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o LECARPENTIER Jean-François

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Table des matières

Préface 5

Assistance et soutien scolaire MATHS-LYCEE.FR 7

A lire impérativement avant de commencer 8

1 Second degré 9

1.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Discriminant et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Cas où le calcul du discriminant est inutile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Signe-inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Tableau de signes d'un polynôme de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.2 Inéquations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Dérivation 25

2.1 Taux de variation et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.1 Calcul du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.2 Lecture graphique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.3 Équation d'une tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3 Dérivée de f(ax+ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4 Signe de la dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Suites 43

3.1 Forme explicite et relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2 Variations d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.1 Calculs avec les suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.2 Somme des termes d'une suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1 Calculs avec les suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.2 Somme des termes d'une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Exponentielle 61

4.1 Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3 Étude des variations avec la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3

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5 Trigonométrie 71

5.1 cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Angles associés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.4 Fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6 Produit scalaire 91

6.1 Rappels de seconde : coordonnées d'un vecteur et distances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 Produit scalaire(dé�nition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.3 Produit scalaire avec le projeté orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Produit scalaire avec les normes des vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.5 Produit scalaire dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.6 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.7 Exercices d'application dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.7.1 Calcul d'une longueur dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7.2 Calcul d'un angle dans un triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Droites et cercles 115

7.1 Équation réduite d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3 Droites parallèles et perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.3.1 Droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3.2 Droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4 Équation d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

8 Probabilités 137

8.1 Notations et rappels de seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.2 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1388.3 Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1438.4 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.5 Variable aléatoire et espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.5.1 Loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.5.2 Espérance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9 Compléments : algorithmes et python 153

9.1 Variables et opérations sur les nombres avec Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.2 Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.3 Comparaison de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.4 Manipuler les nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.5 Test Si....ALORS....SINON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.6 Boucles POUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.7 Boucles TANT QUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

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Préface

Cet ouvrage permet aux élèves de première spécialité mathématiques de se familiariser avec les notions essen-tielles du programme 2019.

Il a été conçu dans le but de revoir et appliquer directement chaque notion au programme de première surdes exemples simples en tenant compte des di�cultés rencontrées le plus souvent chez les élèves de première.

Les vidéos associées aux exercices d'application permettent une approche plus ludique et d'avoir des explicationscomplémentaires à celles de la version écrite d'un exercice.

Vous aurez accès aux exercices plus complets et de recherche sur le site MATHS-LYCEE.FR associé à ce livre.

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A lire impérativement avant de commencer

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Pour chaque chapitre, des séquences de travails sont plani�ées pour progresser à son rythme (menu planning dutravail pour chaque chapitre).

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Chapitre 1

Second degré

Sommaire1.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Discriminant et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Cas où le calcul du discriminant est inutile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Signe-inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.1 Tableau de signes d'un polynôme de degré 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Inéquations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.1.FORMECANONIQUE.

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1.1 Forme canonique

Mémo : variationsP est une fonction polynôme de degré 2 dé�nie sur R par P (x) = ax2 + bx+ c où a, b et c sont des réels et a 6= 0

P (x) = a(x− α)2 + β est la forme canonique de P avec α = −b2a

et β = P (α)��

��réf 639-Déterminer la forme canonique

Exercice 1 déterminer la forme canonique connaissant la fonction

Pour chacun des cas ci-dessous, f est une fonction polynôme de degré 2 dé�nie sur R et on note P la courbe représen-tative de f dans un repère orthogonal.

Donner les coordonnées du sommet de P puis donner la forme canonique de f .1. f(x) = 3x2 + 12x+ 5

* Solution:

f(x) = 3x2 − 12x+ 5 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx+ c avec a = 3, b = +12 et c = 5

α =−b2a

=12

6= 2

β = f(α) = 3× 22 + 12× 2 + 5 = 41

Le sommet de P a pour coordonnées S(2; 41)

La forme canonique de f est f(x) = a(x− α)2 + β = 3(x− 2)2 + 41

2. f(x) = 2x2 − 16x+ 7

* Solution:

f(x) = 2x2 − 16x+ 7 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx+ c avec a = 2, b = −16 et c = 7

