − 2)√x

Exercice 3

Sur le graphique ci-contre C1 et C2 sont les courbesreprésentatives des fonctions f et g définies sur Rpar :

f (x) = −x2 +10x− 19 et g(x) = x2 − 2x− 11) Attribuez à chaque fonction sa courbe. (Justi-

fier)2) Démontrer que ces courbes ont un unique

point commun A dont on précisera les coor-données.

3) Démontrer qu’en ce point les deux courbes ontune tangente commune.

4) Tracer sur le graphique ci-contre cette tan-gente.

1234567

−1−2−3−4

1 2 3 4 5 6−1−2−3

C1

C2

Exercice 4

La courbe (Cf ) représentée ci-contre est une partiede la représentation graphique de la fonction f dé-

finie sur R∗ par : f (x) = ax2 − x + b

xoù les coefficients

sont à déterminer.

1) Déterminer graphiquement f (1), f ′(1).

2) Déterminer f ′(x) en fonction de a et de b. O ~ı

~

O

(C f )A

−1 0 1 2 3 4 5−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3) En utilisant les valeurs trouvées dans les questions précédentes, démontrer que les réels a et b véri-

fient le système suivant :

a+ b = 5

a− b = −3.

4) Résoudre le système et en déduire alors l’expression de f (x).



Exercice 1

Soient A, B et C les points dont les coordonnées dans un repère orthonormé (O; #»ı , #» ) sont A(3 ;2), B(0 ;5)et C(-2 ;-1).

1) Placer les points dans le repère et tracer le triangle ABC.

2) Calculer les normes des vecteurs# »

AB et# »

AC.

3) Calculer le produit scalaire# »

AB · # »

AC.

4) En déduire la mesure de l’angle BAC à un degré près.

Exercice 2

ABCD est un rectangle de longueur 4 cm, de largeur 3 cm et de centre O.Soient H et K les projetés orthogonaux des sommets B et D sur la diagonale (AC).

1) En décomposant judicieusement à l’aide de la relation deChasles les vecteurs

# »

CA et# »BD, montrer que

# »

CA · # »BD = 7.

2) En exprimant d’une autre manière le produit scalaire# »

CA ·# »BD, déterminer HK.

×

× ×

×

×

×

×

D C

BA

K

H

3

4

O

Exercice 3

Pour chacune des trois affirmations suivantes, une et une seule des trois propositions a, b, c est exacte.Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la proposition exacte.Aucune justification n’est attendue.Dans un repère orthonormé (O; #»ı , #» ) on considère la droite ∆ d’équation x + 4y − 3 = 0 et le cercle C decentre Ω(3;−2) et passant par le point A(−2,1).

1) Le vecteur ~u(−4;1) est un vecteur :a. directeur de ∆ b. normal à ∆ c. ni l’un ni l’autre.

2) La droite D d’équation 12x − 3y + 5 = 0 est :a. parallèle à ∆ b. perpendiculaire à ∆ c. ni l’un ni l’autre.

3) La droite T, tangente en A à C a pour équation :a. 5x − 3y + 13 = 0 b. 5x − 3y − 13 = 0 c. 3x+ 5y + 1 = 0

Exercice 4

Tous les résultats de cet exercice seront justifiés par un calcul.On construira une figure que l’on complètera au fur et à mesure.On considère, dans un repère (O; #»ı , #» ), les points A(0 ; −1), B(4 ; 3) et C(2 ; −5).

1) Calculer−−→AB · −−→AC . Le triangle ABC est-il rectangle en A ?

2) a. Montrer que la médiatrice ∆1 de [AC] admet pour une équation cartésienne x − 2y − 7 = 0 .

b. On admet que la médiatrice ∆2 de [AB] admet pour équation x+ y − 3 = 0.En déduire les coordonnées du centre Ω du cercle circonscrit C au triangle ABC.

c. Placer Ω et tracer C.



Exercice 1

On rappelle que le volume d’une pyramide est le tiers du produit de l’aire de sa base par sa hauteur.

Au centre d’un hall d’exposition, on doit monterdeux stands en toile réservés à l’accueil des visiteurs.Le premier a la forme d’une pyramide régulière àbase carrée et le second celle d’un cube ; ils sont ac-colés à la base par un côté et s’étalent sur une lon-gueur totale de 10 m.Pour des raisons esthétiques, le responsable de la dé-coration exige que la hauteur de la pyramide soitégale au côté de sa base et souhaite que l’aire totaleoccupée au sol par ces deux stands soit la plus petitepossible.Le responsable technique souhaite que le volume to-tal de ces deux stands soit le plus petit possible pourpermettre une économie d’énergie.