α =−b2a

=16

4= 4 b = −16 donc −b = +16

β = f(α) = f(4) = 2× 42 − 16× 4 + 7 = 32− 64 + 7 = −25

Le sommet S de P a pour coordonnées S(4;−25)

La forme canonique de f est f(x) = a(x− α)2 + β = 2(x− 4)2 − 25

3. f(x) = −10x− x2 + 1

* Solution:

les termes de f(x) ne sont pas ordonnés selon les puissances décroissantes de xCommencer par écrire f(x) sous la forme ax2 + bx+ c et identi�er les coe�cients a, b et cf(x) = −10x − x2 + 1 = −x2 − 10x + 1 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx + c avec a = −1,

b = −10 et c = 1

spécialité maths première Page 10 CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ

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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.1.FORMECANONIQUE.

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α =−b2a

=10

−2= −5

β = f(α) = f (−5) = −(−5)2 − 10× (−5) + 1 = −25 + 50 + 1 = 26

Le sommet S de P a pour coordonnées S(−5; 26)

La forme canonique de f est f(x) = a(x− α)2 + β = −(x+ 5)2 + 26

α = −5 donc x− α = x− (−5) = x+ 5��

��réf 641-Déterminer la forme canonique à partir du graphique

Exercice 2 déterminer la forme canonique connaissant la parabole

On donne ci-dessous les représentations graphiques P1, P2 et P3 respectivement des fonctions polynôme de degré 2 f1,f2 et f3.

Déterminer l'expression de chacune de ces fonctions sous forme canonique puis développée.

1. Pour f1 :

* Solution:

On pose f1(x) = a1(x− α1)2 + β1Pour la parabole P1, on a a1 > 0 (parabole orientée vers le haut) et le sommet S1 a pour coordonnées (2;−5)On a donc α1 = 2 et β1 = −5donc f1(x) = a1(x− 2)2 − 5La parabole P1 passe par le point A de coordonnées (0;−3) par exempledonc f1(0) = −3donc f1(0) = a1(0− 2)2 − 5 = −3 (on remplace xpar 0 dans l'expression de f1)

a1(0− 2)2 − 5 = −3⇐⇒ 4a1 = 2⇐⇒ a1 =1

2

f1(x) =1

2(x− 2)2 − 5

=1

2(x2 − 4x+ 4)− 5



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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.2.VARIATIONS.

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=x2

2− 2x+ 2− 5

=x2

2− 2x− 3

f1(x) =1

2(x− 2)2 − 5 = x

2

2− 2x− 3

1.2 Variations

Mémo : variationsP est une fonction polynôme de degré 2 dé�nie sur R par P (x) = ax2 + bx+ c où a, b et c sont des réels et a 6= 0

Le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α;β) avec α =−b2a

et β = f(α).

On a alors deux cas possibles a > 0 et a < 0 :

��

��réf 640-sommet de la parabole et tableau de variation

Exercice 3 dresser le tableau de variation connaissant la fonction

Pour chacun des cas ci-dessous, f est une fonction polynôme de degré 2 dé�nie sur R et on note P la courbe représentativede f dans un repère orthogonal.

Dresser le tableau de variation de f

1. f(x) = 2x2 − 8x+ 1

* Solution:

f(x) = 2x2 − 8x+ 1 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx+ c avec a = 2, b = −8 et c = 1



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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.2.VARIATIONS.

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α =−b2a

=8

4= 2

β = f(α) = 2× 22 − 8× 2 + 1 = −7La forme canonique de f est f(x) = a(x − α)2 + β = 2(x − 2)2 − 7 et le sommet S de la parabole a pour

coordonnées S(2;−7)

Le sommet S de P a pour coordonnées S(2;−7)

Le coe�cient a de x2 est positif donc la fonction f est décroissante sur ]−∞; 2[ et croissante sur ]2; +∞[

2. f(x) = −3x2 + 6x− 2

* Solution:

f(x) = −3x2 + 6x− 2 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx+ c avec a = −3, b = 6 et c = −2

α =−b2a

=−6−6

= 1

β = f(α) = f(1) = −3 + 6− 2 = 1La forme canonique de f est f(x) = a(x − α)2 + β = −3(x − 1)2 + 1 et le sommet S de la parabole a pour

coordonnées S(1; 1)