Ils s’adressent à l’ingénieur en chef (c’est vous) pour qu’il trouve la meilleure solution.On note x la longueur, et donc la hauteur, en mètres de la pyramide, x étant compris entre 0 et 10.On note A la fonction qui à x associe l’aire totale occupée au sol par les deux stands et V la fonction qui àx associe leur volume total, ces deux fonctions étant définies sur [0;10].

1) a. Calculer A(x) en fonction de x.

b. Déterminer le sens de variation de la fonctionA, dresser son tableau de variation et préciser sonminimum sur [0;10].

2) a. Montrer que V (x) = −23x

3 + 30x2 − 300x+ 1000.

b. Déterminer le sens de variation de la fonction V , dresser son tableau de variation et préciser sonminimum sur [0;10]. En donner une valeur approchée arrondie à l’unité.

3) Vous êtes l’ingénieur : quelle valeur entière de x choisiriez-vous ? Expliquer votre choix

Exercice 2 Forage

Une entreprise estime le coût d’un forage ainsi :

• le premier mètre coûte 1 000 euros.

• Le second mètre coûte 1 050 euros et chaque mètre supplémentaire coûte 50 euros de plus que leprécédent.

• On dispose d’un crédit de 519 750 AC.

On appelle (un) la suite telle que u1 = 1 000 et un représente de coût du ne mètre.

1) Montrer que (un) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.Exprimer alors un en fonction de n.

2) Exprimer en fonction de n la somme S = u1 +u2 + · · ·+un.

3) Montrer que le nombre de mètres n que l’on peut forer avec le crédit alloué vérifie :n2 + 39n− 20 790 = 0

4) Quelle est alors la profondeur du forage ?

Exercice 3

Le gérant d’un parc d’attractions note chaque année le nombre de visiteurs. Il obtient les résultats suivants :

Année 2005 2006 2007Nombre de visiteurs 40000 48000 57600

On note u0 le nombre de visiteurs en 2005, u1 le nombre de visiteurs en 2006 et u2 le nombre de visiteursen 2007.

1) a. Les nombres u0, u1 et u2 forment-ils une suite arithmétique ?

b. Les nombres u0, u1 et u2 forment-ils une suite géométrique ?

Le gérant du parc veut prévoir des installations supplémentaires pour répondre à la demande croissantedu nombre de visiteurs.Il estime que chaque année le nombre de visiteurs va augmenter de 20 %.On note un le nombre de clients en (2005 +n).

2) a. Justifier que (un)n∈N est une suite géométrique dont on déterminera la raison.Exprimer un en fonction de n.

b. Calculer le nombre de visiteurs que l’on peut ainsi prévoir en 2015.

3) Si l’évolution se poursuit ainsi combien de personnes auront visité le parc d’attractions entre le 1er

janvier 2005 et le 31 décembre 2015 ?

4) Le gérant souhaite dépasser le million de visiteurs annuels, compléter ci dessous l’algorithme don-nant l’année à partir de laquelle il atteindra son objectif.

VariablesN entier, U réelInitialisation

· · · · · · · · · · · · · · · → N

· · · · · · · · · · · · · · · → U

Traitement

Tant que · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · → U

· · · · · · · · · · · · · · · · · · → NFin Tant queSortieAfficher · · · · · · · · · · · ·

1S : devoir commun de mathe matiques Dure e: 3 h

Donne le /04/2015

Ce sujet comporte trois exercices.

La calculatrice est autorisée.

Le barème est donné à titre indicatif et pourra être légèrement modifié.

Exercice 1 (6 points) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0; 15] par 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 60𝑥2 + 450𝑥 − 500

Première partie 1. Calculer 𝑓′(𝑥). 2. Étudier le signe de 𝑓′(𝑥) sur l’intervalle [0; 15]. 3. En déduire le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur l’intervalle [0; 15]. 4. On admet que l’équation 𝑓(𝑥) = 0 a deux solutions distinctes dans l’intervalle [0; 15].

En utilisant les fonctionnalités de votre calculatrice, donner des valeurs approchées à 10−1 près de ces deux solutions (on notera 𝛼 la plus petite et 𝛽 la plus grande de ces solutions).

Seconde partie Un fabricant envisage de produire des boîtes en forme de pavé droit pour emballer des clous. Pour cela, il découpe deux bandes de même largeur dans une feuille de carton carrée comme indiqué ci-dessous. Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm. On désigne par 𝑥 la mesure en cm de la largeur des bandes découpées. On admet que 0 ≤ 𝑥 ≤ 15.