Le sommet S de P a pour coordonnées S(1; 1)

Le coe�cient a de x2 est négatif donc la fonction f est croissante sur ]−∞; 1[ et décroissante sur ]1; +∞[

3. f(x) = 10x+ 3− 2x2

* Solution:

f(x) = 10x + 3 − 2x2 = −2x2 + 10x + 3 est un polynôme de degré 2 de la forme ax2 + bx + c avec a = −2,b = 10 et c = 3

α =−b2a

=−10−4

=5

2

β = f(α) = f

(5

2

)= −2× 25

4+ 10× 5

2+ 3 =

−252

+ 25 + 3 =31

2

La forme canonique de f est f(x) = a(x− α)2 + β = −2(x− 5

2

)2+

31

2et le sommet S de la parabole a pour

coordonnées S

(5

2;

31

2

)

Le sommet S de P a pour coordonnées S(

5

2;

31

2

)

Le coe�cient a de x2 est négatif donc la fonction f est croissante sur ]−∞; 52

[ et décroissante sur ]5

2; +∞[



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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.3.RACINES.

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1.3 Racines

1.3.1 Discriminant et racines

Mémo : racineP (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0), x1 est une racine de P si et seulement si P (x1) = 0

Mémo : discriminant-racinesP (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0)Le nombre réel noté ∆ = b2 − 4ac est appelé discriminant de P .

o Si ∆ > 0 il y a deux racines

x1 =−b+

√∆

2aet x2 =

−b−√

∆

2a

o Si ∆ = 0, il y a une racine x1 =−b2a

o Si ∆ < 0 il n'y a aucune racine

Exercice 4 : Déterminer les racines de chaque polynôme si elles existent

Déterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 ci-dessous :

1. P (x) = 2x2 − 4x− 6

* Solution:

Ici, on a a = 2, b = −4 et c = −6∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4× 2× (−6) = 16 + 48 = 64∆ > 0 donc il y a deux racines :

x1 =−b−

√∆

2a=

4−√

64

4=

4− 84

= −1

et x2 =−b+

√∆

2a=

4 +√

64

4=

4 + 8

4= 3

Les racines de P (x) sont x1 = −1 et x2 = 3

Remarque

Cela signi�e que P (−1) = 2× (−1)2 − 4× (−1)− 6 = 2 + 4− 6 = 0 et que P (3) = 0Quand le coe�cient b est négatif, attention à bien écrire (b)2

En e�et −42 = −16 mais (−4)2 = +16 (la deuxième écriture est correcte pour le calcul de ∆)Penser à véri�er les calculs avec le MENU EQUATION de la calculatrice



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2. P (x) = −3x2 + 5x− 3

* Solution:

Ici, on a a = −3, b = 5 et c = −3∆ = b2 − 4ac = 52 − 4× (−3)× (−3) = 25− 36 = −11∆ < 0 donc P (x) n'admet pas de racines.

P (x) n'admet aucune racine. (∆ < 0)

3. P (x) = 12x− 2x2 − 18

* Solution:

les termes ne sont pas ordonnés selon les puissances décroissantes de x.On a donc P (x) = −2x2 + 12x− 18Ici, on a a = −2, b = 12 et c = −18∆ = b2 − 4ac = (12)2 − 4× (−2)× (−18) = 144− 144 = 0∆ = 0 donc P (x) n'admet qu'une seule racine (racine double).

x1 =−b2a

=−12−4

= 3

P (x) admet pour racine x1 = 3.

1.3.2 Somme et produit des racines

Mémo : somme et produit des racinesP (x) = ax2 + bx+ c (avec a 6= 0)

Si le polynôme admet deux racines x1 et x2 alors x1x2 =c

aet x1 + x2 =

−ba

Remarque

Si la somme des coe�cients est égale à 0 alors x1 = 1 est une racine du polynôme.

réf 605 produit des racines

Exercice 5 utiliser le produit des racines

1. Déterminer les racines de P (x) = 3x2 − 5x+ 2 sans calculer le discriminant.

* Solution:

On a a = 3, b = −5 et c = 2 donc a+ b+ c = 3− 5 + 2 = 0donc P (1) = 3× 12 − 5× 1 + 2 = 3− 5 + 2 = 0donc x1 = 1 est une racine de P .

x1x2 =c

asoit 1x2 =

2

3

donc x2 =2

3

Les racines de P sont x1 = 1 et x2 =2

3.


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2. En remarquant que x1 = 2 est une racine de P (x) = 2x2 − 500x+ 992, déterminer les racines de P .

* Solution:

P (2) = 2× 22 − 500× 2 + 992 = 8− 1000 + 992 = 0donc x1 = 2 est une racine de P .

x1x2 =c

adonc 2x2 =

992

2donc x2 =

992

2× 2=

992

4= 248

Les racines de P sont x1 = 2 et x2 = 248.

1.3.3 Cas où le calcul du discriminant est inutile

Mémo : cas où l'on peut éviter le calcul de ∆o cas où b = 0

On peut "isoler" x2 : ax2 + c = 0⇐⇒ x2 = −ca

o Cas où c = 0On peut factoriser x : ax2 + bx = 0⇐⇒ x(ax+ b) = 0⇐⇒ x = 0 ou ax+ c = 0

o Cas où l'on peut trouver une racine "simple" (voir section précédente)

On utilise x1x2 =c

a��

��réf 605-racines sans calculer le discriminant

Exercice 6 : recherche des racines sans calculer ∆

Déterminer si elles existent, les racines des polynômes de degré 2 sans calculer le discriminant (∆)

1. P (x) = 2x2 − 18

* Solution:

On est dans le cas où b = 02x2 − 18 = 0⇐⇒ 2x2 = 18

⇐⇒ x2 = 9⇐⇒ x =

√9 ou x = −

√9

⇐⇒ x = 3 ou x = −3

Les racines de P sont x1 = 3 et x2 = −3.

2. P (x) = 3x2 + 8

* Solution:

On est dans le cas où b = 03x2 + 8 = 0⇐⇒ 3x2 = −8

⇐⇒ x2 = −83

x2 ≥ 0 donc cette équation n'admet aucune solution.

P n'admet aucune racine.



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3. P (x) = −2x2 + 8x

* Solution:

On est dans le cas où c = 0−2x2 + 8x = 0⇐⇒ x(−2x+ 8) = 0

⇐⇒ x = 0 ou −2x+ 8 = 0⇐⇒ x = 0 ou x = 4

P admet donc deux racines x1 = 0 et x2 = 4.

4. P (x) = x2 − 4x+ 3

* Solution:

On a a = 1, b = −4 et c = 3et la somme des coe�cients de P (x) est égale à 0.donc P (1) = a+ b+ c = 1− 4 + 3 = 0donc x1 = 1 est une racine de P (x)Si on note x2 la seconde racine de P (x), on a alors :

x1 × x2 = 1× x2 =c

a= 3 donc x2 = 3

Les racines de P sont x1 = 1 et x2 = 3

1.3.4 Équations

Méthode : résolution d'une équation du second degré

â Il faut avoir 0 dans le membre de gauche

â Développer et simpli�er pour se ramener à une équation de la forme ax2 + bx+ c = 0

â rappel :a

b=c

d(b 6= 0 et d 6= 0) ⇐⇒ ad = bc (produits en croix égaux)�

��réf 607-équations du second degré

Exercice 7 : équations simples

Résoudre dans R les équations suivantes :

penser à contrôler les résultats avec la calculatrice

1. 2x2 − 6x = −7

* Solution:

2x2 − 6x = −7⇐⇒ 2x2 − 6x+ 7 = 0Ici, on a a = 2, b = −6 et c = +7∆ < 0 donc il n'y a aucune solution

S = �



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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.4.SIGNE-INÉQUATIONS.