1. Calculer le volume de la boîte pour 𝑥 = 2 2. Justifier que le volume 𝑉(𝑥) de la boîte, exprimé en cm3 est : 𝑉(𝑥) = 𝑥(15 − 𝑥)(30 − 2𝑥). 3. Vérifier que le volume 𝑉(𝑥) est égal à 𝑓(𝑥) + 500, où 𝑓 est la fonction définie précédemment. 4. En déduire la valeur de 𝑥 pour laquelle le volume de la boîte est maximal. Préciser la valeur du volume

maximal. 5. Le fabricant veut des boîtes de 500 cm3. Combien existe-t-il de possibilités? Justifier votre réponse.

Exercice 2 (7 points)

On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel par : 𝑢0 = 5 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 3 si 𝑛 ∈ ℕ

1. a. Calculer 𝑢1, 𝑢2 et 𝑢3.

b. La suite (𝑢𝑛) est-elle arithmétique ? géométrique ? ni l’un ni l’autre ? Justifier.

c. On considère l’algorithme suivant, écrit à l’aide du logiciel Algobox :

Que calcule cet algorithme ?

2. Soit la suite (𝑣𝑛) définie pour 𝑛 entier naturel par : 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 3

a. Calculer les termes 𝑣0, 𝑣1, 𝑣2 et 𝑣3. Que peut-on conjecturer sur la nature de la suite (𝑣𝑛) ?

b. Démontrer que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = 3𝑣𝑛

c. Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛. En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑢𝑛 = 3 + 2𝑛+1

d. Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.

3. On a écrit l’ algorithme suivant qui calcule la somme : 𝑆 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢10

a. Recopier et compléter sur votre copie la ligne 11 de l’algorithme

b. Pour 𝑛 entier naturel, démontrer que : 𝑣0 + 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 2𝑛+2 − 2

c. En déduire que pour 𝑛 entier naturel : 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 2𝑛+2 + 3𝑛 + 1

d. Le résultat affiché par l’algorithme précédent est-il confirmé ? Justifier.

Exercice 3 (7 points) Une urne contient 5 boules rouges, 4 jaunes et 𝑛 vertes, où 𝑛 est un entier naturel non nul.

Ces 𝑛 + 9 boules sont indiscernables au toucher.

On tire successivement et avec remise deux boules de l’urne.

Première partie Dans cette partie, et dans cette partie uniquement, on considère que 𝑛 = 6

Les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible.

1. Combien de tirages équiprobables composent l’univers ?

2. Déterminer la probabilité de l’évènement 𝐴 : « les deux boules tirées sont de couleur verte ».

3. Montrer que la probabilité de l’évènement 𝐵 : « les deux boules tirées sont de la même couleur » est :

𝑝(𝐵) =77

225

4. En déduire la probabilité de l’évènement 𝐶 : « les deux boules tirées sont de couleur différente ».

5. On considère le jeu suivant : le joueur gagne 2€ si les deux boules obtenues sont de la même couleur, et

perd 3€ sinon. On appelle 𝑋 la variable aléatoire du gain (positif ou négatif) du joueur.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋.

b. Déterminer l’espérance et l’écart type de la variable aléatoire 𝑋. (Aucun détail n’est demandé à

cette question, et les résultats pourront ici être approximés).

c. Estimer le gain du joueur s’il joue 25 parties à la suite.

Seconde partie On revient au cas général d’une urne qui contient 5 boules rouges, 4 jaunes et 𝑛 vertes, où 𝑛 est un entier naturel

non nul.

1. Exprimer en fonction de 𝑛 les probabilités des évènements 𝑀 et 𝐷 définis par :

𝑀 : « les deux boules tirées sont de la même couleur »

𝐷 : « les deux boules tirées sont de couleur différente »

2. On considère le même jeu que dans la partie 1: le joueur gagne 2€ si les deux boules obtenues sont de la

même couleur, et perd 3€ sinon. On appelle 𝑋 la variable aléatoire du gain (positif ou négatif) du joueur.

Montrer que l’espérance de 𝑋 est : 𝐸(𝑋) =2(𝑛2−27𝑛−19)

(𝑛+9)2

3. On considère la fonction 𝑓 définie sur [1; +∞[ par 𝑓(𝑥) =2(𝑥2−27𝑥−19)

(𝑥+9)2

a. Un logiciel de calcul formel a renvoyé les résultats suivants :

en exploitant la capture d’écran ci-contre,

dresser la tableau de variation de la fonction 𝑓 sur

l’intervalle [1; +∞[.

b. En déduire l’existence d’un extremum, dont on précisera

la nature et la valeur approché à 10−2 près.

4. En utilisant l’étude précédente, donner le nombre 𝑛 de boules

vertes qu’il faut placer dans l’urne pour avoir 𝐸(𝑋) minimale.

Question hors barème :

Question à traiter uniquement s’il vous reste du temps en fin de devoir :

Montrer que 𝑓′(𝑥) = 10 ×9𝑥−41

(𝑥+9)3

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