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2. (2x− 1)2 = 5− 4x

* Solution:

(2x− 1)2 = 5− 4x⇐⇒ 4x2 − 4x+ 1 = 5− 4x⇐⇒ 4x2 − 4x+ 1− 5 + 4x = 0⇐⇒ 4x2 − 4 = 0⇐⇒ x2 = 1⇐⇒ x =

√1 = 1 ou bien x = −

√1 = −1

Les solutions de l'équation sont x1 = 1 et x2 = −1

S = {−1 ; 1}

3. (2x+ 1)2 = 1− (3x+ 2)2

* Solution:

(2x+ 1)2 = 1− (3x+ 2)2 ⇐⇒ 4x2 + 4x+ 1 = 1− (9x2 + 12x+ 4)⇐⇒ 4x2 + 4x+ 1 = 1− 9x2 − 12x− 4⇐⇒ 4x2 + 4x+ 1− 1 + 9x2 + 12x+ 4 = 0⇐⇒ 13x2 + 16x+ 4 = 0

Ici a = 13, b = 16 et c = 4

∆ = b2 − 4ac = (16)2 − 4× 13× 4 = 48∆ > 0 donc il y a deux solutions :

x1 =−b−

√∆

2a=−16−

√48

26=−16−

√16× 3

26=−16− 4

√3

26=

4(−4−√

3)

26

soit x1 =2(−4−

√3)

13=−8− 2

√3

13

et x2 =−b+

√∆

2a=−16 +

√48

26=−16 + 4

√3

26=−8 + 2

√3

13

Les solutions de l'équation sont x1 =−8− 2

√3

13et x2 =

−8 + 2√

3

13

S =

{−8− 2

√3

13;−8 + 2

√3

13

}

Penser à véri�er les solutions avec le MENU EQUATION de la calculatrice.

1.4 Signe-inéquations

Mémo signe de ax2 + bx + c



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CHAPITRE1.SECONDDEGRÉ-1.4.SIGNE-IN

ÉQUATIONS.

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1.4.1 Tableau de signes d'un polynôme de degré 2��

��réf 643- signe de ax2 + bx+ c

Exercice 8 : signe d'un polynôme de degré 2

Etudier le signe des polynôme de degré 2

1. 3x2 − 4x+ 1

* Solution:

Ici on a a = 3, b = −4 et c = 1∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4× 3× 1 = 16− 12 = 4∆ > 0 donc il y a deux racines :

x1 =−b−

√∆

2a=

4− 26

=2

6=

1

3

et x2 =−b+

√∆

2a=

4 + 2

6= 1

Etude du signe de 3x2 − 4x+ 1

3x2 − 4x+ 1 est positif sur ]−∞; 13

] ∪ [1; +∞[ et négatif sur ] 13

; 1[

Remarque

On pouvait éviter de calculer ∆.La somme des coe�cients est nulle, a+ b+ c = 0donc x1 = 1 est une racine de 3x2 − 4x+ 1On peut utiliser le produit des racines soit x1 × x2 =

c

a

donc x2 =1

3



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2. −2x2 + 4x− 7

* Solution:

Ici on a a = −2, b = 4 et c = −7∆ = b2 − 4ac = 16− 4× (−2)× (−7) = −40donc −2x2 + 4x− 7 n'admet aucune racineet est du signe de a = −2 coe�cient de x2

donc −2x2 + 4x− 7 est du signe de a = −2 coe�cient de x2 pour tout réel x.

Pour tout réel x, −2x2 + 4x− 7 < 0

3. x2 − 6x+ 9

* Solution:

Ici on a a = 1, b = −6 et c = 9∆ = b2 − 4ac = (+6)2 − 4× 1× 9 = 0donc x2 − 6x+ 9 admet une seule racine (racine double)

x1 =−b2a

=6

2= 3

donc x2 − 6x+ 9 est du signe de a = 1 coe�cient de x2

Pour tout réel x, x2 − 6x+ 9 ≥ 0

1.4.2 Inéquations du second degré��

��réf 645- inéquations du second degré

Exercice 9 : inéquations simples

Résoudre les inéquations suivantes

1. x2 − 4x+ 3 > 0

* Solution:

Ici on a a = 1, b = −4 et c = 3∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4× 1× 3 = 16− 12 = 4



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∆ > 0 donc il y a deux racines :

x1 =−b−

√∆

2a=

4− 22

= 1

x2 =−b+

√∆

2a=

4 + 2

2= 3

Etude du signe de x2 − 4x+ 3

x2 − 4x+ 3 > 0 pour x ∈]−∞; 1[∪]3; +∞[

S =]−∞; 1[∪]3; +∞[

Remarque

On pouvait éviter de calculer ∆.La somme des coe�cients est nulle, a+ b+ c = 0donc x1 = 1 est une racine de x2 − 4x+ 3On peut utiliser le produit des racines soit x1 × x2 =

c

a

donc x2 =3

1= 3

2. −2x2 + 5x− 2 > 0

* Solution:

Ici on a a = −2, b = 5 et c = −2∆ = b2 − 4ac = 52 − 4× (−2)× (−2) = 25− 16 = 9∆ > 0 donc il y a deux racines :

x1 =−b−

√∆

2a=−5− 3−4

=−8−4

= 2

et x2 =−b+

√∆

2a=−5 + 3−4

=−2−4

=1

2Etude du signe de −2x2 + 5x− 2

x2 − 4x+ 3 > 0 pour x ∈]

1

2; 2

[

S =

]1

2; 2

[



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3. −2x2 + 5x− 4 > 0

* Solution:

∆ = b2 − 4ac = 52 − 4× (−2)× (−4) = 25− 32 = −7∆ < 0 donc il n'y a aucune racineet −2x2 + 5x− 4 est du signe de a = −2 coe�cient de x2 soit :

donc −2x2 + 5x− 4 est toujours strictement négatif et cette inéquation n'admet aucune solution.

S = �

Exercice 10 : inéquations avec calculs

Méthode : résolution d'inéquations du second degré

â Développer puis "transformer" pour avoir un second membre égal à 0

â Simpli�er pour se ramener à un polynôme du second degré

â Calculer ∆ et dresser le tableau de signes de f(x)

Résoudre les inéquations suivantes dans R :1. (x+ 1)2 ≤ 2x+ 3

* Solution:

(x+ 1)2 ≤ 2x+ 3⇐⇒ x2 + 2x+ 1 ≤ 2x+ 3⇐⇒ x2 + 2x+ 1− 2x− 3 ≤ 0⇐⇒ x2 − 2 ≤ 0

Recherche des racines de x2 − 2Ici le coe�cient de x est nul donc b = 0On peut donc déterminer les racines de x2 − 2 sans calculer le discriminant ∆x2 − 2 = 0⇐⇒ x2 = 2⇐⇒ x =

√2 ou bien x = −

√2

Remarque

En cherchant les racines avec le discriminant ∆ penser que le coe�cient b = 0Signe de x2 − 2



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ÉQUATIONS.

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(x+ 1)2 ≤ 2x+ 3 pour x ∈]−∞;−√

2] ∪ [√

2; +∞[

S =]−∞;−√

2] ∪ [√

2; +∞[

2. 2x2 − 3x+ 1 < x2 − 1

* Solution:

2x2 − 3x+ 1 < x2 − 1⇐⇒ 2x2 − 3x+ 1− x2 + 1 < 0⇐⇒ x2 − 3x+ 2 < 0Recherche des racines de x2 − 3x+ 2x1 = 1 est une racine de x2 − 3x+ 2 car 12 − 3× 1 + 2 = 0.Le produit des deux racines est x1x2 =

c

a.

donc 1× x2 =2

1= 2 donc x2 = 2

Signe de x2 − 3x+ 2

2x2 − 3x+ 1 > x2 − 1 pour x ∈]1; 2[

S =]1; 2[

Remarque

On peut aussi déterminer les racines en calculant ∆ = 1

3. −2x2 + 4x > (2x− 1)2 + 3

* Solution:

−2x2 + 4x > (2x− 1)2 + 3⇐⇒ −2x2 + 4x > 4x2 − 4x+ 1 + 3⇐⇒ −2x2 + 4x− 4x2 + 4x− 4 > 0⇐⇒ −6x2 + 8x− 4 > 0∆ = b2 − 4ac = 82 − 4× (−6)× (−4) = 64− 96 = −32

∆ < 0 donc −6x2 + 8x− 4 n'admet aucune racinedonc −6x2 + 8x− 4 est du signe de a = −6 coe�cient de x2 pour tout réel x.



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Il n'y a aucune solution soit S = �



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CHAPITRE2.DÉRIVATION-.

Chapitre 2

Dérivation

Sommaire2.1 Taux de variation et nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1 Calcul du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2 Lecture graphique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3 Équation d'une tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Calculs de dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Dérivée de f(ax+ b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Signe de la dérivée et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

25

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INDEX-INDEX.

Index

canonique (forme), 10, 12équation cartésienne, 122coe�cient directeur d'une droite, 116vecteurs colinéaires dans un repère, 92coordonnées (critère de colinéarité), 92coordonnées (vecteur), 92cosinus, 72cosinus (équations), 81cosinus (fonction), 87

dérivée(exponentielle), 64dérivée(signe et variations de f , 38dérivées(calculs), 34dérivée d'un quotient, 33dérivée d'un polynôme, 33dérivée d'un produit, 32dérivée d'un quotient, 32, 40, 66dérivée d'un produit, 32dérivées usuelles, 32discriminant, 14coordonnées( distance), 92distance dans un repère, 92déterminer si deux droites sont perpendiculaires, 130droite (équation cartésienne, 122droite (vecteur directeur), 122droites parallèles, 126droites parallèles (déterminer si...), 127, 128droites perpendiculaires, 130droite(tracer une ), 116déterminer une équation d'une perpendiculaire, 130

écart type, 149équation d'un cercle, 132équation d'un cercle(déterminer le centre et le rayon), 132équation d'un cercle(déterminer une équation), 134équation réduite d'une droite, 116équations du second degré, 17espérance, 149événements indépendants, 147forme explicite(suites dé�nies par...), 44explonentielle(calculs), 62exponentielle, 62exponentielle (étude des variations), 67exponentielle(dérivée d'un produit ou quotient), 65exponentielle(dérivée de exp(ax+b)), 65exponentielle(dérivée), 64

inéquations (du second degré), 20

loi de probabilité, 148

coordonnées( du milieu), 92

nombre dérivé, 26

périodique(fonctions), 86Boucle Pour, 155probabilités conditionnelles, 138probabilités conditionnelles avec un arbre, 140probabilités (arbre), 140probabilités (notations), 138probabilités totales, 143produit des racines, 15produit scalaire (propriétés algébriques), 104produit scalaire (triangle), 110produit scalaire (triangle)), 107produit scalaire (vecteurs orthogonaux), 104, 106produit scalaire dans un repère orthonormé, 102produit scalaire(avec le projeté orthogonal), 98produit scalaire(avec les normes des vecteurs), 101produit scalaire(calcul avec le cosinus), 97, 99produit scalaire(dé�nition), 96projeté orthogonal, 98

racine d'un polynôme, 14racines d'un polynôme du second degré, 14racines sans calculer le discriminant, 16relation de récurrence(suites dé�nies par...), 44

signe d'un polynôme de degré 2, 18, 38sinus, 72sinus (équations), 83sinus (fonction), 87, 89somme des termes(suites arithmétiques), 51somme des termes(suites géométriques), 55somme des racines, 15sommet(parabole), 12suite arithmétique, 48suite géométrique, 52

tangente, 29Boucle tant que, 156taux de variation, 26Si...alors...sinon, 154trigonométrie (équations avec cosinus), 81trigonométrie (équations avec sinus), 83trigonométrie (équations), 80trigonométrie (cercle), 72trigonométrie (fonctions), 87trigonométrie (valeurs remarquables du cos et sin), 72

26

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variable aléatoire, 148variable aléatoire (espérance), 149variables, 153variations(fonction rationnelle), 40variations(polynôme de degré 2), 12, 38variations(polynôme de degré 3), 38variations(suites), 46variations(tableau de), 38vecteur(coordonnées), 102vecteur directeur d'une droite, 122vecteur normal à une droite, 130vidéo 401 : tracer une droite, 116vidéo 402 : lecture graphique de l'équation réduite, 118vidéo 406 : équation réduite, 120vidéo 410 : équation cartésienne avec deux points, 123vidéo 411 : équation cartésienne avec un point et un vecteur,

125vidéo 417 : Équation d'une droite parallèle, 127vidéo 903 : produit scalaire calcul d'un angle, 110vidéo 940 : Équation d'une droite perpendiculaire, 130vidéo 942 : Déterminer le centre et le rayon d'un cercle, 132vidéo 958 : probabilités conditionnelles et probabilités to-

tales, 144vidéo 977 : loi de probabilité et espérance, 149vidéo 978 : calculs de probabilités avec un arbre, 140vidéo 804 : calculs de dérivées, 32vidéo 805 : calculs de dérivées de polynômes, 33vidéo 807 : calculs de dérivées avec un quotient, 33vidéo 607 : équations du second degré, 17vidéo 808 : étude des variations (dérivée et signe), 38vidéo 1019 : calculs avec exponentielle, 62vidéo 1020 : dérivées avec exponentielle, 64vidéo 639 : forme canonique, 10vidéo 641 : forme canonique à partie du graphique, 11vidéo 645 : inéquations du second degré, 20vidéo 803 : nombre dérivé, 26vidéo 815 : lecture graphique du nombre dérivé, 27vidéo 605 : racines et discriminant, 16vidéo 643 : signe de ax2 + bx+ c, 19vidéo 669 : étude des variations d'une suite, 46vidéo 671 : étude des variations d'une suite, 46vidéo 737 : suite arithmétique, 49vidéo 738 : raison d'une suite arithmétique, 50vidéo 739 : somme des termes d'une suite arithmétique, 51vidéo 740 : suite géométrique, 53vidéo 741 : raison d'une suite géométrique, 54vidéo 742 : somme des termes d'une suite géométrique, 55vidéo 856 : valeurs remarquables sur le cercle trigonomé-

trique, 73vidéo 857 : équations trigonométrique avec cosinus, 81vidéo 858 : équations trigonométrique avec sinus, 83vidéo 859 : angles associés sur le cercle trigonométrique, 77vidéo 640 : variations polynôme de degré 2, 12

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Tous les chapitres de première avec pour chaque notion :

o mémo cours

o exercices corrigés d'application directe

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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoirensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Les exercices corrigés sont accessibles à tous les élèves, quelque soit leur niveau, avec de nombreuses remarquessur les erreurs à éviter, les astuces de calcul...

Ce livre est édité par MATHS-LYCEE.FR, site de ressources pour les élèves de lycée et d'aide en ligne avec l'applicationWhatsApp.

LECARPENTIER Jean-François02/05/1966

Professeur agrégé de mathématiques

PréfaceAssistance et soutien scolaire MATHS-LYCEE.FRredA lire impérativement avant de commencerSecond degréForme canoniqueVariationsRacinesDiscriminant et racinesSomme et produit des racinesCas où le calcul du discriminant est inutileÉquations

Signe-inéquationsTableau de signes d'un polynôme de degré 2Inéquations du second degré

DérivationTaux de variation et nombre dérivéCalcul du nombre dérivéLecture graphique du nombre dérivéÉquation d'une tangente

Calculs de dérivéesDérivée de f(ax+b)Signe de la dérivée et variations

SuitesForme explicite et relation de récurrenceVariations d'une suiteSuites arithmétiquesCalculs avec les suites arithmétiquesSomme des termes d'une suite arithmétique

Suites géométriquesCalculs avec les suites géométriquesSomme des termes d'une suite géométrique

Synthèse

ExponentiellePropriétés algébriquesCalculs de dérivéesÉtude des variations avec la fonction exponentielle

Trigonométriecosinus et sinusAngles associésÉquations trigonométriquesFonctions cosinus et sinus

Produit scalaireRappels de seconde: coordonnées d'un vecteur et distancesProduit scalaire(définition)Produit scalaire avec le projeté orthogonalProduit scalaire avec les normes des vecteursProduit scalaire dans un repère orthonorméPropriétésExercices d'application dans un triangleCalcul d'une longueur dans un triangleCalcul d'un angle dans un triangle

Droites et cerclesÉquation réduite d'une droiteÉquation cartésienne d'une droiteDroites parallèles et perpendiculairesDroites parallèlesDroites perpendiculaires

Équation d'un cercle

ProbabilitésNotations et rappels de secondeProbabilité conditionnelleProbabilités totalesÉvénements indépendantsVariable aléatoire et espéranceLoi de probabilitéEspérance et écart type

Compléments: algorithmes et pythonVariables et opérations sur les nombres avec PythonVariablesComparaison de nombresManipuler les nombresTest Si....ALORS....SINONBoucles POURBoucles TANT QUE

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